Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Абдел Басет Исмаил Ахмед

ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2009

003484274

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сухинин М.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Коньков A.A.

доктор физико-математических наук,

профессор

Никольский М.С.

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт. (Технический Университет).

Защита диссертации состоится «10» ноября 2009 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.б.

Автореферат разослан "_" октября 2009 г.

Учёный секретарь ----

диссертационного совета (

кандидат физико-математических наук, доцет-^^г^тоссовский Л.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, приобрели особенную популярность в последнее время в связи с возросшей возможностью их численного решения на современной вычислительной технике, хотя потребность в решении этих задач была и раньше, и теоретические исследования на эту тему ведутся уже не одно десятилетие. В диссертации доказана теорема о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости.

Вот далеко не полный список математиков, занимавшихся этими проблемами: Прилепко А.И., Иванков A.JL, Орловский Д.Г., Волков Н.П., Султангазин У.М., Тихонов И.В., Kaper H.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J., Greiner G., Voigt J.

Цель работы

1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи в случае финального переопределения для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением в одном случае является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных, а в другом случае множитель в индикатрисе рассеяния, зависящий также только от пространственных переменных.

2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние на выходящем потоке. При этом управлением в одном случае является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных, а в другом случае множитель в индикатрисе рассеяния, зависящий также только от пространственных переменных.

Научная новизна работы

Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением в случае, когда управлением является функция источников, принадлежащая пространству Ьр, и в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, принадлежащая пространству Ьр, при 2 < р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда управлением является функция источников, принадлежащая пространству Ьр, и в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, принадлежащая пространству Ьр, при 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

Приложение.

Диссертация носит теоретический характер.

Апробация работы

Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ под руководством академика Садовничего В.А. и профессора Прилепко А.И., на научном семинаре в МЭИ под руководством профессора Дубинского Ю.А., на научном семинаре в ИПМ под руководством профессора Масленникова М.В. и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора Скубачевского А.Л.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 3 печатные работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 167 страницах машинописного текста. Список литературы включает 45 источников.

Используемая в автореферате нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

Краткое содержание диссертации

В главе Общие сведения приведены некоторые определения и теоремы, которые понадобятся в дальнейшем.

Во Введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.

Глава 1. Обобщённые решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса

В первой главе доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение; такая модификация более удобна для некоторых нелинейных обратных задач по сравнению с обычным уравнением переноса. Прямые задачи для обычного уравнения переноса в различных видах и геометриях исследовались многими авторами, из большого числа работ отметим работы Гермогеновой Т.А., Шихова С.Б., Прилепко А.И., Волкова Н.П. и Тихонова И.В.

Теорема 1.2.0.4. Пусть X = HP(D),Y = W^{D);F,J,a е Y; ip € hp(G x V);(j, £ И^(Г_) и выполнено условие согласования <p(x,v) — fi(x,v, 0), при почти всех (х, v) G 7_. Тогда существует единственное обобщенное решение и € HP(D) задачи

ut(x, v, t) + (и, V)u(z, v, t) + ^(х, v, t)u(x, v, t) =

= J J(x,v',t,v)a(x,v\t)dv'+ F(x,v,t), (x,v,t) € D, (1) v

u(x, v, t) = nix, v, t), (x, v, t) e 7- X [0, T], (2)

u(x, v, 0) = <p(x, v), (x, v) e G x V, (3)

удовлетворяющее оценке устойчивости где m(V) - мера множества V.

Методом последовательных приближений доказано существование, единственность и устойчивость решения задачи (1) - (3). В дальнейшем

исследованы некоторые обратные задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в классе НР(В), с этой целью и была доказана теорема 1.2.0.4.

Глава 2. Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является функция источников

Во второй главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Ьр, 2 ^ р < ос, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей и базируется на построенной ранее проф. Прилепко А.И. и проф. Волковым Н.П. линейной теории как прямых, так и обратных задач, связанных с уравнением переноса. Сначала получен чисто локальный результат (без уточнения размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения) с помощью удобного приема двукратного применения обычной теоремы об обратной функции. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью Леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина на эту тему) и с использо-

ванием обозначений из первой части получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. Аналогичную задачу (с уточнением размера допустимой окрестности) для квазилинейного уравнения теплопроводности исследовал Акпата Э. в своей кандидатской диссертации (РУДН, 1999), а для одной нелинейной гиперболической задачи — Дьедоне А. так же в кандидатской диссертации (РУДН, 2002). Однако для уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Ьр, 2 ^ р < оо, не удается провести подобную схему, если к линейному уравнению переноса добавить квазилинейный член типа оператора суперпозиции от неизвестной функции, как это сделано в диссертации Акпаты для уравнения теплопроводности и Ампини для гиперболической задачи, поскольку оператор суперпозиции в Ьр, как известно, не дифференцируем по Фреше ни в одной точке, если только задающая его функция не является аффинной. Поэтому в качестве нелинейной добавки используется оператор Гаммерштейна, т.е. нелинейный интегральный оператор специального вида.

Пусть а : Е К, а е С2(Ж), причем

' |а(и)| ^ед,

< | а>ЖС15 а'(«)=0, (4)

Далее, <3(х, у, х', г/, 4) непрерывна на О х V х (5 х V х [0, Т] и 2 < р < оо.

Введем оператор 5: НР(Б) —> \¥р(0), т

[5(и)](х,г;,4) = / / <2{х,у,х',ь'^)а(и(х',у',?)) ¿х'¿у'М, Б = в х 0 вхУ

V х (0, Т), где область С С К" строго выпукла, а ограниченное замкнутое множество V содержится в шаровом слое {и € К" : 0 < уо ^ ^ у1 < оо}. Яр(£>) = {и е Ьр(0) : ии{у,Ч)и € Ьр(0),и\г_ € ¿Р(Г_)}, где Г_ = 7_ х [0,Т] и 7_ = {(х,и) € дй х V : (у,пх) < 0}, а пх — внешняя нормаль к границе дй области (3 в точке х. Ь^^Б, ЬР(У))

— пространство классов существенно ограниченных функций на D со значениями в LP(V). Wlp{D) = {F(x,v,t) G LP(D) : % G LP{D)} и /ip(G x V) = {</> G LP(G x V) : (v, V)<¿> G LP(G x V), € LP(7-)}-H — {u G HP(D)I 3F G Wp(D) : и — решение прямой линейной задачи}.

Теорема 2.1.4.7. Пусть G MD), lEfov.T)! > Ео >

О, (x,v) G G х V; J,Jt G Loo(-D x V); a,at G Loo(-D); 9,9t G ¿oo(G x K,Lp(0,T)), \g(x,v,T)\ > g0 > 0; V,KV)V G ¿P(G x V), V>|7_ G Lp(7_); v^diamG < а(см. Теорема 2.1.2.5.), и выполнено условие ф(х, v) = 0 при (х, v) G 7_. Тогда задача

ut(x,v,t) + (v,y)u(x,v,t) 4- '^{x,v>t)u(x,v,t) + [5(u)] (ж, и, í) =

= J J(x, v\ t, v)a(x, г/, t)dv' + F(x, v, t), (x, v, t) 6 D, (5) v

u(x, v, t) = 0, {x,v,t) G7- x [0,T], (6)

u(z, v, 0) = 0, (x, v) € G x V, (7)

u(x, v, T) = xp{x, v), (x, u) G G x V, (8)

F(x,v,t) = f(x,v)g(x,v,t), (9)

где f — искомая, a g — априори заданная функция, имеет единственное решение (и, /) в окрестности нуля в H(D) х LP(G х V) при достаточно малых по норме гр G hp{G х V).

В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения: положим Cx->y ~ наименьшая константа вложения x в y. Заметим, что если и ий- решения уравнений

ut(x, V, t) + (V, V) u(x, v, t) + v, t) u(x, v, t) =

= f J(x, v\ t, v) a(x, v', t) dv' + F(x, v, t), где (x, v, t) G D, v

и

üt(x, V, t) + (u, V) ü(x, V, í) + J2(x, V, í) ü(x, V, t) =

= f J(x, v', í, v) a(x, v', t) dv' + v, t), где (я, v, t) G £>, y

то, вычитая из первого уравнения второе, получим

щ(х, V, + (у, V) й(х, V, £) + V,Нх, ь> 1) — — Р(х, V, ¿) где (х, V, £) е Б,

F=F — Р, й = и — й, для упрощения вместо йиР будем писать ииР.

Положим Ьи = щ+(у, V) и, где Ь : Я —»У/р{Б) — изометрический изоморфизм Я на Оператор 5 строго дифференцируем на НР(Б). и У\ — открытые окрестности нуля в Я и соответственно. Оператор £ : и н-> Ьи + ■?(«) осуществляет диффеоморфизм 1}\ на \\ класса С1. При этом оператор т] = : V! —> 11\ строго дифференцируем на У\ как отображение в Я и, следовательно, в Нр(В). Оператор Р : ЬР(С XV)-» Я(О), хМ ~ Р(х) = (я,Г))

строго дифференцируем по Фреше в окрестности нуля V?, из х V), где х{х1= /(я,«) д(а;, г;, Т). Введем оператор

М(х) = \х- Их)), 1=т - №)(Р(х))

г=т

Г)

, (ю)

М'(0)х = х - (Р'(0)х)< (=т - («, V) (Р'(0)х)

(И)

где Р'(0)х — решение прямой линейной задачи с правой частью Р(х, = хС^,г», Т1). Подставив в (5) и|г=г из (8) и

Р = х(х, и)д(х, v, Ь)/д(х, v, Т), приходим к уравнению М(х) = -ф(х,у). и* и V", — окрестности нуля в ЬР(С х V) и х V) соответственно. Оператор М : X ^ Ф ~~ диффеоморфизм класса С1. Поэтому

КЭ!х€£/, : М{Х)=ф.

В § 2.2.1 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи Ьи + 5(и) = Р. Положим IIн

и Шн = £Дур'(г>) открытый единичный шар в Я и XV^{Б) соответственно. Используя уточненную теорему об обратной функции, получим следующую теорему:

Теорема 2.2.1.8. Пусть в(г) = СяСн^1р(2в1{г) + С2г),

6>1(г) = 8ир ([[\а'{и + вк)(х,у,г)\р/р~1(1х(1у(1г<1е) . (12) Ыи* Ш )

Положими(г) — г—CqCh-^l /(2#i(t)+C2t) dt иг* — корень уравнения

" о

1 - в(г) = 0. ( Если в(г) < 1, Vr > 0, то и = оо).

7Wa Vr € [0, r,[ V/1 £ u[r) LUH 3! it € rUH : Lu + S(tt) = F.

В § 2.2.2 исследуются оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи L~lF + K(F) = и. Заметим, что Ulh = LUh и L~1Ulh = Ujj. Пусть г' = w(r), тогда г = о;-1 (г'). Используя уточненную теорему об обратной функции, получим следующую теорему:

Теорема 2.2.2.9. Пусть ¿(uT^r')) = CQCH^Lp[2ei(w_1(r')) + ^(uTV)) = SUP ([[\a'(r](F+6AF))\p/p-1dxdvdtde)

||q(F+AF)\\H<u-4r') 0 D

(13)

w(r') = r' - /^(w~1(i))/(l - 6(w-1(i)))j dt, w(r) из теоремы 2.2.1.8.

и r't — корень уравнения 1 — 2в(и)~1(г')) = 0. (Если 0(ы_1(г')) < V г' ^ 0, то г^ = оо).

Тогда Vr' £ [0, Vu € й{г') L~xUlh 3! F € r'ULH : L~lF + K(F) = u.

Результаты § 2.2.1 и § 2.2.2 носят вспомогательный характер для § 2.2.3 — основного результата второй главы.

(15)

Определим следующие операторы: Лх : ¿„(С X V) -» ¿Я,

X ^ "Ж*. и, и, Т), Л2 : Я -> !>(£),

и > щ(х,у, £), Л3 : Я - ^(б х У),

иь» и(х,У,Т). (16)

Имеем М(х) = + где А = М'(0), ^(х) = М(х)-М'(0)х- Положим Ли^вхУ) и и^схУ) — единичный шар в Акр(С х V) и Ьр(С? х У) соответственно. Заметим, что Цх11ьр(СхУ)^ т =>• ||Р(х)||я^ ^ЧН^Цг)-С другой стороны, имеем (и, V) — линейный непрерывный оператор из Я в £„(£>), т.е. ||(и, У)||< Су, тогда 1

(«.V) У(Р'(0)-Р'(х + ^))Л^

1=Т

£

и ||Е(х,V,^Ц^ф)^ Се- Используя уточненную теорему об обратной функции, получим основную теорему.

Теорема 2.2.3.10. Пусть выполняются условия теоремы 2.1.4-7. и пусть

7-1н1|Л1||||Л3|| ¿(ы-ЧНЛхИг))

= И""Т

[||Л2||+СУ + 1],

где

в^-^ЦЛхНг)) = (2^1 (ш-1(||Л1||г)) + С2аГ1(||Л1||г~)),

^(^(ЦЛхЦг)) =

" 1

У11 а\Р(х + 5/1)) |р/(р-1) ¿х ¿v ¿1 ¿8

= вир И^ЮИн«""'«^!!?) ЦРСх+МИн^-МЦл,!!?)

.0 о

(р-1)/р

г

О

г

||д-1||1!м|м[||л2||+с^ + 1] /

1-6(^(11^110)

dt

о

иг, — корень уравнения 1 — 6^(г) = 0, (если в^(г) < 1, Vr > О, то г, = оо).

Тогда Vf 6 [0,f.[ V^ € 31 X е fULpiGxv) : М(х) -

•ф(х,у).

Это означает, что рассматриваемая обратная задача однозначно разрешима для любой ■ф € bJji,(ft) AUhp(GxV)> причем указана связь между нормой ф и нормой решения этой обратной задачи, т.е. множителя х в правой части нелинейного уравнения переноса, в соответствующих функциональных пространствах.

Глава 3. Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния

В третьей главе доказана локальная разрешимость обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, которую можно трактовать как задачу управляемости. Аналогичный результат линейной задачи для обычного уравнения переноса получен в работе Волкова Н.П. В основе доказательства лежат известные свойства решений линейных задач, а также с помощью модификации и двукратное применение обычной и уточненной теорем об обратной функции в соответствующих функциональных пространствах. Если й и й - решения уравнений

щ(х, v, t) + (v, V) й(х, v, t) + 52(х, v, t) й(х, v, t) =

= / J(x, v', t, v) а(х, v', t) dvf + F(x, v, t), где (x, v,t) e D v

и

щ(х, v, ¿) + (у, V) й(х, v, ¿) + V, I) v, Ь) =

= J </(:е, и', г;) и', £) ¿у' + Р(х, г», £), где (х, г», е к

То, вычитая из первого уравнения второе, получим

щ(х, и, £) + (у, V) и(х, у, £) + XXх! у, £) у, I) = = / ./(я, и', и) г/, £) ¿у' где (я,6 £>,

<7 = 7 — и = й — й.

Теорема 3.1.4.13. Яг/ть € ¿оо(-О), ">т)\ > Ео >

О, (я,«) е С х V; а,а( € ¿«,(1? х У); д,дг £ X У,1р(0,Т)),

\1д(х,у,Т,у')а(х,у\Т)(1у'\ > д2 > 0; ф,(у,У)ф € ЬР(С х У), е v

Ьр("/-); у^сИатпС < а, (см. условия теоремы 3.1.3.12.) и выполнено условие ф(х, у) = 0 при (х, у) 6 7-. Тогда задача

щ(х, У, г) + (и, V) и(х, V, ¿) + V, Ь) и(х, у, ¿) + [£(")] (х, у, £) = = / 7(ж, у', у) а(х, у', ¿) йу', где (х, у, £) €Е Д

(17)

«(г, и,«) = 0, (х, у, 0 € 7- х [0, Т], (18)

и(х, у, 0) = 0, (ж, у) € <5 х V, (19)

и(х, у, Т) = ф(х, у), (х, у) е С х V. (20)

j(x, у', у, г) = Лх.у) д(х, у', у, ь), (21)

где и и ] — неизвестные функции, а д, ф — априори заданные функции, которую можно рассматривать как задачу управляемости, а именно, перевести систему из и(х,у,0) = 0 в состояние и(х,у,Т) = ф(х,у) с помощью управления Лх,у), имеет единственное решение (и^) в окрестности нуля в Н(О) х Ьр(С х V) при достаточно малых по норме ф € /1Р(С х У).

Результаты § 3.2.1 и § 3.2.2 носят вспомогательный характер для §3.2.3 - основного результата этой главы.

Теорема 3.2.3.16. Пусть выполняются условия теоремы 3.1.4.13. Далее, пусть (для удобства, мы приведем все ранее полученные формулы) ... . .................................... . ..

где

1 - 0(w_1(|[Ai|[f))

ф-1(||Л1||г))=Ся^(201(о;-1(||А1||г))+С'2а;-1([|Л1||г)),

^(ЦЛ^г))

= sup ll^(x) II Jf (||Ai ||f) IIP^+AillH^-HllAjllf)

1

J J\a'{P{X +sh))\vl(p~l] dxdvdtds

.0 d

(P-l)/P

(r) = r - J 6(t) dt,bJ^(f) = f - J 9ф) dt =

о 0

Г11ЛН+Г 4-11 f ^"Wfl dt

и ft — корень уравнения 1 - — 0, если в^(г) < 1, Vr > 0, то г* = оо.

Тогда Vf е [0,f»[ Viр G wv,(f)i[/hp(GxV,) 3! х € fULp{GxV) : М(Х) = ip(x,v).

Глава 4. О задаче управляемости для нестационарного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке

В четвертой главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса когда

управлением является функция источников - в одном случае - и индикатриса рассеяния в другом. В случае когда управлением является функция источников

щ(х, V, £) + (г?, V) и(х, V, + V, и(х, V, £) + [5(и)] (х, V, Ь) = = F(x, V, г), где (х, V, Ь) е Д

= % + (у + € -У+ X [0, с+ — С-), (25)

Теорема 4.2.1.21. Пусть € Ь^Ц), |£(у+ <+,«, 01 >

£о >0, (у + «<+,М) € Г+; д,дг е ¿«,(6 х У,Ьр(0,Т)), \д(у + <+,«,01 > 9о > 0; <р,(у,Ю<Р е Ьр(в х V), /л е И*(Г_); I/ €

\¥р (Г+), Г± = 7± х [0, (+ — (-); Тьц1с1гатпС < а, и выполнено условие и(у + v£+,v,t) = 0 при (я, и) € 7-. Тогда задача (22) — (25) где / — искомая, ад— априори заданная функция, имеет единственное решение (и, /) в окрестности нуля в Н(О) х х V) при достаточно малых по норме V 6 1Ур(Г+).

В § 4.3.1 и § 4.3.2 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи и, соответственно, в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи. Теперь сформулируем основной результат этой главы.

Теорема 4.3.3.24. Пусть выполняются условия теоремы 4.2.1.21. Далее, пусть (для удобства, мы приведем все ранее полученные формулы)

и(х,и, 0) = 0, и(х, V, 0 = 0,

(22)

(х,ь)е0ху, (23)

(х,М)е7-х[0,С+-<-), (24)

(26)

Ш = 1Й-Ч1

1|Л1||||Лз1| аучи^Цг)) СЕ 1-0(0,-1(11^110)

[||Ла||+С* + 1]

где

¿(оГЧИЛ^г)) = Ся^Са(201(о,-1(||Л1|[г-)) +С2а,-1(||Л1||г)),

^(^(ЦЛгНг)) =

= вир

П^хМн^-ЧИЛ,!!?) ц^х+^Цн^-ЧЦЛ!!!?)

1

J11а'(Р(х + 8Н))\Р,(Р~1] ¡¡Х^<11<18 .0 д

(р-1)/р

г г

и (г) = г - у = г - I вф(*) М =

ГИАИ+Г +11 /• ^(НАхЩ))

иг, - корень уравнения 1 — = 0, если < 1, \/г > 0, то

г» = оо.

Тогда У г € [0,г,[ VI/ € <4,(Г)Л^И«(Г+) Э! х € гиЬг{СхУ) : М{Х) = + ^С+11)- Это означает, что рассматриваемая обратная задача однозначно разрешима для любой и £ причём указана

связь между нормой V и нормой решения этой обратной задачи, т.е. множителя х в правой части нелинейного модифицированного уравнения переноса, в соответствующих функциональных пространствах.

В случае когда управлением является индикатриса рассяения

щ(х, V, £) + (и, V) и(х, V, £) + V, £) и(х, V, г) + [Б(и)] (х, V, £) =

= / J(x, V, Ь, у')а(х, V1, ¡()с?г/, где (х, V, 4) £ Д V

(27)

и(х, V, 0) = 0, (х, и) € О х У, (28)

и{х,и,1) = 0, (х,М)е 7_х[0,С+-С-), (29)

+ (у + иС+.М) € 7+ х [0,с+ -С-), (30)

(31)

Теорема 4.4.1.26. Пусть £>£г 6 Ь^Я), |£(у + Ч+,М)| > Ео > °> (У + е Г+; а, аг € х V-); € ^((З х

У,Ьр(0,Т)), + »С+,М)1 > 50 > 0; ¥>,(«, € ЬР(С хУ),^ 1Ур(Г_); г/ е И^(Г+),Г± = 7± х [0,С+ - <-); < а, и выпол-

нено условие и {у + иС+>и) 0 = 0 пРи (х> у) £7- Тогда задача (27) — (30) где^ — искомая, ад — априори заданная функция, имеет единственное решение (и^) в окрестности нуля в Н(О) X Ьр((? х V) при достаточно малых по норме V € И/р(Г+).

В § 4.5.1 и § 4.5.2 исследуются оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи и в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи соответственно. А в § 4.5.3 исследуются оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Абдел Басет Исмаил Ахмед. Задача управляемости для модифицированного уравнения переноса // М., 2008. 138 С. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 26.03.2008, № 252 В2008.

[2] Абдел Басет Исмаил Ахмед. Обобщённое решение прямой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса // Вестник РУДН. Серия Математика, информатика, физика - 2008. -№ 3. - С. 5 - 12.

[3] Абдел Басет Исмаил Ахмед. Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке // Вестник РУДН. Серия Математика, информатика, физика - 2008. - № 3. - С. 13 - 21.

Абдел Басет Исмаил Ахмед (Египет) Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса

В работе доказана локальная разрешимость обратных задач для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением и с переопределением на выходящем потоке и уточняется допустимый размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима. Полученные результаты можно применять для решения многих задач управляемости, в том числе, технических.

Abdel Baset Ismail Ahmed (Egypt) Problems of controllability for modified transport

equation

In the thesis we provided the theorem on local controllability for a linear and nonlinear system described by the modified transport equation with a final redetermination and redetermination in the output flow. The sufficient conditions for a dimension of the neighbourhood from which we can take a function of the redetermination's condition of the inverse problem are obtained, in which the inverse problem always has a unique solution. The obtained outcomes allow to be used for the resolution of many problems of a controllability, including technical.

Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная.

Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ №846

Типография ООО "ФЭД+", Москва, ул. Кедрова, д. 15. Тел. 774-26-96

Введение.

Общие сведения.

Глава 1 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса.

1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

1.2 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса

Глава 2 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является функция источников.

2.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением.

2.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

2.1.2 Определение параметра линейного модифицированного уравнения переноса по информации о финальном состоянии процесса.

2.1.3 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением

2.1.4 Формулировка основного результата.

2.1.5 Строгая дифференцируемость оператора S.

2.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 47 2.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением

2.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

2.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

2.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 3 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния.

3.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением.

3.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

3.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса определения пары функций и и j.

3.1.3 задача управляемости для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением

3.1.4 Формулировка основного результата.

3.1.5 Строгая дифференцируемость оператора S.

3.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 79 3.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением

3.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи

3.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

3.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 4 О задаче управляемости для нестационарного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.1 Обобщенная разрешимость обратных задач для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.1.1 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и /.

4.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и j.

4.2 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является функция источников F.

4.2.1 Формулировка основного результата.

4.2.2 Строгая дифференцируемость оператора S.

4.2.3 Завершение доказательства основного результата

4.3 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.3.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

4.3.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

4.3.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

4.4 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния J. . 136 4.4.1 Формулировка основного результата.

4.4.2 Строгая дифференцируемость оператора S.

4.4.3 Завершение доказательства основного результата . . 140 4.5 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния J.

4.5.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

4.5.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

4.5.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

В диссертации исследуется локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Эти задачи можно рассматривать как задачи управляемости, в которой управлением является множитель в правой части или характеристики среды, зависящие только от пространственных переменных.

Актуальность темы. Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связано, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с другой, не менее сложной, стороны. Во вторую очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические и др.) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью.

Диссертация посвящена одному из таких вопросов.

Изложение естественным образом разделено на четыре части.

В первой главе Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение.

Во второй главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Аналогичный результат для линейной обычной задачи получен ранее в работе [15,24]. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей (см [26,27]).

В третьей главе получен результат, аналогичный результату, полученному во второй главе, но управлением является индикатриса рассеяния. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина. на эту тему). С использованием обозначений из первой части получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

В четвертой главе доказана локальная разрешимость обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости. В первой части доказана локальная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. Во второй части доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. В третьей части уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима. Основная идея доказательства состоит, так же как и в предыдущих главах, в двукратном применении уточненной теоремы об обратной функции.

Изучение обратных задач для линейных уравнений переноса началось достаточно давно. Первые постановки этих задач можно найти в [1-3]. После этого появились работы, посвященные, например, вопросам единственности решения многомерных обратных задач для стационарного од-носкоростного линейного уравнения переноса. Эти вопросы были изучены в работе [4]. Для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса

З'И (x,v,t) + (v,V)u(x,v,t) + H(x,v,t)u(x,v,t) = J J(x,v,t,v')u(x}v' ,t) dv' + F(x,v,t), У теоремы существования и единственности решений обратных задач в класди . л се функций, непрерывных вместе со своими производными — и (v, V)u,

С/ с получены в работах [5,6]. Аналогичные теоремы доказаны методом полугрупп в работе [7]. Ряд статей посвящен изучению обратных задач теории переноса в плоскопараллельной геометрии, а также для иных видов линейного кинетического уравнения. В [8] исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений обратных задач для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса с переопределением интегрального типа. При этом изучается также корректность постановки соответствующих прямых задач. Необходимо отметить, что исследование прямых задач для того или иного вида уравнения переноса проводились в многих работах (см., например, [9-14] и их библиографии). В [15] изучается управляемость некоторых систем с распределенными параметрами, описывающих процесс массопереноса, и рассматривается подход к задачам управления с точки зрения теории обратных задач математической физики. Получен ответ на вопрос об управляемости нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса (В.1)-(В.4) с финальным переопределением. щ(х, v, t) + (v, V)u(x, v, t) + E(x, v, t)u(x, v,t) = J J(x, г/, t, v)u(x, v', t) dv' + F(x, v, t), к

6 D = G x V x (0,Г), (B.l) i) — /i(a;, г»,t), (ж, г;, f) G 7 x [0, T], где 7 = {(ж, v) G <9G x У : (v, nx) < 0} , (B.2) u(x. v, t) = <p(x, v), (x,v)eGxV, (B-3) u(x, u, t) = 'Ф{х, v) , (я, к) € G x V , (B.4) также исследованы нелинейные обратные задачи определения стационарной части коэффициента поглощения Е или индикатрисы рассеяния J. Иначе, в предположении, что функции Е и J представимы в виде

Е(x,v,t) — a(x,v,t)gi{x,v,t) + h\(x,v,t), J(x, v', t, v) = j{x, v)g2(x, v', t, v) + h2(x, v', t, v), где a, j — искомые, a g\, g2 , h\, h2 — априори заданные функции; таким образом обратные задачи заключаются в определении пар функций {и, а} или {u,j}, почти всюду удовлетворяющих условиям (В.1)-(В.4) (уравнения линейные, но обратная задача при такой постановке становится нелинейной) . Для означенных задач доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений {и, сг} или {u,j} этих обратных задач, которые могут трактоваться как нелинейные задачи управления из начального состояния <p(x,v) в стационарное состояние ip(x,v) за конечное время Т.

Кроме вопроса управляемости процессом массопереноса Н.П Волковым изучались некоторые проблемы из теории оптимального управления в задачах математической физики [16]. В частности, получен критерий оптимального управления источниками в некоторых процессах нестационарного переноса нейтронов [17] в [18].

Исследованию линейных уравнений переноса посвящено большое количество работ (см., например, [28-32] и их библиографии). Цель работы.

1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние, за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является - в одном случае -функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.

2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, где управлением , является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.

Общая методика исследования. В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции, обычной и уточненной применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).

Были также использованы неравенство Гельдера , теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения, неравенство Мин-ковского, теорема Банаха, теоремы о следах, принцип сжимающих отображений, лемма Гронуолла, принцип Банаха о неподвижной точке, теория полугрупп, формула Ныотона-Лейбница.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для нелинейного модифицированного уравнения переноса для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

Приложение. Диссертация носит теоретический характер. Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ под руководством академика Садовни-чего В.А и профессора прилепко А.И., на научном семинаре а МЭИ под руководством профессора Дубинского Ю.А., на научном семинаре а ИПМ под руководством профессора Масленникова М.В. и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики иод руководством профессора Скубачевского А.Л.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 печатных работ [43 - 45].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы

Глава 1. Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой функцией из того же класса, что и решение.

Глава 2. Проведено доказательство локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением-для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения есть функция источников, принадлежащая пространству Lp , 2 ^ р < оо, с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. В качестве нелинейной добавки используется оператор Гам-мерштейна.

Глава 3. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния и получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

Глава 4. Получена теорема о локальной однозначной разрешимости обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния и уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима.

Заключение

1. Марчук Т.П. // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 156. - № 3. - С. 503-506.

2. Лаврентьев М.М, Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1969.

3. Прилепко а.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса). // Мат. заметки, 1973. Т. 14. - № 5. - С. 755-767.

4. Аниконов Д.С. // Диф. уравнения, 1984. Т. 20. - № 5. - С. 817-824.

5. Прилепко А.И., Ивашов А.Л. Обратные задачи определения коэффициента и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса по переопределению в точке. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 1. - С. 109-119.

6. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. -№ 5. - С. 870-885.

7. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 4. - С. 694-701.

8. Прилепко А.И., Волков Н.П. Обратные задачи определения параметров нестационарного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Диф. уравнения, 1987. Т. 23. - № 1. - С. 124-136.

9. Владимиров B.C. // Труды Математического института им. В.А. Стек-лова АН СССР, 1961. № 61.

10. Гермогенова Т.А. // Жур. вычисл. мат. и мат. физ., 1969. Т. 9. - № 3.- С. 605-625.

11. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. // Линейный анализ. М.: 1973.

12. Кузнецов Ю.А., Морозов С.Ф. // Диф. уравнения, 1972. Т. 8. - № 9.- С. 1639-1648.

13. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. Алма-Ата. 1979.

14. Iorgens К. // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1958. -V. 11. 2. P. 219-242.

15. Волков Н.П. Достаточные условия разрешимости некоторых обратных задач (задач управления) для процессов массопереноса. // Обратныезадачи для математических моделей физических процессов. М.: МИФИ, 1991. - С. 16.

16. Волков Н.П. // Инж.-физ. Ж., 1985. Т. 49. - № 6. - С. 936-940.

17. Волков Н.П. Оптимальное управление источниками в некоторых процессах переноса нейтронов. // Теоретико-функциональные методы в задачах математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1986. - С. 22-26.

18. Орловский Д. Г. Решение одной обратной задачи для уравнения переноса с интегральным переопределением. М.: МИФИ, 1991. - С. 71-76.

19. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Функциональный анализ. М.: Наука, 1988.

20. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

21. Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд-во РУДН, 1992. - С. 300.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

23. Сухинин М.Ф. Теоретическая и математическая физика, 1995. Т. 103.- № 1. С. 23.

24. Прилепко А.И., Волков Н.П. // Диф. уравнения, 1988. Т. 24. - № 1.- С. 136-146.

25. Орловский Д. Г. Об одной обратной задаче для уравнения переноса. // Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1989. С. 68-73.

26. Акпата Э. Управляемость в нелинейных параболических задачах: Дис. канд физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1999.

27. Сухинин М. Ф., Акпата Э. О задаче управляемости для квазилинейного уравнения теплопроводности // Вестник РУДН. серия Математика, 1996. № 3(1). - С. 119.

28. Kaper E.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel, 1982.

29. Greiner G. Spectral properties and asymptotic behavior of the linear transport equation // Math. Z, 1984. V. 185. - № 2. - P. 167-177.

30. Voigt J. Spectral properties of the neutron transport equation // J. Math. Anal. Appl, 1985. V. 106. - № 1. - P. 140-153.

31. Волков Н.П. Определение характеристик нестационарных процессов переноса по информации о финальном состоянии // Анализ математических моделей физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1988. - С. 11-19.

32. Тихонов И. В. Корректность обратной задачи с финальным переопределением для нестационарного уравнения переноса // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн, 1995. № 1. - С. 56.

33. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением. М., 2003. - 30 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1435-В2003.

34. Хамди Н. Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций. М., 2003. - 28 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1434-В2003.

35. Хамди Н. О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. № 10(1). - С. 135.

36. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. - № 10(1). - С. 109.

37. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-JL: Изд-во ЛГУ, 1950, 256 С.

38. Хамди Я. Задачи управляемости для нелинейных уравнения переноса : Дис. канд Физ.-мат. наук М.: РУДН, 2004.

39. Волков Н.П. Обратные Задачи для нестационарного кинетического уравнения переноса с разрывными переменными : Дис. канд физ.-мат. наук,- М.: МГУ, 1986.

40. A6de.fi Васет Исмаил Ахмед Задача управляемости для модифицированного уравнения переноса. М., 2008. - 138 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 26.03.2008, № 252-В2008.

41. А бдел Васет, Исмаил Ахмед Обобщённое решение прямой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса. // Вестник

42. РУДН. Серия Математика, информатика, физика 2008. - № 3. - С. 5 - 12.

43. Абдел Басет Исмаил Ахмед Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке. // Вестник РУДН. Серия Математика, информатика, физика -2008. № 3. - С. 13-21.