Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Абдел Басет Исмаил Ахмед АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
2009 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса»
 
Автореферат диссертации на тему "Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса"

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Абдел Басет Исмаил Ахмед

ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2009

003484274

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сухинин М.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Коньков A.A.

доктор физико-математических наук,

профессор

Никольский М.С.

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт. (Технический Университет).

Защита диссертации состоится «10» ноября 2009 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.б.

Автореферат разослан "_" октября 2009 г.

Учёный секретарь ----

диссертационного совета (

кандидат физико-математических наук, доцет-^^г^тоссовский Л.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, приобрели особенную популярность в последнее время в связи с возросшей возможностью их численного решения на современной вычислительной технике, хотя потребность в решении этих задач была и раньше, и теоретические исследования на эту тему ведутся уже не одно десятилетие. В диссертации доказана теорема о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости.

Вот далеко не полный список математиков, занимавшихся этими проблемами: Прилепко А.И., Иванков A.JL, Орловский Д.Г., Волков Н.П., Султангазин У.М., Тихонов И.В., Kaper H.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J., Greiner G., Voigt J.

Цель работы

1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи в случае финального переопределения для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением в одном случае является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных, а в другом случае множитель в индикатрисе рассеяния, зависящий также только от пространственных переменных.

2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние на выходящем потоке. При этом управлением в одном случае является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных, а в другом случае множитель в индикатрисе рассеяния, зависящий также только от пространственных переменных.

Научная новизна работы

Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением в случае, когда управлением является функция источников, принадлежащая пространству Ьр, и в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, принадлежащая пространству Ьр, при 2 < р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда управлением является функция источников, принадлежащая пространству Ьр, и в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, принадлежащая пространству Ьр, при 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

Приложение.

Диссертация носит теоретический характер.

Апробация работы

Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ под руководством академика Садовничего В.А. и профессора Прилепко А.И., на научном семинаре в МЭИ под руководством профессора Дубинского Ю.А., на научном семинаре в ИПМ под руководством профессора Масленникова М.В. и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора Скубачевского А.Л.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 3 печатные работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 167 страницах машинописного текста. Список литературы включает 45 источников.

Используемая в автореферате нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

Краткое содержание диссертации

В главе Общие сведения приведены некоторые определения и теоремы, которые понадобятся в дальнейшем.

Во Введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.

Глава 1. Обобщённые решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса

В первой главе доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение; такая модификация более удобна для некоторых нелинейных обратных задач по сравнению с обычным уравнением переноса. Прямые задачи для обычного уравнения переноса в различных видах и геометриях исследовались многими авторами, из большого числа работ отметим работы Гермогеновой Т.А., Шихова С.Б., Прилепко А.И., Волкова Н.П. и Тихонова И.В.

Теорема 1.2.0.4. Пусть X = HP(D),Y = W^{D);F,J,a е Y; ip € hp(G x V);(j, £ И^(Г_) и выполнено условие согласования <p(x,v) — fi(x,v, 0), при почти всех (х, v) G 7_. Тогда существует единственное обобщенное решение и € HP(D) задачи

ut(x, v, t) + (и, V)u(z, v, t) + ^(х, v, t)u(x, v, t) =

= J J(x,v',t,v)a(x,v\t)dv'+ F(x,v,t), (x,v,t) € D, (1) v

u(x, v, t) = nix, v, t), (x, v, t) e 7- X [0, T], (2)

u(x, v, 0) = <p(x, v), (x, v) e G x V, (3)

удовлетворяющее оценке устойчивости где m(V) - мера множества V.

Методом последовательных приближений доказано существование, единственность и устойчивость решения задачи (1) - (3). В дальнейшем

исследованы некоторые обратные задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в классе НР(В), с этой целью и была доказана теорема 1.2.0.4.

Глава 2. Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является функция источников

Во второй главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Ьр, 2 ^ р < ос, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей и базируется на построенной ранее проф. Прилепко А.И. и проф. Волковым Н.П. линейной теории как прямых, так и обратных задач, связанных с уравнением переноса. Сначала получен чисто локальный результат (без уточнения размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения) с помощью удобного приема двукратного применения обычной теоремы об обратной функции. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью Леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина на эту тему) и с использо-

ванием обозначений из первой части получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. Аналогичную задачу (с уточнением размера допустимой окрестности) для квазилинейного уравнения теплопроводности исследовал Акпата Э. в своей кандидатской диссертации (РУДН, 1999), а для одной нелинейной гиперболической задачи — Дьедоне А. так же в кандидатской диссертации (РУДН, 2002). Однако для уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Ьр, 2 ^ р < оо, не удается провести подобную схему, если к линейному уравнению переноса добавить квазилинейный член типа оператора суперпозиции от неизвестной функции, как это сделано в диссертации Акпаты для уравнения теплопроводности и Ампини для гиперболической задачи, поскольку оператор суперпозиции в Ьр, как известно, не дифференцируем по Фреше ни в одной точке, если только задающая его функция не является аффинной. Поэтому в качестве нелинейной добавки используется оператор Гаммерштейна, т.е. нелинейный интегральный оператор специального вида.

Пусть а : Е К, а е С2(Ж), причем

' |а(и)| ^ед,

< | а>ЖС15 а'(«)=0, (4)

Далее, <3(х, у, х', г/, 4) непрерывна на О х V х (5 х V х [0, Т] и 2 < р < оо.

Введем оператор 5: НР(Б) —> \¥р(0), т

[5(и)](х,г;,4) = / / <2{х,у,х',ь'^)а(и(х',у',?)) ¿х'¿у'М, Б = в х 0 вхУ

V х (0, Т), где область С С К" строго выпукла, а ограниченное замкнутое множество V содержится в шаровом слое {и € К" : 0 < уо ^ ^ у1 < оо}. Яр(£>) = {и е Ьр(0) : ии{у,Ч)и € Ьр(0),и\г_ € ¿Р(Г_)}, где Г_ = 7_ х [0,Т] и 7_ = {(х,и) € дй х V : (у,пх) < 0}, а пх — внешняя нормаль к границе дй области (3 в точке х. Ь^^Б, ЬР(У))

— пространство классов существенно ограниченных функций на D со значениями в LP(V). Wlp{D) = {F(x,v,t) G LP(D) : % G LP{D)} и /ip(G x V) = {</> G LP(G x V) : (v, V)<¿> G LP(G x V), € LP(7-)}-H — {u G HP(D)I 3F G Wp(D) : и — решение прямой линейной задачи}.

Теорема 2.1.4.7. Пусть G MD), lEfov.T)! > Ео >

О, (x,v) G G х V; J,Jt G Loo(-D x V); a,at G Loo(-D); 9,9t G ¿oo(G x K,Lp(0,T)), \g(x,v,T)\ > g0 > 0; V,KV)V G ¿P(G x V), V>|7_ G Lp(7_); v^diamG < а(см. Теорема 2.1.2.5.), и выполнено условие ф(х, v) = 0 при (х, v) G 7_. Тогда задача

ut(x,v,t) + (v,y)u(x,v,t) 4- '^{x,v>t)u(x,v,t) + [5(u)] (ж, и, í) =

= J J(x, v\ t, v)a(x, г/, t)dv' + F(x, v, t), (x, v, t) 6 D, (5) v

u(x, v, t) = 0, {x,v,t) G7- x [0,T], (6)

u(z, v, 0) = 0, (x, v) € G x V, (7)

u(x, v, T) = xp{x, v), (x, u) G G x V, (8)

F(x,v,t) = f(x,v)g(x,v,t), (9)

где f — искомая, a g — априори заданная функция, имеет единственное решение (и, /) в окрестности нуля в H(D) х LP(G х V) при достаточно малых по норме гр G hp{G х V).

В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения: положим Cx->y ~ наименьшая константа вложения x в y. Заметим, что если и ий- решения уравнений

ut(x, V, t) + (V, V) u(x, v, t) + v, t) u(x, v, t) =

= f J(x, v\ t, v) a(x, v', t) dv' + F(x, v, t), где (x, v, t) G D, v

и

üt(x, V, t) + (u, V) ü(x, V, í) + J2(x, V, í) ü(x, V, t) =

= f J(x, v', í, v) a(x, v', t) dv' + v, t), где (я, v, t) G £>, y

то, вычитая из первого уравнения второе, получим

щ(х, V, + (у, V) й(х, V, £) + V,Нх, ь> 1) — — Р(х, V, ¿) где (х, V, £) е Б,

F=F — Р, й = и — й, для упрощения вместо йиР будем писать ииР.

Положим Ьи = щ+(у, V) и, где Ь : Я —»У/р{Б) — изометрический изоморфизм Я на Оператор 5 строго дифференцируем на НР(Б). и У\ — открытые окрестности нуля в Я и соответственно. Оператор £ : и н-> Ьи + ■?(«) осуществляет диффеоморфизм 1}\ на \\ класса С1. При этом оператор т] = : V! —> 11\ строго дифференцируем на У\ как отображение в Я и, следовательно, в Нр(В). Оператор Р : ЬР(С XV)-» Я(О), хМ ~ Р(х) = (я,Г))

строго дифференцируем по Фреше в окрестности нуля V?, из х V), где х{х1= /(я,«) д(а;, г;, Т). Введем оператор

М(х) = \х- Их)), 1=т - №)(Р(х))

г=т

Г)

, (ю)

М'(0)х = х - (Р'(0)х)< (=т - («, V) (Р'(0)х)

(И)

где Р'(0)х — решение прямой линейной задачи с правой частью Р(х, = хС^,г», Т1). Подставив в (5) и|г=г из (8) и

Р = х(х, и)д(х, v, Ь)/д(х, v, Т), приходим к уравнению М(х) = -ф(х,у). и* и V", — окрестности нуля в ЬР(С х V) и х V) соответственно. Оператор М : X ^ Ф ~~ диффеоморфизм класса С1. Поэтому

КЭ!х€£/, : М{Х)=ф.

В § 2.2.1 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи Ьи + 5(и) = Р. Положим IIн

и Шн = £Дур'(г>) открытый единичный шар в Я и XV^{Б) соответственно. Используя уточненную теорему об обратной функции, получим следующую теорему:

Теорема 2.2.1.8. Пусть в(г) = СяСн^1р(2в1{г) + С2г),

6>1(г) = 8ир ([[\а'{и + вк)(х,у,г)\р/р~1(1х(1у(1г<1е) . (12) Ыи* Ш )

Положими(г) — г—CqCh-^l /(2#i(t)+C2t) dt иг* — корень уравнения

" о

1 - в(г) = 0. ( Если в(г) < 1, Vr > 0, то и = оо).

7Wa Vr € [0, r,[ V/1 £ u[r) LUH 3! it € rUH : Lu + S(tt) = F.

В § 2.2.2 исследуются оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи L~lF + K(F) = и. Заметим, что Ulh = LUh и L~1Ulh = Ujj. Пусть г' = w(r), тогда г = о;-1 (г'). Используя уточненную теорему об обратной функции, получим следующую теорему:

Теорема 2.2.2.9. Пусть ¿(uT^r')) = CQCH^Lp[2ei(w_1(r')) + ^(uTV)) = SUP ([[\a'(r](F+6AF))\p/p-1dxdvdtde)

||q(F+AF)\\H<u-4r') 0 D

(13)

w(r') = r' - /^(w~1(i))/(l - 6(w-1(i)))j dt, w(r) из теоремы 2.2.1.8.

и r't — корень уравнения 1 — 2в(и)~1(г')) = 0. (Если 0(ы_1(г')) < V г' ^ 0, то г^ = оо).

Тогда Vr' £ [0, Vu € й{г') L~xUlh 3! F € r'ULH : L~lF + K(F) = u.

Результаты § 2.2.1 и § 2.2.2 носят вспомогательный характер для § 2.2.3 — основного результата второй главы.

(15)

Определим следующие операторы: Лх : ¿„(С X V) -» ¿Я,

X ^ "Ж*. и, и, Т), Л2 : Я -> !>(£),

и > щ(х,у, £), Л3 : Я - ^(б х У),

иь» и(х,У,Т). (16)

Имеем М(х) = + где А = М'(0), ^(х) = М(х)-М'(0)х- Положим Ли^вхУ) и и^схУ) — единичный шар в Акр(С х V) и Ьр(С? х У) соответственно. Заметим, что Цх11ьр(СхУ)^ т =>• ||Р(х)||я^ ^ЧН^Цг)-С другой стороны, имеем (и, V) — линейный непрерывный оператор из Я в £„(£>), т.е. ||(и, У)||< Су, тогда 1

(«.V) У(Р'(0)-Р'(х + ^))Л^

1=Т

£

и ||Е(х,V,^Ц^ф)^ Се- Используя уточненную теорему об обратной функции, получим основную теорему.

Теорема 2.2.3.10. Пусть выполняются условия теоремы 2.1.4-7. и пусть

7-1н1|Л1||||Л3|| ¿(ы-ЧНЛхИг))

= И""Т

[||Л2||+СУ + 1],

где

в^-^ЦЛхНг)) = (2^1 (ш-1(||Л1||г)) + С2аГ1(||Л1||г~)),

^(^(ЦЛхЦг)) =

" 1

У11 а\Р(х + 5/1)) |р/(р-1) ¿х ¿v ¿1 ¿8

= вир И^ЮИн«""'«^!!?) ЦРСх+МИн^-МЦл,!!?)

.0 о

(р-1)/р

г

О

г

||д-1||1!м|м[||л2||+с^ + 1] /

1-6(^(11^110)

dt

о

иг, — корень уравнения 1 — 6^(г) = 0, (если в^(г) < 1, Vr > О, то г, = оо).

Тогда Vf 6 [0,f.[ V^ € 31 X е fULpiGxv) : М(х) -

•ф(х,у).

Это означает, что рассматриваемая обратная задача однозначно разрешима для любой ■ф € bJji,(ft) AUhp(GxV)> причем указана связь между нормой ф и нормой решения этой обратной задачи, т.е. множителя х в правой части нелинейного уравнения переноса, в соответствующих функциональных пространствах.

Глава 3. Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния

В третьей главе доказана локальная разрешимость обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, которую можно трактовать как задачу управляемости. Аналогичный результат линейной задачи для обычного уравнения переноса получен в работе Волкова Н.П. В основе доказательства лежат известные свойства решений линейных задач, а также с помощью модификации и двукратное применение обычной и уточненной теорем об обратной функции в соответствующих функциональных пространствах. Если й и й - решения уравнений

щ(х, v, t) + (v, V) й(х, v, t) + 52(х, v, t) й(х, v, t) =

= / J(x, v', t, v) а(х, v', t) dvf + F(x, v, t), где (x, v,t) e D v

и

щ(х, v, ¿) + (у, V) й(х, v, ¿) + V, I) v, Ь) =

= J </(:е, и', г;) и', £) ¿у' + Р(х, г», £), где (х, г», е к

То, вычитая из первого уравнения второе, получим

щ(х, и, £) + (у, V) и(х, у, £) + XXх! у, £) у, I) = = / ./(я, и', и) г/, £) ¿у' где (я,6 £>,

<7 = 7 — и = й — й.

Теорема 3.1.4.13. Яг/ть € ¿оо(-О), ">т)\ > Ео >

О, (я,«) е С х V; а,а( € ¿«,(1? х У); д,дг £ X У,1р(0,Т)),

\1д(х,у,Т,у')а(х,у\Т)(1у'\ > д2 > 0; ф,(у,У)ф € ЬР(С х У), е v

Ьр("/-); у^сИатпС < а, (см. условия теоремы 3.1.3.12.) и выполнено условие ф(х, у) = 0 при (х, у) 6 7-. Тогда задача

щ(х, У, г) + (и, V) и(х, V, ¿) + V, Ь) и(х, у, ¿) + [£(")] (х, у, £) = = / 7(ж, у', у) а(х, у', ¿) йу', где (х, у, £) €Е Д

(17)

«(г, и,«) = 0, (х, у, 0 € 7- х [0, Т], (18)

и(х, у, 0) = 0, (ж, у) € <5 х V, (19)

и(х, у, Т) = ф(х, у), (х, у) е С х V. (20)

j(x, у', у, г) = Лх.у) д(х, у', у, ь), (21)

где и и ] — неизвестные функции, а д, ф — априори заданные функции, которую можно рассматривать как задачу управляемости, а именно, перевести систему из и(х,у,0) = 0 в состояние и(х,у,Т) = ф(х,у) с помощью управления Лх,у), имеет единственное решение (и^) в окрестности нуля в Н(О) х Ьр(С х V) при достаточно малых по норме ф € /1Р(С х У).

Результаты § 3.2.1 и § 3.2.2 носят вспомогательный характер для §3.2.3 - основного результата этой главы.

Теорема 3.2.3.16. Пусть выполняются условия теоремы 3.1.4.13. Далее, пусть (для удобства, мы приведем все ранее полученные формулы) ... . .................................... . ..

где

1 - 0(w_1(|[Ai|[f))

ф-1(||Л1||г))=Ся^(201(о;-1(||А1||г))+С'2а;-1([|Л1||г)),

^(ЦЛ^г))

= sup ll^(x) II Jf (||Ai ||f) IIP^+AillH^-HllAjllf)

1

J J\a'{P{X +sh))\vl(p~l] dxdvdtds

.0 d

(P-l)/P

(r) = r - J 6(t) dt,bJ^(f) = f - J 9ф) dt =

о 0

Г11ЛН+Г 4-11 f ^"Wfl dt

и ft — корень уравнения 1 - — 0, если в^(г) < 1, Vr > 0, то г* = оо.

Тогда Vf е [0,f»[ Viр G wv,(f)i[/hp(GxV,) 3! х € fULp{GxV) : М(Х) = ip(x,v).

Глава 4. О задаче управляемости для нестационарного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке

В четвертой главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса когда

управлением является функция источников - в одном случае - и индикатриса рассеяния в другом. В случае когда управлением является функция источников

щ(х, V, £) + (г?, V) и(х, V, + V, и(х, V, £) + [5(и)] (х, V, Ь) = = F(x, V, г), где (х, V, Ь) е Д

= % + (у + € -У+ X [0, с+ — С-), (25)

Теорема 4.2.1.21. Пусть € Ь^Ц), |£(у+ <+,«, 01 >

£о >0, (у + «<+,М) € Г+; д,дг е ¿«,(6 х У,Ьр(0,Т)), \д(у + <+,«,01 > 9о > 0; <р,(у,Ю<Р е Ьр(в х V), /л е И*(Г_); I/ €

\¥р (Г+), Г± = 7± х [0, (+ — (-); Тьц1с1гатпС < а, и выполнено условие и(у + v£+,v,t) = 0 при (я, и) € 7-. Тогда задача (22) — (25) где / — искомая, ад— априори заданная функция, имеет единственное решение (и, /) в окрестности нуля в Н(О) х х V) при достаточно малых по норме V 6 1Ур(Г+).

В § 4.3.1 и § 4.3.2 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи и, соответственно, в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи. Теперь сформулируем основной результат этой главы.

Теорема 4.3.3.24. Пусть выполняются условия теоремы 4.2.1.21. Далее, пусть (для удобства, мы приведем все ранее полученные формулы)

и(х,и, 0) = 0, и(х, V, 0 = 0,

(22)

(х,ь)е0ху, (23)

(х,М)е7-х[0,С+-<-), (24)

(26)

Ш = 1Й-Ч1

1|Л1||||Лз1| аучи^Цг)) СЕ 1-0(0,-1(11^110)

[||Ла||+С* + 1]

где

¿(оГЧИЛ^г)) = Ся^Са(201(о,-1(||Л1|[г-)) +С2а,-1(||Л1||г)),

^(^(ЦЛгНг)) =

= вир

П^хМн^-ЧИЛ,!!?) ц^х+^Цн^-ЧЦЛ!!!?)

1

J11а'(Р(х + 8Н))\Р,(Р~1] ¡¡Х^<11<18 .0 д

(р-1)/р

г г

и (г) = г - у = г - I вф(*) М =

ГИАИ+Г +11 /• ^(НАхЩ))

иг, - корень уравнения 1 — = 0, если < 1, \/г > 0, то

г» = оо.

Тогда У г € [0,г,[ VI/ € <4,(Г)Л^И«(Г+) Э! х € гиЬг{СхУ) : М{Х) = + ^С+11)- Это означает, что рассматриваемая обратная задача однозначно разрешима для любой и £ причём указана

связь между нормой V и нормой решения этой обратной задачи, т.е. множителя х в правой части нелинейного модифицированного уравнения переноса, в соответствующих функциональных пространствах.

В случае когда управлением является индикатриса рассяения

щ(х, V, £) + (и, V) и(х, V, £) + V, £) и(х, V, г) + [Б(и)] (х, V, £) =

= / J(x, V, Ь, у')а(х, V1, ¡()с?г/, где (х, V, 4) £ Д V

(27)

и(х, V, 0) = 0, (х, и) € О х У, (28)

и{х,и,1) = 0, (х,М)е 7_х[0,С+-С-), (29)

+ (у + иС+.М) € 7+ х [0,с+ -С-), (30)

(31)

Теорема 4.4.1.26. Пусть £>£г 6 Ь^Я), |£(у + Ч+,М)| > Ео > °> (У + е Г+; а, аг € х V-); € ^((З х

У,Ьр(0,Т)), + »С+,М)1 > 50 > 0; ¥>,(«, € ЬР(С хУ),^ 1Ур(Г_); г/ е И^(Г+),Г± = 7± х [0,С+ - <-); < а, и выпол-

нено условие и {у + иС+>и) 0 = 0 пРи (х> у) £7- Тогда задача (27) — (30) где^ — искомая, ад — априори заданная функция, имеет единственное решение (и^) в окрестности нуля в Н(О) X Ьр((? х V) при достаточно малых по норме V € И/р(Г+).

В § 4.5.1 и § 4.5.2 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи и в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи соответственно. А в § 4.5.3 исследуются оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Абдел Басет Исмаил Ахмед. Задача управляемости для модифицированного уравнения переноса // М., 2008. 138 С. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 26.03.2008, № 252 В2008.

[2] Абдел Басет Исмаил Ахмед. Обобщённое решение прямой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса // Вестник РУДН. Серия Математика, информатика, физика - 2008. -№ 3. - С. 5 - 12.

[3] Абдел Басет Исмаил Ахмед. Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке // Вестник РУДН. Серия Математика, информатика, физика - 2008. - № 3. - С. 13 - 21.

Абдел Басет Исмаил Ахмед (Египет) Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса

В работе доказана локальная разрешимость обратных задач для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением и с переопределением на выходящем потоке и уточняется допустимый размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима. Полученные результаты можно применять для решения многих задач управляемости, в том числе, технических.

Abdel Baset Ismail Ahmed (Egypt) Problems of controllability for modified transport

equation

In the thesis we provided the theorem on local controllability for a linear and nonlinear system described by the modified transport equation with a final redetermination and redetermination in the output flow. The sufficient conditions for a dimension of the neighbourhood from which we can take a function of the redetermination's condition of the inverse problem are obtained, in which the inverse problem always has a unique solution. The obtained outcomes allow to be used for the resolution of many problems of a controllability, including technical.

Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная.

Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ №846

Типография ООО "ФЭД+", Москва, ул. Кедрова, д. 15. Тел. 774-26-96

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Абдел Басет Исмаил Ахмед

Введение.

Общие сведения.

Глава 1 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса.

1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

1.2 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса

Глава 2 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является функция источников.

2.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением.

2.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

2.1.2 Определение параметра линейного модифицированного уравнения переноса по информации о финальном состоянии процесса.

2.1.3 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением

2.1.4 Формулировка основного результата.

2.1.5 Строгая дифференцируемость оператора S.

2.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 47 2.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением

2.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

2.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

2.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 3 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния.

3.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением.

3.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

3.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса определения пары функций и и j.

3.1.3 задача управляемости для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением

3.1.4 Формулировка основного результата.

3.1.5 Строгая дифференцируемость оператора S.

3.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 79 3.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением

3.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи

3.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

3.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 4 О задаче управляемости для нестационарного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.1 Обобщенная разрешимость обратных задач для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.1.1 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и /.

4.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и j.

4.2 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является функция источников F.

4.2.1 Формулировка основного результата.

4.2.2 Строгая дифференцируемость оператора S.

4.2.3 Завершение доказательства основного результата

4.3 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.3.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

4.3.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

4.3.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

4.4 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния J. . 136 4.4.1 Формулировка основного результата.

4.4.2 Строгая дифференцируемость оператора S.

4.4.3 Завершение доказательства основного результата . . 140 4.5 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния J.

4.5.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

4.5.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

4.5.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса"

В диссертации исследуется локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Эти задачи можно рассматривать как задачи управляемости, в которой управлением является множитель в правой части или характеристики среды, зависящие только от пространственных переменных.

Актуальность темы. Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связано, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с другой, не менее сложной, стороны. Во вторую очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические и др.) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью.

Диссертация посвящена одному из таких вопросов.

Изложение естественным образом разделено на четыре части.

В первой главе Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение.

Во второй главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Аналогичный результат для линейной обычной задачи получен ранее в работе [15,24]. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей (см [26,27]).

В третьей главе получен результат, аналогичный результату, полученному во второй главе, но управлением является индикатриса рассеяния. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина. на эту тему). С использованием обозначений из первой части получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

В четвертой главе доказана локальная разрешимость обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости. В первой части доказана локальная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. Во второй части доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. В третьей части уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима. Основная идея доказательства состоит, так же как и в предыдущих главах, в двукратном применении уточненной теоремы об обратной функции.

Изучение обратных задач для линейных уравнений переноса началось достаточно давно. Первые постановки этих задач можно найти в [1-3]. После этого появились работы, посвященные, например, вопросам единственности решения многомерных обратных задач для стационарного од-носкоростного линейного уравнения переноса. Эти вопросы были изучены в работе [4]. Для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса

З'И (x,v,t) + (v,V)u(x,v,t) + H(x,v,t)u(x,v,t) = J J(x,v,t,v')u(x}v' ,t) dv' + F(x,v,t), У теоремы существования и единственности решений обратных задач в класди . л се функций, непрерывных вместе со своими производными — и (v, V)u,

С/ с получены в работах [5,6]. Аналогичные теоремы доказаны методом полугрупп в работе [7]. Ряд статей посвящен изучению обратных задач теории переноса в плоскопараллельной геометрии, а также для иных видов линейного кинетического уравнения. В [8] исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений обратных задач для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса с переопределением интегрального типа. При этом изучается также корректность постановки соответствующих прямых задач. Необходимо отметить, что исследование прямых задач для того или иного вида уравнения переноса проводились в многих работах (см., например, [9-14] и их библиографии). В [15] изучается управляемость некоторых систем с распределенными параметрами, описывающих процесс массопереноса, и рассматривается подход к задачам управления с точки зрения теории обратных задач математической физики. Получен ответ на вопрос об управляемости нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса (В.1)-(В.4) с финальным переопределением. щ(х, v, t) + (v, V)u(x, v, t) + E(x, v, t)u(x, v,t) = J J(x, г/, t, v)u(x, v', t) dv' + F(x, v, t), к

6 D = G x V x (0,Г), (B.l) i) — /i(a;, г»,t), (ж, г;, f) G 7 x [0, T], где 7 = {(ж, v) G <9G x У : (v, nx) < 0} , (B.2) u(x. v, t) = <p(x, v), (x,v)eGxV, (B-3) u(x, u, t) = 'Ф{х, v) , (я, к) € G x V , (B.4) также исследованы нелинейные обратные задачи определения стационарной части коэффициента поглощения Е или индикатрисы рассеяния J. Иначе, в предположении, что функции Е и J представимы в виде

Е(x,v,t) — a(x,v,t)gi{x,v,t) + h\(x,v,t), J(x, v', t, v) = j{x, v)g2(x, v', t, v) + h2(x, v', t, v), где a, j — искомые, a g\, g2 , h\, h2 — априори заданные функции; таким образом обратные задачи заключаются в определении пар функций {и, а} или {u,j}, почти всюду удовлетворяющих условиям (В.1)-(В.4) (уравнения линейные, но обратная задача при такой постановке становится нелинейной) . Для означенных задач доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений {и, сг} или {u,j} этих обратных задач, которые могут трактоваться как нелинейные задачи управления из начального состояния <p(x,v) в стационарное состояние ip(x,v) за конечное время Т.

Кроме вопроса управляемости процессом массопереноса Н.П Волковым изучались некоторые проблемы из теории оптимального управления в задачах математической физики [16]. В частности, получен критерий оптимального управления источниками в некоторых процессах нестационарного переноса нейтронов [17] в [18].

Исследованию линейных уравнений переноса посвящено большое количество работ (см., например, [28-32] и их библиографии). Цель работы.

1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние, за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является - в одном случае -функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.

2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, где управлением , является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.

Общая методика исследования. В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции, обычной и уточненной применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).

Были также использованы неравенство Гельдера , теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения, неравенство Мин-ковского, теорема Банаха, теоремы о следах, принцип сжимающих отображений, лемма Гронуолла, принцип Банаха о неподвижной точке, теория полугрупп, формула Ныотона-Лейбница.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для нелинейного модифицированного уравнения переноса для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

Приложение. Диссертация носит теоретический характер. Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ под руководством академика Садовни-чего В.А и профессора прилепко А.И., на научном семинаре а МЭИ под руководством профессора Дубинского Ю.А., на научном семинаре а ИПМ под руководством профессора Масленникова М.В. и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики иод руководством профессора Скубачевского А.Л.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 печатных работ [43 - 45].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы.

 
Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Основные результаты работы

Глава 1. Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой функцией из того же класса, что и решение.

Глава 2. Проведено доказательство локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением-для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения есть функция источников, принадлежащая пространству Lp , 2 ^ р < оо, с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. В качестве нелинейной добавки используется оператор Гам-мерштейна.

Глава 3. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния и получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

Глава 4. Получена теорема о локальной однозначной разрешимости обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния и уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима.

Заключение

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Абдел Басет Исмаил Ахмед, Москва

1. Марчук Т.П. // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 156. - № 3. - С. 503-506.

2. Лаврентьев М.М, Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1969.

3. Прилепко а.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса). // Мат. заметки, 1973. Т. 14. - № 5. - С. 755-767.

4. Аниконов Д.С. // Диф. уравнения, 1984. Т. 20. - № 5. - С. 817-824.

5. Прилепко А.И., Ивашов А.Л. Обратные задачи определения коэффициента и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса по переопределению в точке. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 1. - С. 109-119.

6. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. -№ 5. - С. 870-885.

7. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 4. - С. 694-701.

8. Прилепко А.И., Волков Н.П. Обратные задачи определения параметров нестационарного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Диф. уравнения, 1987. Т. 23. - № 1. - С. 124-136.

9. Владимиров B.C. // Труды Математического института им. В.А. Стек-лова АН СССР, 1961. № 61.

10. Гермогенова Т.А. // Жур. вычисл. мат. и мат. физ., 1969. Т. 9. - № 3.- С. 605-625.

11. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. // Линейный анализ. М.: 1973.

12. Кузнецов Ю.А., Морозов С.Ф. // Диф. уравнения, 1972. Т. 8. - № 9.- С. 1639-1648.

13. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. Алма-Ата. 1979.

14. Iorgens К. // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1958. -V. 11. 2. P. 219-242.

15. Волков Н.П. Достаточные условия разрешимости некоторых обратных задач (задач управления) для процессов массопереноса. // Обратныезадачи для математических моделей физических процессов. М.: МИФИ, 1991. - С. 16.

16. Волков Н.П. // Инж.-физ. Ж., 1985. Т. 49. - № 6. - С. 936-940.

17. Волков Н.П. Оптимальное управление источниками в некоторых процессах переноса нейтронов. // Теоретико-функциональные методы в задачах математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1986. - С. 22-26.

18. Орловский Д. Г. Решение одной обратной задачи для уравнения переноса с интегральным переопределением. М.: МИФИ, 1991. - С. 71-76.

19. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Функциональный анализ. М.: Наука, 1988.

20. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

21. Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд-во РУДН, 1992. - С. 300.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

23. Сухинин М.Ф. Теоретическая и математическая физика, 1995. Т. 103.- № 1. С. 23.

24. Прилепко А.И., Волков Н.П. // Диф. уравнения, 1988. Т. 24. - № 1.- С. 136-146.

25. Орловский Д. Г. Об одной обратной задаче для уравнения переноса. // Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1989. С. 68-73.

26. Акпата Э. Управляемость в нелинейных параболических задачах: Дис. канд физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1999.

27. Сухинин М. Ф., Акпата Э. О задаче управляемости для квазилинейного уравнения теплопроводности // Вестник РУДН. серия Математика, 1996. № 3(1). - С. 119.

28. Kaper E.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel, 1982.

29. Greiner G. Spectral properties and asymptotic behavior of the linear transport equation // Math. Z, 1984. V. 185. - № 2. - P. 167-177.

30. Voigt J. Spectral properties of the neutron transport equation // J. Math. Anal. Appl, 1985. V. 106. - № 1. - P. 140-153.

31. Волков Н.П. Определение характеристик нестационарных процессов переноса по информации о финальном состоянии // Анализ математических моделей физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1988. - С. 11-19.

32. Тихонов И. В. Корректность обратной задачи с финальным переопределением для нестационарного уравнения переноса // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн, 1995. № 1. - С. 56.

33. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением. М., 2003. - 30 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1435-В2003.

34. Хамди Н. Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций. М., 2003. - 28 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1434-В2003.

35. Хамди Н. О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. № 10(1). - С. 135.

36. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. - № 10(1). - С. 109.

37. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-JL: Изд-во ЛГУ, 1950, 256 С.

38. Хамди Я. Задачи управляемости для нелинейных уравнения переноса : Дис. канд Физ.-мат. наук М.: РУДН, 2004.

39. Волков Н.П. Обратные Задачи для нестационарного кинетического уравнения переноса с разрывными переменными : Дис. канд физ.-мат. наук,- М.: МГУ, 1986.

40. A6de.fi Васет Исмаил Ахмед Задача управляемости для модифицированного уравнения переноса. М., 2008. - 138 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 26.03.2008, № 252-В2008.

41. А бдел Васет, Исмаил Ахмед Обобщённое решение прямой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса. // Вестник

42. РУДН. Серия Математика, информатика, физика 2008. - № 3. - С. 5 - 12.

43. Абдел Басет Исмаил Ахмед Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке. // Вестник РУДН. Серия Математика, информатика, физика -2008. № 3. - С. 13-21.