Нелокальные и обратные задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЮЛДАШЕВА (ЮНУСОВА) Гузель Рамилевна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико - математических наук

2 £ МАР 2013

Белгород - 2013

005051030

Работа выполнена на кафедре высшей математики ФГБОУ ВПО «Самарск государственный архитектурно-строительный университет» и в отделе физ математических и технических наук ГАНУ «Институт прикладных исследо ний Академии наук Республики Башкортостан»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, чл.-корр. АН РБ, зав. лаборатор прикладной математики и информатики ГА «Институт прикладных исследований АН Р Сабитов Камиль Басирович

Официальные оппоненты: Кожанов Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ФГБУН «Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН»

Пулькина Людмила Степановна

доктор физико-математических наук, профессор кафедры уравнений математичес физики ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский)

Федеральный университет»

Защита состоится 5 марта 2013 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссерт; онного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственн национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г.Белгор ул.Студенческая, 14, корп.1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ В «Белгородский государственный национальный исследовательский универ тет».

Автореферат разослан «3/» января 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08, кандидат физико-математических наук

Гриценко С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных являются краевые задачи для уравнений смешанного типа, которые имеют не только теоретическое значение, но и находят свое практическое применение в газовой динамике (теория околозвуковых течений), в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука и других областях.

Особое место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи. Это объясняется тем, что в последние годы проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования новых задач, например, математическими моделями различных физических, химических, биологических и других процессов являются задачи, в которых задается определенная связь значений искомой функции или её производных на границе области со значениями внутри этой области.

Для различных классов дифференциальных уравнений нелокальные задачи изучались Ф.И. Франклем, В.И. Жегаловым, J.R. Cannon, A.B. Бицадзе, A.A. Самарским, В.А. Ильиным, A.M. Нахушевым, А.П. Солдатовым, Н.И. Ионки-ным, Е.И. Моисеевым, A.J1. Скубачевским, А.Г. Кузьминым, М.Е. Лерпером, O.A. Репиным, Л.С. Пулькиной, А.И. Кожановым, К.Б. Сабитовым и другими авторами.

Степень разработанности проблемы.

В 40-х годах XX века Ф.И. Франклем были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газовой динамике. Например, Ф.И. Франкль для уравпения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = 0,

где /Г(0) = 0, К'(у) > 0, впервые поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия («скачка уплотнения») «(0, у) — и(0, — у) — f{y)! 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции их(0,у).

В.И. Жегаловым впервые для уравнения Лаврентьева—Бицадзе изучен аналог задачи Трикоми с нелокальным условием, связывающим значение искомого решения на обеих характеристиках (задача со смещением).

A.B. Бицадзе и A.A. Самарским для уравнения Лапласа были предложены задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения во внутренних точках области со значениями на границе.

A.M. Нахушев исследовал задачи со смещением для гиперболических и уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа.

Л.С. Пулькиной изучались краевые задачи для гиперболических уравнений с нелокальным интегральным условием.

В работал М.Е. Лернера и О.А. Репина для эллиптического уравнения

Утихх + ип — 0, т > -1,

в полуполосе G = {(z, j/)|0 < х < 1, у > 0} была изучена задача с одним нелокальным условием м(0, у) — гг(1, у) = <¿>i(y), у > 0 и локальными граничными данными: их(0,у) = <й(у), У > 0 и и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1, и{х, у) 0 при у —>• +оо равномерно по г€ [0,1].

Е.И. Моисеев исследовал нелокальную краевую задачу в полуполосе G для эллиптического уравнения:

Ушихх + иуу = 0, тп> -2,

Ui(0,у) — 0, у > 0, и(х,0) = fix), 0 < а; < 1, в классе функций и 6 C(G) П C2(G), в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана единственность и существование решения поставленной задачи.

К.Б. Сабитов исследовал задачу Дирихле для уравнения

sign t ■ |í|mul;¡; + щг- b2sign t ■ |í|mu = 0, (1)

где тп = const > 0, 6 = const > 0, в прямоугольнике D = {(ж,í)|0 < х < 1, —се < t < Р}, а, /3 > 0 - заданные числа, с условиями

и е C(D) П C\D) П C2(D_ U D+); Lu{x, t) = 0, (ж, f)eB.U D+;

u(0, í) = u(l, t) — 0, —a < í < /3;

u(x,fi) = f(x), u(x, -a) = g(x), 0 < x < 1,

здесь / и g - заданные достаточно гладкие функции, D+ — D(~){t > 0}, D- = D П {t < 0}. Установлен критерий единственности. Существование решения задачи Дирихле доказано на основе спектрального метода решения краевых задач.

К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко для уравнения (1) в прямоугольной области D = {(я,í)|0 < х < 1, — а < t < /3} также установлен критерий единственности и найдены достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи с условиями периодичности u(0, t) = и(1, t), ux(0,t) = ux(l,t), -а < t < Р, и локальными граничными условиями и(х,/3) — ¡р(х), и(х, —а) = ф(х), 0<х<1.

Сабитовой Ю.К. для уравнения (1) в прямоугольнике D рассмотрены задачи с нелокальными условиями: u(0,t) — u(l,t) или ux(0,t) — ux(l,t), —а < t < /3, в сочетании с другими локальными граничными данными. Спектральным методом доказаны единственность и существование решения задачи.

К числу первых исследований задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, можно отнести работу И.М. Гельфанда, где он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии.

Затем Г.М. Стручина, Я.С. Уфлянд, J1.A. Золина показали другие применения этих задач.

O.A. Ладыженская и JI. Ступялис в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гиперболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

Т.Д. Джураев исследовал краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в области, у которой гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник.

В работе Н.И. Ионкина в области Dt = {(я, t) | 0 < х < 1, 0 < t < Т} изучена нелокальная задача для уравнения теплопроводности ut — ихх = f(x, t) с условиями:

м(0, t) — 0, [ u(x,t)dx = 0, 0 < t < Т, и{х,0) = <р(х), 0 < х < 1. Jо

Доказаны теоремы существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции <р(х), задающей начальное условие, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора.

К.Б. Сабитовым для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

_ Г щ — Щх = 0, t > 0, \ иы - ихх - О, t < 0,

в области D = {(х,i)|0 < х < 1,—а < t < ß}, где a,ß > 0 - заданные действительные числа, изучена задача с граничными условиями

«(0, t) = u(l, t) = 0, -a<t< ß, u(x, -а) - u{x, ß) = <p(x), 0 < x < 1.

Установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье. Установлена устойчивость решения по нелокальному условию

^(аО-

Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных прямых и обратных краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллигггиксьгиперболического типов.

Обратные задачи возникают во многих областях науки: электродинамике, акустике, квантовой теории рассеяния, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания.

Для различных типов дифференциальных уравнений обратные задачи изучались в работах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Танана, A.B. Ваева, А.И. Прилепко, A.M. Денисова, А.И. Кожанова и других.

А.Н. Зарубин, М.В. Бурцев исследовали обратные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным.

В работах К.Б. Сабитова, Э.М. Сафина впервые изучены краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью в прямоугольной области D с граничными условиями первого - третьего родов. Установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

К.Б. Сабитовым, Н.В. Мартемьяновой исследованы обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области D — {(¡с, у)|0 < х < 1, -а < у < /?} с нелокальным условием: "(О, у) = и(1,у) или их(0,у) = их(1,у), -а < у < /?, в сочетании с другими локальными граничными данными. Решение построено в виде суммы биор-тогоналыюго ряда по системам корневых функций соответствующих взаимно сопряженных задач на собственные значения.

В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются нелокальные прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо- и эллиптико-гиперболического типов. Принципиальным отличием от предыдущих работ является то, что для данных классов уравнений задаются нелокальные условия, которые связывают значения искомого решения и его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Решения задач строятся в виде сумм рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. В связи с этим для доказательства сходимости построенных рядов требуется установить соответствующие оценки. Отметим, что в случае уравнений эллиптико-гиперболического типа требуется установить более сильные оценки, чем для уравнений параболо-гиперболического типа.

Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе рассматриваются прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

т 1-sgnt 1 + san t l9 ,, . Г /ifx), t > 0,

= 2 ^+-ir-u< -+bu=- {¿У; t < 0; (2)

в прямоугольной области D = {(i,í)| 0 < x < 1,— a < t < /3}, где a > 0, /3 > 0, b > 0, с нелокальным условием

u(x, —а) — u{x, p) = ip(x) или ut(x, -a) - ut(x, /?) = i¡>{x) и смешанного эллиптико-гиперболического типа

Lu = ихх + (sgn у)^ - b2u = /(*, у) = j J > £ (3)

в прямоугольной области П — {(z,y)| 0 < x < 1, -a < y < 0} с двумя

нелокальными условиями:

и(х, -а) - и{х, /?) = <р(х) и щ(х, -а) - щ(х, /3) = ф(х)

в сочетании с другими локальными граничными данными.

Основными задачами исследования являются постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений нелокальных прямых и обратных задач для уравнений (2) и (3) в прямоугольной области D.

Объектом исследования являются нелокальные прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-гиперболического типов.

Теоретическую и методологическую основу исследования вопросов единственности, существования и устойчивости решений нелокальных прямых и обратных задач для уравнений смешанного параболо- гиперболического и эллиптико-гиперболического типов составляют методы общей теории дифференциальных уравпений в частных производных и спектрального анализа.

Научная новизна исследования. Результаты работы, выносимые на защиту являются новыми.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения нелокальных прямых и обратных задач для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нелокальным граничным условием, связывающим значения искомого решения или его производных по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам рассматриваемого уравнения. Для каждой из задач установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, установлена устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения нелокальной прямой и обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с нелокальными граничными условиями, связывающими значения искомого решения и его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам данного уравнения. Решения поставленных задач построены в виде сумм рядов по собственным функциям, установлены критерии единственности и доказана устойчивость решений по граничным данным.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории обратных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений смешанного типа.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной par боты докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры

высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, лаборатории прикладной математики и информатики отдела физико-математических и технических наук Института прикладных исследований Академии наук Республики Башкортостан (научный руководитель - д.ф,-м.н., профессор К.Б. Сабитов, 2008 - 2011 гг.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях, семинарах, симпозиумах:

1. Международный Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VIII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, 25 - 30 июня 2010 г.). 2. Девятая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2010» (г. Казань, 1 - б октября 2010 г.). 3. Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвященный 65-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Якутск, 10 - 13 ноября 2010 г.). 4. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (г.Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г.). 5. IX Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик 23-27 мая 2011 г.). 6. Всероссийская конференция с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Стерлитамак, 27 -30 июня 2011 г.). 7. Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (г. Белгород, 17 - 21 октября 2011 г.). 8. Десятая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2011» (г. Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11] общим объемом 4,06 п.л. При этом статьи [1] — [3] опубликованы в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. В совместной работе [3] постановка задачи принадлежит научному руководителю К.Б. Сабитову.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 110 наименований. Общий объем диссертации - 113 страниц.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю К.Б. Сабитову за предложенную тематику исследований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и подцержку.

Краткое содержание диссертации

Во введении даётся обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

В главе 1 для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа исследуются нелокальные прямые и обратные задачи с неизвестной правой частью с нелокальным граничным условием, связывающим значения искомого решения или его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа (2) в прямоугольной области D = {(я,£)| 0 < х < 1, —а < t < /3}, где а,/?>0иЬ>0 - заданные действительные числа. Для этого уравнения поставлены и решены следующие нелокальные прямые и обратные задачи.

Задача l.l.a. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям:

u(x,t)£C1(D)nC2(D-)riC2x(D+), Lu{x,t) =0,{x,t) е D-UD+, (4)

ы(0, t) = ti(l, t) = 0, —a <t</3; (5)

u(x, —a) — u(x,/3) = ip(x), 0 < x < 1, (6)

где <ç(x) — заданная достаточно гладкая функция, причем <р(0) — ip( 1) — 0, = D П {t < 0} , D+ = D П {¿ > 0} .

Задача 1.1.6. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (4), (5) и

ut{x, -а) - щ{х, 0) = ф(х), 0<х<1, (7)

здесь ф(х) —заданная достаточно гладкая функция, ф(0) - ф( 1) - 0.

Задача 1.2. Найти в области D функции и(х, t) и f(x), удовлетворяющие условиям:

и(х, í) е G\D) П C2(LL) П C¡(D+), f(x) е С(0,1) П Ь2[0,1]; (8)

Lu(x, t) = f(x), (x, t)eD+ U (9)

u(0,í) = u(l,í) = 0,-a<<</3; (10)

щ(х, —a) - ut(x,/3) = ф(х), 0 < x < 1; (11)

u{x, -a) = ip(x), 0<x<l, (12)

где ф(х), ¡p(x) - заданные достаточно гладкие функции, причем ip(0) = ф)=ф(0) = ф(1) = 0.

Задача 1.3. Найти в области D функции u(x,t) и f(x,t), удовлетворяющие условиям:

и(х, t) е Cl(D) П C\D_) П СЦВ+), Мх) в С(0,1) Л Ь2[0,1];

Lu(x, t) = f(x, t), (x, í)eD+U £L; u(0, t) = u(l, t) = 0, —a <t</3;

щ(х, -а) - щ(х, р) = ф(х), 0 < х < 1;

и(х, -а) = <fi(x), и(х,/3) = ф), 0<х<1,

здесь г = 1,2, ip(x),<p(x), д(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем vj(0) = у>(1) = ^ (0) = ф(1) = 5(0) = д(1) = 0.

Отметим, что в задачах 1.1.а, 1.1.6, 1.2 и 1.3 оператор L определен левой частью уравнения (2).

Для примера здесь приведем результаты по задаче 1.2. Методом спектрального анализа решение задачи (8)—(12) построено в виде сумм рядов

+00

u(x,t) = у/2 ^ Uk(t) sinivkx, (13)

к=1 +оо

Uk{t) =

■фк

f(x) = sin tt/cz, (14)

fc=i

где

_ eos Xka — Xk sin A¡fcct + <pk, t> O,

1 (15) eos A ¿i — cos A^a — A^sin A*f + sin А*а) + щ, t < O,

Л = [wt - 2 fe (eos A*a + A* sin A*a)], A| = b2 + (тгк)2, к 6 N, (16)

V2 /

<p(a:) sin Trfcriiz, фц = у/2/ ф(х) sin жkxdx, Jo Jo

при условии, что при всех А; € N

О*)= ¿sin Хка -cos Л*а+е~40 ¿ (1?)

Если при некоторых а,/3,b и к = р нарушено условие (17), т.е. = О,

то задача (8) - (12) (где <р(х) = ф{х) = 0) имеет нетривиальное решение

и (х t) _ f - cos Apa - Apsin Apa) sinírpi, t > 0,

p ' \ [cos Api — cos XPa — Ap(sin Apt + sin Apa)] sin ттрх, t < 0,

fP(x) = fP sin ттрх, fp = —Ap(cos Apa + Xp sin Apa). (19)

Выражение относительно а равно нулю только в том случае, когда

a=¿[arcsin(-7^j)+(-ir+1arcsm(^±) + ™]1 " = 0,1,2,... . Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.1. Если существует решение u(x,t) и f(x) задачи 1.2, то оно единственно только тогда, когда при всех к € N выполнены условия (17).

Поскольку а,/? и Ь - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение S^gh(k) может стать достаточно малым, т.е.

возникает проблема «малых знаменателей». Для обоснования существования решения задачи (8) - (12) необходимо показать существование чисел а, ß и b таких, что при достаточно больших к выражение <5^(£:) отделено от нуля.

Приведем достаточные условия отделенности выражения 5^ßb{k) от нуля.

Лемма 1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р - натуральное число, 2) а = p/q N, где р, q € N, НОД (p,q) = I, q - нечетное, то при любых Ь > 0 и ß > 0 существуют номер ко £ N и положительная постоянная Со, зависящие, вообще говоря, от а, ß и b, такие, что при k > fco справедлива оценка

¡5®(к)1>Со>0. (20)

Если при указанных а, ß и b выражение S^ßb(k) = 0 при некоторых k = к\, ki,..., ki, где 1 < к\ < fc2 < ... < ki < fco; kn, n = 1, l, l - заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (8) - (12) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

I ip(x)smnkxdx — I ip(x) sinnkxdx = 0, к = fcj,..., ki. (21)

J о J о

Тогда решение задачи (8) - (12) определяется в виде

(fei—1 ki—1 со \

il + )uk(t)sm7rkx + ^2ApUp(x,t), (22)

fc— г k=ki_i+1 к-ki+l' р

yfcl-l h — 1 OD V

f(x) = V2( J2+...+ J2 + Л Jfkänirkx+Y^ApMx), (23) ^ k=l k=ki-t+l k=h+l' p

где функции Uf:(t), Д, Up(x, t) и fp(x) определяются соответственно по формулам (15), (16), (18) и (19), Ар - произвольная постоянная, в суммах J2P индекс р принимает значения fcj, Ä?2, --., ki, конечные суммы выражений (22), (23) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 1.2. Пусть ф(х) е С2[0,1], <р{х) € С3[0,1] и ^(0) = ф(1) = 0, (j?(0) = ifi(l) = !р"(0) = !£>"( 1) = 0 и выполнены условия (20) при всех к > ко. Тогда если ф 0 при к = 1, /¡то, то существует единственное решение

задачи (8) - (12) и оно определяется рядами (14), (13); если S^ßb(k) = 0 при к — к], •■■,h < ко, то задача (8) - (12) разрешима только тогда, когда выполнены условия (21) и решение в этом случае определяется рядами (22), (23).

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2 и 6^gb{k) ф 0 при k = l,fco- Тогда для решения (13), (14) задачи 1.2 имеют место оценки:

i№M)iu, < +iMk), №)ik < т\пщ+imiwi),

\Mx,t)\\c{D) < ЩЫ\щ + IMk). I|/(*)llc7[0,l] < M9{\\tP\\W2 + IMI^a),

где постоянные Mi не зависят от функций ip{x) и <р(%) •

Аналогично установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач 1.1,а, 1.1.6 и 1.3.

Глава 2 посвящена изучению нелокальных прямых и обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-пшерболического типа с неизвестной правой частью с нелокальными граничными условиями, связывающими значения искомого решения и его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Также методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе (3) в прямоугольной области D = Цх,у)\ 0 < х < 1,—а < у < /5} поставлены и исследованы следующие задачи.

Задача 2.1. Найти в области D функцию и{х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х,у) € C\D) П С2(Г>_ U D+), Lu(x, у) = 0, (х,у) е D_ U D+;

и(0,у) = и{1,у) = 0, —а <у < Р)

и(х, —а) — и(х, Р) = <р(х), 0 < х < 1;

иу(х, —а) — Uy(x, Р) — ф{х), 0 < х < 1,

где ц>(х),ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем <¿>(0) = (¿>(1) = 0(0) =0(1), D+ = Dn{y>0},D- = Dn{y<0}.

Задача 2.2.а. Найти в области D функции и{х,у) и f(x), удовлетворяющие условиям:

и{х,у) € Cl(D) П C\D_ U D+), f{x) € С(0,1) П L2[0,1]; (24)

Lu(x, у) = f{x), (х, у) S £>_ U D+; (25)

и(0, у) = u( 1, у) = 0, -а < у < /?; (26)

uix, -а) — uix, Р) = fix), 0 < х < 1; (27)

Uyix, -а) - uyiх, Р) = ф{х), 0 < х < 1; (28)

uix, -d) = g(x), 0 < х < 1, -а < -d < 0, (29)

здесь <pix), ~ф{х), gix) - заданные достаточно гладкие функции, <р(0) = у?(1) = 0, 0(0) = 0(1) = 0, д(0) = д(1) =0, d > 0 - заданное действительное число.

Задача 2.2.6. Найти в области D функции uix, у) и fix), удовлетворяющие условиям (24) - (28) и

uix, d) = gix), 0 < х < 1, 0 <d<P, (30)

где gix) - заданная достаточно гладкая функция, g(0) = д{]) = 0.

Задача 2.2.В. Найти в области D функции и(х, у) и f(x), удовлетворяющие условиям (24) - (26), (28) и

и{х, -а) = h(x), и(х, /3) = g{x), 0 < х < 1, (31)

причем h{0) = h( 1) = g(O) = д(1) = О.

Задача 2.3. Найти в области D функции и(х, у) и f(x, у), удовлетворяющие условиям:

и(х, у) € С1 (Б) П C2(D- U D+), fi(x) € С(0,1) Л Ь2[0,1]; (32)

Lu(x,y) ~ f{x,y), (х, у) € D- U Z?+; (33)

u(0, у) = u( 1, у) = О, —а <у < Р\ (34)

и(х, —а) — и(х,Р) = <р(х), О < х < 1; (35)

иу{х, —а) = ip(x), иу(х, 0) = h(x), О < х < 1; (36)

и(х, d) = g(x), О < ж < 1, О <d<¡3, (37)

здесь г = 1,2, ip{x),ip(x),h(x),g(x) - заданные достаточно гладкие функции, Vi О) = <р{ 1) = 0,!/>(0) = ф(1) = 0,fl(0) = 5(1) = О, Л(0) = Л(1) = 0.

Отметим, что в задачах 2.1, 2.2.а, 2.2.6, 2.2.в и 2.3 оператор L определен левой частью уравнения (3).

Рассмотрим здесь задачу 2.2.а, решение которой построено в виде сумм рядов

-Ьоо

и(х,у) = V2 щ(у) sin тгкх, (38)

+ОС

f(x) = V2j2fkS™*kx, (39)

k=i

где

= { акв™ + he~'lkV ~ Й' V>0' f404

к \ ak(coñfiky + sinцку) + bk(cosfiky - smfiky) - jjj¡, у < 0,

Qk = 4/ifcД1 вь(к) ^Рк1Лк^C0S 11>=а ~SÍn fika~ + ^(cos >'кП+sin~ еГ>1ф)} >

Ьк = ['PkPkismtikoi + cos цка - eMtí3) + у* (sin цка - cos fika + e/li5)],

(42)

Ik = 2Д ^(fcj [^к'-Рк (cos fik(a-d)-s\niikd sh цф - cos fikd eh цф)-

-рЛ (sin Цк (d - а) - sin цкй ch цф - cos ¡ikd sh цф)\ - fi\gk (43) при условии, что при всех к е N

Аа0Ь(к) = 1 - eos ¡Íka ch цф j= 0. (44)

Если при некоторых а, ¡3, Ь и fc = peN нарушено условие (44), то однородная задача (24) - (29) (где ¡р(х) — ф(х) — д(х) = 0) имеет нетривиальное решение

«(*„)=/ + е~"рУ - sin ^ У > °> (45)

1 {{Kip + 1) cos fipy + (Kip - 1) sin iij,y - K2p) sin тгрт, у < О, v '

fpix) — fpsinnpx, fp — (46)

где К = sin^''a+cos v _ 2(зш Iip(a-d)+cos fad sh faff+sin ¡ipd ch faff)

" lp sin (¡pa-cos tipe+e^ ' 2P siaiipa-cos Itpá+e^ '

Выражение Aaf¡b(k) относительно а равно нулю только в том случае, когда

a=¿(arccoe3Í3 + 2'r")' " = 0,1,2,....

Теорема 2.1. Если существу cm решение задачи (24) — (29), шо оно единственно только тогда, когда при всех к € N выполнены условия (44).

Так как а, 0 и 6 - любые заданные числа, то при достаточно больших к выражение АпрЬ(к) может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых знаменателей». Для обоснования существования решения задачи 2.2.а необходимо показать существование чисел а, /3 п b таких, что при достаточно больших к выражение Да(дь{к) отделено от нуля.

Лемма 2.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р - любое натуральное число, 2) а = pjq N, где p,q £ N, (p,q) = 1, q - нечетное, то при любых Ь > 0 и /? > 0 существуют номер kg £ N и положительная постоянная Со, зависящие, вообще говоря, от а, ¡3 и Ь, такие, что при к > ко справедлива оценка

\&а0ь{Щ > C0e*kff > 0. (47)

Если при указанных а, /3 и b выражение Аадь(к) = 0 при некоторых к = ки к2, ..., k¡, где 1 < ki < к2 < ... < к[ < ко\ кп, п = 1,1, I - заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (24) - (29) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Vkl¿k(cosцка — sinцка - е~,1к!3) + фк{cos fika + sinцка - e~',líí) = 0, ^^(sin/ifca + eos ща — е"кв) + ^(sin цка - cos/^a + e''l/!) = 0, /XfcV?fc(cosi±k(a - d) - sin fikdsh цф - cos fikdchЦкР)~ (48)

-Vb(sin fik(d — a) — sin (ikd ch fik/3 — cos p,kd sh — 0, к ~ ki, -.-, k¡.

Тогда решение задачи (24) - (29) определяется в виде

ski — 1 ki~ 1 оо \

и(х,у) = V2Í J2+... + + WffJsm^s + ^^W*.»). (49)

^ fc=l fc=i¡_i+l k=k¡+1' р

/ki — I ki—1 оо \

fix) = V2( 22 +••• + J2 + )лsinnkx+E¿РШ' (5°)

где функции щ(у), fk и Up(x, у), fp(x) определяются соответственно формулами (40), (43) и (45), (46), Ар - произвольные постоянные, в суммах индекс р принимает значения ki,ki,...,ki, конечные суммы выражений (49), (50) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 2.2. Пусть ф) € С3[0,1], ф(х) 6 С2[0,1], д(х) € С3[0,1] и

^(0) = v?(l) = ¥>"(0) = ¥>"(1) = 0, ^(0) = ^(1) = 0, «7(0) = 5(1) = р"(0) =

д"( 1) = 0 и выполнена оценка (47) при к > ко. Тогда если Aaßb(k) ф 0 при к = 1, fco, то существует единственное решение задачи (24) - (29) и оно определяется рядами (38), (39); если Аарь(к) = 0 при к = ki, к2, ..., кр < к0, то задача (24) - (29) разрешима только тогда, когда выполнены условия (48) и решение в этом случае определяется рядами (49), (50).

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2 и Aaj%(fc) ф 0 при k — l,ko. Тогда для решения (38) и (39) задачи (24) - (29) имеют место оценки:

IKx^lU, < MeOMk+IMk+IMyjWs)^ < MyOMIwrHWk+IMk).

11и(х>У)\\с(р) ^ Ms{\\4>\\w° + IHlwj + IMIwj).

||/(х)||с[0,1] < M9(\Mw> + Ih&llwj + 1ЫМ»

где постоянные M¡ не зависят от функций <р(х), i>(x) и д(х).

Для задач 2.1, 2.2.6, 2.2.B и 2.3 получены аналогичные результаты. Установлены критерии единственности, решение построено в виде сумм рядов, доказаны теоремы существования и устойчивости решений. В задаче 2.3 в отличие от других задач корректность имеет место при всех а > 0 и ß> ßo>0-Публикации по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК

1. Юнусова, Г.Р.: Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Г. Р. Юнусова // Научные ведомости БелГУ, Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22. С.153-166.

2. Юнусова, Г.Р.: Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Г.Р. Юнусова // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. - 2011. - №8(89). - С. 108 - 117.

3. Юнусова, Г.Р.: Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным граничным условием / К.Б. Сабитов, Г.Р. Юнусова // Дифференц. уравнения. 2012. - Т. 48. - № 2. - С. 238 - 245.

Публикации в других изданиях

4. Юнусова, Г.Р.: Нелокальная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболичеегюго типа / Г.Р. Юнусова // Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VIII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» -Нальчик - Эльбрус, 2010. - С. 124 - 126.

5. Юнусова, Г.Р.: Краевая задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Г.Р. Юнусова // Труды математического

центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010»; Казань, 1-6 октября 2010 г.; Казан.матем.об-во. - 2010. - Т.40. - G. 372 - 375.

6. Юнусова, Г.Р.: Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе / Г. Р. Юнусова // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвященный 65-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова. Часть II: Тез. докл. Якутск: Филиал изд-ва СВФУ: ИМИ, 2010. - С. 70 - 75.

7. Юнусова, Г.Р.: Обратная задача для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе с двумя нелокальными граничными условиями / Г. Р. Юнусова // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г.Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ и ООО «ИНТУИТ.РУ», 2011. С. 403 - 404.

8. Юнусова, Г.Р.: Обратная задача для уравнения смешанного типа с двумя нелокальными граничными условиями / Г. Р. Юнусова // Материалы IX Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик, 2011. - С. 98 - 103.

9. Юнусова, Г.Р.: Обратная задача для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе с двумя нелокальными условиями / Г. Р. Юнусова // Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды Всероссийской научной конференции с международным участием (27 - 30 июня 2011 г., г. Стер-литамак) Уфа: Гилем, 2011. - С. 190 - 196.

10. Юнусова, Г.Р.: Об одной обратной задаче для уравнения смешанного типа с нелокальным условием / Г. Р. Юнусова // Комплексный анализ и его приложения в дифференц. уравнениях и теории чисел: сб. мат. Международной конференции. - Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2011. - С. 131 - 132.

11. Юнусова, Г.Р.: Краевая задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Г.Р. Юнусова // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы Десятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2011»; Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.; Казан.матем.об-во. - Казань. - 2011. - Т.44. - С. 322 - 324.

Автореферат «НЕЛОКАЛЬНЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПАВ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ»

Заказчик: ЮЛДАШЕВА (ЮНУСОВА) Гузель Рамнлевна

Подписано в печать 28.01.2013 г. Гарнитура Times New Roman. Формат 60 * 84 \ 16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №1/01 Отпечатано: «Малая оперативная полиграфия», г. Мурманск, ул. Володарского 14А

Введение

Глава 1. Нелокальные и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

§1.1. Прямые задачи с нелокальным граничным условием.

§1.2. Нелокальная задача для уравнения с неизвестной правой частью, не зависящей от времени

§1.3. Нелокальная задача для уравнения с неизвестной правой частью, неявно зависящей от времени.

Глава 2. Нелокальные и обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

§2.1. Прямая задача с двумя нелокальными граничными условиями

§2.2. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми частями

§2.3. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми частями.

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных являются краевые задачи для уравнений смешанного типа, которые имеют не только теоретическое значение, но и находят свое практическое применение в газовой динамике (теория околозвуковых течений), в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука и других областях.

Особое место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи. Это объясняется тем, что в последние годы проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования новых задач, например, математическими моделями различных физических, химических, биологических и других процессов являются задачи, в которых задается определенная связь значений искомой функции или её производных на границе области со значениями внутри этой области.

Для различных классов дифференциальных уравнений нелокальные задачи изучались Ф.И. Франклем [92] - [94], В.И. Жегаловым [20], [21], J.R. Cannon [97], [98], A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [8], A.M. Нахушевым [48], [49], А.П. Солдатовым [83], Н.И. Ионкиным [28], Н.И. Ионкиным и Е.И. Моисеевым [29], A.B. Бицадзе [9], АЛ. Скубачевским [80], [81], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [26], [27], А.Г. Кузьминым [35], [36], М.Е. Лернером и O.A. Репиным [41] - [43], JI.C. Пулькиной [54], [55], А.И. Кожановым и J1.C. Пулькиной [34], К.Б. Сабитовым [64], [65] и его учениками О.Г. Сидоренко [71], [79], Ю.К. Сабитовой [73] - [75], JI.X. Рахмановой [56], [57], Н.В. Мартемьяновой [44], [45] и другими авторами.

В 40-х годах XX века Ф.И. Франклем [92] были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газовой динамике. Например,, Ф.И. Франкль [93] для уравнения Чаплыгина

К{у)ихх + иуу = О, где if(0) = О, К'{у) > 0, впервые поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия («скачка уплотнения») it(0, у)—и{0, —у) = f{y), 0 <у <а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции их(0,у).

В.И. Жегаловым [20] впервые для уравнения Лаврентьева—Бицадзе изучен аналог задачи Трикоми с нелокальным условием, связывающим значение искомого решения на обеих характеристиках (задача со смещением).

A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [8] для уравнения Лапласа были предложены задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения во внутренних точках области со значениями на границе.

A.M. Нахушев [48] исследовал задачи со смещением для гиперболических и уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа.

В работах М.Е. Лернера и O.A. Репина [42] для эллиптического уравнения

Утихх + иуу = 0, га > -1, в полуполосе G = {(a;,i/)|0 < х < 1,у > 0} была изучена задача с одним нелокальным условием it(0,у) — п(1,у) = <pi(y), у > 0 и локальными граничными данными: их(0, у) = <£>2(2/), У > 0 и и{х-> 0) = Tix)i 0 < ж < 1, и(х, у) —> 0 при у —> +оо равномерно по £ £ [0,1].

М.Е. Лернером, O.A. Репиным [41] для уравнения смешанного типа sgn у ■ |у\тихх + иуу = 0, т > 0, в области, где эллиптическая часть является полуполосой, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) — и(1,у) = <ßi(?/)5 их(0,у) — их(1, у) = с/?2(у), У > 0- Доказательство единственности решения задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.

Л.С. Пулькиной [54], [55] изучались краевые задачи для гиперболических уравнений с нелокальным интегральным условием.

Е.И. Моисеев [47] исследовал нелокальную краевую задачу в полуполосе G для эллиптического уравнения:

Утихх + иуу = 0, т > -2, и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, у > 0, и(ж,0) = f(x), 0 < х < 1, в классе функций и £ C(G П С2(С)), в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана единственность и существование решения поставленной задачи. К.Б. Сабитов [62] исследовал задачу Дирихле для уравнения sign t ■ |t\muxx + utt - b2sign t • \t\mu = 0, (0.1) где m = const > 0, b = const > 0, в прямоугольнике D = {(a:,i)|0 < x < 1, — a < t < /3}, a, (3 > 0 - заданные числа, с условиями и е C(D) П Cl{D) П C2{D U D+); Lu{x, t) = 0, (х, t) G D- U D+; u(0,t) = u{ 1,t)= 0, -a<t<p] u(x, P) = f(x), u(x, -a) = g(x), 0 < x < 1, здесь fug- заданные достаточно гладкие функции, D+ = D П {t > 0}, = D П {t < 0}. Установлен критерий единственности. Существование решения задачи Дирихле доказано на основе спектрального метода решения краевых задач.

К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко [71] для уравнения (0.1) в прямоугольной области D = {(rc,i)|0 < х < 1,—о; < t < /?} также установлен критерий единственности и найдены достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи с условиями периодичности u(0, t) = и{ 1, t), их(0, t) — их{ 1, i), —а < t < (3, и локальными граничными условиями и(х, (3) = <р{х). и(х, —а) = Ф(х), 0<х<1.

Сабитовой Ю.К. [73] - [75] для уравнения (0.1) в прямоугольнике D рассмотрены задачи с нелокальными условиями: n(0, t) = u(l,t) или ^(О, t) = их(1, t), —о; <t<(3, в сочетании с другими локальными граничными данными. Спектральным методом доказаны единственность и существование решения задачи.

К числу первых исследований задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, можно отнести работу И.М. Гельфанда [14], где он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [86], Я.С. Уфлянд [91], JI.A. Золина [24] показали другие применения этих задач.

O.A. Ладыженская и JI. Ступялис [40] в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гиперболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

Т.Д. Джураев [18], [19] исследовал краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в области, у которой гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник.

В работе Н.И. Ионкина [28] в области DT = | 0 < ж < 1, 0 < i < Т} изучена нелокальная задача для уравнения теплопроводности щ—ихх = f(x, t) с условиями:

Доказаны теоремы существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции <р(х), задающей начальное условие, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора.

К.Б. Сабитовым [65] для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в области И = {(:г,£)|0 < х < 1, — а < £ < /3}, где а, (3 > 0 - заданные действительные числа, изучена задача с граничными условиями w(0, t) = u(l:t) = 0, —a <t< ¡5, и{х, -а) - и(х, ¡3) = ср(х), 0 < а: < 1.

Установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье. Установлена устойчивость решения по нелокальному условию <р(х). и{0, t) = 0, и{х, t)dx = 0, 0 < t < Т, и(х, 0) = ip(x), 0 < х < 1.

Lu = ut — ихх = t > 0 utt ~ихх = 0, t < 0

В работах Сабитова К.Б. и Рахмановой JI.X. [67], [56], [57] исследованы начально-краевые и нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Lu f Щ - ихх + Ъ2и = 0, t> О,

U ~ \ {-t)muxx - utt - b2(—t)mu = 0, t < 0, где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D.

Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных прямых и обратных краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболи-ческого и эллиптико-гиперболического типов.

Обратные задачи возникают во многих областях науки: электродинамике, акустике, квантовой теории рассеяния, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значения параметров модели могут быть получены из наблюдаемых данных, а свойства среды на практике часто бывают неизвестны.

Для различных типов дифференциальных уравнений обратные задачи изучались в работах А.Н. Тихонова [88], М.М. Лаврентьева [37] - [39], В.Г. Романова [59], [60], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Танана [25], A.B. Баева [5], А.И. Прилепко [50] - [52], A.M. Денисова [15] - [17], А.И. Кожанова [32], [33] и других.

А.Н. Зарубин, М.В. Бурцев [10], [11] исследовали обратные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным.

В работах К.Б. Сабитова, Э.М. Сафина [68] - [70] впервые изучены краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью в прямоугольной области D с граничными условиями первого - третьего родов. Установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

К.Б. Сабитовым, Н.В. Мартемьяновой [66], [45] исследованы обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области D = {(гс,у)|0 < х < 1, — а < у < /?}, с нелокальным условием: и(0,у) = и(1,у) или их(0,у) = их(1,у), —а < у < ß, в сочетании с другими локальными граничными данными. Решение построено в виде суммы биортогонального ряда по системам корневых функций соответствующих взаимно сопряженных задач на собственные значения.

Отметим также работы К.Б. Сабитова, И.А. Хаджи [72], Г.Ю. Удаловой [90], где для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа изучены обратные задачи с локальными граничными условиями первого и второго родов.

В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются нелокальные прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-и эллиптико-гиперболического типов. Принципиальным отличием от предыдущих работ является то, что для данных классов уравнений задаются нелокальные условия, которые связывают значения искомого решения и его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Решения задач строятся в виде сумм рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. В связи с этим для доказательства сходимости построенных рядов требуется установить соответствующие оценки. Отметим, что в случае уравнений эллиптико-гиперболического типа требуется установить более сильные оценки, чем для уравнений параболо-гиперболического типа.

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений нелокальных прямых и обратных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

-sgnt , г + ядпг 2 \ Л(ж), £ > О,

Ьи=---ииЛ----щ-ихх + Ъ и = /(ж,*) = < (0.2)

2 2 /2(ж)) £ < о, и эллиптико-гиперболического типа

Ьи = ихх + (вдп у)иуу - Ъ2и = /(ж, у) = \ У> (0.3)

I /2(ж), у < 0, в прямоугольной области.

В главе 1 для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа исследуются нелокальные прямые и обратные задачи с неизвестной правой частью с нелокальным граничным условием, связывающим значения искомого решения или его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа (0.2) в прямоугольной области D = {(ж,£)| 0 < х < 1, —а < t < (3}, где а, /3>0и6>0-заданные действительные числа. Для этого уравнения поставлены и решены следующие нелокальные прямые и обратные задачи.

Задача 1.1.а. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям: u(x,t) G Cl(D) П C2(L>) П C2x{D+)- (0.4)

Lu(x, t) = 0, {x, t) e D- U D+, (0.5) u(0,t) = w(l,t)= 0, -a<t<(3\ (0.6) u(x, —a) — u(x, (3) = <p(x), 0 < x < 1, (0.7) где ip(x) —заданная достаточно гладкая функция, причем ср(0) = <£>(1) = 0, D- = D Г) {t < 0}, D+ = D Г) {t > 0}.

Задача 1.1.6. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.4) — (0.6) и щ(х, -а) - щ(х, /3) = ф(х), 0 < ж < 1, (0.8) где ф{х) —заданная достаточно гладкая функция, ф(0) = ^(1) = 0.

Задача 1.2. Найти в области D функции и(х, t) и f(x), удовлетворяющие условиям: и{х, t) Е C\D) П C2(L>) П C2x{D+); (0.9) f{x) eC(0,l)nL2[0,l]; (0.10)

Lu(x, t) = f{x), (x, t) G D+ U LL; (0.11) u(0, t) = u(l,t) = 0 ,-a<t<P\ (0.12) ut{x, -a) - ut{x, P) = ф{х), 0 < X < 1; (0.13) u{x,-a) = ip(x), 0 < re < 1, (0.14) где ф(х), ip(x) - заданные достаточно гладкие функции, причем ср(0) = <р(1) = ф(0) = ф(1) = 0.

Задача 1.3. Найти в области И функции и(:г,£) и /(х, удовлетворяющие условиям: и{х,г) Є С1(0)ПС2{0)ПС2х(0+);

Мх)єС(0,1)ПЬ2[0,1}, і = 1,2; £) = /(ж, £), (ж, ¿) Є 1)+ и и(о, г) = ці, г) = о, -а < г < ггДж, -а) - щ(х,Р) = ^(ж), О < ж < 1; гі(ж, — а) = и(х,(3) = д(х), О < ж < 1, где у (ж), д(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем р(О) =

Для примера здесь приведем результаты по задаче 1.2. Методом спектрального анализа решение задачи (0.9)—(0.14) построено в виде сумм рядов р(1) = ф(0) = ф(1) = д(0) = д(1) = 0.

0.15)

0.16) к=1 где

Фк е — сое А^а: — Ад; віп Хка + ^ > 0 сое \кі — соє — А^біп Хкі + si.iiХка) + (/?&, і < 0, к = Х2к ірк-- -(соя Хка + Хк біп Хка)

Х1 = Ъ2 + {тгк)2, кеП, соя Хка + Л к вігі Хка)

0.17) (0.18)

Рк = у/2 (р(х)81Мгкхс1х, фк = V2 ф(х) 5Ітгкх(іх I

I. при условии, что при всех А; Є N

6авъ(к) = Т" 8ІП ~ С08 + Є~ХіР ±

0.19)

Если при некоторых а, ¡3, Ь и к = р нарушено условие (0.19), т.е. 5^рЬ(р) = 0, то задача (0.9)—(0.14) (где <р(х) = 0, ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение ир(х, г) = е хр* — сое Х„а — Лп ят Лво;) эт 7Грх, Ь > 0,

Р Р Р (0.20) [соя ХрЬ — сое Хра — Лр(зт ХРЬ + эт. АрО;)] ят 7трх, Ь < 0, р(:г) = /р эт 7грх, /р = —Х^соб Хра + Хр ят Хра). (0.21) 1

91

Выражение дарь{к) относительно а равно нулю только в том случае, когда

Хк

Шк + ("1)п+1 агсвш ( Х"е + тгп п = 0,1,2,., где сок = агс8т(Л*/д/1 + Х2к).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1.1. Если существует, решение и(х,Ь) и /(х) задачи 1.2, то оно единственно только тогда, когда при всех к £ N выполнены условия (0.19).

Доказательство единственности решения проводится только на основе полноты системы функций {-\/28т7гА;а;}^1 в пространстве 1/2[0,1].

Поскольку а, Р иЬ- любые числа из промежутков задания, то при достаточ

2) но больших к выражение 5арь(к) может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых знаменателей» [2], [64]. Для обоснования существования решения задачи (0.9)—(0.14) необходимо показать существование чисел а,

2)

3 и Ъ таких, что при достаточно больших к выражение $арЬ{к) отделено от нуля. Приведем достаточные условия отделенности выражения 5^ъ{к) от нуля.

Лемма 0.1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р -натуральное число, 2) а — р/<? ^ М, гдер, <7 £ М, НОД(р, д) = 1, д - нечетное, то при любых Ь > 0 и (3 > 0 существуют номер ко £ N и положительная постоянная Со, зависящие, вообще говоря, от а, ¡3 иЬ, такие, что при к > ко справедлива оценка

2)

Если при указанных а, Р и Ъ выражение &аръ(к) = 0 при некоторых к = к\, ., к^ где 1 < к\ < < . < к[ < ко; кп, п = 1,1, I - заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (0.9) - (0.14) необходимо и ч достаточно, чтобы выполнялись условия ф{х) smirkxdx = / tp(x) simrkxdx = 0, к = к\,., (0.23)

Jo Jo

Тогда решение задачи (0.9) - (0.14) определяется в виде ki-l к2-1

1 — i Л2 —1 txj \ +.+ )ик(*)8[п7Ткх + ^2Арир(х,1), (0.24) к=i fc=fcp+i ' р к\ — 1 к2 — 1 оо \

S +•••+ I] ) Л sin TTfcrc + (°-25)

Л=1 fe=fci+l к=кр+1 ' р где функции itfc(í), fk, ир(х, t) и /р(а;) определяются соответственно по формулам (0.17), (0.18), (0.20) и (0.21), Ар - произвольная постоянная, в суммах индекс р принимает значения к\, ., кр, конечные суммы выражений (0.24), (0.25) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.1.2. Пусть ф(х) е С2[0,1], ср{х) е С3[0,1] и ф(0) = ^(1) = 0; <¿?(0) = </?(1) = ip"(0) = ip"{l) = 0 и выполнены условия (0.22) при всех к > ко. Тогда если 5арЬ{к) ф 0 при к = 1,ко, то существует единственное решение задачи (0.9) - (0.14) и оно определяется рядами (0.16), (0.15); если (2)

Sapb(k) = 0 при к = ¿4, ., кр < ко, то задача (0.9) - (0.14) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.23) и решение в этом случае определяется рядами (0.24), (0.25).

Для доказательства устойчивости построенного решения (0.15), (0.16) вводятся следующие нормы:

I\и(х, t) I |jr2[0)i] = 11 и(х, t)\\b2= ^ jí \и(х, t) I2 dx^j , x)\\l2= (^J^ \<р(х)\2 dx^J , \\u(x,t)\\c^ = max\u(x,t)\, í1 / n \ \1/2 11№)1к»=Ц ,n e NU {0}. k=0

Теорема 0.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.1.2 и 5^b{k) 0 при к = 1,ко- Тогда для решения (0.15), (0.16) задачи 1.2 имеют место оценки: мх,тЬ2<м6(\\ф\\ь2 + ыи, m\\L2<M7m\wi + M\wi), u{x,t)\\c(5) <M8{\^\\wo + \\<p\\Wi),

Wllc[0,l] < M9{\\^\\wi + IMIw23)> где постоянные Mi не зависят, от функций ф(х) и ip(x).

Аналогично установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач 1.1.а, 1.1.6 и 1.3.

Глава 2 посвящена изучению нелокальных прямых и обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестной правой частью с нелокальными граничными условиями, связывающими значения искомого решения и его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Также методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе (0.3) в прямоугольной области D = {(х,у)\ 0 < х < 1, —а < у < /3} поставлены и исследованы следующие задачи.

Задача 2.1. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям: и(х,у) eC1(D)nC2(D^UD+);

Lu(x,y) = 0, {х,у) е D- U D+, и{0,у)=и{1,у) = 0, -а<у<Р\ и(х, —а) — и(х, Р) = (р(х), 0 < х < 1; иу(х, —а) — иу(х,Р) = ф{х), 0 < х < 1, где <р(х), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем <¿>(0) = tpiX) = ф(0) = ф( 1), D+ = D П {у > 0}; D. = D П {у < 0}.

Задача 2.2.а. Найти в области D функции и(х,у) и f(x), удовлетворяющие условиям: и(х,у) е C1(D)nC2(DUD+); (0.26) f(x) еС(0,1)ПЬ2[0,1]; (0.27)

Lu(x, у) = f(x), (x, у) e D- U D+, (0.28)

О, у) = и(1,у) = 0, —а <у< Р-, (0.29) и(х, -а) - и(х, р) = <р(х), 0 < х < 1; (0.30) иу(х, —а) — иу(х,Р) = ф{х), 0 < х < 1; (0.31) и(х, -д) = д(х), 0 < х < 1, -а< -д< 0, (0.32) где <р{х), ф(х), д(х) - заданные достаточно гладкие функции, <£>(0) = <¿>(1) = 0; ^(0) = ^(1) = 0, д(0) = <7(1) = 0; с? > 0 - заданное действительное число.

Задача 2.2.6. Найти в области И функции и(х,у) и /(ж), удовлетворяющие условиям (0.26) - (0.31) и и{х, й) = д(х), 0 < ж < 1, 0<(1< (3, (0.33) где д(х) - заданная достаточно гладкая функция, д(0) = д(1) = 0.

Задача 2.2.в. Найти в области И функции и(х,у) и /(х), удовлетворяющие условиям (0.26) - (0.29), (0.31) и и(х, -а) = Н(х), и(х, ¡3) = д(х), 0 < х < 1, (0.34) причем /1(0) = /1(1) = д(0) = д( 1) = 0.

Задача 2.3. Найти в области И функции и(х,у) и /(х,у), удовлетворяющие условиям: и{х,у) е С1 (Л) П С2(1) и 1)+); (0.35)

Мх) еС(0,1)ПЬ2[0,1], г = 1,2; (0.36)

Ьи(х,у) = ¡(х,у), (х,у) <= £>и£>+; (0.37) и(0, у) = и(1,у) = 0, —а <у< Р- (0.38) и{х, -а) - и(х, р) = (р{х), 0 < х < 1; (0.39) иу(х, —а) = ф(х), иу(х,Р) = Н{х), 0 < х < 1; (0.40) и(х, (£) = д(х), 0 < ж < 1, 0 < < (0.41) где <р(х), ф{х), Ь,(х), д(х) - заданные достаточно гладкие функции, </?(0) = у>(1) = 0, ^(0) = Ф( 1) = О, <7(0) = р(1) = 0, /г(0) = /г(1) = 0.

Рассмотрим здесь задачу 2.2.а, решение которой построено в виде сумм рядов оо и(х,у) = л/З^Г^и^у) Бтпкх, (0.42) к=1 14 оо f(x) = V2 fk sin irkx, (0.43) k= 1 где

У >0, щ(у)={ ^k f (0.44) ak(cos/iky + sin fjLky) + bk(cosfxky - sin цку)--у < 0,

Mfc ttfc = 4jL¿fc Д1 (fc) (C0S Vk® - sin jLtfcQi - +^(006 /ifeO^ + sin ¿¿fcQ! ~ ,

0.45) bk = до [PkHk{sin + COS - eMfc/3) + ^(sin fj,ka - cos /¿fca + eMfc/3)],

0.46) fk = 2Д~^до Vkfa—d)—sin /ifcdsh cos ¡ikdch — j,kípk(sm ¡ik{d -a) - smfikdchfikp - cos/^dsh /ik{3)] - ц2кдк (0.47) при условии при всех fe G N арь{к) = 1 - cos fika ch ¡ikf3 ф 0. (0.48)

Если при некоторых а, (3, b ш к = р £ N нарушено условие (0.48), то однородная задача (0.26) - (0.32) (где ср(х) = ф(х) = д(х) = 0) имеет нетривиальное решение . Í (К1ре^У + e-w - К2р) sin жрх, у > 0, ир(х,у) = < к ((Kip + 1) COS ЦрУ + (Kip - 1) Sin ЦрУ - К2р) sin7Tрх, у < 0,

0.49) fP(x) = fpSimrpx, fp = ¡j?pK2p, (0.50) где sin ¡j,pa + eos jipa — еМр/3 lp sin ¡ipC¿ — eos fipa + e^-pP '

2 ( sin fip(a — d) + eos /lipd sh ¡jlpP + sin ¡ipd ch ¡ip0)

K2p =-ъ-• sin ¡ipa — eos ¡jbpa + ew

Выражение Аарь(к) относительно а равно нулю только в том случае, когда а = ¿(arccosd^ + 27rn)> гг = 0,1, 2,. .

Теорема 0.2.1. Если существует решение задачи (0.26) - (0.32), то оно единственно только тогда, когда при всех k G N выполнены условия (0.48).

Так как a, ß и b - любые заданные числа, то при достаточно больших к выражение Aaßb(k) может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых знаменателей». Для обоснования существования решения задачи 2.2.а необходимо показать существование чисел а, ß и Ъ таких, что при достаточно больших к выражение Aaßb(k) отделено от нуля.

Лемма 0.2.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р -любое натуральное число, 2) а = p/q, где p,q G N, (p,q) = I, p/q £ N, q - нечетное, то при любых b > 0 и ß > 0 существуют номер ко G N и положительная постоянная Со, зависящие, вообще говоря, от а, ß и Ъ, такие, что при к > ко справедлива оценка

Aaßb(k)\ >С0е^>0. (0.51)

Если при указанных а, ß и b выражение Аарь(к) = 0 при некоторых к = ., ki, где 1 < ki < < . < ki < ко', кп, п = 1,1, I - заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (0.26) - (0.32) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ipkßk(cosцка - sinрка - e~ßkß) + ipk(cosfika + sin/¿fcQ: - e~^kß) = 0, ípkfik(sm/ika + cosцка - e^kß) + ipk(smßka - cos/лка + e^kß) = 0, < /Xfc(/?fc(cosцк(а - d) - sin¿¿fcdsh/xfc/3 - cos fikd ch ßkß)-—^(sin ¡j,k(d — a) — sin ¡ikd ch fikß — cos ¡ikd sh fikß) = 0, к = ki, k2, ., ki.

0.52)

Тогда решение задачи (0.26) - (0.32) определяется в виде к\ — 1 —1 СЮ ч uk{y)sinirkx + ^2Apup(x,y), (0.53) к=1 k=ki+1 к=кр+1' V ki — 1 fe — 1 ОО \

Y1 +•■• + Y, jfksimrkx + Y^Apfpix); (0-54) к=1 k=ki+l к=кр+1' р где функции ик(у), fk и ир(х,у), fp(x) определяются соответственно формулами (0.44), (0.47) и (0.49), (0.50), Ар - произвольные постоянные, в суммах Yhp индекс р принимает значения ki, k<¿,., кр, конечные суммы выражений (0.53), (0.54) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.2.2. Пусть ip{x) G С3[0,1], ф(х) G С2[0,1], g(x) G С3[0,1] и ^(0) = у>(1) = ^(0) = ¥>"(1) = 0, ф(0) = ^(1) = 0, д(0) = д{1) = д"(0) = д"{ 1) = 0 и выполнена оценка (0.51) при к > ко. Тогда если Аарь(к) ф 0 при к = 1, fco, то существует единственное решение задачи (0.26) - (0.32) и оно определяется рядами (0.42), (0.43); если Ааръ{к) = 0 при к = к\, к2, ., кр < ко, то задача (0.26) - (0.32) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.52) и решение в этом случае определяется рядами (0.53), (0.54).

Теорема 0.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.2 и Аaßb{k) ф О при k = 1, ко- Тогда для решения (0.42) и (0.43) задачи (0.26) - (0.32) имеют место оценки: и(х,у)\\Ь2<М,(МЬ2 + \\ф\\Ь2 + \\д\\Ь2), ||/0r)||L2< M7(Mwi + \\ф\\щ + ||<7||^),

Нх,у)\\с(Б] < M8(Mwo + \\ф\\щ + \\g\\wi), wmwcm < м9( M\wi + mw? + \\g\\wi), где постоянные Mi не зависят от функций ip(x), ф{х) и д(х).

Для задач 2.1, 2.2.6 и 2.2.в получены аналогичные результаты. Установлены критерии единственности, решение построено в виде сумм рядов, доказаны теоремы существования и устойчивости решений.

Теперь более подробно остановимся на задаче 2.3, так как в отличие от других задач корректность этой задачи имеет место при всех а > 0 и ß > ßo > 0. Аналогично решение задачи (0.35) - (0.41) построено в виде сумм рядов

00 uk(y)simrkx, (0.55)

00 ч ^ к=1 оо fi{x) = V2 ^^ fik sin пкх, i = 1,2, (0.56) к=1 где ky + bke-»ky-£j: у> 0,

Uk^ ( , L , /2к — flk\ . / , ч . /2к ~

-2-) cos рку + (а-к ~ ък) smрку--^,у<0,

Я J П

0.57) а>к = а m ^ ч 1лк(рк8шркае-^ - фк cos ßk&e~ßkß + hk{ 1 - sin^aeAifc/3)

0.58) bk = flk = fik(fk sin /- фк eos [ikocé1^ + hk{ 1 + sin /Mfc/?) , (0.59) íik<Pk sin MfcQí ch ¡ik((3 - d) -фк eos fika ch fik(P - d)+

2/4

Д$ь(*) ifc(ch//fcd - sh/¿fc(/? - d) sin¿¿fca) + //^(sin^Oí - sh/¿fc/?)

0.60)

2k =

A ?!(*:) flk® ch /Lífc(/3 - d) + eos sh - sin цка ch /¿fc/?)+

Ч-^А;(sin¡ikOish/¿¿/3 + eos/ifcOí ch fikP ~ eos ch fik(P - d) - 1)+ +hk(sin ^fcQ; sh цк(Р — d)— sin fika sh цкР + eos fik(x ch fikP — cos2fika ch ¡j,kd — 1)+

Hk9k{sin 2fika ch [ikp - eos 2fika sh цф - sin fika) при условии

Ааръ(к) = S^HkP - sin/.Lka ^0, к E N.

0.61)

0.62)

Выражение = 0 только тогда, когда а = ^ агевт^Ъ.[1кР), если вЪ^кР] < 1, или когда Р = ^агез/г^т/л^о;).

Пусть при некоторых а, Р, 6 и к = р нарушено условие (0.62). Тогда задача (0.35) - (0.41) при (р(х) = ^(ж) = /¿(ж) = д(:с) = 0 имеет ненулевое решение ир{х,у) = sin7rpa:, у > 0, где е2^ - К9р + 1) eos flpy + (1 - е2^) sin /1ру - Кх hp{x) = fip sin тгрх, fip = —Цр[К$р + К9р], Í2p(x) = f2p sin ттрх, f2p = -V?pK8p,

2еМр/3 sin fjLpa - + 1

8p

SÍn7Tpx, y < 0,

0.63) (0.64)

K8p = sin ¡jLpa eos (ipOL sin ¡ipO¿ + eos \ipOL + e2Mp/3(sin fipa — eos ¡ipq) sin ц,ра

Теорема 0.3.1. Если существует решение и(х,у) и f(x,y) задачи (0.35) - (0.41), то оно единственно только тогда, когда при всех к £ N выполнены условия (0.62).

Лемма 0.3.1. Пусть а, (3 и Ь - любые положительные числа. Тогда существуют положительные постоянные Со и [3о такие, что при всех к е N и /3 > Ро справедлива оценка Сое"". (0.65)

Теорема 0.3.2. Пусть функции (р(х),д(х) Е С3[0,1], ф(х), ¡г{х) е С2[0,1] и ^(0(0) = у>«(1) = 0, = $«(1) = 0; г = 0,2, ^(0) = ^(1) = О, Л(0) =

И(1) — 0 и выполнены условия (0.65) при всех к 6 N. Тогда существует единственное решение задачи (0.35) - (0.41) и оно определяется рядами (0.55), (0.56).

Теорема 0.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.3.2. Тогда для решения (0.55), (0.56) задачи (0.35) - (0.41) имеют место оценки:

Ых,у)\\ь2 < Мп{Ы\ь2 + |\Ф\\ь2 + \\Щь2 + IЫУ, \\ш\\ь < М12(М\Ш2 + \\ф\\шг + \ \И\+ \\gWw*), г = 1,2,

М*,у)\\с(п+) < Мз(1Мк + Шщ + + \\gWwt), ||/<(х)||с[0|1] < М14(\\(р\\у% + \\ф\\ш} + \\h\lw* + \\gWwi), г = 1,2, где постоянные М* не зависят от функций (р(х), ф(х), И(х) и д(х).

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения нелокальных прямых и обратных задач для уравнения смешанного парабол о-гиперболического типа с нелокальным граничным условием, связывающим значения искомого решения или его производных по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам рассматриваемого уравнения. Для каждой из задач установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, установлена устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения нелокальной прямой и обратных задач для уравнений смешанного элли-птико-гиперболического типа с нелокальными граничными условиями, связывающими значения искомого решения и его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам данного уравнения. Решения поставленных задач построены в виде сумм рядов по собственным функциям, установлены критерии единственности и доказана устойчивость решений по граничным данным.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, лаборатории прикладной математики и информатики отдела физико-математических и технических наук Института прикладных исследований Академии наук Республики Башкортостан (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов, 2008 - 2011 гг.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях, семинарах, симпозиумах:

1. Международный Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VIII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, 25 - 30 июня 2010 г.). 2. Девятая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2010» (г. Казань, 1-6 октября 2010 г.). 3. Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвященный 65-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Якутск, 10 - 13 ноября 2010 г.). 4. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (г.Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г.). 5 .IX Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, 23 - 27 мая 2011 г.). 6. Всероссийская конференция с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Стерлитамак, 27- 30 июня 2011 г.). 7. Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (г. Белгород, 17 - 21 октября 2011 г.). 8. Десятая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2011» (г. Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.).

1. Арнольд, В.И. Малые знаменатели. 1. Об отображениях окружности на себя / В.И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1961. - Т. 25. - №1.- С. 21-86.

2. Арнольд, В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // УМН. 1963. - Т. XVIII. - Вып. 6 (114). - С. 91 - 192.

3. Арсенин, В.Я. О некорректно поставленных задачах / В.Я. Арсенин. Успехи мат.наук. 1976. - Т.31. - №6. - С. 89 - 101.

4. Бабенко, К.И. О задаче Трикоми / К.И. Бабенко // ДАН СССР. 1986. -Т. 291. - № 1. - С. 14-19.

5. Баев, A.B. Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача / A.B. Баев // Матем. заметки.- 1990. Т.47. - Вып. 2. - С. 149 - 151.

6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- М.: Наука, 1966. Т. 2. - 296 с.

7. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / JI. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

8. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 185. -№4. - С. 739 - 740.

9. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе. М.:Наука, 1981. - 448 с.

10. Бурцев, М.В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом /М.В. Бурцев, А.Н. Зарубин // Дифференц. уравнения. 2008. - Т. 44. -№ 3. - С. 373 - 383.

11. Бурцев, М.В. Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.В. Бурцев. -Белгород, БелГУ, 2008. 16 с.

12. Бухштаб, А. А. Теория чисел. / А.А. Бухштаб М.:Просвещение, 1966. -384 с.

13. Врагов, В.Н. Смешанная задача для одного класса параболо-гиперболических уравнений второго порядка / В.Н. Врагов / / Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12. - № 1. - С. 24 - 31.

14. Гельфанд, И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений / И.М. Гельфанд // УМН. 1959. - Т. XIV. - Вып. 3 (87).- С. 3 19.

15. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач /A.M. Денисов. М.: МГУ, 1994. - 207 с.

16. Денисов, A.M. Обратная задача для квазилинейного волнового уравнения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. 2007. - Т. 43. - № 8. - С. 1097 - 1105.

17. Денисов, A.M. Обратные задачи для квазилинейного гиперболического уравнения в случае движущейся точки наблюдения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. 2009. - Т. 45. - № 11. - С. 1543 - 1553.

18. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев Ташкент: Фан, 1986. - 240 с.

19. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа / Т.Д. Джураев, А. Сопуев, М. Мамажанов.- Ташкент: Фан, 1986. 220 с.

20. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами напереходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. 1962. -Т. 122. - кн. 3.-С. 3-16.

21. Жегалов, В. И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов // Известия Вузов. Математика. 1979. - №9. - С. 11-20.

22. Жибер, A.B. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка /A.B. Жибер, О.С. Костригина // Уфимск. матем. журнал. 2011. - Т. 3. - №3. - С. 67 - 79.

23. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А.Н. Зарубин / Орел. гос. ун-т. 1999. - 225 с.

24. Золина, Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа / JI.A. Золина //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. - Т.6. - № 6. - С. 991 - 1001.

25. Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. М.: Наука, 1978. - 206 с.

26. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма -Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 291. - №3. - С. 534 - 539.

27. Ильин, В.А. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Матем. моделирование. 1990. - Т. 2. - №8. - С. 139 -156.

28. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

29. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - № 7. - С. 1284 - 1295.

30. Капустин, Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся частью / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - № 1. - С. 72 - 78.

31. Кароль, И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сборник. -1955. Т. 38 (80). - № 5. - С. 261 - 283.

32. Кожанов, А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А.И. Кожанов // Матем. заметки. 2004. - Т. 76. - № 6. - С. 840 - 853.

33. Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А.И. Кожанов // Сиб. матем. журнал. 2005. - Т. 46. - № 5. - С. 1053 - 1071.

34. Кожанов, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // ДАН. 2005. - Т. 404. - № 5. - С. 589 - 592.

35. Кузьмин, А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения в газодинамике / А.Г. Кузьмин. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. -280 с.

36. Кузьмин, А.Г. Модифицированная задача Франкля-Моравец о трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля / А. Г. Кузьмин // Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 40. - № 10 - С. 1379 - 1384.

37. Лаврентьев, М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения / М.М. Лаврентьев // Докл. АН СССР. 1964. - Т.157. - № 3. - С. 520 -521.

38. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.Т Шишатский. М.:Наука, 1980. - 286 с.

39. Лаврентьев, М.М. Одномерные обратные задачи математической физики / М.М. Лаврентьев, К.Г. Резеницкая, В.Г. Яхно М.:Наука, 1982. - 88 с.

40. Ладыженская, O.A. Об уравнениях смешанного типа / O.A. Ладыженская, Л. Ступялис // Вестник ЛГУ. Серия мат., мех. и астр. 1965. - Т. 19. - № 4. - С. 38 - 46.

41. Лернер, М.Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Сиб. матем. журнал. 1999. - Т. 40. - №. - С. 1260 - 1275.

42. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - №8. - С. 1087 -1093.

43. Лернер, М.Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37. - Ml. - С. 1562 - 1564.

44. Мартемьянова, Н.В. Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Н.В. Мартемьянова // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. - 2010. - №6(80). - С. 27 - 38.

45. Мартемьянова, Н.В. Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Н.В. Мартемьянова. Казань, КГУ, 2012. - 20 с.

46. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев М.:Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

47. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - т. - С. 1094 - 1100.

48. Нахушев, A.M. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 44 - 59.

49. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Нахушев М.: Наука, 2006. - 287 с.

50. Прилепко, А.И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А.И. Прилепко, A.B. Костин // Матем. сборник. 1992. - Т. 183. - № 4. - С. 49 - 68.

51. Прилепко, А.И. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении / А.И. Прилепко, A.B. Костин // Сиб. матем. журнал. 1993. - Т. 33. - № 3. - С. 146 - 155.

52. Прилепко, А.И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Вычисл. матем. и матем. физ. 2003. - Т. 43. - №4. - С. 562 - 570.

53. Пулькин, С.П. Избранные труды / С.П. Пулькин Самара. Универс групп., 2007. - 264 с.

54. Пулькина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Матем. заметки. 2003.- Т. 74. Вып. 3. - С. 435 - 445.

55. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференц. уравнения.- 2004. Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

56. Рахманова, Л.Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной / Л.Х. Рахманова // Известия Вузов. Математика.- 2007. №11 (546). - С. 36 - 40.

57. Рахманова, Л.Х. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Л.Х. Рахманова Казань, КГУ, 2009.- 19 с.

58. Репин, O.A. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / О. А. Репин // Дифференц. уравнения. 1996. - Т.32. - №4. С. 565 - 567.

59. Романов, В.Г. Одномерная обратная задача для телеграфного уравнения. / В.Г. Романов // Дифференд. уравнения. 1968. - Т.4. - №1. С. 87 - 101.

60. Романов, В. Г. Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения. / В.Г. Романов // Сиб. матем. журнал. -1998. Т.39. - Ш. 436 - 449.

61. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного парабол о-гиперболического типа со спектральным параметром / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25. - №1. - С. 117 - 126.

62. Сабитов, К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // ДАН. 2007. - Т. 413. - № 1. - С. 23 - 26.

63. Сабитов, К. Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Матем. заметки. 2008. - Т.86. - Вып. 2. - С. 273 - 279.

64. Сабитов, К. Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 2010. - Т.46. - №10. - С. 1468- 1478.

65. Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для уравнения парабол о-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Матем. заметки. 2011. - Т.89. - Вып. 4. - С. 596 - 602.

66. Сабитов, К. Б. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Известия Вузов. Математика.- 2011. №2. - С. 71 - 85.

67. Сабитов, К. Б. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, JI.X. Рахманова // Дифференц. уравнения. 2008. - Т.44. -т. - С. 1175 - 1181.

68. Сабитов, К. Б. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // ДАН. 2009. - Т. 429. - № 4. - С. 451 - 454.

69. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Известия Вузов. Математика. 2010. - №4 (546). - С. 55 - 62.

70. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Матем. заметки.- 2010. Т.87. - Вып. 6. - С. 907 - 918.

71. Сабитов, К. Б. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, О.Г. Сидоренко // Дифференц. уравнения. 2010. - Т.46. - №1. - С. 105 - 113.

72. Сабитов, К. Б. Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью / К.Б. Сабитов, И.А. Хаджи // Известия Вузов. Математика. 2011. - №5. - С. 44 - 52.

73. Сабитова, Ю.К. Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Ю.К. Сабитова // Стерлитамак, СГПА, 2007.- 20 с.

74. Сабитова, Ю.К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения / Ю.К. Сабитова // Известия Вузов. Математика. 2009. - №12. - С. 49 - 58.

75. Сабитова, Ю.К. Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Ю.К. Сабитова // Дифференц. уравнения. 2010. - Т.46. -№8. - С. 1205 - 1208.

76. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Салахитдинов Ташкент: Фан., 1974. - 156 с.

77. Самарский, А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16.11.-С. 1925 1935.

78. Сафин, Э.М. Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Э.М. Сафин. Уфа, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2011.

79. Сидоренко, О.Г. Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.Г. Сидоренко. Стерлитамак, СГПА, 2007. - 19 с.

80. Скубачевский, А.Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / А.Л. Скубачевский // Матем. сборник. 1983. - Т. 121. - № 2. - С. 201 -210.

81. Скубачевский, А.Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы / А.Л. Скубачевский // Матем. сборник. 1986. - Т. 129.- № 2. С. 279 - 302.

82. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. -М.:Высшая школа, 1985. 304 с.

83. Солдатов, А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1974. - Т. 10. -№ 1. - С. 143 - 152.

84. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева -Бицадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // ДАН. 1993.- Т. 332. № 6. - С. 696 - 698.

85. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева -Бицадзе. И. Теорема существования / А.П. Солдатов // ДАН. 1993.- Т. 333. № 1. - С. 16 - 18.

86. Стручина, Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений / Г.М. Стручина // Инженер.-физ. журн. 1961. - Т. 4. - № 11. - С. 99 - 104.

87. Ступялис, Л. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа / Л. Ступялис // Труды МИАН СССР. Т. 27. - Л.: Наука, 1975. - С. 115-145.

88. Тихонов, А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов // ДАН.- 1943. Т. 39. - № 5. - С. 195 - 198.

89. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

90. Удалова, Г.Ю. Обратная задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / Г.Ю. Удалова // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. 2010. - №4. - С. 89 - 97.

91. Уфлянд, Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях / Я.С. Уфлянд // Инженер.-физ. журн. 1964. -Т. 7. - № 1. - С. 89 - 92.

92. Франкль, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. -1945. Т. 9. - №2. - С. 121 - 142.

93. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. 1956. - Т. 20. - №2. - С. 196 - 202.

94. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике /Ф.И. Франкль.- М.: Наука, 1973. 703 с.

95. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. Нальчик. Изд. "Эльбрус". 1998. - 169 с.

96. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин М.:Наука, 1978. - 112 с.

97. Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. 1963. - V.21. - №2. - P. 155- 160.

98. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discon-tinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl. 1963. - P. 371 - 377.

99. Cannon, J.R. Determinantion of an unknown foreing function in a hyperbolic equation from overspecified data / J.R. Cannon, D.R. Dunniger // Annali de Mathematica pura ed Applicata. Serie Quarta tomo LXXXV - 1970. - P. 49 - 62.

100. Юнусова, Г.Р. Обратная задача для уравнения смешанного типа с двумя нелокальными граничными условиями / Г.Р. Юнусова // Материалы

101. Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик, 2011. - С. 98 - 103.

102. Юнусова, Г.Р. Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Г. Р. Юнусова // Научные ведомости БелГУ, Серия: Математика. Физика. 2011. - №5(100). - Вып. 22. - С. 153 - 166.

103. Юнусова, Г. Р. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Г.Р. Юнусова // Вестник СамГУ- Естественнонаучная серия. 2011. - №8(89). - С. 108 - 117.

104. Юнусова, Г.Р. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным граничным условием / К.Б. Сабитов, Г.Р. Юнусова // Дифференц. уравнения. 2012. - Т. 48. - № 2.- С. 238 245.