Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

УДК 517.9

На правах рукописи

Рузакова Ольга Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.02. — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ — 2004

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Федоров Владимир Евгеньевич Официальные оппоненты:.

доктор физико-математических наук, профессор Максимов Вячеслав Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Макаров Анатолий Семенович Ведущая организация:

Институт математики-им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится " /4 " КЛОНА. 2004 года в tb ч. РУ мин. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Щ. Пименов

Актуальность темы. Уравнениями соболевского типа называются уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени. Такие уравнения возникают при моделировании различных реальных процессов. В настоящее время уравнения соболевского типа изучаются в рамках двух подходов. К первому следует отнести работы С.Л. Соболева, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, Г.И. Эс-кина и многих других. Данный подход предполагает непосредственное исследование начально-краевых задач для уравнений или систем уравнений в частных производных. Другой подход подразумевает изучение абстрактных операторных уравнений с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова, Н.А. Сидоров, R.E. Showalter, A. Favini, A. Yagi, Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие.

Одной из наиболее часто возникающих и важных задач прикладного характера является задача оптимального управления. Для линейного уравнения соболевского типа задача оптимального управления исследовалась в работах Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова. В конечномерных пространствах уравнения соболевского типа или так называемые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, задачи оптимального управления для них, рассматриваются в работах Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова. Однако, решение задач оптимального управления имеет смысл лишь в случае существования множества управлений, то есть при возможности неоднозначного выбора управления, приводящего к желаемой цели. Поэтому необходимо, чтобы система обладала свойством управляемости1. Управляемость уравнения, разрешенного относительно производной

1Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем // Изв. УрГУ. 1998. X' 10. Вып. 1. С. 103 - 126.

РОС • ».-»АО

3 С

по времени исследовали в своих работах Н.Н. Красовский, R.E. Kalman, Y.C. Но, K.S. Narendra, H.O. Fattorini, R, Trig-giani, Ф.А. Шолохович, А.Б. Куржанский, Л.М. Куперман, Ю.М. Репин, С.А. Нефедов и многие другие. Управляемость уравнений Соболевского типа, ранее, по-видимому, не исследовалась.

Цель работы. Пусть Х,2),И— банаховы пространства. Рассматривается задача Коши

для линейного уравнения соболевского типа

Здесь операторы L Е £(£;2)), М в С1(Х]2)), В 6 £(И;2))> функция u(t) : [0; Т] —► Я обозначает управление. Цель работы — исследовать управляемость уравнения (2), то есть возможность приведения траектории его решения в наперед заданную точку или е-окрестность заданной точки ( -управляемость) в случае, когда а оператор

М сильно (1/,р)-радиален, то есть существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения -(2).

В предположении, что пространство управлений 11 конечномерно, а оператор Bu(t) = Wui(t)i уравнение (2) принимает вид

Li (t) = Mx(t) + iwW» 0 < t < T, (3)

где функции обозначают управления,

векторы bi € 2), 1 < г < m. Еще одной целью диссертационной работы является исследование конечномерной

£>,управляемости вырожденного уравнения (3) (kerL ф {0}) с (L, ^-ограниченным оператором М, L-резольвента которого имеет несущественную особую точку в бесконечности.

Кроме того, нашей целью является исследование е-уп-равляемости уравнения

Li(i) = Mx(t) + (*)"«(*) + с№> 0 < t < Т, (4)

содержащего вектор-функции bt(t),c(t) : [0,Т] —* 2), 1 <(<т,с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М.

Методы исследования. В основе нашего подхода лежит метод фазового пространства2. Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (2) к паре эквивалентных ему уравнений

Hx°(t) = x°(t) + Mq1{I - Q)Bu(t),

определенных, однако, не на пространстве а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является фазовым пространством уравнения, а другое — ядром разрешающей полугруппы. Полученные уравнения затем исследуются методами функционального анализа, теории полугрупп операторов, теории управляемости эволюционных уравнений. При изучении прикладных задач используются классические методы теории уравнений в частных производных.

Новизна полученных результатов. Основными результатами диссертации являются теоремы об управляемости и управляемости дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным

2Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear. Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

оператором при производной. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах. Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести найденные критерии управляемости и управляемости абстрактных уравнений соболевского типа. Полученные результаты затем используются при исследовании управляемости начально-краевых задач для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравнения стратификации объемного заряда в полупроводнике и многих других неклассических уравнений и систем уравнений математической физики.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004) XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001), научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2001 - 2003), Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002), "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, 2003), на семинаре проф. Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.

Кроме того, данное исследование поддержано грантами Минобразования РФ №А03-2.8-82, Минобразования РФ и Правительства Челябинской области № 03-01-б, стипендией Президента РФ (2003) и стипендией Законодательного Собрания Челябинской области (2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография содержит 127 наименований работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены, сведения об относительных резольвентах. Второй и третий параграфы, содержат соответственно основные факты об {Ь, а)-ограниченных и сильно (£,р)-радиальных операторах и соответствующих им аналитических группах и сильно непрерывных полугруппах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиридюка3, В.Е. Федорова4. В четвертом параграфе

3Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49* № 4. С. 47 - 74.

4Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы

представлены необходимые результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах.

Вторая глава посвящена исследованию бесконечномерной управляемости уравнения соболевского типа. В первом параграфе вводятся определения управляемости из нуля, в нуль и из любой точки в любую для уравнения (2) с сильно (L,p)-радиальным оператором М. Кроме того, помимо ¿-управляемости за время Т вводится понятие е-управляемости за свободное время. Изучается взаимосвязь данных определений для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (2) и суженного на ядро разрешающей полугруппы уравнения, приводятся необходимые условия ¿-управляемости. Заметим, что в рассмотренных нами условиях решение задачи Коши содержит производные, поэтому в качестве класса функций управления нами выбран класс функций управления

Кроме того, функции управления должны удовлетворять условию согласования с начальным значением x0 задачи Коши

(I - Р)х0 = -рН«М0-\1 - Q)Bu<*>(0),

поэтому множество допустимых функций управления сужается до Второй параграф содержит критерии управляемости сужения уравнения (2) на его фазовое пространство, которое является разрешенным уравнением относительно производной, полученные ранее в работах Н.О. Fattorini5, R. Triggiani6. Они сформулированы в адап-

операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173 - 200.

5Fattorini Н.О. On complete controllability of linear systems //J. Different. Equat. 1967. V. 3. P. 391 - 402.

6 Triggiani R. Controllability and observability in Banach space with bounded operators // SIAM J. on Control, 1975. V. 13, № 2, 462 - 491.

тированном для нашего уравнения виде и доказаны для нашего класса функций управления. В третьем параграфе найдены критерии е-управляемости уравнения на ядре разрешающей полугруппы и уравнения (2).

Теорема 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор В непрерывно обратим. Система (2) е-управляема за свободное время Т в том и только в том случае, когда

span{im HkMâl{I - Q)B, 0 <k<p} = dorn M0.

Теорема 2. Пусть оператор M (L, er)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (pL — M)-1, оператор В непрерывно обратим. Система (2) Е-управляема в том и только в том случае, когда

span{im Я*М0-1(/ - Q)B\ 0<k<p}~ dorn M0.

В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются при изучении ^-управляемости уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевой задачи для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными в пятом параграфе. В шестом параграфе вводятся понятия точной управляемости уравнения (2). Необходимые условия точной управляемости уравнения (2) в предположении, что оператор М (L,<г)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка

оператор-функции {цЬ — Л/)-1, приведены в седьмом параграфе. (При этом используются результаты о точной управляемости разрешенного относительно производной уравне-

7ч

ния, полученные ранее ).

Теорема 3. Пусть оператор М {Ь, о)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — Л/)-1. Если система (2) управляема, тогда при некотором

зрап{нп НкМ$1 (I - 0)В, 0<к<р} = йотМ0.

В восьмом параграфе исследуется точнаяуправляемость уравнения (2) для случая переменного оператора управления В{р).

Теорема 4. Пусть оператор М (Ь, а) -ограничен, причем-бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции — оператор-функция В(£) аполитична в круге 5х(0). Если система (2) управляема, тогда существует ?0 такое, что о) Ф О,

Брап|т^ С{НкМйх{1 - Я)В{-к'1){0), 0 < I < р| = ¿отМ0

и при некотором

Брап^тЛьСГ), 0 < к < т} = X1.

7Коробов В.И., Рабах Р. Точная управляемость в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 12. С. 2142 - 2150.

В третьей главе изучается конечномерная управляемость уравнения соболевского типа. В первом параграфе приводится критерий конечномерной ¿-управляемости для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (3) в предположении, что оператор М (Ь, а)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — М)-1. Нами показано, что полученный ранее А.Б. Куржанским8 критерий справедлив и в нашем случае при использовании более узкого класса функций управления. Во втором параграфе показано, что е-управляемость суженного на ядро разрешающей полугруппы уравнения равносильна точной управляемости и получен ее критерий. Третий параграф содержит необходимое условие конечномерной управляемости уравнения (3).

Теорема 5. Пусть оператор М (Ь,сг)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — . Если система (3) £ -управляема, то линейная оболочка векторов

к е N0, 1 < г < т}

плотна в пространстве ЭС1, а система векторов {ЯЛМ0_16®, 0 < к < р, 1 < г < т)

является условным базисом в пространстве 3°.

Отмечено, что в данной постановке задачи, найденное условие не является достаточным, в результате чего там же

8Куржанский А.Б. К управляемости в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9. С. 1715 - 1718.

рассмотрена задача с раздельными функциями управления, для которой сформулирован критерий ¿-управляемости. В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются для исследования конечномерной ¿-управляемости задачи Коши - Дирихле для уравнения Баренблат-та - Желтова - Кочиной. Пятый параграф посвящен исследованию ¿-управляемости более общего уравнения (4). "Уравнение такого вида, разрешенное относительно производной, исследовано ранее9. В предположении, что оператор М сильно (Ь,р)-радиален, найдены необходимые условия конечномерной ¿-управляемости вырожденного уравнения (4) (ЪгтЬф {0}).

Теорема 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, вектор-функции Ьг(¿), с(е) 6 СР+1([0,Т];2)°), 1<ъ<т. Если система (4) £-управляема за время Т, тогда

зрап{Хг-5Ь^16,1(5), 0 < в < Г, 1 < г < т} = Ж1,

пространство не более, чем {р+ 1)т-мерно, а система векторов

| ]Г С^М^^р), 0 < I < р, 1 <г<т

является в нем условным базисом.

Шестой параграф содержит пример не ¿-управляемой системы. В седьмом параграфе рассмотрена начально-краевая задача для уравнения, содержащего многочлены от эл-

9Нефедов С.Л., Шолохович Ф.А. Критерий е-управляемости линейной системы // Дифференц уравнения. 1976. Т. 12, № 4. С. 653 -657.

липтического оператора высокого порядка, которая является обобщением некоторых задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.

Основные результаты диссертации.

1. Получены критерии ¿-управляемости уравнения (2) с сильно (Ь, р}-радиальным оператором М и непрерывно обратимым оператором В.

2. Найдены необходимые условия управляемости уравнения (2) в предположении, что оператор М ограничен, бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — М)-1,

3. Получены критерии ¿-управляемости уравнения (3) в предположении, что оператор М -ограничен, бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — М)-1.

4. Найдены необходимые условия конечномерной ¿-управляемости уравнения (4) с сильно (Ь, р) -радиальным оператором М.

5. Получены условия ¿-управляемости для начально-краевых задач для некоторых неклассических уравнений в частных производных.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравнения Соболевского типа с сильно (¿,р)-радиальным оператором // Студент и научно-технический прогресс. Тез. междунар. научн. студ. конф. Новосибирск, 2001. С.127- 128.

2. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравнения соболевского типа с сильно (Ь,р)-радиальным оператором // Студент и научно-технический прогресс. Тез. научн. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2001. С. 9 - 11.

3. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линейных уравнений Соболевского типа // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: ЧелГУ,

2002. С. 215 - 219.

4. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линейных уравнений соболевского типа // Студент и научно-технический прогресс. Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2002. С. 5 - 6.

5. Рузакова О.А. Двумерная управляемость задачи Ко-ши-Дирихле для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной// Обратные задачи: теория и приложения: Тез. докл. междунар. науч. школы-конф. Часть 2. Ханты-Мансийск, 2002. С. 3 0-31.

6. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс. конф. Екатеринбург. 2003. С. 65 - 66.

7. Рузакова О.А. Двумерная управляемость уравнения Соболевского типа // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ,

2003. С. 6.

8. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Вестн. ЧелГУ. Математика, механика, информатика. 2003, № 1. С. 127 - 135.

9. Рузакова О.А. К вопросу об одномерной управляемости линейных вырожденных уравнений // Вестник МаГУ. Сер. Математика. 2003, Вып. 4. С. 111 - 120.

10. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург. 2004. С. 216.

11. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Об одномерной управляемости в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. научн. конф. Екатеринбург, 2001. С. 177 - 178.

12. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Одномерная управляемость уравнений соболевского типа // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели. Тез. докл. междунар. науч. конф. Челябинск, 2002. С. 85.

13. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1137 - 1139.

14. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно ^-радиальными операторами // Изв. вузов/ Математика. 2002. № 7. С. 54 - 57.

15. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 4. С. 618 - 628.

16. Ruzakova О.А. Two-dimensional controllability of Sobolev type equation / / Ill-posed and inverse problems: Abstracts of internat. conf. Novosibirsk, Sobolev Institute press, 2002. p. 140.

1-9099

Подписано в печать 0^05.04. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ {{§ . Бесплатно.

Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б

Обозначения и соглашения

Введение

1 Полугруппы и группы уравнений соболевского типа.

1.1 Относительные резольвенты

1.2 Относительно спектрально ограниченный оператор

1.3 Относительно р-радиальный оператор.

1.4 Функциональные пространства и дифференциальные операторы.

2 Бесконечномерная управляемость уравнений соболевского типа '

2.1 Определение е-управляемости

2.2 Критерии е-управляемости невырожденной системы

2.3 Критерии е-управляемости вырожденной системы

2.4 Уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости

2.5 Начально-краевая задача для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными.

2.6 Определение точной управляемости.

2.7 Необходимые условия точной управляемости.

2.8 Точная управляемость системы с переменным оператором управления.

3 Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа

3.1 Конечномерная е-управляемость невырожденного уравнения.

3.2 Конечномерная управляемость вырожденного уравнения.

3.3 Конечномерная управляемость уравнения соболевского типа

3.4 Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной

3.5 Нестационарная конечномерная управляемость

3.6 Начально-краевая задача для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными.

3.7 Уравнение с эллиптическим оператором высокого порядка.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть Э£, ф, Я — банаховы пространства. Рассмотрим задачу Ко-ши ж(0) = £0 (0.1) для линейного операторно-дифференциального уравнения

Ьх({) = Мх{1) + Ви(г), о<г<т. (0.2)

Здесь операторы Ь £ £(£;$), М е В £ £(Я;ф), функция и(£) : [0, Т] —^ Я обозначает управление. Цель работы — исследовать управляемость уравнения (0.2), то есть возможность приведения траектории его решения в произвольную наперед заданную точку или е-окрестность заданной точки (^-управляемость).

Если оператор Ь непрерывно обратим, то уравнение (0.2) сводится к уравнению х (*) = 5ж(£) + Ь^Ви^) (0.3) на пространстве X. Вопрос ^-управляемости уравнения (0.3) исследовался в [6], [35], [52], [94], [109], точная управляемость — в [29], [34], [87]. Одна из наших целей — исследовать е-управляемость уравнения (0.2) в случае, когда кетЬ ф {0}, а оператор М сильно {Ь,р)~радиален [61], то есть существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения (0.2). Кроме того, будут рассмотрены вопросы точной управляемости вырожденного уравнения (0.2).

Пусть теперь пространство управлений Я конечномерно, а оператор т

Bu(t) = £biui(t). г=1

Тогда уравнение (0.2) примет вид т

Lx (t) = Mx(t) + £biUi(t), 0 <t<T, (0.4) i где функции Ui(t) : [0, Т] -» R обозначают управления, векторы bi 6 2), 1 < i < т. Еще одной целью диссертационной работы является исследование конечномерной е-управляемости вырожденного уравнения (0.4) (kerL ф- {0}) с (L, сг)-ограниченным оператором М, L-резольвента которого имеет несущественную особую точку в бесконечности [60], используя результаты работы А.Б. Куржанского [35].

Кроме того, рассмотрим задачу Коши (0.1) для более общего, чем (0.4), уравнения т

Lx(t) = Mx(t) + bi(t)ui(t) + c{t), 0 <t<T. (0.5) l

Оно содержит вектор-функции bi(t),c(t) : [0,Т] —> 2), 1 < г < т. Если оператор L непрерывно обратим, а т = 1, то уравнение (0.5) сводится к уравнению х (t) = Ь-гМх{р) + L~l(b{t)u(t) + c(t)). (0.6)

Уравнения такого вида рассматривались Ф.А. Шолоховичем и С.А. Нефедовым [52]. Задачей настоящей работы является также исследование вырожденного уравнения (0.5) с сильно (L,p)-радиальным оператором М и произвольным т € N

ИСТОРИОГРАФИЯ ВОПРОСА

Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, изучались впервые, видимо, в работе А. Пуанкаре [101] в 1885 году. Результаты, полученные позднее C.W. Oseen [100], F.K.G. Odqvist, J. Leray [37], J. Leray и J. Schauder, E. Hopf по системе Навье - Сток-са (vt ~ vAv + Vp = 0, div v = 0) и исследования C.JI. Соболева [73] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости заложили фундамент нового направления, существенный вклад в развитие которого внесли РА. Александрян [4], Т.И. Зеленяк [21], С А. Галь-перн [17] и другие.

Абстрактные дифференциальные операторные уравнения вида

L х (t) = Mx(t) (0.7) исследовали М.И. Вишик [12], С.Г. Крейн и его ученики [22], [33], и многие другие. Таким образом, к настоящему времени выделились два направления исследований уравнений, не разрешенных относительно производной: решение задач для конкретных уравнений и систем уравнений в частных производных и изучение абстрактных уравнений типа (0.7) с приложением к задачам математической физики.

К первому направлению следует отнести работы С А. Гальпе-рна [17], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскина [30], Т.И. Зеленяка [21], В.Н. Врагова [15], А.И. Кожанова [23] и многих других. Здесь "прикладная" задача выступает как объект исследования, а методом исследования служат результаты "чистой" математики.

В исследованиях по второму направлению наблюдается другой подход: "прикладные" задачи являются иллюстрациями исследования "абстрактных" задач. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают R.E. Showalter [103] - [106], H.A. Сидоров и его ученики [71], [72]. Один из подходов к исследованию задачи Коши для уравнений соболевского типа предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах A. Favini и A. Yagi [95] - [97], [111], И.В. Мельниковой и ее учеников [40] - [43], Г.А. Свиридюка [55] - [62], В.Е. Федорова [75] - [82].

Отдавая дань вкладу C.JI. Соболева, который первым начал систематическое исследование уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, уравнения вида (0.7) и конкретные его интерпретации часто называют уравнениями соболевского типа. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения" [24], "уравнения типа Соболева" [63], "уравнения типа Соболева - Галь-перна" [30] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [38]. Уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики. В настоящее время такие уравнения по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствует большое количество вышедших в последнее время монографий [18], [19], [70], [99], [102], [108].

Основой для полученных в данной работе результатов послужила теория вырожденных полугрупп операторов, а именно, вырожденных аналитических групп [57] - [60] и сильно непрерывных полугрупп операторов [61], [64], [75], [77], [78].

Интерес к теории оптимальных процессов появился в 50-х годах

XX столетия. Одно из важных мест в этой теории занимает вопрос управляемости, особенно для систем с распределенными параметрами. Это объясняется, во-первых, усложнением процессов, с которыми приходится иметь дело, а, во-вторых, с повышением требований к адекватности математических моделей. В конечномерных пространствах вопрос управляемости, то есть возможности перевода динамической системы из одного состояния в другое наперед заданное, исследован довольно полно. Отметим в этом смысле работы H.H. Красовского [31], A.A. Воронова [13], [14]. В связи с этим, в настоящее время исследуется, в основном, возможность оптимального управления, то есть достижения желаемой дели наилучшим способом.

В бесконечномерных пространствах вопрос управляемости решается не так просто. В библиографических ссылках, имеющихся в ряде работ, указывается, что "вопрос о точной управляемости в бесконечномерном пространстве рассматривался впервые для уравнения х (t) = Ax(t) + bu(t) (0.8) в работе Ф.А. Шолоховича [87]" (цит. по [29]). В [87] же было установлено, что в гильбертовом пространстве X существует множество точек, которые не управляемы в нуль при некоторых условиях. Далее этот результат обобщили JI.M. Куперман и М.Ю. Репин [34] и доказали неуправляемость любой динамической линейной системы вида (0.8) с ограниченным оператором А в бесконечномерном пространстве, если управляющее воздействие конечномерно. Заметим, что управляемость понималась в следующем смысле: попадание из любой точки в любую, а неуправляемость — как отрицание этого свойства.

R.E. Kaiman, Y.C. Но и K.S. Narendra в работе [98] ввели понятие полной управляемости, которое слабее понятия точной управляемости и означает попадание из начала координат в произвольную е-окрестность заданной точки. Изучению полной управляемости для случая самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве посвящена работа Н.О. Fattorini [94]. А.Б. Куржанским было предложено другое название этого свойства: е-управляемость и сформулирован критерий ^-управляемости в нуль для системы (0.8) в банаховом пространстве ЗС: система (0.8) ег-управляема за любое время Т > 0 в том и только в том случае, если линейная оболочка векторов {b, Ab,., Anb,.} плотна в пространстве X [35]. Отметим также работы R. Triggiani по исследованию управляемости и наблюдаемости в банаховых пространствах [109], [110].

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

В настоящее время существует огромное количество результатов по управляемости и смежным вопросам. Охватить все результаты не представляется возможным. Основные результаты исследования управляемости линейных динамических систем, полученные математиками Екатеринбурга, Харькова, Минска и некоторых других научных центров, содержатся в обзоре [90].

Поскольку точная управляемость скалярным или конечномерным векторным управлением невозможна, исследования ведутся в двух направлениях: е-управляемость для конечномерного управления и точная и ^-управляемость для бесконечномерного управления, то есть управляющее воздействие само принадлежит в каждый момент времени некоторому банахову пространству.

Отметим некоторые наиболее интересные работы, относящиеся к первому направлению. Работа Ф.А. Шолоховича и С.А. Нефедова [88] содержит критерий е-управляемости линейной динамической системы, обобщающий результат А.Б. Куржанского на случай неограниченного оператора А в уравнении (0.8) при условии сходи-00 мости ряда ^ ^АпЬ. Заметим, что в этой работе приведен пример п—О "" отсутствия полной е-управляемости линейной динамической системы. И.О. Еа-Мюпш в работах [92], [93] обратил внимание на тот факт, что существуют системы, в которых из нуля в любую точку можно попасть лишь с помощью единственного управления. Такие системы называют жесткими, а остальные мягкими. Свойство жесткости проявляется при переходе к бесконечномерным системам. Статья С.А. Нефедова [48] посвящена исследованию условий жесткости и мягкости систем.

В работе С.А. Нефедова [49] рассматривается уравнение (0.8) в комплексном банаховом пространстве и строится пополнение пространства по более слабой норме. Вводится понятие квазиуправляемости системы и доказывается несколько предложений, связывающих квазиуправляемость системы со свойствами спектра сг(А).

В работе [51] С.А. Нефедовым и Ф.А. Шолоховичем строится полугрупповая модель граничного управления в пространстве 3 для системы п 1—1

Здесь Ь — замкнутый линейный оператор, т — линейный граничный оператор, г>,;(t) — управления. При определенных условиях решение данной граничной задачи совпадает с решением уравнения = A-lZ(t) + Bv(t), Bv = -f^A-Wt i=1 в пространстве 3-ъ являющемся пополнением исходного пространства 3, оператор i — расширение на З-i оператора —L. Наряду с управляемостью, понимаемой как возможность достижения из нуля любой точки, исследуется также абсолютная стабилизируемость динамической системы.

Стабилизируемость (экспоненциальная) и управляемость (как переход из нуля в произвольную точку за некоторое время) системы (0.1), (0.3) в комплексном банаховом пространстве 3 изучается в работе [50]. Здесь Ь~гВ — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий Rn на свою область значений в пространстве 3, управление u(t) принимает значения в конечномерном пространстве Получается довольно естественный результат: конечномерный вход позволяет стабилизировать лишь некоторую конечномерную подсистему.

Ф.А. Шолоховичем исследована управляемость уравнения (0.6) с неограниченным и зависящим от времени оператором А{€) в работе [89]. Отметим, что в этом случае автором рассмотрены следующие случаи: время Т движения из точки xq в е-окрестность точки уо не зависит ни от точек xq, уоУ ни от е\ время Т зависит от точек у о; и время зависит и от точек жо, У о и от г. Среди результатов отметим две теоремы, аналогичные теореме H.H. Красовского [31] об управляемости линейной конечномерной системы с переменными коэффициентами.

Рассмотрим работы во втором направлении исследований, то есть с бесконечномерным управлением. В простом примере понятие бесконечномерного управления было введено Ф.А. Шолохови-чем [88]. В.А. Якубовичем в работе [91] было рассмотрено уравнение вида (0.8) в гильбертовом пространстве X с управлениями из гильбертова пространства Я. Полной управляемостью здесь называется точная управляемость в нуль, а управляемостью — е-уп-равляемость в нуль. Получены семь равносильных между собой критериев управляемости. Отметим один из них: для управляемости необходимо и достаточно совпадение замыкания линейной оболочки векторов {АпЪи} с пространством X. Кроме того, утверждается равносильность управляемости и попадания из любой точки пространства X в произвольную ^-окрестность всякой другой точки пространства X.

Исследованию нуль-управляемости линейных стационарных систем вида (0.3) с линейным замкнутым плотно определенным оператором 5 в банаховом пространстве посвящена работа И.В. Бейко и М.М. Копец [8]. Результаты по нуль-управляемости системы вида (0.3), где операторы зависят от времени и управление является абстрактной функцией, содержит работа М.М. Копец [26].

Изучению управляемости динамических систем с бесконечномерным управлением посвящены работы В.И. Коробова и его учеников. Линейная система с запаздыванием в банаховом пространстве X рассматривается в диссертации Р. Рабах [53]. В ней приводятся условия точной и е-управляемости таких систем в терминах совпадения с X линейной оболочки или ее замыкания для областей значений некоторой последовательности операторов, отображающих все пространство управлений Я в X. Изучаются условия наблюдаемости, связь наблюдаемости и управляемости, экспоненциальная стабилизируемость системы (0.8) в гильбертовом пространстве. Работа В.И. Коробова и Р. Рабах [29] помимо критерия точной управляемости уравнения (0.3) в банаховом пространстве содержит также критерий точной управляемости уравнения (0.3) с зависящими от времени операторами.

В.И. Коробов и Нгуен Хоа Шон в работах [27] и [28] исследовали управляемость уравнения (0.3) при наличии ограничений на управление. Ими были получены критерии управляемости, локальной управляемости, а также локальной £-управляемости за свободное время, сформулированные в терминах сопряженного оператора А*. Изучению управляемости и наблюдаемости систем в банаховых пространствах посвящена работа [5], а также диссертация A.B. Шапиро [85]. Из особенностей этой работы отметим, например, что вводится определение управляемости, опирающееся на равенство, в котором содержатся функционалы из сопряженных пространств. Работа А.П. Маринича [39] содержит критерии е-управляемости линейных систем вида (0.3) с бесконечномерным управлением и зависящими от времени операторами при наличии или отсутствии ограничений на функцию управления. Применяется метод, использующий условие разрешимости так называемой „проблемы момент-ных неравенств".

Б.Ш. Шкляр в работе [86] изучает управляемость системы х (t) = Lx(t) + BQu0(t), Gx(t) = Bm^t) в банаховом пространстве, где оператор Ь неограничен, операторы Во, В\ ограничены, управления щ Е £ Дь Для этого вводит понятие приближенной нуль-управляемости, понимаемое в смысле ^-управляемости в нуль. Полученные результаты эффективно применяются при исследовании приближенной нуль-управляемости некоторых уравнений в частных производных. Исследование В.И. Назарова [46], [47] посвящено управляемым системам с распределенными параметрами в шкалах банаховых пространств. Работы С.А. Минюка [44] и [45] содержат результаты по управляемости и е-управляемости системы (0.3) с неограниченным оператором А при помощи бесконечномерного управления, подчиненного ограничениям.

Завершая краткий обзор многочисленных работ, ведущихся в интересующем нас направлении, отметим работы С.А. Авдонина, С.А. Иванова и их сотрудников [1] - [3] по управляемости систем с распределенными параметрами. Из особенностей этих работ отметим сведение задачи управления к проблеме моментов относительно семейства показательных функций, изучение параболических (в том числе с запаздыванием) и гиперболических систем уравнений в частных производных. Данные работы содержат довольно обширный ряд приложений.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Уравнения соболевского типа возникают в широком классе прикладных задач [18], [70], [97]. Потребность не только в разрешимости таких задач, но и в решении касающихся их прикладных вопросов, ставит перед исследователями много интересных и практически значимых задач.

Одной из наиболее часто возникающих и важных задач прикладного характера является задача оптимального управления. Для линейного уравнения соболевского типа задача оптимального управления исследовалась в работах [20], [65], [66], [67], [107]. В конечномерных пространствах уравнения соболевского типа или так называемые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, задачи оптимального управления для них, рассматриваются в работах Ю.Е. Бояринцева [10], [11] и В.Ф. Чистякова [83], [84].

Однако, решение задач оптимального управления имеет смысл лишь в случае существования множества управлений, то есть при наличии возможности неоднозначно выбрать управление, приводящее к желаемой дели. Поэтому необходимо, чтобы система обладала свойством управляемости.

Для линейных уравнений соболевского типа управляемость, по-видимому, ранее не изучалась, поэтому данное исследование следует признать актуальным.

НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Основными результатами диссертации являются теоремы об управляемости и ^-управляемости дифферециального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной.

Так при исследовании бесконечномерной управляемости уравнения (0.2) в случае, когда кегЬ ф {0}, а оператор М сильно (Ь,р)-радиален получен критерий бесконечномерной ^-управляемости. Для случая несущественной особой точки в бесконечности у оператор-функции (/лЬ — М)~1 получены необходимые условия точной управляемости.

При исследовании ег-управляемости уравнения (0.4) с вырожденным оператором при производной, с относительно спектрально ограниченным оператором в правой части и несущественной особой точкой в бесконечности у его относительной резольвенты найдены необходимые условия конечномерной е-управляемости. Показано, что для уравнения, суженного на ядро разрешающей группы конечномерная е-управляемость равносильна точной управляемости и получен ее критерий.

Для более общего класса уравнений (0.5) в предположении, что оператор М сильно (1/,р)-радиален получены необходимые условия конечномерной £-управляемости уравнения (0.5).

Во всех рассмотренных случаях показано, что при возможности раздельного управления сингулярной и регулярной системами, к совокупности которых сводится исходная система, все полученные результаты имеют характер критериев.

Показана эффективность полученных абстрактных результатов на примерах исследования е-управляемости и точной управляемости для некоторых классов начально-краевых задач для уравнений математической физики.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

При изучении ^-управляемости и управляемости используются методы теории полугрупп операторов, методы функционального анализа и теории управляемости эволюционных уравнений.

Кроме того, наш подход использует метод фазового пространства [60]. Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (0.2) к паре эквивалентных ему уравнений, определенных, однако, не на пространстве X, а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является фазовым пространством уравнения, а другое — ядром разрешающей полугруппы.

Следуя названному методу, в случае уравнения (0.2) мы приходим к двум уравнениям

X1{г) = йж1^) + Ь^Виф, (0.9)

Нх°{г) = + - (о.ю) на подпространствах X1 и Х° соответственно, здесь операторы = Ь^Мг е С(Хг), Н = М^Ь0 е £{Х°).

Таким образом, исследование управляемости уравнения (0.2) сводится к исследованию управляемости каждого из уравнений (0.9) и (0.10) по отдельности. При исследовании управляемости уравнения (0.9) используются результаты, касающиеся уравнения вида (0.3) ((0.6), (0.8)), в частности, полученные ранее в работах [6], [29], [109] ([87], [35]). Исследовать же управляемость уравнения (0.10) существенно помогает нильпотентность оператора Н.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация кроме Введения содержит три главы и Список литературы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.

Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй и третий параграфы содержат соответственно основные факты об (.Ь, <т)-ограниченных и сильно (Ь, р)-радиальных операторах и соответствующих им аналитических группах и сильно непрерывных полугруппах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [68] - [70], [75]. В четвертом параграфе представлены необходимые результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах [74].

Вторая и третьи главы содержат новые результаты об управляемости и ^-управляемости уравнений соболевского типа.

Вторая глава посвящена исследованию бесконечномерной управляемости уравнения соболевского типа. В первом параграфе обосновывается выбор класса функций управления и вводятся определения ^-управляемости из нуля, в нуль и из любой точки в любую для уравнения (0.2) с сильно (Х,р)-радиальным оператором М. Кроме того, помимо ^-управляемости за время Т вводится понятие ег-управляемости за свободное время. Изучается взаимосвязь данных определений для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (0.2) и уравнения, суженного на ядро полугруппы, приводятся необходимые условия ^-управляемости. Второй параграф содержит критерии ^-управляемости уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (0.2), то есть невырожденного уравнения. В третьем параграфе найдены критерии ^-управляемости вырожденного уравнения и уравнения (0.2). В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются при изучении ^-управляемости уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Полученные абстрактные результаты используются при исследовании начально-краевой задачи для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными в пятом параграфе.

В шестом параграфе второй главы вводятся понятия точной управляемости уравнения (0.2) в предположении, что оператор М (Ь, а)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — М)-1. Необходимые условия точной управляемости уравнения (0.2) приведены в седьмом параграфе. В восьмом параграфе исследуется точная управляемость уравнения (0.2) для случая переменного оператора управления В(£).

В третьей главе изучается конечномерная управляемость уравнения соболевского типа. В первом параграфе приводится критерий конечномерной е-управляемости для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (0.4) в предположении, что оператор М (I/, <т)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (/хЬ — М)-1. Во втором параграфе исследуется е-управляемость для суженного на ядро группы уравнения, в результате получен критерий точной управляемости. Третий параграф содержит необходимое условие конечномерной е-управляемости уравнения (0.4). Отмечено, что в данной постановке задачи, найденное условие не является достаточным, в результате чего там же рассмотрена задача с раздельными функциями управления, для которой сформулирован критерий ^-управляемости. В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются для исследования конечномерной ^-управляемости задачи Коши - Дирихле для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной [7].

Пятый параграф третьей главы посвящен исследованию е-уп-равляемости более общего уравнения (0.5). Используя результаты [50] и предыдущих параграфов, в предположении, что оператор М сильно (£,р)-радиален, найдены необходимые условия конечномерной ^-управляемости уравнения (0.5). Шестой параграф содержит пример не ^-управляемой системы. В седьмом параграфе рассмотрена начально-краевая задача для уравнения, содержащего многочлены от эллиптического оператора высокого порядка, которая является обобщением некоторых задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.

АПРОБАЦИЯ

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004) [122], [121], XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001) [112], научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2001 - 2003) [113], [115], [118], Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002) [114], "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002) [127], "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002) [116], "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, 2003) [117], на семинаре проф. Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.

БЛАГОДАРНОСТИ

В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю доценту В.Е. Федорову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе; профессору Г.А. Свиридюку и коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику, а также моим родителям Фаине Павловне и Александру Федоровичу за заботу и помощь.

1. Авдонин С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Ленинград: ЛГУ, 1991.

2. Авдонин С.А., Горшкова О.Я. Управляемость и квазиуправляемость параболических систем с запаздыванием // Дифферент уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 442 451.

3. Авдонин С. А., Иванов С. А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент: Учеб. пособие. Киев: УМК ВО, 1989.

4. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порождаемых системами дифференциальных уравнений типа Соболева // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. Т. 9. С. 455 505.

5. Аллахвердиев Д.Э., Шапиро A.B. Об управляемости и наблюдаемости систем в банаховых пространствах // ДАН Азерб. ССР, 1979. Т. 35, № 5. С. 5 8.

6. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

7. Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // ПММ. 1960. Т. 24, № 5. С. 58 73.

8. Бейко И.В., Копец М.М. О нуль-управляемости линейных стационарных систем в банаховом пространстве // Укр. мат. журнал. 1976, № 1. С. 70 72.

9. Дзещер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью. ДАН СССР. 1972. Т. 202, № 5. С. 1031 1033.

10. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

11. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

12. Виши% М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Мат. сб. 1956. Т. 38, № 1. С. 51 148.

13. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М: Наука, 1979.

14. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М: Наука, 1985.

15. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1983.

16. Габое С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986.

17. Гальперн С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. Т. 9. С. 401 423.

18. Демиденко Г.В., Успенский C.B. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Изд-во Научная книга, 1998.

19. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

20. Ефремов A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 1996.

21. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1970.

22. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их применения. 1976. Т. 14. С. 21 -39.

23. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1990.

24. Кожанов А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // ДАН СССР. 1992. Т. 326, № 5. С. 781 786.

25. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989.

26. Конец М.М. Об управляемости линейной системой в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 3. С. 561 563.

27. Коробов В.И., Нгуен Хоа Шон. Управляемость линейных систем в банаховом пространстве при наличии ограничений на управление. I // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 5. С. 806 817.

28. Коробов В.И., Нгуен Хоа Шон. Управляемость линейных систем в банаховом пространстве при наличии ограничений на управление. II // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 6. С. 1010 1022.

29. Коробов В.И., Рабах Р. Точная управляемость в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 12. С. 2142 2150.

30. Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна // Тр. Моск. мат. о-ва. 1961. Т. 10. С. 273 285.

31. Красовсшй H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

32. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

33. Крейн С.Г., Чернышов K.M. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Новосибирск, 1979. (Препринт / Ин-т математики СО РАН).

34. Куперман JI.M., Репин Ю.М. К вопросу об управляемости в бесконечномерных пространствах // ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 4. С. 767 769.

35. Куржанский A.B. К управляемости в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9. С. 1715 -1718.

36. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

37. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

38. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1965.

39. Маринич А.И. О ^-управляемости линейных систем в банаховом пространстве и моментных неравенствах // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 3. С. 413 417.

40. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т. 336, № 1. С. 17 20.

41. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т. 343, № 4. С. 448 451.

42. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 6. С. 111 150.

43. Мельникова И.В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 4. С. 892 910.

44. Минюк С.А. К теории нуль-управляемости в банаховом пространстве линейных нормальных систем при наличии ограничений на управление // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 12. С. 1994 2004.

45. Минюк С.А. К теории нуль-управляемости в банаховом пространстве линейных нормальных систем при наличии ограничений на управление // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 501 508.

46. Назаров В.И. Системы управления с распределенными параметрами в шкалах банаховых пространств. I // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 2. С. 238 249.

47. Назаров В. И. Системы управления с распределенными параметрами в шкалах банаховых пространств. II // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 3. С. 425 431.

48. Нефедов С.А. О свойстве жесткости линейных динамических систем с управлением, заданных в бесконечномерных пространствах // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 10. С. 1786 1793.

49. Нефедов С. А. К теории управляемости систем с распределенными параметрами // Дифференд. уравнения. 1983. Т. 19, № 11. С. 1998 2001.

50. Нефедов С.А., Шолохович ФА. Критерий стабилизируемости динамических систем с конечномерным входом // Дифферент уравнения. 1986. Т. 22, № 2. С. 223 228.

51. Нефедов С.А., Шолохович Ф.А. О полугрупповом подходе к задачам граничного управления // Изв. вузов. Математика. 1985. Т. 12, С. 37 42.

52. Нефедов С.А., Шолохович Ф.А. Критерий е-управляемости линейной системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 4. С. 653 657.

53. Рабах Р. Об управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем в банаховом пространстве: Автореф. дисс. . канд. физ-мат. наук. Харьков: ХГУ, 1978.

54. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1823 1825.

55. Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 12. С. 2169 2171.

56. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С. 250 258.

57. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН. 1991. Т. 318, № 4. С. 828 831.

58. Свиридюк Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах. Дис. . докт. физ.-мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 1992.

59. Свиридюк Г.А., Апетова Т.В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // ДАН. 1993. Т. 330, № 6. С. 696 699.

60. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47 74.

61. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т. 337, № 5. С. 581 584.

62. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, № 2. С. 216 237.

63. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. ИЗО 1145.

64. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Относительно сильно радиальные операторы и сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50, № 4. С. 142.

65. Свиридюк Г.А., Ефремов A.A. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 11. С. 1912 1919.

66. Свиридюк Г.А., Ефремов A.A. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Математика. 1996. № 12. С. 75 83.

67. Свиридюк Г.А., Ефремов A.A. Оптимальное управление одним классом линейных вырожденных уравнений // ДАН. 1999. № 3. С. 323 325.

68. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. ИЗО 1145.

69. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 3. С. 604 616.

70. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Уравнения соболевского типа. Челябинск: Изд-во ЧелГУ, 2003.

71. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией // Мат. заметки. 1980. Т. 95, № 4. С. 569 578.

72. Сидоров H.A., Фалалеев M.B. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726 728.

73. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18. С. 3 50.

74. Трибелъ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

75. Федоров В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами // ДАН. 1996. Т. 351, № 3. С. 316-318.

76. Федоров В.Е. Генераторы аналитических групп операторов с ядрами // Вестник ЧелГУ. Сер. Матем. Мех. 1996. № 1(3). С. 184 189.

77. Федоров В.Е. Полугруппы и группы операторов с ядрами. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

78. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173 -200.

79. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов // Изв. вузов. Математика. 2000. № 3. С. 54 65.

80. Федоров В.Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2000. С. 32 40.

81. Федоров В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 1646 1649.

82. Федоров В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы // Изв. РАН. Сер. Матем. 2003. Т.67, № 4. С. 171 188.

83. Чистяков В. Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Динамика нелинейных систем. Новосибирск. 1983. С. 163 173.

84. Чистяков В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы // Дифференц. уравнения и численные методы. Новосибирск. 1986. С. 123 128.

85. Шапиро A.B. Об управляемости и наблюдаемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Свердловск: УрГУ, 1980.

86. Шкляр Б.Ш. К управляемости линейных систем с распределенными параметрами // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 461 -471.

87. Шолохович Ф.А. Об управляемости в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 3. С. 479 484.

88. Шолохович Ф.А. Линейные динамические системы с управлением // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 2. С. 300 -308.

89. Шолохович Ф.А. Эпсилон-управляемость нестационарных линейных динамических систем в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 3. С. 475 480.

90. Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем // Изв. УрГУ. 1998. № 10. Вып. 1. С. 103 126.

91. Якубович В.А. Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и управлений — гильбертовы, и ее применение в некоторых задачах синтеза оптимального управления // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 46. № 5. С. 1081 1102.

92. Fattorini И.О. Control in finite time of differential equations in Banach space // Comm. Pure Appl. Math. 1966. V. 19, № 1. P. 17 34.

93. Fattorini H. O. On Jordan operator and rigidity of linear control systems // Revista de la Union Matamatica Argentina. 1966. V. 23. № 1. P. 67 75.

94. Fattorini H. O. On complete controllability of linear systems // J. Different. Equat. 1967. V. 3. P. 391 402.

95. Favini A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. mat. 1979. V. 12, № 3 4. P. 511 -536.

96. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V. CLXII. P. 353 384.

97. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. N.Y.: Marcel Dekker, 1999.

98. Kalman R.E., Ho Y.C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems // Contrib. Different. Equat. 1963. V. 1, № 2. P. 189 213.

99. Melnikova I.V., Filinkov A.I. Abstract Cauchy problems: three approaches. Boca Raton, FL: 2001. MSC 2000.

100. Oseen C. W. Hydrodynamik. Leipzig, 1927.

101. Poincare H. Sur l'equilibre d'une masse flnide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. V. 7. P. 259 380.

102. Sidorov N.; Loginov B., Sinithyn A. and Falaleev M. Lyapunov-Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2002.

103. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V. 31, № 3. P. 787 793.

104. Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V. 6, № 1. P. 25 42.

105. Showalter R. E. The Sobolev type equations. I. Appl. Anal. 1975. V. 5, № 1. P. 15 22.

106. Showalter R. E. The Sobolev type equations. II. Appl. Anal. 1975. V. 5, № 2. P. 81 99.

107. Sviridyuk G.A., Efremov A.A. Optimal control problem for a class of linear equations of Sobolev type // Proc. of ICOTA'95. Chengdu, China, 1995. P. 773 782.

108. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

109. Triggiani R. Controllability and observability in Banach space with bounded operators // SIAM J. on Control, 1975. V. 13, № 2, 462 -491.

110. Triggiani R. A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces // SIAM J. on Control, 1977. V. 15, № 4, 407 411.

111. Yagi A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators // Osaka J. Math. 1991. V. 28. P. 385 410.

112. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравнения соболевского типа с сильно (Ь,р)-радиальным оператором // Студент и научно-технический прогресс. Тез. междунар. научи. студ. конф. Новосибирск, 2001. С. 127- 128.

113. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравнения соболевского типа с сильно (£,р)-радиальным оператором // Студент и научно-технический прогресс. Тез. научн. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2001. С. 9 11.

114. Рузакова О. А. Об одномерной управляемости линейных уравнений соболевского типа // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: ЧелГУ, 2002. С. 215 219.

115. Рузакова О. А. Об одномерной управляемости линейных уравнений соболевского типа // Студент и научно-техническийпрогресс. Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2002. С. 5-6.

116. Рузакова O.A. Двумерная управляемость задачи Коши-Дирихле для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной // Обратные задачи: теория и приложения: Тез. докл. между-нар. науч. школы-конф. Часть 2. Ханты-Мансийск, 2002. С. 30-31.

117. Рузакова O.A. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс. конф. Екатеринбург. 2003. С. 65 66.

118. Рузакова O.A. Двумерная управляемость уравнения соболевского типа // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2003. С. 6.

119. Рузакова O.A. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Вестн. ЧелГУ. Математика, механика, информатика. 2003, № 1. С. 127 135.

120. Рузакова O.A. К вопросу об одномерной управляемости линейных вырожденных уравнений // Вестник МаГУ. Сер. Математика. 2003, Вып. 4. С. 111 120.

121. Рузакова O.A. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург. 2004. С. 216.

122. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Об одномерной управляемости в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. научн. конф. Екатеринбург, 2001. С. 177 178.

123. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Одномерная управляемость уравнений соболевского типа // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели. Тез. докл. междунар. науч. конф. Челябинск, 2002. С. 85.

124. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1137- 1139.

125. Федоров B.E., Рузакова О.А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно р-радиальными операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 54 57.

126. Федоров B.E., Рузакова О.А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 4. С. 618 628.

127. Ruzakova О.A. Two-dimensional controllability of Sobolev type equation // Ill-posed and inverse problems: Abstracts of internat. conf. Novosibirsk, Sobolev Institute press, 2002. p. 140.