Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Кечина Ольга Михайловна

Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2010

003492493

Кечпна Ольга Михайловна

Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степей! кандидата физико-математических наук

Казань - 2010

Работа выполнена на кафедре математического анализа Поволжской государственной социально-гуманитарной академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Пулькина Людмила Степановна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Мухлисов Фоат Габдуллович

доктор физико-математических наук, профессор

Репин Олег Александрович

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится 11 марта 2010 г. в 17 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора М.Т. Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан февраля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-ма,т. наук,

доцент /? Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование таких задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических, биологических, экологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задаётся определённая связь значений искомой функции (или её производных) на границе области и в её внутренних точках. Например, ещё в 1896 г. В.А. Стекловым было показано, что математическое моделирование процессов охлаждения тел конечных размеров приводит к задаче нахождения решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего нелокальным условиям, представляющим собой линейную комбинацию значений искомого решения и его производных в различных точках границы.

Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли работы

A.А. Дезина, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, А.К. Гущина,

B.И. Жегалова, A.JI. Скубачевского, А.М. Нахушева, Н.И. Ионкина, Л.С. Пулькиной, ОА. Репина и других авторов.

Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Появление интегральных условий связано с тем, что при изучении некоторых физических процессов границы областей их протекания могут оказаться недоступными для непосредственных измерений, но известно среднее значение искомых величин. Условия такого вида могут появиться при математическом моделировании явлений, связанных с физикой плазмы, распространением тепла, процессом влагопереноса в капиллярно-пористых средах, вопросами демографии и математической биологии. Нелокальные интегральные условия можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального сдвига.

Первыми публикациями, посвященными исследованию задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, можно считать работу Дж. Кэннона "The solution of the heat équation subject to the spécification of ener-

gy", опубликованную в 19G3 году, и работу Л.И. Камынина "Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями", опубликованную в 1964 году.

Исследования задач с интегральными условиями для параболических уравнений были продолжены в работах JI.A. Муравья и A.B. Филиновского, Н.И. Юрчука, Н.И. Ионкина,

A. Бузиа,ни и других авторов. Значительные результаты, относящиеся к нелокальным задачам с интегральными условиями для эллиптических уравнений, получены А.К. Гущиным,

B.П. Михайловым, А.Л. Скубачевским. Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа начали исследовать позже, и вопрос об их постановке и разрешимости в настоящее время менее изучен. Среди них можно выделить два класса задач: задача Гурса в интегральной постановке, в которой нелокальные условия заданы в виде интегралов вдоль характеристик, и смешанные задачи, граничные или начальные условия в которых заменены интегралами от искомого решения.

Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для исследования разрешимости нелокальных задач стандартные методы. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным.

Если нелокальное условие содержит только интегральный оператор, то такие условия принято называть интегральными условиями первого рода. Если же нелокальное условие помимо интегрального оператора содержит значение искомого решения или его производных на границе области исследования, то условия такого вида будем называть интегральными условиями второго рода.

В процессе изучения нелокальных задач выявлена их тесная связь с нагруженными уравнениями. В ряде работ A.M. Нахушева и его учеников рассмотрены примеры сведения задач с нелокальными условиями к нагруженным дифференциальным и интегродифференциальным уравнениям, которые описывают многие физические процессы. Также нелокальные задачи с интегральными условиями связаны с обратными задачами, которые возникают в различных областях человеческой деятельности. Обратные задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений были исследованы в работах В.Л. Камынина, А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко, Н.И. Иванчова,

А.И. Кожаиова.

Таким образом, актуальность темы представленной диссертационной работы обусловлена как теоретической, так и практической значимостью рассматриваемых задач.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является постановка и исследование качественно новых нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольных областях, а также разработка эффективных методов доказательства разрешимости различных видов нелокальных краевых задач.

Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, аппарат интегральных уравнений, методы априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике.

2. Доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике в случае, когда интегральные условия заданы н части области.

3. Предложен эффективный метод, с помощью которого доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т<1.

4. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода

I

J Щх, <)и(х, €)ах = вД*), (г = 1,2) о

для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т <1.

5. Разработан метод, применяя который удалось снять ограничения на область и доказать однозначную разрешимость

смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода

для уравнения колебаний струны.

6. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с интегральным условием, заданным в части области.

Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными интегральными условиями.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах и конференциях:

• СамДиф-2007: конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". 29 января — 2 февраля 2007 г. Самарский государственный университет, г. Самара.

• "Математическое моделирование и краевые задачи". Четвёртая Всероссийская научная конференция с международным участием. 29 — 31 мая 2007 г. Самарский государственный технический университет, г. Самара.

• "Интегративный характер современного математического образования". Всероссийская научно-практическая конференция. 24 — 27 сентября 2007 г. Самарский государственный педагогический университет, г. Самара.

• "Лобачевские чтения - 2007". Шестая молодёжная научная школа-конференция. 16 — 19 декабря 2007 г., Казанский государственный университет, г. Казань.

• "Герценовскис чтения - 2008". Научная конференция. 14 — 19 апреля 2008 г., Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, г. Санкт-Петербург.

• "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Международная научная конференция. 24 — 28 июня 2008 г., г. Стерлитамак.

• "Лобачевские чтения - 2008". Седьмая молодёжная научная школа-конференция. 1 — 3 декабря 2008 г., Казанский государственный университет, г. Казань.

о

• "Герценовские чтения - 2009". Научная конференция. 13 — 18 апреля 2009 г., Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, г. Санкт-Петербург.

• СамДиф-2009: конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". 29 июня — 2 июля 2009 г., Самарский государственный университет, г. Самара.

• "Интегративный характер современного математического образования". Вторая всероссийская научно-практическая конференция. 26 — 28 октября 2009 г. Поволжская государственная социально-гуманитарная академия, г. Самара.

• "Лобачевские чтения - 2009". Восьмая молодёжная научная школа-конференция. 1 — 6 ноября 2009 г., Казанский государственный университет, г. Казань.

• Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов), 21 октября 2009 г., г. Казань.

Публикации. Автором опубликовано тринадцать работ по теме диссертации, в том числе две работы из перечня ВАК (¡8], [13]), которые отражают её основные результаты. Список публикаций приведён в конце автореферата. Работы [6] и [8] выполнены в соавторстве с научным руководителем Л.С. Пулькиной, и полученные в них результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 95 наименований, включая работы автора. Объём диссертации составляет 101 страницу машинописного текста.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проводится обзор результатов исследований по её тематике, определена степень разработанности проблемы, приведено краткое содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию задачи Гурса в интегральной постановке для одного гиперболического уравнения.

В первом параграфе исследуется задача для уравнения

Ьи = иху + (Л(х, у)и)х + (В(х. у)и)у + С(х, у)и = ¡{х, у) (1)

в прямоугольной области D = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у < 6} с условиями

а

К(х, у)и(х, у)йх = ф(у), 0 <у<Ь, (2)

о

ь

К{х,у)и{х,у)йу - ц>{х), 0 < х < а. (3)

о

Заметим, что в случае К(х,у) = 1 разрешимость задачи (1)-(2)-(3) ранее была доказана при выполнении условий:

о

S'

Ау(х, у) > 0, Вх{х,у)> 0, Сху(х,у) > О,

Ау{х,у)Вх{х,у)-С2{х,у)>а.

Основной целью исследования этой задачи в данной работе было ослабить условия на коэффициенты, обеспечивающие единственность решения задачи. Это удалось сделать с помощью введения в интегральные условия функции К(х, у).

Под классическим решением уравнения (1) будем понимать функцию и(х,у) 6 Cl(D),uxy € C(D).

Основным результатом первого параграфа является утверждение:

Теорема 3. Пусть выполняются условия

А(х,у),В(х,у),С(х,у) € C\D),Cxy е C(D)J(x,y) е С(б), ф) 6 С[0, о] n С2(0, a),i>(y) е С[0, Ь] П С2{0,6),

а Ь

j <p(x)dx = J ip(y)dy, о о

K(x,y)eC(D)nC4(D),K(x,y)¿0,

& (Кху{х,у) - А(х,у)Кх(х,у) - В(х,у)Ку(х,у) Л

дхду \ -К(х,у) +4x,y)J> О,

ч _ K*(x>v)

Ю К(х,у)

fKx»{x, у) - A(x, y)Kx(x, у) - В[х,у)Ку{х, у)

2

Л -----Щ7) ^ +

Тогда существует единственное классическое решение задачи (1)-

(2)-(3).

Доказательство разрешимости задачи проведено по следующей схеме:

1. Показано, что поставленная задача эквивалентна задаче относительно новой неизвестной функции у(х,у), связанной с и(х,у) соотношением

у{х,у) - К{х,у)и{х,у), удовлетворяющей уравнению

Уху + {А(х, у)у)х + {В(х, у)у)у + С(х, у)у = /(х, у), (4) и условиям

о

у(х, у)йх -ф{у), 0 <у<Ь, (5)

/-

О

о

ь

v(x, y)dy — <р(х), 0 < х < а. (б)

о

2. Показано, что задача относительно функции v(x,y) однозначно разрешима в нужном классе функций.

3. Доказана теорема 3.

При доказательстве существования решения задача (4)-(5)-(6) эквивалентным образом сводится к нагруженному интегральному уравнению относительно v(x,y), которое в свою очередь сводится к уравнению Вольтерра второго рода. Доказанная единственность решения задачи при этом играет существенную роль. Ядро и правая часть полученного уравнения Вольтерра непрерывны в рассматриваемой области, что позволяет сделать вывод о существовании его решения, и, как следствие, о существовании решения исходной задачи.

Во втором параграфе изучается разрешимость нелокальной задачи для уравнения (1) в области D с нелокальными условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника: найти функцию и(х,у) 6 Cl(D), иху £ C(D), удовлетворяющую

уравнению (1) и условиям

а

Ju{x,y)dx = rp(y), 0 < а <а, 0<у<Ъ, (7)

о

Р

J u{x,y)dy = (р(х), 0 < 0 <b, 0 <х<а. (8)

о

Доказана теорема:

Теорема 4. Пусть выполняются условия

A{x,y),B{x,y),C{x,y)eC1(D), СхуеСф), f(x,y)eC(D),

ф) € С[О, а] П С2(0,о), ф(у) б С[0,6] П С2(О, Ь),

Ау{х,у)> 0, Вх(х,у) > 0, Сху(х,у)> О,

Ау{х,у)Вх(х,у)-С2(х,у)>0,

А(х,0)> 0, В(а,у) > 0, Cx(x,0)> О, Cy(al2/)>0.

Тогда существует единственное классическое решение задачи (1), (7), (8).

Для доказательства разрешимости задачи расссматриваются вспомогательные задачи в областях Д, i = 0,1,2,3, где

D0 = {(z,y) : 0 < ж < а, 0 < у < В),

Di = {(я, у) : а < i < а, 0 < у < 0},

Ог = {(х,у): 0 < х < а,Р < у <Ь},

D3 = {(х,у) : а < х < а,0 < у < Ь},

Ji = {(x,y):x = a,0<y<b},

J2 = {{х,у):у = 0,О<х <а},

и затем они "склеиваются" по отрезкам прямых х = а, у = 0.

Доказана принадлежность решения классу: и(х,у) £ С1(В). иху б C(D),

Во второй главе исследуется разрешимость смешанных задач для уравнения колебаний струны с интегральными условиями. В зависимости от вида нелокальных условий применяются различные модификации метода вспомогательных задач.

В первом параграфе второй главы рассматривается вопрос об однозначной разрешимости задачи для уравнения

Щг - «и = 0 (9)

в прямоугольной области П = {(ж, 4) : 0 < х < I,0 < 4 < Т} с начальными данными

и(ж,0)=0, м((х,0) = 0 (10)

и натокальньши условиями 1

и(0, г)- J Кг{х, г)и(х, *)(£г = в!(<), (И)

о

I

и{1,Ь)~ ! К2{х,Ь)и(х,Ь)с1х = (12)

о

Под классическим решением этой задачи будем понимать функцию и{х,{) 6 С(О) ПС2(П), удовлетворяющую в П уравнению (9) и условиям (10) - (12).

Условия типа (11) и (12) принято называть интегральными условиями второго рода.

Основным результатом этого параграфа является теорема:

Теорема 5. Если € С2(П), ¿¡¡(«) £ С2[0, Т] ,(г = 1,2), то

существует единственное решение задачи (9)—(12) в П при Т <1.

Для доказательства разрешимости задачи применён метод вспомогатааьных задач: к решению вспомогательной задачи применяются нелокальные условия, что приводит к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Из разрешимости этой системы следует разрешимость поставленной задачи в силу доказанной в работе эквивалентности.

Во втором параграфе рассмотрена нелокальная задача с интегральными условиями первого рода, то есть содержащими только интегральный оператор: I

I К{(х,г)и{х,№х = (г = 1,2). (13)

о

Под классическим решением задачи будем также понимать функцию и(х,г) £ С(П)пС2(П) , удовлетворяющую в Г2 уравнению (9) и условиям (10), (13).

Доказана теорема существования единственного решения задачи:

Теорема 6. Если К{{х,г) 6 С2(Л), ^(е) е С2[0,Г], (г = 1, 2), Т < I, К1(0,г)Щ1,г) - К1(Ц)К2{0,$ ф 0, то существует

единственное классическое решение задачи (9), (10), (13).

При доказательстве существования единственного решения нелокальной задачи с интегральными условиями первого рода, примененяя к решению вспомогательной задачи интегральные условия, получаем систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода, которую в данпном случае оказалось возможным свести к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Из разрешимости последней следует разрешимость поставленной задачи.

В третьем параграфе второй главы в прямоугольной области П = {(ж, 4) : 0 < ж < ¿, 0 < 4 < Г} исследуется задача для уравнения (9) с начальными данными Коши (10) и с интегральными условиями

о

и снимается ограничение на область. Доказано следующее утверждение:

Теорема 7. Если К{(х) € С2[0,1], 6 С2[0,Т], (г = 1,2), к[{х)к2{х) - Я5(®)ед > о, едяь(о) - к2{1)к1{о) ф о, то

существует единственное классическое решение задачи (9), (10), (14).

При доказательстве однозначной разрешимости задачи интегральные условия (14) сводятся к условиям другого вида. Решив вспомогательную задачу, в результате применения нелокальных условий получаем систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Из альтернативы Фредгольма следует, что решение системы интегральных уравнений существует, следовательно, существует и решение поставленной нелокальной задачи.

Существенным в постановке задачи четвёртого параграфа второй главы является задание интегрального условия только в части области.

Задача. Найти решение уравнения

в прямоугольной области Г2 = {(ж,£) : 0 < х < 1,0 < t < Т} с начальными условиями

Щь - Ъхх = /(я, ¿)

(15)

и(х,0) = ¡р(х), «¡(х,0) = ф(х),

(16)

граничным условием

Ч*(М) = 0 (17)

и интегральным условием

а

!и{х,г)йх = Е{г), 0<а<1, 0<t<T. (18)

о

Под классическим решением задачи (15)— (18) будем понимать функцию и(ж, Ь) Е С1(П)ПС2(П), удовлетворяющую уравнению (15) и условиям (16) — (18).

Основным результатом этого параграфа является теорема:

Теорема 8. Пусть:

/(х,г)еС\й), ф)еС%1], •ф(х)еС%1Ъ Е(1) е с2(о, г), <р'(о) = ^(0) = о, ¿(1) = Ф'С) = о.

Тогда существует единственное классическое решение задачи (15)-(18).

Доказательство теоремы проведено по следующей схеме:

1. Получено решение вспомогательной задачи с граничным условием Их (0,<) = до(<).

2. К полученному решению вспомогательной задачи применено интегральное условие, что привело к интегральному уравнению относительно функции до(4).

3. Доказана разрешимость интегрального уравнения, что означает существование единственной функции до(^), обеспечивающей выполнение интегрального условия.

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Пулькиной Людмиле Степановне за предложенную тему, помощь, ценные замечания и поддержку при вьшолнениии данной работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Кечина, О. М. Об одной нелокальной задаче для телеграфного уравнения./ О.М. Кечина//СамДиф-2007: конференция Дифференциальные уравнения и их приложения, г. Самара, 29 января - 2 февраля 2007 г. Тезисы докладов. - Самара: Издательство "Универс групп", 2007. - 156 с. С. 66 - 67.

2. Кечина, О. М. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями для телеграфного уравнения/ О.М. Кечина//Математическое моделирование и краевые задачи. Труды четвёртой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2007. - 202 е.: ил. С. 107

- 109.

3. Кечина, О.М. Задача с интегральными условиями для телеграфного уравнения/ О.М. Кечина//'Интегративный характер современного математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции (Самара, 24 - 27 сентября 2007 г.): в 2 частях: часть 1. - Самара: Самарский государственный педагогический университет, 2007.

- 170 с. С. 48 - 52.

4. Кечина, О.М. Об одной нелокальной задаче, для уравнения колебаний струны/ О.М. Кечина// Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 36/ Казанское математическое общество. Лобачевские чтения - 2007 // Материалы шестой молодёжной научной школы-конференции.

- Казань: Издательство Казанского математического общества, Издательство Казанского государственного университета, 2007.

- 266 с. С. 99 - 101.

5. Кечина, О. М. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями/ О.М. Кечина//Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2008. Материалы научной конференции, 14 -19 апреля 2008. - СПб., 2008. - 180 с. С. 59 - 62.

6. Кечина, О. М. О разрешимости одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения/ О.М. Кечина, Л.С. Пулькина//Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции (24 -28 июня 2008 г., г. Стерлитамак) - Уфа: Гилем, 2008. - Т. 1. -242 с. С. 120 - 122, 2008.

7. Кечина, О.М. Об одном нагруженном интегральном уравнении./ О.М. Кечина// Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 37 // Материалы шестой молодёжной научной школы-конференции. - Казань:

Издательство Казанского математического общества, Издательство Казанского государственного университета,

2008. - 202 с. С. 78 - 80.

8. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике/ Л.С. Пулькина, О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. - 2009. - № 2 (68). - С. 80 - 88.

9. Кечина, О. М. Смешанная задача с интегральными условиями для волнового уравнения/ О.М. Кечина//Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2009. Материалы научной конференции, 13 - 18 апреля 2009. - СПб.,

2009. - 204 с. С. 62 - 66.

10. Кечина, О. М. Об одной смешанной задаче с нелокальным условием, заданным в части области/ О.М. Кечина//СамДиф-2009: конференция Дифференциальные уравнения и их приложения, г. Самара, 29 июня - 2 июля 2009 г. Тезисы докладов. - Самара: Издательство "Универс групп", 2009. С. 33.

11. Кечина, О. М. Смешанная задача для уравнения колебаний струны с интегральным условием, заданным в части области/ О.М. Кечина//Интегративный характер современного математического образования: материалы Второй всероссийской научно-практической конференции (Самара, 26

- 28 октября 2009 г.) - Самара: ПГСГА, 2009. С. 27 - 32.

12. Кечина, О. М. Смешанная задача с интегральными условиями первого рода./ О.М. Кечина//Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 39 // Материалы Восьмой молодёжной научной школы-конференции "Лобачевские чтения -2009". - Казань: Казанское математическое общество, 2009. С. 263 - 265.

13. Кечина, О. М. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника/ О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. - 2009. - № 6 (72).

- С. 50 - 56.

Подписано в печать 29.01.2010 г. Формат 60x841/16. усл. печ. л. -1,0 Тираж 100 экз. Заказ №178

Отпечатано в ООО РПП "Мир печати" Адрес: г. Самара, ул. Уссурийская, 2, тел. (846)262-48-95

Введение.

Глава 1. Интегральный аналог задачи Гурса.

§ 1. Интегральная задача Гурса в характеристическом прямоугольнике.

1.1. Постановка задач. Теоремы существования и единственности решений.

1.2. Доказательство единственности решения вспомогательной задачи.

1.3. Доказательство существования решения вспомогательной задачи.

1.4. Вывод условий единственности решения.

§ 2. Интегральная задача Гурса с условиями, заданными в части области.

2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения.

2.2. Доказательство единственности решения задачи.

2.3. Доказательство существования решения задачи.

Глава 2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны с интегральными условиями.

§ 1. Смешанная задача с интегральными условиями второго рода

1.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода.

1.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода

§ 2. Смешанная задача с интегральными условиями первого рода

2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи.

2.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи.

§ 3. Смешанная задача в произвольной прямоугольной области с интегральными условиями первого рода.

3.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи.ТО

3.2. Доказательство единственности решения задачи.

3.3. Доказательство существования решения задачи.

§ 4. Смешанная задача с интегральным условием, заданным в части области.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при исследовании классических задач математической физики и к настоящему времени хорошо изучены. Однако современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач.

Нелокальными принято называть такие задачи, в которых задаются соотношения, связывающие значение искомого решения и, возможно, его производных, в граничных и внутренних точках области. По-видимому, термин "нелокальные условия" впервые введён A.A. Дезиным в работе [12].

В последние десятилетия нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных активно изучаются многими математиками. Исследование нелокальных задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических, биологических, экологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задаётся определённая связь значений искомой функции (или её производных) на границе области и внутри неё. Задачи такого типа могут возникнуть при изучении явлений, связанных с физикой плазмы [73], распространением тепла [1], [80], процессом влагопереноса в капиллярно-пористых средах [53], вопросами демографии и математической биологии [56], некоторыми технологическими процессами [51].

Задачи с нелокальными условиями возникают при математическом моделировании различных физических процессов в тех случаях, когда граница протекания реального процесса, недоступна для непосредственных измерений, но можно получить информацию о его протекании во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Изучая процессы охлаждения тел, В.А. Стеклов [79] построил математическую модель, которая представляет собой задачу интегрирования уравнения p{x)ut = ихх — д(х)и, а <х < Ь, 0 <t <Т при начальном условии и(х, 0) = т(х) и граничными условиями со смещением: oi\u{a, t) + а2их(а, t) + а^и(Ъ, t) + a^ux(b, t) = О, i) + ß2ux(a, t) + ¿) + /?4гг*(Ь, t) = 0. Частный случай этих условий

0, t) ~ u(l, ¿), ws(0, i) = ux(l, t) возникает при изучении колебаний кольца [81].

При исследовании задачи обтекания профиля крыла самолёта газом с местной сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, Ф.И. Франкль [84] поставил и исследовал задачу для уравнения Трикоми

УUхх ~f~ ^уу = одно из граничных условий которой является нелокальным:

0,у) - и(0,-у).

Приведённые примеры показывают, что нелокальные условия возникают при математическом моделировании реальных физических процессов. Это направление исследований заинтересовало многих известных математиков и стало интенсивно развиваться в их научных работах. Большую роль в изучении нелокальных задач сыграли работы В.И. Жегалова [16] — [18], A.B. Вицадзе и A.A. Самарского [4], A.M. Нахушева [55], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [20], [50], O.A. Репина [48],[72].

Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Нелокальные интегральные условия можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального сдвига.

Отправной точкой исследования задач с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных являются статьи Кэннона Д.Р. и Камынина Л.И., опубликованные в начале 60-х годов двадцатого века.

В 1963 году J.R. Cannon [93] для уравнения теплопроводности иу — uxx в прямоугольной области D — {(х, у) : 0 < х < 1, 0 < у < Т} исследовал задачу нахождения решения и(х, у), удовлетворяющего условиям т(ж),0 < я; < 1; u(l,y) = < у < Т и интегральному условию

Ни)

J u{x:y)dx = Е{у), о <у<Т, о где х(у), Е(у) € С^О, Т] — заданные функции.

В 1964 году Л.И. Камыниным [29] в области ST = { {x,t) : Xi(t) < х < X2(t), 0 < t < Г}, содержащей внутри себя кривую х = Хз(£), была рассмотрена краевая задача для линейного одномерного параболического уравнения второго порядка общего вида q2u Qh ди

Lu = а(х, t)— + b(x, t)— + c{x, t)u - — = f(x, t) с начальный! условием u(x, 0) = h(x), Xi(0) < x < X2(0), и нелокальными условиями t) д(х, t)u(x, t)dx = E(t), 0 < t < T, Xi (0 u(X'2{t),t)dx = (p(t), 0 <t<T.

В этой работе доказано существование единственного, непрерывного вплоть до границы решения краевой задачи с условиями указанного типа в предположении, что коэффициенты уравнения удовлетворяют условию Гёльдера с ненулевым показателем, а функция E(t) и кривые {х = X(t)), определяющие боковые границы области, где задано уравнение, и зоны, участвующей в условии, удовлетворяют лишь условию Гёльдера с показателем, большим |.

В дальнейшем задачи с интегральными условиями для параболических уравнений были исследованы в работах Н.И. Ионкина [23] — [25], JI.A. Муравья и А.В Филиновского [51], [52], А.И. Кожанова [44], JI.C. Пулькиной [66], A.B. Картынника [30], Н.И. Юрчука[1], [85], A. Bouziani [89], [90] и других авторов [74], [82].

Задачи с нелокальными интегральными условиями для уравнений эллиптического типа рассматривались A.JI. Скубачевским [75]-[77], А.К. Гущиным и В.П. Михайловым [10], [11], A.A. Амосовым [2].

В конце двадцатого века появились работы, посвященные разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений. Среди них можно выделить два класса задач: интегральный аналог задачи Гурса и смешанные задачи с интегральными условиями. При постановке интегральной задачи Гурса задаются значения интегралов от искомого решения вдоль характеристик уравнения.

Задачи в характеристическом прямоугольнике рассматривались в работах [57], [62]. Интегральные условия имели следующий вид: а Ь

J и{х, y)dx ~ ф{у), J и(х, y)dy = tp(x). о о

Исследования разрешимости такой задачи для уравнения

Lu == иху + (А(х, у)и)х + (В(я, у)и)у + С{х, у)и — f{x, у) привели к условиям единственности решения задачи [62]: Ау(х, у) > 0, Вх(х, у) > О, Сху(х, у) > О,

Ау{х,у)Вх(х,у) - С2(х, у) > О, последнее из которых является существенным ограничением на класс уравнений, для которых решение интегрального аналога задачи Гурса существует и единственно. Если А(х,у) — В(х,у) = 0, то видим, что теорема единственности не выполняется для телеграфного уравнения. Это подтверждается примером, приведённым в работе JI.C. Пулькиной [62], где изучена задача для гиперболического уравнения

Lu = wxy + (А(х, y)w)x + (В(х, y)w)y + С(х, y)w = F(x, у) в прямоугольнике D = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь} со следующими интегральными условиями: а Ь

J w(x,y)dx = ф{у), J w(x,y)dy — ip{x). о о

Доказаны теоремы существования и единственности обобщённого решения задачи из пространства Ь2.

В данной диссертационной работе вместо условий a b

J u(x, y)dx = ф(у), J и(х, y)dy = tp(x) рассмотрены условия: а j К(х, у)и(х, у)сЬ = ^(у), 0 < у < 6, о ь

J К(х, у)и(х. = ^(ж), О < X < а, о и показано, что выбором функций К(х,у) можно обеспечить однозначную разрешимость интегрального аналога задачи Гурса и для тех случаев, когда условие Ау(х,у)Вх(х,у) — С2(гс,т/) > 0 не выполняется.

Следующая проблема состоит в нахождении условий на входные данные в случае, когда нелокальные условия заданы только в части области, где ищется решение задачи. Задача с интегральными условиями, заданными в части области была рассмотрена З.А. Нахушевой в работе [57].

Для простейшего гиперболического уравнения

11>ху ~ О в прямоугольной области И — {(ж, у) : 0 < ж < а, 0 < у < Ь} была рассмотрена задача Гурса с интегральными условиями а р

J и(х, у) Ах = ф{у), 0 <у <Ь, J и(х, у)(1у = (р(х), 0 < х < а, о о где (р(х) и ф(у) — заданные непрерывные функции, а, (3 — заданные числа, причём 0<а<а,0</?<6и получена формула единственного решения.

Обоснование разрешимости задачи в [57] опирается на возможность найти общее решение уравнения.

В предлагаемой диссертационной работе рассматривается задача с неполными данными для уравнения

Ьи = иху + (Л(х, у)и)х + (В(х, у)и)у + С(х, у)и — /(ж, у), с произвольными гладкими коэффициентами.

Исследование смешанных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа проводится в работах А.И. Кожанова [46], Л.С. Пулькиной [63]—[65], [70], Д.Г. Гордезиани и

Г.А. Авалишвили [7], A. Bouziani [90], [91], С.А. Бейлина [3], [87], [88] и других авторов [26], [86].

В работе [7] рассматривается нелокальная задача для уравнения колебания струны с классическими начальными условиями и(х, 0) — <р(х), щ(х, 0) = ф{х), 0 < х < I, и интегральными нелокальными граничными условиями

Ш Tfe(i)

0, t) =

Ш m (t)

2W 42 w t(0,t)=p(t) J u(x,t)dx +f(t), u(l,t)=q(t) J u(x,t)dx + g(t), где < < 7/2(0 ~ подвижные точки струны

0, /], (р, -ф, р, д, /, д — данные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования, и(х, — искомая функция, дважды непрерывно дифференцируемая на [0, /] х [0, Т]. Доказана теорема существования единственного решения поставленной задачи. В этой же работе доказаны существование и единственность решения интегральной нелокальной задачи для телеграфного уравнения с однородными начальными условиями и нелокальными граничными условиями.

Отметим, что в работе [7] нелокальные условия являются условиями второго рода, и интегралы, присутствующие в нелокальных условиях, суть интегралы с переменными пределами, что при реализации метода вспомогательных задач приводит к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

В диссертационной работе рассматриваются условия, содержащие интегралы с постоянными пределами, что существенно влияет на выбор метода доказательства как единственности, так и существования решения. Также в работе рассматриваются задачи с интегральными условиями первого рода, и с условиями, заданными в части области.

Нелокальные задачи с интегральными условиями для вырождающихся гиперболических уравнений исследовались

Л.С. Пулькиной и её учениками [61], [5], [15]. В последнее время появились работы, в которых изучаются нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных с п пространственными переменными — статьи А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной [46], [67], С.А. Бейлина [88], В.Б. Дмитриева [14], Б. МеэЬиЬ и А. Вогшаш [95].

Исследования нелокальных задач показали их тесную связь с нагруженными уравнениями [53] - [55] и обратными задачами [27], [28], [58] - [60], [45], [19], [68].

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений более высоких порядков рассмотрены в работах [13], [31], [92], [94].

Актуальность темы данной диссертационной работы обусловлена как теоретической, так и практической значимостью рассматриваемых задач.

Представленная диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического тина и детализации метода вспомогательных задач в различных частных случаях.

Объектом исследования в данной работе являются нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений с условиями, содержащими интегральный оператор от искомого решения.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является постановка и исследование качественно новых нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольных областях, а также разработка эффективных методов доказательства разрешимости различных видов нелокальных краевых задач.

Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, аппарат интегральных уравнений, методы априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике;

2. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике в случае, когда интегральные условия заданы в части области;

3. предложен эффективный метод, с помощью которого доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т<1;

4. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода i

J Ki(x, t)u(x, t)dx = Si(t), (г = 1,2) о для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т < I;

5. разработан метод, применяя который удалось снять ограничения на область и доказать однозначную разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода I

J Ki{x)u(x, t)dx = Si(t), (г = 1,2) о для уравнения колебаний струны;

6. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с интегральным условием, заданным в части области.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными интегральными условиями.

Структура и объём диссертации- Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 95 наименований, включая работы автора. Объём диссертации составляет 101 страницу.

Заключение

В данной диссертационной работе исследованы нелокальные задачи с интегральными условиями для некоторых гиперболических уравнений в прямоугольных областях.

1. Доказана теорема существования и единственности классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике.

2. Доказана теорема существования и единственности классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения с интегральными условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника.

3. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными условиями второго рода.

4. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными условиями первого рода (2 случая).

5. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными ус л овиями, заданными в части области.

Автор выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Людмиле Степановне Пулъкиной за предложенную тему, помощь, ценные замечания и поддержку при выполнениии данной работы.

1. Алексеева, С. М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием/ С.М. Алексеева, Н.И. Юрчук // Дифференциальные уравнения.- 1998. Т. 34. - № 4. - С. 495 - 502.

2. Амосов, А. А. О положительном решении эллиптического уравнения с нелинейным интегральным краевым условием типа излучения/ A.A. Амосов// Математические заметки. 1977. - Т. 22. -№1. -С. 117-128.

3. Бейлин, С. А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения/ С.А. Бейлин//Неклассические уравнения математической физики. Сборник научных работ. Новосибирск. -2005. С. 37 - 43.

4. Бицадзе, А. В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач/ A.B. Бицадзе,

5. A.A. Самарский//Доклады Академии наук СССР. 1969. -Т. 185. - № 4. - С. 739 - 740.

6. Волынская, М. Г. Единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская / / Вестник Самарского государственного университета. 2008. - № 2 (61). - С. 43 - 51.

7. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики/

8. B.C. Владимиров //М.: Наука. 1976. - 528 с.

9. Гордезиани, Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний струны/ Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили / / Математическое моделирование. 2000.- Т. 12. № 1. - С. 94 - 103.

10. Гординг, JI. Задача Коши для гиперболических уравнений/ JI. Гординг//М.: Издательство иностранной литературы. 1961.- 122 с.

11. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И.С. Градштейн, И.М. Рыжик//М.: Физматгиз-1963. 1100 с.

12. Гущин, А. К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка/ А.К. Гущин, В.П. Михайлов //Математический сборник. -1994. Т. 185. - № 1.- С. 121 160.

13. Гущин, А.К. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения/ А.К. Гущин,

14. B.П. Михайлов //Математический сборник. 1995. - Т. 186. - № 2.- С. 37 58.

15. Дезин, А. А. Простейшие разрешимые расширения для псевдопараболических и ультрагиперболического операторов/ A.A. Дезин//Доклады Академии наук СССР. 1963. - Т. 148. -№ 5. - С. 1013 - 1016.

16. Доюураев, Т.Д. Нелокальная задача с интегральными условиями для уравнения в частных производных третьего порядка/ Т.Д. Джураев, О.С. Зикиров// Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения 2007". - С. 132 - 133.

17. Дмитриев, В. В. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения/ В.Б. Дмитриев//Вестник Самарского государственного университета. 2006. - № 2 (42).1. C. 15 27.

18. Евдокимова, H. Н. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения/ H.H. Евдокимова, J1.C. Пулькина//Вестник Самарского государственного университета. 1999. - № 2 (12). - С. 67 - 70.

19. Жег алое, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии/В.И. Жегалов//Учёные записки Казанского государственного университета. 1962. - Т. 122, № 3. С. 3 - 16.

20. Жегалов, В. И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов//Известия высших учебных заведений. 1979. -№ 9. С. 11 - 20.

21. Жегалов, В. И. Задача Гурса со смещением / В.И. Жегалов // Тр. сем. по краев, задачам. 1985. - № 22. С. 79 - 87.

22. Иванчов, Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоёмкости/ Н.И. Иванчов //Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35. -№3. -С. 612-621.

23. Ильин, В. А. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках/ В.А. Ильин, Е.И. Моисеев//Математическое моделирование. 1990. - Т. 2. - № 8. - С. 139 - 156.

24. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны/ В.А. Ильин, Е.И. Моисеев / / Доклады Российской Академии Наук. 2000. - Т. 400. - № 1. - С. 16 - 20.

25. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса/ В.А. Ильин, В.В. Тихомиров //Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35. - № 5. - С. 692 - 704.

26. Ионкин, Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/ Н.И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

27. Ионкин, Н. И. Об устойчивости одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/ Н.И. Ионкин //Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. -№ 4. - С. 1279 - 1284.

28. Ионкин, Н. И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями/ Н.И. Ионкин, В.А. Морозова//Дифференциальные уравнения. 2000. -Т. 36. - № 7. - С. 884 - 888.

29. Кальменов, Т. Ш. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения/ Т.Ш. Кальменов, М.А. Садыбеков // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. - № 1. - С. 60-65.

30. Камынин, В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения/ B.JI. Камынин//Математические заметки. -2005. Т. 77. - № 4. - С. 522 - 534.

31. Камынин, В. Л. Об одной обратной задаче для параболического уравнения высокого порядка/ В.Л. Камынин, Э. Франчини // Математические заметки. 1998. - Т. 64. - № 5. -С. 680 - 691.

32. Камынин, Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями/ Л.Й. Камынин, //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. - Т. 4. - № 6. - С. 1006 - 1024.

33. Картпынник, А. В. Трёхточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка/ A.B. Картынник // Дифференциальные уравнения. 1990. -Т. 26. - Ш 9. - С. 1568 - 1575.

34. Керефов, А. А. Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка/ A.A. Керефов, Е.В. Плотникова // Владикавказский математический журнал. -2005. Т. 7. - № 1. - С. 51 - 60.

35. Кечина, О. М. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника/ О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. — 2009. — № 6 (72). С. 50 -56.

36. Кожанов, А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений/ А.И. Кожанов//Вестник Самарского государственного технического университета. 2004. - № 30. - С. 63 - 69.

37. Кооюанов, А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности./ А.И. Кожанов//Сибирский математический журнал. 2005. - Т. 46. - № 5. - С. 1053 - 1071.

38. Кооюанов, А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений/ А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42.- № 9. С. 1166 - 1179.

39. Котляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики/ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов //М.: Физматгиз 1962. - 767 с.

40. Лернер, М. Е. Существенно нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными/ М.Е. Лернер, O.A. Ренин // Математические заметки. 2000. - Т. 67. - № 3.- С. 478 480.

41. Михлин, С. Г, Лекции по линейным интегральным уравнениям / С.Г. Михлин //М. Физматгиз. - 1959. - 232 с.

42. Моисеев, Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35. - № 8. - С. 1094 - 1100.

43. Муравей, Л. А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения/ Л. А. Муравей, A.B. Филиновский // Математические заметки. 1993. - Т. 54. - № 4. - С. 98 - 116.

44. Муравей, Л. А. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения/ Л. А. Муравей, A.B. Филиновский//Математический сборник. 1991. - Т. 182.- № 10. С. 1479 - 1512.

45. Нахушев, А. М. Краевые задачи для нагруженных иптегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги/ A.M. Нахушев//Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. - № 1. - С. 96 - 105.

46. Нахушев, А. М. Нагруженные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19.- № 1. С. 86 - 94.

47. Нахушев, А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями/ A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. 21. - № 1. - С. 92 - 101.

48. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев //М.: Высшая школа 1995. - 301 с.

49. Нахушева, 3. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных/ З.А. Нахушева//Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22. - № 1. - С. 171 - 174.

50. Прилепко, А. И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением/ А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Математический сборник. 1992. - Т. 183. - № 4. - С. 49 - 68.

51. Прилепко, А. И. Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением/ А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. - Т. 43. - № 9. - С. 1392 - 1401.

52. Пулькина, Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, //Математические заметки. 1992. - Т. 51. - № 3. - С. 91 - 96.

53. Пулькина, Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36 - № 2 (8). - С. 279 - 280.

54. Пулькина, Л. С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, //Неклассические задачи математической физики. 2002. - С. 176 - 184.

55. Пулькина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, // Математические заметки. 2003. - Т. 74. - № 3. - С. 435 - 445.

56. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40. - № 7. - С. 887 -892.

57. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности/ JI.C. Пулькина, //Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск - 2005. - С. 231 - 239.

58. Пулькина, Л. С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения/ JT.C. Пулькина, // Современная математика и её приложения. Институт кибернетики АН Грузии- 2005. Т. 33. С. 88 - 96.

59. Пулькина, Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами/ JI.C. Пулькина // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 3-й Всероссийской научной конференции. Ч.З Самара: СамГТУ. - 2006. - С. 190- 192.

60. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости/ JI.C. Пулькина, / / Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск - 2007. - С. 232 - 236.

61. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике/ JI.C. Пулькина, О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. 2009. - № 2 (68). - С. 80 - 88.

62. Репин, O.A. Краевая задача для уравнения влагопереноса/ O.A. Репин, // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. -№ 1. - С. 169 - 171.

63. Самарский, А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений/ A.A. Самарский//Дифференциальные уравнения. 1980. -Т. 16. - № 11. - С. 1221 - 1228.

64. Сапаговас, М. П. О некоторых краевых задачах с нелокальным условием/ М.П. Сапаговас, Р.Ю. Чегис // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 7. - С. 1268 - 1274.

65. Скубачевский, А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач/ А.Л. Скубачевский // Математический сборник. 1982. ~ Т. 117(159). ~№4,-С. 548 - 558.

66. Скубачевский, А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром/ А.Л. Скубачевский//Математический сборник. -1983. Т. 121(163). - № 2(6). - С. 201 - 210.

67. Скубачевский, А. Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями Бицадзе-Самарского/

68. A.Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. 1985.- Т. 21. № 4. - С. 701 - 706.

69. Соболев, С. Л. Уравнения математической физики/ С.Л. Соболев//М.: Наука 1966. - 444 с.

70. Стеклов, В. А. Основные задачи математической физики/

71. B.А. Стеклов.- М. Наука, 1983. 432 с.

72. Тихонов, В. И. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений/ В.И. Тихонов//Известия РАН. Серия математическая- 2003. Т. 67. - № 2. - С. 133 - 166.

73. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский //М.: Наука 1972. - 736 с.

74. Фардигола, Л. В. Интегральная краевая задача в слое/ Л.В. Фардигола //Математические заметки. 1993. - Т. 53. -№ 6. - С. 122 - 129.

75. Фихтенголъц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т./ Г.М. Фихтенгольц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966.

76. Франклъ, Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения./ Ф.И. Франкль // ПММ. 1956. - Т. 20. -№ 2. - С. 196 - 202. - М.: Наука, 1973.

77. Юрчук, Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений/ Н.И. Юрчук//Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22. - № 12. - С. 2117 - 2126.

78. Al-kadhi, М. A. A class of hyperbolic equations with nonlocal conditions/ M.A. Al-kadhi //Int. Journal of Math. Analysis. 2008 - Vol. 2 - № 10. - pp. 491 - 498.

79. Beilin, S. A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions/ S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations 2001(2001).- № 76. - pp. 1 - 8.

80. Beilin, S. A. On a mixed nonlocal problem for a wave equations/ S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations -2006(2006).- № 103. pp. 1 - 10.

81. Bouziani, A. On the solvability of nonlocal pluriparabolic problems./ A. Bouziani//Electronic Journal of Differential Equations -2001(2001).- № 21. pp. 1 - 16.

82. Bouziani, A. On the solvability of a nonlocal problem arising in dynamics of moisture t ransfer/ A. Bouziani // Georgian Mathematical Journal 2003.- № 4. - pp. 607 - 622.

83. Bouziani, A. Probleme mixte avec conditions integrates pour une classe d' equations hyperboliques/ A. Bouziani, N. Benouar//Bull. Belg. Math. Soc. 1996.- № 3. - pp. 137 - 145.

84. Bouzit, A. A Class of Third Order Parabolic Equations with Integral Conditions/ A. Bouzit, N. Teyar//Int. Journal of Math. Analysis -2009.- Vol. 3 № 18. - pp. 871 - 877.

85. Cannon, J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy/ J.R Cannon // Quart. Appl. Math. 1963 - Vol. 21 - № 2. - pp. 155 - 160.

86. Denche, M. High-order mixed-type differential equations with weighted integral boundary conditions./ M. Denche, A. Marhoune // Electronic Journal of Differential Equations -2000(2000).- № 60. pp. 1 - 10.

87. Mesloub, S. Mixed problem with integral conditions for a certain class of hyperbolic equations/ S. Mesloub, A. Bouziani // Journal of Applied Mathematics 2001- № 1:3.