Некоторые обратные задачи с данными Коши. Разрешимость "в целом" и стабилизация тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Сорокин Роман Викторович

НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ С ДАННЫМИ КОШИ. РАЗРЕШИМОСТЬ "В ЦЕЛОМ*1 И СТАБИЛИЗАЦИЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2005

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор Белов Ю.Я.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор Кожанов А.И., доктор физико-математических наук профессор Мысливец С.Г.

Ведущая организация Новосибирский государственный

университет

Защита состоится 11 ноября 2005г. в 15:00 часов на заседании диссертаг ционноЛ) совета К 212.099.03 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета. \

Автореферат разослан октября 2005г.

Ученый секретарь 1

диссертационного совета /f/f/^/iß* ^

доктор физико-математических наук (У Шлапунов A.A.

^34064

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения входных данных — коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений.

Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как геофизика, биология, экология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т.д. Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. Корректность обратных задач для параболических уравнений и систем составного типа изучалась в работах Ю.Е. Аниконова, Б А. Бубнова, Е.Г. Саватеева, А.И. Прилепко, Н.Я Без-нощенко,В.В. Соловьева, В.В. Васина, А.И. Кожанова, В.Л. Камынина, Н.И. Иванчова, Ю.Я. Белова, Т.Н. Шипиной и других. Вопросы стабилизации рассматривались в работах В.Л. Камынина, Ю.Я. Белова, Т.Н. Шипиной.

Цель работы. Исследование корректности обратных задач для многомерных параболических уравнений и систем составного типа в случае данных Коши. Исследование поведения решения при Ь —> +оо.

Методика исследования. С использованием преобразования Фурье осуществляется формальный переход от обратной задачи к прямой задаче

для интегродифференциального уравнения. Для доказательства разрешимости прямых задач и исследования поведения их решений при I —»■ +оо используется метод слабой аппроксимации.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, носят теоретический характер и снабжены строгими доказательствами. Они могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского госуниверситета, руководитель — д.ф.-м.н. Ю.Я. Белов (2001-2005гг.);

Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (г.Красноярск, 16 - 21 августа 2001г.);

VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование"(г.Томск. 14 - 18 апреля 2003г.);

Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании ВИТ-2003" (г.Усть-Каменогорск, 11-14 сентября 2003г.);

Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании ВИТ-2004" (г.Алматы, Казахстан, 6-10 октября 2004г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введе-

иия, главы, в которой приведены некоторые вспомогательные утверждения, трех глав самостоятельных исследований, списка цитируемой литературы из 86 наименований и списка работ автора по теме диссертации. Объем диссертации составляет 118 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, приведены постановки задач, результаты их исследования и указана взаимосвязь с работами других авторов.

В первой главе доказана однозначная разрешимость "в целом" одномерной обратной задачи для системы составного типа, состоящей из параболического уравнения и уравнения первого порядка, в случае, когда оба уравнения содержат неизвестную функцию источника, которая зависит только от временной переменной. Изучено поведение решения обратной задачи при t —> +оо.

В полосе G(o/r] = {(<, ж)|0 < t < Т,х € Ei} рассматривается задача идентификации четверки действительнозначных функций (и1^, х), u2(t, х), gl{t),g2{t)), удовлетворяющих системе уравнений

2 2 и\ + Е a»:(t)ukx + £ МО«* = v(t)ulxx + g\t)f(t, x),

k=i fc=i (!)

«? + E a2k(t)ukx + E MO«* = g2(t)h(t,x) t=l *=1

и условиям

»*(0,*) = «§(*), xeEl, (2)

uk(t,0) = ßk(t), iG[0,n к =1,2. (3)

Считаем, что входные данные удовлетворяют условиям согласования

11$(0) = /9*(0), * = 1,2. (4)

Здесь сцк{{), Ъ]к{1), и%(х), /?*(*), к,у = 1,2, /(¿,аг), — заданные

действительнозначные функции.

В предположении существования преобразования Фурье функций х), и2(Ь,х) по переменной х обратная задача (1) - (3) приводится к прямой задаче Коши для линейной системы интегродифференциальных уравнений в полосе <?(о,т] = {(£, у) | 0 ^ ^ < Т, у & Е{\.

- гуа^ + Ь1кук = -у2иь1+

(+оо +оо \

Т1-^ I + и I у2ь4у ) /"1(«) 0) Р^,у),

-со -00 / (5)

и? -гуаясОк +Ъу&к =

+00 \ J yvkdy\ h-\t,l

-оо /

= Rfi 7 -¿«и yv dy h-\t,0)H(t,у),

vk(0,y)=vk(y). (6)

Здесь F(t, у) и H(t, у) — образы Фурье функций f(t, х) и h(t, х) соответственно, Vq (у), Vq (у) — образы Фурье функций tig(x) и м§(х), У = ß1' + büß1 + buß2, 72 = ß2' + b21ß1 + b2202. Под выражениями вида zksk понимается сумма по повторяющемуся индексу.

Предположим, что при всех t G [О, Т\ справедливы соотношения

ß\t) € Сг([0,Т]), к = 1,2,

ajk{t), bjk(t) б С([0, Т]), bkk(t) j,k = 1,2; ^

v{t) е C([Q,T\), v(t)> О

f{t, 0) > 6, h(t, 0)5*5, ¡л, 6 = const > 0.

Предположим также, что функции F(t,y), H(t,y), «¿(у), Vq(j/) в G[o,t]

удовлетворяют неравенствам

\ук+£Р\ + \ук+ею1\ < С, к = 0,1...,5, \ук+Ч1\ + |/+ч2К С. * = 0,1...,6,

ду

+

¡1 ду

Н

+

д_ ду

«б

+

» 2

Здесь н далее под С будем понимать некоторые неотрицательные постоянные вообще говоря, различные, е — произвольная постоянная, удовлетворяющая условию 0 < е < 1. Имеет место

Теорема 1. Пусть выполнены условия (7), (8) и при всех г £ (0, Т] справедливо соотношение

+00

1 (И-Ы+3/2+|2/|3)|Я|^^^, ¿ = сопз1;>0. (9)

—оо

Тогда задача (5) - (6) в 6[о,т] имеет единственное решение (и1, г>2) класса С/Дб[0,т]) = {/|/ £ € С(С?[о,п)}, Удовлетворяющее соотно-

шениям

(1 + Ы5+£)|^| + (1 + Ы6+г)И+

+ (1 + Ы1+е)(||«1| + ||«2|)^С'. (10)

Для обратной задачи (1)-(3) справедлива

Теорема 2. Пусть выполняются условия (7), (8) и (9). Тогда соотно-

шения

+ 00

и%х) = Пе J ькЦ,Ууух ¿у, к = 1,2,

<

(+00 +00 \ 7х - iaik J yvkdy + u J y2vldy\ rl(t,Q), —oo -oo J

+oo \

72-ia2k J yvkdy J h~l(t,0) -00 /

определяют единственное решете задачи (1) (3) в классе C/^(G[o,r]). Здесь v = (и1, t>2) — решение задачи (5)-{6).

Замечание 1. Условия (8), (9) сформулированы в терминах образов Фурье. В диссертации приведен пример условий на функции f(t, х), h(t, х), Uo(y), uo(v)> гарантирующих, что их образы Фурье будут удовлетворять соотношениям (8), (9).

В §5 главы 1 проведено исследование поведение решения задачи (1)-(3) при t +оо.

Рассмотрим обратную задачу (1) - (3) в полуплоскости <7(о,+оо) — {(£, x)\t ^ 0,i € Е{\ и соответствующую ей прямую задачу (5) - (6) в полуплоскости С?[о,+оо) - {(*>У)1* > Й, у е Е\}. Предположим, что в £?[о,+ос) справедливы соотношения

+ + + к —0,1,2,3,3 + е. (11)

/3\t),p2(t) С Cl(t > 0), v(t),ai}(t),bi3(t) € C(t > 0), К (г)I < С, |6y(t)| < С, bjj(t) z ц > О, i,j = 1,2, (12) u(t) > 0, /(t, 0) ^ S > 0, h(t, 0) > S > 0.

Кроме того, пусть существует t, такое, что для всех t > i, имеет место неравенство

lanWI+lbnWI+la^WI + lVWI+lVWI < a(t), (13)

g2(t) = Re

где a(t) таково, что J a(t) dt

<00.

о

Пусть также при всех t ^ О справедливо соотношение

+00

622-^^ J (1+Ы+У2)|Я| dy > Du Di = const > 0. (14)

-00

Справедливы следующие утверждения:

Лемма 1. Пусть выполняются условия (11) - (14), и

+00 2 v Г

Ьп-у I (1+М+у2)И ¿У > D2, D2 = const > 0. (15)

—00

Тогда для решения {ux{t, х), и имеют место неравенства

t

+ J (Ит,х)\ + \иЦт,х)\ + |г4(т,х)\) dr < С, о

Г (16)

Iu2(t, х)\ + Iul(t,х)\ + у (|«2(т, *)| + \ul(r, х)|) dr < С,

о

i

\sH*)\ + j\AT)\*r<ZC, к = 1,2.

Лемма 2. Пусть выполнены условия (11) - (14), а также при всех

г >0

aX2(i) = a2i(t) = О,

+с»

. ) dt < 00.

о

+00 /

Тогда для решенья (tt1(i, ж), u2(t, х), g2{t)) задачи (1) - (3) в G[о,+оо) имеют место неравенства (16).

Лемма 3. Пусть выполнены все условия леммы 1. Тогда, если

M+M+M+IVI+It2! ——> о,

t—Т+ОО

то для решения (и1, и2, д1, д2) задачи (1) - (3) имеют место соотношения lim ( sup |u*(f,x)| + sup ¡u*(i, ж)|+

Вторая глава диссертации посвящена исследованию обратной задачи для системы составного типа, состоящей из многомерного параболического уравнения и уравнения первого порядка. Оба уравнения содержат неизвестную функцию источника. Доказаны теоремы однозначной разрешимости "в целом". Исследованы вопросы стабилизации решения при £ —> +оо.

В многомерной полосе <7[о,г] = {(£,х, -г)|0 ^ < < Т, х € Еп, г € Е\} рассматривается задача идентификации тройки действительнозначных функций и(1,х,г) = (и1 (г, х, г), «2(г, х, г)), д1^, х), д2^,х), удовлетворяющих системе уравнений

t-f+OO Vj.gß,

x€Ei

к = 1,2.

n

2

«t1 + E «"(<)< + Cl(t, x)u] + £ blk{t, x)uk =

1=1

Jfc=l

= Дге1 + v{t, x)u\z + g\t, x)/(f, x, z),

n

2

«t + Ё an{t)u% + c2{t, x)u2z + E M«. фк =

1=1

g2(t, x)h(t,x, z),

и

начальным данным

и(0,х,г) = щ(х,г),

щ(х,г) = (и1(х,г),и1(х,г)), (ж, г) € Еп+и (18)

и условию переопределения

я, 0) =/?(*,*),

рЦ,х)={р%х),р&х)), х £ Еп, *е[0,Т]. (19)

Здесь 0к(Ь,х) - заданные действительнозначные функции, удовлетворяющие условию согласования

щ(х,0) = Р(0,х), хеЕп.

С использованием преобразования Фурье обратная задача (17) - (19) приводится к прямой задаче идентификации пары функций х, г), ж, г) в многомерной полосе 6[о,:г] ~ {(£, ж, у)[0 ^ < < Т, ж е Еп, У е Ег}. .

V} + - гус^1 4- Ьцу1 + Ь^у2 = Аь1 - у2мг+ +00

д

+11е I 71 - ъс\ I уи1(1у+ \ -00

+0О \

+1/1 у^Чу] /"Ч«, *,<)№*,»), (20)

-00 /

?;(2 + а2^1к - гус2«2 + бг^1 -I- ¿гг«2 =

= Ие — гсг J ууЧу^ /г^ж.О)Н(Ь,х,у), ук{0,х,у)=ь%(х,у). (21)

Здесь F(t,x,y), H(t,x,y), v§(x,y) — образы Фурье функций f(t,x,z), h(t,x,z) и*(х, z) соответственно, уl(t,x) = + Ь\фк + a\iPx, ~ ^/З1, 72(t,x) = 0f + b2kf3k + a,2iPlr Под выражениями вида afii, понимается сумма по повторяющемуся индексу.

Предположим, что коэффициенты в (17) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие при t € [0,Т], х е Еп следующим условиям:

< С,

ID*bjk(t,х)| < С, bkk(t,х)>Ьо>0, (22)

|DSfl*(t,x)\ + x)\ < С, j,к = 1,2, |a| < 3,

f(t, x, 0) ^ 5, h(t, x, 06 = const > 0.

Предположим также, что функции F(t, х, у), H(t, х,у), Vq(x,у), v$(x, у) в удовлетворяют следующим соотношениям:

\yk+eDaxF\ + \yk+€D"H\ + \yk+EDy0\ + \ук+е1ГА\ < С, |a| < 3, к = 0,1,...9,

>k+fyW

+

^ЩН

(23)

+

9

+

|а|< 2, А; = 0,1,... 9.

Здесь С — некоторые константы, е — произвольная постоянная, удовлетворяющая условию 0 < е < 1. Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть выполнены условия (22), (23). Тогда для любого фиксированного Т > 0 существует решение задачи (20), (21) в классе = € С(ад,М <2;|б С(б[од1)}, для которого

справедливо соотношение

(1 + Ыб+Е)И + (1 + М1+£)К4|+

+ (1 + \y\3+e)\D%fvk\ < С, И = 1,2, к = 1,2. Для решения обратной задачи имеет место

Теорема 4. Пусть выполняются условия (22), (23). Тогда решение задачи (17) - (19) в классе C^(G[0>T]) = {f\DaJ € N < 2;

6 C(GfitT])'i % G С(<7[о,г])} существует, единственно и определяется соотношениями

+00

uk(t,x,z) = ïte J vk{t,x,y)j«z dy, fc = 1,2, (24)

-00

/ +00 +00 \ х) = Re I 71 - ici I yvldy + v I y2vldy I f~x{t, x, 0),

/ Too ч ' (25)

g2(t, x) = Re H2 - J yv2dy J hT% x, 0).

Здесь (и1,«2) — решение задачи (20) - (21).

Замечание. Условия (23) сформулированы в терминах образов Фурье. В диссертации приведен пример условий на функции f(t,x,y), h(t,x,y), Uq(x, у), Uq(x, у) при выполнении которых образы Фурье вышеперечисленных функций будут удовлетворять соотношениям (23).

В §5 главы 2 исследуется поведение решения задачи (17)—(19) при t +оо.

Задача (17) - (19) рассматривается на множестве <?[0,+оо) = {(<>*, 2)1 * >0,x£Enyze Е\}.

(26)

Основные результаты о поведении решения задачи (17)- (19) при t —>• +оо сформулированы в следующих леммах:

Лемма 4. Пусть в G[o,+cx>) выполнены условия (22), (23), а также

+оо

bn{ti х) _ 2 J М>У(1 + w + ж> у)№,_

—00

- 2|ЫМ)| > D,

+00 —00

-2|Ьц(*.®)1> Л-

Здесь D >0 - некоторая постоянная.

Тогда, если для всех (t, ж) £ G[oi+00) справедливо соотношение +00

/ (lyiMN + lTfyaODdUC, о

то в С?[о,+оо) имеет место неравенство

|«*(i,i>«)J+|«;(il*,«)H-|ii*l(t,®fi:)|+|ff*(i,x)| fc- 1,2.

Лемма 5. Пусть в G(o,+oo) выполнены условия (22), (23), (26) и

sup И'ЧОК sup |72(i)| < 7J-—, р > 1-const. Х9Е„ хе Е„ L+f

Тогда в С?[о,+с») имеет место соотношение (к = 1,2):

fe 8up + sup И*'®)!) =0"

Третья глава диссертации посвящена вопросам стабилизации решения обратной задачи для многомерного уравнения параболического типа при t -»• +00.

В многомерной полосе G[0j+00) = {(í,i,z)| t > О, х £ Е„, z £ Ег} рассматривается задача Коши

щ = Lx(u)+a(t)uzz+b{t)uz+c{t)u+g(t, x)f(t, х, г), (27)

и(0, х, z) = щ(х, z), х £ Е„, z £ Е\. (28)

Здесь

п п

L*(U) = Z) ail<(t)Uz,*t + '52ai(t)Uxr Í,*=1 1=1

п

Ж12 < £ аЛШк Ч €En,te [О, Т\, ц = const > 0.

Коэффициенты ajk(t), aj(t), a(t), b(t), c(t), f(t, x, z) — непрерывные, действительнозначные функции своих аргументов, заданные при t ^ 0 и в G[o,+oo) соответственно. Коэффициент g(t, х) является неизвестным и подлежит определению одновременно с функцией u(t,x,z).

Пусть выполняется условие переопределения

u(t, х, 0) = 0(t, х), х £ Еп, t £ [0,Т], (29)

где (8(í)- заданная действительнозначная функция, удовлетворяющая условию согласования

«оМ) = 0(О ,х),хеЕп.

В предположении, что функция u(t, х, z) допускает преобразование Фурье по переменной z, приходим к задаче Коши для линейного интегро-дифференциального уравнения в G[0l+00) = {(t,x,y)\ 0 ^ t < Т, х £ Еп, уеЕ^

vt — Lx{v) — ay2v + iybv + cv+

+00 +00

+ Re (7 + 0 J y2v dy — ib J yvdy j x,0)F(t, x,y),

v(0,x,y) = v0(x,y). (31)

Здесь 7(t, x) = frit, x) - c(t)/3(t, x) - Lx(fi{t, x)).

Предположим, что входные данные в (7[0,+оо) удовлетворяют следующим условиям:

М*)1 + MOI + W*)l + |Ь(*)1 + \Ф)\ < с, j,k = 1,2,

+ ' (32)

f{t,x,0)^S>0, c(t)<0.

Пусть для функций F(t,x,y) и щ{х,у) в (7[0f+oo) справедливы соотношения

\yk+eD°F\ + \yk+£D°xv0\ < С,

И <3, fc = o, 1,...з, а а (зз)

\ук+е~ЩР\ + |Vk+e-^D>o\ С,

|а| < 2, к = 0,1,... 3, С,е = const > 0, е < 1. Основные результаты исследования поведения решения задачи (27)- (29) при t —► +00 можно сформулировать в следующем виде:

Лемма 6. Пусть в (х[о,+оо) выполняются неравенства (32), (33) и имеет место соотношение

+00

6 -I (34)

d = const > 0.

Тогда, если +00

I |7(«,я!)|Л<С,

о

то для решения задачи (27)-(29) в С?[о,+оо) справедливо неравенство

Лемма 7. Пусть в С?[о,+00) выполняются условия (32), (33), (34) и справедливо неравенство

вир |т(0| ^ 77-тг. Р = сое^ > 1.

Тогда для решения задачи (27) - (29) имеет место соотношение / 2

Цщ (V вир

д3

+ аир \дЦ,х)\ — 0. *€£„ /

Автор выражает благодарность научному руководителю Ю.Я. Белову за помощь и ценные советы при работе над диссертацией, Т.Н. Шипиной за прочтение текста диссертации и полезные замечания, а также всем участникам семинара кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского госуниверситета за поддержку и активное обсуждение результатов.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Р.В. Сорокин. О стабилизации решения одной обратной задачи для системы соствного типа // Вестник Красноярского государственного университета, серия "Физико-математические науки". JM, 2005 г.

2. Р.В. Сорокин, Т.Н. Шипина. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа в многомерном слу- « чае // Вычислительные технологии. 2004, т.9, ч.З, с.59-68.

i

3. Р.В. Сорокин, Т.Н. Шипина. О разрешимости одной обратной задачи < для системы составного типа // Вычислительные технологии. 2003.

т.8, ч.З. с.139-146.

4. Р.В. Сорокин, Т.Н. Шипина. О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" - Томск. 14 - 18 апреля 2003г. С.45 - 47.

5. Ю.Я. Белов, В.Е. Распопов, Р.В. Сорокин. Об одном численном алгоритме решения обратной задачи для уравнения теплопроводности

■ с неизвестным коэффициентом при старшей производной // Труды *

(

международной конференции "Математические модели и методы их исследования".4.1.Красноярск, 16 - 21 августа 2001. - Красноярск: ИВМ СО РАН. 2001. С.93-95.

6. Ю.Я. Белов, В.Е. Распопов, Р.В. Сорокин. Численная идентификация коэффициентов одномерных параболических уравнений // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования".4.1. Красноярск, 16 - 21 августа 2001. Красноярск: ИВМ СО РАН.2001. С.95-97

Подписано в печать сентября 2005г. Бумага офсет. N1 Ус. печат. лист. 1,25 Тираж 100 Заказ ..Ш.

Формат 60 х 84 1/16 Печать офсет. Ус. изд. лист. 1,0

Издательский центр Красноярского государственного университета, 660041, г.Красноярск, пр.Свободный, 79.

»'785Г

РНБ Русский фонд

2006-4 16405

Введение Вспомогательные утверждения

§1. Некоторые обозначения.

§2. Неравенства.

§3. Теорема Арцела

§4. Принцип максимума для параболического уравнения второго порядка.

§5. Метод слабой аппроксимации.

Глава 1. Задача идентификации функций источника для системы составного типа

§1. Постановка задачи.

§2. Приведение к прямой вспомогательной задаче.

§3. Теоремы существования и единственности решения вспомогательной задачи.

§4. Теоремы существования и единственности задачи идентификации.

§5. Исследование поведения решения задачи идентификации

• при £ оо ч

Глава 2. Задача идентификации функций источника для системы составного типа в многомерном случае

§1. Постановка задачи.

§2. Приведение к прямой вспомогательной задаче.

§3. Теорема существования решения прямой задачи.

§4. Теоремы существования и единственности задачи идентификации.

§5. Исследование поведения решения при t —> +оо.

Глава 3. О стабилизации решения задачи идентификации функции источника для уравнения параболического типа

§1. Постановка задачи.

§2. Приведение к прямой вспомогательной задаче.

§3. Исследование поведения решения при t —+оо.

В различных областях науки и техники с целью познания закономерностей работы некоторого объекта или природного явления проводятся эксперименты самого различного вида Цель эксперимента - выявление главных закономерностей процесса и формирование на их основе некоторой математической модели Однако очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение такого эксперимента дорого В этом случае приходится делать заключение о свойствах изучаемого объекта или явления по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям [24]

С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины)

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений

В связи с тем, что практически все обратные задачи являются некорректными с точки зрения их постановки, то существенный прогресс в исследовании стал возможен лишь в последние десятилетия в связи с развитием теории некорректных задач, большой вклад в разработку которой сделан отечественными математиками А.Н. Тихоновым, М М Лаврентьевым, В.К. Ивановым, Морозовым В А и многими другими [26], [37], [42], [66], [68]

Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г Герглотцу [78] и Е.Вихерту [86]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю М Бе-резанским в работе [21] Дальнейшее исследование многомерных обратных задач проводились М М Лаврентьевым [38, 42], В.Г. Романовым [57, 60], Ю Е Аниконовым [1, 6], А.Д Искендеровым [29, 31], М.В Клибановым [34], А И Прилепко [46, 47], Н Я Безнощенко [8, 11] и другими Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [41].

Обратная задача называется одномерной, если идентифицируемые коэффициенты или функция источника зависят только от одной переменной, в противном случае обратная задача — многомерная

Вопросы, рассматриваемые в диссертации, в основном связаны с задачами идентификации входных данных параболических уравнений и систем составного типа.

Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [25], [64], [75], [77], [83], [85] и других

В работах [61, 62, 63] исследовалась корректность обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид $(£)д(х) или /(£) + д{х) В [70] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде F(t, ж) = f(t)g(x)

Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши в случае одного и двух неизвестных коэффициентов посвящены работы [8, И], [12, 19], [75], [17], [17]

В диссертации получены следующие результаты

1 Доказана однозначная разрешимость "в целом" одномерной обратной задачи для системы составного типа, состоящей из параболического уравнения и уравнения первого порядка, в случае, когда оба уравнения содержат неизвестную функцию источника, которая зависит только от временной переменной Изучено поведение решения обратной задачи при t +оо

2 Доказаны теоремы однозначной разрешимости "в целом "для обратной задачи идентификации двух функций источника для системы составного типа в многомерном случае Исследованы вопросы стабилизации решения при t —» -|-оо

3 Исследовано поведение решения многомерной обратной задачи идентификации функции источника для многомерного параболического уравнения при t —У +оо Получены достаточные условия ограниченности решения и его стремления к нулю при t —> +оо.

Все сформулированные выше задачи рассматривались в случае данных Коши В основе исследования разрешимости рассматриваемых задач лежит метод, позволяющий с использованием преобразования Фурье переходить от обратной задачи к прямой задаче для интегродифференциального уравнения или системы уравнений Процедура сведения обратной задачи к прямой впервые предложена Ю Е Аниконовым Далее такой подход к исследованию корректности обратных задач был развит в работах [4],[5], [6], [14], [15], [22], [75] и др.

Основным методом, применяющимся в диссертации при доказательстве разрешимости задач и исследовании поведения их решений при t —> +оо является метод слабой аппроксимации (МСА). Данный метод формировался в основном в работах российских математиков Н.Н Яненко, А А Самарского, их учеников и последователей В [16] приведено подробное описание МСА и систематизированы имеющиеся результаты

Диссертация состоит из введения, главы, в которой приведены некоторые вспомогательные утверждения, трех глав собственных исследований, списка цитируемой литературы и списка работ автора по теме диссертации

1. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука Сиб отд 1978

2. Аниконов Ю Е Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения// Матем.сборник 1990 Т181 N1 С 68 74

3. Аниконов Ю Е Обратные задачи математической физики и биологии/ / ДАН СССР 1991 Т 318 N6 С 1350 1354

4. Аниконов Ю Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи Новосибирск - 1986 (Препринт / АН СССР Сиб от-ние Вычислительный центр, N671)

5. Аниконов Ю Е , Белов Ю Я Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР 1989 Т306 N6 С 1289 1293

6. Аниконов Ю Е , Бубнов Б А Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР 1988 Т 298. N4 С 777 779

7. Антонцев С Н , Кажихов А В , Монахов В Н Краевые задачи механики неоднородных жидкостей Новосибирск. Наука 1983

8. Безнощенко Н Я О задаче Коши для уравнения щ — А и + иАи = / // Дифференциальные уравнения. 1983 Т21 N6 С 991-1000

9. Безнощенко Н Я Об определении коэффициентов при младщих членах в параболическом уравнении// СМЖ 1975 Т 16 N 3 С 473 482

10. Безнощенко Н.Я. Об определении коэфициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения 1976 Т12 N 1 С 175 176

11. Безнощенко Н Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении// Дифференциальные уравнения 1975 Т11 N4 С 19-26

12. Белов Ю Я Обратная задача для уравнения Бюргерса // ДАН СССР 1992 Т 323 N3 С 385 388

13. Белов Ю Я О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения //ДАН СССР 1995 Т345 N4 С 441-444

14. Белов Ю Я , Ахтамова С С. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР 1991 Т316 С 791 795

15. Белов Ю Я , Ермолаев А С Об одной обратной задаче идентификации коэффициентом многомерного параболического уравнения В сб "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", - Красноярск КрасГУ 1996 С 16-27

16. Белов Ю Я , Кантор С А Метод слабой аппроксимации КрасГУ, 1999

17. Белов Ю Я Полынцева С В Об одной обратной задаче с двумя неизвестными коэвффициентами// Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения "Красноярск институт вычислительного моделирования СО РАН 2002 с 60-65

18. Белов Ю Я Полынцева С В Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения//ДАН 2004г. т.396 № с.583-586.

19. Белов Ю Я , Саватеев Е Г Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени Ц ДАН СССР 1991 Т334 N5 С 800 804

20. Белов Ю Я , Яненко Н Н Влияние вязкости на гладкость решения в неполно параболических системах // Матем заметки 1971 Т10 N1 С 93-99

21. Березанский Ю М Об однозначности определения уравнения Шредин-гераЦ ДАН CCQP 1953 -В 93, N4. С 591 594

22. Бубнов Б А К вопросу оразрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений Новосибирск - 1989 (Препринт /АН СССР Сиб отд Вычислительный центр N87 - 714)

23. Владимиров В С Уравнения математической физики М Наука 1981

24. Ватульян А О Математические модели и обратные задачи // Соро-совский образовательный журнал. 1998, №11 - С 143-148

25. Волков В М Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа// Дифференциальные уравнеия 1983 Т 19 N 12 С 2166 2169

26. Гласко В Б Обратные задачи математической физики М МГУ 1979

27. Ильин А М , Клашников А С , Олейник О А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. - Т. 17, №3. - С.3-146.

28. Исаков В М Одна обратная задача для параболического уравнения// Успехи матем наук 1982 Т 32 N2 С 108 109

29. Искендеров А Д Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений// ДАН СССР 1975 Т 225 N5 С 1005 1008

30. Искендеров А Д Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения 1974 Т 10 N5 С 890 898

31. Искендеров АД., Тагиев РК Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференциальные уравнения 1983 Т 19 N 8 С 1324 1334

32. Камынин В Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения //Матем. заметки 2003 - т 73, вып 2 - с 217-227

33. Камынин В Л Асимптотическое поведение решений квазилинейных параболических уравнений в ограниченной области //СМЖ- 1994 т 35 №2 С 340 358

34. Клибанов М В Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии// СМЖ 1976 Т 17 N 3 С 564 -569

35. Колмогоров А Н Фомин С В Элементы теории функций и функционального анализа М. Наука. 1989.

36. Кожанов А И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений Новосибирск, 1998 29с (Препринт/ РАН Сиб отд Ин-т математики, N54)

37. Лаврентьев ММ О некоторых некорректных задачах математической физика Новосибирск СО АН СССР 1962

38. Лаврентьев М М Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений// ДАН СССР 1965 Т 160 N1 С 32 35

39. Лаврентьев М М , Васильев В Г , Романов В Г Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений Новосибирск Наука Сиб"" отд 1969

40. Лаврентьев М М , Резницкая К Г Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа// ДАН СССР 1973 Т 208 N3 С 531 532

41. Лаврентьев М М , Резницкая К Г , Яхно В Г Одномерные обратные задачи математической физики Новосибирск Наука Сиб отд 1982

42. Лаврентьев М М , Романов В Г, Шишатский С П Некорректные задачи математической физики и анализа М Наука 1980

43. Михайлов В П Дифференциальные уравнения в частных производных-Ш Наука 1976

44. Новик О Б Задача Коши для системы уравнений в частных производных, содержащей гиперболический и параболический операторы // Журнал ВМ и МФ. 1969. Т.9. N1. С.122 136.

45. Понтрягин Я.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М Наука 1982

46. Прилепко А И Избранные вопросы в обратных задачах математической физики Новосибирск Наука 1992 С 151 - 162

47. Прилепко А И Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Матем заметки 1973 Т 14,15

48. Прилепко А И , Костин А Б О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //Матем сб 1992 Т 183. N4 С 49-68

49. Прилепко А И , Костин А.Б Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении I// СМЖ 1992 ТЗЗ N3 С 146 155

50. Прилепко А И , Костин А Б Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнениа II// СМЖ 1993 Т 34 N5 С 147 162

51. Прилепко А И , Орловский Д.Г Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задачах математической физики 1// Дифференциальные уравнения 1987 Т 23. N1.0 119 -125

52. Прилепко А И , Орловский Д Г Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задач математической физики. 3// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.8. С.1343 1352.

53. Прилепко А И , Соловьев В В О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении //Дифференциальные уравнения, 1987 Т23 N1 С 136 143

54. Рихтмайер Р Звук и теплопроводность // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики Новосибирск- Наука 1966 С 183 - 185

55. Рихтмайер Р , Мортон К Разностные методы решения краевых задач -М Мир 1972 418с

56. Романов В Г Обратные задачи математической физики M Наука; 1984, 251с

57. Романов В Г К теоремам единственности одного класса обратных задач// ДАН СССР 1972. Т 204 N5 С.1075 1076

58. Романов В Г Об одной обратной задаче для параболического уравнения/ / Матем заметки 1976 Т19 В 4 С 595 600

59. Романов В Г Обратные задачи для дифференциальных уравнений -Новосибирск НГУ 1973

60. Романов В Г Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения// ДАН СССР 1972 Т 207 N 5 С.1051 -1053

61. Саватеев Е Г О некоторых обратных задачах для параболических уравнений//ДАН 1995. Т.340 N5 С.595 596

62. Саватеев ЕГО задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения//ДАН 1995 Т 344 N5 С 597 598

63. Саватеев ЕГО задаче идентификации коэффициента параболического уравнения// СМЖ 1995 Т36 N1 С 177-185

64. Соловьев В В О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения//Дифференциальные уравнения 1989 Т25 N9 С 1577- 1583

65. Тихонов АН О влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры// Изв АН СССР Отд математики и естественных наук Серия география и геофизика 1937 Т 3 С 431 460

66. Тихонов АН Об устойчивости обратных задач/ / ДАН СССР 1943 Т5 N39 С 195 198

67. Тихонов А Н Об обратной задаче для нелинейного дифференциального уравнения// Журнал ВМ и МФ 1983. N1 Т23 С 95 101

68. Тихонов А Н , Арсенин В Я Методы решения некорректных задач -М Наука 1979

69. Шипина Т Н Некоторые обратные задачи с данными Коши Дисс канд ф -м наук / Шипина Т Н Красноярск, 1999 - 90 с

70. Шипина Т Н Обратная задача Коши для параболического уравнения В сб "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", -Красноярск КрасГУ 1996 С 253 -266

71. Яненко Н Н Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики Новосибирск, 1967 - 195с.

72. Anikonov Ju. Е. Inverse problems and classes of solutions of evolution equations // J Inv Ill-Posed Problems 2003 V 11, N 51 P 1-26

73. Anikonov Ju E Inverse problems for evolution and differential-differense equations with a parameter //J Inv Ill-Posed Problems 2003. V 11, N 5 P 439-474.

74. Belov Yu Ya Inverse Problems for Partial Differential Equations -Utrecht VSP, 2002 211p

75. Belov Yu Ya Inverse problems for parabolic equations// J Inv Ill-Posed Problems 1993 VI N4 P 283 305

76. Belov Yu Ya and Shipma T N The problem of determining the source function for a system of composite type// J Inv 111 Posed Problems 1998 V6 N4 P 287 - 308

77. Cannon J R and Yanpmg Lm Determination of a parameter p(t) in some quasi linear parabolic differential equations//J 111 - Posed and Inverse Problems 1988 V 4 N1 P.595 - 606

78. Herglotz G Uber die Elastizität der Erde bei Berücksichtigung inter Variablen Dichte. Zeit sehr fur Math und Phys 1905 Bd52 N3 S 275 -299

79. Kozhanov AI Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

80. Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J Inv Ill-Posed Problems 2002 V 10, N 6 P 547-658

81. Kozhanov A I On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J Inv Ill-Posed Problems 2003 V 11, N 5 P 505-522

82. Riganti R and Savateev E On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation// Rapporto Interno 1991 N25 Politécnico di Tormo Tormo

83. Riganti R and Savateev E Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation //Comm m Partial Differntial Equation 1994 V 19. N9&10 P 1611 1628

84. Riganti R and Savateev E Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermmation // Rapporto Interno 1995 N7 Politécnico di Tormo Tormo

85. Wiechert E und Zoeppntz K Uber Erdbebenwellen Gotmgen Nachr Komgl Geselschaft 1907 N4 S 415 - 549Список работ автора по теме диссертации

86. Р В Сорокин О стабилизации решения одной обратной задачи для системы соствного типа // Вестник Красноярского государственного университета, серия "Физико-математические науки" N"1, 2005 г

87. РВ Сорокин, ТН Шипина Об однозначной разрешимости одной, обратной задачи для системы составного типа в многомерном случае // Вычислительные технологии 2004, т 9, ч 3, с 59-68

88. Р В Сорокин, Т Н Шипина О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа // Вычислительные технологии 2003 т 8, ч 3 с 139-146

89. Р В Сорокин, Т Н Шипина О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" Томск 14 - 18 апреля 2003г С 45 - 47