Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Токова Алла Аскербиевна

Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов

01.01.02 - «Дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2006

Работа выполнена в отделе дробного исчисления Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Нахушев Адам Маремович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сабитов Камиль Басирович, кандидат физико-математических наук, доцент Богатое Егор Михайлович

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 27 декабря 2006 г. в 1600 часов на заседании диссертационного совета К 212.015.05 при Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан 24 ноября 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., профессор

Глушак А.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория нагруженных уравнений берет свое начало от фундаментальных исследований А. Кнезера (1914 г.), JI. Лихтенштейна (1931 г.), Н.М. Гюнтера (1932 г.), H.H. Назарова (1948 г.), А.Ш. Габиб-заде (1959 г.), Б.М. Будака и А.Д. Искендерова (1967, 1971 гг.) посвященных интегральным уравнениям.

Общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г.

A.M. Нахушевым. Именно работы A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. В дальнейшем исследованиями краевых задач для нагруженных уравнений занимались А.Х. Аттаев, A.B. Бородин, М.Т. Дженалиев, А.И. Кожанов, В.М. Казиев, A.A. Керефов, И.Н. Панин, М.И. Рамазанов, М.Х. Шхануков-Лафишев и другие авторы.

Нагруженные дифференциальные уравнения в частных производных выступают в качестве математических моделей, описывающих процессы долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирования процессов переноса частиц и некоторых задач оптимального управления. Использованию нагруженных уравнений в математическом моделировании посвящены работы

B.Н. Борисова, Р.Г. Карданова, H.H. Кочиной, A.M. Нахушева, В.А. На-хушевой, Л.И. Сербиной, С.М. Тарга и других авторов.

Одним из методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный A.M. Нахушевым метод редукции дифференциальных уравнений к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям. В частности, когда нагрузка представляет собой среднее значение от решения по одной из переменных, такие нагруженные уравнения исследованы в работах М.М. Амангалиевой, М.Т. Дженалиева, К.Б. Иманбердиева, Р.Г. Карданова, A.M. Нахушева, И. Озтюрка, М.И. Рамазанова.

Таким образом, проведение фундаментальных исследований по теме диссертационной работы является актуальным.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ ПМА КБНЦ РАН по научному направлению «Нелокальные дифференциальные уравнения и краевые задачи и математическая физика фракталов», № гос. регистрации 0120 0508753.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода функции Грина, метода интегральных уравнений, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации исследуются локальные и нелокальные краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Теоремы существования и единственности решений локальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа;

2) Теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа;

3)Теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты представляют собой позитивный вклад в интенсивно развиваемую в последние годы теорию краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными и развитие методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Они могут также служить теоретической основой при исследовании процессов, описываемых нагруженными уравнениями.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре по современному анализу и информатике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.), на научном семинаре по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного университета (руководитель - Солдатов А.П.), на Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», (Нальчик-Эльбрус,

2004 г.), на I, II, III школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», (Нальчик -Эльбрус, 2003 г.- 2005 г.), на Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2004)», (Самара, 2004 г.), на IV научной молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения -2005», (Казань, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1] - [11].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 10 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 83 наименований, и изложена на 84 страницах.

Содержание работы

Во введении дается обзор литературы по вопросам, связаным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена задачам с локальными краевыми условиями для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа.

В §1 первой главы в области Г2 = {(ж, у) : 0 < х < г, 0 < у < Т} рассмотрено нагруженное уравнение

(¿х + Ь^и^Дх.з/), (1)

где

q2 q q2 Q

Ll - + + c(2/)' 12 - A{y)W + В{у)д,у + C{y)>

(iu)(y) - среднее значение функции u(x,y) по переменной х на сегменте [0, г]:

г

(<$«) {у) — ~ J u(x,y)dx,

о

а(у) > 0, 0 < у <Т, f{x,y), Ъ(у),с(у), А(у), В(у), С(у) -заданные непрерывные функции. Через Г2 обозначим замыкание области Q.

Уравнение (1) в области П является уравнением параболического

типа с характеристической формой ©(ж, у;£) = я(у)£2.

Регулярным решением уравнения (1) в области Г2 будем называть решение и = и(х, у), такое, что и S C(Í2), ихх G С7(0), (Su) (у) € С2(0, Т).

Обозначим D = Ь\у) - Аа(у)с(у); 2А = Ъ(у)/а(у); 2р = V^/a(y);

ui(x, У) = 2е~А1сЬ(рж); и2(х, у) = -e~Xxsh(рх);

Р

р — е-Ах [A sh(px) + р ch(px)] W{''V) =--;

Z

F(x,y) = ^ У о

Доказана следующая лемма об общем представлении решения уравнения (1).

Лемма 1.1. Пусть f <Е C(Q), fy, fyy G C(Í2), a(y),b(y),c(y) e С[0,Т\ПС2(0,Т), A(y),B(y),C(y) € C[0,T], A(y) ф О V у e [0,Г]. Тогда, любое регулярное в области Q решение и(х,у) уравнения (1) представимо в виде

и(х, у) = <2(z, у) + iu(x, y)L2(Su) (у) + jP(a?, у),

где (Su) (у) является решением уравнения

(Su)(у) - (Sw)(y)L2(Su)(y) = (SQ)(y) + (SF)(y),

функция Q(x, у) является решением однородного уравнения L\u = 0. Функции (Su) (у), (SQ)(y), (Sw)(y), (SF)(y) означают интегральные средние значения по переменной х 6 [0, г] функций и(х,у), Q(x,y), w(x,y), F(x,y) соответственно.

В §2 первой главы рассмотрена первая краевая задача.

Задача 1.1. Найти регулярное в области Í2 решение и(х,у) уравнения (1), такое, что (Su)(y) G С1[0,Т), удовлетворяющее краевым условиям

u(0,!/) = y(y), 0<t/<T,

u{r,y)=ip(y), О <у<Т,

(<5u)(0) = ¿о, (5U)'(0)=5b

где <p{y), ip{y) - заданные непрерывные функции, So, Si - заданные числа.

На основании леммы 1.1 доказана теорема существования и единственности решения задачи 1.1.

Теорема 1,1. Пусть соблюдены условия леммы 1.1 и ip(y), "ф{у) € С[0,Т] ПС2(0,Т). При D > 0, с(у)Ь(у) ф 0 дополнительно выполняется условие

2p[ch(rp) - ch(rA)] ф r{p2 - A2)sh(rp), (2)

а при D < 0 выполняются условия (2) и

С{У)* 4r2a(y) ' fc-0,1,...

Тогда существует единственное решение задачи 1.1 .

В §3 первой главы в области = {(ж, у) : 0 < х < г, 0 < у < Т} для нагруженного уравнения

(L1 + L2s)u = f(x,y), (3)

где

д2 д д2 д

Ь(х,у), с(х,у), А(х,у), В(х,у), С(х,у), f(x,y) е С(П) - заданные функции, причем А{х,у) ф 0 Ч[х,у) 6 О.

Исследована следующая задача с условиями Пуанкаре. Задача 1.2. Найти регулярное в области Л решение и(х, у) уравнения (3) такое, что (<5u)(y) € C^fOjT], их непрерывна вплоть до точек (0, у) и (г, у), 0 < у < Т, удовлетворяющее следующим условиям

Ахи = aiux(0,y) + /3^(0, у) = <р{у), 0 < у < Т,

А2и = а2их(г, у) + /32и(г, у) = ф{у), 0 < у < Т,

Аъ5и = oj(iu)'(0) + Д»($и)(0) = ¿о,

A4Su = a4(Ju)'(T) + {3A(6u) (T) = <*!,

где ip(y), ф(у) € C[0,T] П C2(0, T) - заданные функции, ai, S0, Si - заданные числа, af + Д? ^ О, Уг € {1,2,3,4}. Доказана

Теорема 1.2. Пусть z\(x,y) и ^(ж, у) - решения уравнения L\z(x,y) = 0, удовлетворяющие условиям AiZi = 0 и A^zi - - 0 сот-ветственно, и не обращающиеся в нуль в области Q; задачи

Liz{x, у) = 0, Aiz = 0, A2z = 0, (4)

(Лх)"(у) + Кг (у) (<Ц'(у) + К2{у) (5и) {у) = 0, А35и = 0, А45и = О,

(5)

где

fdxf B(t, y)G(x, у, t)dt fdxf C(i, y)G{x, y, t)dt + 1

(y) = V-4-. ад = ~ г-^ f-.

fdxf A(t, y)G(x, y, t)dt fdxf A(t, y)G(x, у, t)dt

0 0 0 0

G(x, y, t) - функция Грина задачи (4), имеют только тривиальные решения z[x,y) ее 0 и (8ii){y) = 0. Тогда существует единственное регулярное решение задачи 1.2 .

Во второй главе исследованы задачи с нелокальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

В §1 второй главы рассмотрено модельное нагруженное дифференциальное уравнение

г

се)

о

где К (у), /(у) - заданные непрерывные на сегменте [О, Т] функции.

Регулярным решением уравнения (6) в области П будем называть решение и = и(х, у), такое, что и € С(£2), ихх £ С(Г2),

(¿и)(у)ес2(о,т).

Исследуется следующая задача с условием первого класса. Задача 2.1. Найти регулярное в области решение и{х,у) уравнения (6), с производной их непрерывной вплоть до точек (0, у) и (г,у), О < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям

и{0,у) = <р(у), 0 <у<Т, аих{г,у) + ßux{0,у) = ф(у), 0 <у<Т,

г г

1 f 1 d f

- I u(x, 0)dx — ¿o, lim-— I u(x,y)dx = Si,

v J y—tQ t dy J о 0

где <p(y), ip{y) - заданные непрерывные функции, So, Si — const, a? + ß2^0.

Решение задачи 2.1 выписано в явном виде, доказана Теорема 2.1. Пусть ß ф. 2а, <р(у), ф(у) 6 С\0, Т] П С2(0, Т). Тогда существует единственное решение задачи 2.1 .

В §2 рассмотрены задачи с локальным смещением для уравнения

(!)•

Задача 2.2. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (1), такое, что (Su)(y) G С1 [О,Т), их непрерывна вплоть до точек (0, у) и (г, у), 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям

Ux(r, у) - «iu(0, у) + а2и(г, у), 0 < у < Т,

«»(О, у) = /Зщ(0, у) + Рги{г, у), 0 < у < Т,

(<5ы) (0) = ¿о. (¿ы)'(0) = <5х, где »1, (г = 1,2), ¿о, ¿1 - заданные числа, причем о^ + а\ ф О,

Р1 + &Ф о-

Задача 2.3. Найти регулярное в области Г2 решение и(х,у) уравнения (1), такое, что (6и)(у) € Сг[0,Т), их непрерывна вплоть до точек (0, у) и (г, у), 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям

и{г,у) = аы(0,у), 0 < у <Т,

«х(г, у) = Аи,(0, у) + А«(0, у), О < у < Т,

(6и)(0)=60, (<5ы)'(0) = <5Ь

гЭе а, /?х, /?2, ¿сь ~ заданные числа, причем 01 + ф 0.

В §3 на основании леммы 1.1 доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи 2.2 для уравнения (1).

Теорема 2.3. Пусть соблюдены условия леммы 1.1, и выполняются условия

А (у) = («и (г, у)-«1и1(0, уУ-а2П1(г, у)) (и2а;(0, у)-Ли2(0, у)-02и2{г, у)) -- («1,(0, у)—01щ(О, у)-р2Щ(г, у)) (ы2х(г, у)-а!и2(0, у}-а2щ(г, у)) ф 0

и

У) [(¿«1) (У) (А^СО, У) + /32и2(г, у) - и2г(0, у)) ■

+ («иа)(»)(«1х(0,у) - Л«1(0, у) - &и1(г,у))]-

+ги(г,у)[(<5и1)(у)(ог2[и2;1;(0,у) - А«г(0,у)] + Р2[а1и2{0,у) -игДлу)])-

+ (бил)(у) (<*2^1^1(0,уЬш^О, у)]+02 К(г,уЬахи1(0, у)])] ф-Л(у)(¿го)(у). Тогда существует единственное решение задачи

В §4 доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи 2.3 для уравнения (1).

Теорема 2.4. Пусть соблюдены условия леммы 1.1, и выполняются условия

А (у) = (««2 (0, у) - и2(г, у)) [/Зщь^О, у) - игх(г, у) + /32их(0, у)| --(шц(0, у) - щ(г, у)) [/?1«2х(0, у) - и2х{г, у) + /32ы2(0, у)] ф 0,

1 +

и

-А(у)(бш)(у) ф (г, у)

(5ыг) (у) (м21(г, у)-/?1и2г(0, у)-/32"2(0, у))

+ +

+ (5и2) (у) (ДицСО, у) - щх{г, у) + Д,иг(0, у))

+и)х(г, у) [(^1)(у) (аы2(0, у)-и2(г, у))+(<5и2) (у) (^(г, у)-аы!(0, у))]. Тогда существует единственное решение задачи 2.3.

В третьей главе рассматриваются нелокальные краевые задачи с локальным смещением для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

В §1 третьей главы в области fîi = {(г, у) : а < х < ¡3, 0 < у < Т} рассмотрено нагруженное уравнение

а{у)ихх + Ь(у)их + с(у)и = signa; • \х\т (Su)'{у) + /(ж, у), (7)

где а: < О, 0 > 0,т > 0 - действительные числа, а(у) ф О, 0 < у < Т, Ь(у),с(у) - заданные непрерывные функции, (Su) (у) - среднее значение функции и(х,у) попеременной х на сегменте [а,/?]:

(5и)(у) = jzr^ f u(x>y)dx-

а

Уравнение (7) после почленного умножения на сигнум-функцию переходит в нагруженное дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа со знакопеременной характеристической формой Q(x,y,£) — а(у) sign я • £2. Оно в определенном смысле апроксимирует уравнение

а(у)ихх + Ъ(у)их + с(у)и = signa; • |a:|m иу + f(x, у),

которое принято называть уравнением смешанно-параболического типа или уравнением переменного типа, или же параболическим уравнением с меняющимся направлением по времени.

Регулярным решением уравнения (7) в области fii будем называть решение и = и(х,у), такое, что и S C(fîi), ихх 6 C(Qi), (Su) (у) G сНо.т).

Обозначим D = Ъ2(у) - Аа(у)с{у) ; 2А = Ъ(у)/а(у) ; 2р = y/D/a(y) ;

W(X'У) = S /(1 ~ z)msHpXZ) e~X"dz:

О

х

F(x, у) = J sh\р(х - О] eA«-)/(f, yR; о

щ(х, у) = 2е Alch(px); и2(х, у) = -е Azsh(рх).

Доказана

Лемма 3.1. Пусть а(у),Ь(у),с(у) е СЕО.Т^ПС^О.Т), /(х, у) 6 С(Щ, 1у{х1 У) € С(Г2х). Тогда, любое регулярное в области Г2х решение и(х,у) уравнения (7) представимо в виде

и(х,у) = Я{х,у) + и](х,у)(5и)\у) + Р{х)у),

где (5и) (у) является решением уравнения

(5и) (у) - (6ю)(у)(би)'(у) = (¿¿2) (у) + (№)(у),

функция <2(х, у) является решением однородного уравнения

а(у)ихх+Ь(у)их+с(у)и = 0.

Функции (ёи) (у), (¿С?) (у), (ёш) (у), (у) означают интегральные средние значения по переменной х 6 [0,г] функций и(х,у), <5(ее,у), ги(х,у), Р(х,у) соответственно.

В §2 третьей главы исследованы

Задача 3.1. Найти регулярное в области Пх решение и(х,у) уравнения (7) с производной их, непрерывной вплоть до точек (а, у) и (/3, у), 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям

Ау.и = щих(а, у) + /х2и(а, у) + МзиЦЗ, у) = ¡р{у), 0 < у < Т, А2и = У) + 72"(а, у) + 7з"(/?. у) = , 0 < у < Т,

(5и) (0) = <50,

где 7;, (г,= 1,2,3), ¿о ~ заданные числа, причем + О,

7? + 7г + 7з Ф О, М? + 7? Ф 0, <р(у),~Ф{у) - заданные непрерывные функции.

Задача 3.2. Найти регулярное в области Пх решение и(х, у) уравнения (7) с производной их, непрерывной вплоть до точек (а, у) и (/?, у)-, 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям

В1И = 71«(а.У) + 72и(/3,у) = (р{у), 0 <у<Т,

В2и = цхих(а, у) + их(0, у) + цзи(а, у) = хр{у), 0 < у < Т,

(<5и)(0) = <50,

где -у^, (г = 1,2; .7 = 1,2,3), ¿о ~ заданные числа, причем

71+72^°. /4 + (4 + М? + & + 7г Ф 0, </>(у). ^(у) - заданные

непрерывные функции.

В §3 опираясь на общее представление решения уравнения (7), доказаны теоремы существования и единственности решений задач 3.1 и 3.2.

Теорема 3.1. Пусть соблюдены условия леммы 3.1, <р(у),'ф(у) € С[0, Т] П С1 (0,Т), и выполняются условия

(Л^х) (А2и2) Ф (Лхи2) (Л2их)

и

(<5щ)(у) [(Лхи2) (Л2и>) - (Л2и2) (Лхш)] + + (6и2)(у) [(Л2ых) (Лцу) - (Лцл) (А2ю)]Ф

ф(5ш)(у) [(Л11Х2) (Л2их) - (Лхих) (Л2и2)].

Тогда существует единственное решение задачи 3.1.

Теорема 3.2. Пусть соблюдены условия леммы 3.1, (р{у),'ф(у) £ С[0, Т] П С1 (0, Т), и выполняются условия

(Вщх) (В2и2) ф (Вща) {В2щ)

и

(6их) (у) [(Вша) (Вагв) - (В2и2) (Вхго)] + +(^и2)(у) [(Ваих) (Вии) - (Вцц) (Ваш)] ф Ф (Ц(У) [(Вша) (В2щ) - (Вхщ) (В2«2)].

Тогда существует единственное решение задачи 3.2.

Заключение

Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы:

- доказаны лемма 1.1 об общем представлении решений и теорема 1.1 существования и единственности решения первой краевой задачи для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа;

- доказана теорема 1.2 существования и единственности решения задачи 1.2 с условиями Пуанкаре для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа;

- доказана теорема 2.1 существования и единственности решения задачи 2.1 с условием первого класса для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа;

- доказаны теоремы 2.3 и 2.4 существования и единственности решений соответственно задач 2.2 и 2.3 с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа;

- доказаны лемма 3.1 об общем представлении решения и теоремы 3.1 и 3.2 существования и единственности решений соответственно задач 3.1 и 3.2 с локальным смещением для класса нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

Публикации автора по теме диссертации

1. Токова A.A. Об одной краевой задаче для модельного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа // Известия Кабардино - Балкарского Научного центра РАН. - 2004. - № 2(12). -С. 119 - 120

2. Токова A.A. Краевая задача для модельного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа / Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2004)». - Самара, 2004. - С. 215 - 218

3. Токова A.A. Об одной краевой задаче для модельного нагруженного дифференциального уравнения в частных производных второго по-

рядка / Материалы международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик, 2004. - С. 175 - 178

4. Токова A.A. Краевая задача для одного нагруженного дифференциального уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2005. - Т. 7. - № 2. - С. 56 - 61

5. Токова A.A. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2005. - Т.8. - № 1. - С. 87-91

6. Токова A.A. Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения /Труды математического центра им. Лобачевского «Лобачевские чтения - 2005». Т.31. Материалы IV научной молодежной школы-конференции. - Казань, 2005. - С.154 - 156

7. Токова A.A. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка / Материалы III школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик, 2005. - С. 63 - 66

8. Токова A.A. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка. / Отчёт НИИ ПМА КБНЦ РАН по научно-исследовательским, опытно-конструкторским работам за 2001 - 2005 гг. по теме «Нелокальные дифференциальные операторы основных и смешанных типов и их применение к фундаментальным исследованиям в различных областях знаний». - Нальчик, 2005. 4.2. - С.140 - 146. № гос.регистрации 01.20.0012841, № регистрации ВНТИЦ 02.2.00601425

9. Токова A.A. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2006. - Т.8. - № 2. - С. 65 - 68

10. Токова A.A. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Сам ГТУ. Сер. физ. - мат. наук. - Самара, 2006. Вып. № 43. - С. 178 - 181

11. Токова A.A. Об одной краевой задаче для модельного нагруженного уравнения в частных производных // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - Ростов-на-Дону, 2006. Приложение № 11. - С. 13 - 16

Формат 84x108 1/32. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл.печ.л. 1.0. Тираж 120 экз.

Отпечатано в НИИ прикладной математики и автоматизации

КБНЦ РАН.

360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 "а". Тел.(8662)42-64-11

Введение

1 Задачи с локальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа

§ 1. Общее представление решений.

§ 2. Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи.

§ 3. Задача с условиями Пуанкаре.

2 Задачи с нелокальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа

§ 1. Задача с условием первого класса.

§ 2. Задачи с локальным смещением.

§ 3. Теорема существования и единственности решения задачи

2. 2.

§ 4. Теорема существования и единственности решения задачи

2. 3.

3 Нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанно-параболического типа

§ 1. Общее представление решений.

§ 2. Задачи с локальным смещением.

§ 3. Теоремы существования и единственности решений задач с локальным смещением.

В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирования процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления, исследованные в работах A.B. Бородина [7], H.H. Кочиной [32] - [34], Р.Г. Карданова, A.M. Нахушева [21] - [23], [40] - [43], [83], В.А. Нахушевой [54], Л.И. Сер-биной [60], С.М. Тарга [61].

Термин «нагруженное уравнение», впервые появился в работах Кне-зера применительно к интегральным уравнениям. Среди посвященных нагруженным уравнениям особо следует отметить работы А. Кнезера ([80], [81] 1914 г.), Л. Лихтенштейна ([82] 1931 г.), Н.М. Гюнтера ([10] 1932 г.), H.H. Назарова ([36] 1948 г.), А.Ш. Габиб-заде ([11] 1959 г.), Б.М. Будака и А.Д. Искендерова ([6] 1967 г.), Э. Эшдавлатова ([75], [76] 1976 г.).

Принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г. A.M. Нахушевым в [39], и приводится в работах [45], [46], [48]. Общее определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [51].

Определение 0.1. Пусть Q, - п-мерная область евклидова пространства Rn точек х = (ж1,.,жп). Заданное в области О, дифференциальное, интегральное или функциональное уравнение Lu = f(x), называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и = и(х) на принадлежащих замыканию Ü многообразиях размерности меньше п [39].

В дальнейшем к исследованию нагруженных уравнений обращались многие авторы. Отметим работы [1] - [3], [5], [7] - [9], [12] - [27], [29] -[31], [35], [39] - [44], [49], [56], [57], [74], [78], [79].

Именно результаты A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений.

В шестидесятых годах A.B. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с двумя независимыми переменными. Для реализации этой проблемы A.M. Нахушев в 1969 году предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [37], [38], [50], [53].

Важное значение нагруженные уравнения имеют также для методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является предложенный A.M. Нахушевым метод редукции дифференциальных уравнений к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [47].

Суть метода редукции к нагруженным уравнениям, состоит в замене дифференциального или интегро-дифференциального уравнения

Lu = f(x), ueD(L), (0.1) аппроксимирующим его с той или иной точностью нагруженым дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнением

Lu = f(x), ueD(l) = D(L), (0.2) такого же типа и порядка.

Определение 0.2. Функция ü € D(L) называется приближенным решением задачи (0.1), если она является точным (или приближенным) решением аппроксимирующей задачи (0.2) [47].

Сущность метода редукции к нагруженным уравнениям раскрыта в [9], [19], [21] - [23], [40] - [44], [50] на некоторых модельных задачах.

Важные вопросы тепломассообмена в каппилярно-пористых средах, например, вопросы долгосрочного прогноза солевого и уровенного режимов в почвогрунтах, при определенных допущениях сводятся к следующей задаче Коши.

В области О, = {(я, у) : 0 < у < Т, 0 < х <1 < оо} требуется найти регулярное решение и = и(х, у) линейного параболического уравнения иу = Ьи = а(х, у)ихх + Ь(х, у)их + с(х, у)и + /(я, у), (0.3) если на кривой и = {(х,у) : ху = 0, 0 < у < Т, 0 < х < 1} задано условие Коши, то есть если известно, что

0= т(у), их(0,у) = 1/(у), у £ [0,Т], и(ж,0) = (р(х), х £ [0,/).

В работе [21] A.M. Нахушевым и Р.Г. Кардановым предложен метод регуляризации задачи Коши со смешанным негладким носителем, суть которого состоит в замене уравнения (0.3) нагруженным дифференциальным уравнением одного из следующих видов д 1 Г

- / w(f, y)d£ = Lu, 00 ду о д д 1 (* — а*(х, y)u(xh у) = Ьщ —- J u(£, у)<% = Lu, г=1 0 где xi,x2,. ,xm - заданные характерные точки из полусегмента [0,1)

Многие математические модели энерго - и массобмена в среде обитания растений сводятся к задаче отыскания коэффициентов а и 6 уравнениях в частных производных вида аихх + buxxt = ut, 0 < х < I и решения и = u(x,t), удовлетворяющего начальному условию

0.4) и{х,0) = т(х)ес2[0,1] и как правило, одному из следующих локальных или нелокальных краевых условий ч . . ди u(0,t) = <p0(t), — аг=0

Е bw

3=1 dj и dxi~l di~lu x=l 7i(t), г = l,2,i G [0,T]; i д f / u(x,t)dx = E(t), u(0,t) = ipo(t)', i $ f dzi

- J u(x,t)dx = E(t), £ ^ = e [0, T]; 0

В работе [22] A.M. Нахушевым и P.Г. Кардановым предложен способ идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги, который заключается в замене уравнения (0.4) нагруженными уравнениями следующих видов

7(ж) д (3-adt Р j и(х, t)dx, 0 < х < I] д аихх + buxxt = —^(3j(x)u(xj,t), 0 <х <1. j=i

Здесь а, /3, ft(x), j(x), Xj, п считаются задаваемыми величинами.

Теми же авторами в работе [23] рассмотрено уравнение одновременного движения соли и воды вдоль оси х с постоянной скоростью фильтрации vq при условии независимости интенсивного растворения содержащихся в твердой фазе почвы солей от их объема и поверхности дС д2С дС of„ ^ где знак минус берется, если направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, и знак плюс - в противном случае, С(х, t)

- концентрация почвенного раствора в точке х в момент времени t; D

- коэффициент конвективной (фильтрационной) диффузии; v = vq/тп -фактическая скорость фильтрации; т - порозность; (3 - коэффициент растворения; Ст - предельная концентрация раствора. Пользуясь методом редукции к нагруженным уравнениям сформирован, алгоритм расчета коэффициента конвективной диффузии соли при полном насыщении почвы влагой.

В работах Илхана Озтюрка [20], [78], [79] для нагруженного уравнения с частными производными смешанно - параболического типа аихх + bux + си = sign х - \х\п йу + /(¡г, у) и уравнения signsт De0yu = uxx-f(x,y), исследована первая краевая задача. Здесь и = -- / и[х, у)ах,

5 - а J а

Dqv - оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка |е| с началом в точке 0 и с концом в точке у [52].

В работе [2] Амангалиевой М.М., Дженалиевым М.Т., Рамазано-вым М.И. для нагруженного дифференциального уравнения исследованы граничные задачи, а в работе [3] доказано существование и единственность решения граничной задачи для уравнения теплопроводности с усреднением по времени.

В монографиях В.А. Нахушевой [54], Л.И. Сербиной [60], A.B. Псху [55] исследованы новые нелокальные задачи для нагруженных уравнений параболического типа.

В настоящей диссертации исследованы локальные и нелокальные краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов.

1) Доказаны теоремы существования и единственности решений локальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

2) Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа. v"(t) -uxx = f,(x,t)£Q,tt = {(x,t): 0 <x<h, 0 < t < Г}, h о

3) Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы из 83 наименований. Объем работы составляет 84 страниц.

Заключение

Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы.

1. Доказана лемма 1.1 об общем представлении решения одного класса нагруженных уравнений с частными производными параболического типа с коэффициентами зависящими от одной переменной у в прямоугольной области.

2. Доказана теорема 1.1 существования и единственности решения первой краевой задачи для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

3. Доказана теорема 1.2 существования и единственности решения задачи 1.2 с условиями Пуанкаре для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

4. Доказана теорема 2.1 существования и единственности решения задачи 2.1 с условием первого класса для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

5. Доказаны теоремы 2.3 и 2.4 существования и единственности решений соответственно задач 2.2 и 2.3 с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

6. Доказана лемма 3.1 об общем представлении решения одного клас

-Tica нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

7. Доказаны теоремы 3.1 и 3.2 существования и единственности решений соответственно задач 3.1 и 3.2 с локальным смещением для класса нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

1. Аттаев А.Х. Краевые задачи с характеристическими носителями для нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1989. - 81 с.

2. Амангалиева М.М. Граничные задачи для уравнения теплопроводности с усреднением по времени / Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2002.- С. 19 23

3. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М., 1981. 448 с.

4. Бозиев О.Л. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа: Дис. . канд. физ.-мат. наук. -Нальчик, 2000. 94 с.

5. Будак Б.М., Искендеров А.Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1967.- Т. 176. № 1. - С. 20 - 24

6. Бородин A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных произволных второго порядка // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. -№ 1. - С. 18 - 26

7. Бородин A.B. Об одной оценке для уравнения в частных производных второго порядка и ее приложении // Дифференц. уравнения. -1978. Т. 14. - № 1. - С. 12 - 21

8. Борисов В.Н., Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 1. - С. 105 -110

9. Гюнтер Н.М. Studia Mathematica. 1932. - Т. IV.

10. Габиб-заде А.Ш. Исследование одного класса линейных и нелинейных нагруженных интегральных уравнений с различными параметрами // Ученые записки АГУ. Сер. физ. мат. и хим. наук. - Баку,- 1958. № 1. - С. 41 - 59

11. Геккиева С.Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2003. - 73 с.

12. Дженалиев М. Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифференц. уравнения. 1989.- Т.25. № 4. - С. 641 - 651

13. Дженалиев М. Т. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений: Дис. канд. . физ.-мат. наук. Алматы, 1993. - 322 с.-7415. Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы, 1995. - 270 с.

14. Дикинов Х.Ж., Керефов А.А., Нахушев А.М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1976. - Т.12. - № 1. - С. 177 - 179

15. Карданов Р.Г., Нахушев A.M. О некоторых способах идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги / САПР и АСПР в мелиорации. Сб. научн. трудов. Нальчик, 1983. - С. 3 - 20

16. Казиев В.М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15. - № 1. -С. 173 - 175

17. Казиев В.М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14. - № 1. - С. 181 - 185

18. Казиев В.М. Краевые задачи для нагруженных гиперболического и смешанного типов уравнений: Дис. канд. . физ.-мат. наук. Нальчик, 1980. - 81 с.

19. Кислое Н.В., Червяков A.B. Краевая задача с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2002. - № 6. - С. 62 - 67

20. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Матем. заметки.- 2004. Т. 76. - № 6. - С. 840 - 853

21. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // ЖВМ и МФ. 2004. - Т. 44. № 4. - С. 694 - 716

22. Кожанов А.И. Нелокальные по времени краевые задачи для линейных параболических уравнений // Сибирский матем. журнал. 2004.- Т.7. №1. - С. 51 - 60

23. Кочина H.H. Об изменении уровня грунтовых вод при поливах // Журнал прикл. матем. и техн. физики. 1971. - № 4. - С. 87 - 94

24. Кочина H.H. О некоторых нелинейных задачах уравнения теплопроводности // Журнал прикл. мат. и техн. физ. 1972. - № 3. - С. 124- 128

25. Назаров H.H. Об одном новом классе линейных интегральных уравнений // Труды института математики и механики АН УзССР. -Ташкент, 1948. Вып. № 4. С. 77 - 106

26. Нахушев A.M. Новая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 187. - №4. - С. 736 - 739

27. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 44 - 59

28. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т. 12. - № 1. - С. 103 - 108

29. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 242. - № 5. - С. 1008 - 1011

30. Нахушев A.M. Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения параболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги / Республиканский симпозиум по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Ашхабад, 1978. - С. 27-7828

31. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженного интегродифферен-циального уравнения гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - № 1. - С. 96 - 105

32. Нахушев A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения / Труды всесоюзного симпозиума «Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения». Тбилиси, 1982. - С. 183 - 188

33. Нахушев A.M. К теории нагруженных уравнений в частных производных // Short communication (Abstracts). Section 11 Partial Differential Equations. Warszawa, 1982. - P. 52

34. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. - С. 72 - 81

35. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - № 1. - С. 86 - 94

36. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения.1985. Т. 21. - № 1. - С. 92 - 101

37. Нахушев A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения / Труды всесоюзного симпозиума «Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения». Тбилиси,1986.

38. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М., 1995. -301 с.

39. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М., 2003. -272 с.

40. Нахушев A.M. Некоторые факты из теории краевых задач со смещением. Нальчик, 2005. - 63 с.

41. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных процессов. Нальчик, 2002. -102 с.-8055. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка -М., 2005. 199 с.

42. Рамазанов М.И. О нелокальной задаче для нагруженного гиперболо-эллиптического типа в прямоугольной области // Математический журнал. 2002. - Т. 2. - № 4(6). - С. 75 - 81

43. Рамазанов М.И. О краевой задаче для «существенно» нагруженного параболического уравнения в неограниченных областях // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. - Т.7.- № 1. С. 84 - 91

44. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. М., 1974. - 655 с.

45. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М., 1983.- 432с.

46. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик, 2002. - 144 с.

47. Тарг С. М. Основные задачи ламинарных течений. М. -J1., 1951. -420 с.

48. Тихонов А.Н., Васильева Ф.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., 1980. - 230 с.

49. Токова A.A. Об одной краевой задаче для модельного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа // Известия Кабардино Балкарского Научного центра РАН. - 2004. - № 2(12).- С. 119 120

50. Токова A.A. Краевая задача для модельного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа / Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2004)». Самара, 2004. - С. 215 - 218

51. Токова A.A. Краевая задача для одного нагруженного дифференциального уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т.7. - № 2. - С. 56 - 61

52. Токова A.A. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т.8. - № 1. - С. 87-91

53. Токова A.A. Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения / Труды математического центра им. Лобачевского «Лобачевские чтения 2005». Т.31. Материалы IV научной молодежной школы-конференции. - Казань, 2005. - С. 154 - 156

54. Токова A.A. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка / Материалы III школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик, 2005. - С. 63 - 66

55. Токова A.A. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. - Т.8. - № 2. - С. 65 - 68

56. Токова A.A. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Сам ГТУ. Сер. физ. мат. наук. - Самара, 2006. Вып. № 43. - С. 178 - 181

57. Токова A.A. Об одной краевой задаче для модельного нагруженного уравнения в частных производных // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Сер. естественные науки. -Ростов-на-Дону, 2006. Приложение № 11. С. 13 - 16

58. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа // Дифференц. уравнения. 1977.-83- Т. 13. № 1. - С. 163 - 168

59. Эшдавлатов Э. Нагруженное сингулярное интегральное уравнение с различными сингулярными операторами и различными параметрами // Ученые записки МБ и ССО Аз ССР. Сер. физ. мат. наук. - 1976. - № 6. - С. 29 - 35

60. Эшдавлатов Э. Некоторые классы нагруженных уравнений с различными параметрами: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Самарканд, 1979. - 104 с.

61. Янке ЕЭмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы) М., 1968.

62. Ilhan Ozturk. On the boundary value problem for the class of loaded partial differential equation of mixed parabolic type // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 1994. - Т. 1. -№ 1. - С. 27 - 29

63. Ilhan Ozturk. Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. - № 2. - С. 12 - 17

64. Kneser A. Belastete Integralgleihungen // Rendiconti del Circolo Mathematiko di Palermo. 38. 1914. - P. 169 - 197

65. Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Anwendung in der matem. Phusik, 1922.

66. Lichtenstein L. Vorlesungen über einege Klassen nichtlinear Integralgleichungen und Integraldifferentialgleihungen nebst Anwendungen. -Berlin: Springer, 1931. 164 s.

67. Nahushev A. M. Nonlokal and Goursat problems for a loaded equation of hyperbolik type and their applikations to the prediction of soil moisture // Soviet Math. Dokl. 1978. - Vol. 19. - № 5.