Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Шафранов Дмитрий Евгеньевич

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

01.01.02 ' дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

СТЕРЛИТАМАК - 2006

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики Южно-Уральского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Свиридкж Георгий Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович

доктор физико-математических наук, доцент Федоров Владимир Евгеньевич

Ведущая организация:

Институт динамики систем и

теории управления СО РАН (г.Иркутск)

Защита состоится 28 декабря 2006 года в 12°° на заседании диссертационного совета К 212.315.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при СтерлитамакскоЙ государственной педагогической академии по адресу:

453103, Башкортостан, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49, ауд. 312

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СтерлитамакскоЙ государственной педагогической академии.

Автореферат разослан " " ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного сов< д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы. Пусть П„ - п-мерное риманово компактное ориентированное многообразие без края. В пространстве гладких Ь-форм определенных на Ип рассмотрим: уравнение Баренблатта-Желтова-КочнноЙ

(А-Д)«*=аДи, (1)

моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещи нновато-пор истой среде; линейное уравнение Осколкова

(Д - А)Ди< = ^Д2«, (2)

моделирующее в линейном приближении функцию тока вяз-коулругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка;

систему уравнений Осколкова

(А - У2)и{ ~ - (« ■ У)и - Ур, V •« = 0, (3)

моделирующее динамику скорости и давления пичноупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойпа нулевого порядка;

линейную систему уравнений Осколкова

(А - У2)и, = I/V2« - Vp, V^u = 0, (4)

моделирующее динамику скорости и давления вязкоупру-гой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка в линейном приближении и полученную отбрасыванием конвективного члена (и • V)« в системе (3).

В подходящим образом подобранных функциональных пространствах И, 5 уравнения (1), (2) и (4) редуцируются к линейному

Ьй = Ми, (5)

а уравнение (3) к полулинейному

Ьй = Ми + N{u)

уравнениям соболевского типа. В нашем случае N - нелинейный оператор, а М - линейные операторы, действующие из банахова пространства 11 в банахово пространство

Для этих уравнений, были отмечены два характерных именно для уравнений (5), (6) феномена - принципиальная неразрешимость задачи Коши

для них, при произвольных начальных данных «о, пусть даже из плотного в 11 множества, и сильная неустойчивость их решений.

Если iln - область в R" с границей дС1п класса С00, то феномены несуществования и неустойчивости решений для уравнений вида (5) были объяснены в монографии Г.А. Сви-ридюка и В.Е. Федорова,1 а для уравнений вида (6) феномен несуществования решений объяснен в работах Г.А. Сви-рндюка.2 Объяснение несуществования решений для уравнений (5), (6) заключается в описании множества допустимых начальных значений, которое понимается как фазовое пространство данных уравнений. Объяснение неустойчивости решений уравнения (5) заключается в выделении и изучении инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий. Для уравнения (6) исследование неустойчивости

1 Sviridyuk, G,A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov.- Utrecht etc.: VSP, 2003.

'Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вяэ-коупругой жидкости / Г.А, Свирцдюк // Изв. вузов. Математика,-1988.- № 1.- С.74-79.

Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. ВУЗ. Математика.- 1994,- №1,-С.62-70.

«(0) = «о

(7)

приводит к изучению инвариантных многообразий. Нашей целью является объяснение обоих феноменов для уравнений (1)-(4) в случае, когда fï„ - риманово компактное ориентированное многообразие без края.

Актуальность темы диссертации. Первым уравнения неразрешенные относительно выделенной производной начал изучать А, Пуанкаре в начале прошлого века. Систематическое их изучение началось с работ С.Л. Соболева,3 выполненных в середине прошлого века. С тех пор возникла традиция называть как абстрактные уравнения вида (5), (б), так и их конкретные интерпретации, например (1)-(4), уравнениями соболееского типа.

Об интересе к данным уравнениям свидетельствует большое число вышедших за последнее время монографий А. И. Кожанова, Ю.Е. Боярннцева, В.Ф. Чистякова, A.A. Щегловой, Г.В. Демиденко, C.B. Успенского, А. Фави-ни, А. Яги, И.В, Мельниковой, А.И. Филиикова, И.Б. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова, H.A. Сидорова, В.И. Логинова, A.A. Снницина, М.В. Фалалееиа н других авторов, целиком или частично посвященных этим уравнениям.

Для исследования устойчивости решений уравнений и систем в настоящее время широко используется теория инвариантных многообразий. Понятие инвариантного miioixj-образня ввел А.Пуанкаре, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Его исследование получили продолжение в работах Ж.Адамара, Д. Льюиса и О. Перрона.

В монографии Д. Хенри4 осуществлен перенос конечномерной теории инвариантных многообразий для нелинейных эволюционных уравнений в абстрактное банахово про-

3 Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / C.J1. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем.- 1954.- Т. 18,- С.3-50.

4Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри.- М.: Мир, 1985.

странство. Некоторые результаты теории устойчивости для уравнений такого типа изложены в работе Ю.Л. Далецкого и М.Г. КреЙна.

Исследования гладких fc-форм на многообразиях начались после появления теории В. Ходжа 6 и К. Кодаиры, Поздне появились работы, в частности Д.Дж. Эбина и Д, Map едена, A.A. Дезина, содержащие результаты исследований дифференциальных уравнений в пространствах гладких А:-форм или на многообразиях. Список работ по этим темам пополняется по мере развития техники функционального анализа6.

Наша диссертация лежит в русле научного направления, разрабатываемого Г.А. Свиридюком и его учениками. Используются результаты A.B. Келлер в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного уравнения (5), и работы О.Г, Китае-вой, в которых рассматриваются инвариантные многообразия уравнения (6),

Методы исследования. Основным методом доказательств существования решений является метод фазового пространства, который заключается в том, что начально-краевые задачи для конкретных уравнений (1)-(3) без потери общности сводятся к задаче Коши (7) для линейного (5), либо полулинейного (6) уравнения соболевского типа. Следующим шагом становится редукция уравнений (5), (6) к паре эквивалентных уравнений

s Hodge, W. The theory and applications of harmonic integrals / W. Hodge.- Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1952.

sSchwarz, G. Hodge Decomposition - A Method for Solving Boundary Value Problems / G. Schwarz // Lecture Notes in Math. 1607, Berlin: Springer, 1995.

tfû° = ti° + M0-l{I - Q)N(u), ùl = Su1 + LJ-lQN( «),

(3) (9)

соответственно, определенных, возможно, не в исходном пространстве, а на его взаимно дополняющих подпространствах (и1 = Ри, и0 = и —и1), одно из которых является фазовым пространством для исходного уравнения (5) или (0). Далее изучается фазовое пространство. При этом используются классические методы нелинейного анализа. В итоге описывается морфология фазового пространства начально-краевой задачи для конкретных уравнений (1)-(4).

В основе наших исследований устойчивости решений лежат методы теории инвариантных многообразий и экспоненциальных дихотомий. Для случая линейного уравнения (5) мы можем выделить устойчивое и неустойчивое инвариантные пространства. Устойчивость решения не изменится, если возмущать инвариантные пространства фазового пространства линейного (или линеаризованного) уравнения не слишком сильно до инвариантных многообразий нелинейного уравнения (6).

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации исследуется задача Коши для уравнения Б арен б-латта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова, линейной и полулинейной систем уравнений Осколкова п пространствах гладких &-форм, определенных на компактном рнмановом ориентированном многообразнх без края, что позволяет получать решения инвариантные относительно выбора локальных координат. Практическая значимость состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы при численном решении начально-краевых задач для этих уравнений и систем.

Получены следующие новые результаты:

1) теоремы о существовании и единственности решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочи-ной, линейного уравнения Осколкова и линейной системы уравнений Осколкова в пространстве гладких Аг-форм на

гладком компактном связном римановом ориентированном многообразии без края;

2) теорема о морфологии фазового пространства полулинейной системы уравнений Осколкова в пространстве гладких Ь-форм на гладком компактном связном римановом ориентированном многообразии без края;

3) теоремы о существовании инвариантных пространств и дихотомий решений задачи Коши для уравнения Варен-блатта-Желтова-КочиноЙ и линейной системы уравнений Осколкова;

4) теорема о существовании инвариантных многообразий решений задачи Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова,

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" и Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Понтрягинские чтении-ХГУ, Воронеж, 2003г.), Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003г.), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004г.), Международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005г.), Международном семинаре "Неклассические уравнения математической физики", посвященном 60-летию проф. В.Н. Врагова (Новосибирск, 2005г.), Четвертой всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2005г.), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Понтрягинские чтения-ХУП, Воронеж, 2006г.), Всероссийской научной конференции "Математика. Меха-

ника. Информатика", посвященной 30-летию Челябинского государственного университета (Челябинск, 200Сг.), на семинаре по уравнениям соболевского типа проф. Г.А. Сви-ридюка в Челябинском государственном университете, на семинаре под руководством проф. C.B. Хабирова в Институте механики Уфимского научного центра РАН и на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. К.Б. Сабитова в Стерлитамакской государственной педагогической академии. ;

Публикации. По теме диссертации опубликованы 11 работ, список которых приводится в конце автореферата. В совместных публикациях научному руководителю принадлежат постановки задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав и Списка литературы. Объем диссертации составляет 96 страниц. Библиография содержит 119 наименований работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава носит пропедевтический харак тер и содержит, соответствующим, образом переработанные, формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации.

Пусть il и ff - банаховы пространства, а операторы L,Af G (т.е. линейны и ограничены). Множество

pL(M) = {ц € С i(fiL - M)'1 €

называется L-резолъвентным множеством оператора М. Множество crL(M) = <С\/>£(М) называется L-спектром оператора М.

В первой главе опреляются решение, фазовое пространства, разрешающие группы операторов, устойчивые и неустойчивые инвариантные пространства и формулируются

теоремы о существовании разрешающих групп операторов и экспоненциальных дихотомий для линейных уравнений или систем соболевского типа (S).

Определение 1. Решение и = u(t) задачи (б), (7) называется квазистационарной траекторией уравнения (6), если tfti°(i) = 0 при всех t 6 (-Т,Т).7

Рассмотрим множество

Ш - {« € Д : (I - Q)(A/« + ЛГ(«)) = 0}. (10)

Определение 2. Множество

ал* = {«о € ЯЛ: ||Р,и0||ц < Ri, ||ti(t,tio)||u < Ri,t € R+} такое, что

(i) ЯЛ* диффеоморфно замкнутому шару в с центром в начале координат радиуса

(ii) ЭЛ3 касается it' в начале координат;

(iii) при любом uo € ЯЛ* |j«(i,«o)||u 0 "Р" * называется устойчивым, инвариантным многообразием уравнения (6);

а множество

2Ли = {и0 € ЯЛ: ||Pru0||u < Дь ||и(*,и0)||д < R2it € К-} такое, что

(i) SOT" диффеоморфно замкнутому шару в Я1 с центром в начале координат радиуса Jii;

(ii) ЯЛ" касается И1 в начале координат;

(iii) при любом «о € ЯЛ8 l|u(*,«a)||u 0 при i —оо называется неустойчивым инвариантным многообразием уравнения (б). 8

THit°(t) - левая часть уравнения (8)

8Через u(f,uo) обозначена квазистационарная траектория уравнения (6), проходящая через точку «о € ОТ.

В этой главе сформулированы абстрактные теоремы о существовании единственного решения в классе кпазиста -ционарных траекторий и инвариантных многообразий дли полулинейных уравнений соболевского типа (б).

В ней вводятся формулы используемых скалярных произведений в пространствах Ь-форм и соответствующих норм; сформулированы теорема Ходжа-Код аиры о расщеплении пространства &-форм.

Вторая глава посвящена исследованию линейных уравнений и систем соболевского типа в пространстве гладких А'-форм на гладком компактном ориентированном связном римановом многообразии без края.

В п.2.1 задача Коши для линейного уравнения Баренб-латта-Желтова-Кочиной (1), в пространстве 11 - гладких Аг-форм определенных на п-мерном римановом компактном ориентированном многообразии без края, редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа (5).

Дано описание фазового пространства уравнения (1)

И1 = {« £ и: (u, v>i)o = О, А = A¡}, А € <г(Д) \ {0}, (11)

где А( нз спектра оператора Лаиласа-Бсльтрами <т(Д).

Теорема 1. При любых А ф 0 и щ € Í11 существует единственное решение и £ C°°(IR;il*) задачи (1), (7) которое к тому otee имеет вид

Здесь т = аА,'/(А — А,-) из ¿-спектра оператора М, а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами г такими, что А = А,-.

il1 =il,Ag<r(A),

(12)

(13)

В п. 2.2 описывается структура бесконечномерного устойчивого

инвариантных пространств уравнения (1) и доказывается

Теорема 2. Для любых Л € К \ {0} и а € К+ решения уравнения (1) имеют экспоненциальную дихотомию.

П, 2.3 содержит редукцию задачи Коши для линеаризации уравнения Осколкова (2) к задаче Коши для уравнения соболевского типа (5). Для этого делается замена переменной. Фазовое пространство для получившегося уравнения имеет вид (11), (12) и доказывается теорема аналогичная теореме 1

Теорема 3. При любых А ф 0 « «о € н1 существует единственное решение и 6 ¿¡""(К;!!1) задачи (5), (7) которое к тому оке имеет вид

Здесь ¡Л{ — еА»/(А — А;) из ¿-спектра оператора М, а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами г такими, что А = А,-.

Следствие из нее дает нам решение задачи для исходной переменной

Следствие 1. Единственное решение а = а(£) задачи Коши (2), (1) имеет вид а = и(() + где 7 = Рк&ао-

(14)

и конечномерного неустойчивого

1Д' = {« € и1 : («, = 0, А < А^ (15)

Здесь д - проектор на подпространство гармонических ¿-форм.

В п.2.4 задача Коши для линейной системы уравнений Осколкова (4), получаемой отбрасыванием конвективного члена («• V) системы уравнений (3) редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа (5). Показано, что оператор при производной Ь является бирасщепляющим, а оператор М (1)-ограничен. Рассматриваем оператор А = V2} = + ПА^ спектр которого обо-

значен а{А). Элемент и € И имеет вид и — где

— Ей, = Пи и ир — р. Описывается фазовое пространство системы уравнений (4)

ф - {« € И: ПкАлщ ~ ир,и<1 = 0} (1С)

и доказывается следующая

Теорема 4. При любых А € К\сг(Л),г/ е К\{0} илюбого «о € ф существует единственное решение и € задачи Каши (4), (7),

В п.2.5 описывается структура устойчивого и неустойчивого инвариантных пространств еистсмы уравнений (4). Получены аналоги формул (14), (15) и докачышк'тся

Теорема 5. Для п = 2,ЗиА€К \ 6 су-

ществует экспоненциальная дихотомия решений системы уравнений (4). \

Третья глава содержит исследование полулинейной системы уравнений Осколкова (3) в пространстве гладких форм, заданных на гладком компактном ориентированном связном римановом многообразии без края.

В п.3.1 задача Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова (3), редуцируется к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа (6). Проведено ис-

следование структуры фазового пространства полулинейной системы уравнений Осколкова и доказана

Теорема 6. При любых А € К \ o(A)>v € R+f п = 2,3 фазовым пространством уравнения (3) служит простое банахово С0-многообразие

= {и € Я : ПС(иЙ) = ир},

моделируемое подпространством il1 = х {0} X {0} и содержащее только квазистационарные траектории.

Элемент и € U имеет вид и = (us^uj, up), где щ = Б«, uj = Пи и Up s р, а оператор С соответствует конвективному члену уравнения (3).

Отмечено, что в силу определения 1 система (3) не имеет других решений, кроме квазистационарных траекторий.

В п.3.2 исследуется устойчивость решений системы уравнений Осколкова (3), редуцированной к полулинейному уравнению (6). Доказана

Теорема 7. Для n = 2,3wAeK\ cr(A),i/ € R+, в окрестности точки пуль, существуют устойчивое инаа-риантное многообразие ЯЛ® и неустойчивое инвариантное многообразие ЯЛ" уравнения (3), причем ЯЛ" конечномерно u dimЯЛ" — max{t : А < А;}, а ЯЛ* бесконечномерно « codimiOT* = dim + dim ker L.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Свирндкж, Г.А. Об одной задаче фильтрации жидкости на гладком многообразии / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы межд. конференции.- Воронеж: ВГУ, 2003.- С.222-223.

2. Свириднж, Г. А. О задаче Коши для линейного ура!тения Осколкова на ; гладком многообразии / Г.А. Свиридкж, Д.Е. Шафранов // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIVй: Воронеж: ВГУ, 2003,- С. 127-128.

3. Свириднж, Г.А. О задаче Коши для линейного уравнения Осколкова / Г.А. Свиридкж, Д.Е. Шафранов // Тр. 13 межвузовской конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть 3. Секция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи".- Самара: СамГТУ, 2003.-С.148-149. '

4. Свириднж, Г.А. Задача Коши для линейного уравнения Осколкова на гладком многообразии / Г.А. Свиридкж, Д.Е. Шафранов // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика,- 2003,- № 1.- С.146-153.

5. Свиридкж, Г. А. Задача Коши для уравнения Барен-бл атта- Желто ва- Коч и ной на гладком многообразии / Г.А. Свиридкж, Д.Е. Шафранов // Вести. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика.- 2003.- № 3.- С.171-177.

6. Свиридкж, Г.А. О задаче Коши для линейного уравнения Осколкова на многообразии без края / Г.А. Свиридкж, Д.Е. Шафранов // "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"; Тез, докл, Всерос. науч. конф - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун^га, 2004.- С.219.

7. Свиридкж, Г.А. Квазистационарные траектории уравнения Осколкова на многообразии без края / Г.А. Свиридкж, Д.Е. Шафранов // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения: Материалы междунар. научной конф. ТВМНА-2005.- Воронеж: ВГУ, 2005.- С. 100.

8. Свиридкж, Г, А. Уравнения Осколкова на многообразии без края / Г. А. Свиридюк, Д. Е. Шафранов // Неклассические уравнения математической физики: Тр. между-нар. семинара посвященного 60-летию профессора В.Н. Вра-гова.- Новосибирск; Изд-во Ин-та математики, 2005.-С.263-267.

9. Шафранов, Д.Е. Инвариантные пространства и дихотомии для одного уравнения соболевского типа / Д.Е. Шафранов // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVII".- Воронеж: ВГУ, 2006.- С.106,

10. Шафранов, Д.Е. Об инвариантных пространствах линейной системы Осколкова на римановом многообразии без края / Д.Е. Шафранов // "Математика. Механика. Информатика": Тез. докл. Всерос. науч. конф./ Отв. ред. Ильин. A.M.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006,- С.153.

11. Шафранов, Д.Е. Фазовое пространство и устойчивость системы Осколкова на римановом многообразии / Д.Е. Шафранов // Вестник МаГУ. Математика,- Вын, О.Магнитогорск: МаГУ, 2006,- С.97-106.

Подписано в печать 24.11.2006. Печать оперативная. Уел, печ. л. 1. Тираж 150 экз.

Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Обозначения и соглашения.

Введение б

1. Вспомогательные сведения

1.1. Относительно ^ограниченные операторы

1.2. Вырожденные разрешающие группы и инвариантные пространства.

1.3. Квазистациоиарные траектории и инвариантные многообразия.

1.4. Дифференциальные операторы на римановых многообразиях.

2. Линейные уравнения и системы соболевского типа

2.1. Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова

Кочиной.

2.2. Устойчивость решений уравнения Баренблатта

Желтова-Кочиной.

2.3. Задача Коши для линейного уравнения Осколкова

2.4. Задача Коши для линейной системы Осколкова

2.5. Устойчивость решений линейной системы

Осколкова

3. Полулинейная система уравнений соболевского

3.1. Задача Коши для системы Осколкова.

3.2. Устойчивость решений системы Осколкова.

Постановка задачи

Пусть n-мерное риманово компактное ориентированное связное многообразие без края. В пространстве гладких /с-форм, определенных на Ип, рассмотрим уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной [2]

Л - A)pt = аАр, (0.0.1) моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде;

- линейное уравнение Осколкова [50], [57]

Д - А)Ду?г = иА2<р, (0.0.2) моделирующее в линейном приближении функцию тока вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка;

- систему уравнений Осколкова [38]

Л y2)Vt = i/V2f - (v ■ V)v - Vp, V • v = 0 (0.0.3) моделирующее динамику скорости и давления вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка;

- линейную систему уравнений Осколкова

Л - V2)^ = vV2v -Vp.V-v = 0 (0.0.4) моделирующее динамику скорости и давления вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка в линейном приближении и полученную отбрасыванием конвективного члена (и • V)u в системе (0.0.3).

В подходящим образом подобранных функциональных пространствах U, £ уравнения (0.0.1), (0.0.2), (0.0.4) редуцируются к линейному

Ьй = Ми, (0.0.5) а уравнение (0.0.3) к полулинейному

Ьй = Ми + N(u) (0.0.6) уравнениям соболевского типа. Еще в пионерских работах были отмечены два характерных именно для уравнений (0.0.5), (0.0.6) феномена - принципиальная неразрешимость задачи Коши м(0) = и0 (0.0.7) для них при произвольных начальных данных щ пусть даже из плотного в Я множества, и сильная неустойчивость их решений. Если Пп - область в R" с границей dQn класса С00, то феномены несуществования и неустойчивости решений для уравнений вида (0.0.5) были объяснены в [108], а для уравнений вида (0.0.6) феномен несуществования решений объяснен в [46], [49]. Объяснение феномена несуществования для уравнений (0.0.5),

0.0.6) заключается в описании множества допустимых начальных значений, которое понимается как фазовое пространство данных уравнений. Объяснение феномена неустойчивости для уравнения (0.0.5) заключается в выделении и изучении инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий. Для уравнения (0.0.6) исследование неустойчивости приводит к изучению инвариантных многообразий. Нашей целью является объяснение обоих феноменов для уравнений (0.0.1)-(0.0.4) в случае, когда £1п - риманово компактное ориентированное многообразие без края.

Актуальность темы диссертации

Первым уравнения неразрешенные относительно выделенной производной начал изучать А. Пуанкаре в начале прошлого века. Систематическое их изучение началось с работ C.J1. Соболева [59], выполненных в середине прошлого века (см. прекрасный обзор в [11]). С тех пор возникла традиция [27], [39], [40], [48], [50], [55], [81], [105], [106], [108] называть как абстрактные уравнения вида (0.0.5), (0.0.6), так и их конкретные интерпретации, например (0.0.1)-(0.0.4), уравнениями соболевского типа. И.Г. Петровский [44] и Ж.Л. Лионе [33] указывали на необходимость создания общей теории уравнений вида (0.0.5), (0.0.6). К настоящему времени уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики и привлекают внимание все большего числа исследователей. Об интересе к данным уравнениям свидетельствует большое число вышедших за последнее время монографий, целиком или частично посвященных этим уравнениям. Так монография В.Н. Врагова [8] посвящена исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и для линейных уравнений соболевского типа.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [23], в частности рассматривает уравнения вида

I- A)ut = Bu + f{x,t), где А, В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Работы Г.В. Демиденко и С.В. Успенского [11], [81] посвящены теории линейных дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной, имеющих в операторной форме вид эволюционных уравнений

-1

AQDltu + YsAl-bDtu = f- (°-0-8) к=О где Ло, Ai . ,Ai- линейные дифференциальныеоператоры по переменным х = (х\,. ,£„), причем символы операторов Ло, в основном, не удовлетворяют условию невырожденности. В [11] проведена классификация уравнений соболевского типа- уравнения простого соболевского типа, псевдопараболические уравнения и псевдогиперболические уравнения. Там же, из систем дифференциальных уравнений не разрешенных относительно старшей производной по времени, выделены системы соболевского типа и псевдопараболические системы. В ней рассматривались задачи Коши и общие смешанные задачи в четверти пространства для этих классов уравнений и систем вида (0.0.8), а также исследовались асимптотические свойства при t —* оо решений некоторых краевых задач уравнений соболевского типа в цилиндрических областях. В работах установлены условия разрешимости рассматриваемых задач, получены Lp-оценки решений, доказаны теоремы единственности в весовых соболевских пространствах.

Монография А. Фавини и А. Яги [86] посвящена исследованию задачи

4-Lv = Mv + f{t),0<t <Т, at

Lv(0) = v0 10 с замкнутыми линейными операторами L, М действующими в банаховом пространстве X, непрерывной на [0,Т] функцией /(£) со значениями в Л" и заданным элементом vq £ X. Оператор L 1 в общем случае не является непрерывным, поэтому авторы, используя метод полугрупп и операционный метод, редуцируют исходную задачу к многозначному дифференциальному включению eAu + f{t),0<t<T, и( 0) = uo, где А = ML'1 и и = Lv. В терминах оператора M(fiL — А/)-1 сформулированы теоремы существования и единственности решения задачи при некоторых условиях на начальное значение i>o и гладкость функции f(t).

В монографии И.В.Мельниковой, А.И. Филинкова [100], в частности, рассмотрено дифференциальное включение с многозначным линейным оператором А ju{t) £ Au{t), к которому можно редуцировать уравнение (0.0.б). В работе были найдены условия в терминах оценок на резольвенты оператора А и расщепления банахова пространства в прямую сумму domi4n ® Ап0, необходимые и достаточные для (гг,а;)-коррек-тности и n-корректности задачи Коши для включения. При этом речь идет о существовании решения задачи на полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Коши, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения в смысле более сильной нормы. Доказательства упомянутых результатов основаны на использовании понятий вырожденных п раз интегрированных полугрупп и их генераторов.

В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [13] описан математический аппарат, который может быть использован при постановке и исследовании краевых задач, а также приведены ряд результатов о разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений вида

But + Lu = /, где L, В-самосопряженные (или диссипативные) операторы в заданном гильбертовом пространстве Е. В общем случае не предполагается обратимость оператора В, в частности он может иметь нетривиальное ядро. Для уравнений соболевского типа часто корректна обычная задача Коши или близкая к ней, но если оператор В не знакоопределен может возникнуть иная ситуация. В работе исследуются спектральные задачи для линейных пучков вида Lu = ХВи, где L, В-самосопряженные операторы. Рассматриваются вопросы базисности собственных и присоединенных элементов этой задачи в пространстве с нормой ||и||о = |||В|1/,2и||, где || • ||- норма в исходном гильбертовом

12 пространстве Е. Затем аналогичные вопросы рассматриваются для эллиптических задач с незнакоопределенной весовой функцией и все это применяется к решению граничных задач для указанных классов операторно-дифференциальных уравнений.

В монографии Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова [5] рассматриваются алгебро-дифференциальные системы (АДС) вида

Ml = B(t)x{t) + f(t), где A(t) и B(t) прямоугольные матрицы зависящие от t G [О, Т], в том числе и для матрицы A(t) вырожденной при всех t из этого отрезка Авторы приводят классификацию таких систем, определяют вид решения для некоторых случаев и исследуют локальные свойства систем с конечномерным пространством решений, а также приводятся условия бесконечномерности пространства решений.

Монография В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой [73] посвящена системам обыкновенных дифференциальных уравнений с тождественно-вырожденной в области определения матрицей Якоби по х'. Изложены результаты исследований о существовании решений начальных и краевых задач для АДС в классическом и обобщенном смысле Соболева - Шварца. Обоснованы конструктивные критерии управляемости и наблюдаемости. Доказан аналог теоремы дуальности Калмана. Рассмотрены линейные АДС с отклоняющимся аргументом, разрешимость их в классическом и обобщенном смысле.

В монографии Н.А. Сидорова, В.И. Логинова, А.А. Синици-на, М В. Фалалеева [99] рассмотрена задача

B(t)xW{t) = A(t,x) + f(t) где операторы #(/), A(t,x) определены в некоторой окрестности ft = : \t\ < р. ||х|| < R} и действуют из Е] в Е2 (Ei, Е^-банаховы пространства), /(£) Е Е2 и В(0)-фредгольмов оператор. В работе построены непрерывные и обобщенные решения таких задач на основе метода Некрасова-Назарова неопределенных коэффициентов и топологических методов.

Для исследования устойчивости решений уравнений и систем в настоящее время широко используется теория инвариантных многообразий. Понятие инвариантного многообразия ввел А. Пуанкаре, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Он же и получил первые результаты в аналитическом случае. Для дифференцируемых отображений первые результаты принадлежат Ж. Адамару. Они рассматривали двумерные отображения. На случай произвольной размерности, но лишь в случае, когда линеаризованные в нуле отображения записываются в виде матриц, имеющих элементарные делители, эти результаты были обобщены Д. Лыоисом [97]. Некоторые вопросы, относящиеся к этой тематике, были рассмотрены A.M. Ляпуновым [34], хотя само понятие инвариантного многообразия не вводилось.

В монографии Н.Н. Красовского [28] для исследования поведения решений нелинейных динамических систем применяется метод функций Ляпунова, что позволило установить асимптотическую устойчивость нулевого положения равновесия и получить оценки его области асимптотической устойчивости.

Дальнейшее развитие теория инвариантных многообразий (существование, гладкость, устойчивость и т.д.) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности критической точки получила в работах Д.В. Аносова [1], С. Стернберга [107], Ф. Хартмана [90]. Подробнее эти вопросы были рассмотрены в статье А. Келли [94].

В монографии Д. Хенри [72] осуществлен перенос конечномерной теории инвариантных многообразий для нелинейных эволюционных уравнений = A(t)u + B(t,u) в абстрактное банахово пространство. Ряд результатов теории устойчивости для уравнений такого типа в банаховом пространстве с ограниченными операторами А, В изложен в работе Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [9].

Необходимо сказать также о решении дифференциальных уравнений в пространствах дифференциальных &-форм на многообразиях. Для корректной постановки начально-краевых задач необходимо было определить обобщение дифференциальных операторов в этих пространствах. Используя теории В. Ходжа [95] и К. Кодаиры [91] в серии статей в середине 50-х годов прошлого века Ж.Д. Дафф, Д.К. Спенсер, К. Фред-рикс и другие [82], [83], [87] провели исследование А;-форм на многообразиях с краем, а также изучали оператор Лапласа-Бельтрами и уравнение теплопроводности в пространствах /с-форм. В частности была показана самосопряженность оператора Лапласа-Бельтрами в заданных областях. В работах В.И. Арнольда, Д. Илса, X. Элайсона [77], [84], [85] было показано, что группы диффеоморфизмов компактного многообразия, сохраняющих объем, являются подходящим конфигурационным пространством для гидродинамики несжимаемой жидкости и к ним можно применять методы глобального анализа и бесконечномерной геометрии. После этого вышел целый ряд статей и монографий содержащий результаты исследований дифференциальных уравнений на многообразии Д.Дж. Эбина и Д. Марсдена [75], А.А. Дезина [10] и других авторов [67]. Список работ по этим темам пополнялся по мере развития техники функционального анализа [93], [104] работами по исследованию дифференциальных уравнений на многообразиях в различных аспектах [92], [101].

Наша диссертация лежит в русле научного направления, разрабатываемого Г.А. Свиридюком и его учениками. Линейные и полулинейные исследования, в рамках этого направления, осуществлялись параллельно по времени.

К линейным исследованиям относится кандидатская диссертация Т.А. Бокаревой [3] в которой, сделано обобщение результатов по аналитическим полугруппам с ядрами для уравнений (0.0.5) в случае L-секториальности оператора М и получены необходимые и достаточные условия существования фазового пространства в случае (L, ^-ограниченности оператора М. В диссертации Л.Л. Дудко [12] сделано обобщение на случай (Ь.р)-секториального оператора и рассмотрен случай L-радиа-льного оператора. В кандидатской диссертации В.Е. Федоров [68] обобщил ранние исследования, введя понятие (//^-радиального оператора и доказал аналог теоремы Хилле-Иосиды-Фи-ллипса-Феллера-Миядеры для уравнений соболевского типа. В этих диссертациях уравнения соболевского типа исследовались в банаховых пространствах. В докторской диссертации В.Е. Федорова [71] линейная теория уравнений соболевского типа распространялась на случай локально-выпуклых пространств. Исследовалась разрешимость начально-краевых задач для уравнений (0.0.5), когда операторы L и М представляют из себя многочлен или даже трансцендентную функцию от некоторого линейного оператора А. В диссертации А.А. Ефремова [14] при решении задачи Коши для уравнений соболевского типа с (Ь.р)-ограничеными и (Ь,р)-секториальными операторами исследуются задачи оптимального управления. Г.А. Кузнецов [30] продолжил поиск достаточных условий (L, ^-ограниченности и (Ь.р)-секториальности оператора М. В диссертации А.В. Келлер [21] изучены инвариантные многообразия и экспоненциальные дихотомии линейного уравнения соболевского типа, в случае L-секториальности оператора М. Диссертация С.А. Загре-биной [15] посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Веригина

Pu(0) = и0,Р+и(т) = ит для уравнений (0.0.5) и (0.0.6). Здесь Р~(+) некоторые спектральные проекторы. В своей диссертации С.В. Брычев [6] построил численный алгоритм решения задачи Коши для линейного уравнения соболевского типа (0.0.5), где L и М квадратные матрицы (det L — 0) и применил его к расчету экономики городского коммунального хозяйства. В диссертации А.А. Замышля-евой [16] получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка

АиМ = В„1И(п-1) + • • • + BQu + /, п > 1.

18

В диссертации И.В. Бурлачко [7] был построен численный алгоритм для задачи оптимального управления для системы

Ьй = Ми + f + Ви где L и М квадратные матрицы, а вектор функция Ви = Bu(t) задает управление.

Полулинейный случай рассматривается в кандидатской диссертации Т.Г. Сукачевой [60], в которой линейный метод С.В. Зубовой и К.И. Чернышева [18] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В докторской диссертации Т.Г. Сукачевой [63] сведены в единую теорию ее исследования задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений соболевского типа [61]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Якупова [76], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификации. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [19]. В диссертации Н.А. Манаковой [35] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера-Сидорова

Цх{0) - гго) = 0 оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа. Посредством метода Галеркина-Петрова-Фаэдо в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В.В. Шеметовой [74] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О.Г. Китаевой [22] посвящена обобщению теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа.

Из всего списка работ необходимо выделить диссертацию А.В. Келлер [21] в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного уравнения (0.0.5), и диссертацию О.Г. Китаевой [22], в которой исследуются инвариантные многообразия уравнения (0.0.6). Эти результаты используются в нашей диссертации.

Методы исследования

Основным методом доказательств существования решений является метод фазового пространства, разработанный Г.А. Сви-ридюком и Т.Г. Сукачевой. Метод заключается в том, что начально-краевые задачи для конкретных уравнений (0.0.1)-(0.0.4) без потери общности сводятся к задаче Коши (0.0.7) для линейного (0.0.5), либо полулинейного (0.0.6) уравнения соболевского типа. Следующим шагом становится редукция уравнения

0.0.б) к паре эквивалентных уравнений

Hu° = ii° + Mnl{l-Q)N{u). й1 = Sul + L^QNiu), соответственно, определенных, возможно, не в исходном пространстве, а на его взаимно дополняющих подпространствах (и1 = Ри, и1) = и — и1), одно из которых является фазовым пространством для исходного уравнения (0.0.G). Для уравнения (0.0.5) редуцируется аналогичным образом, но в отсутствии оператора N. Далее изучается фазовое пространство. При этом использую классические методы нелинейного анализа. В итоге описывается морфология фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения (0.0.1)-(0.0.4).

В основе наших исследований устойчивости решений лежат методы теории инвариантных многообразий и экспоненциальных дихотомий. Для случая линейного уравнения (0.0.5) мы можем выделить устойчивое и неустойчивое инвариантные пространства. Устойчивость решения не изменится, если возмущать инвариантные пространства фазового пространства линейного (или линеаризованного) уравнения не слишком сильно до инвариантных многообразий нелинейного уравнения (0.0.б).

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации могут быть использованы для исследований имеющих как теоретический, так и практический характер. В диссертации исследуется задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), линейного уравнения Осколкова (0.0.2), линейной (0.0.4) и полулинейной (0.0.3) систем уравнений Осколкова в пространствах гладких Ал-форм, определенных на компактном римановом ориентированном мно-гообразих без края, что позволяет получать решения инвариантные относительно выбора локальных координат.

Проведено исследование устойчивости решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), линейной (0.0.4) и полулинейной (0.0.3) систем уравнений Осколкова в пространствах гладких /г-форм на компактных римановых многообразиях без края. Результаты исследования устойчивости могут быть использованы при исследовании качественного поведения рассмотренных уравнений и систем. Практическая значимость состоит в том, что полученные результаты по морфологии фазовых пространств могут быть использованы при численном решении начально-краевых задач для этих уравнений и систем.

Новизна полученных результатов

В работе получены следующие результаты: изучена морфология фазового пространства задачи Коши для уравнения Барен-блатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова и линейной системы уравнений Осколкова в пространствах гладких fc-форм на римановых многообразиях без края; исследованы морфология фазового пространства и квазистационарные траектории полулинейной системы уравнений Осколкова; исследованы инвариантные пространства и устойчивость решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова, а также инвариантные многообразия и устойчивость решений задачи Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова в пространствах гладких &-форм на римановых многообразиях без края. Все задачи рассматривались впервые и полученные результаты являются новыми.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" и Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Понтрягинские чтения XIV, Воронеж, 2003г.),

Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003г.), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004г), Международном семинаре "Неклассические уравнения математической физики" посвященном 60-летию проф. В.Н. Врагова (Новосибирск, 2005г.), Международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005г.), Четвертой всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2005г.), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(Понтрягинские чтения XVII, Воронеж, 2006г.), Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика", посвященной 30-летию Челябинского государственного университета (Челябинск, 2006г.), на семинаре по уравнениям соболевского типа проф. Г.А. Свиридю-ка в Челябинском государственном университете, на семинаре под руководством проф. С.В. Хабирова в Институте механики Уфимского научного центра РАН и на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. К.Б. Сабитова в Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Краткое содержание диссертации

Диссертация помимо Введения содержит три главы и Список литературы. Сразу отметим, что Список литературы не может претендовать на полноту и соответствует только вкусам и предпочтениям автора.

Первая глава носит пропедевтический характер и содержит, соответствующим образом переработанные, формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р-ограниченных операторах, а также теорему Атьи-Зингера об индексе. Во втором параграфе вводятся определения решения, фазового пространства, разрешающих групп операторов, устойчивых и неустойчивых инвариантных пространств и формулируются теоремы о существовании разрешающих групп операторов и экспоненциальных дихотомий для линейных уравнений или систем соболевского типа (0.0.5). В третьем параграфе содержаться определения: решений, фазового пространства, квазистационарных траекторий, устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, простого банахового многообразия и сформулированы теоремы о существовании единственного решения в классе квазистационарных траекторий и инвариантных многообразий для полулинейных уравнений соболевского типа (0.0.6). В четпортом параграфе вводятся формулы используемых скалярных произведений и соответствующих норм; сформулированы теорема Ходжа-Кодаиры, теорема о расщеплении пространства к- форм.

Вторая глава посвящена исследованию линейных уравнений и систем соболевского типа в пространстве гладких А;-форм заданных на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края. В первом параграфе задача Коши для линейного уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа (0.0.5). Далее показана фредгольмовость оператора при производной L и (L, 0)-ограниченность оператора М. Там же дано описание стуктуры фазового пространства и доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для любого начального значения из фазового пространства. Во втором параграфе описывается структура устойчивого и неустойчивого инвариантных подпространств уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) и доказывается теорема о существовании экспоненциальной дихотомии решений этого уравнения. Третий параграф содержит редукцию задачи Коши для линеаризации уравнения Осколкова (0.0.2) к задаче Коши для уравнения соболевского типа (0.0.5). Показана фредгольмовость оператора при производной L и (L, 0)-ограниченность оператора

М. Описана структура фазового пространства и доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Ко ши для любого начального значения из фазового пространства. В четвертом параграфе задача Коши для линейной системы Осколкова (0.0.4), редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа (0.0.5). Показано что оператор при производной L является бирасщепляющим, а оператор М (L, 1)-ограниченным. Делается описание фазового пространство и доказывается теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (0.0.7) для любого начального значения из фазового пространства. В пятом параграфе описывается структура устойчивого и неустойчивого инвариантных подпространств линейной системы Осколкова и доказывается теорема о существовании экспоненциальной дихотомии решений этого уравнения.

Третья глава содержит исследование полулинейной системы Осколкова (0.0.3) в пространстве гладких А>форм заданных на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края. В первом параграфе задача Коши для полулинейной системы Осколкова (0.0.3), редуцируется к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа (0.0.6). В леммах указывается вид операторов, входящих в матричную запись операторов L и М. Показано что оператор М является (L. 1)-ограниченным. Проведено исследование морфологии фазового пространства и приведено замечание о существовании единственного решения задачи Коши, в классе квазистационарных траекторий, для системы (0.0.3). Во втором параграфе исследуется устойчивость решений полулинейной системы Осколкова (0.0.3), в окрестности точки нуль. Доказывается теорема о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий полулинейной системы Осколкова (0.0.3), в окрестности точки нуль.

Результаты, выдвигаемые на защиту

На защиту выдвигаются следующие результаты:

- теоремы о существовании и единственности решений задачи Коши уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова и линейной системы Осколкова в пространстве гладких /г-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края;

- теорема о морфологии фазового пространства задачи Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова в пространстве гладких к-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края;

- теоремы о существовании инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и линейной системы Осколкова, заданных в пространствах &-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края;

- теорема о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий полулинейной системы уравнений Осколкова, заданной в пространстве fc-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края.

Благодарности

Выражаю огромную благодарность научному руководителю-профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановку задачи и консультации в процессе работы над диссертацией; коллективу кафедры математического анализа за доброе отношение и участие в обсуждении результатов диссертации; а также моим родителям Евгению Васильевичу и Надежде Ивановне за понимание и поддержку.

1. Аносов, Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Ада-мара / Д.В Аносов // Научные доклады высшей школы (физ.-мат. н.). 1959. № 1. С.3-12.

2. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // ПММ. I960.- Т.24, № 5. С.58-73.

3. Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Т.А. Бокарева; РГПУ им. Герцена СПб, 1993.- 107 с.

4. Борисович, Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977.- Т.32, №4.-С.3-54.

5. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

6. Брычев, С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.В. Брычев; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 2002 124 с.

7. Бурлачко, И.В. Исследование оптимального управления Щ системами леонтьевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук:0513.18 / И.В. Бурлачко; Челябинский гос. ун т. Челябинск, 2005. 122 с.

8. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов.- Новосибирск-НГУ, 1983. 179 с.

9. Далецкий, Ю JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн- М.: Наука, 1970. 536 с.

10. Дезин, А.А. Многомерный анализ и дискретные модели / А.А. Дезин.- Новосибирск: Наука, 1990 239 с.

11. Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В.Успенский.- Новосибирск: Научная книга, 1998.456 с.

12. Дудко, Л.Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 /Л.Л. Дудко; Новгород. гос. ун-т.- Новгород, 1996.

13. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов.- Новосибирск: Наука, 2000.- 336 с.

14. Ефремов, А.А. Исследование оптимального управления Щ линейными уравнениями типа Соболева: дис. канд. физ.мат. наук: 01.01.02 / А.А. Ефремов; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1996. 102 с.

15. Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.А. Загребина; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002. 100 с.

16. Замышляева, А.А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.А. Замышляева; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2003. 101 с.

17. Зеленяк, Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными /Т.И. Зеленяк.- Новосибирск: НГУ, 1970- 164 с.

18. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном операторе с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их примен.- 1976 №14.- С.21-39.

19. Казак, В.О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений Соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.О. Казак.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2005.- 99 с.

20. Капитанский, JI.В. О некоторых задачах векторного анализа / Л.В. Капитанский, К.Н. Пилецкас // Зап. науч. семинара ЛОМИ. 1984.-Т.138. С.65-85.

21. Келлер, А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.В. Келлер; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1997. 115 с.

22. Китаева, О.Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.Г. Китаева; Магнитогорский гос. ун-т.- Магнитогорск, 2006 111 с.

23. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов.- Новосибирск: НГУ, 1990 132 с.

24. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН СССР.- 1992,- Т.326, № 5.- С.781-786.

25. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб мат. журн.- 1994.- Т.35, № 2.- С.359-376.

26. Кожанов, А.И. Задача с косой производной для некото-^ рых псевдопараболических и близких к ним уравнений /А.И. Кожанов // Сиб мат. журн.~ 1996.- Т.37, № 6. С.1335-1346.

27. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперина / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин// Тр. Моск. мат. об-ва.- 1961.- Т.Ю.- С.273-285.

28. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовкий.- М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

29. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1967.275 с.

30. Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Г.А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1999.- 105 с.

31. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская.-М.: Наука, 1970.- 288 с.

32. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1996.- 203 с.

33. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972.- 414 с.

34. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений / A.M. Ляпунов. Т.2. М.: Изд. АН СССР, 1956. 473 с.

35. Манакова, Н.А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Н.А. Манакова; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. 111 с.

36. Морен, К. Методы гильбертова пространства / К. Морен.-М. : Мир, 1965.- 570 с.

37. Осколков, А.П. К теории жидкостей Фойгта / А.П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ- 1980- Т.96.-С 233-236.

38. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта / А.П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ 1991- Т. 197 - С.120-158.

39. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ 1991- Т. 198 - С.31-48.

40. Осколков, А.П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. семинара ПОМИ- 1992.-Т.200 С. 139-148.

41. Павловский, В.А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров / В.А. Павловский // ДАН СССР. 1971. Т.200, Ш- С.809-813.

42. Палий Н.Д. Локальная аналитическая классификация уравнений соболевского типа: дис. канд. фич.-мат. наук: 01.01.02 / Н Д. Пазий; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1999-126 с.

43. Пале, Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе / Р. Пале М.: Мир, 1967.- 360 с.

44. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский.- М.: Физматгиз, 1961.400 с.

45. Рузакова, О.А. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.А. Рузакова; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2004.- 110 с.

46. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. ВУЗ. Математика.- 1988 № 1- С.74-79.

47. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. ВУЗ. Математика 1990 - № 12 - С.65-70.

48. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк// Изв. РАН. Сер. математическая. 1993. Т.57, № 3.- С. 192-207.

49. Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вяз-коупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. ВУЗ. Математика.- 1994 К0- 1. С.62-70.

50. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секто-риальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ.- 1994.- Т.б, Выпуск 5 С.252-272.

51. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференц. уравнения.- 2003.- Т.39, № П.- С.1556-1561.

52. Свиридюк, Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.В. Келлер // Изв. ВУЗ. Математика 1997 - № 5 - С.60-68.

53. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Изв. ВУЗ. Математика. 2003- № 9 - С.36-41.

54. Свиридюк, Г. А. Быстро-медленная вязкоупругих сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // ДАН СССР. 1989.-Т.308,^4. С.791-793.

55. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференц. уравнения.- 1996.- Т.32, № 11.- С.1538-1543.

56. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения 1987 - Т.23, №4 - С.726-728.

57. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче математической физики / C.J1. Соболев// Изв. АН СССР, сер. матем.- 1954Т. 18 С.3-50.

58. Сукачева, Т.Г. Линеаризованная модель движения вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка/ Т.Г. Сукачева, М.Н. Даугавет // Сиб. журн. индустр. математики. 2003 Т.6, №4(16).- С.111-118.

59. Сукачева, Т.Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей: дис. док. физ.-мат. наук: / Т.Г. Сукачева; Новгород, гос. ун-т.- Великий Новгород, 2004.

60. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса / Р. Темам.- М.: Мир, 1981.- 408 с.

61. Уравнения на многообразиях / науч. ред. Ю.Г.Борисович, и др.; Воронеж, ун-т,- Воронеж, 1982. 139 с.

62. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.Е. Федоров; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1996. 104 с.

63. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ-2000.- Т. 12, № 3. С.173-200.

64. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения 2001.- Т.37, № 12.- С.1646-1649.

65. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально-выпуклых пространствах: дис. док. физ.-мат. наук: 01.01.01/01.01.02 / В.Е. Федоров; Челяб. гос. ун-т.-Челябинск, 2005 272 с.

66. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М.: Мир, 1985.- 376 с.

67. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова; Ин-т динамики систем и теории управления. Новосибирск: Наука, 2004.- 320 с.

68. Шеметова, В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.В. Шеметова; Магнитогорский гос. ун-т.-Магнитогорск, 2005.- 109 с.

69. Эбин, Д.Д. Группы диффеоморфизмов и движение несжимаемой жидкости / Д.Д. Эбин, Д. Марсден // Сб. Математика. 1973.- Т.17, № 3. С.142-167.

70. Якупов, М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики : дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.М. Якупов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1999. 83 с.

71. Arnold, V. Sur la geometrie differentiele des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a 1'hhydrodynamique de fluides parfaits / V. Arnold // Ann. Inst. Fourier.- 1966.-Vol.10 P.I.

72. Carroll, R.W. Singular and degenerate Cauchy problems // R.W. Carroll, R.E. Showalter New York etc.: Academic Press - 1976.

73. Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. 1968. Vol. 19. C.614-627.

74. Coleman, B.D. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation щ — uxx — uX£t on a strip / B.D. Coleman, R J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mecli. Anal.- 1965,-Vol.19. C.100-116.

75. Demidenko, G.V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations / G.V. Demidenko // Part. DifF. Eq. Banah Center Publ. Warsava.- 1992.- Vol. 27.- C.101-109.

76. Duff, G. Differential forms in manifolds with boundary / G. Duff // Anal, of Math.- 1952.- Vol.56, № 1.- C.115-127

77. Duff, G. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary / G. Duff, D. Spenser // Anal, of Math 1952-Vol.56, № 1.- C.128-156

78. Eells, J. A setting for global analysis / J. Eells // Bull. Amer. Math. Society.- 1966,- Vol.72, № 5.- C.751-807.

79. Eliasson, H. Geometry of manifolds of maps/ H. Eliasson // J. Diff. Geom.- 1967.- Vol.1.- C.169-194.

80. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi New York etc.: Marcel Dekker, Inc.-1999 - 324 c.

81. Friedrichs, К. Differential forms on Riemannian manifolds / Щ K. Friedrichs // Comrnun. Pure Appl. Math. 1955. Vol.8.C.551-590.

82. Gorban, A.N. The construrtion of the invariant manifolds for Boltzmann equation / A.N. Gorban, I.V. Karlin // Adv. Model, and Analysis. 1992. Vol.33, № 3. C.39-54.

83. Hallaire, M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. 1964. № 3.- C.60-72.

84. Hartman, P. On local homeomorphisms of Euclidean space / P. Hartman//Bol. Soc. Mat. Mexicana I960 - № 5. C.224-241.

85. Hodge, W. The theory and applications of harmonic integrals // W. Hodge Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1952 - 282 c.

86. Iwaniec, T. Nonlinear Hodge theory on manifolds with boundaiy, // T. Iwaniec, C. Scott, B. Stroffolini // Annali di Matematica pura ed applicata.- 1999 Vol.177. C.37-115.

87. Kato, T. On classical solutions of the two dimensial non stationary Euler equation /Т. Kato // Arch, for Rat. Mech. and Analysis.- 1967 Vol. 25, №3.- C.188-200

88. Kelley, A. The stable, center-stable, center-instable, instable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat.- 1967- Vol.3-C.546-570.

89. Kodaira, К. Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory) / K. Kodaira //Ann. of Math. 1949. Vol.50, №2. C.587-6G5.

90. Levine, H. A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au + F(u) / H. A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973.-- Vol.51, № 5. C.371-386.

91. Lewis, D.C. Invariant manifolds near an invariant point of instable type / D.C. Lewis // Amer. J. Math. 1938.- Vol.60-C.577-587.

92. Lightbourne, J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type / J.H.A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl 1983-Vol.93, № 2.- C.328-337.

93. Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev- Dordrecht-Harbound: Kluwer Academic publishers, 2002 548 c.

94. Melnikova, I.V. Abstract Cauchy problems: three approaches / I.V. Melnikova, A. Filinkov.- : Chapman and Hall/CRC, Boca Rator, Fl, 2001 236 c.

95. Mitrea, D. Layer potentials, the Hodge Laplacian, and global boundary problems in nonsmooth Riemannian manifolds /D. Mitrea, M. Mitrea, M. Taylor // Mem. Amer. Math. Soc. 2001. Vol.150, № 713.

96. Peter, B.W. Existence and persistence of invariant manifolds for semiflows in Banach space / B.W. Peter, L. Kening, Z. Chonghun // Met. Amer. Math. Soc 1998.- Vol.135, № 645,- C.l-129.

97. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems // S.G. Pyatkov Utrecht etc.: VSP, 2002.- 348 c.

98. Schwarz, G. Hodge Decomposition A Method for Solving Boundary Value Problems / G. Schwarz // Lecture Notes in Math. 1607, Springer, Berlin, 1995 - 155 c.

99. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R.E. Showalter // Appl. Anal- 1975- Vol.5, № 1-C.15-22

100. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. II / R.E. Showalter // Appl. Anal. 1975. Vol.5, № 2.- C.81-99.

101. Sternberg, S. Local constructions and a theorem of Poincare / S. Sternberg // Amer. J. Math.- 1957. Vol.79. C.809-824.

102. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov Utrecht etc.: VSP, 2003 - 268 c.

103. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного уравнения Осколкова на гладком многообразии / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика 2003.- № 1. С.146-153.

104. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на гладком многообразии / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика.- 2003 К0- 3.- С.171-177.

105. Свиридюк, Г.А. О задаче Коши для линейного уравнения Осколкова на многообразии без края / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // "Алгоритмический анализ неустойчивых задач": Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун та, 2004 С.219.

106. Шафранов, Д.Е. Фазовое пространство и устойчивость системы Осколкова на римановом многообразии / Д.Е. Шафранов // Вестник МаГУ. Математика. Вып. 9 - Магнитогорск: МаГУ, 2006.- С.97-106.