Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков

Лайпанова, Аида Манафовна

Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Лайпанова, Аида Манафовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков»

Автореферат диссертации на тему "Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков"

На правах рукописи

Лайпанова Аида Манафовна

Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков

01.01.02 - «Дифференциальные уравнения»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нальчик - 2003

Работа выполнена в Карачаево-Черкесском государственном университете (КЧГУ) и в Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова (КБГУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Елеев Валерий Абдурахманович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, Геккиева Сакинат Хасановна

Ведущая организация - Орловский государственный университет

Защита состоится 20 сентября 2003 г. в 9 часов на заседании диссертационного совета КР 002.195.45 в НИИ ПМА КБНЦ РАН по адресу: 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НИИ ПМА КБНЦ РАН.

Автореферат разослан 20 августа 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа, в силу своей теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Она привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и её приложениями. В частности, многие математические модели тепло- и массообме-на в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных гиперболо-параболических уравнений содержится в монографиях Т.Д. Джураева, А. Сопуева и М. Мамажанова, в докторских диссертациях Д. Базарова, В.А. Елеева, O.A. Репина, К.Б. Сабитова. Следует также отметить работы Х.Г. Бжихатлова, В.Н. Врагова, С.И. Гайдука, С.Х. Геккиевой, И.М. Гельфанда, JI.A. Золиной, Н.Ю. Капустина, В.М. Корзюка, A.M. Нагорного, A.M. Нахушева, Е.А. Островского, А. Сопуева, Г.М. Стручиной, Я.С. Уфлянда, в которых были поставлены и исследованы краевые задачи для таких уравнений.

Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа.

i С.Петербург|

5 ОЭ Щ) "tvJ'tJl

мечено, например, в книге A.M. Нахушева "Уравнения математической биологии", исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи.

В имеющихся на сегодняшний день работах главным образом изучались нелокальные краевые задачи для эллиптико-гиперболических и гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Что касается нелокальных краевых задач для смешанных и смешанных нагруженных уравнений более высокого порядка, то они остаются малоисследованными.

Все это подчеркивает как теоретическую, так и практическую актуальность постановки и исследования локальных и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов однозначной разрешимости новых локальных и нелокальных краевых задач для смешанных гиперболо-параболических, в том числе нагруженных, уравнений второго и третьего порядков.

Методы исследования. Для достижения основной цели используются методы функции Грина и интегральных уравнений, принципы максимума для уравнений смешанного типа, методы априорных оценок и интегралов энергии, элементы дробного исчисления и теории специальных функций.

Научная новизна. В работе получены новые научные результаты:

1. Доказана теорема о единственности решения аналога задачи Франкля для общего гиперболо-параболического уравнения второго порядка при достаточно общих предположениях относительно коэффициентов.

2. Для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с сингулярным коэффициентом доказана однозначная разрешимость краевой

задачи с краевыми условиями третьего рода в параболической части.

3. Решена смешанная краевая задача для нагруженного гиперболо-параболического уравнения второго порядка.

4. Найдены достаточные условия на спектральные параметры, при которых существует единственное решение аналога задачи Трикоми для модельного смешанного уравнения третьего порядка.

5. Для смешанных нагруженных уравнений третьего порядка доказаны существование и единственность решений аналогов задачи Трикоми.

6. Исследован вопрос однозначной разрешимости краевой задачи со смещением для модельного нагруженного уравнения смешанного типа с разрывными условиями сопряжения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных и теории уравнений смешанного гиперболо-параболического типа. Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы апробировались на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава Карачаево-Черкесского государственного педагогического университета (г. Карачаевск, 1999г.), на ежегодной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, СамГТУ, 2000г.), на Второй Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (г. Нальчик, 2001г.), на семинаре кафедры математического анализа КЧГПУ (г. Карачаевск, 1998г.), на совместном семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского государственного университета (г. Нальчик, 1999-2001гг.),

на научном семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (г. Нальчик, 2002г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8]. Работы [3,5,6,7] выполнены в соавторстве с В.А. Елее-вым, которому принадлежит постановка задач и общие указания о путях решения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов, библиографического списка, содержащего 69 наименований. Объем работы составляет 68 страниц.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор результатов исследований по ее тематике, кратко изложено содержание работы и методика исследований.

Первая глава посвящена краевым задачам для смешанных гиперболо-параболических уравнений второго порядка.

В §1.1 исследуется аналог задачи Франк ля для смешанного гиперболо-параболического уравнения

в конечной односвязной области £2 евклидовой плоскости точек (х, у), ограниченной отрезком А'А оси х = 0; —1 < у < 1; отрезками В'В, АВ прямых х = /, у = 1 соответственно; характе-

СВ' = {(х, 0) : h < х < /} оси у = 0, h = 2/{т + 2), m = const > 0.

Пусть iii = П П {у > 0}; ОР - часть характеристики уравнения (1), выходящей из точки О = (0,0) и пересекающейся с А'С в точке Р\ Пг- область, ограниченная кривыми OP, PC и ОС; Г23 - область, ограниченная кривыми OA', А'Р и РО; Q- замыкание П.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

0 -Lu =

ихх + ai (я, у) их + bi(x, у) чу + ci (х, у) и, у > 0, «»» ~ \v\muxx + а,г(х,у)иу + Ьг{х,у)и, у < 0,

(1)

уравнения (1), и отрезком

Задача 1.1. Найти функцию и (х,у), обладающую следующими свойствами:

1) и (X, у) £ С (Й) П С1 (fi U А'А\ОР) Г) С2 (fii U П2 U П3) ; в; Ьи (х,у) = 0, (х,у) 6 (Qi UQ2U Пз) ; и(х,у) удовлетворяет краевым условиям

uX\aa = "1св< = Ф («) , = Ы;

и(0,у)-и(0,~у) = /(у), -1<У<1,

где ф\ (х), фг (у), f (у) - заданные функции.

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагается, что ai £ С1 (йх), ¿1 е С2 (Oi) , ci € С (Qj), о2, h в С1 (й2 U П3) , причем Ь!{х,у)<0, с1(х,у)<0.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 1.1.1. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют следующим условиям:

+ hv + kbi - 2ci > 0, Ьг (b'i - aib'^j + ft? (аг - 2ci) - 26? > 0;

b[ (0,0) - ai (0,0) Ьг (0,0) < 0; 0 < ог (ж, 0) < т/2,

где k = const < max{2ci — а\х - b\y}/bi. ft i

Тогда задача 1.1 в области О не имеет более одного решения.

Доказательство теоремы 1.1.1 проводится методом интегралов энергии. Вопрос существования решения задачи исследован методом эквивалентной редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, однозначная разрешимость которого следует из единственности решения задачи 1.1.

В §1.2 исследуется краевая задача для смешанного нагруженного

гипербопо-параболического уравнения с сингулярным коэффициентом

. Uy-uxx + a(x,y)ux + Xou+ Y,\ju(xj,y), у> О,

О = { i=1 (2)

уу-хх + Uyy 4- ay~xUy, у < О,

в области П евклидовой плоскости точек (ж, у), ограниченной отрезками AAq , В Во и AqBo прямых х = 0, х = 1, у = h соответственно при у > 0 и характеристиками АС: х - § (-у)* = 0, ВС : х + | (-у)* = 1 уравнения (2) при у < 0, -1/2 < а < 0.

Обозначим через Qi = Ü П {у > 0}, Ü2 = Q П {у < 0}. Прея-полагается, что Xj, j = 1 ,m- фиксированные точки из единичного интервала 0 < х < 1. Для определенности будем считать, что 0 < xj < ... < хт < 1.

Задача 1.2. Найти функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:

1) и (х,у) е С (П) Л С1 ((П\АВ) U ЛЛо U ВВо) П С2 (Qi U fi2);

2) и(х,у) - регулярное решение уравнения (2) в Яг U Ог i

3) на линии у = 0 вырождения типа уравнения (2) выполняется условие сопряжения

lim щ = lim (~у)аиу, 0 < sd < 1; 1/-Ю4- * v-+o-

^ и(х,у) удовлетворяет краевым условиям

+ = Va (у),

где ч>2 и ф - заданные функции, причем al + ßl^Q, k — 1,2.

Используя свойства функции Грина третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности, задача 1.2 исследована специальным методом редукции к системе интегральных уравнений Вольтерра второго

рода.

В §1.3 рассматривается уравнение

ихх~иу-Х(у)и(хо,у), у>0, и**-|уГ"то> У< О,

в области П евклидовой плоскости точек (х,у), ограниченной отрезками ААо, ВВ$ и АцВц прямых я = О, ж = 1, у = Н соответственно и характеристиками АС : х — ^^ (—у)*^1 — 0, ВС : х + (—у)^ = 1 уравнения (3), выходящими из точек А = (0,0), В = (1,0) и пересекающимися в точке С — (1/2, ус), где ус < 0, 0 < »п < 1, 0 < ®о < 1 •

Обозначим через Пх = П П {у > 0}, = ^ П {у < 0} параболическую и гиперболическую части области П соответственно, а через В^. - оператор дробного интегро-дифференцирования.

Задача 1.3. Найти функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:

1) и (х, у) € С (П) П С1 (П) П С2 (Пх и П2); «(х, 0) предстаеима в виде и (а;,0) = (£), где функция Т(<) непрерывна и интегрируема в интервале 0 < х < 1;

2) и (х, у) - регулярное в области Пх и обобщенное класса Я в области Пг решение уравнения (3);

3) существует непрерывный и интегрируемый на ]0,1[ предел Нтиж(ж,у), 0 < у < Л, 0 < I < 1;

х-»0

4) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям

их{0,у) = (Р1{у), и(1,у) = ф2{у), 0 < у < Л; и\А с = ^(*)>

где щ {у), щ(у) 6 С[0, Л], ф(х) е С[0,1] ПС3]0,1[.

Задача 1.3 эквивалентно сведена к интегральному уравнению Воль-терра второго рода со слабой особенностью, которое, безусловно и однозначно, разрешимо.

Вторая глава посвящена краевым задачам для смешанных урав-

нений третьего порядка.

В §2.1 рассмотрен аналог задачи Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка со спектральным параметром

0 _ Г иххх - Чу - А!«, у > 0, ^

1 ихх-иуу + Л2и, у < 0,

где Ах, Аг - числовые параметры, в области П евклидовой плоскости точек (х,у), ограниченной при у > 0 отрезками ААо, АоВа и Во В прямых х = 0,у:=Лих = 1 соответственно и характеристиками АС : х + у = 0, ВС : х - у = 1 уравнения (4) при у < 0; = П П (у > 0), П2 = П П (у < 0). Задача 2.1. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

1) «(х,|0 е С (П) Л С1 (О и ААа) П П С2 (02);

2) и (х, у) - регулярное решение уравнения (4) в области П при у ф 0 ;

3) и (х,у) удовлетворяет краевым условиям

"(0,у) = <р1(у), и(1 ,у) = <р2(у), их{0,у) = <р3(у), 0 < у < Л,

и (х, -х) = ф(х), 0 < х < 1/2,

где (у), </з2 (у), у>з (у) - заданные непрерывные, V (я) - непрерывная вместе со второй производной функции, причем (0) — (0) •

Пусть Ах и А2 таковы, что А2 <0, Ах > (—Аг)3^; А2 < 1, > -А23+ЗА27Г2, А1 > 0; А1 > 2/(3\/3), А2 > 0. При этих предположениях относительно Ах и А2 доказаны существование и единственность решения задачи 2.1. Единственность решения задачи 2.1 доказывается методом интегралов энергии, а существование решения - методом редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого вытекает из единственности решения задачи 2.1.

В §2.2 рассматривается аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения третьего порядка

0_ | и^х-иу-\1и(х,0), у> О,

\ 55г (и» - «у») + Л2и (1,0), у < 0,

в области П, определенной ранее в §2.1; где к — 0,1; А1 и А2 - действительные постоянные; •/=](), 1[, «Л =]0, Л[. Пусть к =0.

Задача 2.2.0. Найти функцию и (ж, у) со следующими свойствами:

1) и (ж, у) € С (П) П С1 (П и АА0) П С™ л С2 (П2);

2) и (х, у) - решение уравнения (5) при уф 0;

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям

и (0, у) = Ч> 1 (у), «(1, У) = <Р2 (У), их (0, у) = <р3 (у),у€ и (х, -х) = гр! (х), 0 < х <1/2,

где щ (у) € С (7х) , г = й, (ж) € С1 [0,1/2] П С2]0,1/2[. Положим теперь, что к =1.

Задача 2.2.1. Требуется определить функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:

1) «(х, у) е С (П) П С1 (П и АА0 и АС) П С™ (ПО Л С3 (Па);

2) и {х,у) - решение уравнения (5) при уф 0; 8) и (х, у) удовлетворяет условиям

и(О»У) — VI (у) > и(1,у) = ¥>гЫ, их{0,у) = <рзЫ> У 6 -¡ь

ди

и\лс = Фь

дп

= Ф2 (х) ,

АС

где п-внутренняя нормаль, (у) € С (Л), г = 1,3, (ж) £ С3 [0,1/2], чМаОесЧо, 1/2].

В зависимости от корней характеристического уравнения а3—а—Ai = 0, соответствующего однородному уравнению т" (г) - т (х) — Air (х) = 0, доказывается однозначная разрешимость задач 2.2.0 и 2.2.1.

В §2.3 в области ß (см. гл. II, §2.1) для нагруженного уравнения смешанного типа

0_ f Uxir-%- Ь(у)и(х0,у), у > 0, ^

1 & («хх ~ %»), У < О, ставится и исследуется следующая

Задача 2.3. Найти функцию и (х, у), обладающую следующими свойствами:

1) и (х, у) G C(fii) П С (Q2); существуют пределы lim их, lim иу,

х—>0 у—>0+

lim u«, lim ди/дп;

у-лО- у *->-» ' '

2) и (х,у) - регулярное решение уравнения (6) в П, у ^ 0;

3) и (х, у) удовлетворяет условиям

и(0,у) =<Pi(y), и(1,у) = <р2(у), ux(Q,y) ~<рг(у), 0<y<h,

а (х) ^-и [б0 (z)]+b (х) 4-и [6i (х)]-с (х) и (х, -0)-d (х) иу (х, -0) = е (х), ах ах

ди дп

= Ф (ж);

АС

4) на линии изменения типа уравнения выполняются условия сопря-жбния

и (х, -0) = а (х) и (х, +0) 4- 7 (я) >

иу (х, -0) = 0 (х) иу (х, +0) + 8 (х) и (х, +0) + р{х),

где п- внутренняя нормаль, <р\, щ, (рз, ф, а, Ь, с, Л, е, а, /3, 7, 5, р - заданные функции; во (х) = (х —г'х)/2, В\ (х) = (х + 1+г(х —1))/2 -аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (6), выходящих

из точки (ж, 0), с характеристиками АС и ВС соответственно.

Относительно заданных функций предполагается, что <р\ (у), Va(y), Ыу)€С[0,Л], а(х), 0(х), 7(х) € С3 (7), ф(х), а{х), Ь(х), с(х), d.(х), е(х), 8(х), р(х) G С1 (7), причем а (х)/3(х) Ф б, Vx € J, а* (®) Ч-Ь* (я:) + с? (я:) -hсР (я:) ^ 0, Vx е J, а(х) - Ь (х) + 2d(х) ф 0.

Методом редукции к интегральному уравнению Вольтерра второго рода доказана однозначная разрешимость задачи 2.3.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лайпанова A.M. Краевые задачи со смещением для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка. Тезисы докладов научно-практической конференции Карачаево-Черкесского государственного педагогического университета. Карача-евск, 1998. С.34-35.

2. Лайпанова A.M. О существовании и единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа. Тезисы докладов научно-практической конференции Карачаево-Черкесского государственного педагогического университета. Карачаевск, 1999. С.283-284.

3. Лайпанова A.M. (в соавторстве с Елеевым В.А.) О существовании и единственности решения задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2000. №2(5). С. 50-56.

4. Лайпанова A.M. Об одной краевой задаче для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа. Тезисы докладов Второй Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2001. С.112.

5. Лайпанова A.M. (в соавторстве с Елеевым В.А.) Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка. Труды X межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СамГТУ, 2000. Ч.З. С. 59-61.

6. Лайпанова A.M. (в соавторстве с Елеевым В.А.) Об одной краевой задаче для смешанного уравнения третьего порядка со спектральным параметром // Вестник Северо-Осетинского государственного университета. Естественные науки. 2003. Т.2. №1. С.14-22.

7. Лайпанова A.M. (в соавторстве с Елеевым В.А.) Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа третьего порядка // Вестник Северо-Осетинского государственного университета. Естественные науки. 2003. Т.2. №1. С.23-33.

8. Лайпанова A.M. Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т.6. №2. С.57-59.

Подписало к печати: 04.08.2003. Заказ №1. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,8. Тираж 120

Р13373

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лайпанова, Аида Манафовна

Введение.

Глава I. Краевые задачи для смешанных уравнений гиперболопараболического типа второго порядка.

§1.1. Задача Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка.

§1.2. Краевая задача для нагруженного гиперболо-параболического уравнения второго порядка с сингулярным коэффициентом.

§1.3. Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболопараболического типа второго порядка ,,.'.,

Глава II, Краевые задачи для смешанных уравнений третьего порядка,,,,.*.

§2.1. Задача Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка со спектральным параметром.

§2.2. Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений третьего порядка.

§2.3. Краевая задача со смещением для нагруженного уравнения смешанного типа третьего порядка с разрывными условиями сопряжения.

Введение диссертация по математике, на тему "Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков"

Теория краевых задач для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа, в силу своей теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Она привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и её приложениями.

Интерес к этим задачам, прежде всего, связан с тем, что многие математические модели тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах [29], пластовых систем [1], движения малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой [12], распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [57], формирования температурного поля [59], движения вязкоупругой и вязкой жидкостей [27], сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для гиперболо-параболических уравнений содержится в монографиях Т.Д. Джураева, А. Сопуева и М. Мамажанова [14], Т.Д. Джураева [13]; в докторских диссертациях Д.Базарова [2], В.А. Елеева [19], О.А.Репина [47], К.Б. Сабитова [49]. Следует также отметить работы Х.Г. Бжихатлова [3], Х.Г. Бжихатлова и A.M. Нахушева [4], В.Н. Врагова [6, 7], С.И. Гайдука [9, 10], С.Х. Геккиевой [11], И.М. Гельфанда [12], В.А. Елеева [17, 20], Л.А. Золиной [22, 23], Н.Ю.Капустина [26], В.М. Корзюка [27], А.М.Нагорного [31], A.M. Нахушева [34], Е.А. Островского [46], А. Сопуева [54, 55], Г.М. Стручиной [56], Я.С. Уфлянда [58], в которых были поставлены и исследованы краевые задачи для таких уравнений.

Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа (впервые термин "нагруженное уравнение" появился, применительно к интегральным уравнениям, в исследованиях А. Кнезера (1914г.) [60]. Нагруженные уравнения возникают при численном решении интегро-дифференциальных уравнений [41], при исследовании обратных задач [5, 24], при линеаризации нелинейных уравнений [37, 40], при изучении некоторых задач оптимального управления [16], при эквивалентном преобразовании нелокальных краевых задач [42, 43], при моделировании процессов переноса частиц [8, 61], при моделировании процессов фильтрации, а также управления и регулирования уровня грунтовых вод и т.д.

В настоящее время круг рассматриваемых задач для смешанных гиперболо-параболических уравнений, а также для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа значительно расширился. Наряду с изучением основных краевых задач для таких уравнений, начиная с семидесятых годов, большое внимание исследователей уделяется постановке и изучению нелокальных краевых задач. Это объясняется тем, что многие практически важные задачи, связанные с динамикой почвенной влаги [38-41], с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме [43], с охлаждением неоднородного изогнутого стержня [43], моделированием процесса излучения лазера [45], приводят к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в книге A.M. Нахушева "Уравнения математической биологии" [44], исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи.

Цель настоящей диссертационной работы состоит в постановке и исследовании однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для смешанных гиперболо-параболических, в том числе нагруженных, уравнений второго и третьего порядков.

Перейдем к более детальному изложению основного содержания диссертации, которая состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов и списка цитированной литературы. При этом в каждой главе своя нумерация параграфов, формул, теорем.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Лайпанова, Аида Манафовна, Нальчик

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем.-М., 1982.

2. Базаров Д. К теории локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного и смешанно-составного типов: Дис. . д-ра ф.-м. наук.-Ашхабад, 1991.-272с.

3. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения.-1977.-Т.13.-№1.-С.10-16.

4. Бжихатлов Х.Г,, Нахушев А,М, Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболичеекого типа // ДАН СССР,-1968,-Т. 183.-№2,-0,261-264.

5. Будак В.М., Искендеров А.Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами //ДАН СССР.- 1967.-Т.176.-№1.-С.20-23.

6. Врагов В.Н. О задаче Коши для некоторых параболо-гиперболических уравнений//ДАН СССР.-1973.-Т.212.-№3.-С.536-539.

7. Врагов В.Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо-параболических уравнений второго порядка//Дифференц. уравнения.-1976.-Т.12.-№1.-С.24-31.

8. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц// Тр. мат. ин-таим. В.А.Стеклова/ 1961.-Т.61.-С.158.

9. Гайдук С.И. Применение метода контурного интеграла к решению одной задачи на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов // Дифференц. уравнения,-1965.-Т. 1 .-№ 10.-С. 1366-1382.

10. Гайдук С.И., Иванов А. Об одной задаче на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов //ДАН БССР.-1964.-Т.8.-№ 9.-С.560-563.

11. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Доклады АМАН.-2001.-Т.5.-№2.-С.18-22.

12. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальные уравнения // УМН.-1959.-Т.14.-вып. 3(87).-С,3-19.

13. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.-Ташкент: Фан, 1979.-238с.

14. Джураев Т.Д., Сопуев А.С., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа.-Ташкент: Фан, 1986.-220с.

15. Джураев Т.Д., Салихов Ш.Н. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка, содержащего гиперболический оператор // Известия АН УзССР.-1984.-№ 6.-С.12-15.

16. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами ,-М., 1978,-463с.

17. Елеев В,А, Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо= параболических уравнений с характеристической линией изменения типа //Дифференц. уравнения,-1980.-Т. 16.-№ 1 .-С.59-73.

18. Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Укр. мат. журн.-1995.-Т.47.-№12.-С. 1639-1652.

19. Елеев В.А. Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа: Дис. . д-ра ф.-м. наук.-Киев, 1995.-266с.

20. Елеев В.А. Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения (математическая физика): Тез. докл. Куйбышевского областного межвуз. науч. совещания-семинара.-Куйбышев, 1986.

21. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Дифференц. уравнения,-1994.-Т.30.-№2.-С.230-237.

22. Золина JI.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболопараболического типа // ЖВМ и МФ.-1966.-Т.6.-№6.-С.991-1001.

23. Золина JI.A. О краевых задачах для модельных уравнений эллиптико-параболического и гиперболо-параболического типов:Автореф. дис.канд. ф.-м. наук.-Ташкент, 1967.-12с.

24. Искендеров А.Д. О краевой задаче для нагруженной системы квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения.-1971.-Т.7.-№10.-С.1911-1913.

25. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // ДАН СССР.-1953.-Т.88.-№2.-С. 197-200.

26. Капустин Н.Ю, К теории уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения.-1982.-Т. 18.-№6.-С,1078-1080,

27. Корзюк В.Й., Лемешевский СВ., Матус П.П. Разрешимость задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений с интегро-дифференциальными условиями на границе раздела областей // Тр. ин-та математики НАН Беларуси / 2000.-Т.6.-С.100-108.

28. Ланин И.Н., Карданов Х.Л. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболо-параболического типа // Уч. зап. Кабардино-Балкарского ун-та.-1966.-С.113-116.

29. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инж.-физ. журн.-1965.-Т.9.-№3.-С.287-304.

30. Ляпин Е.С. Курс высшей алгебры.-М.:Учпедгиз, 1953.-343с.

31. Нагорный A.M. Краевые задачи для вырождающегося уравнения гиперболо-параболического типа // Известия АН УзССР.-1981.-№2.-С.32-36.

32. Нагорный A.M. Краевые задачи для нагруженного уравнения смешанного типа третьего порядка. В сб.: Дифференц. уравнения и их приложения к механике.-Ташкент: Фан, 1985.-С.55-66.

33. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравненийи уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения.-1969.-Т. 5.-№1.-С.44-59.

34. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения.-1978.-Т. 14.-№ 1 .-С.66-73.

35. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения.-1976.-Т. 12.-№1.-С.103-108.

36. Нахушев A.M. Прямая задача теории сопла Лаваля // Доклады АМАН.-2003.-Т.6.-№2.-С.69-74.

37. Нахушев A.M., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложение к прогнозу уровня грунтовых водДифференц. уравнения,-1977.-Т. 18.-№ 1,-СЛ05-110.

38. Нахушев A.M. Нелокальные задачи и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влагиДАН СССР.-1978.-Т.242.-№5.-С. 1008-1011.

39. Нахушев A.M. Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения параболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Респ. симпозиум по дифф.ур.: Тез. докл.-Ашхабад, 1978.-С.27-28.

40. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги //Дифференц. уравнения.-1979.-Т.15.-№1.-С.96-105.

41. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод//Дифференц. уравнения.-1982.-Т.18.-№1.-С.72-81.

42. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения,-1983 .-Т. 19,-№ 1 .-С.86-94.

43. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи снагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения.-1985.-Т.21.-№1.-С.92-101.

44. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии.-М.:Высшая школа, 1995.-301C.

45. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение.-Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000.-299с.

46. Островский Е.А. Задача на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов, когда в граничные условия входят производные по времени // Дифференц. уравнения,-1967.-Т.3.-№6.

47. Репин О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов и дробное интегро=дифференцирование: Дис. . д-ра ф.-м. наук.-Минск, 1998.-220с.

48. Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева=Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения.-1986.-Т.22.-№11.-С.1977-1984.

49. Сабитов К.Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра ф.-м. наук.-Москва, 1991 .-313с.

50. Салахитдинов М.С., Бердышев А.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Известия АН УзССР.-1983.-№4.-С.20-25.

51. Самарский А.А. //Дифференц. уравнения.-1980.-Т.16.-№11.-С.1925-1935.

52. Смирнов В.И. Курс высшей математики.-М.-JI.: Гиттл, 1951.-Т.4.-804с.

53. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа.- М.: Высшая школа, 1985.-304с.

54. Сопуев А. Оценка решения одной задачи Геллерстедта для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // ДАН УзССР.-1982.-№7.-С.3-4.

55. Сопуев А. О краевых задачах А.В. Бицадзе для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Известия АН УзССР.-1982.-№2.-С.23-27.

56. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инж.-физ. журн.-1961.-Т.4.-№11.-С.99-104.

57. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1977.-736с.

58. Уфлянд Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инж.-физ. журн.-1964.-Т.7.-№1.-С.89-92.

59. Шашков А.Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение.- М.: Энергоатомиздат, 1983.-278с.

60. Kneser A. Rendicon ti del Circolo Matematico di Palermo. 1914, t.37 -P.169-197.

61. Pomraning G.C., Larsen E.W//J.Math.Phys.,-1980.-Vol.21.-№7.-P.1603-1612.

62. Лайпанова A.M. О существовании и единственности решения задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Известия КБНЦ РАН.- 2000,=№ 2(5).-С. 50=56 (в соавторстве с В.А, Елеевым ).

63. Лайпанова A.M. Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. X межвуз. конф.-Самара: СамГТУ, 2000.Ч.З.-С. 59-61( в соавторстве с В.А. Елеевым).

64. Лайпанова A.M. Об одной краевой задаче для смешанного уравне-ния третьего порядка со спектральным параметром // Вест. Северо-Осетин. ун-та. Естественные науки.- 2003.-Т.2.- № 1.- С.14-22 ( в соавторстве с В.А. Елеевым).

65. Лайпанова A.M. Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа третьего порядка // Вест. Северо-Осетин. ун-та. Естественные науки.- 2003.-Т.2.- № 1.-С.23-33 ( в соавторстве В.А. Елеевым).

66. Лайпанова A.M. Краевые задачи со смещением для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка: Тез. докл. науч.-практич. конф. КЧГПУ.- Карачаевск, 1998.-С.34-35.

67. Лайпанова A.M. О существовании и единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа. Тез. докл. науч.-практич. конф. КЧГПУ.- Карачаевск, 1999.-С.283-284.

68. Лайпанова А.М Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка // Доклады АМАН.- 2003.-Т.6.-№2.- С.57-59.