Локальные и нелокальные задачи для линейных и нелинейных уравнений смешанного типа высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Р ^нс^иту^ ^еоретической и прикладной математики

* ЛИВ 19г

На правах рукописи

КИМ РЕГИНА ЕВГЕНЬЕВНА

ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕИНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ СМЕШАННОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук -

Алматы, 1994

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики НАЛ Республики Казахстан и Новосибирском государственном университете Российской Академии наук..

Научный руководитель: академик Российской академии технологических наук, доктор физико-математических наук , 1 профессор В.Н.Врагов. Бедуцая организация: Вычислительный центр Сибирского

отделения Российской Академии наук, г.Новосибирск. • Официальные оппоненты: член-корреспондент НАН РК ,

.доктор физико-математических наук , профессор М.О.Отелбаев , / кандидат физико-математических наук Т.Е.Еддесбаев.

Защита состоится " Ч " СР&^МЛЛ. 1995г. в 1500час. на заседании Специализированного совета Д 53.04.01, при Институте теоретической и прикладной математики НАН РК по адресу: 480021, Алматы, ул.Пушкина, 125.

• С'диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной математики НАН РК.

Автореферат разослан -М- ■ (ШСШ /и 1994г

Ученый секретарь Специализированного совета Д 53.04.01, У кандидат физико-математических наук оА.Т.Кулахметова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В силу своей прикладной важности теория уравнений смеааккого ггаа является одкш кз важязйзях разделов современной теория дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено тем, что указанные уравнения находят многочисленные приложения в ряде задач трансзвуковой газовой динамики, магнитной гидродинамики, в теорзи бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек я других областях механики.

Начало теории уравнений смешанного типа было положено известными работами Ф.Грякомл я С.Геллерстедта. Дальяейиее развитие эта теория получила в работах А.З.Бицадзе, К.Я.Еабенко, М.А.Давреятьева, В.Н.Врагова, А.М.Нахулева, Т.Ш.Калылеяова, Б.А.Бубнова, Т.Д.Джураова, М.С.Салахитдинова и других.

В последнее время внимание ряда математиков привлекли краевые задачи для таких уравнений высокого порядка, которые на подходят под обычную классификация.

Исследованию таких неклассичеакях задач посвящены работы В.П.Михайлова, Ю. А. Дубине кого, В.Н.Врагова, Б.А.Бубнова, С.Г. Пяткова, Ю.Н.Валяцкого, С.А.Алдасеза и других.

Имеется много работ, где предлагаются различные постановки задач с нелокальными условиями для неклассических уравнений.

Впервые нелокальные краевые условия для получения расширений некоторых типов неклассических операторов предложи: А.А.Де-зин. Этот подход получил.дальнейшее развитие з работах В.И.Же-галова, АЛ.Нахушэва, Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова, Т.Ш.Каль-менова и их учеников. Различные классы нелокальных краевых задач для уравнений 2-го порядка рассмотрены в работах В.А .Ильина и Е.И.Моисеева.

Интерес к нелокальным краевым задачам для неклассических уравнений возрос после установления взаимосвязи вопроса о разре-пшхостинелокгльнкх краевых задач с вопросом о разрешимости линейных обратных задач. Следует отметить здесь работы С.З.Джама-лоза, А.В.Врагова, где была показана эквивалентность вопросов о разрешимости двух классов таких задач. Учитывая эту связь, следует подчеркнуть, что нелокальные краевые задачи имеют важное практическое применение, поскольку линейные обратные задачи являются математгчесхкли моделями геофизических, биологических и физических процессов.

Цель работы. Цель настоящей диссертации - исследование класса локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка при определённых условиях на младшие коэффициенты, исследование вопроса о разрешимости и корректности задач, поставленных в работе.

Методика исследования. В работе применяется метод априорных оценок исследования краевых задач, используются метода общей теории дифференциальных уравнений о частными производными я функционального анализа, в частности, метод Галёркина, метод предельного перехода по малому параметру. При этом используются теоремы вложения.

Научная новизна, теоретическая и практическая деяность. В работе предлагаются постановки новых корректных краевых задач для уравнешй смешанного типа высокого порядка.

В главе I диссертации изучена серия локальных и нелокальных задач в прямоугольвой области для линейных и нелинейных уравнений смешанного типа с различными краевыми условиями. Доказана обобщенная разрешимость в пространстве Соболева с весом рассматриваемых задач при определенных условиях на коэффициенты.

В главе П изучается подобные краевые задачи для уравнений смешанного типа в цилиндрической облает 1) пространства На основе априорных оценок, при тех же ограничениях на коэффициенты , что и б главе I , доказывается существование'; обобщенных решений рассматриваемых краевых задач в весовых пространствах Соболева.

Получение в диссертации результаты гг.;его? теоретическое значение, представляя определённый интерес в развитии общей теории краевых задач для уравнений неклассического типа. Они могут такка служить теоретической основой при исследовании процессов, описываемых подобными уравнениями.

На заииту автор вннооит оледтаие результату:

- доказаны теоремы об обобщенной разрешимости нелокальных задач для линейных уравнений смешанного типа зисокого порядка;

- доказана обобщенная разрешимость краевых задач для нелинейных уравнений смешанного типа высокого порядка с различными крае- ■ ВЫМЕ условия?,«;

- доказаны теоремы об обобщенной разрешимости ряда локальных и нелокальных краевых задач для некоторых многомерных уравнений смешанного типа высокого порядка.

Апгобания работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной студенческой научной конференции в г.Новосибирске в IS9Cr., на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа", посвященной 60-летию акад. U.M.Лаврентьева (г.Новосябирск, 1992г.); на научных семинарах: по уравнениям математической физики членоз-корр. НАД FK Е. И. Кима. С.Н.1аряна и доц. М.О.Орынбасарова, по теории функций и функциональному анализу члена-корр. HAH Ei Н.К.Елк-ева, по дифференциальным уравнениям и функциональным пространст-

вам члена-корр. КАН РК Д.У.Умбетяанова при Институте теоретической и прикладной катеултякк НАН НС, по уравнениям математической физики проф.С.Е.Темирбулатова и проф. С.А.Алдашева при КазНГУ им.Аль-Фарабг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-4).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав , разделенных на 6 параграфов , и списка литературы , содержащего 55 наименований. Работа излокена на 77 страницах машинописного текста.

' - СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы, краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, краткое изложение результатов диссертации.

В главе I изучаются локальные и нелокальные задачи для линейных и нелинейных уравнений смешанного типа высокого порядка в прямоугольной области D = j(x,t) •' 0<Х<± t -¿<t< ij .

В § I доказывается обобщенная разрешимость нелокальной задачи дйя линейного уравнения следующего вида:

2К-2.

/ц= KCi^u+DxU-^Dt* u+LaJXu+cu^-í , (i)

i-i V

гдо И ? ¿ - целое число, К (ib О ,W-i)*S0 ; К ("О , oí ,

Q¿ , ... , , С - достаточно гладкие функции.

Из этих предположений следует, что уравнение (I) в области!) является уравнением смешанного типа.

Краевая задача. Найти в области I) решение уравнения (I), удовлетворяющее условиям:

К и = О , 1= ,

= ] = 0,(К-П , (2)

К и (¿Д) = О, . ] = о,(к-О ,

Обозначим через С^ класс 2ц-раз непрерывно дифференцируемых Функций в I) , удовлетворяющих условиям (2), а через И/, - пространство, полученное замыканием класса С^ по корке

2 ГГ7тч21М\2

3)

Теорема I. Пусть в области X) выполнены следующие условия: л

гос-К^^Ь^о

и с а)

такова, что

при достаточно большом Щ > О • Тогда для любо!} функции $ <~/^(1)) существует обобщенное решение задачи (1)-(2) из пространства .

В § 2 исследуется краевая задача для одного неклассического уравнения высокого порядка, отличающегося от ранее рассмотренного наличием нелинейных членов.

При таких ао ограничениях на коэффицнеатн уравнения, что и

в § I , доказывается обобщенная разрешимость исследуемой задачи. В области I) рассмотрим уравнение

2к-Z

. /ин

2К-2.

•ьЕИ^Г'к -{ , (3,

где 1 - целое число, 01 , ... , @2к-г • ^ ~ достаточно гладкие функции,

, ] = М^) •

'Краевая задача. Найти в области I) решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (2).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы I. Тогда для любой функции существует обобщенное решение задачи

(3)-(2) из пространства .

В § 3 рассматривается краевая задача для следующего квазилинейного уравнения:

¿и^тж

где к > I -целое число, у >0 , ^>0, ^ >0 , и= кМ) , коо , оС , 01 , ... , , С - достаточно гладкие функ-

ции. Отыогеы, что в случае Я-1,2. уравнение (4) рассматривается баз пелинейвого члена

Ктаевая задача. Найти в области I) решение уравнения (4), удовлетворяющее следующем условиям:

К и (о,0=0, 0,<К-1) ,

Ми(1,0 = 0, ] = О, (К-1),

и (х,-1) = 0, (5)

Ки(х,±1) = 0, 1= I, (К-I).

Обозначим через класс 2 к -раз непрерывно дифференцируемых в 3) функций, удовлетворяющих условиям (5) , а через Нд - пространство, полученное замыканием класса С^ по норме

и

^-¡[ОШК^и*}*]).

2

Н,

3 2,

Теорема 3. Пусть ^ >1 , ^ =5 ~?г ~ V 2"" и з области В выполнены следующие условия:

Тогда для любой функции пг существует обобщенное ропсь-

.зидачл у — \ но иууих^ляни 1£хг | I ^ ШЛУО » "н и

и е (1)) .

В § 4 в области V рассматривается уравнение

к-г

20 задачи (4)-(5) из пространства Н) такое, что и^бА.^(I)),

в

гдо - линейная часть оператора Ь следующего пзда:

А иМЖ

и+1)х а + ос у ± • и +

г

О-.и^и-ь си ,

гдо к ^ I - целое число, ^; >■ 0 , I =<?,(«-2) ,

ВД. ос

• .....' ^ ~ Достаточно гладкие функции.

Краевая задача. Найти в области I) решение уравнения (6) такое, что

Ки(А/Ь)=0, ¡ = к-1), (?)

и (х,-1) = Ки(х,±1) = о; 1 = 77оП).

Обозначим через Н^ пространство, подученное замыканием класса 2к -раз непрерывно дифференцируемых в I) функций , удовлетворяющих условиям (7), по норме:

■ ч, И

Л).

и

ЩЧЫ+ПЫ- и"

2

нг И 1) .

С помощью метода "<5 -регуляризация" при некоторых предположениях на коэффициенты уравнения (6) доказывается существование обобщенного решения задачи (6)-(7) из пространства

Б главе П исследуются локальные я нелокальные краевые задачи, подобные рассмотренным-в гл.1, для уравнений смешанного типа в цилиндрической областа пространства К

Пусть /1 - ограниченная одяосвязная область в с достаточно гладкой граняцой Г .

- цилиндрическая область, Г * и,I) - её боковая поверхность. В § I главы П в пщшндркческой области X) рассматривает-

ся дифференциальное уравнение

, 2К-2

¿имт: ЛС

где к ^ I ~ целое число,

и а) - достаточно гладкие функ-

ции.

Краевая задача. Найти в области I) решение уравнения (8)

такое, что

дп]

= 0, К-1), (9)

]\ и и(х,"4 У-сопэЬ ^ I.

Обозначим через Ц/ класс

-раз непрерывно дифференцируемых в I) функций, удовлетворяющих условиям (9), а черээ И/, - пространство, полученное замыканием класса Сд по пормо:

ыв.

Теорема 4. Пусть в области 1) выполнены следующие условия: , , С

2 - К-ь >0 > О

и С(£) такова, что „ , . .

3), С <--Мтах 21 ОД

при достаточно большом М > О • Тогда для любой функция существует обобщенное реше-

ние задачи (8)-(9) из пространства .

В § 2 главы П ставятся краевыо задачи дня нелинейных уравнений, рассмотренных в главе I , но в Л -мерном пространстве, п доказывается ях обобщенная разрешимость при тех же ограничениях, что я в случае п -- I , я дополнительных ограничениях, вызванных правомерностью использования теорем вложения.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ким P.E. О нелокальной задаче для уравнения смешанного типа высокого порядка/Алгебра и математический анализ .Межвузовский сборник научных трудов.Новосибирск, 1990.-С.126-129.

2. Ким P.E. 0 нелокальной задаче для нелинейного уравнения смешанного типа высокого порядка // Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (посвященная 60-летию академика М.М.Яаврентвева).Новосибирск, 1992 .-С. 196-197.

3. Ким P.E. О краевой задаче для одного квазилинейного уравнения смешанного типа выоокого порядка // Известия HAH FR, серия физ.-мат.наук.-1994.-К 5.

■4. Ким P.E. Нелокальная задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа высокого порядка // Депонировано в КазШИНТЙ.-08.0Г?.1994.-Я 5145-Ка 94.-10 о.

Ким Регина Евгенийцызы

Жогаргы реттг аралас сыэьп^ты жене сызыцсыз тец-деулерд^ жергШкт1 жэне жергШксгз ecerrrepi

Жогаргы реттг аралас сызы^ты жэне сызы^сыз тевдеулер упйн ^ойылган жергШкт1 жэне жергглгксгз есептердщ жалгшлаш memiv-дер: туралы мэселелер царастырылган. Жерг1лхкт1 жене жергглхксгз есептер тобынщ шешхмдер! бар болу теорекалары жогаргы ретт! аралас сызыцты жэне сызы^сыз тецдеулер yuiih tik бурышты тертбу-рыщ пен цилиндрлгк аймадтарда дэлелденген. Зерттелген есептердщ жалпылама ivenijp/iищ тевдеулер коэффициенттергне цойылган белгхлг бip шарттардын орындалган жагдайларында болатындыгы та-гаЯындалган.

Kim Reglxia Evgenjevna.

Local and nonlocal problems for linear and nonlinear high-order equations of mixed type

The questions of generalized solvability of local and nonlocal problems for linear and nonlinear high-order-equations of mixed type are considered. The theorems of existence of generalized solution of local and nonlocal problems for series of linear and nonlinear high-order-equationa of mixed type in rectangular and cylindrical domains are established. The generalized solvability of studied ргоМетз is obtained with some restrictions on the coefficients of equations..