Нелокальные задачи со смещением и интегральными условиями первого рода для гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи 005019438

Дюжева Александра Владимировна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРВОГО РОДА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ДПР 2012

Белгород - 2012

005019438

Работа выполнена в Самарском государственном университете на кафедре уравнений математической физики

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Пулькина Людмила Степановна доктор физико-математических наук, профессор

Зарубин Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор

Сербина Людмила Ивановна Владимирский государственный гуманитарный университет

Защита состоится на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 НИУ "БелГУ", ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета ^ і ПрядиевВЛ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических краевых задач для уравнений с частными производными, а также к постановке качественно новых задач и разработке методов их исследования. Один из классов качественно новых задач, сформировавшийся на этом пути, образуют задачи с нелокальными условиями. К задачам с нелокальными условиями различного вида приводит математическое моделирование некоторых физических процессов в том случае, когда граница протекания процесса недоступна для непосредственных измерений, но могут быть получены некоторые соотношения между значениями искомого решения и его производных в различных граничных и, возможно, внутренних точках области.

Одним из источников задач с нелокальными условиями, связывающими значения искомого решения и его производных в различных точках границы, явилась статья В.А. Стеклова1, в которой изучается процесс остывания неоднородного стержня. Математическое моделирование этого процесса привело к поиску решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего на границе х = 0, х = I условиям

aiuJQ, t) + a,2Ux(l, i) + аз?/(0, t) + (ци{1, t) = О,

(0.1)

Ьхих{0, t) + b2ux(l, t) + MO, t) + M*. t) =

которые впоследствии стали называть условиями смещения.

Задачи со смещением для уравнений различных типов, в том числе для уравнений смешанного типа и уравнений высокого порядка, изучались в работах Ф.И. Франкля, A.M. Нахушева, В.И. Жегалова, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, А.Н. Зарубина, Н.И. Ионкина, А.П. Солдатова, O.A. Репина.

1 Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела. / / Сообщения Харьковского матем. общества. 1896. Т.5, №3-4, с. 136-181 N

Среди первых работ, посвященных исследованию задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными, отметим статьи Дж.Кэннона (J.R. Cannon)2 и Л.И. Камынина3, опубликованные в 1963 и 1964 годах соответственно. В этих работах изучен вопрос о разрешимости уравнения теплопроводности с нелокальными по пространственной переменной интегральными условиями.

Исследования нелокальных задач для параболических уравнений были продолжены в работах Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и A.B. Филиновского, С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука, А. Bouziani, А.И. Кожанова, З.А. Нахушевой.

Начало систематического исследования нелокальных задач для эллиптических уравнений положено в статье A.B. Бицадзе и A.A. Самарского4, опубликованной в 1969 г. Дальнейшие глубокие результаты исследования разрешимости и качественных свойств решений нелокальных задач для эллиптических уравнений были получены в работах А.К. Гущина, А.К. Гущина и В.П. Михайлова, А.Л. Скубачевского, Е.М. Галахова и А.Л. Скубачев-ского.

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали объектом исследований позже, в 90-х годах 20 века, и в настоящее время активно изучаются. Отметим работы Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили, A. Bouziani, А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной.

В настоящей диссертационной работе исследуются нелокальные задачи для гиперболических уравнений: задача с динамическим смещением и задачи с интегральными по пространственной переменной условиями.

Отметим некоторые работы, которые явились толчком для

2 J.R. Cannon. The solution of heat equation subject to the specification of energy. //Quart. Appl. Math. 1963. V.21, №2. Pp.155-160.

3Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условиями.//Журнал вычислительной математики и математической физики. 19S4. Т.4. №6. С. 1006-1024.

4Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач. // ДАН СССР. 1969. Т.185. №4. С.739-740.

исследований, представленных в диссертации.

В статьях Н.Л. Лажетича (1998, 2006 гг.) изучена задача со смещением (0.1) для гиперболического уравнения

Щь - ихх + д(ж)и = 0.

Им была установлена ее однозначная разрешимость методом разделения переменных. Решающую роль при обосновании разрешимости играло условие самосопряженности оператора

-ь"(х) + ф)ф) = 0

с областью определения, порождаемой условиями смещения

а^ДО) + а2Ух(1) 4- а3и(0) + аАу(1) = 0,

(0.2)

М( о) + ь2ьх{1) + мо) + МО = о.

в которых <ц, Ьг — заданные постоянные. Существенным обобщением условия (0.1) являются динамические условия смещения:

а1{г)их(0, г) + а2(ь)их{1, г) + а3{Щ0, £) + аА^)и(1, *) = О,

(0.3)

ЦгХ( о, г) + ¿) + &з(*Мо, ¿) + ъ$)и(1, г) = о.

Задачи с такими условиями для параболического уравнения изучались А.И. Кожановым. Для гиперболического уравнения А.И. Кожанов и Л.С. Пулькина рассмотрели задачу с комбинацией динамических смещений и интегральных условий.

В предложенной диссертационной работе исследована задача с динамическими условиями смещения в ином, нежели в упомянутых работах, функциональном пространстве, и полученные результаты использованы для доказательства разрешимости задачи с нелокальными интегральными условиями I рода для гиперболического уравнения.

Целью настоящей работы является исследование разрешимости задачи с динамическими условиями смещения В.И. Стек-

лова и задач с нелокальными условиями I рода для гиперболического уравнения. Заметим, что оба класса задач, рассмотренных в работе, тесно связаны между собой.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л. Соболева.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказана однозначная разрешимость задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения.

2. Разработан метод сведения интегральных условий первого рода к интегральным условиям второго рода специального вида и доказана их эквивалентность.

3. Доказана однозначная разрешимость двух задач с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения.

Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Апробация работы. Основные результаты доложены на следующих семинарах:

- научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2008, 2009 гг. (руководитель - д.ф-м.н., профессор О.П. Филатов);

- научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государ-

ственного университета "Неклассические задачи математической физики". 2010-2011 г. (руководитель - д.ф-м.н., профессор Пуль-кина Л.С.);

- научном семинаре кафедры математического анализа физико-математического факультета Поволжской государственной социально-гуманитарной академии в 2010г. (руководитель - д.ф-м.н., профессор К.Б. Сабитов); а так же на конференциях:

- Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения Ц XIX "Современные методы теории краевых задач". Воронеж, 2008;

- VII школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик -

Хабез. Июнь, 2010;

- международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы". Суздаль. Июль 2010;

- девятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2010". Казань, октябрь 2010;

- Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XXII". Воронеж, май 2011;

- IX школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Кабардино-

Балкария, Нальчик, май, 2011;

- конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", СамДиф - 2011. Самара, июнь 2011;

- международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел",

Белгород, октябрь, 2011;

- международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик,

2011.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ,

которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. Работы [12], [11] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит постановка задачи. 3 работы: [10], [12], [11] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 83 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста.

1 Основное содержание работы

Во введении приведен обзор литературы, связанной с темой диссертации, обоснована актуальность, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения:

Задача 1. Найти в области = (0,I) х (0, Т) решение уравнения

иа ~ ихх + с(х,Ь)и = /0,£), (1.1)

удовлетворяющее начальным данным

и(ж,0) = ф), щ{х,0)=ф(х) (1.2)

и условиям смещения

ах(*)«*(0, Ь) + а2{1)их{1, £) + а3{г)и{0, £) + сцфиЦ, *) = 0,

(1.3)

ЦгК( о, г) + ь2{ь)их{1, г) + ь^)и{ о, г) + ьА{Щ1, ь) = о.

Особенностью этой задачи является зависимость коэффициентов в условии (1.3) от переменой £, что весьма существенно.

В настоящей работе доказано существование единственного решения задачи 1 с динамическими условиями смещения (1.3) в пространстве \¥2(Я).

Пусть Д = а1{ф2{Ь) - а2{г)Ь1{1) ф О, V* £ [0,Т]. Тогда усло-

Теорема 1 Пусть выполняются следующие условия:

Н2. аі{і),Рі(і)єС%Т\-, яз. аШІ + сад - а2№& - №& >

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1.1),

Обобщенное решение понимается как функция и(х, £) € И^(Ят) > удовлетворяющая условию и(х, 0) = <р(х) и тождеству

(1.4)

(1.2), (1.4).

- [ у{1,Ь)[а2{г)и{0^) + №)и{Ц)]М = ¿о

= / ф(х)у(х,0)с1х + / / /, ./О Jo

для любой и € И^фг), «(ж, Г) = О.

Во второй главе рассматривается нелокальная задача с интегральными условиями I рода:

Задача 2. Найти в области С} = (О, I) х (0,Т) решение уравнения

Щ1-иХх + с{х,г)и =/(х^), (1.5)

удовлетворяющее начальным данным

и(х,0) = ф), = (1.6)

и нелокальным условиям

Кг(х, + [ [ Щ(х, т)и(х, £)сЫт = 0, г = 1,2,

Л 7о

(1.7)

где Я^ж,^, Кг(х,Ь) заданы в <5-

Специальный вид условий (1.7), не ограничивающий общности, позволяет выявить особенности исследования разрешимости поставленной задачи как в случае ядра, зависящего только от пространственной переменной, так и в случае зависимости его и от переменной £. В обоих случаях задача с нелокальными условиями I рода сводится эквивалентным образом к задаче с нелокальными интегральными условиями II рода специального вида, содержащими интегральный оператор и оператор смещения. К изучению разрешимости полученной задачи удалось применить метод компактности. Реализация этого метода в данном случае существенно опирается на результаты, полученные в первой главе.

Если 2Кц + Я* = 0, то справедлива

I

Лемма 1 Если для всех I £ [О, Т]

Д = К^КъМ - ЩО^КгМ Ф О, (1.8)

Кг(:х,Ь) е С2 [Я), Нг(х, I) £ С(ф) и выполняются условия согласования

/ К{(х,0)(р(х)(1х = 0, ./о

[1 Ки{х,0))ф)&с + \ К{{х,0)ф{х)<1х+ I Н{(х, 0)<р(х)(1х = О, ио Jo ¿0

то условия (1.7) эквивалентны нелокальным интегральным условиям второго рода

их{0,1) = а1Ц)и(1,1) +

+ / М1(х,г)и(х,Ь)йх+ / ¿)/(х, Уо ¿о

+ [ М2(х,Ь)и(х,г)(1х + [ R2{x,t)f(x,t)dx,

где

ах (г) =-д-;

яил -ЫЬЪЪУЛ-КьФЛЪМ

Р1{4 = -д->

Е(-1 Г\К1ХХ - Кш - сК{)Кг_{_1у(Ц)

А

К2{х,Ь)К1{1,г)-К1{х,1)К2{11)ш

А

м -К1х(Ц)К2(0,1) + Ъ^^КгМ

а2{4 = -д--

№ =

-к1х{ о, І)К2{ о, І)

2

ЕІ-іГН^х - кш - сКІ)КІ_{_ уМ

М2(х,і) =

г=1

ДгМ =

д

К2{х,і)К1(0^)-К1(х,і)К2(0,і) Д

Доказанная лемма позволила воспользоваться методами, разработанными для исследования разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями второго рода, и результатами, полученными в первой главе представленной диссертации. Полученный результат сформулирован в виде теоремы:

Теорема 2 Пусть выполняются условия леммы, а также:

НІ.с{Х,І) є с{Ят), Пх,І) є ь2{Ят),

<р{х)е\¥}{0,1), ф(х) Є Ь2{0,1); Кі(х, і) є С\я) Л ОД), Ні(х, і) є С\я) П ОД), Кіххі є ОД); Н2. <хі{і),№ЄС%Т\\ ЯЗ. аі(і)Й + 2/Ш66 - &(*)$ > О, V* е [0, Т}; #4. «2(0 + А= 0 Ш Є [0, Т].

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 2.

Под обобщенным решением понимается функция и(х, ¿) £ \¥2(СЦт) , удовлетворяющая условию и(х, 0) = <р(х) и интегральному тождеству

[ (-щуі + ихух + сиь)с1хсіі- ! [Ф2{і)ь(1,і)-Фі(і)у{0,і)}(И

■т

./О

= [ Ф{х)у(х,0)с1х+[ [й(*Ми)-Я1(*ММ)]<й+ I / ЫхсИ, Jo ./О Jo ¿0

для любой V 6 ЭДгНФг), и{х,Т) = 0. Здесь обозначено

= / Ф(М)/(ж,г)£гх, г = 1,2.

Jo

Если 2Кц(х,Ь) + ф 0, то в нелокальных условиях

второго рода, к которым сводятся условия (1.3), содержится производная Получение априорной оценки в этом случае может привести к дополнительным условиям на входные данные. Однако удалось так модифицировать процесс сведения нелокальных условий I рода к условиям И рода, что эти трудности преодолены. Для того, чтобы избежать слишком громоздких преобразований, рассмотрена задача с одним нелокальным условием.

Задача 3. Найти в области <3 = (0, /) х (0, Т), Т < оо, решение уравнения

ии-ихх + с(х)и = ¡(х,г), (1.9)

удовлетворяющее начальным данным

и(а:,0) = 0, щ(х, 0) = 0 (1.10)

и условиям

их(0, £) = 0, (1.11)

[ К{х)£)и{х,1)йх+ [ [ Н{х, т)и{х, ¿)<Ыг = 0. (1.12) 7о ./о Jo

Справедлива следующая лемма:

Лемма 2 Если для всех I € [О,Т], К{1,Ь) ф О, Кх{0,4) = О,

К(х,г) € с2®, € сД), ям € с1®, нхх е с®,

то условия (1.12) эквивалентны условиям:

их(Ц) = С(Ь) - а(1) (1.13)

Jo

где

I t

= Ь(£)и(г, 4) - I Б{х, Ь)и{х, ¿)с1х + 71(0 J и{1, т)(1т-

0

г г

-7$) Ju(0,т)dr- I В{х,£) J u{x,т)dтdx +

О 0 0

а{ь) =-ад-' т = ~кМ'

л ¿) - # ¿)Ф0 + 0 + Я«(ж,

71(*) = —ад ' 72()=—Ш '

А 2^хж(х, г) + Нхх(х, ¿) - с{х){2Кг{х, I) + Н{х, ¿))

- ад '

J0 Jo

Доказанная лемма позволяет перейти от задачи 3 к задаче 4: найти решение уравнение (1.9), удовлетворяющее условиям (1.10), (1.11) и нелокальному условию (1.13). Для задачи 4 справедлива теорема:

Теорема 3 Пусть выполняются следующие условия:

Н(х,і) Є С(Щ, нхх Є с(дт), л®, і) Є ь2(дг).

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 4-

Под обобщенным решением задачи 4 мы понимаем функцию и(х, ¿) е И^(Ят), удовлетворяющую условию и (ж, 0) = 0 и тождеству:

для любой V е И^т), и(.х, Т) = 0. Теорема 3 и лемма 2 гарантируют однозначную разрешимость задачи 3.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Людмиле Степановне Пулькиной за постановку задач,ценные советы и постоянное внимание к работе.

Г

(—ЩУі + ихих + сиу)с1х(1і + / ь(1, і)С{і)ві

I.

(1.14)

Список литературы

[1] Дюжева A.B. Нелокальная задача для уравнения гиперболического типа.// Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения Ц XIX ". Воронеж: ВГУ, 2008. С.85-86.

[2] Дюжева A.B. О некоторых задачах с нелокальными условиями Ipoda. // Материалы VIII школы Молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Хабез: КБНЦ РАН, 2010.

[3] Дюжева A.B. Об одной нелокальной задаче с переменными по времени краевыми условиями для гиперболического уравнения.// Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы". Суздаль, 2010, с. 78.

[4] Дюжева A.B. О некоторых нелокальных задачах с интегральными условиями первого рода. // Труды Математического центра им. Лобачевского. Казань, 2010, с. 125-128.

[5] Дюжева A.B. Об одной краевой задаче для уравнения высокого порядка. // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXII". Воронеж: ВГУ, 2011. С.60-61.

[6] Дюжева A.B. Теорема единственности решения краевой задачи для уравнения четвертого порядка. //Материалы IX Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик: КБНЦ РАН, 2011, с. 41-45.

[7] Дюжева A.B. Об одной смешанной задаче с нелокальными условиями I рода. // Тезисы докладов конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (СамДиф-20011 ), Самара: СамГУ, 2011, с.41-42.

[8] Дюжева A.B., Пулькина Л.С. Нелокальные задачи с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения. //Тезисы докладов международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород: БелГУ, 2011. С.

[9] Дюжева A.B. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями первого рода. //Материалы международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики Нальчик: КБНЦ РАН, 2011. с. 105-107.

[10] Дюжева A.B. Нелокальная задача с интегральными условиями I рода для гиперболического уравнения. //Вестник Сам-ГУ. Естественнонаучная серия. 2011, №5(86), с.29-36.

[11] Пулькина Л.С., Дюжева A.B. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения. //Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010, №4(86), с.56-64.

[12] Дюжева A.B., Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральным условием I рода. //Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. N5 (124) Вып.26

50.

Подписано в печать 11.04.12 Гарнитура Computer Modern. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №18/4 ГБОУ СПО «СГИПТ», 443099, Самара, ул. Молодогвардейская, 59

61 12-1/1067

Самарский государственный университет

На правах рукописи

УДК 517.956

Дюжева Александра Владимировна

Нелокальные задачи со смещением

и интегральными условиями

первого рода для гиперболических уравнений

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 —Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор Пулькина Людмила Степановна

Самара — 2012

Содержание

Введение 4

Глава 1. Нелокальная задача с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения 16

1.1 Постановка задачи с динамическим

смещением......................... 18

1.2 Разрешимость задачи со смещением.......... 20

1.2.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи со смещением ......... 20

1.2.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи со смещением ......... 26

Глава 2. Нелокальные задачи с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения 36

2.3 Постановка задачи с двумя интегральными условиями

первого рода ....................... 39

2.3.1 Эквивалентность нелокальных условий первого и второго рода................. 39

2.4 Разрешимость нелокальной задачи с двумя интегральными условиями..................... 44

2.4.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи.................. 46

2.4.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи.................. 51

2.5 Постановка нелокальной задачи с одним интегральным условием............................65

2.5.1 Эквивалентность нелокальных условий первого и второго рода................. 65

2.6 Разрешимость нелокальной задачи с одним интегральным условием....................... 68

2.6.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи.................. 69

2.6.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи.................. 76

Введение

Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при решении классических задач математической физики, возникших при моделировании различных процессов, и многие разделы к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические задачи для уравнений в частных производных классифицированны и хорошо изучены. Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. В настоящее время широко изучаются математические модели таких физических процессов, граница области протекания которых недоступна для непосредственного измерения, но возможно получение информации о некоторых его свойствах во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Такие задачи были названы нелокальными задачами. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.

По-видимому, термин "нелокальные условия "был впервые введен A.A. Дезиным в работе [12]. Задолго до начала систематических исследований появились работы, в которых рассмотрены задачи с нелокальными условиями различного вида. В книге Я.Д. Тамаркина [76] поставлена задача с интегральными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения. В.А. Стеклов в своей работе

[74] рассмотрел задачу об охлаждении неоднородного стержня, которая состоит в нахождении решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям, заданным в виде линейной комбинации значений искомой функции и ее производных в различных точках границы:

aiux{Q, t) + a2ux(l, t) + a3u(0, t) + a4u(l, t) = 0,

(0.1)

hux(0,t) + b2ux(l,t) + bzu(Q,t) + b4u{l,t) = 0, которые впоследствии стали называть условиями смещения.

Задачи со смещением для уравнений различных типов, в том числе для уравнений смешанного типа и уравнений высокого порядка, изучались в работах Ф.И. Франкля [77], A.M. Нахушева [51], В.И. Жегалова [25], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [28, 29], Н.И. Ионкина и Е.И. Моисеева [31], А.Н. Зарубина [5, 27], Н.И. Ионкина [33, 32], H.JI. Лажетича [43, 44], L. Byszewski [81], А.П. Солдатова [73]. Большой вклад в развитие теории задач со смещением внесли работы A.M. Нахушева [49, 51] и его учеников [52, 53, 7, 69], в которых не только получены важные теоретические результаты, но и приведены обоснования математических моделей, содержащих нелокальные условия.

Начало систематических исследований нелокальных задач с интегральными условиями восходит к работам Д. Кэннона [83] и Л.И. Камынина [34], в которых рассматривались параболические уравнения. В статье [83] рассматривалась задача нахождения классического решения уравнения теплопроводности, когда одно из граничных условий задается в виде интеграла от искомого решения. В статье

[34] изучена задача для общего параболического уравнения на плоскости с двумя интегральными условиями.

Дальнейшее иследование задач с интегральными условиями для параболических уравнений было продолжено в работах Н.И Ион-кина [30] - [33], JI.A. Муравья и A.B. Филиновского [47], [48], С.А. Алексеевой и Н.И. Юрчука [1], [2], А.И. Кожанова [38], А. Бузиани [80], JI.C. Пулькиной [58], A.B. Картынника [35] и других авторов.

Начало систематического исследования нелокальных задач для эллиптических уравнений положено в статье A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [4]. Дальнейшие глубокие результаты исследования разрешимости и качественных свойств решений нелокальных задач для эллиптических уравнений были получены в работах А.К. Гущина [9], А.К. Гущина и В.П. Михайлова [10], [11], A.JI. Скубачевского [70]-[72].

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали исследоваться позже, но к настоящему времени уже имеется значительное число работ, посвященных изучению нелокальных задач для уравнений гиперболического типа, как с условиями смещения, так и с нелокальными интегральными условиями. Среди последних можно выделить три класса задач:

- интегральные аналоги задачи Гурса, в которых нелокальное условие задается в виде интеграла вдоль характеристик;

- смешанные задачи с классическими начальными условиями и пространственно нелокальными интегральными условиями;

- задачи с нелокальными по времени условиями.

В представленной диссертации рассмотрены задачи, относящиеся ко второму классу. Смешанные задачи с пространственно нелокальными интегральными условиями рассматривались в работах Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [8, 82], А. Бузиани [80], А.И. Кожанова [40], Л.С. Пулькиной [56] - [65], С.А. Бейлина [3, 79], В.Б. Дмитриева [13].

Уточним, что под нелокальными интегральными условиями мы понимаем соотношения между значениями искомого решения или его выводящей производной на боковой границе области фт = (0,1) х (0, Т) и интегралом от искомого решения:

I

А 1и + ! К(х,1)и(х,Ь)(1х = 0, (0.2)

о

где "граничный оператор", например, 1и = аи(0, + ¡Зих{ Если А ф 0, то (0.2) называется нелокальным интегральным условием второго рода. Если же А = 0, — то первого.

Заметим, что в большинстве упомянутых работ изучались задачи с интегральными условиями второго рода.

Исследования нелокальных задач показали, что наличие нелокальных условий любого вида в большинстве случаев не позволяет использовать хорошо известные стандартные методы, такие, например, как метод Фурье и методы, опирающиеся на свойства сопряженных операторов. Интегральные условия первого рода вносят дополнительные трудности в исследование разрешимости задач с такими условиями, поэтому вопрос разработки методов доказательства разрешимости нелокальных задач остается актуальным.

В предлагаемой работе рассмотрены задачи с динамическими условиями смещения В.И. Стеклова и задачи с нелокальными условиями первого рода. Заметим, что оба класса задач, рассмотренных в работе, тесно связаны между собой.

Первая глава посвящена исследованию задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения:

Задача 1. Найти в области Qt = (О, I) х (О, Т) решение уравнения

utt-uxx + c(x,t)u = f(x,t), (0.3)

удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х) (0.4)

и условиям смещения

ai(t)ux(ü}t) + a2(t)ux{l,t) +a3(t)u(0,t) + a4(t)u(l,t) = 0,

(0.5)

6i(íK(0,í) + b2(t)ux{l,t) + bz{t)u{0,t) + b4(t)u(l,t) = 0. Особенностью этой задачи является зависимость коэффициентов в условиях (0.5) от переменой i, что весьма существенно. В частном случае щ = const, = const задачу с условиями В. А. Стеклова для уравнения

utt ~ ихх + q(x)u(x, t) = f(x, t)

исследовал H.JI. Лажетич [43, 44].

Им доказана однозначная разрешимость этой задачи в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций. Основным инструментом исследования был метод Фурье. При этом существенным условием является самосопряженность оператора —v"(x) +

д(х)у(х) = 0 с областью определения, порожденной условиями смещения.

Задачу с динамическими условиями В.А. Стеклова для параболического уравнения рассматривал А.И. Кожанов в [39] и доказал её разрешимость методом регуляризации и продолжения по параметру.

В настоящей работе доказано существование единственого решения задачи 1 с динамическими условиями смещения (0.5) для гиперболического уравнения в пространстве И^Ч^т)-

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

Н1. с(х^)еС(<2т), ф(х) е Ь2(0,1), е Ь2(Ят),

Я2. с*(*), А№ е Сх[0,71, аг(г) > о, /з2(г) < О, яз. а!(*)й + (&(*) - а2й)66 - > о,

НА. а2(*)+АОО = о V* е [о,Т].

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (0.3) - (0.5).

Здесь обозначено:

азМЫ*) ~ ог(*)Ьз(*) а^Ыг) - а2(1)Ь(1)

а1\Ч = -д-> а2{1) = -д-,

Обобщенное решение понимается как функция и(х, £) £ И^Ог)? удовлетворяющая условию и(х, 0) = (р(х) и тождеству т I т

^ !(—щУ1 + ихух + сиу)с1хсИ + J V(0, ¿)[а1 (¿)и(0, + /31(£)и(7, 0 0 о

т I Т I

- I у(1,г)[а2^)и(0^)+(32^)и(1,г)](И = I Ф(х)у{х, 0)dx+J I/у(1х(И,

о ООО

для любой v е У/КЯт), у(х, Т) = 0.

Во второй главе рассматривается нелокальная задача с интегральными условиями I рода:

Задача 2. Найти в области С}т = (0,1) х (0, Т) решение уравнения

Щь-ихх + с(х^)и = /(ж,*), (0.6)

удовлетворяющее начальным данным

и(ж,0) = щ(х,0) = ф(х) (0.7)

I г I

J Кг(х, Ь)ийх + У У Щх, т)ийх(1т = 0, ъ = 1, 2, (0.8)

и нелокальным условиям

I г I

= 0, г = 1, 2, О 0 0

где Нг(х^), заданы в

Отметим особенности поставленной задачи, связанные с видом нелокального условия (0.8). Одним из разработанных к настоящему времени методов исследования нелокальных задач с итегральными условиями является метод вспомогательных задач, основная идея которого заключается в применении нелокального условия к решению некоторой классической задачи с неоднородными граничными условиями. Однако реализация этого метода в случае нелокального условия I рода приводит к операторному уравнению I рода относительно неизвестных граничных условий вспомогательной задачи, что делает невозможным применение теории Фредгольма. Это затруднение может быть преодолено, если интегральное условие I рода

удается свести к интегральному условию II рода. При этом оказывается весьма существенным, зависит ли ядро интегрального оператора, входящего в нелокальное условие, от переменной t. Специальный вид условия (0.8), не ограничивающий общности, позволяет выявить особенности исследования разрешимости поставленной задачи как в случае ядра, зависящего только от пространственной переменной, так и в случае зависимости его и от переменной t. В обоих случаях задача с нелокальными условиями I рода сводится эквивалентным образом к задаче с нелокальными интегральными условиями II рода специального вида, содержащими итегральный оператор и оператор смещения. К изучению разрешимости полученной задачи удалось применить метод компактности. Реализация этого метода в данном случае существенно опирается на результаты, полученные в первой главе.

Если в условиях (0.8) 2 К и 4- Hi = 0, то справедлива Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

Я1.с(м) 6 c(qr), Ф) е ^(0,0, Ф{х) е l2(o,Q, /ОМ) е L2(QT),

Ki(x,t) € C\QT)nC(QT), Hi(x,t) € C\QT)nC(QT), Kixxt G C(QT);

H2. «,•(*),&(*) eC%T\; ЯЗ. aiO%2 + ШШ2 - Ml > o, v* e [0, T];

HA. a2(i)+/3i(<) = 0 Mt 6 [0,T], Тогда существует, единственное обобщенное решение задачи 2.

Здесь обозначено:

= - К2х(1^)К1{1,1))

д

а2(г)

_ ~(к1х(1,1)к2{ъ,1) - к2х(1,г)кг(<д,г))

А

= (-^ММЖзСМ - ^(0^)^1(0,^))

А

Решение понимается как функция е УУ2(€}Т), удовлетворяю-

щая условию и(х,0) = ср(х) и интегральному тождеству т I т т

J J(-utvt-\-uxvx + cuv)dxdt-J Ф2(*)г;(М)сЙ + ! Фх^МО, г)(И =

о о

i т т т i

= J Ф(х)у(х,0)(1х + J д2у(1^)сИ + ! дгу(+ J ^ ¡уйхсИ, О О О 0 0

где обозначено

I

о

г = 1,2.

Если 2Кц(х,Ь) + Нг(х^) Ф 0, то в нелокальных условиях второго рода, к которым сводятся условия (0.8), содержится производная щ(х, ¿). Получение априорной оценки в этом случае может привести к дополнительным условиям на входные данные. Однако удалось так модифицировать процесс сведения нелокальных условий I рода к условиям II рода, что этих трудностей не возникает. Для того,

чтобы избежать слишком громоздких преобразований, рассмотрена задача с одним нелокальным условием.

Задача 3. Найти в области QT = (0,1) х (О, Т), I, Т < оо решение уравнения

utt ~ Uxx + с(х)и = f(x,t), (0.9)

удовлетворяющее начальным данным

и(ж,0) = 0, щ(х, 0) = 0 (0.10)

и условиям

u*(0,f)=0, (0.11)

/ t I

J jK(x,t)u(x,t)dx + J J H(x,r)u(x:t)dxdr = 0. (0.12) 0 0 0

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

K(x,t)eC2(QT), KxxteC(QT),

Kx(o,t) = o, K(i,t)^ovte[o,T], H(x,t) 6 C(QT), Hxx e C(QT), /(®,f) G L2(Qr). Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 3.

Целью настоящей работы является исследование смешанных задач с нелокальными условиями, содержащими оператор смещения и интегральный оператор для гиперболических уравнений.

В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств C.JI. Соболева.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказана однозначная разрешимость задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения.

2. Разработан метод сведения интегральных условий первого рода к интегральным условиям второго рода специального вида и доказана их эквивалентность.

3. Доказана однозначная разрешимость двух задач с интегральными условиями первого рода.

По теме дисертации опубликовано 12 работ [14] — [24], [57], отражающие ее основные результаты, которые докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2008, 2009гг. (руководитель - д.ф-м.н., профессор О.П. Филатов);

- научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета "Неклассические задачи математической физики". 2010-2011 г. (руководитель - д.ф-м.н., профессор Пулькина Л.С.);

научном семинаре кафедры математического анализа физико-математического факультета Поволжской государственной социально-гуманитарной академии в 2010г. (руководитель -д.ф-м.н., профессор К.Б. Сабитов);

- Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX "Современные методы теории краевых задач". Воро-

неж, 2008;

- VII школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик - Хабез. Июнь, 2010;

- международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы". Суздаль. Июль 2010;

- девятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2010". Казань, октябрь 2010;

- Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XXII". Воронеж, май 2011;

- IX школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик, май, 2011;

- конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", СамДиф - 2011. Самара, июнь 2011;

- международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород, октябрь, 2011;

- международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик, 2011.

Глава 1.

Нелокальная задача с динамическими

условиями смещения

для гиперболического уравнения

В этой главе изучена задача со смещением для гиперболического уравнения.

Особенностью этой задачи, существенно отличающей ее от изученных ранее, является зависимость коэффициентов условий смещения от переменной t. Необходимость изучения задач с такими условиями возникла при исследовании разрешимости задач с интегральными условиями первого рода.

В процессе исследования задач с динамическими условиями смещения стало понятно, что они представляют и самостоятельный интерес.

Проиллюстрируем сказанное простым примером.

Рассмотрим задачу отыскания решения уравнения

в области (О,/) X (0,Т), удовлетворяющего интегральным условиям

и классическим начальным условиям.

Интегрируя рассмотренное уравнение, а затем уравнение, умноженное на ж, по ж в предположении, что и(х, ¿) удовлетворяет урав-

Щг ~ихх = О

о

о

нению и нелокальным условиям, получим:

их{1,г) - их(о,= о, 1их(1,г) - и(1, ¿) + «(о, г) = о.

Это наблюдение привело к идее о связи условий смещения и интегральных условий. Дальнейшие исследования в этом направлении показали, что в случае интегральных условий более общего вида мы приходим к соотношениям, в которых присутствуют линейные комбинации значений искомого реш�