Задачи управляемости для нелинейных уравнений переноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хамди Набил

ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПЕРЕНОСА

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени ' кандидата физико-математических наук

I

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сухинин М.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Прилепко А.И.

кандидат физико-математических наук,

доцент

Тихонов И.В.

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт (Технический Университет).

Защита диссертации состоится «26» февраля 2004 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212 203.04 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан "Я " ЯМ ¿яр »г 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцентКуценко ИЛ.

2006-4 fV76

w SPS

i

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, приобрели особенную популярность в последнее время в связи с возросшей возможностью их численного решения па современной вычислительной технике, хотя потребность в решении этих задач была и раньше, и теоретические исследования на эту тему ведутся уже не одно десятилетие. В диссертации доказана теорема о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным и интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости.

Вот далеко неполный список математиков, занимавшихся этими проблемами : Прилепко А.И., Иванков А.Л., Орловский Д.Г., Волков Н.П., Султангазин У.М., Тихонов И.В., Kaper H.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J., Greiner G., Voigt J.

Цель работы

1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое яо норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных.

2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интеграль-

рск • f

"и'.ЬНАЯ • КА jpr

2006 I*'

ным переопределением, которую можно трактовать как задачу, состоящую в поддержании режима, при котором заданный функционал, значение которого является результатом измерения в текущий момент времени некоторой характеристики (физической, химической или еще какой-нибудь), принимал в каждый момент времени заранее заданное (малое по норме) предписанное значение, зависящее от времени, а управлением является множитель в правой части уравнения, зависящий так же только от времени.

Научная новизна работы

Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Lp, 2 < р < оо и в случае пространств Ьж с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Lp, 2 ^ р < оо и в случае пространств Д» с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

Приложение.

Диссертация носит теоретический характер.

Апробация работы

Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (руководители: д.ф.-м.н. проф. М.Ф. Сухинин, д.ф.-м.н. проф. A.B. Фамин-ский, к.ф.-м.н. доц. М.Е. Боговский, к.ф.-м.н. доц. H.A. Шананин), и на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания Российского университета дружбы народов.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 155 страницах машинописного текста. Список литературы включает 39 источников.

Используемая в автореферате нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

Краткое содержание диссертации

В главе Общие сведения приведены некоторые определения и теоремы, которые понадобятся в дальнейшем.

Во Введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.

Глава 1. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением

В первой главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Ьр, 2 ^ р < оо, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей и базируется на построенной ранее проф. Прилепко А.И. и проф. Волковым Н.П. линейной теории как прямых, так и обратных задач, связанных с уравнением переноса. Сначала получен чисто локальный результат (без уточнения размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения) с помощью удобного приема двукратного применения обычной теоремы об обратной функции. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью Леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинииа на эту тему) и с использованием обозначений из первой части получены достаточные условия на размере окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. Аналогичную зада-

чу (с уточнением размера допустимой окрестности) для квазилинейного уравнения теплопроводности исследовал Акпата Э. в своей кандидатской диссертации (РУДН, 1999), а для одной нелинейной гиперболической задачи — Дьедоне А. так же в кандидатской диссертации (РУДН, 2002). Однако для уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Ьр, 2 < р < оо, не удается провести подобную схему, если к линейному уравнению переноса добавить квазилинейный член типа оператора суперпозиции от неизвестной функции, как это сделано в диссертации Акпаты для уравнения теплопроводности и Ампини для гиперболической задачи, поскольку оператор суперпозиции в Ьр, как известно, не дифференцируем по Фреше ни в одной точке, если только задающая его функция не является аффинной. Поэтому в качестве нелинейной добавки используется оператор Гаммерштейна, т.е. нелинейный интегральный оператор специального вида. Пусть а:1->К,аб С2 (К), причем

Нгокед,

И«)| < Сх, в»(0) = 0, (1)

|а"(«)КС2.

Далее, <Э(ж, и, а/, и', £) непрерывна на <5 х У х <5 х V" х [0, Т] и 2 ^ р < оо.

Введем оператор 3: НР(В) -> т

[5(и)](«,М) = / / С}(х,у,х',1/,г)а(и(х',1/,1?))<1х'<1у'(Н', Б = С х

0 ОхУ

V х (0,Т), где область С С К" строго выпукла, а ограниченное замкнутое множество V содержится в шаровом слое 6 К" : 0 < ^ |г>| ^ < оо}. Яр(£>) = {и е £„(£>) : ии(у,Ч)и е ¿р(£>),и|Г_ € Ьр{Г_)}, где Г_ — 7_ х [0,Т] и 7_ = {(ж,«) е дв х V : (у,пх) < 0}, а пх — внешняя нормаль к границе <9(7 области (3 в точке х. Ь^^И, ЬР(У)) - пространство классов существенно ограниченных функций на £> со значениями в ЬР(У). И^(1>) = € £р(£>) : Ц € Ьр(1>)} и

НР(С х V) = У е ЬР(С х V) : («, V)*» € ЬР(С х V), <р\п_ € Ьр(7_)}.

Я = {tt € HP(D)\ 3F £ Wp(D) : и - решение прямой линейной задачи}.

Теорема 1.1.2.5. Пусть е L^D), \£(x,v,T)\ > Ео >

О, (x,v) € G х V; J,Jt € ЬЖ(В х V); g,gt € х V,Lp(0,T)), v,T)\>go> 0; ф, (v, Ч)ф e LP(G x V), e Lp{7_); tfdiamG < а, и выполнено условие ф(х, v) ~ 0 при (аг, г») € 7_. Тогда задана

щ(х, V, г) + (г>, V)u (х, и, t) + V, t)u(x, v, t) + S(u( x, v, t)) =

= j J(x, г/, t, v)u(x, v', t) dv' + F(x, v, t), (x, v,t) € D, (2) v

u(x, v, t) = 0, (x, V, t) 6 7_ x [0, Г], (3)

u(x, v, 0) = 0, (i,»)£GxV, (4)

u{x,v,T) = ф{х,ь), (x,v) eGxV, (5)

F(x,v,t) = f{x,v)g(x,v,t), (6)

где f — искомая, ag — априори заданная функция, имеет единственное решение (и, /) в окрестности нуля в H(D) х LP{G х V) при достаточно малых по норме ф 6 hp(G х V).

Для дальнейшего нам понадобятся следующие обозначения: Положим Сх->у — наименьшая константа вложения X в Y.

Положим Lu = ttj + (w, V) u + « _ / Jttdt/, где L : Я

у

— изометрический изоморфизм Я на Wp(D). Оператор 5 строго дифференцируем на HP(D). Ui и У] открытые окрестности нуля в Я и Wp(D) соответственно. Оператор £ : и м- Lu + £(«) осуществляет диффеоморфизм [/] на Vi класса С1. При этом оператор Т) = : Vj -> i/j строго дифференцируем на Vi как отображение в Я и, следовательно, в Яр(£). Оператор Р : LP(G х V) -> Я(£>), x(x,v) Р(х) =

т](х(х, v)g(x, V, {)/д(х, V, Г)) строго дифференцируем по Фреше в окрестности нуля У2 из ¿Р(С? х V), где х(х)у) — /(ж, г») д(х,ь,Т). Введем оператор

щх)=- см),и - (», ^х^х))],^ - ад) |(_т.+

V '

+

v

V '

(8)

где P^Ojx — решение прямой линейной задачи с правой частью F(x,v,t) = х(х, v)g(x, v, t)/д(х, v, Т). Подставив в (2) из (5) и

F = х(х, v)g(x> vi t)/<?(£> vi Т), приходим к уравнению М{х) = ip(x,v). U* и V* — окрестности нуля в LP{G х V) и hp(G х V) соответственно. Оператор М : х Ф ~ диффеоморфизм класса С1. Поэтому

VV>GK3!xeC/, : М(х) — Ф-

В § 1.2 1 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи Lu + S(u) = F. Положим Uh и LUg — Uyvt(D) — открытый единичный шар в Я и Wp(D) соответственно. Используя уточненную теорему об обратной функции, получим следующую теорему:

Теорема 1.2.1.6. Пусть в (г) = СяСц^Ьр(2вх(г) + С2г),

вг (г) ~ sup Iff \а'(и + вК){х, v, t) l^1 dx dv dt dfl) . (9)

\J J J

||«+М1я«г 00

Положим ш(г) = г-СдСя-^,, /(201 сИ и г, - корень уравнения

о

1 - 0(г) = 0. ( Если в(г) < 1, У г > 0, то г, = оо).

Тогда Уг € [0, г»[ V€ Цг) И1Н 3! и е г£/я : Ьи + 5(«) - Р.

В § 1.2.2. исследуются оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи Ь~1Г + К(Р) — и. Заметим, что 11ьи — ¿^й и Ь~х1}ш — Ун- Пусть г1 = ш(г), тогда г = ы_1(г'). Используя уточненную теорему об обратной функции, получим следующую теорему:

Теорема 1.2.2.7. Пусть в(ш~1(г')) = С0Са^ьр[2в1(ш~1(г')) +

Са^-ЧгО],

^(ы-г(г')) = вир (

ИчЮЬгв'-'С) V// /

Ц^Р+Д^Ия«--1^) 00

(10)

а)(г') = г' - / - 0(ы_1(<)))] <Й, а/(г) из теоремы 1.2.1.6.

и г, — корень уравнения 1 — 2в(ш~1(г')) — 0. (Если 0(ш~1(г')) < Уг' ^ О, то г^ = оо).

Тогда V/ € [0, <[ V« € Со (г') 3! Р € г'Уья + К(Р) =

Результаты § 1.2.1 и § 1.2.2 носят вспомогательный характер для § 1.2.3 — основного результата первой главьт. Определим следующие операторы:

Лх : ¿Р(С XV)-»' ЬН,

X ^ Х(х, у)д(х, V, Ь)/д(х, V, Т), (11)

Л2 : Я ЬР(Д),

иь+и^х,«,*), (12)

Л3 : Н X V),

ии и(х,ь,Т). (13)

Имеем Mix) = ¿Х+ФЫ), где А = М'(0), ф{х) = М{%) - М'(0)х. Положим AUhp(GxV) и Ulp(GxV) — единичный шар в Ahp(G хУ)и LP(G х V) соответственно. Заметим, что ||x|U>(CxV)< f 1№)||я< t^_1(||Ai||f:). С другой стороны, имеем J € L^D х У). Тогда

fj{j (Р'(О) - РЧх + dv'

t=T

н

(«, V) — линейно непрерывный оператор из Я в Ьр(0), т.е. ||(г>, У)||< Су, и ||Е(г, V, Ст.- Используя уточненную теорему об обратной

функции, получим основную теорему.

Теорема 1.2.3.8. Пусть выполняются условия теоремы 1.1.2.5. и пусть

в (Я - ||,Я-1||11ЛП11|Лз11 ф-ЧМг))

где

ф'ЧИАгИг)) - Ся^д^аГЧИЛ^г)) + C*j~ ЧИМ?)),

^(аГЧМг)) =

■ 1

JI |а'(Р(х + sh)) dx dv dt ds

= sup

IIPWIIs^-'dlAill^) «^(х+^Ня^-ЧНл.Нг)

LO D

p-l/p

г

— r

^-inllMllMrilA Н+Г 4-С +11 f ^""'(HAilW)

И 11-^-[Цл2||+Су + Cjr +1] J

dt

и ft — корень уравнения 1 — 0, (если вф{г) < 1, Vf ^ 0, то

г, = сю).

Тогда Vf € [0,г,[ Уф € w^{f)AUhp{G^v) 3! х <= rULp(GxV) : М(Х) = ф(х, v).

Это означает, что рассматриваемая обратная задача однозначно разрешима для любой ф 6 и>ф(г,) AU^gxV), причем указана связь между нормой ф и нормой решения этой обратной задачи, т.е. множителя х в правой части нелинейного уравнения переноса, в соответствующих функциональных пространствах.

Глава 2. Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций

Во второй главе получен результат, аналогичный результату, полученному в первой главе, но в классе ограниченный функций, при этом ограничения на нелинейный слагаемый ослаблены. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного уравнения переноса в случае пространств Ьж с помощью двукратного применения обычной и уточненной теорем об обратной функции с использованием результатов проф. Прилепко А.И., Волкова Н.П. по линейной как прямой, так и обратной задаче.

Всюду в дальнейшем D, G, V, Г_, 7_, L, Р, x(x,v), М(х), А, ф(х), Аь Л2, Л3, Cj, Cv, СЕ, F, /, g, ф, UH, Uw^d), LUh, M'(0)

будут приняты предыдущие обозначения как в первой главе, но в соответствующих новых пространствах, т.е. при р — оо. Введены следующие пространства #«,(£>), W*JD), hx(G х V), Н.

В этом случае можно брать нелинейности типа оператора суперпозиции.

Пусть a:R-4R,a€ C^R), причем

/«(°) = 0' ,«4

l«'(o) = o. (15)

Введем оператор S : H^(D) -)■ [S(u)](a;,v,i) = a(u(x,v,t)).

Теорема 2.1.2.10. Пусть £,Et £ L^D), ^(а;,«,?1)! > E0 > 0, (x,e) € G x V; J,Jt в Loo^D x V); g,gt £ LJP), \g(x,v,T)\ ^ go > 0 при (x,v) £ G x V; ф, (v, V)^ 6 L^G x V), ф\у_ £ Ьоо(т-); v^diamG <b и выполнено условие ip(x,v) — 0 при (x,v) £ 7_. Тогда задача (2)-(б) где f — искомая, ад — априори заданная функция, имеет единственное решение (и,/) в окрестности нуля в H(D) х L^G х V) при достаточно малых по норме ф € h^G х V).

Результаты § 2.2.1и § 2.2.2 носят вспомогательный характер для § 2.2.3 — основного результата этой главы.

Теорема 2.2.3.13. Пусть выполняются условия теоремы 2.1.2.10. Далее, пусть (для удобства мы приведем все ранее полученные формулы)

а ГгУ- !Н-1|[11Л*1111Лз11 ф-ЧМг)) Г| , ,

^(IIAHIf)) = 01(^-1(ПЛ1Цг=)> + 01(^1(l|Aii|r))a;-1(||A1||f)+

+ ei(«-1(l|Ai||f)),

l

^(^-ЧЦЛхЦг)) = sup II f S'(P(x + sh)) ds ii^iu^-'diA.iw \\J

IIPix+Mlle^-'dlAillf) 0

1

h (w_1(||Ai||f)) = sup I f S"(P(x + sh)) ds

Loo(D)

L<x,(D)

^(огЧИЛгНг)) = sup

II^WIlH^-'dlAjllf) II^X+MII/^-'dlAillf)

S'(P{x + h))

LX[D)

r r

w(r) = r- J e(t) dt, = f - J вф{г) dt

о 0

urt является корнем уравнения 1—вф(г) = 0, (если вф(г) < 1, Vr ^ О, то г, = сю). Тогда

Vf € [0, г.[ Щ € u;^(f)AUhoo(GxV) З.'Х € fULco{GxV) : М{Х) - 4>{x,v).

Глава 3. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа

В третьей главе доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнепия принадлежит пространству Ьр, 2 ^ р < оо, по переопределениям интегрального типа, которую можно трактовать как задачу, состоящую в поддержании режима, при котором заданный функционал, значение которого является результатом измерения в текущий момент времени некоторой характеристики, принимал в каждый момент времени зараннее заданное (малое по норме) предписанное значение, зависящее от времени, а управлением является множитель в правой части уравнения, зависящий также только от времени. Используются результаты Орловского Д.Г. по линейной задаче. Основная идея доказательства состоит так же, как в предыдущей главе, в двукратном применении уточненной теоремы об обратной функции.

Введем слелующие обозначения. £) = <7 х V х (О,Т). Пусть в К3 заданы строго выпуклая ограниченная область С с гладкой границей <9(7 и замкнутая ограниченная область V. Г_ = 7_ х [0,7*] и 7_ = {(х,у) е

с

с)С? х V : (и, пх) < 0}, (7+ соответственно (г>, пх) > 0).

Ьи = щ + (и, V)« + Е« - У J(x, V, г/, г)и(х, <) сГг»', (16)

v

хр = с([0, т\-л ЬР{С X V)), гр = ¿р(с = ст^тЦ ^(о) = о},

Я = {и € Э ^ е Хр: « — решение линейной прямой задачи}. В качестве нелинейной добавки используется оператор Гаммерштейна. Пусть V : 1К -л Ж, V е С1 (К) и V1 — равномерно непрерывна на К, причем

'И«)|<СЪМ, И«)КС2, ./(о) = о.

Введем оператор £>(ы) : Хр -> Хр,

[5(и)](х, и, ¿) = У х', г7>(«(х',и', *)) .¿ж'Ж/,

бжУ

где (¿(х, V, х', у') непрерывна на С х V х (5 х V, (2 < р < оо). Теорема 3.1.2.15. Пусть выполняются следующие условия:

а) Е € Хр = С([0, Г], !>(<? х V));

б) оператор 3(£) : и(х,«) —> / ./(х, у, и7, <)«(х, г/) А/ удовлетворяет

V

условию: 3 £ С([0,Т];£(!„(£ х У))); с^ 1«, (и, V)«; € /у(С? х V), р' = р/р- 1, и)(х,у) = 0 при (х,г>) € 7+;

«У у е 2 = {<р е с^ММО) = о}.

Тогда задача

иДж, V, + («, У)и(х, V,«) + Е(х, и, V, ¿) + 5 (ы(х,=

= ! + (х,£ Б, ^

u(x, и, 0) = 0, х € (?, w£V, (18)

«(ж, и, t) = 0, (в, v, t) € 7- х [О, ¡Л, (19)

*•(*,»,«) = Ф(«,«,*)Р(<), (20)

где Ф — известная функция, а? - неизвестная,

J u(x, w, t)w{x, v)dxdv = f(t), (21)

GxV

имеет единственное решение (и, V) в окрестности нуля в Я х С[0, Т] при достаточно малых по норме <р € Z.

В пространстве LP(G х V) рассмотрим дифференциальный оператор Аи = —(v,V)u, с областью определения 2?(А) = {и € ¿¡,(<3 х V)|(u, V)« € LP(G х V), u(x,v) = 0 при (x,v) G 7-}. Определим операторы:

h(t) : LP{G xV)-+ LP(G X У), h(t)u = -£(•, •, t)u -f J(i)ti, (22)

*heC([0,T};C(Lp(GxV))).

L2{t) : R LP{G x V) ,

£2(0^ = (23)

и Ij e G([0,r];£(R,bp(G x F))) .

Введем функцию /(i) — /(•, -,i) и элемент шо = uo(-,-)• Гассмотрим функционал В : LP(G х У) Ж,

Ви = J u(x,v)w{x,v)dxdv, BeC(Lp(GxV), R) .

GxV

Заметим, что \Q\ ^ С, и существуют {7j и Vi — окрестности нуля в Я и Хр соответственно, что оператор £ : и ь* Lu + S(u) осуществляет диффеоморфизм Ui на Vj класса С1. При этом оператор т? — : Vi •->■ U\ строго дифференцируем на Vi как отображение в Я и, следовательно, в Хр. Оператор Р : С[Ъ,Т\ Я, Р(7>(-)) = v)) строго

дифференцируем по Фреше в окрестности нуля V¡ из С[0, Т\. Введем оператор

М (?()) = -B(v, V) [Р(Р(-))] (*, г;, i) + В (-Е [P(V(-))} (х, v, t)+ v

(24)

Заметим, что M(V(-)) строго дифференцируем в окрестности нуля и действует из С[0,Т\ в С[0,Т\ и M(V()) = в(р(7>())) = M'(0)V( ) = B(P'(0)V(-))t - непрерывно по i. Пусть г1 = w(r), тогда г = w'V). Положим А = М'{0), = М(Р(-)) - М'(0)Г(-).

Теперь сформулируем основной результат этой главы.

Теорема 3.2.3.18. Пусть выполняются условия теоремы 3.1.2.15.. Далее, пусть (для удобства, мы приведем все ранее полученные формулы)

0(f) = 1И~Т " 7 " т ";{(Сва + CBLl + Св), где

^.(«-»(ll^llf)) = C\fi{G х ,

e^iWHf)) =

iff p/p-1 \P-J/P

sup [II v'{P{T + sh))\Pdx'dv'ds) ||Р(Р)||н<и;-Ч||^1!г-) V J J 1 )

llPÍP+'Ollw^-'dl^llrl 0 °XV

=; - M-l wo» + + ед / ,

ш(г) — f( 1 - ev(t)) dt, uf, - корень у ранения 1 — §(f) — 0, (если о

0(f) < 1, Vf > 0, mo f, = oo).

Тогда Vf 6 [0,f,[ V<¿>' e ü(f)ÄUc[0,T\ 3! V <E ft/C[0>T] : M{V) - у/.

Глава 4. О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций

В четвертой главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса в случае пространств ЬПоложим СУ, V, Д

Г±, 7±) С{Х,У), А, ЩА), Ьх{1), ¿2(*), V, /(<), «О, В, В А, Ь, Р, Сва, СВь„ Св, Сх-*г, г/, г, ш{г), ш-1^), М(Т(-)), ф, А, А[/С10Л, как

в третьей главе, но в соответствующих новых пространствах, т.е. при р — оо. Введены следующие пространства." Х^,, У^,, г, н.

При использовании результатов Орловского Д.Г. по линейной обратной задаче получен результат, аналогичный результату, полученному в третьей главе, но в классе ограниченных функций, при этом ограничения на нелинейный слагаемый ослаблены.

Пусть V : Н ->• К, V € С2(Ж), причем

Введем оператор 5 : Хж -> Хж, — 1/(и(ж, «,£)).

Теорема 4.1.2.20. Пусть выполняются следующие условия:

Ь) оператор Л(£) : и(х^) —»■ / удовлетворяет

условию 3 £ С([0,Т];£(100(С? х V))); с) V), (у, € /^(С? х V), ги(х,у) = 0, (ж, и) е у+;

<1) ч> е 2 = {<р е СХ(0,Т]|^(0) = о}.

Тогда задача (17)-(21) имеет, единственное решение (и, "Р) в окрестности нуля в Н х С\О, Т] при достаточно малых по норме <р € 2.

(25)

а) £ е Хоо = С([0.Т},Ь«х>(С х V));

'оо

V

В § 4.2.1 и § 4.2.2 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи и, соответственно, в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи. Теперь сформулируем основной результат этой главы.

Теорема 4.2.3.23. Пусть выполняются условия теоремы 4-1-2.20. Далее, пусть (для удобства, мы приведем все ранее полученные формулы),

1

в^ш'^Ыг)) = вир 1[&{Р{Т + аК))*8

ПР^Ня^-ЧНМ*) II/

НРСР+йМя^ы-ЧИъв*) 0

и!(г) = / (1 — <Ы, нг, - корень уравнения 1 — в(г) — 0, (если в(г) < о

1, Мг > 0, то г* = оо). Тогда Уг е [0,г,[ V ^ е й(г)АиС[0,т]3\ Г 6 гиС[0,т\ ■ М{Т) = уЛ

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением. - М., 2003. - 30 С. - Рус. - Ден. в ВИНИТИ, 22.07.2003, Л* 1435-В2003.

(2] Хамди Н. Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций. - М., 2003. -28 С. - Рус. - Дел. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1434 В2003.

[3] Хамди Н. О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. - № 10(1). -С. 135.

[4] Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Вестник РУДН. Серия Математика, - 2003. - № 10(1). - С. 109.

[5] Хамди Н. Управляемость нелинейного уравнения переноса. // XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Тезисы докладов. Математические секции. 22-26 мая 2001 г. - М.: Изд. РУДН, 2001. - С. 23.

[6] Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением. // XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Тезисы докладов. Математические секции. 14-17 мая 2002 г. - М.: Изд. РУДН, 2002. - С. 25.

[7] Хамди Н. Локальная разрешимость нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением. // XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Тезисы докладов. Математические секции. 21-25 апреля 2003 г. - М.: Изд. РУДН, 2003. - С. 14.

Хамди Набил (Тунис) Задачи управляемости для нелинейных уравнений

переноса

В работе доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с финальным и с интегральным переопределением и уточняется допустимый размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы указанная обратная задача для уравнения переноса была однозначно разрешима. Полученные результаты можно применять для разрешения многих задач управляемости, в том числе, технических.

Hamdi Nabil (Tunisia) On the controllability problem of the nonlinear transport equation

In the thesis we provided the theorem on local controllability for a nonlinear transport equation with a final and integral redetermination. The sufficient conditions for a dimension of the environment from which we can take the function of the redetermination's condition of the inverse problem are obtained. The obtained outcomes allow to be used for the resolution of many problems of a controllability, including technical.

f

i

4

О/Ю/. -ОгОЗ

РНБ Русский фонд

2006-4 1376

Отпечатано в ООО «0ргсервис-2000»

Тираж 100 экз. Заказ № У6//?/- ^ Подписано в печать 9. 04,04 Москва, 115419, а/я 774, ул. Орджоникидзе, 3

Введение.

Общие сведения.

Глава 1 Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением.

1.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением.

1.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

1.1.2 Формулировка основного результата.

1.1.3 Строгая дифференцируемость оператора 5.

1.1.4 Завершение доказательства основного результата

1.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с терминальным переопределением

1.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

1.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

1.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 2 Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций.

2.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций.

2.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

2.1.2 Формулировка основного результата.

2.1.3 Строгая дифференцируемость оператора 5.

2.1.4 Завершение доказательства основного результата

2.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с терминальным переопределением в классе ограниченных функций.

2.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

2.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

2.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 3 Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа.

3.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением.

3.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

3.1.2 Формулировка основного результата.

3.1.3 Строгая дифференцируемость оператора «5.

3.1.4 Завершение доказательства основного результата. . . 104 3.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением

3.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

3.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

3.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 4 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций.

4.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций.

4.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

4.1.2 Формулировка основного результата.

4.1.3 Строгая дифференцируемость оператора S.

4.1.4 Завершение доказательства основного результата. . . 133 4.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций.

4.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

4.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

4.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи в классе ограниченных функций.

В диссертации исследуется локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным и с интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса. Эти задачи можно рассматривать как задачи управляемости, в которой управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных в случае финального переопределения и зависящий только от времени в случае интегрального переопределения.

Актуальность темы. Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связано, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с другой, не менее сложной, стороны. Во вторую очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические и др.) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью.

Диссертация посвящена одному из таких вопросов.

Изложение естественным образом разделено на четыре части.

В первой главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Аналогичный результат для линейной задачи получен ранее в работе [15,24]. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей. Сначала чисто локальный результат для этой же задачи переноса (без уточнения размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения) был получен с использованием обычной теоремы об обратной функции. Аналогичную задачу (с уточнением размера допустимой окрестности) для квазилинейного уравнения теплопроводности исследовал Акпата Э. в своей кандидатской диссертации [26,27]. Однако для уравнения переноса не удается провести подобную схему, если к линейному уравнению переноса добавить квазилинейный член типа оператора суперпозиции от неизвестной функции, как это сделано в диссертации Акпаты для уравнения теплопроводности. Поэтому в качестве нелинейной добавки используется нелинейный интегральный оператор специального вида.

Во второй главе получен результат, аналогичный результату, полученному в первой главе, но в классе ограниченных функций, при этом ограничения на нелинейное слагаемое ослаблены. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного уравнения переноса в классе ограниченных функций с помощью удобного приема двукратного применения обычной теоремы об обратной функции: в одном случае — для прямой задачи, а в другом — для обратной задачи с использованием результатов Прилепко А.И., Волкова Н.П. [15,24] по линейной обратной задаче. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит

Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина на эту тему). С использованием обозначений из первой части получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

В третьей главе доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с переопределением интегрального типа, которую можно трактовать как задачу управляемости. Аналогичный результат для линейной задачи получен ранее в работе Орловского Д.Г. [18]. В основе доказательства лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей задачи). Во второй части уточняется допустимый размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы указанная обратная задача для уравнения переноса была однозначно разрешима. Основная идея доказательства состоит, так же как в предыдущей главе, в двукратном применении уточненной теоремы об обратной функции.

В четвертой главе получен результат, аналогичный результату, полученному в третьей главе, но в классе ограниченных функций, и так же, как во второй главе, ограничения на нелинейное слагаемое ослаблены.

Изучение обратных задач для линейных уравнений переноса началось достаточно давно. Первые постановки этих задач можно найти в [1-3]. После этого появились работы, посвященные , например, вопросы единственности решения многомерных обратных задач для стационарного односко-ростного линейного уравнения переноса были изучены в работе [4]. Для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса ди я, v, t) -f (v, V)u(x, v, t) + £(ж, v, t)u(x, v, t) = eft J J(x, v, t, v')u{x, vt) dv' + F(x, v, t) , v теоремы существования и единственности решений обратных задач в классе функций, непрерывных вместе со своими производными ^ и (г>, V)u, dt получены в работах [5,6]. Аналогичные теоремы доказаны методом полугрупп в работе [7]. Ряд статей посвящен изучению обратных задач теории переноса в плоскопараллельной геометрии, а также для иных видов линейного кинетического уравнения. В [8] исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений обратных задач для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса с переопределением интегрального типа. При этом изучается также корректность постановки соответствующих прямых задач. Необходимо отметить, что исследование прямых задач для того или иного вида уравнения переноса проводились в многих работах (см., например, [9-14] и их библиографии). В [15] изуи чается управляемость некоторых систем с распределенными параметрами, описывающих процесс массопереноса, и рассматривается подход к задачам управления с точки зрения теории обратных задач математической физики. Получен ответ на вопрос об управляемости нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса (В.1)-(В.4) с финальным переопределением . щ(х, V, £) + (у, у, + Е(ж, V, у, £) = J ./(я, у\ у)и{х, г/, йу' 4- Р(х, у, , v х,у,г) <Е И = в х У х (0,Т), (В.1) V, г) = /х(ж, г>, ¿), (х, V, € 7- х [О, Т], где 7 = {(ж, v) е дв х У : (и, пх) < 0}, (В.2) и(х, у, £) = 1р(х, у), (гс, у) е <5 х У, (В.З) и(х,у^) = ф(х,у), (я, ?;) € <5 X У, (В.4) также исследованы нелинейные обратные задачи определения стационарной части коэффициента поглощения Е или индикатрисы рассеяния 3. Иначе, в предположении, что функции Е и 3 представимы в виде

Е(ж, у,£) = а(х, у, г)дх(ж, + Ы (х, у, £), 3(х, г/, г, V) = ¿{х, у)д2(х, уг;) + к2(х, у', у) , где а, 7 — искомые, а <71, <72 > ^ь — априори заданные функции; таким образом обратные задачи заключаются в определении пар функций {и, <т} или {и, .7*}, почти всюду удовлетворяющих условиям (В.1)-(В.4) (уравнения линейные, но обратная задача при такой постановке становится нелинейной). Для означенных задач доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений {и, а} или {и, У} этих обратных задач, которые могут трактоваться как нелинейные задачи управления из начального состояния (р(х, у) в стационарное состояние ф(х, г;) за конечное время Т.

Кроме вопроса управляемости процессом массопереноса Н.П. Волковым изучались некоторые проблемы из теории оптимального управления в задачах математической физики [16]. В частности, получен критерий оптимального управления источниками в некоторых процессах нестационарного переноса нейтронов [17] в [18].

Исследованию линейных уравнений переноса посвящено большое количество работ (см., например, [28-32] и их библиографии). Цель работы.

1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние, за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных.

2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, где управлением является множитель в правой части, зависящий только от времени.

Общая методика исследования. В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции, обычной и уточненной применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).

Были также использованы неравенство Гельдера , теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения, неравенство Мин-ковского, теорема Банаха, теоремы о следах, принцип сжимающих отображений, лемма Гронуолла, принцип Банаха о неподвижной точке, теория полугрупп, формула Ньютона-Лейбница.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением для случая

2 ^ р < оо и в классе ограниченных функций с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса для случая 2 ^ р < оо и в классе ограниченных функций с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

Приложение. Диссертация носит теоретический характер. Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания Российского университета дружбы народов и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (руководители: д.ф.-м.н., проф. М.Ф. Сухинин, д.ф.-м.н., проф. A.B. Фаминский, к.ф.-м.н., доц. М.Е. Боговский, к.ф.-м.н., доц. H.A. Шананин).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ [33-39].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы.

Глава 1. Проведено доказательство локальной однозначной разрешимости об ратной задачи с финальным переопределением для нелинейного урав нения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Ь

, 2 ^ р < со, с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопре деления, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно раз решима. В качестве нелинейной добавки используется оператор Гам мерштейна.Глава 2. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций и получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была од нозначно разрешима. В качестве нелинейной добавки используется оператор суперпозиций.Глава 3. Получена теорема о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса (в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Lp , 2 ^ р < со) и условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. В ка честве нелинейной добавки используется оператор Гаммерштейна.Глава 4. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопре деления. В качестве нелинейной добавки используется оператор су перпозиций.

1. Марчук ГЖ // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 156. - № 3. - С. 503-506.

2. Лаврентьев М.М, Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1969.

3. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса). // Мат. заметки, 1973. Т. 14. - № 5. - С. 755-767.

4. Аниконов Д.С. // Диф. уравнения, 1984. Т. 20. - № 5. - С. 817-824.

5. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса по переопределению в точке. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 1. - С. 109-119.

6. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. -№ 5. - С. 870-885.

7. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 4. - С. 694-701.

8. Прилепко А.И., Волков Н.П. Обратные задачи определения параметров нестационарного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Диф. уравнения, 1987. Т. 23. - 1. - С. 124-136.

9. Владимиров B.C. // Труды Математического института им. В.А. Стек-лова АН СССР, 1961. № 61.

10. Гермогенова Т.А. // Жур. вычисл. мат. и мат. физ., 1969. Т. 9. - № 3.- С. 605-625.

11. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. // Линейный анализ. М.: 1973.

12. Кузнецов Ю.А., Морозов С.Ф. // Диф. уравнения, 1972. Т. 8. - № 9.- С. 1639-1648.

13. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. Алма-Ата. 1979.

14. Iorgens К. // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1958. -V. 11. 2. P. 219-242.

15. Волков Н.П. Достаточные условия разрешимости некоторых обратных задач (задач управления) для процессов массопереноса // Обратныезадачи для математических моделей физических процессов. М.: МИФИ, 1991. - С. 16.

16. Волков Н.П. // Инж.-физ. Ж., 1985. Т. 49. - № 6. - С. 936-940.

17. Волков Н.П. Оптимальное управление источниками в некоторых процессах переноса нейтронов. // Теоретико-функциональные методы в задачах математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1986. - С. 22-26.

18. Орловский Д. Г. Решение одной обратной задачи для уравнения переноса с интегральным переопределением. М.: МИФИ, 1991. - С. 71-76.

19. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Функциональный анализ. М.: Наука, 1988.

20. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

21. Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд-во РУДН, 1992. - С. 300.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

23. Сухинин М. Ф. Теоретическая и математическая физика, 1995. Т. 103.- № 1. С. 23.

24. Прилепко А.И., Волков Н.П. // Диф. уравнения, 1988. Т. 24. - № 1.- С. 136-146.

25. Орловский Д. Г. Об одной обратной задаче для уравнения переноса. // Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1989. С. 68-73.

26. Лкпата Э. Управляемость в нелинейных параболических задачах: Дис. канд физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1999.

27. Сухинин М.Ф., Акпата Э. О задаче управляемости для квазилинейного уравнения теплопроводности // Вестник РУДН. серия Математика, 1996. № 3(1). - С. 119.

28. Kaper H.G., Lekkerkerker G. G., Heitmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel, 1982.

29. Greiner G. Spectral properties and asymptotic behavior of the linear transport équation // Math. Z, 1984. V. 185. - № 2. - P. 167-177.

30. Voigt J. Spectral properties of the neutron transport équation // J. Math. Anal. Appl, 1985. V. 106. - JO 1. - P. 140-153.

31. Волков H. П. Определение характеристик нестационарных процессов переноса по информации о финальном состоянии // Анализ математических моделей физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1988. - С. 11-19.

32. Тихонов И.В. Корректность обратной задачи с финальным переопределением для нестацинарного уравнения переноса // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн, 1995. № 1. - С. 56.

33. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением. М., 2003. - 30 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1435-В2003.

34. Хамди Н. Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций. М., 2003. - 28 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1434-В2003.

35. Хамди Н. О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в калссе ограниченных функций. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. № 10(1). - С. 135.

36. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. - № 10(1). - С. 109.