Начальные и граничные задачи для сингулярных абстрактных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи Афанасьев Сергей Николаевич

Начальные и граничные задачи для сингулярных абстрактных дифференциальных уравнений

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физ. - мат. наук,

профессор

Орлов Владимир Петрович

Официальные оппоненты: доктор физ. - мат. наук,

профессор

Прилепко Алексей Иванович

Ведущая организация: Липецкий государственный технический университет

Защита состоится 18 мая в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К. 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан апреля 2004 г.

Ученый секретарь

доктор физ. - мат. наук, профессор Сильченко Юрий Тихонович

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования. Изучение дифференциальных уравнений в банаховом пространстве позволяет взглянуть с единой точки зрения как на обыкновенные дифференциальные уравнения, так и на уравнения в частных производных.

Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Э. Хилле и К. Иосиды в 40-х гг. XX в. В настоящее время на русском языке имеются монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца, К. Иосиды, С. Г. Крейна, Т. Като, Дж. Голдстейна, и некоторые другие, излагающие теорию и приложения линейных полугрупп, а также обширные обзоры С. Г. Крейна и М. И. Хазана, В. В. Васильева, С. Г. Крейна и С. И. Пискарева научных публикаций, начиная с 1968 года.

Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных косинус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве, связанное с именами X. Фатторини, В. А. Костина, М. Сова, С. Г. Крейна и других исследователей.

Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения и(I), его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение решения при и т. д.

Важным направлением в теории уравнений с частными производными является сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Весьма плодотворным явилось применение этого метода для изучения уравнений в частных производных в работах А. Л. Скубачевского, А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, С. Г. Крейна, М. А. Красносельского и многих других математиков.

Многие задачи математической физики сводятся к сингулярным дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах, например, задачи, связанные с проблемами теплопроводности, задачи на нахождение электрического потенциала и распределения зарядов при опреде-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

%

ленных граничных условиях, проблемы теории трансзвуковой газовой динамики (задачи типа задачи Франкля), а также целый ряд других практически важных задач. Поэтому проблемы разрешимости соответствующих начальных, граничных и смешанных задач, записанных в абстрактной форме с вырождающимися операторами разного типа, действующими в банаховых пространствах, уже давно привлекают внимание многих математиков. Особое значение имеет изучение коэрцитивной разрешимости соответствующих абстрактных задач, поскольку она дает необходимые и достаточные условия корректной разрешимости таких задач, а также позволяет исследовать нелинейные задачи и задачи с возмущениями.

Коэрцитивная разрешимость вырождающихся параболических уравнений вида + Аи(1) = /(£), 0 < < < 1 для случая сильного вырождения и сильно позитивного оператора А, действующего в банаховом пространстве Еу была установлена П. Е. Соболевским в различных функциональных пространствах, в том числе в пространствах Бохнера -Вр([0; Т], Е) и в пространствах Гельдера СЩ. Затем последовали работы В. П. Орлова и П. Е. Соболевского, где изучалась коэрцитивная разрешимость для сильно вырождающихся уравнений второго и более высоких порядков. Специфика сильного вырождения позволяла свести вырождающиеся уравнения к не-вырождающимся уравнениям, в которых главная часть является дифференциальным оператором с постоянным коэффициентом. При этом редуцированные уравнения рассматривались в весовом пространстве. В 1997 г. В. П. Орловым была установлена коэрцитивная разрешимость для более сложного случая слабо вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений. При этом конструкция явной формулы решения потребовала введения и изучения свойств операторных функций Бесселя эллиптического типа.

Развитая в работах С. Г. Крейна и его учеников (В. Н. Копанева, А. В. Глушак, В. И. Кононенко и др.) теория операторных функций Бесселя позволила доказать, корректную разрешимость уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу и близких к нему вырождающихся гиперболических уравнений при весьма сильных ограничениях на начальные данные. Установленные В. П. Орловым новые свойства операторных функций Бесселя позволили существенно снизить ограничения на данные для случая слабого вырождения. Заметим, что применение операторных функций Бесселя позволяет получить разрешимость многих типов вырождающихся уравнений, в частности уравнения вида

f(t), 0 < t < T, где А является производящим оператором сильно непрерывной операторной косинус-функции, а(0) = 0, a(i) > 0 при t > 0.

В. И. Фомин для исследования вопроса об условиях существования ограниченного решения сингулярного дифференциального уравнения

tau'(t) = Au{t) + f(t), а > 1, 0 < t < со,

в котором A является производящим оператором полугруппы класса Со, применил метод малых регулярных возмущений.

Отметим также работы В. П. Глушко и многих его учеников, посвященные различным аспектам теории вырождающихся дифференциальных уравнений математической физики. В частности, ими установлены коэрцитивные оценки решений вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченным операторным коэффициентом в гильбертовом пространстве.

А. Фавини рассмотрел в банаховом пространстве задачу эллип-тическо-гиперболического типа, установил ее разрешимость в классическом понимании решения и дал явную формулу для решения при весьма жестких условиях на начальные данные. Конкретная краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения (задача типа задачи Фран-кля) была решена М. Е. Лернером и О. А. Репиным. Для построения решения использовались модифицированные функции Бесселя.

В диссертации во всех случаях решение понимается в обобщенном смысле, причем. вначале вырождающиеся начальные и краевые задачи решаются в классическом смысле и находятся явные формулы решений, а затем полученные результаты обобщаются в пространствах Бохнера. Используемая методика доказательства позволяет изучать коэрцитивную разрешимость начальных и граничных задач для абстрактных вырождающихся дифференциальных уравнений более общего типа, например с возмущениями различного рода.

Цель работы. - Основной целью является исследование коэрцитивной разрешимости начальных и краевых задач для абстрактных вырождающихся дифференциальных уравнений с неограниченным операторным коэффициентом параболического, гиперболического и эллиптического типов в пространствах Бохнера и изучение максимальных пространств начальных и краевых условий, для которых имеет место коэрцитивная разрешимость соответствующих задач.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа и теории операторов в банаховом пространстве, методы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также методы теории полугрупп и теории специальных функций.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Отметим наиболее важные из них:

1. Доказана коэрцитивная разрешимость задачи Коши для абстрактного вырождающегося параболического уравнения в пространствах Бохнера Вр, р € (1;+оо) и получено максимальное пространство для начального условия этой задачи.

2. Для абстрактного параболического уравнения и'{1) + а(£)Ли(£) = /0) получено достаточное условие на функцию а(£), при котором имеет место коэрцитивная разрешимость соответствующей задачи Коши в пространствах Бохнера.

3. С помощью операторных функций Бесселя исследованы вопросы: однозначной разрешимости задачи Коши для абстрактного вырождающегося дифференциального уравнения гиперболического типа в пространстве непрерывных функций и в пространствах Бохнера. В результате получено обобщение классических теорем, имеющих место для соответствующей невырож дающейся задачи.

4. Доказана коэрцитивная разрешимость краевой задачи для абстрактного вырождающегося эллиптического уравнения в пространствах Бохнера Вр, р € (1;+оо), и изучены максимальные пространства для краевых условий этой задачи.

5. Для всех рассмотренных задач указан явный вид формул решения.

Практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для установления коэрцитивной разрешимости начальных и краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений более общего вида в банаховых пространствах. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики уравнений математической физики, например, в теории теплопроводности, для исследования электрического потенциала заряженых тел, в теории трансзвуковой газовой динамики и в других случаях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Зимних математических школах (Воронеж, 2002 - 2004 гг.), на семинарах кафедры математического моделирования ВГУ, а также на семинаре кафедры математического анализа МГУ (проф. А. И. Прилепко, Москва, 2004 г.) Полученные в диссертации результаты опубликованы в работах [1] — [10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введе-

ния, четырех глав и списка использованной литературы. В I главе содержатся необходимые теоретические сведения. Во II главе изучается коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши. Глава III посвящена исследованию однозначной разрешимости вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций и в пространствах Бохнера Вр. В главе IV исследуется коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся эллиптической краевой задачи в пространствах Бохнера. Объем работы 102 страницы. Библиография содержит 71 наименование.

Перейдем к точной формулировке основных результатов, полученных в диссертации.

Вырождающаяся параболическая задача. Рассмотрим в банаховом пространстве Е параболическую задачу Коши

Здесь А — действующий в Е производящий оператор аналитической полугруппы Т(р) = е~1А, £ > 0. В частности, А замкнут, и его область определения 1)(Л) плотна в Е. Функция а(£) непрерывна на [0;Т], непрерывно дифференцируема в интервале (0;Г], причем а(£) > 0 при / > 0 и

Вначале мы исследуем вопрос об однозначной разрешимости задачи (1) — (2) в пространстве непрерывных функций.

Определение 1. Решением задачи (1) — (2) назовем функцию и(Ь) е С1, такую что а(Ь)Аи{Ь) & С и и{0 удовлетворяет (1) и (2).

Здесь и далее С" = Сп([0;Т],£), п = 0,1,2 — банахово пространство п раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [0; Т] функций с нормой

В частности, через С = С([0;Т], Е) обозначено пространство функций, непрерывных на отрезке [0;Т]. Имеет место

Теорема 1. Пусть uq G D(A), а функция f(t) удовлетворяет одному из следующих условий:

Краткое содержание работы

tt'(t) + a(i)i4«(t) = fit), t € [0|Г], u(0) = u0.

(1) (2)

IMOIIo = ¿я** llv^WII-

i=Otel°'rJ

VmeD(A) и f(t),Af(t) G С;

Тогда задача (1) — (2) однозначно разрешима, и решение имеет следующий вид

u{t) =T(J a(z)dz)uo + J T(j a(z)dz)f(s)ds. (3)

Используя этот результат, мы доказываем коэрцитивную разрешимость задачи (1) — (2) в пространствах Бохнера Вр{[0]Т],Е), т. е. в пространствах с нормой

Для этого дадим определение обобщенного решения.

Определение 2. Решением задачи Коши (!) — (2) называется функция € И^р, такая что а(1)Аи(б) € Вр, и(<) удовлетворяет (2) и почти всюду на [0; Т] выполняется (1).

Здесь и далее ТУ* = №"*([(); Т]^), р € [1;+оо), к = 1,2 — абстрактные пространства Соболева. Пусть в уравнении (1) /0) = 0. Обозначим через Ер максимальное пространство начальных значений и0 для которого однородная задача (1) — (2) однозначно разрешима.

Лемма 1. Множество Еу есть банахово пространство с нормой

причем D(A) плотно в Ev.

Здесь ф{т) = (а(<р(г)))р_1 > 0 при г > 0, ^(0) = 0, г = 1а{г)йг, Т =

— обратное к преобразование.

Определение 3. Задача (1) — (2) коэрцитивно разрешима в Вр, если для любых /(Ъ) 6 Вр и щ € Е^ решение задачи (1) — (2) существует, единственно и удовлетворяет неравенству

ион*,+ца(*м«(01к < м{\\т\Вр + цтюНя,}.

Введем вспомогательную невырождающуюся задачу

г/(т) + Ау{т) = д(т), т е [0;Т], и(0) = 0.

(4)

(5)

Пусть

Теорема 2. Пусть .задача (4) — (5) коэрцитивно разрешима в ВРа при некотором ро € (1;+оо), щ € Еф, а функция а(1) удовлетворяет

условию

Тогда задача Коши (1) — (2) коэрцитивно разрешима в Вр, р & (1; +оо), причем решение имеет вид (3) и удовлетворяет неравенству

Вырождающаяся гиперболическая задача. Теперь рассмотрим в банаховом пространстве Е гиперболическую задачу Коши

Здесь А — действующий в Е производящий оператор сильно непрерывной операторной косинус-функции г е Я. Поэтому А замкнут, и его область определения Б(А) плотна в Е.

Вначале рассмотривается однозначная разрешимость вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций.

Определение 4. Решением задачи Коши (6) — (7) называется функция и(Ь) € С2, такая что 12аАи{Ъ) € С, удовлетворяющая уравнению (6) и начальным условиям (7). Имеет место следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть а > 0 ии0,и! € В(А), а функция /(Ь) € О(А) и

удовлетворяет условию /(<),.Д/(4) € С. Тогда задача (6) — (7) имеет единственное пешение

1К(01к + Ца(«М«(01к < М{\\№\\в, + |Ы|яЛ-

«"(«) - = /(0, а > 0, г е [0;Т],

и(0) = и0, и'(0) = и1.

(6) (7)

t

f vs&)f(s)ds-smirv ¿

- * = —i—. (8)

Здесь и далее Г(г), z > О — гамма-функция Эйлера. Всюду в этом разделе под I„(z), z > 0 понимаются операторные функции Бесселя. Этот результат мы обобщаем в пространствах Бохнера. Для этого дадим определение обобщенного решения.

Определение 5. Решением задачи (6) — (7) мы назовем функцию u(t) 6 Wp, такую что t2aAu(t) 6 Вр, u(t) удовлетворяет (7) и почти всюду на [0;T] выполняется (6).

Рассмотрим множества элементов из Е, определяемые соотношениями Е0 = {х : х е Е, ||х|| + ||Л/_„(г)г||Вр,4 < оо}, Е1 = {х:хеЕ, ||х|| + \\А1„{т)х\\в,, < с»},

где 8 = (2р - 1)(1 - 2v) + pv,r = 2vth, и = ^¿jy € (0; 1/2), р € [1; +оо).

Через Bp¿ обозначено весовое пространство Бохнера с нормой

1Иг)1к, = ¡J\Mr)\\PrSdr

Лемма 2.. Пусть а > 0, р € [1;+оо). Тогда множества Eq и Е\ являются банаховыми пространствами с нормами

ll*lk = N11 + ||Л/-,(т)х||в,,, ||x||£l = ||х|| + \\А1и{т)х\\ВгЛ

соответственно, причем D(A) плотно в E<¡ и в Е\ относительно их норм.

Как известно, в гиперболическом случае мы не имеем коэрцитивной разрешимости даже для невырождающейся задачи Коши. Однако имеет место следующее утверждение, обобщающее классический результат для невырождающейся гиперболической задачи Коши.

Теорема 4. Пусть а > 0, р € [1; +оо), щ Е Ео, щ 6 Ei, а функция f(t) удовлетворяет одному из следующих условий: 1) f{t) € D{A) и f(t), Af(t) € Вр;

ю т е W?.

Тогдарешение задачи (6) — (7) существует, единственно и имеет вид (8).

Вырождающаяся эллиптическая задача. Рассмотрим в банаховом пространстве Е эллиптическую краевую задачу

u"(í) - t2aAu(t) = f{t), а>0, te [0;Т], u(0) = tío, u(T) = ит.

(9) (10)

Здесь А — слабо позитивный оператор. Напомним, что действующий в £.линейный оператор А называется слабо позитивным, если его область определения D(A) плотна в Е и

М

IKaj-^)-1!! < з-^ш' А-°-

(и)

Из оценки (11) вытекает существование таких его > 0, Vo G (0;тг), что контур Г = Г_иГ0иГ+1 где Г± = {А : А = ре*4*», р > <70}, Г0 = {А : А = cTQev, \ip\ < фо} лежит в резольвентном множестве А, причем (11) выполняется для всех А € Г и А, лежащих левее Г.

Сначала мы доказываем однозначную разрешимость задачи (9) — (10) в пространстве непрерывных функций.

Определение 6. Решением задачи (9) — (10) назовем функцию u{t) б С2, такую что t2aAu(t) £ С и u{t) удовлетворяет (9) и (10).

Мы получаем следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть а > 0, и0,ит 6 D(A2), a f(t) € D(A) и f(t),Af(t) G С. Тогда задача (9) — (10) однозначно разрешима, и ее решение имеет вид

Здесь — модифицированные функции Бесселя.

Решение записано в явном виде с" помощью формулы Коши — Рисса. Используя этот результат, мы доказываем коэрцитивную разрешимость задачи (9) — (10) в пространствах Бохнера. Вначале дадим определение обобщенного решения.

Определение 7. Решением задачи (9) — (10) называется функция и{Ъ) б такая что ¿2аЛи(£) € Вр, удовлетворяет (10) и почти всюду на [0;Т] выполняется (9).

Пусть функция /(£) = 0 в уравнении (9), а Е0 И ЕТ — пространства, включающие все ио и ит из /:' соответственно, для которых однородная задача (9) — (10) однозначно разрешима. Введем обозначение 7 = (2р —

Лемма 3. Пусть а > 0, (1;+оо). Тогда Еа и Ет — банаховы пространства с нормами

Мяо = IWI + \\Ае~ТА1'г х\\вг,^ IN|£r = ||x|| + ||Ae-- Х||д;

соответственно, причем Ю{Авсюду плотно в в Ет при

Здесь Полугруппа

литической класса С

Е0 при Р > и{2 - и

является ана-

Определение 8. Задача (9) — (10) коэрцитивно разрешима в Вр, если она однозначно разрешима длялюбых f(t) G Вр, щ € Eq, их 6 Er и

К(«)11в, + \\t2aAu(t)\\Bp < M{\\f(t)\\Br + HuoIIeo + |(«г||*г}-

Рассмотрим вспомогательную невырождающуюся задачу

v"(T) - AV(T) = sir), Г€[0;Т), (13)

t>(0) = 0, v(T) = 0. (14)

Здесь Т = 2l>T&. Имеет место

Теорема 6. Пусть си > 0, р € (1; -|-оо), Но £ Eq, их £ Ех и задача (13) — (14) коэрцитивно разрешима в ТВ^. Тогда задача (9) — (10) коэрцитивно разрешима в В, ее решение имеет вид (12) и удовлетворяет неравенству

\W'W\\Br + \\t2aAu(t)\\Br < M{||/(0lk + Ык + 1Ы|Бг}-

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В. П. Орлову за ценные замечания, обсуждение результатов работы и моральную поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 26 января - 2 февраля 2003 г.: Тез. докл. - ВЗМШ-2003. С. 21 - 22.

[2] Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Серия физика, математика. - 2002. - N° 2. С. 30 - 34.

[3] Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость абстрактной однородной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Препринт N° 10 НИИМ Воронеж, гос. ун-та. - Воронеж, март 2004. - 22 с.

[4] Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 24 - 28 января 2004 г.: Тез. докл. - ВЗМШ-2004. С. 10-11.

[5] Афанасьев С. Н. О разрешимости одной абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Труды матем. ф-та Воронеж, гос. ун-та, вып. 7 (новая серия). - Воронеж: ВорГУ, 2002. С. 1 -12.

[6] Афанасьев С. Н. О разрешимости одной абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Современные методы в теории краевых задач, Воронеж, 3-9 мая 2002 г.: Тез. докл. - Пон-трягинские чтения-ХШ - 2002. С. 7.

[7] Афанасьев С. Н. О разрешимости однородной абстрактной гиперболической задачи Коши в банаховом пространстве / С. Н. Афанасьев // Математические модели и операторные уравнения. - Воронеж: ВорГУ, 2001. С. 5 - 18.

[8] Афанасьев С. Н. Об однозначной разрешимости одного класса абстрактных дифференциальных уравнений / С. Н. Афанасьев // Труды

молодых ученых физико-матем. ф-та: Межвуз. сб. науч. трудов. -Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2001. С. 14 — 21.

[9] Афанасьев С. Н. Разрешимость абстрактной гиперболической задачи Коши в банаховом пространстве / С. Н. Афанасьев // Труды матем. ф-та Воронеж, гос. ун-та, вып. 5 (новая серия). - Воронеж: ВорГУ, 2001. С. 3 - 9.

[10] Афанасьев С. Н. Разрешимость абстрактной гиперболической задачи Коши в банаховом пространстве / С. Н. Афанасьев // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 22 - 31 января 2002 г.: Тез. докл. - ВЗМШ-2002. С. 4 - 5.

Заказ № 234 от 31.03.2004 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

14

»-72S9

Введение

Глава I. Необходимые теоретические сведения

1.1. Основные обозначения и определения

1.2. Основы теории полугрупп. Дробные степени операторов

1.3. Основные свойства операторных косинус-функций.

1.4. Коэрцитивная разрешимость абстрактных дифференциальных уравнений в пространствах Бохнера.

1.5. Основные свойства модифицированных функций Бесселя

1.6. Свойства операторных функций Бесселя

Глава II. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши в пространствах Бохнера

2.1. Однозначная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций.

2.2. Коэрцитивная разрешимость неоднородной вырождающейся параболической задачи Коши.

2.3. Коэрцитивная разрешимость однородной вырождающейся параболической задачи Коши.

2.4. Примеры

Глава III. Разрешимость абстрактной вырождающейся гиперболической задачи Коши

3.1. Однозначная разрешимость вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций

3.2. Разрешимость неоднородной вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространствах Бохнера

3.3. Разрешимость однородной вырождающейся задачи Коши в пространствах Бохнера

Глава IV. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся эллиптической краевой задачи в пространствах Бохнера 64 4.1. Однозначная разрешимость вырождающейся эллиптической краевой задачи в пространстве непрерывных функций

4.2. Коэрцитивная разрешимость неоднородной вырождающейся краевой задачи.

4.3. Коэрцитивная разрешимость однородной вырождающейся краевой задачи.

Одним из главных направлений в теории уравнений с частными производными является сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Важную роль при этом играют спектральные свойства операторов, в частности, характер убывания нормы их резольвенты при больших значениях аргумента. Этими же методами удается изучать и вырождающиеся уравнения. Исследованию некоторых абстрактных вырождающихся начальных и граничных задач параболического, гиперболического и эллиптического типов посвящена настоящая диссертация.

Сингулярные дифференциальные уравнения часто встречаются в задачах математической физики, например, в задачах, связанных с проблемами теплопроводности, в задачах на нахождение электрического потенциала и распределения зарядов при определенных граничных условиях, в теории трансзвуковой газовой динамики, а также во многих других практически важных случаях. Поэтому проблемы разрешимости соответствующих начальных, граничных и смешанных задач, записанных в абстрактной форме с вырождающимися операторами разного типа, действующими в банаховых пространствах, уже давно привлекают внимание многих математиков. Весьма плодотворным явился переход к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве для изучения уравнений в частных производных в работах А. Л. Скубачевского, А. И. Прилепко и Д. Г. Орловского [46] — [48] и [69], С. Г. Крейна [30], М. А. Красносельского [29] и многих других математиков.

Сингулярные дифференциальные уравнения разного типа и их свойства исследовались во многих работах, как в нашей стране, так и за рубежом. Так, в работе В. И. Фомина [60] для изучения вопроса об условиях существования ограниченного решения сингулярного дифференциального уравнения аг/(*) = Аи(Ь) + /(£), 0 < £ < оо, а > 1 применяется метод малых регулярных возмущений. Работа В. П. Глушко [17] посвящена изучению гладкости решений вырождающегося дифференциального уравнения вида + = /(£), 0 < Ь < Т с непрерывным при всех £ 6 [О;Т] оператором действующим в банаховом пространстве Е. Аналогичный вопрос для уравнения теплопроводности с вырождением изучен в [20] в пространствах Гельдера и Слободецкого.

В статье А. Фавини [65] в банаховом пространстве Е рассмотрена задача и"(г) = гтАи(г), г 6 [-Т;Т], (1) и(0) = «о, г*'(0) = щ (2) эллиптическо-гиперболического типа. А. Фавини доказывает существование решения задачи (1) — (2) в классическом смысле и выписывает его в явном виде для нечетного целого т при довольно сильных ограничениях на начальные данные щ жщ. В отличие от него, мы рассматриваем обобщенное решение задачи (1) — (2) при т > 0, в том числе для неоднородного уравнения (1) и применяем для записи решения операторные функции Бесселя, введенные В. Н. Копаневой в [25]. Последние используются в работе В. П. Орлова [41] для решения гиперболической задачи вида (1) — (2) с вырождением £2а, а £ (0; 1), стоящим перед производной. Задача Коши для уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу рассматривается А. В. Глушаком в работе [15] и решается в классическом смысле с помощью развитой теории операторных функций Бесселя.

Конкретная краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения вида ии^,х) +Ьтихх(Ь,х) = 0, т> — 1 решается в статье М. Е. Лернера и О. А. Репина [34]. Для построения решения используются модифицированные функции Бесселя. Этими же авторами [35] была изучена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения Геллерстедта у\у\тихх(х, у) + иуу(х, у) = 0, т > 0.

Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В. П. Глушко и Ю. Б. Савченко [18], а также в монографиях [23], [52] и [66].

Особое значение имеет изучение коэрцитивной разрешимости соответствующих абстрактных задач, поскольку она дает необходимые и достаточные условия корректной разрешимости таких задач, а также позволяет исследовать нелинейные задачи и задачи с возмущениями.

В диссертации изучаются вопросы, связанные с коэрцитивной разрешимостью начальных и граничных задач для абстрактных вырождающихся дифференциальных уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов в пространствах Бохнера Вр, р € (1; +оо). Для таких уравнений ставятся и решаются соответствующие задачи Коши (в параболическом и гиперболическом случаях), а также краевая задача (в эллиптическом случае). Для вырождающихся уравнений параболического и эллиптического типов доказана коэрцитивная разрешимость соответствующих задач. В гиперболическом случае получено обобщение классических теорем, имеющих место для соответствующей невырождающейся задачи Коши. Во всех случаях решение понимается в обобщенном смысле, причем каждая задача вначале решается в классическом смысле, находится явная формула решения, а затем полученные результаты обобщаются в пространствах Бохнера. Используемая методика доказательств позволяет изучать коэрцитивную разрешимость абстрактных вырождающихся дифференциальных уравнений и более общего типа.

Рассмотрим основные работы, на которые опирается настоящая диссертация. В работе П. Е. Соболевского [55] установлена коэрцитивная разрешимость сингулярного дифференциального уравнения ь0и{ь) = (г) + Аи(г) = /(¿), * е [о; 1], где а(£) > 0 и непрерывна при £ > О, а(0) = 0, а оператор А порождает аналитическую полугруппу в различных функциональных пространствах, в то числе в пространствах Бохнера и в пространствах Гельдера при определенных условиях на функцию а(£). Там же доказано, что вырождающийся оператор £о является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы. Эти результаты позволяют при исследовании параболических уравнений вида

1/(0 + щг) = № (3) использовать хорошо развитый аппарат теории полугрупп.

Однако резольвента невырождающегося эллиптического оператора Ь обладает лучшими свойствами. Именно, в работах М. 3. Соломяка [58] и С. Агмона [63] установлено, что оценка справедлива при всех А, лежащих в некоторой правой полуплоскости. Следовательно, соответствующая оператору L полугруппа оказывается аналитической. Этот факт является существенным при исследовании вопроса о коэрцитивной разрешимости уравнения вида (3). В [54] показано, что наличие оценки (4) в полуплоскости является необходимым, а в ряде случаев и достаточным условием для коэрцитивной разрешимости уравнения вида (3) в Вр, р G (1;+оо) и в некоторых других функциональных пространствах. Поэтому справедливость оценки (4) для вырождающегося оператора L позволяет исследовать вопрос о коэрцитивной разрешимости различных параболических задач с вырождающимся эллиптическим оператором. Кроме того, из оценки (4) следует, что для оператора L можно строить и изучать его дробные степени La, а > 0.

В работах В. П. Орлова и П. Е. Соболевского [43] и [44] исследуется сингулярный оператор

L0u(t) = a(t)u"(t) - Au(t), где a(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [0; 1], a(t) > 0 при t > 0, а(0) = 0, a оператор А слабо позитивен, и доказывается коэрцитивная разрешимость уравнения

L0u(t) - Лu(t) = /(£), Re А > (то > 0 в пространствах Гельдера Cq и Бохнера Вр, р G (1;+оо). Полученная там же оценка решения означает, что оператор Lq порождает аналитическую полугруппу.

Отметим также работы В. П. Глушко и О. М. Смелянского [19] и О. М. Смелянского [51], в которых установлены коэрцитивные оценки решений вырождающихся дифференциальных уравнений первого и второго порядка с неограниченным операторным коэффициентом. Коэрцитивная разрешимость в Вр при р G (1;+оо) эллиптической краевой задачи t2au"(t) - Au{t) = f(t), a G (0; 1), t G [0; 1], u(0) = 0, u(l) = 0 со слабо позитивным оператором A доказана в статье В. П. Орлова [40].

В работе Ж. Прюсса и Г. Сора [70] установлена связь между наличием мнимых дробных степеней у эллиптических дифференциальных операторов второго порядка и коэрцитивной разрешимостью соответствующих начальных и граничных задач для таких операторов в пространствах Лебега.

Перейдем к точной формулировке основных результатов, полученных в диссертации.

Вырождающаяся параболическая задача. Рассмотрим в банаховом пространстве Е параболическую задачу Коши u\t) + a{t)Au{t) = f(t), t G [0; T], (5) u(0) = «o. (6)

Здесь A — действующий в E производящий оператор аналитической полугруппы T(t) = e~tA, t > 0. Функция a(t) непрерывна на [0;Т], непрерывно дифференцируема в интервале (0;Т], причем a(t) > 0 при t > 0 и а(0) = 0.

Определение 1 Решением задачи Коши (5) — (6) называется функция u(t) G Wp, такая что a(t)Au(t) G Bv, u(t) удовлетворяет (6) и почти всюду на [0;Т] выполняется (5).

Здесь и далее W¡ = Wj;([0; Т], Е), р G [1;+оо), к = 1,2 — абстрактные пространства Соболева. Пусть в уравнении (5) /(£) = 0. Обозначим через Еф максимальное пространство начальных значений щ, для которого однородная задача (5) — (6) однозначно разрешима.

Лемма 1 Множество Еф есть банахово пространство с нормой х i/p

INk = М + I / \\Ае~тАх\\Щг)^ ' причем D(A) плотно в Еф. i т

Здесь ф{т) = (а(</?(т)))р-1, т = }a(z)dz, Т = Ja(z)dz, a t = <¿>(r) — обратное к т(£) преобразование.

Введем вспомогательную невырождающуюся задачу v'iT) + AV(t) = д(т), т G [0;Т], (7) v(0) = 0. (8)

Пусть В;= Bp([0]T],E).

Теорема 1 Пусть задача (7) — (8) коэрцитивно разрешима в Вро при некотором ро G (1;+оо), щ G Еф, а функция а{Ь) удовлетворяет условию

У 1—f sup б 1?

АФ))/ 8 d£ < оо.

Тогда задача Коши (5) — (6) однозначно разрешима в Вр, р £ (1;+оо), причем решение имеет вид г « г и{Ь) = Т(| ф)с£г)к0 + /Г(/ а(г)(1г)/(з)<1з о о « и удовлетворяет неравенству 1|в(*м«(*ж < м{||/(4)||в,, + |К1к}.

Вырождающаяся гиперболическая задача. Теперь рассмотрим в банаховом пространстве Е гиперболическую задачу Коши и"(г) - ь2аЛи{г) = /(«), а>о, te [о;т], (9) и(0) = щ, и'(0) = щ. (10)

Здесь А — действующий в Е производящий оператор сильно непрерывной операторной косинус-функции С(£), £ £ Я. Всюду в этом разделе под /^(г), г > 0 понимаются операторные функции Бесселя.

Определение 2 Решением задачи (9) — (10) мы назовем функцию и{1:) £ \Ур, такую что 12аАи{Ь) £ Вр, удовлетворяет (10) и почти всюду на [0;Т] выполняется (9).

Рассмотрим множества элементов из Е, определяемые соотношениями

Е0 = {х : х £ Е, \\А1.и{т)х\\Вр<6 < оо},

Е1 = {х:хеЕ, ИАЦт^Ня,., < оо}, где 6 = (2р- 1)(1 - 2р) + р^т = Шъ, у = £ (0; 1/2), р £ [1; +оо).

Через обозначено пространство Бохнера с весом т6.

Лемма 2 Пусть а > 0, р £ [1;+оо). Тогда множества Ео и Е\ являются банаховыми пространствами с нормами

Ыео = 1М1 + \\А1-и{т)х\\в,„ Ыъ = ||х|| + \\АШх\\Вр, соответственно, причем В(А) плотно в Ео и в Е\ относительно их норм.

Как известно, в гиперболическом случае мы не имеем коэрцитивной разрешимости даже для невырождающейся задачи Коши. Однако имеет место следующее утверждение, обобщающее классический результат для невырождающейся гиперболической задачи Коши.

Теорема 2 Пусть а > 0, р G [1;+оо), щ Е Eq, и\ € Е\, а функция f(t) удовлетворяет одному из следующих условий:

1) f(t)eD(A)uf(t),Af(t)eBp;

2) fit) € Wp2.

Тогда решение задачи (9) — (10) существует, единственно и имеет вид u(t) = i/T(l - v)VtI-v(2vt&)uo + vl~vT(v)\ftIv(2vt^)u\-\t

•Vtl-v(2ut^) J y/slv{2vs^)f(s)dsirv smirv

7TU sin TTU

Vtlv(2vt&) [ yfsl-v(2vsb)f(s)ds, v =

6 2{a + l)

Вырождающаяся эллиптическая задача. Рассмотрим в банаховом пространстве Е эллиптическую краевую задачу u"(t) - t2aAu(t) = f(t), а > 0, t в [0;Т], (11) п(0) = м0, и(Т) = ит. (12)

Здесь А — слабо позитивный оператор.

Определение 3 Решением задачи (11) — (12) называется функция u{t) £ W2, такая что t2aAu(t) 6 Вр, u(t) удовлетворяет (12) и почти всюду на [0;Т] выполняется (11).

Пусть функция f(t) = 0 в уравнении (11), a Eq и Ет — пространства, включающие все щ и ит из Е соответственно, для которых однородная задача (11) — (12) однозначно разрешима. Введем обозначение 7 = — 1)(1 — 2ь>).

Лемма 3 Пусть а > 0, р € (1;+оо). Тогда Eq и Ет — банаховы пространства с нормами

IWI* = М + \\Ае~тЛЧ2х\\в,„, 11*11«. = INI + \\Ае-Аигх\\Wp соответственно, причем D{A@) всюду плотно в Ео при ¡3 > р{2 — и г

6 ЕТ при (3 > 1

Здесь т = 21/^1, V = £ (0; 1/2). Рассмотрим вспомогательную невырождающуюся задачу у"{т)-Ау(т)^ = д(т), гб[0Д, (13) и(0) = 0, у(Т) = 0. (14)

Здесь Т = 21/Т&. Имеет место

Теорема 3 Пусть а > 0, р Е (1;+оо), ^о Е Ео, ит Е Ет и задача (13) — (14) коэрцитивно разрешима в Вр. Тогда задача (11) — (12) однозначно разрешима в Вр, ее решение имеет вид / щ* - * х(Л. - А,-Ч.Л + - А)-Ч.Л+

1 1 +— I(XI - А)~1{—2илДКи(2и№\/~\) Iл/з11,(21;з&у/\)/(з)с1з+ л/Л) ^р^&у/Х) Д/^(2 »8&у/\)/(з)<1а-1и[21/Гъу/Х) 5 т

1у/зКи(21/з&у/Х)/(з)(1з}(1\ г и удовлетворяет неравенству к^к+¥2амтВр < м{\т\\Вр + ык + \\иТ\\Ет}.

Здесь контур Г = ГиГ011Г+, где Г± = {Л : Л = ре**», р > <т0}, Г0 = {Л : Л = \<р\ < ф0}\ а0 > 0, ф0 Е (0;тг), и = ^¿к), а 1„(г) и Ку(г) — модифицированные функции Бесселя.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы. В I главе содержатся необходимые теоретические сведения. Во II главе изучается коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши. Глава III посвящена исследованию однозначной разрешимости вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций и в пространствах Бохнера Вр. В главе IV исследуется коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся эллиптической краевой задачи в пространствах Бохнера.

1. Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 26 января - 2 февраля 2003 г.: Тез. докл. - ВЗМШ-2003. С. 21 - 22.

2. Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Серия физика, математика. 2002. - №■ 2. С. 30 - 34.

3. Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость абстрактной однородной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Препринт N° 10 НИИМ Воронеж, гос. ун-та. Воронеж, март 2004. - 22 с.

4. Афанасьев С. Н. Коэрцитивная разрешимость вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 24 28 января 2004 г.: Тез. докл. - ВЗМШ-2004. С. 10-11.

5. Афанасьев С. Н. О разрешимости одной абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Труды матем. ф-та Воронеж. гос. ун-та, вып. 7 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2002. С. 1 — 12.

6. Афанасьев С. Н. О разрешимости одной абстрактной вырождающейся краевой задачи / С. Н. Афанасьев // Современные методы в теории краевых задач, Воронеж, 3-9 мая 2002 г.: Тез. докл. Пон-трягинские чтения-ХШ. - 2002. С. 7.

7. Афанасьев С. Н. О разрешимости однородной абстрактной гиперболической задачи Коши в банаховом пространстве / С. Н. Афанасьев/ / Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: ВорГУ, 2001. С. 5 - 18.

8. Афанасьев С. Н. Об однозначной разрешимости одного класса абстрактных дифференциальных уравнений / С. Н. Афанасьев // Труды молодых ученых физико-матем. ф-та: Межвуз. сб. науч. трудов. -Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2001. С. 14 21.

9. Афанасьев С. Н. Разрешимость абстрактной гиперболической задачи Коши в банаховом пространстве / С. Н. Афанасьев // Трудыматем. ф-та Воронеж, гос. ун-та, вып. 5 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2001. С. 3 - 9.

10. Афанасьев С. Н. Разрешимость абстрактной гиперболической задачи Коши в банаховом пространстве / С. Н. Афанасьев // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 22 31 января 2002 г.: Тез. докл. - ВЗМШ-2002. С. 4 - 5.

11. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Н. Бибиков. М.: Высшая школа, 1991. - 302 с.

12. Вайнерман Л. И. Гиперболические уравнения с вырождением в гильбертовом пространстве / Л. И. Вайнерман // Сибир. матем. журнал.- 1977. Т. 18, №■ 4. С. 736 - 746.

13. Васильев В. В. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения / В. В. Васильев, С. Г. Крейн, С. В. Пискарев // Итоги науки и техники. Матем. анализ.- ВИНИТИ. Т. 28, 1990. С. 87 - 202.

14. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1981. - 512 с.

15. Глушак А. В. Операторная функция Бесселя / А. В. Глушак // ДАН.- 1997. Т. 352, N° 5. С. 587 - 589.

16. Глушак А. В. Об одной сингулярной абстрактной задаче / А. В. Глушак, В. И. Кононенко, С. Д. Шмулевич // Известия вузов. Математика. 1970. - 6. С. 55 - 56.

17. Глушко В. П. О гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / В. П. Глушко // ДАН СССР. 1971. - Т. 198, 1. С. 20 - 22.

18. Глушко В. П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого ч порядка: пространства, операторы, граничные задачи / В. П. Глушко, Ю. Б. Савченко // Итоги науки и техники. Матем. анализ. 1985. -Т. 23. С. 125-218.

19. Глушко В. П. Коэрцитивные оценки решений одного вырождающегося дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В. П. Глушко, О. М. Смелянский // Труды матем. ф-та Воронеж, гос. ун-та, вып. 9. Воронеж: ВорГУ, 1973. С. 155 - 161.

20. Глушко В. П. Уравнение теплопроводности с вырождением в пространствах Гельдера и Слободецкого / В. П. Глушко, С. А. Ткачева // Матем. заметки. 1995. - Т. 58, 2. С. 189 - 203.

21. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Дж. Голдстейн. Киев: Выща школа, 1989. - 347 с.

22. Евзеров Н. Д. Дробные степенени обыкновенных дифференциальных операторов / Н. Д. Евзеров, П. Е. Соболевский // Диффер. ур-я.- 1973. Т. 9, №- 2. С. 228 - 240.

23. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.A. Киприянов. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 208 с.

24. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 544 с.

25. Копанева В. Н. Задача Коши-Гурса для телеграфного уравнения с абстрактным оператором / В. Н. Копанева, Воронеж, лесотехн. ин-т.- Воронеж, 1983. Деп. в ВИНИТИ 14.03.83, №■ 1330-83.

26. Костин В. А. К решению одной проблемы, связанной с абстрактной косинус-функцией / В. А. Костин // ДАН. 1994. - Т. 336, N° 5. С. 584 - 586.

27. Костин В. А. О точно равномерно корректной разрешимости задачи Коши / В. А. Костин // ДАН СССР. 1991. - Т. 319, № 1. С. 38 - 41.

28. Костин В. А. Об аналитических полугруппах и косинус-функциях /B. А. Костин // ДАН СССР. 1989. - Т. 307, АГ2 4. С. 796 - 799.

29. Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский. М.: Наука, 1966. - 500 с.

30. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

31. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. М.: Наука, 1973. - 407 с.

32. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Ураль-цева. М.: Наука, 1967. - 736 с.

33. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения / Н. Н. Лебедев. М.: Гостехиздат, 1963. - 380 с.

34. Лернер М. Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Диффер. ур-я. 1999. - Т. 35, №- 8. С. 1087 - 1093.

35. Лернер М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Сибир. матем. журнал. 1999. - Т. 40, №■ 6. С. 1261 - 1275.

36. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Лю-стерник, В. И. Соболев. М.: Высшая школа, 1965. - 520 с.

37. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. М.: Наука, 1983. - 424 с.

38. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. М.: Наука, 1969. - 526 с.

39. Орлов В. П. Вырождающиеся дифференциальные операторы в весовых пространствах Гельдера / В. П. Орлов // Матем. заметки. 1977.- Т. 21, №■ 6. С. 759 769.

40. Орлов В. П. Коэрцитивная разрешимость слабо вырождающихся дифференциальных уравнений с неограниченным операторным коэффициентом / В. П. Орлов // Известия вузов. Математика. 1997. -Т. 418, №■ 3. С. 44 - 51.

41. Орлов В. П. О слабо вырождающихся гиперболических уравнениях / В. П. Орлов // Диффер. ур-я. 2003. - Т. 39, №-10. С. 1409 - 1419.

42. Орлов В. П. Слабо вырождающиеся дифференциальные уравнения с неограниченным операторным коэффициентом / В. П. Орлов // Известия вузов. Математика. 1997. - Т. 416, N° 1. С. 34 - 41.

43. Орлов В. П. О резольвенте вырождающегося оператора в банаховом пространстве / В. П. Орлов, П. Е. Соболевский // ДАН СССР. 1975.- Т. 221, № 5. С. 1035 1037.

44. Орлов В. П. О резольвенте вырождающегося оператора в банаховом пространстве / В. П. Орлов, П. Е. Соболевский // Диффер. ур-я. -1975. Т. 11, № 5. С. 858 - 868.

45. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов. М.: Высшая школа, 1999. - 432 с.

46. Прилепко А. И. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики I / А. И. Прилепко, Д. Г. Орловский // Диффер. ур-я. 1985. - Т. 21, N° 1. С. 119 - 129.

47. Прилепко А. И., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики II / А. И. Прилепко, Д. Г. Орловский // Диффер. ур-я. 1985. - Т. 21, N° 4. С. 694 - 701.

48. Прилепко А. И., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики III / А. И. Прилепко, Д. Г. Орловский // Диффер. ур-я. 1987. - Т. 23, №■ 8. С. 1343 - 1353.

49. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу / В. С. Пугачев.- М.: Изд-во МАИ, 1996. 743 с.

50. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В. К. Романко. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.- 342 с.

51. Смелянский О. М. Коэрцитивные оценки решений вырождающихся дифференциальных уравнений первого и второго порядка в банаховом пространстве / О. М. Смелянский // Сб. раб. асп. матем. ф-та Воронеж, гос. ун-та, вып. 2. Воронеж: ВорГУ, 1973.

52. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

53. Соболевский П. Е. Неравенства коэрцитивности для абстрактных параболических уравнений / П. Е. Соболевский // ДАН СССР. —1964.- Т. 157, №■ 1. С. 52 55.

54. Соболевский П. Е. О вырождающихся параболических операторах / П. Е. Соболевский // ДАН СССР. 1971. - Т. 196, N£ 2. С. 302 -304.

55. Соболевский П. Е. Теоремы сравнения для дробных степеней операторов / П. Е. Соболевский // ДАН СССР. 1967. - Т. 174, Г 2. С. 294 - 297.

56. Соболевский П. Е. Эллиптические и параболические операторы в С / П. Е. Соболевский // ДАН СССР. 1988. - Т. 298, m 4. С. 815 -819.

57. Соломяк М. 3. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха / М. 3. Соломяк // ДАН СССР. 1958. - Т. 122, m 5. С. 766 - 769.

58. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1981. - 735 с.

59. Фомин В. И. Метод малых регулярных возмущений при исследовании сингулярных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / В. И. Фомин // Диффер. ур-я. 1999. - Т. 35, N- 12. С. 1712.

60. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972. - 544 с.

61. Хилле Е. Функциональный анализ и полугруппы / Е. Хилле, Р. Фил-липс. М.: Изд. иностр. лит., 1962. - 819 с.

62. Agmon S. // Comm. Pure and Appl. Math. 1962. - ■№■ 15. P. 119 -147.

63. Donaldson J. A. A singular abstract Cauchy problem / J. A. Donaldson // Proc. of NAS. 1970. - V. 6., №■ 2. P. 269 - 274.

64. Favini A. Su un'equazione astratta di tipo ellittico-iperbolico / A. Favini // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1976. - V. 55. P. 227 - 242.

65. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. Marcel Dekker Inc, New York - Basel - Hong Kong, 1999. -312 p.

66. Grisvard P. Equations operationelles abstractes et problems aux limities / P. Grisvard // Ann. Scuola norm. Super. Pisa. 1967. - V. 21, №■ 3. P. 307 - 345.

67. Kostin V. A. Towards the Solomyak Iosida theorem on analitic semigroups / V. A. Kostin // St. Petersburg Math. J. - 2000. - V. 11, N- 1. P. 91 - 105.

68. Prilepko A. I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky and I. A. Vasin. Marcel Dekker Inc., New York - Basel, 2000.

69. Pruss J. Imaginary powers of elliptic second order differential operators in ZAspaces / J. Pruss, H. Sohr // Hiroshima Math. J. 1993. - V. 23. P. 161 - 192.

70. Sova M. Cosine operator functions / M. Sova // Rozprawy Matematy-czne. 1966. - V. XLIX. P. 1 - 46.