Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

од

2 о М ®

На правах рукописи

Голубева Наталья Дмитриевна.

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учений степени кандидата физико-математических наук

Самара. - 1995

Работа выполнена в Самарском государственном университете Научный руководитель — кандидат физико-математических

К 113.17.02 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Самарском государственном педагогическом университете имени В.В.Куйбышева по адресу 443090, г.Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

наук, доцент Л.С.Пунькина

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор Н.В.Кислов

— кандидат физико-математических наук, доцент В.Н.Захаров

Ведущая организации — Саратовский государственный

университет

Автореферат разослан

.1995 г.

7

Учекый секретарь диссертационного совета К 113.17.02 х. ф.-м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основные понятия современной теории дифференциальных уравнений сформировались при решении классических задач математической физики. Исследование простейших задач гидродинамики, теплопроводности, акустики, электродинамики привело к возникновению, например, таких понятий, как задача Коши, краевая задача, обобщенное решение.

Но современные задачи естествознания приводят к необходимости дальнейшего исследования даже тех разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных, которые приобрели внешне математически законченный вид. Возникают качественно новые задачи, отличающиеся своей постановкой от классических. Исследование этих задач определяет дальнейшие успехи теории дифференциальных уравнений в частных производных.

За последние два десятилетия появился ряд работ, посвященных исследованию новых задач. Среди них большой интерес вызвали задачи, названные нелокальными.

Первые результаты по постановкам и исследованию нелокальных задач, по-видимому, были получены А.М.Нахушевыми В.И.Жегаловым 2\ Они рассмотрели некоторый класс нелокальных задач - задачи со смещением. Примерно в го же время появилась важная

1)

Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. - 1969. Т. 5. № 1. С. 44-53.

з)

Жегалов В.И. Краевая задача для ураанения смешанного типа с граничньши условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки К ал ».некого университета.. -1962. Т. 122. № 3. С. 3-16.

н

работа А.В.Бицадзе и А.А.Самарскогогде впервые была исследована задача "со смещением внутрь области".

В работе А.М.Нахушева4) была дана классификация задач со смещением, а также - определение локально! и нелокальной задач и условий смещения.

Исследования в современных проблемах физики привели к постановке ряда новых задач для уравнений в частных производных, которые отличаются от классических задач тем, что вместо краевых условий задаются условия во внутренних точках области. Среди них особый интерес вызывают задачи с интегральными условиями. На важность исследования этих задач обратил внимание А.А.Самарский. В его работе были приведены примеры математических постановок нелокальных задач с интегральными условиями, возникающих при изучении физики плазмы.

Дальнейшее развитие исследование нелокальных задач с интегральными условиями получило в работах Л.С.Пулькиной, А.А.Прося-ного, З.А.Нахушевой, В.С.Жесткова и других авторов.

з)

Вицадэе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. — 1969. Т. 18Б. № 4. С. 739-740.

Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными ¡/равнениями // Дифференциальные уравнения. - 198Б. Т. 21. № 1. С. 92-101.

Самарский A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. - 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

¿г

В связи с нестандартным видом краевых условий: для таких задач нетривиальными становятся вопросы существования и единственности решения. Настоящая работа посвящена исследованию двух нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа.

Цель работы. Целью работы является доказательство теорем существования и единственности классического решения двух нелокальных задач с интегральными условиями. Первая задача ставится для общего гиперболического уравнения. Вторая задача ставится для модельного вырождающегося гиперболического уравнения.

Методы исследования. Для доказательства основных теорем об однозначной разрешимости поставленных задач используется сочетание двух классических подходов: метода априорных оценок ж метода сведения к интегральному уравнению. Для каждой из рассматриваемых зада? при некоторых предположениях прежде всего находятся априорные оценки решения, с помощью которых доказывается теорема о единственности решения. Далее каждая из задач сводится к системе интегральных уравнений, показывается их эквивалентность, а также фредгольыо-вость. Таким образом из доказанной единственности решения следует существование решения.

Методы использования априорных оценок и альтернативы Фред-гояьма являются классическими для доказательства однозначной разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных. Но для исследования задач с нелокальными условиями эти методы, по-видимому, применяются впервые. Преимущество этого подхода по сравнению с подходом, использующим принцип сжатия, заключается в том, что он позволяет полутать результаты более общего характера-

Отметим, что в диссертационной работе использовались также методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, аппарат

специальных функций, а также методы функционального анализа, которые применялись для доказательства компактности некоторых интегральных операторов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые, результаты.

Для общего гиперболического уравнения с гладкими коэффициентами при некоторых предположениях доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями в прямоугольной области.

Для одного вырождающегося гиперболического уравнения при дополнительных условиях доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями в некоторой области, ограниченной характеристиками уравнения.

Практическая и теоретическая значимость. Все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач с интегральными условиями как для уравнений гиперболического типа в других областях, так и для уравнений смешанного, параболического и эллиптического типов.

Отметим, что с физической точки зрения важность рассмотрения нелокальных задач с интегральными условиями объясняется тем, что на практике, как правило, измеряются некоторые усредненные (интегральные) характеристики величин.

На защиту выносятся:

1. Постановка, доказательство существования к единственности решения нелокальной задачи с интегральными условиями для общего гиперболического уравнения с гладкими коэффициентами в некоторой прямоугольной области.

¥

2. Постановка, доказательство существования и единственности: решения нелокальной задачи с интегральными условиями для модельного вырождающегося гиперболического уравнения в некоторой области, ограниченной характеристиками уравнения.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались ж обсуждались:

- на III-V научно-методических конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в 1993-1995 годах, г.Самара;

- на Международной студеяческо-асяирантской конференции по фундаментальным наукам "Воробьевы горы-94" в 1994 году, г.Москва;

- на XVII конференции молодых ученых мехаяико-ы а/тематического факультета МГУ (семинар имени Петровского кафедры дифференциальных уравнений МГУ) в 1995 году, г.Москва;

- на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" в 1995 году, г.Воронеж;

- на Ш Международной конференции женщин-математиков в 1995 году, г.Воронеж;

- на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" в 1995 году, г.Самара;

- на Ш Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике в 1995 году, Германия, г.Гамбург;

- на совместном семинаре кафедр "Дифференциальные уравнения и автоматическое управление" и "Математическая физика" Самарского государственного университета в 1995 году, г.Самара;

- на областном семинаре "Дифференциальные уравнения" при Самарском государственном педагогическом университете (рук. доктор физ.-мат. наук, профессор Волкодавов В.Ф.) в 1995 году, г.Самара;

- на совместной семинаре кафедр "Дифференциальные уравнения-", "Математическая физика" а "Теория функций" Саратовского государственного университета (рук. доктор физ.-мат. наук, профессор Хромов А.П.) в 1995 году, г.Саратов.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 92 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и библиографического списка из 90 наименований.

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации. Показана актуальность темы исследования. Дано краткое изложение содержания работы с объяснением того, что нового сделано в диссертационной работе по сравнению с работами других авторов.

Первая глава диссертации посвящена изучению нелокальной задачи с интегральными условиями для общего гиперболического уравнения с гладкими коэффициентами.

В первом параграфе первой главы приводится постановка задачи в следующей формулировке.

Задача. Найти классическое решение и(г, у) уравнения гиперболического типа

Ьи = + А(х, у)ие + В(ху у)щ + С(ху у)и = Р(х} у), (1)

Содержание работы

удовлетворяющее усдовххи

г*

/ y)dy = (p{x), 0 < x < a (3)

Jo

Уравнение (1) рассматривается в прямоугольнике D — у) :

0<ж<а,0<у<6}. Предполагается;, что коэффициенты А(х, у), В(х, у), С(х, у), ^(г, у) лежат в классе С1^). Функции ф (у) являются заданными непрерывно дифференцируемыми функциями на отрезках [0, а], [0,6] соответственно. Параметры а и удовлетворяют неравенствам 0<Cf<a,0</?<6.

Необходимым условием разрешимости задачи (1)-(3) является следующее условие согласования

лс* л/3

/ ip{x)dx^ / (4)

7о «/о

Особенностью интегральных условий (2)-(3) является то, что они задается на некоторой внутренней части области D, точнее, на некоторой внутренней части области D вдоль отрезков прямых, параллельных характеристикам области D задаются интегральные средние значения неизвестной функции «(г, у).

Явное решение поставленной задачи удается найти только в некоторых частных случаях, например, тогда, когда может быть найдено общее решение уравнения (1). Один из этих случаев, когда А(х> у) — В(х, у) ~ 0(zty) = jF(x, у) — 0, был рассмотрен в работе 3.А.Нахушевой в). Два другие случая были рассмотрены во втором п&-ратраке первой главы.

в)

Нахушева. З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных Ц Дифференциальные уравнения. - 1986. Т. 22.

Ne 1. С. 171-174.

ю

Третий: и четвертый параграфы первой главы посвящены доказал тельству следующей основной теоремы об однозначной разрешимости задачи (1)-(3).

ТЕОРЕМА. Пусть коэффициенты уравнения (1.1) непрерывно диффереицируемы в области X? и удовлетворяют условиям,

Ау (х, у) > О, Ы (х, у) > О, тГ (А(ху 0 - 6)) > 0, ш£ Ша - 8, у)) > О,

в 6 [о, в] у€[0,/3]

вир \Ая(х, у) + Ву{х> у) - С(х, у)| < (5)

0 аЬ

а функции <р(х) и ф(у) из интегральных соотношений (2), (3) непрерывно дифференцируемы яа отрезках [0, а] и [0, 6] соответственно. Тогда, если имеет место соотношение

*>(о) = с«)

а

то решение задачи (1 )~(3) в области Б существует и единственно.

В третьем параграфе первой главы докалывается теорема о единственности решения задачи (1)-(3). В основе доказательства лежит классический метод априорных оценок. Сначала с помощью некоторых преобразований уравнения (1) находится оценка интегрального среднего от квадрата неизвестной функции «(г, у) через некоторые нормы функции <р(х) и ф(у), а, потом отсюда выводится, что если <р(х) = ф(у) = Р(х,у) — 0, то к «(¡с, у) = 0. Отметим только, что при получении априорной оценки приходится область О разбивать на четыре части к получать априорную оценку в каждой из этих частей.

В четвертом параграфе первой главы доказывается теорема о существовании решения задачи (1)-(3). При этом используется следующая схема рассуждений.

Прежде всего рассматривается вспомогательная задача Гурса для уравнения (1) в области D с начальными условиями

м(0, у) = ipi(y), и{г, 0) = <р2(г)> (7)

где <£Ч(0) = ^2(0). Решение задачи (1),(7) существует, единственно и имеет вид

J о

[у ,

+ / [<Рг(г)) + A{0,v)<fii{r}M^m^y)df)+ Jo

+ [ Г v{Z, щ a, y)F{£> rftdqdt + «(0, ОНО, 0; у), (8) J о J о

где Г7; X, у) - функция Римана задачи Копти для уравнения (1).

Показывается, что функция где (ж, у) £ [0, о] X [0, Ь]

является решением задачи (1),(7) тогда и только тогда, когда эта функция будет решением задачи (1)—(3) в том случае, если некоторые функции ^i(y) и Ф"г(г)> введенные с помощью формул

= ¥>i(®) + #(*> 0)¥>2(г), (9)

будут решениями системы интегральных уравнений Фредгопьма

*г(») + Г *iWn(4> V)di}+ Г Ы№и«>у№ = My) Jo J о

3о

г§

+ 91(ч)К21(Ч,*№ = М*), (10)

Уо

для некоторых ядер К^ и правых частей /¿, = 1, 2.

Таким образом каждому решению системы (10) соответствует решение задачи (1)-(3), которое может быть выражено по формуле (8) с помощью функций <Р\(у), <Рг(х) и наоборот. Функции 1р\ (у), <р2(х) могут быть однозначно найдены из соотношений (9) при дополнительных условиях (6).

Поэтому задачи (1)-(3) и (10) эквивалентны. Иэ эквивалентности этих задач следует, что решение системы (10) единственно. Используя теорию Фредгольма получаем, что решением системы (10) существует. Но тогда будет существовать и решение задачи (1)-(3).

Во второй главе диссертации рассматривается нелокальная задача с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения.

В первом параграфе второй главы приводится следующая постановка этой задачи.

Задача. Найти функцию 1]) в С{Н) П С2(Н+ и Н~), удовлетворяющую в областях

х Н уравнению Эйлер а^Да.рбу

и удовлетворяющую условиям.

Г = <р(0, Г С«(4, п№ = Ш («)

¿0 ./О

где ф{л) ~ заданные функции. На линии вырождения J должно

выполняться условие

lim и(4, Т)) = lim «(£, г]), (ч-О-о+о vs> <ч-0-о-о

г JKJ'-O^K-«*)25, lim ^-^(tti-«,). (13) (ч-f)—о+о (7-f)-'0-0

Здесь H+ = 0 < ^ < 1 < 1} в Н~ = »7) : 0 < г/ <

£ < 1}. Линия вырождения является прямой J = {(£, ff) 0 < 4 = 77 < 1} и область Н = Н+ U Н~ U «7.

Отметим, что уравнение (11) является канонической формой модельного вырождающегося уравнения

y2muxz - иуу = 0, m > О

Смысл условий (12) заключается в том, что задаются средние значения с некоторым весом решения уравнения (11) вдоль обеих семейств характеристик, проходящих через область Н.

Отметим, что при а = О такая задача рассматривалась ранее а работе Л.С.Пулькиной7).

Во втором и третьем параграфах второй главы доказывается следующая основная теорема о существовании и единственности решения задачи (11)-(13)-

Теорема. Пусть функции <р(£), Ф(ч) € С1 [0,1] к а > тах{—— 1 + 3^0}. Тогда решение задачи (11)-(13) существует х единственно.

Пулькина Л.С. Об одной неклассической задаче длл вырождающегося гиперболического уравнения // Известия высших учебных заведений. Математика.. - 1991. № 11. С. 48-51.

й

Во втором параграфе второй главы приводится доказательство единственности решения задачи (11)-(13). В основе доказательства лежит метод априорных оценок.

В третьем параграфе второй главы приводится доказательство существования решения задачи (11)—(13). Для этого рассматриваются две вспомогательные задачи Кошн для уравнения (11) в областях и Н~ с некоторыми начальными условиями на линии вырождения J. С помощью этих вспомогательных задач показывается, что задача (11)-(13) эквивалентна задаче решения интегрального уравнения третьего рода

т(аг) + Л Г T(t)t2f,~l (х-t)-WA(x,i)dt = g(x)1 (14)

Jo

где Л - некоторая постоянная, д{х) - некоторая функция, т(х) — т(х)ха-^1 И

A(x,i) = [\х- tf{ 1 - z)-^{t + z(x - t))-P x

J 0

xí( 1 + в-АА1 + в + Агт-£-^)*1

а через F обозначается гипергеометрическая функция.

Показывается, что уравнение (14) является фредгольмовым. Так как задачи (11)—(13) и (14) эквивалентны, то из единственности решения задачи (11)—(13) следует, что решение уравнения (14) также единственно. Из альтернативы Фредгольма отсюда будет следовать, что решение уравнения (14) существует. Но тогда будет существовать и решение задачи (11)-(13).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Л.С.Пульккной за внимание, помощь и постоянную поддержку.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах.

Литература

1. Голубева Н.Д. О разрешимости одной неклассической задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов П1 Международной конференции женщин-математиков. 29 мая - 2 июня. - Воронеж, 1995. С. 15.

2. Голубева Н.Д. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // Тезисы докладов IV научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 25-27 мая. - Самара: Самарский государственный технический университет, 1994. С. 15-16.

3. Голубева Н.Д. Задача с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов V научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 24-25 мая. - Самара; Самарский государственный технический университет, 1995. С. 67.

4. Голубева Н.Д. Задача е нелокальными интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения //Ден, ВИНИТИ от 18.09.95. -. № 2579-В95. 42 с.

5. Голубева Н.Д., Пулысина Л.С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики ж механики". 25 января - 1 февраля. - Воронеж, 1995. С. 76.

6. Голубева Н.Д. Задача с нелокальными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов Международного семинара "Дифференциальные уравнении и юс приложения". 27-30 июня. - Самара, 1995. С. 43.

7. ГолубеваН.Д. О разрешимости одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения j f Тезисы докладов IV Международной конференции имени академика Кравчука- - Киев, 1995. С. 75.

8. Голубева Н.Д., Пулькина Л.С. Задача с нелокальными условиями для гиперболического уравнения // Дед. ВИНИТИ от 20.01.95. -. № 187-В95. 14 с.

9. Golubeva N.D., Pnlkina L.S. On the Nonlocal Problem with Integral Condition for the Hyperbolic Equation // Book of Abstracts. The HI International Congress on Industrial and Applied Mathematics. 3-7 July. - Hamburg, 1995. P. 290.

Подписано в печать 27.10.8S. Формат 60 X 84 1/16. Бумага писчая белая. Объем 1.0. Тираде 100экз. Изд-во "Самарский университет" 448011, Самара, ул. Акад. Павлова, 1.