Переопределенные линейные системы двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005016693

Иззатуллоев Дости

ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДВУХ И ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНОЙ И СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ

ТОЧКАМИ

01.01.02. - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе 2012

005016693

Работа выполнена в Таджикском национальном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

академик АН РТ, профессор Раджабов Нусрат

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Исмати Мухаммаджон

Ведущая организация: Российско-Таджикский (Славянский)

Университет

Защита состоится « ^ » Февраля 2012 г. в _//_ часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу 734063, г. Душанбе, ул. Айни 299/4

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института

математики АН РТ

кандидат физико-математических наук, доцент Шамсудцинов Файзулло

кандидат физико-математических наук, доцент Болтаев Карим Сатторович

Автореферат разослан

-2012 г.

Халилов Ш. Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами связана с именами Якоби и др. Одними из первых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены, являются системы в полных дифференциалах.

Простейшей переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных можно считать систему

Ux=P(x,y), Uy = Q(x,y)

условие Py=Qx является необходимым и достаточным для разрешимости этой системы. При его выполнении

dU = Р(х, y)dx + Q(x, y)dy является полным дифференциалом, и функция и(х,у) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и n-мерном случаях.

Академиком АН РТ Л.Г. Михайловым12-3 положено начало изучению некоторых систем в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка.

Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, а также исследованию некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками посвящена монография академика АН РТ

1 Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986г, 116стр.

2 Михайлов Л.Г. Об одном свойстве сингулярных дифференциальных уравнений ДАН России 1991г т 321 №4, стр. 681-686.

3 Михайлов Л.Г. О некоторых переопределенных системах уравнений в частных производных с сингулярными точками//ДАН, России, 2004, Т. 398, №2, С. 1-4.

Раджабова Н.4 в которой способы, разработанные им для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами.

В 1994 году профессором Э. Рузметовым была опубликована монография "Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных". В ней получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулрными линиями, плоскостями и точкой.

Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами изучены в работах Л.Г. Михайлова, М.В. Коровина, Раджабова Н., Рузметова Э, Пирова Р., Шарипова Б., Шамсуддинова Ф.М. и других авторов.

В основном большинство имеющихся работ посвящено переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с регулярными коэффициентами, а также с сингулярными линиями на плоскости.

Имеются также некоторые работы, посвященные переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой на плоскости.

Что касается многомерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными областями, а также с сингулярной точкой, то они, кроме некоторых случаев, изучены мало.

4 Раджабов Н, Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе, 1992.-236стр.

В связи с этим, проблема получения многообразия решений и исследование задачи с начальными данными для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в плоском и многомерном случаях является актуальной.

Настоящая диссертационная работа посвящена этой проблеме. В работе сначала изучается переопределенная система двух линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в сингулярном и сверхсингулярном случаях, когда присутствующие коэффициенты в рассматриваемых системах в сингулярной точке не обращаются в нуль.

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и изложены основные результаты диссертации.

Основной целью настоящей диссертации является получение многообразия решений и изучение свойств полученных решений переопределенных линейных систем двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Настоящая работа посвящена исследованию ранее неизученных двухмерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в прямоугольнике.

Кроме того, исследована ранее неизученная переопределенная система трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в параллелепипеде, задача исследования которой сводится к исследованию переопределенных систем двух дифференциальных уравнений с сингулярной и сверсингулярной точкой.

Методика исследования.

В диссертации применены современные методы, разработанные для переопределенных систем сингулярных и сверхсингулярных

дифференциальных уравнений в частных производных, метод интегральных представлений.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется переопределенная система двух и трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы, при решении конкретных задач, в механике и физике.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н.Раджабовым "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных" при кафедре математического анализа и теории функций Таджикского национального университета. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Хабез, 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка (48); она изложена на 108 страницах.

Содержание диссертации. Во введении обосновывается актуальность темы, исследованной в диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ, а также приводятся основные результаты исследования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первый параграф первой главы посвящен исследованию переопределенных линейных систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с одной сингулярной точкой.

Через Б обозначим прямоугольник £> = {(х,у) :0 < х < а,0 < у < Ь). Соответственно обозначим:

Г, ={^ = 0,0<х<£7}, Г2 = {х = 0,0<у<Ь}. В области Б рассматривается переопределенная система

'ди | а(х,у) и _/1(х,у)

дх г г

' ЗУ | Ь(х,у) и_/1{х,у) (!)

ду г г

где г = ^хг+уг , а(х, у), Ь(х, у), /¿х,у)(] = 1,2) - заданные функции в области Б.

Данный параграф посвящен исследованию ранее неизученных случаев двухмерной переопределенной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (1) в прямоугольнике, при а(0,0)^0, 6(0,0)^0. Отметим, что система (1) была исследована в случае, когда коэффициенты имели вид: а{х,у) = х-а^х,у), а,(0,0) ^ 0, Ь(х,у)=уЬ1(х,у), 6,(0,0)*0, в [13].

Для нахождения многообразия решений вышеуказанной системы (1), применяется следующая схема.

Сначала при определенных условиях на коэффициенты и правые части находится решение одного из рассматриваемых уравнений данной системы.

При этом общее решение одного линейного уравнения первого порядка содержит одну произвольную функцию одного переменного. Затем полученное решение подчиним второму уравнению. При выполнении определенных условий совместности на коэффициенты и правые части для определения неизвестной функции, получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Решая это уравнение, находим неизвестную функцию. Подставляя её в полученное интегральное представление, находим общее решение данной системы.

Основным результатом первого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть в системе уравнений(І) а) функции а(х,у), Ь(0,у) удовлетворяют следующим условиям типа Гельдера

|а(х, у) - а(0,0)| < Я, ■ г"1, Я, = const, 0 < а, < 1, (2)

|&(0, у) - Ь{ 0,0)| < Н2 ■ у2, Н2 = const, 0 < а2 < 1. (3)

б) Функции а(х,у), Ь{х,у), /,(*,у), и /2(х,у) удовлетворяют следующим условиям совместности

Э>Л г J SxrV г У

^.^fMyoV/^.^-^^fi^V^^-^^ (5)

г ) дук г J

в) Функция /¿х,у)еСф) и при а(0,0)<0, /,(0,0) = 0 СО следующим

асимптотическим поведением:

/¡(х,у) = о[г"< ],а, >|а(0,0)|, при (х,у) ->(0,0). (6)

Функция у; (О, у) Є С(р2) и при 6(0,0) <0, /2 (О, О) = 0 со следующим асимптотическим поведением:

/2(0,У~) = о[у"<], а4 >|б(0,0)|, при О. (7)

7'оггіа любое решение системы уравнений (1) из класса Cl(D) представимо в виде

, \-а(0,0>

и{х, у) = ехр [-Й>, (*, у)] • (J • {(ехр [-<и2 (0, у) - ¿(0,0) 1пу]-(С,+ +j/2(0,5) ехр^(0>+ 0) 1п+ (8)

До(0,0)

¿Л,

¿•Jt2+y2

І + Ф2+У2

(х, у) * (0,0) и при х = О,

С/(0, у) = ехр [- ш2 (О, у) - ¿(0,0) In у] • (с, + J - ехр [<го2 (О, .v) + ¿(0,0) In ,s]c/.v),

о Ф2+У2 о 5

с\ - произвольная постоянная.

Замечание 1. Если выполнены все условия теоремы 1, тогда решение вида (8), обладает следующим свойством:

1

Во втором параграфе первой главы исследуется система уравнений (1) в области Б, когда основным уравнением является второе. В этом случае имеет место следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть в системе уравнений (1) коэффгщиенты и правые части удовлетворяют условиям типа Гельдера (2), (3) и условиям совместности (4) и

(Я

Функция /;<ХО)еС(Г,) и при а (О,О) < О, /;(0,0) = 0 со следующим асимптотическим поведением:

/ (х, О) = о[хг' ], ух > \а(0,0)|, при х -» О. (9)

Функция /2(х,у) е С (О) и при />(0,0) < О, /2(0,0) = 0 со следующим асимптотическим поведением:

/2(х,у) = о[гЪ], Уг >|6(0,0)|, при (х,у) —>(0,0). (10)

Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса С'(£>) представимо в виде

( + у4(0'0)

и(х, у) = ехр[~а1 (х, у)] • I 1 • (ехр (х, 0) ■- о(0,0) 1п х] ■ (С2 +

(л:, у) * (0,0) и при у = 0,

С/(х,0) = ехр[-со, 0,0) -а(0,0) 1п х]-(С7 +/-/'(/'0) ■ ехр[а,(г,0) + «(0,0) 1п г\и\

О '

где =

о ' В Л/лг3 н-л--

6(0,0)

£& ,

С2 - произвольная постоянная. Замечание 2. Если выполнены все условия теоремы 2, тогда решение вида (11), обладает следующим свойством:

Первый параграф второй главы посвящен исследованию переопределенных линейных систем трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одной сингулярной точкой. Через П обозначим параллелепипед.

0. = {(х,у,?),0<х<а,0<у<Ь,0<2<с}.

Соответственно обозначим: Пм ={х = 0,0<у <г>,0<г<с}, П21 = {^ = 0,0<д:<а,0<2<с},

С231 = {г = 0,0<х<а,0<у <Ь}, Гп = {у = О, г = 0,0 < х <■ а},

Г21 = {х = О,? = 0,0 < у < Ь}, Г31 ={х = 0,у = 0,0<г<с}.

В области С2 рассмотрим систему дифференциальных уравнений

еи | а(х,у,=) и = =)

дх г г

ди , Ых,у,=) и = /,(*, у. -)

ду г г

ди | с(х,у,~) и = /Лх,у, -)

д: г г

(12)

где г = ^+у2+г\ ф,у,2), Ъ{х,у,г), с(х,у,г), /¿х,у,г), (у = 1,2,3 )-заданные

функции в области

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение: Теорема 3. Пусть в системе уравнений (12) коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям совместности

8 ' Ь(0, у, z^ а ( сф, у, Z-)}

dz 8у

/,(0 M0,y,z)

.47

f3(0,y,-)-c(0,y,:).

(18)

б) Кроме того, функции a(x,y,z), 6(0,y,z) c(0,0,z) в окрестности начала координат удовлетворяют следующим условиям типа Гелъдера

Ia(x,y,z)-a{0,0,0)\<H^ -r"\Hx =const,0<aí <1, (19)

|6(0, у, z) - 6(0,0,0)| < Н2 - />Г2, Н2 = const, 0 <а2 < 1, р, = 4у'+=\ (20)

|с(0,0, z) - с(0,0,0)| < Нъ ■ г"3, Нъ = сот/, О < а3 < 1. (21)

в) Функция fx (х, у, z) є C(ñ) и при а(0,0,О) < О, / (0,0,0) = О со следующим асимптотическим поведением:

fr (х, у, z) = о[г"4 ], а4 > [о(0,0,0)|, при (х,у, z) -> (0,0,0). (22)

г) Функция /2 (0, у, z) є C(ñ,,) и при 6(0,0,0) < О, /2 (О, О, О) = О со следуюгцим асимптотическим поведением:

/2 (О, у, z) = ot/?"' ], от, > |б(0,0,0)|, при (у, =) -> (0,0) . (23)

д) Функция /з (0,0, z) є С(Г31) г/ при с(0,0,0) < 0, /3 (0,0,0) = О со следуюгцим асимптотическгш поведением:

/3(0,0, г) = ], «6 > |с(0,0,0)|, при z -> О. (24)

Тогда любое решение системы уравнений (12) из класса С'(П) представимо в виде

U(x,y,:) = ехр[-&> (х,у, -)]

/• N,-»(0,0,0)

Х+ Г

ly'+z2

ft(t,y,z)

•exp[£y,(i,y,z)]-

t + ф1 + y2 + z2

ät,

(25)

где <p(y, =) = exp[—ta2 (О, y, =)]

У+4?+=г

f-V7

CO

ь\ШШ. expKCOAO] }4==- «ph«u=)l-

i С ovj +:

0,(Jc,J',z)= I-, -dt,

i ф2+у2+г2

о vi2 + z о ^

С, - произвольная постоянная.

Замечание 3. Если выполнены все условия теоремы 3, тогда решение вида (25), обладает следующими свойствами f \imU(x,y,z) = <p(y,z).

х->0

2° lim flim(zc(0A0> • lim Щх, у, z») = С,.

" у—>0 V z->0 х->0 /

Другим основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 4. Пусть в системе уравнений (12): а) функции a{x,y,z), b(x,y,z), c(x,y,z), f^x, у, z)(j=\,2,3), b(ß,y,z), c(fl,y,z), f2(0,y,z), f3(0,y,z) удовлетворяют условиям совместности из теоремы 3.

б) Кроме того, функции, a{x,y,z), b(0,y,z), с(0,у,z) удовлетворяют условиям типа Гельдера (19), (20), и

|б(0,у,0)—6(0,0,0)| < Н4 ■ у"7,Н4 =const,0 < се1 <1. (27)

в) Функция fx{x,y,z) е C(Q) и при а(0,0,0) <0 удовлетворяет условию (22).

г) Функция е С(Г21) и при ¿(0,0,0) <0, /2(0,0,0) = 0 со следующим асимптотическим поведением:

при у —> О.

(28)

д) Функция /з(0 ,у,г)еС(Пи)и при с(0,0,0)<0, /3 (0,0,0)= О со следующим асимптотическим поведением:

= а9 > |с(0,0,0)|, при(у,г)-+{0,0). (29)

Тогда любое решение системы уравнений (12) из класса С'(С1) представимо в виде (25), где

г + ^у2 + г2

<р(у, г) = ехр[-г«3 (0, у, г)] Г/2(0,5,0)

• {ехр [~а2 (0, у, 0)] • у«™-» .

■[с1 + Я

О °

ехр[св2 (0,5,0)] • я"0 0'0) +

(30)

ехр [©з (0, у, О]

'£±¿7ИГ

О

С2 - произвольная постоянная.

Замечание 4. Если выполнены все условия теоремы 4, тогда решение вида (25), обладает следующими свойствами

Нш Щх,у,г) = (р(у,г).

1°.

2°.

Нш

г-»0 \

Пип^"0'0,0' Л\ти(х,у,г))] = С .

Аналогичные результаты получены и в случае, когда второе уравнение (12) является главным, первое и третье уравнения являются вспомогательными, а также, когда третье уравнение (12) является главным, а первое и второе уравнения (12) являются вспомогательными.

В третьей главе в области £> = {(х, у): 0 < х < а, 0 < у < Ь) рассмат -ривается система уравнений вида:

Ы а(х,у) /,(х,у) Эх г2 г2 '

8Ц | Ь(х,у) и_/Л*>у) ду г2 г2

где г2=х2+у2, а{х,у), Ь{х,у), /;(х,у) (у = 1,2) - заданные функции в области О.

Основной целью настоящей главы является получение многообразия решений системы (31).

В первом параграфе третьей главы для системы (31) получено

следующее утверждение:

Теорема 5. Пусть в системе уравнений (31) а) функции а(х,у)еС(0),

Ь(х, у) е Сф) и в области О удовлетворяют следующим условиям совместности

аЛ J зЛ )

(32)

б) Функции /¿х, у), f2{x,y) удовлетворяют следующим условиям совместности:

в) Кроме того функции а{х,у), Ь(0,у) удовлетворяют следующим условиям типа Гельдера

|а{х, у) - а{0,0)| < Я, • г"1, Я, = const, ах > 1, (34)

|6(0,у)-6(0,0)|<Я2-/%Я2 = const,а2 > 1. (35)

г) Пусть функции /,(х,у) eC(D), /2(0,>-)еС(Г2) и при а(0,0)>0 /¡(0,0) = 0 со следующим асимптотическим поведением:

ехр

а(0,0) х ----- ■ arctg —

У У J

, «з > 1, при (х,у) -> (0,0),

(36)

а при 6(0,0) < 0, /2(0,0) = 0, имеет следующее асимптотическое поведение:

Л (О,у) = о

ехр

6(0,0) У

■У"4

, or4 > 1, при у -» 0.

(37)

Тогда любое решение системы уравнений (31) из класса С1 {О) представимо в виде

С/ (х, у) = ехр

у

\I

-<»,(*, У)--ага£-

У У

А Шй

+1 -£—;--ехр

5

6(0,0)

А и

•|ехр

г'+У

¿(0,0)

у

■(с,+

ехр

, „ о(0,0) Г

<°1 V, У) +-—

У ^

Л

когда (х, * (0,0) и при х=0,

6(0,0)'

и (0, у) = ехр

где

-а>2(0,у)-

-ехр

¿(0,0)

А

(39)

>,(х,у)= |

*га(Л>>)-а(0,0)

■А,

¿(0,5)-¿(0,0)

-л.

С, - произвольная постоянная.

Замечание 5. Если выполнены все условия теоремы 5, тогда решение вида (38) обладает следующим свойством:

Нт Нт и(х, у) ■ ехр

6(0,0) У

= С,.

Второй параграф третьей главы посвящен исследованию переопределенной системы (31), когда основным уравнением является второе уравнение. Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 6. Пусть в системе (31) а(х,у) е С01 Ь(х,у) е С(Ъ) и функции а(х,у), К®>У) удовлетворяют условиям типа Гельдера (34), (35).

Функции а(х,у), Ь(х,у), /х(х,у), /2(х,у) в области В удовлетворяют условиям совместности (32), (33).

Кроме того, требуем, чтобы /¡(х,у)еС(15), а при а(0,0)<0 выполнялось /¡(0,0) = 0 и функция ^(х,0) обладала следующим асимптотическим поведением:

~а(0,0)

/1(х,0) = о

ехр

»а5 > при х—>0.

Функция /2(х,у)еС(П) и при Ь(0,0) >0, /2(0,0) = 0 со следующим

асимптотическим поведением: ¿(0,0)

Л О >.У) = 0

ехр

у

аг—

х х.

,а6>1, при (х,у)-*(0,0). (41)

Тогда любое решение системы (31) из класса С1 (О) представимо в виде:

а(0,0)"

и(х,у) = ех р *г/(/.0)

+.гУ^ехр

п *

, ¿(0,0) у

-со, (х, у)---

х х

а(0,0) /

•|ехр

—&>, (х, 0) н

(С2 +

ехр

ч ¿(0,0) 5 со, {х, $) +-агс—

X X

(42)

когда (х, у) * (0,0) и при у = 0, а{ 0,0)

и(х,Щ = схр

-со1 (х, 0) + -

Щ',0)

•ехр

<7(0, 0)

Л

(43)

где со, (х, О) = Г 2 Ж, ®2 {х, у) = ]--г—з-с1я,

о ' * 5

С2 - произвольная постоянная.

Замечание 6. Если выполнены все условия теоремы 6, тогда решение (42) обладает следующим свойством:

Л Нг

Нт Нт£/0,.у)-ехр

у—>0 I х—*0

«( 0,0)

>

с2.

В четвертой главе в параллелепипеде 0.={{х,у,2):0<х<а,0<у<Ь,0<кс}, рассматривается система уравнений вида:

аи а(х, у, г)

дх 2 Г

ди Ь(х,у, г)

ду + 2 Г

ди с(х,у,г)

дг 2 Г

(44)

■ и = -

где /-2=д:2+/+22, а(х,у,г\ Ь{х,у,£), с(х,у,г), /;(х,у,2) (у = 1,2,3) -заданные

функции в области О.

Основной целью настоящей главы является получение многообразия решений системы (44) в явном виде, и изучение свойства полученных решений,

когда коэффициенты и правая часть связаны между собой определенным образом.

В первом параграфе четвертой главы рассматривается система (44), когда исходным уравнением является первое уравнение этой системы.

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение: Теорема 7. Пусть в системе уравнений (44) коэффициенты и правые части

удовлетворяют следующим условиям совместности: а) >

дЫх,у,:)\_ dfc(x,y,:)

5.Л г2 J аЛ г2

4 5 г — дх

(45)

(46)

d(b(0,y,z)\ aic(0„v,--))

(47)

дуУ у +z )

OZ\ у +Z )

б) Кроме того, функции a(x,y,z), b(0,y,z), c(0,0,z) в окрестности начала координат удовлетворяют следующим условиям типа Гельдера

I а(х, у, г) - а{ 0,0,0)| <Hrrr',H,= const, > 1, (51)

\b{0,y,z)-b{0,Q,G)\< Н2 - р? ,H2=const,y2>\ при Л2 = /+г2, (52) |c(0,0,z)-c(0,0,0)|<//3 ■zn ,НЪ = const,у3 >1. (53)

в) Функция fl(x,y,z)eC(n) и при а(0,0,0)>0, /(0,0,0) = 0 со следующим

(50)

асимптотическим поведением:

fx{x,y, z) = о[ехр

а(0,0,0) х ---arctg —

Р\ Л.

■гг'\уА > 1, при (х,у,:)^(0,0,0). (54)

г) Функция Л (О, О, г) є С(Г31) и при с(0,0,0)<0 /3(0Д0)-0 со следующим асимптотическим поведением:

~с(0,0,0)~

/З(0,0,г) = о[ехр

■:г'],у5 > 1, при г—>0.

(55)

д) Функция /2(0,у,2)еС(Пп)» при Ъ{0,0,0)<0, /2 (0,0,0)= О со следующим асимптотическим поведением:

/ДО = о[ехр

6(0,0,0) у ---агс^ —

' Р\' ]. Т<, > при (у, г)->(0,0).

(56)

Тогда любое решение системы (44) из класса С'(С2) представимо в виде

и (х,у,:) = ехр

а(0,0,0) *

(х, у,г )--1 ■ агс^ -

'Л

Ї /с.у.г)

•ехр

а(0,0,0) (/, >>, г) + , • аг

Л

(57)

где

<Рг (У,•) = е>=Р

ї КОЛО) , У

-ю, (0,г) —і-- • агсі£ -

2 г

•>/,(0,0,0

с

/2 (0,*,г)

•ехр

«і (0,0,0-

с (0,0,0)

С

2- 2 ЄХР

Ї + Г

,л , 6(0,0,0) , 5

а, (0,г) + -- ■ аг-

г г

ехр

¿С ] +

-й),(0,0,г) +

с(0,0,0)

(58)

-га(/,у,г)-а(0,0,0)

Л,

2(0 ,у,г)=[

¿(0,5, г) -6(0,0,0)

®3(0,0,г) = |

->с(0,0,С)-с(0,0,0)

С2

'¿С,

5

С, - произвольная постоянная.

Замечание 7. Если выполнены все условия теоремы 7, тогда решение вида (57),

обладает следующими свойствами:

1°. ПтЩх,у,=) = <р2(у,=).

с( 0,0,0)"

2°

Ііт! 1іт(ехр

г—»0 I у-»0

•1\іти(х,у,:)) ) = С,.

В этом параграфе получено следующее утверждение: Теорема 8. Пусть в системе (44): а) функции a{x,y,z), b{x,y,z), c(x,y,z), fj(x,y,z)(j= 1,2,3), b(0,y,z), c(0,y,z), f2(0,y,z), и f3(0,y,z) удовлетворяют условиям совместности теоремы 7.

б) Кроме того, функции a(x,y,z), b(0,y,z), c(0,y,z) удовлетворяют условиям типаГельдера (51), (52), и

|с(0, у, -) - с(0,0,0)| <НЛ-:У\НА = const, у7>\. (59)

в) Функция f¿x,y,:)<=.C(Q.) и при а(0,0,0) > 0, /,(0,0,0) = 0 удовлетворяет условию (54).

г) Функция /г(О,у,О) е С(Г21) и при Ь{0,0,0) <0, /2(0,0,0) = 0 соследующгш асимптотическим поведением:

"¿(0,0,0)"

/г (0,^,0) = о

ехр

■ У

ys > 1, при у о.

(60)

д) Функция f2(0,y,z)<=C(nn)unpu с(0,0,0)>0, /3(0,0,0)=0 со следующим асимптотическим поведением:

¿(0 ,y,z) = o

ехр

с(0,0,0) г ---arctg —

У У J

' Р\

Г9> 1,0, г) ->(0,0). (61)

Тогда любое решение системы уравнений (44) из класса С'(О) представимо в виде (57), где

<р2 (у, г) = ехр[—о3 (О, у, Z) - с(0'°'0) ■ arctg —] ■ | схр

У У [

■/,(0,5,0) г ,„ „. ¿(0,0,0),,-, s2 ■ ехр [а>2 (0,0)----] ds\ +

-сог (0,>>,0) +

6(0,0,0)

У

■íc2 + ¡-

О

i У2+С2

(62)

ехр

,„ с(0,0,0) С

°h (О, У, £) + ' arctg—

У У

л т гп„т ¿(0,0,0) , , 'сс(0,у,С)-с(0,0,0) где а>2(0,у,0) = I--2-ds, mi (0, у,:) = I -4 '

s о /+С2

С2 - произвольная постоянная.

Замечание 8. Если выполнены все условия теоремы 8, тогда решение вида (62) обладает следующими свойствами:

1°.

2°.

Нт и(х,у,г) = д>2(у,г).

х-М

Нт

г-<0

Нт

у-> О

ехр

¿(0,0,0) У

Нт и(х, у, г)

= С,.

Аналогичные результаты получены, когда второе уравнение в (44) является главным, первое и третье уравнения (44) являются вспомогательными, а также, когда третье уравнение (44) является главным, а первое и второе уравнения являются вспомогательными.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям - академику АН РТ, доктору физ-мат. наук, профессору Н. Раджабову и кандидату физ-мат. наук, доценту Ф. М. Шамсуддинову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Литература

1. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярными коэффициентами // Материалы международной конференции «Математическое моделирование и компьютерные эксперименты» ЬСММСЕ, 2000. Душанбе 2000.-С. 35.

2. Иззатуллоев Д. Об одной переопределенной системе уравнений первого порядка со сверхсингулярными точками // Материалы Республиканской молодежной научной конференции «Ч,авонон ва чахдани дониш», Душанбе 2000.-С.60-61.

3. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы уравнения первого порядка с сингулярной точкой \\ Ирфон. Сб. науч. ст. преподавателей. - Курган-Тюбе: 2000,-Вып. 1. -С. 60-65.

4. Иззатуллоев Д. Представление многообразия решений для одной переопределенной системы первого порядка со сверхсингулярной точкой // Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям. Душанбе. 2003.-С. 80.

5. Иззатуллоев Д. Представление многообразия решений для одной переопределенной системы первого порядка с одной граничной сингулярной точкой // Известия АН РТ. Серия естественных наук - Душанбе, 2009. №4 (137). - С.18-26 (соавтор Раджабов Н.).

6. Иззатуллоев Д. Представление многообразия решений для одной переопределенной системы первого порядка с одной граничной сингулярной точкой // Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук - Душанбе, 2010. №3 (59).-С.З-8 (соавтор Раджабов Н.).

7. Иззатуллоев Д. Представление многообразия решений для одной переопределенной системы первого порядка с одной граничной сингулярной точкой // Материалы международного Российско-Болгарского симпозиума.

"Уравнение смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик. 2010.-С. 198-200 (соавтор Раджабов Н.).

8. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярной точкой // Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук - Душанбе, 2011. №3 (67).- С. 6-10.

9. Иззатуллоев Д. Об одной переопределенной системе уравнений первого порядка с сингулярной точкой // Материалы республиканской научной конференции «Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения». Душанбе, ТГНУ, 23-24 июня 2011,- С. 40-43.

Ю.Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы уравнений первого порядка с сингулярной точкой // Материалы республиканской научной конференции. «Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения». Душанбе, ТГНУ, 23-24 июня 2011,- С. 129-134 (соавтор Шамсуддинов Ф.М.).

Сдано в печать 10. 01. 2012. Подписано в печать 11. 01. 2012.

Гарнитура Times New Roman Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60/84. Тираж 100 экз. Заказ №83.

Отпечатано в полиграфии «Графика»

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.

§1.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы.

§ 1.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы.

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.

§2.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^ ].

§ 2.2. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение системы (1.48).

§2.3. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение системы (1.48).

§ 2.4. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределеннойсистемедвухуравненийвобласти^21.•

§2.5. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^31.

ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДВУХ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.

§3.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы

§3.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение

ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ, ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

§4.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^ц.

§4.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системы двух уравнений в области

§ 4.3. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^31. рассматриваемой системы

Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами связана с именами Якоби, и др. Одним из первых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены, является система в полных дифференциалах.

Простейшей переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных можно считать систему

Ux=P(x,y), Uy=Q(x,y), где условие Py = Qx является необходимым и достаточным для разрешимости этой системы. При его выполнении dU = Р(х, y)dx + Q(x, y)dy является полным дифференциалом, и функция U(x,y) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и n-мерном случаях.

Академиком АН РТ Л.Г. Михайловым положено начало изучения некоторых систем в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка [1], [2], [26].

Монография Н.Раджабова, академика АН РТ [13] посвящена получению многообразия решений, исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго —порядка и некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка и с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками. Методы нахождение решений в данной монографии, разработанные для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются и для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами.

В 1994 году профессором Э. Рузметовым была опубликована монография "Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных". В данной работе получены интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и точкой.

Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами изучены в работах Л.Г. Михайлова, М.В. Коровина, Н. Раджабова, Э. Рузметова, Р. Пирова, Б. Шарипова, Ф.М. Шамсуддинова и других авторах.

В основном большинство имеющиеся работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с регулярными коэффициентами, а также сингулярными линиями на плоскости.

Некоторые работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой на плоскости.

Что касается многомерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными областями, а также с сингулярной точкой, кроме отдельных случаев мало изучены. В связи с^ ^зтим являетсяактуальнойпроблема получения многообразия решений и исследование задачи с начальными данными для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в двумерном и многомерном случаях.

Настоящая диссертационная работа посвящена данной проблеме. В работе изучается переопределенная система двух и трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в сингулярном и сверхсингулярном случае, когда коэффициенты уравнений в рассматриваемых системах в сингулярной точке необращается в нуль.

Во введении дан краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обоснован актуальность темы и изложены основные результаты диссертации.

Основной целью настоящей диссертации является получение многообразия решений и изучение свойств полученных решений переопределенных линейных систем двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Настоящая работа посвящена исследованию ранее неизученных двухмерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в прямоугольнике.

Кроме того, исследована ранее неизученная переопределенная система трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в параллелепипеде, задача исследования которой сводится к исследованию переопределенных систем двух дифференциальных уравнений с сингулярной и сверхсингулярной точкой.

Методика исследования.

В диссертации применены современные методы, исследований разработанные для изучения переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также метод интегральных представлений для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется ранее не изученные переопределенные системы двух и трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы, при решении конкретных задач в механике и физике.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором

Н. Раджабовым "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных" при кафедре математического анализа и теории функций Таджикского Национального университета. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Хабез, 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка и изложена на 108 страницах.

1. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986г. - 116с.

2. Михайлов Л.Г. Об одном свойстве сингулярных дифференциальных уравнений. //ДАН России, 1991г, т. 321, №4. С. 681-686.

3. Михайлов Л.Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками. //ДАН России, 1992г, т. 322, №4. С. 646-650.

4. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, 4.1, 1980г. 126с., ч. 2, 1981. - 170с., ч.З. 1982г. - 170с.

5. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, ч. 4, 1985г. 148 с.

6. Раджабов Н. Линейные гиперболические системы второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Дифференциальные уравнения и оптимальные управления: Тез. докладов Всесоюзной конференции. Ашхабад, 1990г., 4-6 октябрь. С. 109-110.

7. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи длянекоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярнымилиниями. //Док. АьТсССРЛ985г7тГ2^МГ^Г534-539:--------------

8. Раджабов Н. Об одном методе представления многообразия решений общего линейного гиперболического уравнения второго порядка с регулярными с сингулярными коэффициентами на плоскости. //Изв. АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат., хим.геол.наук, 1984г., №4. С. 8-14.

9. Раджабов Н. О дифференциальных уравнениях со сверхсингулярными коэффициентами. //Тез. докладов всесоюзн. конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. 28-30 сент., ч. 3, Душанбе, 1987г. С. 70-71.

10. Раджабов Н. Об одном классе линейных гиперболических уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Докл. АН Тадж. ССР, 1988г., т. 31, № 20. С. 830-834.

11. Раджабов Н. К теории одного класса линейных гиперболических уравнений с двумя сверхсингулярными линиями. //Док. АН Тадж. ССР, 1989г., т. 32, № 9. С. 573-577.

12. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. (Учебное пособие по спецкурсу), Душанбе, 1992г. 236с.

13. Rajabov N. Linear hyperbolic equations with two super singular lines. //Integral equations and boundary value problems. (Beijing, China 2-7 September, 1990). World scientific. Singapore, New Jersey London - Hong Kong. - p. 170-175.

14. Rajabov N. Many-Dimensional linear hyperbolic equations with super singular coefficients. //International Conference on Applied Mathematics, Tehran, Iran, June 18-20, 1991. p. 56-58.

15. Rajabov N. An Introduction to the theory of partial differential equations with super-singular coefficients. Tehran University publishers, Tehran, 1997. 230p.

16. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equations with supersingular coefficients. Dushanbe, 1988. 160p.

17. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе, 1994г. 241с.

18. Пиров Р. О некоторых линейных системах трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя неизвестными функциями. //Докл. АН Тадж. ССР, 1982г., т.25, №1. -С. 10-14.

19. Раджабов Н., Мирзоев Н. К теории одного класса линейных переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка с внутренней особой линией и особой точкой. //Вестник Национального Университета, серия математика, Душанбе, 2004г. -С. 84-101.

20. Михайлов Л. Г. ДАН России, 1997г., т. 354, №1.

21. Михайлов Л. Г. ДАН России, 2002г., т. 384, №6.

22. Михайлов Л. Г. ДАН России, 2004г., т. 398, №2.

23. Шарипов Б. Формула представления решений одного класса ^системы----уравнений в полных дифференциалах. //ДГПУ, вып. 1, 1991г.-С.188-193.

24. Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системе второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Материалы международной-научной конференции. Казань, Изд-во Казанского математического общества. 2004г.-С. 109-110.

25. Иззатуллоев Д., Шамсуддинов Ф. Краевые задачи для одного эллиптического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами. //Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами". Душанбе, 1996. С. 96.

26. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярными коэффициентами. //"Вестник педагогического университета", №5, ч. 2. Душанбе.-199-9г.^С. 7,

27. Иззатуллоев Д., Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системе уравнений первого порядка со сверхсингулярными точками. //Материалы республиканской молодёжной научной конференцииЧ,авонон ва ч,ах,они дониш", Душанбе. 2000. С. 60-61.

28. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы уравнения первого порядка с сингулярной точкой. //"Ирфон". Сб. науч. ст. преподавателей. Курган-Тюбе. 2000. -Вып. 1.-С. 60-65.

29. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка со сверхсингулярной точкой. //Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям. Душанбе, 2003. -С. 80.

30. Раджабов Н., Иззатуллоев Д. Представление многообразия решений для одной переопределенной системы первого порядка с однойсграничной сингулярной точкой. //Известия АН РТ. Серия естественных наук Душанбе, 2009. № 4(137). - С. 18-26.

31. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярной точкой. //Вестник Таджикского национального университета". Серия естественных наук Душанбе, 2011. №3 (67). - С. 6-10.

32. Иззатуллоев Д. Об одной переопределенной системы уравненийпервого порядка с сингулярной точкой //Материалы республиканской научной конференции "Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения". Душанбе, ТГНУ, 23-24 июня 2011. С.

33. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы второго порядка с особенностью. //Материалы "Тринадцатой международной конференции имени академика М. Кравчука". Киев. 2010. С. 443.

34. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы с сингулярной точкой. //Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Душанбе. 2000г. С. 115.

35. Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системы со сверх сингулярными коэффициентами. //Материалы международной конференции по математическому моделирование и вычислительному эксперименту. Душанбе. 2002г. С. 53-55.

36. Шамсуддинов Ф . Об однойНереопределенной системы второго порядка со сверхсингулярной точкой. //"Материалы международной конференции имени академика М. Кравчука". Киев. 2004. С. 280-281.

37. Шамсуддинов Ф. Об одном гиперболическом уравнении второго порядка со сверх сингулярными коэффициентами. //Доклады АН Украины. 2004. №4. С. 7-12.

38. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы с сингулярными коэффициентами. //Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского". Т-25. Казань. 2004. С. 283-284.40.43.