Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка

Кириллова, Галина Александровна

Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Кириллова, Галина Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Рубцовск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка»

Автореферат диссертации на тему "Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка"

Кириллова Галина Александровна

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

01 01 02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стерлитамак - 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Рубцовского индустриального института Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Кожанов А.И.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Аниконов Ю.Е.

ного совета К 212.315.01 при Стерлитамакском государственном педагогическом институте по адресу: 453121, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерлитамакского государственного педагогического института.

доктор физ.-мат. наук, профессор Каляев И. А.

Ведущая организация - Красноярский государственный университет

Защита состоится ^Ц^Н^ 2004 г. в ^

на заседании диссертацион-

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к.ф.-м.н

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались уже в восемнадцатом веке В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах - отметим здесь прежде всего работы А.И. Прилепко, Ю.Е. Аниконова, Ю Я. Белова, А. Лоренци (Италия), Н И Иванчова (Украина), Б.А. Бубнова, Е.Т! Саватеева, Н.Я. Безнощенко, Д Г. Орловского, ИА Васина, В Л. Камынина, В В. Соловьева, А" И. Кожанова и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Методика исследования. Для поставленных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Линейная задача исследуется с помощью перехода к локальной краевой задаче для линейного уравнения составного типа и перехода к нелокальной краевой задаче для линейного "нагруженного" уравнения составного типа.

Нелинейная краевая задача исследуется с помощью перехода к нелинейному "нагруженному" уравнению составного типа.

FOC НАЦИОНАЛЫ!АЛ БИБЛИОТЕКА

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

1. Научно-техническом совете Рубцовского индустриального института Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова (2000-2003 гг.)

2. Семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (руководитель -доктор физ -мат. наук, профессор Кожанов А.И.) (Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2000-2004 гг.)

3. Семинаре "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель - доктор физ -мат. наук, профессор Демиденко Г.В.) (Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2000-2004 гг.)

4. Семинар "Обратные задачи математической физики" (руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Аниконов Ю.Е., Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2004 г.

5. Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели". Челябинск. 2002.

6. Международной Школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения". Ханты-Мансийск. 2002.

7. На семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Сабитов К.Б.) (Стерлитамак 2004 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из Введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка

литературы. Нумерация формул - тройная первая цифра указывает главу, вторая -номер параграфа, третья - номер формулы в нем. Объем диссертации составляет 102 страницы, включая список литературы, который состоит из 73 наименований.

Содержание работы

Во Введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 исследуется разрешимость линейных обратных задач для уравнений параболического типа четвертого порядка с неизвестной правой частью.

Пусть <2 есть прямоугольник {(1,4) : 0<1<1,0<*<Т} конечной высоты Т. В прямоугольнике рассмотрим уравнение параболического типа четвертого порядка с неизвестной правой частью

и((х, <) + иХ1ХХ(х, 4) + чи(х, г) - Цх, 4)<г(х) + /(х, {) (1)

(7 > 0 — заданная постоянная). Рассмотрим задачу одновременного определения решения данного уравнения и правой части.

В подобных задачах задается краевая информация, естественная для соответствующей прямой задачи и информация о дополнительных граничных условиях для функции и(х, I).

В § 1 в качестве дополнительного граничного условия выбрано условие

и(х,Т) = 0, 0<х<1. (2)

Обратная задача. Найти функции и(х,<) и q(x), связанные в С} уравнением (1) при выполнении условия (2) и условий

и{х, 0) = 0, 0сг<1. (4)

Для исследования обратной задачи (1)-(4) используются два подхода.

Первый подход основан на непосредственном переходе к уравнению составного типа.

Пусть выполняется условие

л(х,о/о при (х, о б

(5)

Введем обозначения

Вместо обратной задачи рассмотрим прямую краевую задачу: найти в ф решение уравнения

Ьщ - а(х,<)£и = /1(1,1),

удовлетворяющее условиям (2) - (4).

Далее проводится исследование разрешимости краевой задачи (6), (2) - (4). Обознаим через Я пространство И^4,1^) ПЛ^О,!1; И^2(0,1)). Теорема 1. Пусть выполняется условие (5) и условия

(6)

Тогда обратная задача (1) - (4) имеетрешение {и(х,*),д(х)} такое, что и(х,() € Н, щ(х,г) 6 Н, д(х) е 1оо(0,1).

Далее исследуем исходную обратную задачу другим методом - методом, основанным на переходе к нелокальной краевой задаче. Пусть теперь выполняется условие

Л(х,Т) ф 0 при х € [0,1], 6

Вычислим функцию положив в уравнении (1) i = Т:

Положим

a(x,t) = F(x,t) = f(x,t) -

h(x,t)f(x,T) h{x,T) '

С учетом этих обозначений получаем уравнение

Щ + ихххх + ти = а(х, t)ut{x, Т) + F{x, t).

(1')

Полагая в уравнении (1') t = 0. Найдем равенство:

ut(x,0) = a(i,0K(i,r) + F(x, 0).

(8)

Дифференцируя уравнение (1') по переменной t, получим уравнение для • функции v[x, г) =

Рассмотрим краевую задачу: найти решение нагруженного» уравнения (9), удовле-творяющееусловиям (2), (3), (8).

Краевая задача (9), (2), (3), (8) представляет собой нелокальную краевую задачу для "нагруженного" параболического уравнения. В п. 1.2 § 1 именно с помощью решения ь{х,Ь) этой краевой задачи и будет построено решение исходной обратной задачи (1) -

Теорема 2. Пусть выполнены условия: а(х,0) 6 1), Р(х,0) 6 И^О, 1)

01(1.') 6 Ьоо{(2), Р^х,^ £ условие (7), а также одно из условий

Vt + vxxxx + -yv = at(x, t)v(x,T) + F,(x, t).

(9)

(4).

7 > о, Цо(х, o))ll„№J) + ^110,(1, OllLW) < i; 7 > 0, |!a(x,0)HL(Oil) + 2Т||а1(х,0||^(<г) < 1; 7 > 0. ¡|a(x,O)!!^,, ,, + JlM*,0llL«?) < 1-

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение такое, что

u(x,t) 6 H,ut(x,t) € H,q{x) € ¿00(0,1).

Задача, которая будет исследоваться в § 2; также относится к классу линейных обратных задач, то есть таких задач, в которых вместе с решением неизвестной является и правая часть. Для нахождения правой части предлагается дополнительное условие -условие интегрального переопределения. Данная задача исследуется путем перехода к прямой задаче для нового уравнения.

В прямоугольнике Я рассмотрим краевую задачу уравнения (1) и краевую задачу: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3), (4). В качестве дополнительного условия переопределения выбираем следующее интегральное условие

£ а(«)и(х,0<Й = 0,0 < х < 1. (Ю)

Пришли к обратной задаче: найти функции и\х, 4) и д(х), связанные в <3 уравнением (1) и условиями (3), (4), (10).

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: найти функцию и(х, 4), являющуюся в решением уравнения

«ш + у„ххи - а(х,фхих| + А(Х,$У„ + В(х,<)и4 = ^(х, 4) (И)

и удовлетворяющую условиям:

где - заданные функции.

Заметим, что (11) есть уравнение составного типа.

Обозначим через Vмножество функций таких, что V 6 И'аСО. Ищ 6

ПхххИ 6 Уххххи € и для них выполняются условия (6).

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

а(1,*) б сч(<5),л(х,г) е с2(<5),в(х,0 е сг(<?),г,(х,*) е ¿гОЗ),^* е 12(<?

Тогда задача (11), (12) имеет решение «(х,<), принадлежащее пространству V.

В п.2.2 § 2 исследуется решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа.

Вернемся к обратной задаче (1), (3), (4), (10) Введем обозначения

Теорема 4. Пусть относительно введенных функций а(х,1), А(х,1), В(х,1) и выполняются все условия теоремы 3 и условия Тогда

обратная задача (1), (3), (4), (10) имеет решение ¿),<}(г) такое, что и(х% г) (Е V,

и4(1,0€ V, я(х) е ¿«(о, 1).

Покажем теперь, что обратная задача (1), (3), (4), (10) может быть исследована и иным методом - методом, основанным на переходе к "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения:

Теорема 5. Пусть выполняются условия

75 - ЗГтах^х.ОР^а'2^))^ > О.

Тогда обратная задача (1),(3), (4), (10) имеет решение и(х,() € Я, 9(х)бЬ2(0,1).

В п. 2.3 § 2 гл. 1 исследуется разрешимость обратной задачи с составным внешним воздействием. В прямоугольнике рассмотрим уравнение с неизвестной правой

где - заданное положительное число.

В качестве дополнительных условий переопределения выбираются следующие:

В результате приходим к обратной задаче: найти функции и(х, £), 91(1) и 92(1), связанные в С} уравнением (13), при выполнении условий (3)-(4), (14).

Покажем, что обратная задача (13), (3), (4), (14) может быть исследована методом, основанном на переходе к "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения:

частью.

+ иХХ1Х(х,г) + 7и(х,£) =

(13)

[Т гТ

/ с*1(0и(:М)<Й = 0. / а2{1)и(х,4)й = 0.

(14)

/ _П\\Х,1)_

А1(х)Ди(*) - Аа(х)А,(*)'

01(ж,о =

а2(х,0 =

(х л в_«ЧУ»')_

Теорема 6. Пусть выполняются условия

0и(х)022(х) - Ри{х)Рп{х) Ф 0; 73 - г[юв |а?(х, 1)ЩХ(х) Га'?№\-

1 Я

27 - Г[шах |а?(х, O^jC^iHb max |а?(х, t)fi2{x)al(T)\+

Тогда обратная задача (13), (3), (4) имеет решение u{x,t) £ Н, ?i(x) 6 0,1),

Глава 2 посвящена исследованию разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений четвертого порядка.

В § 1 главы 2 исследуется разрешимость обратной задачи с неизвестным коэффициентом при искомом решении в случае интегрального переопределения.

Обратная задача. Найти функции u(x,t) и д(х), связанные в прямоугольнике Q уравнением

щ{х, t) + «„„(*, t) + <j(x)u(x, t) + ttu(x, t) = f{x, t), (15)

при выполнении условий

vm(o,t) = Mt), "x(i,0 = iM0. «e(o,r), (i7)

Данную обратную задачу в литературе принято называть "обратной задачей с интегральным переопределением".

Всюду ниже будем считать выполненным условие

ui(x)>*:>0, х€[0,1]. (19)

Определим функции и постоянные, которые понадобятся нам при исследовании разрешимости обратной задачи.

Для заданной функции 1>(х,4) определим функцию й(х,Т):

€{х,Т) = м(ТНх,Т) - I ц'(1)у{х,г)си. о

Щх, I) = №>(0 + - 2^1(0 + 2<^о(«)]хЧ +[3^,(0 - Зр„(<) - - 21/>о(«)]г2+ +МФ + ^о(г).

г т

Далее, положим

h(x) =

Ul(x)

I n(t)Hx, t)dt - iita,(i) - 7Ui(x)

*(*) = ;

ui(x)'

Л(x.t) = /(x.t) - t/i(x,t) - ft(x)£/(x,i)+ +g{x)U{x,T)U{x,t)-1U(x,t), c(l)=7 + /i(i)-i(i№,T),

4T(M* + 7>?) ,

-H^llLoofQ)'

ifc2

Mo = 1м(Г)Ь i^i = 11^'11г2(о,л. M = 1И1мо,т)

2]|/,IP

1 — An

Ml = 2||/,!li3W) +

Л/j = (¡¿а + цг)\/М\

Теорема 7. Пусть для функций /(x,t), ui(x), tpo(t), <pi(t), фа(t), Vi(t) и /i(i) выполняются включения f(x,t) £ ^(Q), щ(х) € W24(0,1), Vo(0 € tt^O.T), Vi(t) € W2'(0,T),

Mt) e w2l(o,r), ViM e ^(о,Г), P(t) e vv3l(o,T), ф) e ¿„(o.i).

Кроме того, пусть выполняется условие (19), а также условия

Тогда обратная задача (15) - (18) имеет решение {щ(х,<),д(х)} такое, что и(х, 4) 6 Н, Ф) € 1оо(0Д)

В § 2 главы 2 исследуется разрешимость обратной задачи с неизвестным коэффициентом при искомом решении в случае финального переопределения.

Доказывается разрешимость обратной задачи (15) - (17) при выполнении условия

и(х,Ь)=щ(х), 16(0,1).

(20)

Вначале доказывается разрешимость обратной задачи (15) - (17), (20) в случае Теорема 8. Пусть для функций /(х,^, «¡(х), <ро{1), выполняются

включения

/(М)б£а<0), МхЛ)

«1(1)еи$(о,1), <а>« б и?(о,т), VI« е ^2(о,т), М*) € и^(о.г), е и?(о,т).

/(х,0) = 0, ®€[0,1);

Далее пусть выполняются у вия

с(х) > с > О, х 6 [0,1],

Ко <1, Мг< ск\ ЫО) = VI (0) = МО) = VI СО) = ^(0) = 0) = ^(0) = VI СО) = о

«1(0) = ып «1(1) »юСП, «1(0) = ФЛП «о(о) = ^,(Г).

Тогда обратная задача (15) - (17) имеет решение {и(х, <), 9(1)} такое, что

ф,!)еЯ, !»,(!,<) 6 Я, 9(1)61,00(0,1).

Далее доказываем разрешимость задачи (15) - (17), (20) в случае, если 7(1, /) есть функция.

Теорема 9. Пусть выполняются условия теоремы 8, а также условия

Тогда обратная задача (15) - (17), (20) имеет решение (и(х,<),<}(х)} такое, что

Ф, I) б я, щ(х, 0 е я, ?(х) е £,„(0,1).

В §3 главы 2 исследуется разрешимость обратной задачи с неизвестным коэффициентом при искомом решении и неизвестной правой частью. В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение

где и(х, ?(х), ?о(х) - неизвестные функции.

Обратная задача. Найти функции «(х, <),9(х) и до(х), связанные в Q уравнением (21) и такие, что выполняются условия

«(0,0 = ^(0. и(М) = *>,(*).

7(х,«) > 7о > 0,

7«(х,«)<0.

+ Ими + д(х)и = а(х,<)9о(х) +/(х,4),

(21)

«»(0,0 = ЛИ. «.(!.*) =

ф,0) = 0, х 6(0,1) «(х,*,) = «,(*), и(х,Т) = и2(х), 0 <и<Т, х 6 (0,1).

(22)

(23)

Определим множество функций VI, ^

Пусть выполняется условие

|Л(я)1>Ло при а: € [0,1].

Далее еще введем обозначения

. , а{х,Т) , . а(х,*,)

ао(1) = -?-г{а(1,Г)[/(х,е,) - и1х1„] - ф.^ЛЯх.Т) - и2„г1]}+ Л(х)

+а,(х)1/<(х,«1) + а2(х){/,(х,Г),

Ь(х)'

Н(х)'

А(х) = щ{щ(х)[/(х,Т) - и2хххх] - «2(х)[/(х,<1) - «,„„]} +

+ МхШх.Т), /(»,«) = - {£/« + [а1(х)С/,{х,<1) + аг(х)и,(х,Т)] ■ £/}, ¿Чх, 4) = /«(*,*). = 11^1(4), 6,(а:,0 = а{х,1)№) - а,(х)£/(:М), 62(х, 0 = о(х, 4)&(х) - а2(х)[/(х, 1), £1(2,= Ьи(х, 0. ^(х, 1) = Ьзг(х, 4),

= ||а1|к,»(<г). М = ||а2|иооМ), В, = ЦВПи.од; В2 = ПДгН^«?,. ' Пусть выполняется условие

а0(х) = а0 + а01(х), а0 > 0, 001(1) > <5« > 0. 15

Положим

1/2

1-3 Т(В1 + В%). '

Теорема 10. Пусть для функций /(х,4), я(х, 4), ^(х), и2(х) выполняются условия

Кроме того, пусть выполняются условия (25) и (26), а также условия

Тогда обратная задача (21) - (24) имеет решение {«(х, 4),д(х),до(я)} такое, что и(х,г) е V,, ?(т) е ь„{о, 1), 9о(х) б ¿«(о, 1).

Пользуясь возможностью, автор благодарит своего научного руководителя Кожа-нова Александра Ивановича за постановку задачи и полезные замечания, советы при выполнении данной работы.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Кириллова ГА, Кожанов А.И. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка / Математические заметки Якутского государственного университета. 2000. Т.7, вып. 1. С. 35-49.

2. Кириллова ГА Линейная обратная задача с интегральным переопределением для одного класса параболических уравнений высокого порядка / Математические заметки Якутского государственного университета. 2002. Т.9, вып. 2. С. 57-74.

3. Кириллова Г.А. Линейная обратная задача для одного класса параболичесикх уравнений высокого порядка / Вестник НГУ. Т.3, вып. 1. С. 28-37.

4. Кириллова Г.А. Обратные задачи для одного класса параболических уравнений высокого порядка / Материалы международной научной конференции. Челябинск. ЧГУ. 2002. С. 47.

5. Кириллова ГА Линейная обратная задача для параболических уравнений высокого порядка / Материалы международной Школы-конференции. Ханты-Мансийск. 2002. С. 19-20.

6. Кириллова ГА Обратная задача для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения / Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т.10, вып. 1. С. 34-45.

»1224t

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кириллова, Галина Александровна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

§1. Линейная обратная задача с финальным переопределением

1.1 Решение линейной обратной задачи с помощью прямого перехода к уравнению составного типа

1.2. Решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа

§2. Линейная обратная задача с интегральным переопределением для одного класса параболических уравнений высокого порядка

2.1 Решение линейной обратной задачи с помощью прямого перехода к уравнению составного типа

2.2 Решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа

2.3 Линейная обратная задача с составным внешним воздействием 55 ДОПОЛНЕНИЕ

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

§1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения

§2. Обратная задача с неизвестным коэффициентом при решении в случае финального переопределения

§3. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью

ДОПОЛНЕНИЕ

Введение диссертация по математике, на тему "Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка"

Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались в восемнадцатом веке. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах - отметим здесь прежде всего работы А.И. Прилепко [37-48], [72], Ю.Е. Ани-конова [1], [55-58], Б.А. Бубнова [11-12], Е.Г. Саватеева [50], Н.Я.

Безнощенко [5-8], Ю.Я. Белова [9-10], Д.Г. Орловского [31-35], И.А. Васина [36], В.Л. Камынина [22-23], В.В. Соловьева [51-53], A. JIo-ренци (Италия) [64-65], [70], Н.И. Иванчова (Украина) [17-21], А.И. Кожанова [67-69] и других.

Доказывается существование регулярного решения преобразованной задачи и возможность построения с помощью найденной функции решения исходной обратной задачи.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

1. Научно-техническом совете Рубцовского индустриального института АлтГТУ им. И.И. Ползунова (филиал) (2000-2003 гг.)

2. Семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Кожанов А.И.) (Новосибирск 2000-2003 гг.)

3. Семинаре "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Демиденко Г.В.) (Новосибирск 2000-2003 гг.)

4. Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели". Челябинск. 2002.

5. Международной Школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения". Ханты-Мансийск. 2002.

6. На семинаре кафедры математического анализа Стерлита-макского государственного педагогического института (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Сабитов К.Б.) (Стерли-тамак 2004 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание [24-29].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка литературы. Нумерация формул - тройная: первая цифра указывает главу, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы в нем. Объем диссертации составляет 102 страницы, включая список литературы, который состоит из 73 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кириллова, Галина Александровна, Рубцовск

1. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений // Новосибирск: Наука. 1978.

2. Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // Доклады Академии наук СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1289-1293.

3. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // Доклады АН СССР. 1988. Т. 298, № 4. С. 777-779.

4. Аниконов Ю.Е., Вишневский М.П. Формулы в обратной задаче для эволюционного уравнения // Сиб. мат. журнал. 1996. Т. 37, № 5. С. 963-976.

5. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициента в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. Ко 1. С.24-25.

6. Безнощенко Н.Я. О существовании решения задач определения коэффициентов при старших производных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 6. С.996-1000.

7. Безнощенко Н.Я. Достаточные условия существования решения задач определения коэффициентов при старших производных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения.1983. Т. 19. № и. С. 1980-1915.

8. Безнощенко Н.Я. Неединственность решения задач определения коэффициентов при старших членах уравнений в частных производных // Математические заметки. 1984. Т. 36, № 3. С. 305-308.

9. Белов Ю.Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // Доклады Академии наук СССР. 1992. Т. 323, № 3. С. 385-389.

10. Белов Ю.Я., Саватеев Е.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Доклады Академии наук СССР. 1991. Т. 316, № 4. С. 800-805.

11. Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратных задач для параболических и эллиптических уравнений // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: издательство института математики. 1986. С. 25-29.

12. Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений // Новосибирск. 1987. С. 43. (Препринт / АН СССР. Сибирское отделение. ВЦ, № 714)

13. Бухгейм А.Я. Уравнения Вольтерра и обратные задачи // Новосибирск: Наука. 1983. 208 с.

14. Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений // Алматы: Институт теоретической и прикладной математики. 1995.

15. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.

16. Дубля З.Д О задаче Дирихле для некоторого класса уравнений третьего порядка // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, Ко 1, С. 50-55.

17. Иванчов Н.И. Обратная задача теплопроводности в двух-компонентной среде // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 666-672.

18. Иванчов Н.И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Украинский математический журнал. 1993. Т. 45, № 8. С. 1066-1071.

19. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35, № 3. С. 612-621.

20. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39, № 3. С. 539-550.

21. Гванчов Н.И., Побир!вська Н.В. Одночасне визначен-ня двоих коэфщ1энт1в у параболшчному piBHHHHi у выпадку нелокальных та штегральних умов // Украинский математический журнал. 2001. Т. 53, № 5. С. 589-596.

22. Камынин B.JI. Предельный переход в обратной задаче длянедивиргентных параболических уравнений с условием финального переопределения // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, Ко 2. С. 247-253.

23. Камынин B.JI., Саролди М. Нелинейная обратная задача параболического уравнения высокого порядка // Журнал "Выч. математика и матем. физики". 1998. Т. 38, Kq 10. С. 1683-1691.

24. Кириллова Г.А. Линейная обратная задача с интегральным переопределением для одного класса параболических уравнений высокого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2002. Т.9, вып. 2. С. 57-74.

25. Кириллова Г.А. Обратные задачи для одного класса параболических уравнений высокого порядка // Материалы международной научной конференции. Челябинск. ЧГУ. 2002. С. 47.

26. Кириллова Г.А. Линейная обратная задача для параболических уравнений высокого порядка // Материалы международной Школы-конференции. Ханты-Мансийск. 2002. С. 19-20.

27. Кириллова Г.А. Линейная обратная задача для одного класса параболичесикх уравнений высокого порядка // Вестник НГУ. 2003, Т.З, Ко 1. С. 28-37.

28. Кириллова Г.А. Обратная задача для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения // Математические заметки ЯГУ. 2003. Т.10, № 1. С. 34-45.

29. Кожанов А.И., Кириллова Г.А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2000. Т.7, №> 1. С. 35-49.

30. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии // М.: Высшая школа. 1995.

31. Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения высокого порядка в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, Ко 6. С. 1081-1084.

32. Орловский Д.Г. Слабые и сильные решения обратных задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 5. С. 867-874.

33. Орловский Д.Г. О разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения в классе Гёльдера // Математические заметки. 1991. Т. 50, № 3. С. 107-112.

34. Орловский Д.Г. Фредгольмова разрешимость краевых обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 687-697.

35. Орловский Д.Г. Определение параметра параболического уравнения в гильбертовой структуре // Математические заметки. 1994. Т. 55, Ко 3. С. 109-117.

36. Прилепко А.И., Васини А. Постановка и исследование нелинейной обратной задачи управления движением вязкой несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 697-709.

37. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении, I// Сиб. мат. журнал, 1992. Т. 33, № 3. С. 144-155.

38. Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Математический сборник. 1992. Т. 183, № 4, С. 49-68.

39. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении, II // Сиб. мат. журнал, 1993. Т. 34, № 5. С. 147-162.

40. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения,1.// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 1. С. 107-116.

41. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения,1. // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 11. С. 15191528.

42. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики, I // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 119-129.

43. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики, II // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 4. С. 694-701.

44. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики, III // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, Kq 8. С. 1343-1353.

45. Прилепко А.И., Соловьев В.В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 1. С. 136-143.

46. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа, I // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1791-1799.

47. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа, II // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 11. С. 1971-1980.

48. Прилепко А.И., Тихонов И.В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса // Математические заметки. 1992. Т. 51, т 2. С. 77-87.

49. Прилепко А.И., Ткаченко Д.С. Фредгольновость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журнал "Выч. математика и матем. физики". 2003. Т. 43, № 9. С. 1392-1401.

50. Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. мат. журнал, 1995. Т. 36, № 1. С. 177-185.

51. Соловьев В.В. О существовании решения в задаче определения коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 12. С. 21012110.

52. Соловьев В.В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 1060-1069.

53. Соловьев В.В. Существование решения в "целом" обратной задачи определения источника в квазилинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 536-544.

54. Abasheeva N.L. Determination of a right-hand side term in an operator- differential equation of mixed type // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V. 10, N 6. P. 547-560.

55. Anikonov Ju. E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations // Utrecht: VSP. 1995.

56. Anikonov Ju. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems // Utrecht: VSR 1997.

57. Anikonov Ju. E. Inverse problems and classes of solutions of evolution equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 51. P. 1-26.

58. Anikonov Ju. E. Inverse problems for evolution and differential-differense equations with a parameter // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 5. P. 439-474.

59. Cannon J.R. and Ewing R.E. Quasilinear parabolic systems with non-linear boundary conditions, inverse and improperty posed problems in differential equations // Proc. Conf. Math. Numer. Nath., Hall. 1979. P. 35-43.

60. Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of parameter p{t) in some quasi-linear parabolic differential equations // Inverse Problems. 1988. V.4, N 1. P.35-45.

61. Colombo F. and Lorenzi A. An identification problem related to parabolic integro-differential equations with non commiting spatial operators // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2000. V.8. P. 505-540.

62. Congsheng Li, Yichen Ma and Kaitai Li. An inverse parabolic problem for nonlinear sourse term with nonlinear boundary conditions // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 4. P. 371-388.

63. Choi J. Inverse problem for a parabolic equation with space-periodic boundary conditions by a Carmelan estimate // J.Inv.IllPosed Problems. 2003. V.ll, N 2. P. 111-136.

64. Faragon A. and Lorenzi A. Parabolic integro-differential identification problems related to radial memory kernels // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2001. V.9. P. 489-529.

65. Faragon A. and Lorenzi A. Parabolic integro-differential identification problems related to radial memory kernels with special symmetries // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 1. P. 67-88.

66. Denisov A.M. and Lorenzi A. Recovering nonlinear terms with a priori unknoun domains of definition in second order nonlinear ordinary differential equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 2. P. 137-160.

67. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

68. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V.10, N 6. P. 547-658.

69. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 5. P. 505-522.

70. Lorenzi A. and Prilepko A. Fredholm-type results for integrodifferencial identification of parabolic problems. Universita Deghi Studi di Milano Quaderno, 17, 1992.

71. Nakagini S. and Haruki S. An indentification problemfot linear retarded functional differencial equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 3. P. 255-262.

72. Prilepko A. I. and Tkachenko D.S. Inverse problem for a parabolic equation with integral overdetermination // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 2. P. 191-218.

73. Riqanti R. and Savateev F. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equition // Rapporto Interno, 25. Politechico di Torino, Turin. 1991.