Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.9

КОЛТУНОВСКИЙ Олег Александрович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2006

Работа выполнена в Южно-Сахалинском институте экономики, права и информатики

Научный руководитель — доктор физико-математических наук.

профессор А. И. Кожанов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук.

профессор А. Г. Подгаев

кандидат физико-математических наук, доцент А. Ш. Любанова

Ведущая организация — Новосибирский государственный

университет

Защита состоится " ^ " кЛ.0ЦдТО^ 2006 г. в ^^Г часов на заседании диссертационного совета К 412.099.03 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041. г. Красноярск, пр. Свободный. 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан ^К-Й 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. А. А. Ш лапу нов

аоовд ЪАЪ Ь

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории дифе-ренциальных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков.

В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах —• отметим здесь, прежде всего, работы А. И. Прилепко, Ю. Е. Аниконова, Ю. Я. Белова, Н. И. Иванчова (Украина), Б. А. Бубнова, Е. Г. Саватеева, Н. Я. Без-нощенко, В. В. Соловьева, А. И. Кожанова и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений второго порядка в случаях, когда неизвестен один из коэффициентов при старших производных.

Методы исследования. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях устанавливается с помощью сведения их к нелокальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений составного типа. Разрешимость обратных задач с интегральным переопределением устанавливается с помощью сведения их к локальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений параболического типа.

При решении краевых задач для "нагруженных" уравнений используются методы срезывающих функций и продолжения по параметру, а также принцип максимума для параболических уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.

2. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с дополнительным переопределения решения на временных слоях для параболических уравнений с двумя неизвестными коэффициентами в случае, когда соответствующая прямая задача является первой начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют многочисленные исследования по нелинейным обратным задачам, указывают новые подходы в их решении и могут найти применение в дальнейшем изучении обратных задач для параболических уравнений второго и более высоких порядков.

Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались:

— на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 20022005 гг.);

— на семинаре "Избранные вопросы математического анализа" под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.);

— на семинаре "Численные методы" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Ф. Воеводина (г. Новосибирск, Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004-2005 гг.);

— на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е. В. Зо-лотова (г. Владивосток, 2003 г.);

— на IV Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.);

— на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под

руководством д.ф.-м.н., профессора А. В. Доманского (г. Южно-Сахалинск, СахГУ, 2002 2005 гг.);

— на научно-методическом совете ЮСИЭПиИ (г. Южно-Сахалинск, 2005 г.);

— на Международном семинаре по неклассическим уравнениям математической физики, посвященном 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Новосибирск, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-6].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на два параграфа. Список литературы содержит 76 наименований. Объем диссертации составляет 136 страниц.

Содержание работы

Во Введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения параболического типа

q(x)a(x,t)ut - ихх +c(x,t)u = f(x,t), (1)

рассматриваемого в прямоугольнике

D = {(х, t): 0 < х < 1, 0 < t < Г}.

Коэффициенты a(x,t) и c(x,t) положительны в D и обладают достаточной гладкостью: в § 1 a(x,t),c(x,t) € C3(D), в §2 а(х,t),с(х, t) Е Cl(D).

В § 1 изучается

Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (1), при выполнении граничных условий

u(0,t) = /io(i), u(l,t)=/ii(t). 0<i<T, (2)

u(x,Q) = u0(x), 0 < x < 1, (3)

и(х,Т) = щ(х), 0<х<1. (4)

Условие (4) — усттовие финального переопределения, необходимое для нахождения вместо с решением и неизвестного коэффициента q(x) Решение задачи ищется в виде

и(х, t) = v(x, t) + Vo(x, t),

где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению

а(х, 0)vot - Щхх + с(х, 0)vq = f(x, t)

и граничным условиям (2), (3).

Относительно функций /(;г, t), fio(t), pi (t), u0(x) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку

О < ¿о < vott(x,t) ^ môо

и соответствующие оценки для Vot(x,t) и vo{x,t).

Далее коэффициент q(x) выражается из уравнения (1) с помощью условий (3) и (4):

Ч\х) = —лТТГГ и я(х) ~

щ(х, 0) ut(x,T)'

Обозначим

ЗД - НХ)

где ст(£) = сг(£; р) при р — a maxv0t(a;,T), 0 < а < 1, а р) — семей-

cr(vt(x, T)) + vot(x, Т) '

г [

ство срезывающих функций

если |£| ^ р, р, если £ ^ р, —р, если £ < — р.

В уравнении (1) заменяется коэффициент q(x) на Бь(х) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции и(х, £). которая в О удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа

(8у(х)а(х,г)щ ~ихх +с(х,Ь)и)[ - (/(ж,г))'4 (5)

при выполнении граничных условий (2) и (4), а также нелокального условия

vt(x, 0) = 7(*Мх, Г), ф) = Щ. (6)

В теореме 1.1.1 указываются условия разрешимости задачи (5), (2), (4), (6). Для решения задачи (5), (2), (4), (6) по принципу максимума получена оценка H^Hl^d) < N.

Обозначим 7о = max Kfi)!.

(0,1]

Основными результатами § 1 главы 1 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (1)-(4).

Теорема 1.1.2. Пусть выполняются условия разрешимости теоремы 1.1.1, а также условия

Т

— тах|с4(а;,г)| ^ 70 < 1, тах|у>| < [а - 70(1 + а)] тах (<5оГ + <f(x))-

СО D [ОД] [ОД]

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t),ut(x,t) € W^^nL^D), q{x) € I«x,(0,l).

Теорема 1.1.3. Пусть коэффициент уравнения (1) a(x,t) зависит только от переменной t: a(x,t) = a(t). Предположим также, что в области D справедливы неравенства:

at ^ 0, аи et 0, Cft ^ 0, cttt ^ 0 и при х 6 [0,1] справедливы неравенства:

1 - 2J2(X) > 270 > 0, с(х, Т) - с{х, 0)-у2{х) - 2(7'(х))2 >к0> 0.

Если выполнено неравенство

„ h\8**K 70 > 4(J*)4ooAo'

то существует единственное решение u(x,t) обратной задачи (1)-(4), удовлетворяющее неравенствам 0 < 6* ^ щ(х,Т) ^ ö** и такое, что функции u(x,t),ut(x,t) € W22{D) П Loo(£)).

В теореме 1.1.3 постоянные ao,ho,hi являются гранями функций a(x,t) и h(x) в D:

0 < а,о < a(x,t), 0<h0< h(x) < hi, 7

положительная постоянная К зависит только от входных данных задачи, чисел ко, 5*, <5** и явно выписана. В § 2 главы 1 изучается

Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (1), при выполнении граничных условий (2), (3) и

Т

J a(t)u(x,t)dt = ul(x), 0 < х < 1. (7)

о

Условие (7) — условие интегрального переопределения. Решение задачи (1)-(3), (7) ищется в виде

и(х, t) = v(x, t) + v0(x, t),

где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению

àvot - V0xx + cvо = /(x, t)

и граничным условиям (2), (3). Числа о и с положительны.

Относительно функций f(x,t), f-io(t), fii (t), uo(x) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку

О < <5о < v0t(x,t) < mSo,

и соответствующую оценку для vo(x,t).

Выразим формально q(x) из уравнения (1)

Т

к\ {х) — f a(t)c(x,t)v(x,t)dt

ко(х) + / а(Ь)а{х, £)уг(х, Ь) <Н о

Функции к\(х) и ко(х) явно выписываются и оцениваются: О < к{ < кг(х) ^ к{\ 0 < к*0 < к0(х) < Определим срезывающие функции:

<7о(0 = <т(£]р) при Р = 13к*, 0 < /3 < 1;

<*\= ПРИ Р = 0 < 7 < 1.

Обозначим для функции р = р(х,£), (х,£) € D,

т

о

т

[Р] = (Т1 / а(*)С(Ж> ¿М*. *) ^ .

О

+ ах[р]

=

А;0(х) + сг0[р]'

В уравнении (1) заменяется коэффициент 5(1) на С2У(х) и предварительно решается краевая задача — относительно неизвестной функции г>(ж,£), которая в О удовлетворяет нагруженному уравнению параболического типа

(¿■„(х)а{х,Ь)щ - и.,..,; + с(х,г)и = /(гг, (8)

при выполнении граничных условий (2) и (3).

В теореме 1.2.1 указываются условия разрешимости задачи (8),

(2), (3).

Основными результатами § 2 главы 1 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (1)-(3), (7).

Теорема 1.2.2.Предположим, что выполнены условия теоремы 1.2.1 и условия согласования

Т т

«1(0) = Jа(%о(<0<й, «1(1) = f а(г)т(г)<и,

о о

а производная сДх,^) < 0, если (х, £) £ £>. Пусть также справедливы неравенства:

т

К*(а(Т)а(х,Т)+ ^\[а(Ь)а{х, £)Ы <1*5, о

Г

Ж* J а(г)с(х, £) <И < ^ ^.

Тогда существует решение {u(x,t),q(x)} обратной задачи (1)-(3), (7) такое, что и(х, t) 6 W^ ,1{D) П LX(D), q(x) 6 ¿oo(0,1).

В теореме 1.2.2 положительная постоянная К* зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел S0, тп, /cq, fc", k\* и явно выписывается.

Единственность решения задачи (1)-(3), (7) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенствам

т

О < Щ ^ J a{x,t)a(t)ut(x,t)dt, 0 < К* < qu(x) ^ К**. (9) о

Во вспомогательной лемме 1.2.1 требуется: зависимость коэффициента a(x,t) только от переменной t и справедливость в D неравенств at < 0, (ac)t < 0.

Теорема 1.2.3. Пусть выполняются условия леммы 1.2.1. Предположим. также, что в области D справедливо неравенство (aa)t ^ 0. Если выполнено неравенство

~ j[ca + K*\(aa)t\}*dt

c+\\at\K* <1'

то существует единственное решение u(x,t) € W^'1 (D) fl Loc(D) обратной задачи (1)-(3), (7), удовлетворяющее неравенствам (9) и такое, что qu(x) € Loo(0,1).

В теореме 1.2.3 положительная постоянная К зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел К* и К** и явно выписывается.

В главе 2 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения параболического типа

a(x,t)ut — q(x)uxx +c(x,t)u = f(x,t), (10)

рассматриваемого в прямоугольнике D. Коэффициенты a(x,t) и c(x,t) положительны в D и обладают достаточной гладкостью: в §1 a(x,t), c(x,t) € С3(D), в §2 a{x,t),c{x,t) е Cl{D).

В § 1 изучается

Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q{x), связанные в D уравнением (10), при выполнении граничных условий (3), (4) и

u*(0,t) = Mo(i), ux{\,t)=iiX(t), 0<t <Т, (И)

Условие (4) — условие финального переопределения. Решение задачи (10), (3), (4), (11) ищется в виде

и(х, t) = v(x, t) + Vo(x, t),

где функция vo (x,t) удовлетворяет в области D уравнению

а(х, 0)vot - qvoxx + с(х, 0)vo = f(x, t)

и граничным условиям (11), (3). Число q положительно.

Относительно функций f(x,t), Ho(t), (t), щ(х) делаются предположения, позволяющие с помощью аналога принципа максимума получить почти всюду в D оценку \vott(x, i)| < <5о и соответствующие оценки для vot(x,t) и v0(x,t).

Далее коэффициент q(x) выражается из уравнения (10) с помощью условий (3) и (4):

fco(aO + aOr,0)ut(x,0) кт{х) + a(x,T)vt(x,T) Ф) = -- И Ч{Х) =--'

Функции ко(х) и кт(х) зависят от входных данных задачи (10), (3), (4), (11) и функции vo(x,t), явно выписываются и выполняется оценка: 0 < Щ. кт\х) ^ ку. Положим

а(х, 0)и"(х)' а(х, 0)

U°{X) кт(х) - к0(х)

и'{{х)

В теореме 2.1.1 указываются условия разрешимости соответствующей вспомогательной нелокальной краевой задачи. Для решения этой задачи указаны условия, выполнение которых влечет по принципу максимума оценку

ыив(в) < (12)

где 70 = тах|7(х)|. [ОД]

Основными результатами § 1 главы 2 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (10), (3), (4), (11).

Теорема 2.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 2.1.1 и справедливы неравенства:

с(х, £) + аг(.х, £) > со > 0, если (х, ¿) € И, ио(х) Ф 0, если х 6 [0,1].

Пусть также выполняются неравенство (12) и неравенства: Т

— max|ct(:r,í)| < 70 < 1, со D

kt? _ u'Áix) а(1 — 7о

7о-т—^ + ímax ,ov ' ^ -i-гЧ^1-

mm alo;, Т) [0,1] all, 0) max a(x,T) [0,1] 4 ' [0,1]

Тогда обратная задача (10), (3), (4), (11) имеет решение {«(ж, £), <7(1)} такое, что u(x,t),ut{x,t) £ W^iD) П L00(D), q(x) £ ¿00(0,1).

Единственность решения задачи (10), (3), (4), (11) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенству 0 < q* < qu(x) ^ с/**.

Условия вспомогательной леммы 2.1.3 достаточны для справедливости априорной оценки

т i

/ /"«*

о о

«L dxdt ^ <2*>

где постоянная <5* зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел q* и <?** и явно выписывается. Среди условий леммы 2.1.3 выделим то, что коэффициенты уравнения (10) а(х,{) и с(:г,£) зависят только от переменной £.

Теорема 2.1.3. Пусть выполняются все условия леммы 2.1.3, а функция щ(х) такова, что 0 < и* ^ \и"{х)\ при х € [0,1].

Предположим также, что при I £ [0, Т] справедливы неравенства:

ЗС( + аи ^ 0, с*« ^ 0, а при х € [0,1] справедливы неравенства:

1 - 272(а;) ^ 270 > 0, с(Т) + а4(Т) - 72(х)[с(0) + а4(0)] - 2<Г№))2 ^ 270.

Если дополнительно выполнено неравенство 1 а2(Г)

2 (u*)2q* mina(t) v ' [о ,Т] v '

Q* < 70,

то существует единственное решение и{х. £) обратной задачи (10), (3), (4), (11), удовлетворяющее неравенствам 0 < д* ^ qu ^ q** и такое, что функции и(х, £) и щ(х,Ь) принадлежат пространству

В § 2 главы 2 изучается

Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(:г), связанные в D уравнением (10), при выполнении граничных условий (2), (3), (7).

Как и ранее, вначале рассматривается вспомогательная задача. В теореме 2.2.1 указываются условия разрешимости поставленной вспомогательной задачи.

Основными результатами § 2 главы 2 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (10), (2), (3), (7).

Теорема 2.2.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.2.1 и условия согласования

т т

ui(0) = j a{t)no{t)dt, ui(l) = J a{t)m(t)dt,

о 0

a производная ct(x, t) ^ 0, если (x,t) € D. Пусть для некоторого числа 7 6 (0,1) справедливо равенство

Т т

Nom ах I \a(t)c(x, £)l dt + ôn max / \a(t)a(x,t)\dt

[0,1] J [0,1] J

о 0

T

= 7 min / a(t)f(x,t)dt

[0Д] J о

Наконец, предположим, что выполняется неравенство

Т

К * max Т)а(Т) \ + J |a(t)c(x,t) — (a(x,t)a(t))t\dt )

о

T

< /3(1 - 7) min I a(t)f(x,t) dt [0,1] J 0

Тогда существует решение {u(x,t),q(x)} обратной задачи (10), (2), (3), (7) такое, что u(x,t) € W22,1(D) П LX{D), q{x) 6 Loo(0,1).

В теореме 2.2.2 положительная постоянная К* зависит от входных данных рассматриваемой задачи и явно выписывается.

В примере 2.2.1 приведена задача типа (10), (2), (3), (7), для входных данных которой все условия теоремы 2.2.2 выполняются.

Единственность решения задачи (10), (2), (3), (7) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенству 0 < q* < qu{x) < q**■

Во вспомогательной лемме 2.2.1 требуется выполнение в области D неравенств: с — \at > 0, ct < 0. Тогда справедлива априорная оценка

т 1

J ju2xxdxdt<Q\

о о

где постоянная Q* зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел q* и q** и явно выписывается.

Теорема 2.2.3. Пусть выполняются условия леммы 2.2.1, а(Т) = 0, а также справедливо неравенство

т

„г» Нас ~ (aa)t]2 dt

о и о

—-гхтах-i- < 1.

4(g*w*)2 о c-\at

Тогда существует единственное решение {«(ж, t), q(x)} обратной задачи (10), (2), (3), (7) такое, что u{x,t) 6 WZ'l(D) П L^D), q(x) G

В главе 3 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа

а(х, t)ut - q(x)uxx + с(х, t)u = q0(x)f0{x, t) + f(x, t) (13)

и

q{x)a(x,t)ut - uxx + q0(x)c{x,t)u = f(x,t), (14)

рассматриваемых в прямоугольнике D. Коэффициенты a(x,t) и c(x,t) положительны в D и принадлежат классу С1(Г>). В § 1 изучается

Обратная задача. Найти функции u(x,t), q(x) и qo{x), связанные в прямоугольнике D уравнением (13) при выполнении граничных условий (2), (3) и

u(x,ti) = щ(х), и(х, Т) = и2(х), 0<х<1. (15)

Число ti ё (0, Т). Условия (15) — условия переопределения.

В теореме 3.1.1 указываются условия разрешимости вспомогательной нелокальной краевой задачи для уравнения составного типа

Основным результатом § 1 главы 3 является теорема существования решения обратной задачи (13), (2), (3), (15).

Теорема 3.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 3.1.1, неравенство

c(x,t) + at(x,t) ^ со > 0, если (x,t) € D.

и некоторые алгебраические условия малости для числа Т, коэффициентов уравнения (13) и функций f(x,t), fo(x,t), ио{х), и\(х) и щ(х).

Тогда обратная задача (13), (2), (3), (15) имеет решение {u(x,t),q(x),qo(x)} такое, что функции u(x,t),ut(x,t) 6 W^iD) П LcoiD), функции q(x),q0(x) € ¿oo(0,1).

В § 2 главы 3 изучается

Обратная задача. Найти функции u(x,t), q(x) и c¡o(x), связанные в прямоугольнике D уравнением (14) при выполнении граничных условий (2), (3) и (15).

В теореме 3.2.1 указываются условия разрешимости вспомогательной нелокальной краевой задачи для уравнения составного типа.

Основным результатом § 2 главы 3 является теорема существования решения обратной задачи (14), (2), (3), (15).

Теорема 3.2.2. Пусть выполняются все условия теоремы 3.2.1 и некоторые алгебраические условия малости для числа , коэффициентов уравнения (14) и функций f(x,t), fo(x,t), щ(х), щ(х) и иг(ж).

Тогда обратная задача (14), (2), (3), (15) имеет решение {u(x,t),q(x),q0(x)} такое, что функции u(x,t),ut Loc(D), функции q(x),q0{x) € LTO(0,1).

Заключение и выводы. В работе получены новые результаты о существовании и единственности регулярных решений нелинейных обратных задач для параболических уравнений в ограниченной области:

— обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при производной по времени в случае задания условий финального или интегрального переопределения;

— обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной в случае задания условий финального или интегрального переопределений;

— обратной задачи нахождения решения, неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной и неизвестной правой

части в случае задания двух условий переопределения на различных временных слоях;

— обратной задачи нахождения решения, коэффициента при временной производной и коэффициента при решении в случае задания двух условий переопределения на различных временных слоях.

Методы исследования основаны на переходе к специальным нелинейным нагруженным уравнениям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи.

Полученные новые результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других обратных задач.

Вспомогательные результаты о разрешимости тех или иных краевых задач для "нагруженных" уравнений имеют и самостоятельное значение — нелинейные "нагруженные" уравнения представляют собой сравнительно малоизученный математический объект; в то же время подобные уравнения возникают при математическом моделировании ряда процессов механики, физики, биологии.

Работы автора по теме диссертации

1. Колтуновский О. А. Первая краевая задача для одного класса нелинейных нагруженных параболических уравнений // Неклассические уравнения математической физики: Сб. научн. работ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. С. 110-116.

2. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2003. Т. 3, № 3. С. 52-71.

3. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с финальным условием переопределения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 45-72.

4. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при старших производных // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 2. С. 59-82.

5. Колтуновский О. А. Обратная задача для параболического уравнения с интегральным условием переопределения // Дальневосточная

математическая школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез докл. Владивосток, 2003. С. 31.

6. Колтуновский О. А. Обратная задача для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при старшей производной //IV Международная конференция по математическому моделированию- Тез докл. Якутск, 2004. С. 21-22.

Научное издание

Колтуновский Олег Александрович

Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области

Автореферат

Редактор издательства Мизинцев В.П. Технический редактор Герасимов В О Корректор Голышева Н Н.

I ос\дарственная лицензия 11ЛД № 70-23 от 23.09 99 г

Подписано в печать с оршина 1-макета 18 01 2006 г Б_\ мага «Снег\ рочка» Форма! 10x84/16 Объем I }с I печ I 1ирал 120 эк; ЗаказЛ'и 138

И 11ак' и,с 1во 10жно-( а\а шмекиш ннеш 1} 1 а ¡копомнкп нрава и ннформа! и км 69Ч000 I Ю/кно-С а\а шпек Комм} ннс гнческнн проеиек 1 72 офис 201 1С 1ефон 42-30-88

2,00 G A

138

Введение.

ГЛАВА 1. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени

§ 1. Обратная задача в случае финального переопределения.

1.1. Решение обратной задачи методом перехода к нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения составного типа.

1.2. Исследование единственности решения обратной задачи

§ 2. Обратная задача в случае интегрального переопределения.

2.1. Исследование существования решения обратной задачи —

2.2. Исследование единственности решения обратной задачи —

IVIABA 2. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при второй пространственной производной.

§ 1. Обратная задача с финальным переопределением.

1.1. Исследование существования решения обратной задачи —

1.2. Исследование единственности решения обратной задачи.

§ 2. Обратная задача с интегральным переопределением.

2.1. Исследование разрешимости обратной задачи.

2.2. Исследование единственности решения обратной задачи—

ГЛАВА 3. Обратные задачи для параболического уравнения с двумя неизвестными коэффициентами.

§ 1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью.

§ 2. Обратная задача с неизвестными коэффициентами уравнения

Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории диференциаль-ных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков.

В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы А. И. Прилепко [47-51], Ю. Е. Аниконова [1-6, 59-63], Ю. Я. Белова [12-17, 64-67], Н. И. Иванчова (Украина) [22-25, 69], Б. А. Бубнова [18], Е. Г. Саватеева [55-57], Н. Я. Безнощенко [8-11], В. В. Соловьева [58], А. И. Кожанова [30-33, 70-72]и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений второго порядка в случаях, когда неизвестен один из коэффициентов при старших производных.

Методы исследования. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях устанавливается с помощью сведения их к нелокальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений составного типа. Разрешимость обратных задач с интегральным переопределением устанавливается с помощью сведения их к локальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений параболического типа.

При решении краевых задач для "нагруженных" уравнений используются методы срезывающих функций и продолжения по параметру, а также принцип максимума для параболических уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные ре. зультаты:

1. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.

2. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с дополнительным переопределения решения на временных слоях для параболических уравнений с двумя неизвестными коэффициентами в случае, когда соответствующая прямая задача является первой начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют многочисленные исследования по нелинейным обратным задачам, указывают новые подходы в их решении и могут найти применение в дальнейшем изучении обратных задач для параболических уравнений второго и более высоких порядков.

Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались: на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.); на семинаре "Избранные вопросы математического анализа" под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г. Новосибирск, Институт математики им. С. JL Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.); на семинаре "Численные методы" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Ф. Воеводина (г. Новосибирск, Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004-2005 гг.); на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е. В. Золо-това (г. Владивосток, 2003 г.); на IV Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.); на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. В. Доманского (г. Южно-Сахалинск,

СахГУ, 2002-2005 гг.); на научно-методическом совете ЮСИЭПиИ (г. Южно-Сахалинск, 2005 г.); на Международном семинаре по неклассическим уравнениям математической физики, посвященном 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Новосибирск, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [34-39].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на два параграфа. Список литературы содержит 76 наименований. Объем диссертации составляет 136 страниц.

Заключение и выводы

В работе получены новые результаты о существовании и единственности регулярных решений нелинейных обратных задач для параболических уравнений в ограниченной области: обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при производной по времени в случае задания условий финального или интегрального переопределения; обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной в случае задания условий финального или интегрального переопределений; обратной задачи нахождения решения, неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной и неизвестной правой части в случае задания двух условий переопределения на различных временных слоях; обратной задачи нахождения решения, коэффициента при временной производной и коэффициента при решении в случае задания двух условий переопределения на различных временных слоях.

Методы исследования основаны на переходе к специальным нелинейным нагруженным уравнениям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи.

Полученные новые результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других обратных задач.

Вспомогательные результаты о разрешимости тех или иных краевых задач для "нагруженных" уравнений имеют и самостоятельное значение — нелинейные "нагруженные" уравнения представляют собой сравнительно малоизученный математический объект; в то же время подобные уравнения возникают при математическом моделировании ряда процессов механики, физики, биологии.

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1978.

2. Аниконов Ю. Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Мат. сб. 1990. Т. 181, N2 1. С. 68-74.

3. Аниконов Ю. Е. Обратные задачи математической физики и биоло гии // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 6. С. 1350-1354.

4. Аниконов Ю. Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи. Новосибирск, 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, № 671).

5. Аниконов Ю. Е., Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1289-1293.

6. Аниконов Ю. Е., Бубнов Б. А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 4. С. 777-779.

7. Ахтамова С. С., Белов Ю. Я. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316. С. 791795.

8. Безнощенко Н. Я. О задаче Коши для уравнения щ — Аи+иАи = f // Диффер. уравн. 1983. Т. 21, № 6. С. 991-1000.

9. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициентов при младших членах в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 3. С. 473-482.

10. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициента при младшем члене общего параболического уравнения // Диффер. уравн. 1976. Т. 12, № 1. С. 175-176.

11. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении // Диффер. уравн. 1975. Т. 11, № 4. С. 19-26.

12. Белов Ю. Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // Докл. АН СССР. 1992. Т. 323, № 3. С. 385-388.

13. Белов Ю. Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 345, № 4. С. 441-444.

14. Белов Ю. Я., Ермолаев А. С. Об одной обратной задаче идентификации коэффициентов многомерного параболического уравнения // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красноярск: КрасГУ, 1996. С. 16-27.

15. Белов Ю. Я., Саватеев Е. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Докл. АН СССР. 1991. Т. 334, № 5. С. 800-804.

16. Белов Ю. Я., Шипина Т. Н. Об одной задаче определения функции источника // Тез. докл. Междунар. конф. "Обратные задачи математической физики". Новосибирск, 21-25 сентября 1998 г. С. 18.

17. Белов Ю. Я., Яненко Н. Н. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно-параболических системах // Мат. заметки. 1971. Т. 10, J№ 1'. С. 93-99.

18. Бубнов Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. Новосибирск, 1989. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, №87-714).

19. Волков В. М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, № 12. С. 2166-2169.

20. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1979.

21. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.

22. Иванчов Н. И. Обратные задачи теплопроводности в двухкомпонент-ной среде // Диффер. уравн. 1992. Т. 28, № 4. С. 666-672.

23. Иванчов Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Укр. мат. журн. 1993. Т. 45, № 8. С. 1066-1071.

24. Иванчов Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 612-621.

25. Иванчов Н. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 539-550.

26. Искендеров А. Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, К0- 5. С. 1005-1008.

27. Искендеров А. Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Диффер. уравн. 1974. Т. 10, № 5. С. 890-898.

28. Искендеров А. Д. Задачи оптимизации с управлением в коэффициентах параболического уравнения // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, К0- 8. С. 1324-1334.

29. Клибанов М. В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 3. С. 564-569.

30. Кожанов А. И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений. Новосибирск, 1998. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики, № 54).

31. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990.

32. Кожанов А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 1. С. 35-49.

33. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840-853.

34. Колтуновский О. А. Первая краевая задача для одного класса нелинейных нагруженных параболических уравнений // Неклассические уравнения математической физики: Сб. научн. работ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. С. 110-116.

35. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производнойпо времени // Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2003. Т. 3, № 3. С. 52-71.

36. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с финальным условием переопределения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 45-72.

37. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при старших производных // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 2. С. 59-82.

38. Колтуновский О. А. Обратная задача для параболического уравнения с интегральным условием переопределения // Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. Владивосток, 2003. С. 31.

39. Колтуновский О. А. Обратная задача для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при старшей производной //IV Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. Якутск, 2004. С. 21-22.

40. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

41. Лаврентьев М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160, № 1. С. 32-35.

42. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

43. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа // Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, № 3. С. 531-532.

44. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

45. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

46. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

47. Прилепко А. И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1992. С. 151-162.

48. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 49-68.

49. Прилепко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Диффер. уравн. 1987. Т. 23, № 1. С. 136143.

50. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН. Сер. Математика. 1994. Т. 58, № 2. С.167-188.

51. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболических уравнений и единственность решений обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2003. Т. 43, № 4. С. 562-570.

52. Романов В. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Мат. заметки. 1976. Т. 19, вып. 4. С. 595-600.

53. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1973.

54. Романов В. Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207, № 5. С. 1051-1053.

55. Саватеев Е. Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1995. Т. 340, № 5. С. 595-596.

56. Саватеев Е. Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 344, № 5. С. 597-598.

57. Саватеев Е. Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 1. С. 177-185.

58. Соловьев В. В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Диффер. уравн. 1989. Т. 25, № 9. С. 1577-1583.

59. Anikonov Yu. E. Multidimensional inverse and ill-posed problems for differential equations. Utrecht: VSP, 1995.

60. Anikonov Yu. E. Formulas in inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.

61. Anikonov Yu. E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht: VSP, 2001.

62. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. On unique solvability of an inverse problem for a parabolic equation // Sov. Math. Dokl. 1989. V. 39, No. 3 P. 601-605.

63. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. Determining two unknown coefficients of the parabolic type equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. V. 9, No. 5. P. 469-488.

64. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations // J. Inverse III-Posed Probl. 1993. V. 1, No. 4. P. 283-305.

65. Belov Yu. Ya. and Shipina T. N. The problem of determining the source function for a system of composite type // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, No. 4. P. 287-308.

66. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht : VSP, 2002.

67. Cannon I. R. and Lin Y. Determination of a parameter p(t) in some qiuasi-linear parabolic differential equations // Inverse Problems. 1988. V. 4. P. 35-45.

68. Herglotz G. Uber die elastizitat der erde bei borucksichtigung inter vari-ablen dichte // Zeit schr. fur Math, und Phys. 1905. Bd. 52, No. 3. S. 275299.

69. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. Math. Studies. Monograph Series. V. 10. Lviv: WNTL Publishers, 2003.

70. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

71. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problems for parabolic equation with coefficient and right-hand side, I // J. Inverse 111-Posed Probl. 2002. V. 10, No. 6. P. 611-630.

72. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problems for parabolic equation with coefficient and right-hand side, II // J. Inverse 111-Posed Probl. 2003. V. 11, No. 5. P. 505-522.

73. Pilant R. and Rundell W. An inverse problem for nonlinear parabolic eqution // Comm. Partial Differ. Eq. 1986. V. 11, No. 4. P. 445-457.

74. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Rapporto Interno. No. 25. Torino: Politecnico di Torino, 1991.

75. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. Partial Differ. Eq. 1994. V. 19, No. 9-10. P. 1611-1628.

76. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. No. 7. Torino: Politecnico di Torino, 1995.