Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хубиев Казбек Узеирович

ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ '-Н? 2003

Белгород - 2009

003465162

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор,

Нахушев Адам Маремович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Сабитов Камиль Басирович

кандидат физико-математических наук, доцент,

Жура Николай Андреевич

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 14 апреля 2009 г. в 15 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан ^0 марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Прядиев В.Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение уравнений смешанного типа является одним из важнейших направлений в теории уравнений с частными производными. Необходимость исследования краевых задач для уравнений смешанного типа продиктована многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии и других областях. Также хорошо известно, что многие весьма важные задачи математической физики и биологии, в особенности, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования грунтовых вод, задачи тепломассопереноса с конечной скоростью, движения мало сжимаемой жидкости, окруженной пористой средой, оптимального управления агроэкосисте-мой, приводят к краевым задачам для линейных нагруженных уравнений с частными производными. Этим обуславливается актуальность исследований краевых задач для нагруженных уравнений смешанного типа.

В 1902 году С.А. Чаплыгин в своей диссертации "О газовых струях", исследуя движение газа от дозвуковой к сверхзвуковой скорости получил уравнение смешанного типа, которое в дальнейшем было названо уравнением Чаплыгина.

Систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа началась в двадцатых годах прошлого столетия с основополагающих результатов Ф. Трикоми и С. Геллерстедта.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля, М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе.

Фундаментальные результаты в теории уравнений смешанного типа получены в работах Алдашева С.А., Бабенко К.И., Гвазавы Д.К., Джурае-ва Т.Д., Елеева В.А., Зарубина А.Н., Золиной Л.А., Кальменова Т.Ш., Кара-топраклиева Г.Д., Моисеева Е.И., Нахушева A.M., Пулькина С.П., Пульки-ной JI.C., Репина O.A., Сабитова К.Б., Салахитдинова М.С., Смирнова М.М.. Солдатова А.П., Стручиной Г.М. и других авторов.

В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. которые, как оказалось, тесно связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями.

Исторически сложилось так, что первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям. Термин "нагруженное уравнение" впервые появился в работах Кнезера применительно к интегральным уравнениям. Принятое сейчас в научной литературе общее

определение нагруженных уравнений было дано A.M. Нахушевым в 1976 г. Именно результаты A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений.

Краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, гиперболо-параболического и эллиптико-параболического типов исследованы в работах Нахушева A.M., Аттаева А.Х., Бородина A.B., Елее-ва В.А., Казиева В.М., и многих др.

Обширная библиография по нагруженным уравнениям и исследованию эллиптических, параболических и гиперболических уравнений приведена в монографии М.Т. Дженалиева "К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений".

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для линейных нагруженных дифференциальных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка. •

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода интеграла энергии, методов интегральных уравнений, метода малого параметра.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в доказательстве теорем существования и единственности решения аналога задачи Трико-ми, задачи Геллерстедта, задачи со смещением, нелокальной краевой задачи типа задачи Бицадзе-Самарского и нелокальной краевой задачи с интегральным условием в гиперболической части для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Теоремы существования и единственности решения задачи Трикоми для нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа.

2. Теоремы существования и единственности решения задачи Геллерстедта для нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа.

3. Теоремы существования и единственности решения нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью уравнений смешанного типа и нелокальных краевых задач в математическом моделировании, газовой динамике и других областях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2004 г.). на Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения cmi

шанного типа и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2008 г.), на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2006 г.), на III Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009 г.), на II—VI школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2004-2008 г.), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.). на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям БелГУ (руководитель - Солдатов А.П., февраль 2009 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1]-[21]. Из них [9] и [19] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 9 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 98 наименование и изложена на 97 страницах.

Основное содержание работы

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена решению аналога задачи Трикоми.

В § 1.1 рассматривается уравнение

Q = Г ихх - иу + Ai(a;,y)u(x,0), у > 0, • = ±1 m

\ ихх - иуу + \2(х + jy)u(x + jy, 0), у<0,

в области П, ограниченной отрезками AAq, BBq, AqBq прямых х = 0. х = 1, у = h> 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х+у = 0, ВС : х — у=1 при у < 0, Ai(х,у), Аг(х + jy) ~ заданные функции. Через Г2+ и обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области П соответственно а через J— интервал 0 < х < 1 прямой у = 0 (см. рис. 1).

Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию и(х, у) из класса С(й) П Cx(i2) П C2(fi\J), удовлетворяющую уравнению (1) в U О." , кроме того, иу(х, 0) может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы на концах интервала 0 < х < 1.

Здесь и далее через в0(х) = (§,-§), ^i(x) = i2^3^) обозначены аффиксы точек пересечения характеристик волнового уравнения, выходящих из точки (а;, 0), с характеристиками ЛС и 2?С соответственно.

Задача Т. Найти регулярное в области Q решение и(х, у) уравнения

(1), удовлетворяющее краевым условиям

u(0,y)=Vi{y), u{l,y) = ip2{y), 0<y<h, (2)

u[0o(a:)] = Ф (®), 0 < x < 1, (3)

где <pi(y), <Рг(у), "Ф{х) ~ заданные функции, причем ty?i(0) = т/>(0). Доказана

Теорема 1.1. Если ср^у), ip2(y) € С[0,А], ф(х) в С![0,1] П С2]0,1[. функция Ai(х,у) е С(П+) и удовлетворяет, условию Гельдера по х, а \2(х) € С[0,1] П С1]0,1[, и выполняются условия

2Ai(x,0) - хХ2(х) < 0 при j — —1, ^

Ai(x, 0) < 0, А2(»>0, У2{х)>0 при j = 1,

то задача Т имеет, и притом единственное решение.

Показано, что нарушение условия (4) теоремы может привести к неединственности решения задачи.

В § 1.2 рассматривается уравнение с нагрузкой общего вида

\ ихх - иуу + [M2u(i, 0)](х, у) - /2(х, у), у < 0,

в области Г2, ограниченной отрезками ААо, В В о, AqBq прямых х = 0, х = г. у = h > 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х + у ~ 0, ВС : х-у = г при у < 0. Mi : C(J) -> С(П+), М2 : C(J) —> - заданные линейные ограниченные операторы, функ-

ции fi(x,y) £ C(f2+), f2(x,y) € С(й~), а, с = const.

Задача. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения

(5), удовлетворяющее краевым условиям

0, у) = <pi{y), и(г, у) = tp2{y), 0 < у < А, (6)

и[в0(х)]=ф{х), 0 < х < г, (7)

где <р\{у), <р2{у), - заданные функции, причем ifi(0) — ip(0).

Для задачи (5)-(7) верна следующая

Теорема 1.2. Пусть ipx(y), ip2{y) € C[0,h], ф{х) G С1^) П C2(J), с Ф п ^г"1^ г , п = 0,1,2,...; fi(x, у) удовлетворяет условию Гельдера по X, f2(x,y) е С(й-)ПС1(ГГ), M^CV)] С CW, MatC^J)] С С1^-). Тогда задача (5) — (7) является задачей фредгольмового типа. В частности, если выполняется неравенство ||Mi|| + |||М2|[ < ф, где 7 = . fi = у/(а — I)2 — 4с, то задача (5) — (7) имеет, и притом единственное, решение.

В § 1.3 исследуется аналог задачи Трикоми для уравнения

| _ ( ихх + aiux + biUy + C\U + diu(x, 0) - fi(x, y), y > 0,

\ uxx - Uyy + a2ux + b2Uy + c2u + d2u(x + y, 0) - f2(x, y), y < 0,

в области и, ограниченной отрезками ААо, ВВо, А^Вц прямых х = 0, х = \. у = к > 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х + у = 0, ВС : х — у = 1 при у < 0 (см. рис. 1), ак = ак(х, у). к = к(х,у), ск = ск(х,у), ¿к = йк[х,у), /к =/к(х,у) (к= 1,2)- заданные непрерывные функции, причем Ь1(х,у) < Ьд < 0.

Задача. Найти регулярное в области П решение и(х, у) уравнения (8), удовлетворяющее краевым условиям (2), (3).

Для задачи (8), (2), (3) доказана следующая

Теорема 1.3. Если <рх(у), <р2(у) € С[0,/г], ф{х) € Сх[0,1] П С2]0,1[, а коэффициенты уравнения (8) таковы, что 1) в области Г2

а\-Ъ\ + 2а2х + 2а2у + 2Ь2х + 2Ь2у - 4с2 =

Л(х, у)

где Х(х, у) = у(х + у) ехр

о

причем 7(2:) Ф 0 - произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, Х(х, 0) > -1; ц(х) =

^ + а1(х, _ Ь1{х> о) [^¿ф) + 0)] + ф, 0) + ^(х, 0) < 0;

2) в области функции ах, сх, йх, /х непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера по ж, Ъ\ непрерывна и удовлетворяет условию Гельдера по х и по у, кроме того сх < 0;

3) в области а2, Ъ2 е С2(й-), с2еС\й~), ¿2, /2 £ С(П-)ПС1(П"):

а2 + Ь2 > 0, 7(х 4- у)й2 >0, с2 > 0; то задача имеет, и притом единственное решение.

Здесь же в области fi рассмотрено уравнение

ихх - Н(—у)иуу + аих + buy + си + du(x, 0) = /

где а = а(х), с = с(х), <1 = ¿(х) е С(7), функции Ь = Ь(х,у) < Ь0 < 0. / = /(х, у) € С(й), Н(у) - функция Хевисайда.

Вопрос о разрешимости задачи (2), (3) для уравнения (9) редуцирован к вопросу о разрешимости следующей нелокальной краевой задачи.

Задача. Найти регулярное в области О, решение ь(х,у) уравнения Ухх - Н(-у)ууу + аух + Ьуу + си = /, удовлетворяющее краевым условиям

V (0, у) = щ (у), у(1,у) = <р2(у), 0 <у<Н,

1

•}[во(х)]+ jK{x,Qv(Ç,0)d£ = il>(x), 0

<х<1,

где (р\(у),1р2(у),~ф(х) - непрерывные функции, К(х,£)— непрерывная на [0,1] х [0,1] функция, причем ^(О) = ^(0).

Во второй главе рассматривается задача Геллерстедта. В §2.1 рассматривается уравнение с нагрузкой общего вида

0

Uxx -Uy + аих + CU + [M0u(i,0)](х, у) - /0(:г, у), у > 0, ихх-uVy + [Mku{t,0)}(x,y) - fk(x,y), k = 1,2, у< 0,

2

(10)

в области О = ( (J ) UJi UJ2, где Sl0 ~ область, ограниченная отрезками

AAq, BBq, А0В0 прямых х = 0, х = г, у = h > 0 соответственно при у > 0. Oi - область, ограниченная отрезком АЕ оси х и характеристиками уравнения (10) АС\ : х+у = 0, ЕС\ : х — у — г\ при у < 0, Пг ~ область, ограниченная отрезком ЕВ оси х и характеристиками ЕСг :х + у = ги ВС% :х -у = г (см. рис. 2), J0 - интервал 0 < х < г, J\ - интервал 0 < х < г1; ,/2 - интервал г\ < х < г.

Здесь Mfc : C{Jk) - С{Пк), {к = 0,1,2) - заданные линейные ограниченные операторы, функции fk(x,y)eC(flk), а, с-const.

Регулярным решением уравнения (10) в области О назовем функцию

и(х,у) из класса С(П) ПС1^) П C2(f2\[Ji U J2)), удовлетворяющую уравне-2

нию (10) в области U к=о

Задача Ti. Найти регулярное в области Í2 решение и(х, у) уравнения (10), удовлетворяющее краевым условиям (6) и

U\EC¡ = Мх), 0 < ^ < (11)

uiec2 = п<х<г, (12)

где ipi(x),ip2(x) - заданные функции, причем = ^(п)-

Задача Г 2 • Найти регулярное в области Q решение и(х, у) уравнения (10), удовлетворяющее краевым условиям (6), (11) и условию

и\вс2 = П<х<г, (13)

где тр2{х) - заданная функция.

Для задачи Ti доказана следующая

Теорема 2.1. Пусть ipk{y) £ C[0,h], фк (х) е C\Jk) ПС2(Л), /0(г,у) удовлетворяет условию Гельдера по х, fk{%, У) £ С(П^) П C1(Slfc), к = 1,2; с ф п = 0,1,2,...; MíIC^Jí)] С С1(Г2;), I = 0,1,2. Тогда задача

Гх является задачей фредгольмового типа. В частности, если выполняется неравенство

{п1к (||Мо11 + тl|Mítl1)} <(14)

где 7¿ = > № = А = о + 3 — 2к, гпо задача Ti имеет, и

притом единственное решение.

Для задачи Гг доказана следующая

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и ^(0) = Ф2{г)-Тогда задача Г г является задачей фредгольмового типа. В частности, если выполняется неравенство (14), где jk = th(^*/2)) ß = А = а + 1.

то задача Гг имеет, и притом единственное решение.

Замечание. Если в постановке задачи Гг точка Е совпадает с точкой А, то задача Г], переходит в задачу (5)-(7).

В § 2.2 в той же области П (см. рис. 2) изучается задача Геллерстедта с разрывными условиями склеивания для уравнения

0= Г Ихх-Иу + Ао(2:)и(ж,0), (х, у) £ /15ч

\ ихх - иуу + Хк(х)и(х, 0), (х, у) еПк, к = 1,2,

где Ак(х) (к = 0,1,2)— заданные непрерывные функции.

к= 1,2;

Задача Г3. Найти регулярное в области Пк (к = 0,1,2) решение уравнения (15) и(х,у) £ С(Й^;)ПС1(П{:икрометого, иу{х,+ 0) 6 ^(х, —0) 6 ЬЩ (п = 1,2), удовлетворяющее условиям склеивания

Г и(х, -0) = ак(а;)и(а;, +0) + 7к(х), х е Л, \ «„(ж, -0) = /Зк{х)иу(х, +0) + дк(х)и(х, +0) + £*(:г), х 6 Л,

и краевым условиям (6), (11), (12), где А, 7ь Ос - задан-

ные непрерывные функции, причем ак(3к Ф 0, фк", ак", Рк", 7к" - также непрерывны.

Для задачи Гз доказана следующая

Теорема 2.3. Если функция Ао(х) удовлетворяет условию Гельдера, функции Хк{х) е С[0, г] иС']0,г[ (к = 1,2), и выполняются неравенства

71(0,1) > 0.

— Т2{г,х) > О,

1 2ft' где

i оф _ _ a0ft+<5i 1 -»? "о?

Oi

2а;2/3,1 /

Ло/32+<?2 «2

2a2'2fe

+

= I \\i{x), 0 < а; <

[ дг(г1 - a;)Ai(a;), ^ < х < п. (г-х){х-г1)\2(х), г2 < а: < г^1-,

^А2(а:), r4p < z < г,

то задача Гз имеет, и притом единственное решение.

В третьей главе рассматриваются нелокальные краевые задачи. В §3.1 рассмотрены задачи со смещением для уравнения (1) в области П, ограниченной отрезками AAo,BBo,AqBo прямых х = 0, х = 1. у = h> 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х + у = 0, ВС : х — у = 1 при у < 0 (см. рис. 1).

Задача Ni. Найти регулярное в области Я решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2) и условию

аи[в„(я)] + pu[9i(x)} = ъ(х), 0<х<1, где 7i(rr)— заданная функция, а,(3 — const, причем а2 + Р2 Ф 0.

Задача N2 . Найти регулярное в области П решение и(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2) и условию d

а—и[е0{х)} + р—иЩх)} = 72(1),

0 < х < 1,

где 72(ж) - заданная функция, а, /3 = const, причем а2 + Р2 ф 0.

Для задачи Ni доказана следующая

Теорема 3.1. Если cpi(y), ср2(у) € С[0,Л], Ъ(х) € С^О, 1| П С2]0,1[. функция Ai (х,у) £ C(Cl+) и удовлетворяет условию Гелъдера по х, а Х2(х) € С[0,1] П С1]0,1[, и выполняются условия

ар< 0, Ai(x, 0) < 0, А2(х) > 0, j\'2(x)>0, (16)

причем a2ípi(0)—[32ip2(0) = 071 (0)— /?7i(l), то задача Ni имеет, ипритом единственное решение.

Для задачи N2 доказана следующая

Теорема 3.2. Если <fii(y), <fi2(y) 6 С[0, h), \\{х,у) € C(ñ+) и удовлетворяет по х условию Гелъдера, \2(х), 72(1) G С[0,1] П Сх]0,1[, и выполняются условия (16), то задача N2 имеет, и притом единственное решение.

Параграф 3.2 посвящен изучению задачи со смещением для уравнения (5) в области Г2, ограниченной отрезками AAq,BBq,AqBq прямых х = 0. х = г, у = h > 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х + у = 0, ВС : х — у = г при у < 0.

Задача N. Найти регулярное в области Í1 решение и(х, у) уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям (6) и

сш[0о] + /ЗиЩ = ip{x), 0 < х < г,

где г[)(х) - заданная функция, причем а2 + /З2 ф 0.

Для задачи N доказана следующая

Теорема 3.3. Пусть <pi(y), <р2{у) G C[0,h], ip(x) 6 Cl(J) П C2(J), с ф г^+А2, п = 0,1,2,...; А = выполняется Mi[Cx(./)] С С\П+),

M2[CV)] С С^П"), afyi(0) - /?V2(0) = аф(0) - Тогда задача N

является задачей фредголъмового типа. В частности, если выполняется неравенство ЦМ^) + \ ■ ™ ||м2|| < ± где 7 = у. = sfW^Tc,

то задача N имеет, и притом единственное, решение.

В § 3.3 рассматривается задача типа задачи Бицадзе-Самарского для нагруженного модельного уравнения

0= Г Ura-Uj/ + Ai(x,y)u(x,0) - fi{x,y), у> 0, \ ихх - иуу + А2(х, у)и(х, 0) - /2(х, у), у < 0,

в области П, ограниченной отрезками AAq,BBq,AqBq прямых х = 0, х = г. у = h> 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х + 2/ = 0, ВС : х-у = г при у < 0, \k(x,y), fk(x,y) (к = 1,2)-непрерывные в замыкании области их определения функции.

Задача. Найти регулярное в области О решение и(х,у) уравнения (1 с непрерывной вплоть до отрезка ВВо производной первого порядка по переменной х, удовлетворяющее краевым условиям:

и{0,у) = 9г{у), 0 < у < Л, (18)

[а1(у)их + Рг{у)и] |1=Х0 = [а2{у)их + /?2(г/)и](х=г + 7 (у), (19)

и [6>0(х)] = Ф{х), 0 < х < г, (20)

где хо - фиксированная точка интервала J, ак{у), 0к{у) {к = 1,2), </?х(у). 7(у), т/К3-) ~ заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, <¿>1(0) = ф(0).

Для задачи (17)-(20) доказана следующая

Теорема 3.4. Если тр(х) 6 С1(1) П С2(</), /х(х, у), Лх(а:, у) удовлетворяют условию Гелъдера по х, /2(х,у), Л2(х,у) 6 С(й~) ПС1^-), причем

а^дЫ + /ШяхЫ - «2(0)$!(Г) - /?2(0)у1(г) ф 0, где д\(х) есть решение уравнения

91(х)~ I К(х,$д1{£)<1£ = х,

К(х, о =

о

1 - - о ) + }(х-$ + г?)А2(е, Фч, 0 < £ < х/2, -С

1 - (х - ОА1К, 0) + / (ж - £ + ч)\2&п)йг!, х/2 < £ < х,

(-х

@2(у) 0 (0 < у < А), то задача (17) — (20) имеет, и притом единственное решение.

Приведены примеры выполнения условий теоремы. В § 3.4 исследуется нелокальная краевая задача с интегральным условием в гиперболической части для уравнения (1) в области ограниченной отрезками ААц,ВВ0,АоВо прямых х = 0, х = 1, у = /1 > 0 соответственно при у > 0, и характеристиками волнового уравнения АС : х + у = 0. ВС : х — у = 1 при у < 0 (см. рис. 1).

Задача. Найти регулярное в области Г2 решение и(х,у) уравнения (1). удовлетворяющее краевым условиям (2) и условию 1

и[в{х)\Л-! = 0 < х < 1, (21)

о

где 4>(х),К{х,£) - заданные функции.

Будем говорить, что функция р{х) удовлетворяет условию монотонности М, если для любых х и у из ]0,1[

р(х) G С1] 0,1], р(х) >0, J p{x)dx < оо,

о

р(х) > р(у), р'(х) < р'{у), V х < у.

Доказана следующая

Теорема 3.5. Если <fi(y), <р2(у) € С [О, Л], гр(х) е С1 [0,1] П С2]0,1[; М{х,у)~ непрерывна и удовлетворяет условию Гельдера по переменной х. \2{х) £ С[0,1] П С1]0,1[, выполняются условия

Ai (ж, 0) < 0, А2(х) > О, при j = 1 еще и А2(:е) > 0, функция К(х,£) представима в виде

где р'(х) удовлетворяет условию М, 6(х), р"(х) € L[0,1], то задача (1), (2), (21) имеет, и притом единственное решение.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертационной работы.

Автор выраэ/сает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю Адаму Маремовичу Нахушеву за постоянное внимание и поддержку в работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Хубиев, К. У. Краевая задача для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума. Нальчик-Эльбрус, 22-26 мая, 2004 г. -Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2004. - С. 182-185.

[2] Хубиев, К. У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. - Т.З. - Самара: СамГТУ, 2004. - С. 231-232.

[3] Хубиев, К. У. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Актуальные проблемы

современной науки: Труды 5-й Международной конференции молодых уме ных и студентов. Естественные науки. - Т. 1,2. - Самара: СамГТУ, 2001.

- С. 112-115.

[4] Хубиев, К.У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адьк ской (Черкесской) Международной академии наук. - 2005. - Т. 7, № 2. - С. 7477.

[5] Хубиев, К. У. Краевая задача со смещением для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы III Школы молодых ученых. Нальчик-Эльбрус, 25-29 мая 2005 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2005. - С. 68-72.

[6] Хубиев, К.У. Краевая задача со смещением для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Материалы IV молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения", посвященной 100-летию Б.Л. Лаптева. Казань, 16-18 декабря 2005 г. - Казань: КГУ, 2005. - С. 168-170.

[7] Хубиев, К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения смешанного типа с переменными коэффициентами/ К.У. Хубиев// Доклад\ Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2006. - Т. 8, № 2.

- С. 69-72.

[8] Хубиев, К. У. Задача Геллерстедта для нагруженного модельного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: Материалы III Международной конференции. Нальчик, 5-8 декабря 2006 г. -Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2006. - С. 313-314.

[9] Хубиев, К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами/ К.У. Хубиев// Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. -2007.

- Т. 2(15). - С. 155-157.

[10] Хубиев, К. У. Задача Геллерстедта для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Вестник Адыгейского госуд. ун-та. - 2007. -Т. 4(28). - С. 25-29.

[11] Хубиев, К.У. Задача Геллерстедта для нагруженного уравнения смешанного типа с данными на непараллельных характеристиках/ К.У. Хубиев// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды IV Всероссийской научной конференции. - Т. 3. - Самара: СамГТУ, 2007. - С. 187-188.

[12] Хубиев, К. У. Задача Геллерстедта для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с данными на непараллельных характеристиках/ К.У. Хубиев// Материалы Воронежской весенней математической шко-

лы "Понтрягинскис чтения - XVIII". Воронеж. 3-9 мая 2007 г. - С. 171-172.

[13] Хубиев, К.У. Об одной задаче для нагруженного уравнения смешанного типа с переменными коэффициентами/ К.У. Хубиев// Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы V Школы молодых ученых. Нальчик-Эльбрус, 26-30 сентября 2007 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2007. - С. 138-140.

[14] Хубиев, К. У. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2007. - Т. 9, № 2. - С. 71-74.

[15] Хубиев, К.У. О нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтря-пшекие чтения - XIX". Воронеж, 3-9 мая 2008 г. - С. 227-228.

[16] Хубиев, К.У. О нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Уравнения смешанного типа и проблемы современного анализа и информатики: Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума. Нальчик-Эльбрус, 1217 мая 2008 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2008. - С. 241-242.

[17] Хубиев, К. У. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды Международной конференции. Стерлита-мак, 24-28 июня 2008 г. - Т. 2. - Уфа: Гилсм, 2008. - С. 180-184.

[18] Хубиев, К. У. Об одной нелокальной красной задаче для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// В сб.: Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. - Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008. - С. 331-335.

[19] Хубиев, К.У. Внутреннекраевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2008. № 6. - С. 23-25.

[20] Хубиев, К. У. Аналог задачи Трикоми и задача со смещением для модельного нагруженного уравнения гиперболо-иараболического типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2008. - Т. 10, № 2. - С. 68-72.

[21] Хубиев, К. У. Об одной задаче со смещением для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы III Международной научной конференции. Воронеж, 2-7 февраля 2009 г. - Ч. I. - С. 187-188.

Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа

Формат 30 х 42. 1/4. Усл. печ.л. 1.0 Бумага офсетная. Заказ Х»101. Тираж 100 экз. ЧП "Полиграфия". Лицензия N«15 от 22.01.03r. КБР, г.Нальчик, ул. Чернышевского, 131.

Введение

Глава I. Аналог задачи Трикоми

1.1. Задача для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики.

1.2. Задача для уравнения с нагрузкой общего вида

1.3. Задача для уравнения с переменными коэффициентами

Глава II. Задача Геллерстедта

2.1. Задача для уравнения с нагрузкой общего вида

2.2. Задача с разрывными условиями склеивания для уравнения с нагрузкой на линии изменения типа.

Глава III. Нелокальные краевые задачи

3.1. Задача со смещением для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики.

3.2. Задача со смещением для уравнения с нагрузкой общего вида

3.3. Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения с нагрузкой на линии изменения типа.

3.4. Нелокальная краевая задача с интегральным условием для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики

Изучение уравнений смешанного типа является одним из важнейших направлений теории уравнений с частными производными. Необходимость исследования краевых задач для уравнений смешанного типа продиктована многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментиой теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии и других областях. Так же хорошо известно, что многие весьма важные задачи математической физики и биологии, в особенности, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования грунтовых вод, задачи тепло-массопереноса с конечной скоростью, движения мало сжимаемой жидкости, окруженной пористой средой, оптимального управления агроэкосисте-мой, приводят к краевым задачам для линейных нагруженных уравнений с частными производными. Этим обуславливается актуальность исследований краевых задач для нагруженных уравнений смешанного типа.

В 1902 году С.А. Чаплыгин в своей диссертации "О газовых струях" [76], при исследовании движения газа от дозвуковой к сверхзвуковой скорости получил уравнение смешанного типа, которое в дальнейшем было названо уравнением Чаплыгина.

Систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа началась в двадцатых годах прошлого столетия с основополагающих результатов Ф. Трикоми [72, 73] и С. Геллерстедта [77].

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанноготипа стали работы Ф.И. Франкля [74, 75], М.А. Лаврентьева [35], A.B. Бицадзе [6, 7].

Фундаментальные результаты в теории уравнений смешанного типа получены в работах Алдашева С.А. [1], Бабенко К.И. [5], Бицадзе A.B. [8], Гвазава Д.К. [14], Джураева Т.Д. [17, 18], Елеева В.А. [19, 22], Зарубина А.Н. [23, 24],-Золиной J1.A. [25], Кальменова Т.Ш. [30], Каратопракли-ева Г.Д. [31], Моисеева Е.И. [36], Нахушева A.M. [38, 49], Пулькина С.П. [56], Пулькиной Л.С. [57], Репина O.A. [59], Сабитова К.Б. [61, 62], Са-лахитдинова М.С. [63], Смирнова М.М. [64], Солдатова А.П. [66, 67, 68],

Стручиной Г.М. [69] и других авторов.

В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, тесно связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [39, 40, 41, 47, 48, 52, 53].

Исторически сложилось так, что первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям. Термин "нагруженное уравнение" впервые появился в работах Кнезера применительно к интегральным уравнениям. Принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г. A.M. Нахушевым в [41], и приводится в работах [44, 45, 46]. Общее определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [50].

Определение. Пусть Q- п -мерная область евклидова пространства Rn точек х = (xi,., хп). Заданное в области Q дифференциальное, интегральное или функциональное уравнение Lu = fix) называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и = и(х) на принадлежащих замыканию Q многообразиях размерности меньше п.

Именно результаты A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, гиперболо-параболичсского и эллиптико-пара-болического типов исследованы в работах Нахушева A.M. [43], [42], [41] -[48], Аттаева А.Х. [2, 3, 4], Бородина A.B. [11, 12, 13], Елеева В.А. [20, 21], Казиева В.М. [27, 28, 29], работах [10], [15], [32], [33], [54], [55], [58], [60] и др.

Так же обширная библиография по нагруженным уравнениям и исследованию эллиптических, параболических и гиперболических уравнений приводится в монографии Дженалиева М.Т. "К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений"[16].

Основной целью работы является исследование вопросов однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для линейных нагруженных дифференциальных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка.

Результаты работы получены с использованием метода интеграла энергии, методов теории интегральных уравнений, методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы заключается в доказательстве теорем существования и единственности решения аналога задачи Трикоми, задачи Гел-лерстедта, задачи со смещением, нелокальной краевой задачи типа задачи Бицадзе-Самарского и нелокальной краевой задачи с интегральным условием в гиперболической части для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Теоремы существования и единственности решения аналога задачи Трикоми для различных нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа.

2. Теоремы существования и единственности решения задачи Геллер-стедта с разрывными и неразрывными условиями склеивания.

3. Теоремы существования и единственности решения нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений.

Работа является теоретической. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью уравнений смешанного типа и нелокальных краевых задач в математическом моделировании, газовой динамике и других областях.

Результаты работы докладывались на Международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2004 г.), на Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2008 г.), на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2006 г.), на III Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009 г.), на II—VI школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2004-2008 г.), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.), на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям БелГУ (руководитель - Солдатов А.П., февраль 2009 г.).

Основные результаты работы опубликованы в работах [781-[98]. Из нпх [86] и [96] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 9 пара*

заключение

В диссертации, посвященной исследованию локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных смешанного гиперболо-параболического типа, получены следующие основные результаты:

1. Исследован аналог задачи Трикоми для уравнений с нагрузкой разного вида.

2. Исследована задача Геллерстедта для уравнения с нагрузкой общего вида.

3. Для уравнения с нагрузкой на линии вырождения типа исследована задача Геллерстедта с разрывными условиями склеивания.

4. Исследована задача со смещением для уравнений с нагрузкой разного вида.

5. Исследована задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения с нагрузкой на линии вырождения типа.

6. Для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики исследована нелокальная краевая задача с интегральным условием в гиперболической части.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю Адаму Маремовичу Нахушеву за постоянное внимание и поддержку в работе.

1. Алдашев, С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа/ С.А. Алдашев// Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Киев. 1990. - 32 с.

2. Аттаев, А.Х. Краевые задачи с характеристическими носителями для нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений/ А.Х. Аттаев// Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик. - 1989. - 81 с.

3. Аттаев, А.Х. Задача Трикоми для модельного нагруженного уравнения смешанного типа/ А.Х. Аттаев// Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды Международной конференции. Стерли-тамак, 24-28 июня 2008 г. Т. 2. - Уфа: Гилем, 2008. - С. 81-84.

4. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа/ К.И. Бабенко// УМН. 1953. - Т. 8, вып. 2(54). - 160 с.

5. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах смешанного типа/ A.B. Бицадзе// ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 4. - С. 561-564.

6. Бицадзе, A.B. К проблеме уравнений смешанного типа/ A.B. Бицадзе// Труды Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. М. - 1953. - Т. 41. - С. 1-58.

7. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа/ A.B. Бицадзе// М.: Издательство АН СССР, 1959. - 172 с.

8. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач/ A.B. Бицадзе, A.A. Самарский// ДАН СССР. 1969. -Т. 185, № 4. - С. 739-740.

9. Бозиев, O.JI. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа/ O.JI. Бозиев// Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик. - 2000. - 94 с.

10. Бородин, A.B. Краевые задачи для нагруженных уравнений в частных производных/ A.B. Бородин// Матем. сб. Орджоникидзе: Изд-во СО-ГУ, 1976. - Вып. III. - С. 14-23.

11. Бородин, A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. I/ A.B. Бородин// Дифференц. уравнения. 1979. -Т. 15, № 1. - С. 18-26.

12. Бородин, A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. II/ A.B. Бородин// Дифференц. уравнения. 1980. -Т. 16, № 1. - С. 20-23.

13. Гвазава, Д.К. О некоторых классах нелинейных уравнений смешанного типа/ Д.К. Гвазава// Дис. . докт. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1979. - 148 с.

14. Геккиева, С.Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени/ С.Х. Геккиева// Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик. - 2003. - 73 с.

15. Дженалиев, М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений/М.Т. Дженалиев// Алматы. -1995. - 270 с.

16. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов/ Т.Д. Джураев// Ташкент: ФАН. - 1979. - 238 с.

17. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболи-ческого типа/ Т.Д. Джураев, A.C. Сопуев, М. Мамажанов// Ташкент: ФАН. - 1986. - 220 с.

18. Елеев, В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений/ В.А. Елеев// Дифференц. уравнения.- 1979. Т. 15, № 1. - С. 41-53.

19. Елеев, В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка/ В.А. Елеев// Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, - № 2. - С. 230-237.

20. Елеев, В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа/ В.А. Елеев// Украинский мат. журнал. 1995. - Т. 47, №12. - С. 1639-1652.

21. Елеев, В.А. Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа/ В.А. Елеев// Дис. . докт. физ.-мат. наук. Киев.- 1995. 266 с.

22. Зарубин, А.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом/ А.Н. Зарубин// Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. - С. 350-356.

23. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом/ А.Н. Зарубин// Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. - 225 с.

24. Золина, Л. А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа/ JI.A. Золина// ЖВМ и МФ. 1966. - Т. 6, № 6.- С. 991-1001.

25. Ильин, A.M. Линейные уравнения второго порядка параболического типа/ A.M. Ильин, A.C. Калашников, O.A. Олейник// УМН. 1962.- Т. 17, вып. 3. С. 3-141.

26. Казиев, В.М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-диф-ференциального уравнения второго порядка/ В.М. Казиев// Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14, № 1. - С. 181-184.

27. Казиев, В.М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе/ В.М. Казиев// Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 1. - С. 173-175.

28. Казиев В.М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-диф-ференциального уравнения/ В.М. Казиев// Дифференц. уравнения. -1981. Т. 17, № 2. - С. 313-319.

29. Кальменов, Т.Ш. О регулярности краевых задач и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов/ Т.Ш. Кальменов// Ав-тореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. М. - 1982. - 27 с.

30. Каратопраклиев, Г.Д. Об одном обобщении задачи Трикоми/ Г.Д. Ка-ратопраклиев// ДАН СССР. 1964. - Т. 158, № 2. - С. 271-274.

31. Кожанов, А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче/А.И. Кожанов// Мат. заметки. 2004. - Т. 76, № 6. - С. 840-853.

32. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные зада-чи/А.И. Кожанов// ЖВМ и МФ. 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.

33. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин// М.: Наука. - 1976. - 544 с.

34. Лаврентьев, М.А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе// ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 3. - С. 373-376.

35. Моисеев, Е.И. Уравнение смешанного типа со спектральным параметром/ Е.И. Моисеев// М.: Изд-во МГУ. - 1988. - 150 с.

36. Напсо, А.Ф. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа/ А.Ф. Напсо// Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14, № 1. - С. 186-187.

37. Нахушев, A.M. Об одной краевой задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа/ A.M. Нахушев, Х.Г. Бжихатлов// ДАН СССР. 1968. - Т. 183, № 2. - С. 261-264.

38. Нахушев, A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения/ A.M. Нахушев// ДАН СССР. 1969. -Т. 187, № 4. - С. 736-739.

39. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа/ A.M. Нахушев// Дифферент уравнения. 1969. - Т. 5. № 1. - С. 44-59.

40. Нахушев, A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12, № 1. - С. 103-108.

41. Нахушев, A.M. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности/ A.M. Нахушев, А.А. Керефов, Х.Ж. Дикинов// Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12, № 1. - С. 177-179.

42. Нахушев, A.M. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод/ A.M. Нахушев, В.Н. Борисов// Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13, № 1. - С. 105-110.

43. Нахушев, A.M. К теории нагруженных уравнений в частных производных/ A.M. Нахушев// Short communication (Abstracts). Section 11 Partial Differential Equations. Warszawa. - 1982. - P. 52.

44. Нахушев, A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев// Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения. Труды всесоюзного симпозиума. Тбилиси, 21-23 апреля 1982 г. С. 183-188.

45. Нахушев, A.M. Нагруженные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. - С. 86-94.

46. Нахушев, A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, № 1. С. 92-101.

47. Нахушев, A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев// Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения. Труды всесоюзного симпозиума. Тбилиси, 1986.

48. Нахушев, A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка / A.M. Нахушев// Нальчик: Эльбрус. - 1992. - 155 с.

49. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев// М.: Высш. шк. - 1995. - 301 с.

50. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение/ A.M. Нахушев// М.: Физматлит. - 2003. - 272 с.

51. Нахушев, A.M. Некоторые факты из теории краевых задач со смещением/ A.M. Нахушев// Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН. - 2005. - 63 с.

52. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных/ A.M. Нахушев// М.: Наука. - 2006. - 287 с.

53. Международной конференции. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН,2001. С. 77-78.

54. Пулъкин, С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе/ С.П. Пулькин// ДАН СССР. 1958. - Т. 118, № 1. - С. 38-41.

55. Пулъкина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения/Л. С. Пулькина// Матем. заметки.- 2003. Т. 74, вып. 3. - С. 435-445.

56. Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина// Тр. МИАН. 2002. - Т. 236. -С. 298-303.

57. Репин, O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов/ O.A. Репин// Саратов: Изд-во Саратовского ун-та. - 1992. - 161 с.

58. Сабитов, К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа/ К.Б. Сабитов// Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, К2 11. -С. 1967-1676.

59. Сабитов, К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа/К.Б. Сабитов// Дис. . докт. физ.-мат. наук. М. - 1991. - 313 с.

60. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа/ М.С. Са-лахитдинов// Ташкент: ФАН. - 1974. - 156 с.

61. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа/ М.М. Смирнов// М.: Наука. - 1970. - 296 с.

62. Соболев, С.Л. Уравнения математической физики/ С.Л. Соболев// -М.: Наука. 1966. - 444 с.

63. Солдатов, А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности/ А.П. Солдатов// Докл. РАН. -1993. Т.332. 6. - С. 696-698.

64. Солдатов, А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II. Теоремы существования/ А.П. Солдатов// Докл. РАН.- 1993. Т. 333. 1. - С. 16-18.

65. Солдатов, А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе/ А.П. Солдатов// Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. 11.- С. 2001-2009.

66. Стручина, Г. M. Задача о сопряжении двух уравнений/ Г.М. Стручи-на// Инженерно-физический журнал. 1961. Т. 4. -N5 11. - С. 99-104.

67. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, A.A. Самарский// М.: Наука. - 1977. - 735 с.

68. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения/ А.Н. Тихонов, A.B. Васильева, А.Г. Свешников// М.: Наука. - 1980. Выпуск 7. -232 с.

69. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях смешанного типа/ Ф. Трикоми//- M.-J1.: Гостехиздат. 1947. - 192 с.

70. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных/ Ф. Трикоми// М. - 1957. - 444 с.

71. Франкль, Ф.И. Обобщение задачи Трикоми и применение к решению прямой теории сопла Лаваля/ Ф.И. Франкль// Уч. зап. Кабардино-Балкарского гос. ун-та. 3. Нальчик. - 1959. - С. 79-93.

72. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике/ Ф.И. Франкль//- М.: Наука. 1973. -712 с.

73. Чаплыгин, С.А. О газовых струях/ С.А. Чаплыгин// Собрание сочинений. Т.2. -М.-Л.: АН СССР. - 1933.

74. Gellerstedt, S. Sur un problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte/ S. Gellerstedt//- Uppsala. 1935. - P. 3-91.

75. Хубиев, К.У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. Т.З. - Самара: СамГТУ, 2004. - С. 231-232.

76. Хубиев, К.У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 7, т. - С. 74-77.

77. Хубиев, К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения смешанного типа с переменными коэффициентами/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Меоюдународной академии наук. 2006.- Т. 8, Ш2. С. 69-72.

78. Хубиев, К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами/ К.У. Хубиев// Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. - Т. 2(15). - С. 155-157.

79. Хубиев, К. У. Задача Геллерстедта для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Вестник Адыгейского государственного университета. 2007. - Т. 4(28). - С. 25-29.

80. Хубиев, К.У. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. - Т. 9, №2. - С. 71-74.

81. Хубиев, К. У. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// В сб.: Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию.- Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008. С. 331-335.

82. Хубиев, К. У. Внутреннекраевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2008. № 6. - С. 23-25.

83. Хубиев, К. У. Аналог задачи Трикоми и задача со смещением для модельного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10, №2. - С. 68-72.