Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧУЕШЕВ Виктор Васильевич

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА НА КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Специальность : 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Новосибирского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Медных Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: член-корр. РАН, профессор ,

доктор физико-математических наук, Тайманов Искандер Асанович,

доктор физико-математических наук, профессор Берестовский Валерий Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор Цих Август Карлович

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита состоится "I? 03 . 2003 года в ¿£_ часов на заседании Диссертационного Совета ДООЗ.015.03 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, пр. академика Коппога, 4.

С диссертацией можно ознакомиться

в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

и

Автореферат разослан 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

Романов А.С.

А

\{\0_о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

1

Данная диссертация посвящена изучению мультипликативных функций и дифференциалов Прима для произвольных характеров на переменной компактной римановой поверхности. Кроме того, исследуются проективные структуры и соответствующие им линейно-полиморфные функции, в связи со стандартными униформизациями компактных ри-мановых поверхностей группами Кебе, и получаются вариационные формулы для групп монодромии таких функций.

Основы классической теории римановых поверхностей и абелевых дифференциалов на компактных римановых поверхностях были заложены в работах Б. Римана, Ф. Клейна, К. Вейерштрасса и А. Пуанкаре. Теория римановых поверхностей тесно связана со многими направлениями в современной математике - теорией функций на комплексных многообразиях, алгебраической геометрией, топологией и уравнениями математической физики. Она содержит три основных аспекта: топологический (двумерные поверхности и фундаментальные группы), алгебраический (дискретные группы, группы автоморфизмов поверхностей и комплексных многообразий) и аналитический (функции и дифференциальные формы на поверхности, дифференциальные уравнения и функциональный анализ).

Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима на компактных римановых поверхностях и их периоды появились в конце 19 века в работах Ф. Прима, Г. Роста, П. Аппеля и позднее Р. Кенига, О. Хаупта, Г. Петерсона (4; 5; 32; 24; 16; 31]. Для дальнейшего изучения этих объектов было недостаточно средств из алгебры, геометрии, теории функций и дифференциальных уравнений.

К середине 50-х годов 20 века появились нужные алгебро-геометри-ческие средства, например, теория голоморфных векторных расслоений над комплексными многообразиями в работах Н. Стинрода и Г. Грауэрта. Затем в работах М.А. Лаврентьева, Ю.Г. Решетняка, П.П. Белинского была развита теория квазиконформных отображений. С помощью этой теории была решена 22 проблема Гильберта и исследованы пространства Тейхмюллера компактных римановых поверхностей и пространства клейновых групп в работах Л. Альфорса [1], Л. Берса [1], С.Л. Крушкаля, И. Кра [25 - 27] и Б. Маскита [28 - 30].

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (коды проектов 98-01-00699, 99-01-00630) и грантом Сибирского отделения РАН.

Квазиконформные деформации фуксовых и других клейновых групп в настоящее время являются одним из важнейших методов в исследованиях по геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях.

Теория краевых задач в классе аналитических функций на компактных римановых поверхностях для сложного (составного) контура была развита в работах В.Н. Монахова, Л.А. Аксентьева, Э.И. Зверови-ча, Л.И. Чибриковой и С.Р. Насырова. Мультипликативные интегралы Прима (интегралы от дифференциалов Прима на римановой поверхности) являются решениями специальной краевой задачи в классе меро-морфных функций для составного контура на компактной римановой поверхности.

В середине 70-х годов 20 века после работ С.П. Новикова, И.М. Кри-чевера, Б.А. Дубровина, И.А.Тайманова, в связи с алгебро-геометриче-ским интегрированием уравнений математической физики (уравнения Кортвега де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили и др.), возрос интерес к тэта-функциям Римана, многообразиям Якоби и специальным характерам для фиксированной гиперэллиптической римановой поверхности. Кроме того, в теории многообразий Прима, связанных с двулистными накрытиями, применяются дифференциалы Прима для специальных характеров, квадраты которых равны единице. Такие характеры соответствуют так называемым спинорным структурам.

Затем в наше время дифференциалы Прима снова появились в ряде работ К. Эрла, И. Кра [9; 10; 27], в связи с тэта-рядами Пуанкаре; в работах Г. Кемпфа [23], Дж. Фея [12], Дж. Ергенсона [22], в связи с приложениями к теории чисел, и недавно в работе Э. Джеблоу [21] в вариационной теории таких дифференциалов. Однако, как правило, все эти авторы изучали голоморфные дифференциалы Прима для двух специальных видов характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности, которые либо принимают все свои значения только на единичной окружности, либо на половине образующих группы их значения равны единице.

По-видимому к 1980 году появилась необходимость в построении общей теории дифференциалов Прима для любых характеров, хотя бы на фиксированной компактной римановой поверхности. В 1980 году Р. Ганнинг [15] начал изучение голоморфных дифференциалов Прима и их периодов относительно произвольных существенных характеров. Классы периодов голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2 являются важными трансцен-

дентными инвариантами, связанными с поверхностью. Он ввел векторное расслоение Прима из голоморфных дифференциалов Прима и когомологическое векторное расслоение (Ганнинга) для классов их периодов и дал явное описание таких расслоений для рода д = 2.

Группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности появились ещё в 19 веке в работах А. Пуанкаре, Э. Пикара, П. Фату [см. 6, 18, 19], в связи с проблемой униформизации компактной римановой поверхности. В 70-х годах 20 века группы монодромии появились вновь в работах К. Эрла [8], И. Кра [25; 26], Б. Маскита [28], Д.А. Хейхала [18, 19] и Р. Ганнинга [13], в связи с общей проблемой униформизации и с теорией общих пространств Тей-хмюллера. В 80-х годах 20 века П.Г. Зограф, JI.A. Тахтаджяп решили проблему аксцессорных параметров для линейного дифференциального уравнения второго порядка класса Фукса на компактной римановой поверхности с помощью функционала действия, а A.B. Венков нашел явные формулы для этих параметров в терминах групп монодромии, которые являются фуксовыми группами.

Цель работы. Целью представленной работы является: 1) построение общей теории дифференциалов Прима и классов их периодов для произвольных характеров на переменной компактной римановой поверхности и создание новых методов для их исследования; 2) изучение векторных расслоений Прима, образованных дифференциалами Прима, и когомологического расслоения Ганнинга, составленного из классов периодов для таких дифференциалов, над пространством Тейхмюл-лера рода д > 2 и над пространством групп Кебе; 3) исследование периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима для произвольных характеров; 4) изучение проективных структур и их групп монодромии, в связи со стандартными униформизаци-ями компактных римановых поверхностей группами Кебе; 5) получение точных вариационных формул для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на компактной римановой поверхности.

Методика исследования. В диссертации широко применяются современные методы геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях, использующие универсальные многообразия Якоби, расслоенные пространства Берса, расслоенные пространства дивизоров над пространствами Тейхмюллера и стандартные по Б. Маски-ту униформизации компактных римановых поверхностей группами Кебе. Существенную роль играют методы теории квазиконформных ото-

бражений и геометрические методы исследования проективных структур и их групп монодромии на компактных римановых поверхностях, включающие также вариационные методы для получения точных вариационных формул группы монодромии линейных дифференциальных уравнений второго порядка и для решений нелинейного уравнения Шварца на компактной римановой поверхности.

Кроме того, предложен новый метод построения базиса мероморф-ных дифференциалов Прима, кратных заданному дивизору, на переменной компактной римановой поверхности, использующий многообразия Якоби, который голоморфно зависит от характеров и от модулей компактной римановой поверхности. Создан новый метод фильтрации в многообразии Якоби для изучения мультипликативных точек Вейер-штрасса, мультипликативных пробелов по Вейерштрассу и по Нетеру на компактной римановой поверхности.

Научная новизна. Основные результаты диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они могут быть объединены в следующие группы.

1. Построена общая теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для произвольных характеров на переменной компактной римановой поверхности. Она включает доказательства теорем Абеля, Римана-Роха для характеров; нахождение таблиц размерностей основных пространств мероморфных дифференциалов Прима, кратных заданным дивизорам, на компактной римановой поверхности, и нахождение топологических и аналитических свойств группы характеров компактной поверхности и ее специальных подгрупп.

2. Введены мультипликативные точки Вейерштрасса и построена теория мультипликативных точек Вейерштрасса на компактной римановой поверхности. Предложен новый метод фильтрации в многообразии Якоби для изучения мультипликативных пробелов по Вейерштрассу и по Нетеру на компактной римановой поверхности. С помощью этого метода доказана не инвариантность стандартной фильтрации в многообразии Якоби.

3. Предложен новый метод построения базиса мероморфных дифференциалов Прима, кратных заданному дивизору, на переменной компактной римановой поверхности, использующий многообразия Якоби, абелевы дифференциалы третьего рода и тэта-функции Римана, который голоморфно зависит от характеров и от модулей компактной римановой поверхности.

4. Изучены периоды замкнутых, гармонических и голоморфных диф-

ференциалов Прима для произвольных характеров. Найдена общая формула билинейного спаривания двух замкнутых дифференциалов Прима для произвольных характеров. Из этой формулы, как частные случаи, следуют все известные соотношения между периодами дифференциалов Прима, найденные в работах Ф. Прима, Г. Роста, Р. Ганнин-га, Г. Кемпфа и Е. Джеблоу. Получены мультипликативные аналоги теорем Ходжа и де Рама для нормированных характеров. Построены канонические базисы для гармонических и голоморфных дифференциалов Прима, вещественно-аналитически и комплексно-аналитически зависящие от характеров и от модулей компактной римановой поверхности соответственно.

5. Введено гармоническое векторное расслоение Прима, из гармонических дифференциалов Прима, и доказано, что оно вещественно-аналитически изоморфно когомологическому расслоению Ганнинга над базой из нетривиальных нормированных характеров. Найдено препятствие коциклического типа к взаимной однозначности отображения периодов над базой из ненормированных характеров.

6. Введены пространства компактных римановых поверхностей с неполным отмечанием и пространства групп Кебе фиксированной сигнатуры. Найдены топологические и аналитические свойства таких пространств, для которых пространство Тейхмюллера будет универсальным накрывающим пространством.

7. Построен базис в векторном расслоении Прима, из мероморфных автоморфных форм Прима относительно групп Кебе, кратных заданному дивизору, над пространством групп Кебе.

8.- Найдены необходимые и достаточные условия, чтобы проективная структура и соответствующая ей линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности была стандартной униформи-зацией этой поверхности.

9. Получена точная вариационная формула для группы монодро-мии линейного дифференциального уравнения второго порядка и для решения нелинейного уравнения Шварца на компактной римановой поверхности.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут служить основанием для дальнейшего развития геометрической теории функций комплексного переменного, алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии, аналитической теории чисел и уравнений математической физики. Данные результаты могут быть использованьх при

чтении спецкурсов по теории комплексных многообразий, геометрической теории функций и теории линейных дифференциальных уравнений на компактных римановых поверхностях.

Впервые построена теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для произвольных характеров на переменной компактной римановой поверхности. С помощью нового метода фильтрации в многообразии Якоби построена теория мультипликативных точек Вейерштрасса на компактной римановой поверхности. Предложен новый метод построения базиса мероморфных дифференциалов Прима, кратных заданному дивизору, на переменной компактной римановой поверхности, который голоморфно зависит от характеров и от модулей компактной римановой поверхности. Впервые найдена общая формула билинейного спаривания двух замкнутых дифференциалов Прима для произвольных характеров. Введено гармоническое векторное расслоение Прима, из гармонических дифференциалов Прима, и доказано, что оно вещественно-аналитически изоморфно когомологическому расслоению Ганнинга над базой из нетривиальных нормированных характеров. Введены пространства компактных римановых поверхностей с неполным отмечанием и пространства групп Кебе фиксированной сигнатуры. Найдены топологические и аналитические свойства таких пространств, для которых пространство Тейхмюллера будет универсальным накрывающим пространством. Найдены необходимые и достаточные условия, чтобы проективная структура и соответствующая ей линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности была стандартной униформизацией этой поверхности. Получена точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на компактной римановой поверхности.

Используемые при доказательстве теорем специальные и новые методы могут быть применены в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций комплексного переменного.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях : Всесоюзной конференции по теории функций, посвященной 100-ю со дня рождения Н. Н. Лузина (10-19 сентября 1983 г., Кемерово); Всесоюзном семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа"(16-23 сентября 1985 г., Ташкент); Всесоюзном семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа"(5-10 июня 1989 г., Ташкент); Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (14-16 ноября 1989 г., Новосибирск);

Международной конференции по геометрии, посвященной Н. И. Лобачевскому (август 1992 г., Казань); Всесоюзной школе "Алгебра и ана-лиз"(1993г., Байкал); International conference on discrete groups and 3-manifolds (Bielefeld State University, Germany, June 1996 г.); Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, ИНПРИМ-96); Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, ИНПРИМ-98); Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 1999 г.); Международной конференции по геометрии, посвященной 70-летию профессора В. А. Топоногова (Новосибирск, 2000 г.); Четвертый Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, ИНПРИМ-2000); Международной конференции, посвященной 100-летию академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2001 г.); Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A. D. Alexandrov, Euler International Mathematical Institute, St. Petersburg, June 2002; Всероссийской конференции "Математические методы в механике", посвященной 70-летию член-корр. РАН В. Н. Монахова ( 8-13 августа, 2002 г., Барнаул); Ben-Gurion University, Beer-Sheva, Israel (семинар под руководством профессора В. М. Гольдштейна) - 1999 г.; Ваг-Пап University, Tel-Aviv, Israel (объединенный семинар Института математики) - 1999 г.; Институт математики СО РАН (семинар по геометрии, топологии и их приложениям под руководством член-корр. РАН, профессора И. А. Тайманова) - 2002 г.; Омский государственный университет (геометрический семинар под руководством профессора В. Н. Берестовского) -2002 г.; Красноярский государственный университет (семинар по комплексному анализу под руководством профессора А. К. Циха) - 2002 г.; Казанский государственный университет (городской семинар по геометрической теории функций под руководством профессоров Л.А. Ак-сентьева и С.Р. Насырова) - 2002 г.; Институт математики СО РАН (объединенный семинар отдела геометрии и анализа под руководством академика Ю. Г. Решетняка) - 2002 г.; Кроме того, все результаты работы в различное время докладывались в Институте математики СО РАН (семинар отдела теории функций под руководством профессоров П. П. Белинского, С. Л. Крушкаля; семинар по геометрическим структурам на многообразиях и орбифолдах под руководством профессора А. Д. Медных).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 24 работы [33-56]. Основные результаты диссертации содержатся в моногра-

фии [56].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитированной литературы. Объем работы -260 страниц, библиография - 113 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на параграфы. Нумерация каждого утверждения состоит из трех цифр, первая из которых обозначает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер утверждения.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

Первая глава посвящена построению общей теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима для произвольных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности.

Параграф 1.1 имеет вспомогательный характер и содержит сведения по теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима, полученные в работах Ф. Прима [32], П. Аппеля [4-6] в конце 19 века и в начале 20 века, и изложенные в книге X. Фаркаша, И. Кра [11, р.126-134]. Обозначим через Р компактную риманову поверхность рода д > 2, Нот(-к\{Р),С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из 7Г1^) в С* = С\{0}. Характер р на (Р) называется несущественным характером на 7Г] (Р), если существует с — (са,..., сд) £ С® такой, что :

я

р{а,) = ехр 2тс^, р(Ь^) = ехр2тгг^7г:,^сА:, = 1

к=1

где

я

7Г1 (Р,0) = (а1,Ь1,...,ад,Ьд : Д[аА,Ьк] = 1),

к=1

П = {ж3к) ~ матрица порядка д из 6—периодов для канонического базиса (д,..., голоморфных абелевых дифференциалов на Р, двойственного с {ак,Ък}9к=1 (т.е. = 0 = = 1 ,...,д) [И, с. 129].

Несущественные характеры образуют подгруппу Ьд в Нот(Г, С*). Характеры р б Яom(7rl(F), С*)\Ьд называются существенными характе-. рами.

В параграфе 1.2 дается топологическая и аналитическая характе-ризация группы характеров i7oш(7Гl(F) О), С*) и ее специальных подгрупп Ьд и Ьд (Ьд - множество всех комплексно-сопряженных характеров к Ьд).

В параграфе 1.3 доказываются теорема Абеля для характеров, теоремы Римана-Роха для мероморфных дифференциалов Прима и для строго двойственных д-дифференциалов Прима относительно любых характеров на компактной римановой поверхности рода д, где д € Ъ,д > 0. С помощью этих теорем получаются шесть таблиц размерностей пространств мероморфных д-дифференциалов Прима для характера р, кратных дивизорам степеней т(2д -2),т>0,т,?б2)и им обратным дивизорам. Оказывается, что эти размерности зависят от того, выполняются или нет достаточное условие в теореме Абеля для характеров и некоторое равенство в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности.

Определение 1.3.1. Мероморфным д—дифференциалом Прима на Р для р называется однозначная мероморфная дифференциальная д—форма ф = ф{г)йгч на и = {г € С : < 1} такая, что

ф{Тг){йТг)4 = р(Т)ф(г)с1гч,Т £ Г,г е и,д € Ъ.

Здесь

- фуксова группа первого рода на £/ такая, что .Р = (7/Г, и группа Г изоморфна группе 7Гх(^).

Теорема (Абеля для характеров) [11, р.134]. Пусть В - дивизор на отмеченной компактной римановой поверхности [Р, {а^, Ь/}®=1] рода д > 1 и р - характер на 7Г1 (Р). Тогда £> будет дивизором мультипликативной функции / на Р для характера р, если и только если ¿едБ = 0 и

№ = 1>бМ)е(я ~ ¿1Е10®^-)^ =

3=1 ]—1

в многообразии Якоби J(F), т.е. С9 по модулю целочисленной решетки L(F), порожденной столбцами ..., матрицы а—пе-

риодов и 6—периодов, где <-р - отображение Якоби для К

Обозначим через (£>) пространство мероморфных д-дифференциалов ф = ф(г)йгч на Р для характера р таких, что (ф) > В, где д £ Z. Его комплексная размерность есть число 1р>ц{В) и ¿^(Р) = гр(В).

Теорема 1.3.1 (Римана-Роха для ^-дифференциалов и характеров). Для любых д > 0 и д £ Z верно равенство

ЧЛ») = (9~ 1)(2? - 1) - йедБ +

при любом характере р на компактной римановой поверхности .Р рода д, где / - любая мультипликативная функция для /), / / 0, и 2 • канонический класс дивизоров абелевых дифференциалов на Л

Классические д—точки Вейерштрасса играют большую роль в геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях, В параграфе 1.4 вводятся мультипликативные точки Вейерштрасса и строится теория мультипликативных точек Вейерштрасса для мультипликативных мероморфных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Оказывается, что свойства мультипликативных точек Вейерштрасса для существенных характеров сильно отличаются от свойств классических точек Вейерштрасса. Предлагается новый метод исследования пробелов Вейерштрасса и Нетера, и мультипликативных точек Вейерштрасса через фильтрации в многообразии Якоби на компактной римановой поверхности.

Теорема 1.4.5 (о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности Л рода д > 1 существует точно д — 1 чисел (мультипликативных пробелов Вейерштрасса) щ, удовлетворяющих неравенствам

О < щ < ... < Пд-1 < 2д,

которые определяются так, что для каждого г, г = 1,..., 5 — 1, не существует мероморфной мультипликативной функции для р на имеющей в качестве единственной особенности полюс в Р точно порядка щ.

Определение 1.4.2. Точка Р на компактной римановой поверхности Р рода д > 1 называется мультипликативной точкой Вейерштрасса для существенного характера р, если в ней можно задавать единственный полюс, мероморфной мультипликативной функции для р, порядка не превышающего д — 1.

Теорема 1.4.7 (о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности Р рода д > 2 верны следующие утверждения: 1) натуральное число 1 < 3 < д, будет мультипликативным не

пробелом в Р для р на F тогда и только тогда, когда МР)+Ф(Р) € W>\(W}_1 +Ч>(Р)У,

2) точка Р не будет мультипликативной точкой Вейерштрасса на F для р тогда и только тогда, когда выполняются условия :

MP) + ф(р) i WjMWj-x + <р(Р)), 1 < з < 9 - 1,

где Wj = tp{Fj), Fj - симметрическое j—кратное произведение поверхности F, a ip - отображение Якоби для F.

Теорема 1.4.15. На компактной римановой поверхности F рода д > 2 для любого характера р и при q > 1 (q, р)—каноническая линейная система | Z4p | дивизоров не имеет базисных точек на F.

Теорема 1.4.19. На компактной римановой поверхности F рода д > 2 для любого существенного характера р число N(p) мультипликативных точек Вейерштрасса для р на F удовлетворяет неравенству

9-1<Щр)<(д-1)2д.

Теорема 1.4.20. При фиксированной точке Р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 для существенного характера р Р—фильтрация для р в группе J(F)

О С Wi - tp(P) CW2- 2(р(Р) С ... CWk- к<р{Р) С ...

С Wg-i -(д- 1 MP) С Wg — дср(Р) = J(F)

будет отделимой исчерпывающей фильтрацией длины д в J{F).

Эта фильтрация позволяет определять мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса для существенного характера р в фиксированной точке Р среди чисел {1,2, ...,<?} через расположение ф(р) в J(F).

Пусть теперь фиксирован существенный характер р. Тогда получаем последовательность подпространств :

О Ф -ф(р) С WW(p) С w2-ti>(p) С ... С Шд-1-ф{р) С Wg-i>{p) = J(F),

так называемую р—фильтрацию для Р в J(F), хотя она не будет фильтрацией в J(F), как в теореме 1.4.20. Она позволяет определять точки Р и мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса в точке Р

для фиксированного существенного характера р среди чисел {1,2, ...,5} через расположение (р(Р),2ср(Р),...,д<р(Р) в J(F).

Кроме того, в теореме 1.4.21 показано, что подмножества Wk = ip(Fk), 1 < к < д — 1, не инвариантны относительно сдвига на любой ненулевой элемент в многообразии Якоби J{F) компактной римановой поверхности F рода д > 2.

Во второй главе строятся базисы мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности, которые голоморфно зависят и от модулей компактной римановой поверхности и от характеров.

В параграфе 2.1, который носит вспомогательный характер, дается краткий обзор по пространствам Тейхмюллера, по расслоенным пространствам Берса и по расслоениям дивизоров над пространством Тейхмюллера Тд.

В параграфе 2.2 строится базис голоморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности с помощью абелевых дифференциалов третьего рода. Для р € Нотп(Г, С*) обозначим через Г(/го, 01'°(р)) векторное пространство голоморфных дифференциалов Прима для р на F0 и через Pi,o(-Fo) = ир^£аГ(Ро,01,0(р)) векторное расслоение Прима для фиксированной поверхности Fq. Р. Ганнинг [14] доказал, что это голоморфное комплексное векторное расслоение ранга д — 1 над Нот{Т, C*)\Lg.

Определение 2.2.1. Мероморфным (р, q) —дифференциалом Прима ф = (¡>{z)dzq с характером р на Fß называется однозначная меро-морфная функция ф(г) на ?/JM(t/), удовлетворяющей условию

для г 6 wß(U), [р] G Т9, Р е Р. Здесь Г*1 - квазифуксова группа, униформизирующая в инвариантной компоненте wß(U) компактную риманову поверхность Fß. Если q = 0, то будем говорить о мультипликативной функции f на Fß с характером р.

Теорема 2.2.1. Для любых д > 2, ]р0] 6 Тд(Fo),Po £ Hom(T, С*)\Lg существуют односвязные окрестности

и(Ы) С Tg(F0),[f(po) С Яош(Г, С*)\Ьд

и голоморфные функции ф3([р],р-,г)^ = 1, ...,д — 1, на wß(U), голоморфно зависящие от [р.] £ U([/¿о]), Р £ U(po), такие, что при фиксированных [/и] и р они задают базис ф]{[р\,р\^)(1г, j = 1, ...,д — 1, в ком-• плексном векторном пространстве голоморфных р—дифференциалов

Прима на отмеченной компактной римановой поверхности w^iJJ)/ рода д.

Пусть Е будет главное Нот(Т, С*)—расслоение над Тg(F) со слоем #от(Г",С*) над точкой [i^] = Г^.

Лемма 2.2.2. Голоморфное главное Нот{Г, С*)—расслоение Е би-голоморфно изоморфно тривиальному расслоению Т g{F) х Нот (Г, С*) над Тg(F).

С помощью леммы 2.2.2 введем векторное расслоение Прима Pi,o(l) над Tfl(F) х (Нот{Г,С*)\Ьд) со слоем O1,0{/v)) над точкой

где р(А,) = = Pfi(B^)J = 1 ,...,д.

Рассмотрим векторное расслоение Прима Р,;(1), у которого слой над точкой ([/i],p) € Т, х Нот (Г, С*) состоит из голоморфных (р, q)— дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности F^ рода д > 2 при q>l,qeN.

Предложение 2.2.4. Для любого д > 2 эрмитово голоморфное векторное расслоение Прима P9(l), g > 1, над Тд х Lg аналитически эквивалентно тривиальному голоморфному векторному расслоению ранга д при q = 1 и ранга (2q — l)(g — 1) при q > 1.

Теорема 2.2.5. Для любого д > 2 векторное расслоение Прима Pi,o(l) над Т9 х Hom(T,C*)\Lg является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга д — 1.

Это утверждение уже доказано в теореме 2.2.1 и там был построен базис голоморфных дифференциалов Прима вида fioj,..., fg-iw, где и> -голоморфный абелев дифференциал, a /i,..., fg~i - мероморфные мультипликативные функции для р на Ffl, у которых полюса совпадают с нулями дифференциала и/. При этом базис голоморфно зависел от р и от [/х]. В теореме 2.2.5 построен базис голоморфных дифференциалов Прима другого вида fiui\,..., /9_iwg_i с теми же свойствами.

Теорема 2.2.6. Векторное расслоение Прима Р9(1) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q — l)(g — 1) над Тэ х Hom{Г, С*) при любых д > 2, q > 2.

Отметим, что при q = 1 и q > 1 частные случаи теорем 2.2.5 и 2.2.6 были доказаны И. Кра в [27] для множества нормированных характеров [51]2® С Нотп(Г,С*)\Ьд С Яош(Г, С*), где для построения базиса голоморфных (р, q) —дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях использовались тэта-ряды Пуанкаре и не выяснялось, как зависят они от характеров и от модулей компактных римановых поверхностей.

В параграфе 2.3, с помощью тэта-функции Римана, строится дру-

гой базис голоморфных g-дифференциалов Прима, который голоморфно зависит от существенных характеров и от модулей компактной ри-мановой поверхности.

В параграфе 2.4 строятся базисы в пространствах мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности.

Зафиксируем дивизор D = R\...Ri,l > 1, на F0. Используя глобальное вещественно-аналитическое сечение К. Эрла s для канонического отображения Ф, из пространства всех комплексных структур в пространство Тейхмюллера Т9, получим глобальное вещественно-аналитическое сечение из дивизоров D[/j] = ws^(D) = Ri[/х]...Д([/л] степени I над Т9. Обозначим через Рq(D) векторное расслоение Прима над Т9 х H от (Г, С*), слой которого над точкой ([//], р) состоит из мероморфных (p,q)— дифференциалов Прима ф = ф(г)с1гя на F^, кратных дивизору D\(l] степени I.

Теорема 2.4.1. Для любых g > 2, дивизора D = R\...Ri на F0, I > 1, векторное расслоение Прима Pi(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = g — 1 + I над Т9 х Нот(Т, С*).

Теорема 2.4.2. Для любых g > 2, дивизора D = Ri...R{ на Fo, I >

1, g > 2, векторное расслоение Прима Pg(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = (2g—l)(g—1)+/ над ТдхНогп(Г, С*).

Теорема 2.4.4. Векторное расслоение Прима PQ(D) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d — (2q—l)(g—l) — l над Т9 х Нот{Т, С*), если g > 2,D = R\...Ri на Fo, q > 2 и выполнено условие 2(q — 1)(д — 1) > I > 1.

Теорема 2.4.6. Для любых g > 2, q > 2 и дивизора D ф 1, degD = О на F0, эрмитовы голоморфные векторные расслоения Рq{D) и Р?(1) ранга d = (2g—l)(g—1) надТ9хЯот(Г, С*) биголоморфно изоморфны.

Пространство Тейхмюллера Т9 является неразветвленным накрытием для пространства Торелли Тэ, а группа Торелли т9, являющаяся нормальной подгруппой модулярной группы Тейхмюллера, действует свободно, т.е. без неподвижных точек, на Т9 [7]. При этом Тэ = Т9/т9. Все теоремы параграфов 2-4 главы 2 остаются верными, если в них пространство Тейхмюллера Т9 заменить на пространство Торелли Т9, где g >2.

В третьей главе дается описание расслоения Ганнинга для g >

2, вводится и изучается гармоническое векторное расслоение Прима из гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода g > 2.

В параграфе 3.1 изучаются гармоническое векторное расслоение Прима, когомологическое расслоение Ганнинга и представления группы Торелли для фиксированной компактной римановой поверхности. Обозначим через ¿^(Г^р) для р е Нот(Г, С*) множество всех отобраг жений ф : Г -> С таких, что

ф(вТ) = 0(5) +р(5)0(Г),5,Т е Г.

Каждый элемент ф е Z1(Г,p) будет единственно определяться упорядоченным набором комплексных чисел ф{А\), ...1ф(Ад),ф(Вх)>...,ф(Вд), удовлетворяющих уравнению

¿МВ^И,) - о{А5)ф{ВМ = о,

¿=1

которое получается из соотношения П= 1 в Г, где Су = [А^, В^] = АзВ^А^Вг1, а(Т) - 1-р(Т),Т е Г. Тогда г1{Т,р) - комплексное векторное ,(2д — 1)—мерное пространство для р ф 1 (т. е. р(5) ф 1 для некоторого 5 £ Г) и 2д—мерное пространство для р — 1. Пусть В1 (Г, р) - одномерное подпространство в Z1(Г,p), порожденное элементом а. Тогда Нх(Т,р) = 21(Г,р)/В1(Г,р) - комплексное векторное (2д — 2)—мерное пространство для р ф 1. Будем называть множество б = Д'1(Г, р) когомологическим расслоением Ганнинга для поверхности К

Голоморфный дифференциал Прима ф = ф{z)dz для р. определенный на односвязном диске С/, может быть записан в виде ф = <Л/(г) для подходящей голоморфной функции /(г) (она называется интегралом Прима для дифференциала Прима ф на С/). Следовательно,

/(Тг)=р(ТЖг) + ф(Т),

ф{вТ) = 0(5)+р(5)^(Т), где ф(Т) = /(Тго)-р(Т)/(хо). Таким образом, отображение ф:Т ф(Т), или отображение периодов ф : Г С относительно интеграла Прима f(z), есть элемент из Z1 (Г, р). Отображения периодов при различных интегралах Прима для одного и того же дифференциала Прима будут отличаться на элемент из Вг(Г, р). Поэтому С-линейное отображение р : ф —ь [ф] € Н1 (Г, р), которое дифференциал Прима ф переводит в его класс периодов [0], корректно определено. Отображение периодов р : Г (Г, О1,0(р)) —> #*( Г, р) такое, что ф(г)с1г р{ф{г)йг) = [ф] = {ф + са :с£ С} = ф + В1^^), будет С-линейным послойным инъективным отображением из Р^о в С? над Нот,(Г, С*)\Ьд.

Теорема 3.1.3. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений

над #от(Г, С*)\Ьд является точной при любом д> 2.

Множество всех гармонических дифференциалов Прима ф для р € Нот(Г, С*) образует комплексное (2</—2)—мерное векторное пространство Н1 (р)) при р £ Ьди Ьд, так как

где Ьд - образ Ьд при отображении р -> р.

Теорема 3.1.5. Эрмитово голоморфное векторное гармоническое расслоение Прима НР, образованное гармоническими дифференциалами Прима, ранга 2д — 2 является прямой суммой ортогональных эрмитовых голоморфных *—инвариантных векторных подрасслоений Р^о и Род ранга д — 1 над Нот(Г, С*)\(Ьд и Ьд) при любом д > 2.

Устанавливается, что образующим У. Ликориша для группы классов отображений поверхности Р при д > 2 соответствуют невырожденные квадратные матрицы порядка 2д — 2, имеющие простую структуру, а группа Торелли обладает большим классом нетривиальных представлений в группу матриц порядка 2д — 2.

Ф. Прим, Р. Рост [32] начали построение теории гармонических и голоморфных интегралов Прима только для нормированных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности. Дж. Кемпф [23] и Э. Джеблоу [21] получили ряд свойств периодов голоморфных дифференциалов Прима для нормированных характеров и для характеров, которые на половине образующих фундаментальной группы равны единице. В параграфе 3.2 изучаются классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д > 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы.

Теорема 3.2.3. Если ф,ф - замкнутые дифференциалы Прима на Г класса С°° для р\ и рч соответственно, то

О -> Р1]0 <3/Р1,0 О

и1 (,0)) = 0^{р)) © од о0'1 (Р)),

9 рА,го

¿=1 •'¿о

гВ,го

[ЫАЛ - 1)<КС1...С;-1) + /ьШФьШ - Ф(Ч)] / V}.

» 20

где Д - фиксированная фундаментальная область для Г в {У; ф = сИг(г) на и,Ь.(Тг) = р{Т)к(г) + фь(Т),Т € Г, причем это равенство инвариантно, относительно выбора интеграла для ф с точностью до аддитивного слагаемого.

Из этой общей формулы для билинейного спаривания получаются, как частные случаи, все известные соотношения между периодами дифференциалов Прима, найденные Ф. Примом, Р. Ганнингом, Дж. Кемпфом и Е. Джеблоу.

Для гармонических дифференциалов Прима относительно нормированных характеров доказываются аналоги теорем Ходжа и де Рама, строятся канонические базисы из гармонических дифференциалов Прима, которые локально вещественно-аналитически зависят от характеров. Аналог теоремы Ходжа получен Э. Джеблоу в [21] с использованием сложной техники аналитических линейных расслоений на рима-новых поверхностях. Аналог теоремы де Рама получен ранее Р. Ганнингом в [14] с использованием когомологий с коэффициентами в пучках на К Наше доказательство не требует такой сложной техники.

Устанавливается, что для существенных характеров голоморфные дифференциалы Прима однозначно определяются "половиной"своих базисных периодов. Строятся канонические базисы из голоморфных дифференциалов Прима, локально голоморфно зависящие от существенных характеров.

В параграфе 3.3 находятся некоторые свойства расслоений Прима и Ганнинга над пространством Тейхмюллера.

Теорема 3.3.1. Векторные расслоения Ганнинга С? и Прима НР над [51]2э\1 будут вещественно-аналитично изоморфными, и расслоение Ганнинга С? над [51]2я\1 равно прямой сумме двух вещественно-аналитических комплексных векторных подрасслоений ранга д — 1 для любой компактной римановой поверхности Р рода д > 2.

Из теоремы 3.2.3 вытекает, что условие

я р А, го __рВ]ХО _

£[(1 - рр(В,)) / /(г) * #(*) - (1 - ррШ) / № * #(*)] Ф О

,- = 1 •> ¡¡О 20

является некоторым коциклическим "препятствием"к взаимной однозначности отображения периодов р : Г(Р, ЪУ (/?)) -> Н1 (Г, /)) для р € [Я0т(Г,С*)\(£ги17)]\[51]2»,где^ = й/(г) е

С помощью леммы 2.2.2 введем расслоение Ганнинга б над Тг(Р) X (#оте(Г, С*)\1) со слоем Яг(Г",^) над точкой

Теорема 3.3.4. Когомологическое расслоение Ганнинга С является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 над Тд(Р) х (Нот(Г, С*)\1).

Из свойств отображения периодов р : Р^о С получается Теорема 3.3.5. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений

О Р1,0 4 в А С/Р1,о -> О

над Тх (Нот(Т, С*)\Ьд) является точной для любого д> 2.

В главе 4 изучается векторное расслоение Прима над пространством Тейхмюллера, над пространством групп Кебе и над пространством гиперэллиптических римановых поверхностей.

Классическая теория униформизации компактных римановых поверхностей традиционно исследует либо поверхности с полным (каноническим) рассечением, либо с рассечением по минимальному набору петель, превращающим поверхность в область, подобную плоской облаг сти на расширенной комплексной плоскости С. Это приводит к универсальной накрывающей и слабейшей плоской регулярной накрывающей (Шоттки) над компактной римановой поверхностью [29; 30; 17]. В [17] Д. А. Хейхал изучил пространства групп Шоттки, соответствующие слабейшей плоской регулярной накрывающей над компактной римановой поверхностью.

В параграфе 4.1 рассматриваются группы Кебе - группы преобразований наложения для любой промежуточной плоской регулярной накрывающей, и устанавливаются связи между пространством Тейхмюллера Тд компактных римановых поверхностей данного рода, пространством и^д-ь этих поверхностей с "неполным"отмечанием типа (к, д — /г) и пространством Уа отмеченных групп Кёбе сигнатуры ег, униформизирующих такие поверхности. Доказывается, что эти пространства являются областями голоморфности, а универсальным накрывающим пространством для них служит пространство Тейхмюллера. Построена диаграмма (9) из отображений

В предположениях: д > 2, сг ф (0,2,0,..., 0), й Ф 1 ,к = 1 ,...,р, и доказывается

Теорема 4.1.10. Существует единственный способ задания топологий в иь^-ь и в Уа, при которых диаграмма (9) является коммутативной диаграммой накрывающих отображений. При этом отображение Фу,а - гомеоморфизм, а слои Ф^^ж) и Ф~1(ж), для каждого х 6 С^, счетны.

В параграфе 4.2 дается определение мероморфных автоморфных форм Прима для групп Кебе фиксированной сигнатуры, связанных со стандартными (по классификации Б. Маскита) униформизациями компактных римановых поверхностей. Вводятся векторные расслоения Прима из таких д—форм над пространством Тейхмюллера, над пространством компактных римановых поверхностей с "неполным "отме-чанием и над пространством отмеченных групп Кебе. Кроме того, стро-р ится базис мероморфных автоморфных (р, д)—форм Прима, кратных

заданному дивизору, для групп Кебе фиксированной сигнатуры, который голоморфно зависит от модулей компактных римановых поверхно-^ стей и от характеров. Получаются аналоги всех теорем из параграфов

2.2 и 2.4 для векторных расслоений Прима над этими пространствами.

Л.В.Альфорс [1] доказал, что существует единственная комплексно-аналитическая структура £ на Т9, совместимая с топологией Тейхмюллера, относительно которой матрица из 6—периодов для канонического базиса голоморфных абелевых дифференциалов будет голоморфна. Она проектируется, в силу локальной гомеоморфности всех отображений, в комплексно-аналитическую структуру на ид,9_/,, С}ст и Уст. При этом все отображения в диаграмме становятся голоморфными.

Мероморфной автоморфной (р, д) —формой Прима ф = для

клейновой группы О называется мероморфная функция ф(() на области разрывности 0(6) группы б такая, что она удовлетворяет условию

?(ТС)[Г'(С)Г = Р(Т)Ш<; 6 ОД,т 6 с.

В главе 2 были построены (р, </)—дифференциалы Прима вида ф = 1ы,(ф) > на переменной компактной римановой поверхности ^ с модулями [р] 6 Тэ, которые голоморфно зависят от [р] и от р. После подъема ф по тг^ : Дл,<7 -> на Д^.с- получим мероморфную авто-морфную (р, д)-форму Прима ф для отмеченной группы Кебе на инвариантной компоненте Если ¿1 = До;,...,фа = /¿о; - ба-

зис (р, д)-дифференциалов Прима на > ,7 = 1, ■■.,(!, кото-

рый задается голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса ВУд над Та х Нота(Г, С*), то их поднятия ф\,..., фа на также задаются голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса-Кебе ВКУд(а) над х Нота(Т, С"). Таким образом получаем базис автоморфных (р, д)—форм Прима на Р^Д-О), который голоморфно зависит от модулей [р] компактной римановой поверхности и от характера р, над х Нотпа(Т, С*).

Л.Берс, К. Эрл, И. Кра [10; 27], Д.А. Хейхал [17] и многие другие авторы, используя метод А.Пуанкаре, строили базис голоморфных автоморфных форм веса д > 1, относительно специальных клейновых групп (Шоттки, квазифуксовы и конечно порожденные клейнов'ы группы) только для р = 1 или для нормированных характеров р, через тэта-ряды Пуанкаре. Наш подход, по-существу, является возвратом к идеям Ф.Клейна : строить мероморфные (р, д)—дифференциалы Прима, кратные заданному дивизору, сразу на компактной римановой поверхности, а затем поднимать их на любую накрывающую поверхность для компактной римановой поверхности.

В параграфе 4.3 дается конструктивный выбор базиса голоморфных абелевых дифференциалов любого порядка на гиперэллиптических римановых поверхностях, и строится базис голоморфных (р, д) — дифференциалов Прима, с учетом специфики таких поверхностей, голоморфно зависящий от произвольных характеров и от точек ветвления гиперэллиптических римановых поверхностей. Обозначим через Н9 множество классов конформной эквивалентности отмеченных гиперэллиптических римановых поверхностей рода д > 2. Тогда Н9 С Т3. Построенные в главе 2 базисы для векторных расслоений Прима Рч(1),

из голоморфных (р, ц) —дифференциалов Прима, над Т9 х Нот (Г, С*) можно сразу ограничить на подмногообразие Н9 и получить таким образом аналоги предложения 2.2.4, теорем 2.2.5, 2.2.6, заменив Тэ на Н9, хотя Н9 уже не будет односвязным.

Однако, учитывая две конкретные реализации для гиперэллиптических римановых поверхностей, можно вместо базиса Берса взять явный базис иг,..., абелевых голоморфных д— дифференциалов из теоремы 4.3.2. Этот базис будет голоморфно зависеть от точек ветвления в реализации таких поверхностей. Кроме того, нужные, для построения базиса голоморфных (р,д)— дифференциалов Прима, мультипликативные функции fj,j — 1,..., с?, для р можно выразить через явный канонический базис голоморфных абелевых дифференциалов ^,..., £я и через явные нормированные абелевы дифференциалы тр<у третьего рода с простыми полюсами в Р и на Р с вычетами +1 и -1 соответственно. При этом такие мультипликативные функции будут голоморфно зависеть от характеров и от точек ветвления гиперэллиптических римановых поверхностей.

При алгебро-геометрическом решении уравнений математической физики большую роль играют голоморфные дифференциалы Прима на гиперэллиптических римановых поверхностях для характеров ро, удовлетворяющих условию р$ = 1.

Следствие 4.3.3. Векторное расслоение Прима Р,Д1), из голоморфных (ро, д)— дифференциалов Прима, над Тд х р0 (и над Н.ахро) будет аналитически эквивалентно тривиальному векторному расслоению над этой базой. Таким образом, существуют глобальные голоморфные сечения из голоморфных (ро,^)—дифференциалов Прима над Т9 (и над Ня), где (¡г > 1,р1 = 1.

В главе 5 изучаются проективные структуры и группы монодро-мии линейных дифференциальных уравнений на компактной римано-вой поверхности.

В параграфе 5.1 исследуются группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактных римановых поверхностях рода д > 2, в связи со стандартной униформизацией этих поверхностей клей-новыми (разрывными) группами. Униформизация (А, С) для компактной римановой поверхности Р называется стандартной, если естественная проекция 7г : Д —>■ Р является плоской регулярной неразветвленной накрывающей [29]. Проективной структурой на Р называется атлас из карт на Р, у которого отображения соседства будут дробно-линейными отображениями [13].

Определение 5.1.1. Локально мероморфная (многозначная) функция z на F, ветви которой преобразуются дробно-линейно относительно действия группы m(F,0), называется линейно-полиморфной функцией на F.

Поднятая на (£/, 7г) линейно-полиморфная функция z на F является мероморфной (однозначной) функцией г = z(t) на U такой, что

z(At) = Az(t),te U,Ae Г,

где р(А) = А е PSL(2, С) - группа дробно-линейных преобразований С. Поэтому определен гомоморфизм р : Г PSL{2, С). И. Кра [26] назвал эту функцию (Г, р)— деформацией фуксовой группы Г в 17, а Р. Ганнинг [13] - реализацией (разверткой) неразветвленной проективной структуры на F. Для теории функций более подходящим представляется термин линейно-полиморфная функция, принятый в работе Д.А.Хейхала. К тому же, он согласован с исторической традицией, идущей от А. Пуанкаре, П. Аппеля и Э. Гурса [6].

Из теории пространств Тейхмюллера Тд [1] известно, что существует гомеоморфизм переводящий г = [F,-, {о^(т), Мг)}®=1] 6 Т9 в группу Гг из пространства нормированных отмеченных фуксовых групп на U. Поэтому можно писать Гт = {Ai(t), ...,Вд(т) : f]f=i¡Aj(т), Bj(т)] = 1}. Пусть z - линейно-полиморфная функция на FT = U/FT, тогда для мероморфной функции z = z(t) на U имеем z(At) = Az(t),A 6 Гт, А 6 PSL(2, С). Отображение А -»■ А назьшается гомоморфизмом мо-нодромии. Оно определяет отмеченную группу монодромии

M[z] = {Аг(т),...,Вд(т) : [^(г)Д(т)]...[1э(г),Д,(г)] = 1},

т.е. M[z] есть точка в [PSL{2, С)]2®.

Теорема 5.1.2. Пусть w = w(t) - локально однолистная линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности F рода д > 2. Тогда w = w(t) является униформизацией F, если и только если выполняются условия: 1) w(U) ф С, 2) w(U)/M[w) - компактная поверхность рода д.

Следствие 5.1.3. Пусть w = w{t) - локально однолистная линейно-полиморфная функция на отмеченной компактной римановой поверхности F рода д > 2 такая, что M[w] - отмеченная группа Кёбе сигнатуры а = (/i;s;¿!, ...,гт), [crj = д. Если w(U) Ф С, то w = w(t) -униформизация F группой Кёбе сигнатуры <х.

Следствие 5.1.3 показывает, что, как и классическая проблема уни-формизации фуксовыми группами, проблема выбора присоединённых параметров для любой стандартной униформизации компактной рима-новой поверхности группами Кёбе имеет единственное решение, если линейно-полиморфная функция га имеет "ограниченный"образ круга, т.е. «;([/) ф С. Следствие 5.1.3 включает в себя, как частные случаи, теоремы 3 и 5 из работы Д.А. Хейхала [18] для фуксовой группы и для групп Шоттки соответственно. Кроме того, получаем примеры групп монодромии, которые алгебраически устроены, как отмеченные группы Кёбе, но на ш(и) они действуют неразрывно.

В этом параграфе также исследуется отображение монодромии р : Т0<2 —> М, где Тэ<2 - векторное расслоение из голоморфных квадратичных абелевых дифференциалов над пространством Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода д, М - пространство отмеченных групп монодромии для рода д. Д.А. Хейхал в [18] показал, что отображение р не обладает свойством поднятия путей над М, но над частью Мд, соответствующей квазифуксовым униформизациям, оно обладает этим свойством. Естественно, представляет интерес нахождение частей пространства М, над которыми отображение р обладает этим свойством. В конце параграфа доказывается, что над любым пространством квазиконформных деформаций группы Кебе сигнатуры а = (Л, я, ¿х,..., гт), связанной со стандартной униформизацией компактной римановой поверхности рода д, отображение р обладает свойством поднятия путей.

В работе Д.А. Хейхала [19] начато исследование группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности с помощью вариационных методов. Он нашел первую вариацию для группы монодромии. Затем К. Эрл [8] вывел формулу первой вариации с помощью квазиконформных отображений римановых поверхностей.

В параграфе 5.2 находится точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка и первая вариация для решения уравнения Шварца на компактной римановой поверхности.

Функция = {г,£} = (г"/г')' - /г')2 удовлетворяет соотношениям = для Ь € Г, Ь € 11. Следовательно, д(£) задает квадратичный дифференциал на Р = С//Г.

Рассмотрим уравнение Шварца

а ¿=1

и линейное уравнение

а

7=1

на Л = С//Г, где </1 (¿)Л2,..., <7<г(г)<й2 - базис в пространстве голоморфных квадратичных дифференциалов, г(£)сЙ2 € И = (/¿1,..., /г^г) £ С^, = З/7—З. Будем рассматривать только нормированные решения /г) Л), «(£, /г) для любого Л такого, что |Л| = тах 1<]<а\Н] \ < е,£ - достаточно малое положительное число. Получим вариационную формулу для решения уравнения Шварца

<1 /-4

Л) = г(*,0)+ ]£/»,• / - гЦ,0)и(з)]2с1з + о(\!1\),\Ь\ О,

а также точную вариационную формулу для элементов группы моно-дромии М[г]

ад ни

+ +•■•>(£$ Й0»).

| Л]=гг

где

= / X) ..........*л)(в)Мл-(в)сГв,

п > > 0,Аг = (къ...,*чО>|Ь| = + •■• + =

мл*)=ш () =

при к = (0,..., 0,1,0,..., 0), символ 1 стоит на j - том месте.

Вариационные формулы показывают, как зависит группа монодро-мии и решение уравнения Шварца от присоединенных (аксцессорных) параметров (hi,..., hj).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору А.Д. Медных за постоянную дружескую поддержку и конструктивные обсуждения основных результатов диссертации.

Список литературы

[1] Альфорс Л.В., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения//Москва. ИЛ., 1961.

[2] Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений// М.-Л. ГИТТЛ, 1950.

[3] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2// Москва. Наука, 1985.

[4] Appell P. Generalisation des fonctions doublement périodiques de seconde espece// J. de Math. Pures et Appliquées (Ser.3). 1883. V. 9. P. 5 - 24.

[5] Appell P. Sur les intégrales de fonctions a multiplicateurs et leur application an développement des fonctions abeliennes en series trigonometriques // Acta Math. 1890. V.13, N 3/4. P. 1 - 174.

[6] Appell P., Goursat E., Fatou P. Theorie des fonctions algebriques// Chelsea Publish. Company. New-York, 1976.

[7] Earle C.J. Teichmueller theory// Discrete groups and automorhpic functions. Proc. the London Math. Soc.(ed. by Harvey W.J.). Academic Press, 1977. P. 143 - 162.

[8] Earle C.J. On variation of projective structures// Annals of Math. Stud. New-York. 1981. N 97. P. 87 - 99.

[9] Earle C.J., Kra I. Half-canonical divisors on variable Riemann surfaces// J. Math. Kyoto Univ. 1986. V. 26, N 1. P. 39 - 64.

[10] Earle C.J., Kra I. Positive divisors and Poincare's series on variable Riemann surfaces// Tohoku Math. Jour. 1987. V. 39. P. 429 - 436.

11] Farkas H.M., Kra I. Riemann surfaces //Grad. Text's Math. 1992. V. 71. New-York. Springer.

12] Fay J. Analytic Torsion and Prym differential// Proc. of the 1978 Stony Brook Conf. 1980. Princeton Univ. Press. P. 107 - 122.

13] Gunning R.C. Special coordinate coverings of Riemann surfaces// Math. Ann. 1967. V. 170. P. 67 - 86.

14] Gunning R.C. Riemann surfaces and generalized theta functions// Ergebnisse Math. Bd. 91. Berlin, 1976.

15] Gunning R.C. On the period classes of Prym differentials// J. Reine Angew. Math. 1980. N. 319. P. 153 - 171.

16] Haupt 0. Zur theorie der Prymschen Funktionen 1 und N Ordnung// Math. Ann. 1916. V. 77, N 1. S. 24 - 64.

17] Hejhal D.A. On Schottky and Teichmueller space//Adv. in Math. 1975. V. 15, N 2. P. 133 - 160.

18] Hejhal D.A. Monodromy groups and linearly polymorphic function// Acta Math. 1975. V. 135:1-2. P. 1 - 55.

19] Hejhal D.A. The variational theory of linearly polymorphic functions// J. d'Analyse Math. 1976. V. 30. P. 215 - 264.

20] Hejhal D.A. Kernel functions, Poincare series and LVA// Contemporary Math. 2000. V. 256. P. 173 - 201.

21] Jablow E. An analogue of the Rauch variational formula for Prym differentials// Israel J. of Math. 1989. V. 65, N 3. P. 323 - 355.

22] Jorgensson J. Analytic torsion for line bundle on Riemann surface// Duke Math. J. 1991. V. 62, N 3. P. 527 - 549.

23] Kempf G. A property of the periods of a Prym differential// Proc. of the Amer. Math. Soc. 1976. V.54. P. 181 - 184.

24] Koenig R. Zur arithmetischen Theorie der auf einem algebraischen Gebilde existierenden Funktionen// Ber. der Verh. Saechs. Ges. Wiss. Leipzig. Math.-Phys. Kl. 1916. V. 63. S. 348 - 368.

[25] Kra I. Deformation of Fuchsian groups// Duke Math. J. 1969. V. 36. P. 537 - 546.

[26] Krai. Remarks on projective structures// Annals of Math. Stud. New-York. 1981. N 97. P. 343 - 359.

[27] Kra I. On the vanishing of and spanning sets for Poincare' series for cusp form// Acta Math. 1984. V. 153. P. 47 - 116.

[28] Maskit В. Uniformization of Riemann surface // Discontinuous groups and Riemann surfaces. Ann. of Math. Studies. N 79. New-York. Acad. Perss., 1974. P. 293 - 312.

[29] Maskit В. On the classification of Kleinian groups. I - Koebe groups// Acta Math. 1975. V. 135, N 3-4. P. 249 - 271.

[30] Maskit В. On the classification of Kleinian groups. П - Signatures// Acta Math. 1977. V. 138, N 1-2. P. 17 - 42.

[31] Petersson H. Ueber eine metrisierung der automorphen Formen im die Theorie der Poincareschen Reinen// Math. Ann. 1940. V. 117, N 4. S. 453 - 457.

[32] Prym F., Rost G. Theorie der Prymschen Funktionen erster Ordnung im Anschluss an die Schoepfungen Riemann's// Leipzig. Teubner, 1911.

- Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах:

[33] Чуешев В.В. О некоторых подмногообразиях пространств групп Кебе// Докл. АН СССР. 1978. Т.243, N 3. С. 588 - 591.

[34] Чуешев В.В. Пространства Шоттки типа (g,s,m)// Сибирск. ма-тем. журн. 1979. Т. 20, N 3. С. 632 - 640.

[35] Чуешев В.В. Пространства компактных римановых поверхностей и групп Кебе// Сибирск. матем. журн. 1981. Т. 22, N 5. С. 190 - 205.

[36] Чуешев В.В. Конформные автоморфизмы компактных римановых поверхностей// Сибирск. матем. журн. 1982. Т. 23, N 6. С. 196 - 197. Деп. в ВИНИТИ, N. 1120-82. 21 с.

[37] Чуешев В.В. Отображение монодромии для компактных римановых поверхностей// Сибирск. матем. журн. 1983. Т. 24, N 3. С.216. Деп. в ВИНИТИ, N. 6533-82. 12 с.

[38] Чуешев В.В. Вариационные формулы для группы монодромии// Тез. докл. на Всесоюз. конф. по теории функций, посвящ.100-ю со дня рожд. Н.Н.Лузина. 10-19 сент. 1983 г. Кемерово. 1983. С. 129.

[39] Чуешев В.В. Точная вариационная формула для группы монодромии на компактной римановой поверхности// "Теория функций и ее приложения". Межвузовский сборник научных трудов, посвящ. 100-ю со дня рожд. Н.Н.Лузина. Кемерово. 1985. С. 23 - 28.

[40] Чуешев В.В. Когомологическое расслоение Ганнинга над компактной римановой поверхностью// Тез. докл. Всесоюзного семинара "Актуальные вопросы комплексного анализа". Ташкент. 1985.

С. 116 - 117.

[41] Чуешев В.В. Когомологическое расслоение Ганнинга и группа То-релли// Сибирск. матем. журн. 1990. Т. 31, N 3. С. 198 - 203.

[42] Чуешев В.В. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с циклическими группами конформных автоморфизмов// "Геометрия и Анализ". Межвузовский сборник научных трудов. Кемерово. КемГУ. 1991. С. 8 - 13.

[43] Чуешев В.В. Расслоение Прима и Ганнинга над пространством Тейхмюллера// Тез. докл. Всесоюзной Воронежской конф. Понтря-гинские чтения-4, посвящ. 85-летию со дня рожд. Л.С. Понтрягина. 1993. С. 203

[44] Chueshev V.V. Harmonic and holomorphic Prym differential on compact Riemann surface// Preprint 96 - 099. 1996. Universitaet Bielefeld. Germany. 14 S.

[45] Чуешев В.В. Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 1999. Т.40, N 2. С. 465 - 475.

[46] Чуешев В.В., Койнова О.А. Топологические и аналитические свойства группы характеров компактной римановой поверхности// Вестник КемГУ. 2000. В.4. С. 251 - 260.

[47] Чуешев В.В. Векторные расслоение Прима и расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера// Сибирск. матем. журн. 2001. Т.42, N 4. С. 937 - 951.

[48] Чуешев В.В. Периоды гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. жури. 2002. Т. 43, N 4. С. 937 - 952.

[49] Чуешев В.В. Пространства мероморфных q-дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности и тэта-функция Римана// Вестник НГУ. 2002. Т. 2, В.1. С. 85 - 114.

[50] Chueshev V.V. Multiplicative Weierstrass points// Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A.D. Alexandrov. POMI. S.-Petersburg. May-June 2002. P. 15 - 16.

[51] Чуешев В.В. Базис мероморфных q—дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности// Тез. докл. Всероссийской конференции "Математические методы в механике", по-свящ. 70-летию член-корр. РАН В.Н. Монахова, август 2002. АлтГУ, Барнаул, С. 34 - 35.

[52] Чуешев В.В. Базис пространств мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности и группы Кебе// Вестник НГУ. 2002. Т. 2, В. 2. С. 78 - 107.

[53] Чуешев В.В., Якубов Э.Х. Мультипликативные точки Вейер-штрасса на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 2002. Т. 43, N 6. С. 1408 - 1429.

[54] Чуешев В.В., Койнова О.А. Плоские модели для компактных ри-мановых поверхностей с двупорожденными группами конформных автоморфизмов// Вестник НГУ. 2002, Т.2, В.З. С. 11 - 27.

[55] Чуешев В.В. Мультипликативные точки Вейерштрасса и многообразие Якоби компактной римановой поверхности// Тез. докл. Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж. Воронеж, гос ун-т. 2003. С. 280-282.

[56] Чуешев В.В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности, Ч. 2// Кемерово. КемГУ, 2003. 248 с.

Чуешев Виктор Васильевич

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА НА КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 12.06.2003 г. Уч.-изд. л. 2 Усл. п.л. 2,5. Печать офсетная. Формат 60 X 84 1/16. Тираж 100 экз. Заказ № 73/524

Отпечатано в типографии издательства "Кузбассвузиздат." 650043, г. Кемерово, ул. Ермака, 7.

-Д

(112о »11120

Введение.

Глава Г. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на фиксированной компактной римановой поверхности.

§ 1.1. Основные свойства мультипликативных функций и дифференциалов Прима.на компактной римановой поверхности. Теоремы Абеля и

Римана-Роха для характеров

§ 1.2. Топологические и аналитические свойства группы характеров для фундаментальной группы компактной поверхности.

§ 1.3. Пространства мероморфных мультипликативных функций и q—дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Теорема Римана-Роха для дифференциалов Прима и характеров

§ 1.4. Мультипликативные q—точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности. Мультипликативные пробелы по Вейерштрассу и по Нетеру и их фильтрационные характеристики в многообразии Якоби

Глава 2. Базис в пространстве мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности

§ 2.1. Пространства Тейхмюллера, вложение Берса и модули компактных римановых поверхностей

§ 2.2. Базис голоморфных дифференциалов Прима и абелевы дифференциалы третьего рода на переменной компактной римановой поверхности

§ 2.3. Базис голоморфных дифференциалов Прима и тэта-функция Римана на переменной компактной римановой поверхности.

§ 2.4. Базис пространства мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности

Глава 3. Периоды гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Гармоническое векторное расслоение Прима и когомологическое расслоение

Ганнинга над пространством Тейхмюллера.

§ 3.1. Гармоническое векторное расслоение Прима, когомологическое расслоение Ганнинга и представления группы Торелли для фиксированной компактной римановой поверхности

§ 3.2. Периоды замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Общая формула для билинейного спаривания

§ 3.3: Гармоническое векторное расслоение Прима и когомологическое расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера

Глава 4. Векторное расслоение Прима над пространством Тейхмюллера, над пространством групп Кебе и над пространством гиперэллиптических римановых поверхностей.

§ 4.1. Пространства компактных римановых поверхностей с неполным отмечанием и пространства групп Кебе. Топологические и аналитические свойства этих пространств

§ 4.2. Векторное расслоение Прима из мероморфных автоморфных форм

Прима, кратных дивизору, над пространством групп Кебе

§ 4.3. Базис голоморфных дифференциалов Прима, голоморфно зависящий от характеров и от точек ветвления гиперэллиптической римановой поверхности

Глава 5. Проективные структуры и группы монодромии линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности.

§ 5.1. Униформизация и проективные структуры на компактной римановой поверхности. Отображение монодромии над пространством квазиконформных деформаций групп Кебе.

§ 5.2. Точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка и для решений нелинейного уравнения Шварца на компактной римановой поверхности

Основы классической теории римановых поверхностей и абелевых дифференциалов на компактных римановых поверхностях были заложены в работах Б. Римана, Ф. Клейна, К. Вейерштрасса и А. Пуанкаре. Теория римановых поверхностей тесно связана со многими направлениями в современной математике - теорией функций на комплексных многообразиях, алгебраической геометрией, топологией и уравнениями математической физики. Она содержит три основных аспекта: топологический (двумерные поверхности и фундаментальные группы), алгебраический (дискретные группы, группы автоморфизмов поверхностей и комплексных многообразий) и аналитический (функции и дифференциальные формы на поверхности, дифференциальные уравнения и функциональный анализ).

Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима и их периоды появились в конце 19 века в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 - 35] и позднее Р. Кенига, О. Хаупта, Г. Петерсона [71; 62; 83]. Для дальнейшего изучения этих объектов было недостаточно средств из алгебры, геометрии, теории функций и дифференциальных уравнений.

К середине 50-х годов 20 века появились нужные алгебро-геометрические средства, например, теория голоморфных векторных расслоений над комплексными многообразиями в работах Н. Стинрода [21] и Г. Грауэрта [55]. Затем в работах М.А. Лаврентьева, Ю.Г. Решетняка [18], П.П. Белинского [3] была развита теория квазиконформных отображений. С помощью этой теории была решена 22 проблема Гильберта и исследованы обшие пространства Тейхмюллера компактных римановых поверхностей и пространства клейновых групп в работах JI. Альфорса [1; 32], JI. Берса [1; 38 - 41], СЛ. Крушкаля [13], И. Кра [72 - 74] и Б. Маскита [77 - 80]. Квазиконформные деформации фуксовых и других клейновых групп в настоящее время являются одним из важнейших методов в исследованиях по геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Введению римановой метрики в общих метрических пространствах и когомологическим вопросам комплексного анализа были посвящены работы В.Н. Берестовского [4], Р. Ганнинга [6; 58 - 61] и А.К. Циха [26].

Теория краевых задач в классе аналитических функций на компактных римановых поверхностях для сложного (составного) контура была развита в работах В.Н. Монахова [15], JI.A. Аксентьева [2], Э.И. Зверовича [10], Л.И. Чибриковой [27] и С.Р. Насырова [16]. Многозначные аналитические функции с постоянными модулями граничных значений изучены методами функционального анализа в работе М.В. Самохина [19]. Мультипликативные интегралы Прима (интегралы от дифференциалов Прима на римановой поверхности) являются решениями специальной краевой задачи в классе мероморфных функций для составного контура на компактной римановой поверхности.

В середине 70-х годов 20 века после работ С.П. Новикова [17], И.М. Кричевера [12], Б.А. Дубровина [8; 9], И.А.Тайманова [22; 23], в связи с алгебро-геометрическим интегрированием уравнений математической физики (уравнения Кортвега де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили и др.), возрос интерес к тэта-функциям Римана, многообразиям Якоби и специальным характерам для фиксированной гиперэллиптической римановой поверхности. Кроме того, в теории многообразий Прима, связанных с двулистными накрытиями, применяются дифференциалы Прима для специальных характеров, квадраты которых равны единице. Такие характеры соответствуют так называемым спинорным структурам.

Затем в наше время дифференциалы Прима снова появились в ряде работ К. Эрла, И. Кра [48; 49; 74], в связи с тэта-рядами Пуанкаре; в работах Г. Кемпфа [70], Дж. Фея [54], Дж. Ергенсона [68], в связи с приложениями к теории чисел, и недавно в работе Э. Джеблоу [67] в вариационной теории таких дифференциалов. Однако, как правило, все эти авторы изучали голоморфные дифференциалы Прима относительно двух специальных видов характеров для фундаментальной группы фиксированной компактной римановой поверхности, которые либо принимают все свои значения только на единичной окружности, либо на половине образующих группы их значения равны единице.

По-видимому к 1980 году появилась необходимость в построении общей теории дифференциалов Прима для любых характеров, хотя бы на фиксированной компактной римановой поверхности. В 1980 году Р. Ганнинг [60] начал изучение голоморфных дифференциалов Прима и их периодов относительно произвольных существенных характеров. Классы периодов голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2 являются важными трансцендентными инвариантами связанными с поверхностью. Он ввел векторное расслоение Прима из голоморфных дифференциалов Прима и когомологическое векторное расслоение (Ганнинга) для классов их периодов и дал явное описание таких расслоений для рода д = 2.

Группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности появились ещё в 19 веке в работах А. Пуанкаре,

Э. Пикара, П. Фату [см. 35 - 36], в связи с проблемой униформизации компактной римановой поверхности. В 70-х годах 20 века группы монодромии появились вновь в работах К. Эрла [47], И. Кра [72; 73], Б. Маскита [73], D.A. Хейхала [64 - 65] и Р. Ганнинга [58 ], в связи с общей проблемой униформизации и с теорией общих пространств Тейхмюллера.

В диссертации, состоящей из пяти глав, построена общая теория дифференциалов Прима и их классов периодов для произвольных характеров на переменной компактной римановой поверхности. Изучены векторные расслоения Прима, образованные мероморфными дифференциалами Прима, и когомологическое расслоение Ганнинга, составленное из классов периодов для таких дифференциалов, над пространством Тейхмюллера и над пространством групп Кебе. Исследованы периоды замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима для произвольных характеров. В пятой главе изучены проективные структуры и их группы монодромии, в связи со стандартными униформизациями компактных римановых поверхностей группами Кебе. Получена точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на компактной римановой поверхности.

В первой главе будет построена общая теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для произвольных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности.

Параграф 1.1 имеет вспомогательный характер и содержит сведения по теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима, полученные в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 - 35] в конце 19 века и в начале 20 века, и изложенные в книге X. Фаркаша, И. Кра [52, р. 126-134].

В теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности F рода д > 2 большую роль играют множество Lg так называемых несущественных и дополнительное к нему множество существенных характеров [52]; Обозначим через Hom{-Ki(F), С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из 7Ti(F) в С* = С\{0} с естественной операцией умножения. Характер р на 7Ti (F) называется несущественным характером на 7Ti(F), если существует с= (ci,.,c5) 6 С9 такой, что 9 p(aj) = exp 2mcj,p{bj) = ехр27гг ^я^сь j = 1,., д,

Jt=i где тn(F, О) = (оь 6Ь ад, : &*] = 1), fc=1 fi = (jtjk) - матрица порядка д из Ъ—периодов для канонического базиса голоморфных абелевых дифференциалов на F, двойственного с КА}?=х (т.е. fakCj = Sjk,fbkCj =-irjk,j,k = l',.,g) [52, с. 129]. Несущественные характеры образуют подгруппу Lg в Hom(-Ki(F), С*). Характеры р (Е Hom(iri(F),C*)\Lg называются существенными характерами и они имеют следующее представление 9 p{aj) = ехр2тггс;-, p{bj) = ехр2тгг(^ irjkck + dj),j = 1,д, где с = (ci,с5) G С9, dj € С и dj (fc Z для некоторого j,j = 1,., д [52].

В параграфе 1.2 будет дана топологическая и аналитическая характери-зация группы характеров Hom(7Ti(F, О), С*) и ее специальных подгрупп Lg и Ьд (Lg - множество всех комплексно-сопряженных характеров к Lg).

В параграфе 1.3 доказываются теорема Абеля для характеров, теоремы Римана-Роха для мероморфных g-дифференциалов Прима и для строго двойственных g-дифференциалов Прима относительно любых характеров на компактной римановой поверхности рода д, где q G Z,g > 0. С помощью этих теорем получаются шесть таблиц размерностей пространств мероморфных ^-дифференциалов Прима для характера р, кратных дивизорам степеней т(2д — 2),т > 0,m,q € Z, и им обратным дивизорам. Оказывается, что эти размерности зависят от того выполняются или нет достаточное условие в теореме Абеля для характеров и некоторое равенство в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности.

Определение 1.3.1. Мероморфным q—дифференциалом Прима на F для р называется однозначная мероморфная дифференциальная q—форма ф = (j)(z)dzq на U = {г б С : \z\ < 1} такая, что t>(Tz)(dTz)q = p(T)(j){z)dz\T е r,ze u,q е z.

Здесь

Г = {А\,.,Вд: [А\, Bi].[Ag,Bg] == 1),

- фуксова группа первого рода на U такая, что F = U/Г, и группа Г изоморфна группе щ (F).

Теорема (Абеля для характеров) [52, р.134]. Пусть D - дивизор на отмеченной компактной римановой поверхности [F, {а\, Р°Да д > 1 и р - характер на 7Ti(F). Тогда D будет дивизором мультипликативной функции / на F для характера р degD = 0 и i=i j=i в многообразии Якоби J{F), т.е.С9 по модулю целочисленной решетки L(F), порожденной столбцами е^, ., матрицы а—периодов и 6—периодов канонического базиса £1,для канонического гомологического базиса на F, где (р - отображение Якоби для F.

Обозначим через Щ{0) пространство мероморфных q-дифференциалов Прима ф = (p(z)dzq на F для характера р таких, что (ф) > D, где g € Z. Его комплексная размерность есть число ip,q{D) и ipp(D) — rp{D).

Теорема 1.3.1 (Римана-Роха для дифференциалов и характеров). Для любых д > 0 и q G Z верно равенство iP,q(D) = (9 ~ 1)(2q - 1) - degD + i((f)Z*/D) = д - 1)(2q- 1) - degD + r{(f)Z^l/D) при любом характере р на компактной римановой поверхности F рода д, где / - любая мультипликативная функция для р, f ф 0, и Z - канонический класс дивизоров абелевых дифференциалов на F.

Следствие 1.3.5. Для существенного характера р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 верны следующие утверждения:

1) пространство голоморфных сечений для линейного расслоения Lp [61] над F имеет размерность 0;

2) если degD = 0, <p{D) = Ф{р) в «/(F), D ф 1, то пространство мероморфных сечений для кратных D, будет одномерно, и порождено /1 - мультипликативной мероморфной функцией для р с условием (/1) = D, которая была построена при доказательстве теоремы Абеля для характеров. Любое другое мероморфное сечение для Lp имеет вид Rfi, где Я -однозначная мероморфная функция на F;

3) если degD = 0, но ip{D) ф ф(р) в «/(F), то не существует нетривиальных мероморфных сечений для Lp, кратных D.

Таблица 2 (для чисел ip,q{D) при degD = 0) г

Род поверх ности Порядок дифф. Прима Несущественный характер Существенный характер

D - главный дивизор D - не главный дивизор 4>{D Ф{р) ) tp(D) ф ф(р)

9> 1 <7>1 q = 1 9 4-1 9 9-1 q = 0 1 0 1 0 q < 0 0 (<7-1)(2<7-1)+ ip,q(D) ^ de9{D)ОО 0 (g-l)(2q-l)+ iP,q{D) < deg{D0/D)«,

9=1 q> 1 1 < 1; iM(£>) -1 *?(£>) = - 1) 1 < - 1 ^(D) - = - 2K(q - 1) q = 1 1 0 1 0

7 = 0 1 0 1 0 q < 0 1 < iM(D) = 1 tp(D) = -2K{q - 1) 1 ipAD) Z 1; iM{D) - 1 <£>(£>) -= ф(р) - 2K(q - 1)

Таблица 4.1 (для чисел ip,q(D) при D, degD = (2д — 2)к, к > 2).

Род поверхности Порядок дифф. Прима Несущественный характер Существенный характер

D экв. D неэкв. Zk неэкв.

7 >2 ^ > к + 1 (g-l)(2(q-k)-l)

9 9-1 9 9-1 q = к 1 1 r(%Zk~') -g + 1

2 < q < <к- 1 0 (g-l)(2(q-k)-l) 0 (g-l)(2(q-k)~

7 = 1 0 Ki)- — (2A; — 1)(<7 — 1) 0 — (2k — 1)(<7 — 1) д<0 0

Таблица 4.2 (для чисел ip,q(D~l) при D,degD = (2д — 2)к,к > 2).

Род поверхности Порядок дифф. Прима Несущественный характер Существенный; характер

D экв. Zk D неэкв. Zk DD0 экв. Zk DDq неэкв. Zk

7>1 (g-l){2(q + k)-l]

9 = 0 С9 ~ 1)' •(2к — 1) r(D~1) (9-1)-•(2k — 1) гШ

7>2 < g < 0 (<7-l)(2(fc + g)-l) q = -(к-I) 9 9-1 9 9- 1 q = — к 1 0 1 0 q < -к 0

Классические q—точки Вейерштрасса играют большую роль в геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Точки Вейерштрасса несут важную информацию о самой компактной римановой поверхности. В параграфе 1.4 будут введены мультипликативные точки Вейерштрасса и построена теория мультипликативных точек Вейерштрасса для мультипликативных мероморфных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Оказывается, что свойства мультипликативных точек Вейерштрасса для существенных характеров сильно отличаются от свойств классических точек Вейерштрасса. Кроме того, создан новый метод исследования пробелов Вейерштрасса и Нетера, и мультипликативных точек Вейерштрасса через фильтрации в многообразии Якоби на компактной римановой поверхности.

Теорема 1.4.5 (о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 существует точно <7 — 1 чисел (мультипликативных пробелов Вейерштрасса) пг-, удовлетворяющих неравенствам

О < п\ < . < 1 < 2д, которые определяются так, что для каждого г, г = 1, .уд— 1, не существует мероморфной мультипликативной функции для р на F, имеющей в качестве единственной особенности полюс в Р точно порядка щ.

Определение 1.4.2. Точка Р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 называется мультипликативной точкой Вейерштрасса для существенного характера р, если в ней можно задавать единственный полюс, мероморфной мультипликативной функции для р, порядка не превышающего д — 1.

Теорема 1.4.7(о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 верны следующие утверждения:

1) натуральное число j, 1 < j < д, будет мультипликативным не пробелом в Р для р на F тогда и только тогда, когда

МР) + Ф(Р) G Wj\(Wj-i + (р(Р));

2) точка Р не будет мультипликативной точкой Вейерштрасса на F для р тогда и только тогда, когда выполняются условия

MP) + Ф(р) t W}\(Wii-.+ v(P)h 1 <3 <9- 1, где Wj = <p{Fj), Fj - симметрическое произведение поверхности F, а </з -отображение Якоби для F.

Теорема 1.4.15. На компактной римановой поверхности F рода д > 2 для любого характера р и при q > 1 (g, р)—каноническая линейная система | Zqp | дивизоров не имеет базисных точек на F.

Теорема 1.4.19. На компактной римановой поверхности F рода д > 2 для любого существенного характера р число N{p) мультипликативных точек Вейерштрасса для р на F удовлетворяет неравенству g-l< N(p) <(д-1)2д.

Теорема 1.4.20. При фиксированной точке Р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 для существенного характера р Р—фильтрация для р в группе J{F)

О С Wv-ip{P) C W2-2<p(P) С . С Wk-kip(P) С .

С - (д - 1 )<р(Р) С Wg — дср(Р) = J(F), будет отделимой исчерпывающей фильтрацией длины д в J{F).

Эта фильтрация позволяет определять мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса для существенного характера р в фиксированной точке Р среди чисел {1,2,.,д} через расположение ф(р) в J(F).

Пусть теперь фиксирован существенный характер р. Тогда получаем последовательность подпространств

О ± ~Ф(р) С \Уг-ф(р) С W2-ф(р) С . С Wg-i-ip(p) С \Уд-ф(р) = J(F) так называемую р—фильтрацию для Р в J(F). Она позволяет определять точки Р и мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса в точке Р для фиксированного существенного характера р среди чисел {1,2,., д} через расположение <р{Р), 2<р(Р), .,д<р(Р) в «/(F).

Кроме того, в конце параграфа 1.4 найдены некоторые дополнительные связи между мультипликативными точками Вейерштрасса на компактной римановой поверхности для существенного характера и специальными подмножествами в многообразии Якоби, каноническими вложениями компактной римановой поверхности в проективное пространство. Установлено, что множество голоморфных (р, q)— дифференциалов Прима с простыми нулями образует открытое и всюду плотное подмножество в пространстве всех голоморфных (р, <?)— дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2. С помощью нового метода фильтрации получен результат о неинвариантности стандартной фильтрации в многообразии Якоби относительно сдвига.

Теорема 1.4.21. Подмножества Wk = ip(Ft-), 1 < к < д — 1, не инвариантны относительно сдвига на любой ненулевой элемент М в многообразии Якоби J(F) компактной римановой поверхности F рода д > 2, причем

1) пересечение {M-\-W\} П Wi состоит не более, чем из конечного числа * точек;

2) каждой точке пересечения {М + Wk} П Wft» где М = ф(р), 1 < к < д — 1, соответствует мультипликативная функция / для существенного характера р с дивизором (/) = D1/D2, D\,D2 £ Fk, удовлетворяющим условию ф(р) = *p{Di/D2) = М в J(F).

В 1976 году Р. Ганнинг [59; 60] начал изучать векторные расслоения Прима из мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Он построил базис мероморфных дифференциалов Прима на фиксированной компактной римановой поверхности, который голоморфно зависит только от характеров, с помощью так называемых обобщенных тэта-функций.

Во второй главе будут предложены новые методы построения базисов мероморфных дифференциалов Прима, кратных заданному дивизору, на переменной компактной римановой поверхности; которые голоморфно за-^ висят и от модулей компактной римановой поверхности и от характеров.

В параграфе 2.1, который носит вспомогательный характер, будет дан краткий обзор по пространствам Тейхмюллера, по расслоенным пространствам Берса и по расслоениям дивизоров над пространством Тейхмюллера Tff = Tff(F).

В параграфе 2.2 будет построен базис голоморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности, с помощью абелевых дифференциалов третьего рода. Для р € Нот{Г, С*) обозначим через F(Fo, О1,0(р)) векторное пространство голоморфных р—дифференциалов Прима на Fq и через Pi,o(-Fo) = r(Fo,01,0(p)) векторное расслоение Прима для фиксированной поверхности Fq. Р. Ганнинг [59] доказал, что это комплексное голоморфное векторное расслоение ранга д — 1 над #от(Г, С*)

Определение 2.2.1. Мероморфным (p,q)— дифференциалом Прима ф = ф(г)dzq с характером р на F^ называется однозначная мероморфная функция ф(г) на wfi(U)1 удовлетворяющая условию

T"(z))[(T")'(z)]« = p(T")4>(z), для z е w^^U), [р] G ТдуТР G Р. Здесь Г^ - квазифуксова группа, уни-формизирующая в инвариантной компоненте w^(U) компактную риманову поверхность F^. Если q = 0, то будем говорить о мультипликативной функции / на Fft с характером р.

Теорема 2:2.1'. Для любых д > 2, ^ б T5(F0),/70 € Нот(Г, С*)\Ьд существуют односвязные окрестности и(Ы) С Tg(Fo),U(po) С Нот(Г, С*)\Ьд, и голоморфные функции Ф]{[р\, p\ z),j = 1, .,д — Г, на голоморфно зависящие от [р\ € U([po\), р <= U(po), такие, что при фиксированных [//] и р они задают базис (j>j{[p],p'7 z)dz,j = 1, .,д — 1, в комплексном векторном пространстве голоморфных р—дифференциалов Прима на отмеченной компактной римановой поверхности w^{U)/Р* рода д.

Пусть Е будет главное #от(Г, С*)—расслоение над Tg(F) со слоем Нот(Г», С*) над точкой [р] = [FM] = ГГ

Лемма 2.2.2. Голоморфное главное Нот(Г, С*)—расслоение Е биго-ломорфно изоморфно тривиальному расслоению Тg(F) х Нот{Г, С*) над

Тg(F).

С помощью леммы 2.2.2 введем векторное расслоение Прима Piio(l) над T5(F) х (Нот(Г, C*)\Lg) со слоем Г([FJ, О1-0^)) над точкой ([FJ; р), где p(Aj) = pfl(A>;),p(Bj)

Рассмотрим векторное расслоение Прима Pq(l), у которого слой над точкой ([р],р) € Тд х Яош(Г, С*) состоит из голоморфных (р, <?)— дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности F^ рода д > 2 при q > 1 ,q Е N:

Предложение 2.2:4. Для любого д > 2 эрмитово голоморфное векторное расслоение Прима Pq(l), q > 1, над Тд х Ьд аналитически эквивалентно тривиальному голоморфному векторному расслоению ранга д при q — 1 и ранга (2q—l)(g — 1) при q > 1.

Теорема 2.2.5. Для любого д > 2 векторное расслоение Прима Р lfo (1) над Тд х Нотп(Г, С*)\Lg является эрмитовым голоморфным векторным расслоением, ранга <7 — 1.

Это утверждение уже доказано в.теореме 2.2.1 и там. был построен базис голоморфных дифференциалов Прима вида До),fg-itu, где ш - голоморфный; абелев дифференциал, a /i,fg-\ - мероморфные мультипликативные функции для р на F^, у которых полюса совпадают с нулями дифференциала ал При этом базис голоморфно зависел от р и от [р]. В теореме 2.2.5 построен базис голоморфных дифференциалов Прима другого вида ficvi,fg-iug-i, с теми же свойствами.

Теорема 2.2.6. Векторное расслоение Прима Pq(l) над Тд х

Нотп(Г, С*) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q — 1 )(д — 1) при любых ^ > 2, q > 2.

Отметим, что при q = 1 и q > 1 частные случаи теорем 2.2.1 и 2.2.6 были доказаны И. Кра в [74] для множества нормированных характеров [S1]29 С Нот(Т, С*)\Ьд, где для построения базиса голоморфных (р, q)— дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях использовались тэта-ряды Пуанкаре и не выяснялось, как зависят они от характеров и от модулей компактных римановых поверхностей.

В параграфе 2.3, с помощью тэта-функции Римана, строится другой базис голоморфных g-дифференциалов Прима, который голоморфно зависит от существенных характеров и от модулей компактной римановой поверхности. Сначала будут приведены некоторые известные факты о связи тэта-функций Римана и мультипликативных функций.

Теорема 2.3.1 [52, с.315-316]. Пусть D = -дивизор степени нуль. Тогда мультипликативная функция / с дивизором (/) — D имеет вид f(p) = е^(Р) + <p(P2.Ps) - <р(Р2) - е) А J 9(ср(Р) + ip(P2.Ps) - <p(D3) - еУ на F, где s е N и е G Сд. удовлетворяют условиям ©(Wjt ~Wk — е) = 0, 0 < к < s — 1, но ©(Ws — Ws — е) ф 0, a D\ — P\P2.PS выбран из условий

Q(v(Dx) - ip(D2) -е)ф 0, ©M£>i) - <p(D3) - е) ф 0.

Теорема 2.3.4. Для любого существенного характера р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 и любого натурального q > 1 существует базис голоморфных q—дифференциалов Прима fl{z)bj{z)dz\.,fd(z)u{z)dzq для характера р на F, который голоморфно зависит от характера р и от модулей компактной римановой поверхности; где d = д — 1 при q =1 и d = (2q—1 )(д — 1) при q > 1. Причем функции fj,j = 1,., d, выражаются через отношения тэта-функций Римана на F.

В параграфе 2.4 будут построены базисы в пространствах мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности.

Зафиксируем дивизор D = Ri.Ri,l >1, на Fo. Используя глобальное вещественно-аналитическое сечение К. Эрла s для канонического отображения Ф, из пространства всех комплексных структур в пространство Тейхмюллера Тд [44], и локально голоморфные сечения s для Ф над достаточно малыми окрестностями {/([/хо]) в Тд, получим глобальное вещественно-аналитическое сечение из дивизоров D[fi] = w$^(D) = Ri[fj^.Ri[fi] степени I над Тд и локально голоморфные сечения из дивизоров D[fj] = w*M(D) степени / над f7([/xo]) соответственно. Обозначим через P9(.D) векторное расслоение Прима над Тэ х Нот(Г, С*), слой которого над точкой ([/х], р) состоит из мероморфных (р, q)— дифференциалов Прима ф = ф{х)(1гя на Fp, кратных дивизору D[fi] степени I.

Теорема 2.4.1. Для любых д > 2, дивизора D = P\.Pi на Fo, / > 1, векторное расслоение Прима Pi(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = д — 1 +1 над Тд х Нот(Г, С*).

Теорема 2.4.2. Для любых д > 2, дивизора D — Pi.Pi на Fo, I > Л»<7 2, векторное расслоение Прима Pq(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q —l)(g — 1) +1 над Tp х Нот(Г, С*).

Теорема 2.4.4^ Векторное расслоение Прима Рq(D) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q — 1)(д — 1) — / над Т5 х Нот(Г,С*), если д > 2,D = Pi.Pi на Fo, q > 2 и выполнено условие 2(g—-1)(<7 —-1) >7 > 1.

Теорема 2.4.6. Для любых д > 2,д > 2 и дивизора D ф \,degD = О на Fo, эрмитовы голоморфные векторные расслоения Рq{D) и Pg(l) ранга d = (2q — 1)(<7 — 1) над Тд х Нот(Г, С*) биголоморфно изоморфны.

Пространство Тейхмюллера Тд является неразветвленным накрытием для пространства Торелли Т5, а группа Торелли тд, являющаяся нормальной подгруппой модулярной группы Тейхмюллера, действует свободно, т.е. без неподвижных точек, на Тд [45]. При этом Тд = Тд/тд. Все теоремы параграфов 2-4 главы 2 остаются верными, если в них пространство Тейхмюллера Т5 заменить на пространство Торелли Т5, где д >2.

В третьей главе дано описание расслоения Ганнинга для д > 2, введено и изучено гармоническое векторное расслоение Прима из гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2. Установлено, что образующим У. Ликориша [28, ч.З, с. 133-134] для группы классов отображений поверхности F при д > 2 соответствуют невырожденные квадратные матрицы порядка 2д — 2, имеющие простую структуру, а группа Торелли обладает большим классом нетривиальных представлений в группу матриц порядка 2д — 2.

Также изучены классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д > 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы. Выведены общие формулы, связывающие периоды для любых двух замкнутых дифференциалов Прима относительно двух произвольных характеров. Из них получаются аналоги билинейных соотношений Римана для случая гармонических и голоморфных дифференциалов Прима. Для гармонических дифференциалов Прима относительно нормированных характеров доказаны аналоги теорем Ходжа и де Рама, построены канонические базисы из гармонических дифференциалов Прима, которые локально вещественно-аналитически зависят от характеров.

Показано, что гармоническое векторное расслоение Прима HP, образованное гармоническими дифференциалами Прима, и когомологическое расслоение Ганнинга будут вещественно-аналитически изоморфны над базой из нетривиальных нормированных характеров для любой компактной римановой поверхности рода д > 2. Найдены "препятствия"коциклического типа к взаимной однозначности отображения периодов для гармонических дифференциалов Прима относительно ненормированных характеров.

В параграфе 3.1 будут изучены гармоническое векторное расслоение Прима, когомологическое расслоение Ганнинга и представления группы То-релли для фиксированной компактной римановой поверхности. Обозначим через Z1 (Г, р) для р € Нот(Г, С*) множество всех отображений ф : Г —у С таких, что ф(вТ) = 0(5) + р(ЗДГ),5, Г G Г.

Каждый элемент ф € Zl(F,p) будет единственно определяться упорядоченным набором комплексных чисел ф(А\),ф{Ад), ф{В\),., ф{Вд), удовлетворяющих уравнению j^{a(BMAj) - с{А5)ф{ВМ = О, j=1 которое получается из соотношения nj=1Cj — 1 в Г, где Cj = [Aj,Bj] = AjBjA^Bj1, а (Г) — 1 — p(T)tT € Г. Тогда Zl(T,p) - комплексное векторное {2д — 1)—мерное пространство для р ф 1 (т. е. p(S) ф 1 для некоторого S € Г) и2д—мерное пространство для р = 1. Пусть J51(F, р) -одномерное подпространство в Z1 (Г, р), порожденное элементом ст. Тогда Я1(Г,р) = Z1(T,p)/B1(r,p) - комплексное векторное (2д — 2)—мерное пространство для р ф 1. Будем называть множество G = Up^ii/1(r,p) когомологическим расслоением Ганнинга для поверхности F.

Дифференциал Прима ф = ф{г)йг для характера р, определенный на односвязном диске U, может быть записан в виде ф = df(z) для подходящей голоморфной функции f(z) (она называется интегралом Прима для дифференциала Прима ^ на U). Следовательно,

Тг) = р(Т)/(г) + ф(Т),

J>{ST) = ДО) +р(5)^(Г), где ф(Т) = /(Г2й) - p{T)f{z0). Таким образом, отображение : Т —> ^>(Т), или отображение периодов ф : Г С относительно интеграла Прима есть элемент из Z1 (Г, р). Отображения периодов при различных интегралам Прима для одного и того же дифференциала Прима будут отличаться на элемент из В1(Т,р). Поэтому С-линейное отображение р : ф —¥ [ф] 6 ^(Г, р), которое дифференциал Прима ф переводит в его класс периодов [ф], корректно определено.

Отображение периодов р : r(F, О1,0(р)) —» Я^Г, р) такое, что ф(г)йг —> р(ф(г)йг) = [ф] = {ф + са : с 6 С} = ф + В1(Г,р), будет G—линейным послойным отображением из Р^о в G над Hom(T, C*)\Lg.

Теорема 3.1.3. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений

О Pi,о A G G/Pi,0 О над Нот(Г, С*)\Lg является точной при любом д > 2.

Определение 3.1.1. Гармоническим дифференциалом Прима на F для р G #от(Г, С*) называется гармоническая (однозначная) дифференциальная 1-форма ф — ф\(х)йг + <£2(2) dz на U такая, что ф\(Тг)(1Тх + ф2(Тх)(ПЪ = p(T)^i(z)dz + ф2(г)(Я), Т € T,z e U.

Множество всех гармонических дифференциалов Прима ф для р € #от(Г, С*) образует комплексное (2д — 2)—мерное векторное пространство Г(F,'H1(p)) при р £ Lg U Ьд, так как w ч\р)) = r(F, с№(р)) е г (F, о0'1 W), где Lg - образ при отображении р —> р.

Теорема 3.1.5. Эрмитово голоморфное векторное гармоническое расслоение Прима HP ранга 2р — 2 является прямой суммой ортогональных эрмитовых голоморфных *—инвариантных векторных подрасслоений Pi,о и Род ранга д — 1 над Нотп(Ту С*)\{Lg U Lg) при любом <7 > 2.

Ф. Прим, Р. Рост [84] начали построение теории гармонических и голоморфных интегралов Прима только для нормированных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности. Дж. Кемпф [70] и Э. Джеблоу [67] получили ряд свойств периодов голоморфных дифференциалов Прима для нормированных характеров и для характеров, которые на половине образующих фундаментальной группы равны единице. В параграфе 3.2 изучаются классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д > 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы.

Теорема 3.2.3. Если ф,ф - замкнутые дифференциалы Прима на F класса С°° для р\ и /^соответственно, то [ фАф = [ h(z)i> = J Jд Ja&

9 гА,Ы fBj(zo)

1 - pMBj)) / h(z)ip - (1 - pmiAj)) / h(z)1>}+

J Za J Za j—1 J Zq «/20

Ci-.q-iXi--МВШЦ) + Фк(вш / </>+ rBj(zo)

MAj) - ШС^.С^г) + р2(А-)фн(А5) - ф{С5)] / ф}, где Д - фиксированная фундаментальная область для F в U; ф — dh(z) на U,h(Tz) = p(T)h(z) + фи{Т),Т' € F; причем это равенство инвариантно, относительно выбора интеграла h(z) для ф с точностью до аддитивного слагаемого.

Из этой общей формулы для билинейного спаривания получаются, как частные случаи, все известные соотношения между периодами дифференциалов Прима, найденные Ф. Примом, Р.Ганнингом, Дж. Кемпфом и Е. Джеблоу.

Теорема 3.2.4. Пусть F - компактная риманова поверхность рода д > 2, ф - гармонический дифференциал Прима на F для р Е [51]25, и [ф] = 0 в Н^ (Г, р). Тогда ф = 0 на F.

Следствие 3.2.6 (Аналоги теорем де Рама и

Ходжа). Для р G [S1]29 верно r(F,?{1(p)) = H})R(F,p) = Н1 (Г,р) и для любого замкнутого дифференциала Прима ^ на F класса С°° для р существует единственное разложение Ходжа ф = фо + dfiz), где фо G T(F,'H1(p)), f(z) G C°°(F,p), а также для любого класса периодов [ф] € р) существует замкнутый дифференциал Прима ф на F класса С°° для р такой, что [ф] = [ф] в Н^р).

Аналог теоремы Ходжа получен Э. Джеблоу в [67] с использованием сложной техники аналитических линейных расслоений на римановых поверхностях. Аналог теоремы де Рама получен ранее Р. Ганнингом в [61] с использованием когомологий с коэффициентами в пучках на F. Наше доказательство не требует такой сложной техники.

Выясним какое минимальное число базисных периодов ф{А\), .,ф(Ад),ф(В1), .,ф(Вд) надо задать, чтобы полностью определить голоморфный дифференциал Прима ф для существенного характера р на F.

Теорема 3.2.10. Дифференциал Прима ф £ Г(F, <91,0(р)) для существенного характера р, р £ U\ = {р : р(А\) ф 1}, единственно определяется "половиной "своих базисных периодов ф{Njl),., ^(iV} х), где ф{А\) = 0, {Nu.,Ng,Ng+u.,N2g} = {АиА2).,АдуВиВ2,.,Вд} и■ д — 1)—элементное подмножество в {2,3,д, д + 2,д + 3,., 2д}, зависящее от выбора базиса в T(F, О1'0(р~1)).

Следствие 3.2.11. Для любого ро ф. Lg существует окрестность U(po) С #от(Г, С*)\Lg такая, что для р £ U(po) существует канонический базис голоморфных дифференциалов Прима на F, голоморфно зависящий от р £ С/(р0), при любом р > 2.

Заметим, что последнее следствие ранее получено Р. Ганнингом [59], но его доказательство требует построения базиса голоморфных дифференциалов Прима через сложный аппарат так называемых обобщенных тэта-функций и базис голоморфно зависит только от характеров. Наше доказательство использует другой базис голоморфных дифференциалов Прима, который зависит голоморфно не только от характеров, но и от модулей компактных римановых поверхностей.

В параграфе 3.3 будут установлены некоторые свойства расслоений Прима и Ганнинга над пространством Тейхмюллера.

Теорема 3.3.1. Векторные расслоения Ганнинга G и Прима HP над [5Х]25\1 будут вещественно-аналитично изоморфными, и расслоение Ганнинга G над [51]2р\1 равно прямой сумме двух вещественно -аналитических комплексных векторных подрасслоений ранга д — 1 для любой компактной римановой поверхности F рода р > 2.

Из теоремы 3.2.3 следует, что условие

J^ Mzo) rBj(z0)

1 - pp(Bj)) / f(z) * df(z) - (1 - pp(Aj)) / f(z) * df(z)]^ 0 j=l J zо J Zq является некоторым коциклическим " препятствием "к взаимной однозначности отображения периодов р : T(F1'H1(p)) Н1(Г,р) для р £ [Ноттг(Г, C*)\(L5 uZ^J^S1]2^ где ф = df(z) £ d(C°°(Ft р))П T{F,Hl{p)).

С помощью леммы 2.2.2 введем расслоение Ганнинга G над Тg(F) х (Нот(Г, С*)\1) со слоем Я1 (Г^,^) над точкой ({F^p).

Теорема 3.3.4. Когомологическое расслоение Ганнинга G является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 над Тg(F) х (Яот(Г,С*)\1).

Из свойств отображения периодов р : Рю —> G получается

Теорема 3:3.5. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений

ОРю A G Л G/РюО над Тg(F) х (Яотп(Г, C*)\Lg) является точной для любого д > 2.

Теоремы 3.3.4,3.3.5 будут верны для естественно определенных над Тд х (Hom(Hi(F, Z), C*)\Lg) расслоений Прима и Ганнинга, так как

Яот(Г, СГ) ^ Яот(Г/[Г, Г], С*) = Hom^^F, Z), С*).

В главе 4 будут изучены векторное расслоение Прима над пространством Тейхмюллера, над пространством групп Кебе и над пространством гиперэллиптических римановых поверхностей.

Классическая теория униформизации компактных римановых поверхностей традиционно исследует либо поверхности с полным (каноническим) рассечением, либо с рассечением по минимальному набору петель, превращающим поверхность в область, подобную плоской области на расширенной комплексной плоскости С. Это приводит к универсальной накрывающей и слабейшей плоской регулярной накрывающей (Шоттки) над компактной римановой поверхностью [79; 80; 63]. В [63] Д. А. Хейхал изучил пространства групп Шоттки, соответствующие слабейшей плоской регулярной накрывающей над компактной римановой поверхностью.

В параграфе 4.1 рассматриваются группы Кебе - группы преобразований наложения для любой промежуточной плоской регулярной накрывающей, и будут установлены связи между пространством Тейхмюллера компактных римановых поверхностей данного рода, пространством этих поверхностей с "неполным "отмечанием и пространством отмеченных групп Кёбе, униформизирующих такие поверхности. Доказано, что эти пространства являются областями голоморфности, а универсальным накрывающим пространством для них служит пространство Тейхмюллера. Отсюда получаем три пространства: (Т5, dx) - пространство Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода д с метрикой Тейхмюллера cfr; U/^.ft - пространство компактных римановых поверхностей рода д с отмечанием типа (h,g — h)\ VCT, из-за свойства взаимнооднозначное™ отображения Фу1<г, назовем пространством отмеченных групп Кёбе сигнатуры о. Построена следующая диаграмма из отображений

В предположениях: д >2, а ф (0,2; 0,0), ф l,k = 1, доказывается

Теорема 4.1.10. Существует единственный способ задания топологий в Uft^-ft и в Va, при которых диаграмма является коммутативной диаграммой накрывающих отображений. При этом отображение Фу>сг - гомеоморфизм, а слои Ф^.(я) и Ф"1 (я), для каждого х (Е счетны.

В параграфе 4.2 будет дано определение мероморфных автоморфных форм Прима для групп Кебе фиксированной сигнатуры, связанных со стандартными (по классификации Б. Маскита) униформизациями компактных римановых поверхностей. Введены векторные расслоения Прима из таких q—форм над пространством Тейхмюллера, над пространством компактных римановых поверхностей с "неполным"отмечанием и над пространством отмеченных групп Кебе. Кроме того, будет построен базис мероморфных автоморфных (р, q)—форм Прима, кратных заданному дивизору, для групп Кебе фиксированной сигнатуры, который голоморфно зависит от модулей компактных римановых поверхностей и от характеров. Получены аналоги всех теорем из параграфов 2.2 и 2.4 для векторных расслоений Прима над этими пространствами.

Построенные в параграфе 4.1, над достаточно малыми окрестностями в Qa, локальные сечения в пространстве Тд (и в пространстве U/^-fc) получаются из одного локального сечения с помощью элементов модулярной группы Тейхмюллера рода д.

Л.В.Альфорс [1] доказал, что существует единственная комплексно-аналитическая структура Е на Т5, совместимая с топологией Тейхмюллера,

Фу,а относительно которой матрица из Ь— периодов для канонического базиса голоморфных абелевых дифференциалов будет голоморфна. Она проектируется, в силу локальной гомеоморфности всех отображений, в комплексно-аналитическую структуру на TJh,g-h, Qcr и Vff. При этом все отображения в диаграмме становятся голоморфными. ч

Мероморфной автоморфной (р, q)—формой Прима ф = ф{С)(1 для клейновой группы G называется мероморфная функция ф{С,) на области разрывности ft (G) группы G такая, что она удовлетворяет условию

ГС)[Г'(С)Г = Р(Т)Ф(С),С € Q(G),T e G.

В главе 2 были построены (р, <?)— дифференциалы Прима вида ф = /ш,(ф) > D^ на переменной компактной римановой поверхности F^ с модулями [/i] € Тд, которые голоморфно зависят от [р] и от р. После подъема ф по тг^ : Д^1<т —> F^ на получим мероморфную ав-томорфную (p,q)—форму Прима ф для отмеченной группы Кебе G>)<r на инвариантной компоненте Если ф\ = ,/W, = fd,u - базис (p,q)~дифференциалов Прима на F^, (ф^) > D^j = 1, который задается голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса BVg

-к-Ч /Ч над Тд х Нота{Г, С*), то их поднятия ф\,., фд на также задаются голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса-Кебе BKVg(cr) над QaxHoma(Г, С*). Таким образом, получаем базис автоморф-ных (p,q)—форм Прима на векторном расслоении Прима P«jig(.D), который голоморфно зависит от модулей [р] компактной римановой поверхности и от характера р, над Q<r х Нотпа(Г, С*).

Теорема 2.2.3 и теоремы 2.2.6, 2.4.1, 2.4.2, 2.4.4, 2.4.6 имеют естественные аналоги для векторных расслоений Прима Рa,q{D) над х Нота{Г, С*)\Lg hQ,x Нота{Г, С*) (ил,5л х Нота(Г, C*)\Lg и XJh,g-h х Нота(Г, G*)) соответственно.

Л. Берс [41], И. Кра [49; 74], Д.А. Хейхал [63] и многие другие авторы, используя метод А.Пуанкаре, строили базис автоморфных форм веса q > 1, относительно специальных клейновых групп (Шоттки, квази-фуксовы и конечно порожденные клейновы группы) только для р = 1 или для нормированных характеров р, через тэта-ряды Пуанкаре, порожденные специальными рациональными функциями на плоскости имеющими полюса только на предельном множестве этих групп. Наш подход по-существу является возвратом к идеям Ф.Клейна : строить мероморф-ные (р, q) —дифференциалы Прима, кратные заданному дивизору, сразу на компактной римановой поверхности, а затем поднимать их на накрывающую поверхность для компактной римановой поверхности. Предложенный в этом параграфе метод построения автоморфных (р, q)—форм Прима подъемом (р, q)— дифференциалов Прима также применим и к векторным расслоениям Прима над пространством деформаций любой конечно порожденной клейновой группы, имеющей инвариантную компоненту, с любым характером.

В параграфе 4.3 приведен конструктивный выбор базиса голоморфных абелевых дифференциалов любого порядка на гиперэллиптических римановых поверхностях, и построен базис голоморфных (р, q)— дифференциалов Прима, с учетом специфики таких поверхностей, голоморфно зависящий от произвольных характеров и от точек ветвления гиперэллиптических римановых поверхностей.

Обозначим через Н5 множество классов конформной эквивалентности отмеченных гиперэллиптических римановых поверхностей рода д > 2. Тогда С Тд- Множество Н5 разлагается на классы гиперэллиптически эквивалентных поверхностей. Эти классы являются связными компонентами Н5 в топологии Тейхмюллера, причем эти компоненты замкнуты и изолированы. Кроме того, топология Тейхмюллера на Н5 совпадает с топологией, которая определяется расположением точек ветвления в стандартном представлении для гиперэллиптической римановой поверхности. Связные компоненты в являются аналитическими подмногообразиями без особенностей в пространстве Тд при д > 2.

Построенные в главе 2 базисы для векторных расслоений Прима Рд(1), из голоморфных (р, q)— дифференциалов Прима, над Тд х Hom(F,C*) можно сразу ограничить на подмногообразие Н5 и получить таким образом аналоги предложения 2.2.4, теорем 2.2.5, 2.2.6, заменив Тд на Н^, хотя уже не будет односвязным.

Однако, учитывая две конкретные реализации для гиперэллиптических римановых поверхностей, можно вместо базиса Берса взять явный базис o>i, абелевых голоморфных q—дифференциалов из теоремы 4.3.2. Этот базис будет голоморфно зависеть от точек; ветвления в реализации таких поверхностей. Кроме того, нужные, для построения базиса голоморфных (p,q)— дифференциалов Прима, мультипликативные функции fj,j = 1, для р можно выразить через явный канонический базис голоморфных абелевых дифференциалов (i,.,^ и через явные нормированные абелевы дифференциалы tpq третьего рода с простыми полюсами в Р и Q на F с вычетами +1 и -1 соответственно. При этом такие мультипликативные функции будут голоморфно зависеть от характеров и от точек ветвления гиперэллиптических римановых поверхностей.

При алгебро-геометрическом решении уравнений математической физики большую роль играют голоморфные дифференциалы Прима на гиперэллиптических римановых поверхностях для характеров ро, удовлетворяющих условию Ро = 1.

Следствие 4.3.3. Векторное расслоение Прима Р9(1), из голоморфных (ро> я)— дифференциалов Прима, над Тд х ро (и над х ро) будет аналитически эквивалентно тривиальному векторному расслоению над этой базой. Таким образом, существуют глобальные голоморфные сечения из голоморфных (ро, q)~дифференциалов Прима над Тд (и над Н5), где q>l,pl=l.

В главе 5 изучаются проективные структуры и группы монодромии линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности.

В параграфе 5.1 исследуются группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактных римановых поверхностях рода д > 2, в связи со стандартной униформизацией этих поверхностей клейновыми (разрывными) группами. Найдены необходимые и достаточные условия, чтобы линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности давала стандартную униформизацию этой поверхности. Эти условия имеют простой топологический смысл.

Проективной структурой на F называется атлас из карт на F, у которого отображения соседства будут дробно-линейными отображениями [58].

Определение 5.1.1. Локально мероморфная (многозначная) функция z на F, ветви которой преобразуются дробно-линейно относительно действия группы ni(F,0), называется линейно-полиморфной функцией на F.

В дальнейшем рассматриваются только локально однолистные линейно-полиморфные функции на F. Они играют большую роль в теории унифор-мизации и в теории пространств Тейхмюллера.

Поднятая на (U, тг) линейно-полиморфная функция г на F является ме-роморфной (однозначной) функцией'z — z(t) на U такой, что z(At) = Az(t),t е U,A ег, где р(А) = A G PSL(2, С) - группа дробно-линейных преобразований . Поэтому определен гомоморфизм р : Г —> PSL(2, G). И. Кра [73] назвал эту функцию (Г, р)— деформацией фуксовой группы Г в U, а Р. Ганнииг [58] - реализацией (разверткой) неразветвленной проективной структуры на F.

Для теории функций более подходящим представляется термин линейно-полиморфная функция, принятый в работе Д.А.Хейхала. К тому же он согласован с исторической традицией, идущей от А. Пуанкаре, П. Аппеля и Э. Гурса [35].

Из теории пространств Тейхмюллера Тд [1] известно, что существует гомеоморфизм переводящий т = [FT, {а&(т), ^(r)}f=1] 6 Тд в группу Гг из пространства нормированных отмеченных фуксовых групп на U. Поэтому можно писать

Гг = {АЦт),.,Вд(т) : JJ [Aj (т), Вj(r)] = l}. i=i

Пусть 2 - линейно-полиморфная функция на FT = U/VT, тогда для ме-роморфной функции - z. = z(t) на U имеем ■ z (At) = Az(t),A £ Гг, А Е PSL(2,G). Отображение А —> А называется гомоморфизмом монодромии. Оно определяет отмеченную группу монодромии

M[z]= (ЯЦт),., Д,(т) : [ЛгМ^хСг^.-.ЙМДМ] = 1}, т.е. M[z] есть точка в [PSX(2, C)]2ff. Обозначим через (внутренность) фундаментального многоугольника группы Гг в U.

Фундаментальной мембраной Rz для z(t) назовем риманов образ z{Tr). Она односвязна неразветвлена, хотя возможно, отображение -г : Тт —> z{TT) будет п—значно, п > 2. Стороны мембраны отождествляются по Ai(t), ., Вд(т). Сумма углов при вершинах равна 2я\ Существует эквивалентность связывающая линейно-полиморфную функцию z и её фундаментальную мембрану. Так если задана односвязная, неразветвлённая область R с указанными выше свойствами, то существует линейно-полиморфная функция'-z такая, что Rz = R [64]. Явная конструкция, таких функций 2 по R указана в [64], причем она допускает обобщения, где вместо (£/, Гг) можно взять любую униформизацию (A,G) для компактной римановой поверхности рода д.

Лемма 5.1.1. Пусть w = w(t) - локально однолистная линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности F рода д > 2 и w(U) ф С. Тогда M.[w] - неэлементарная, конечно порождённая клейнова группа с инвариантной компонентой w (U).

Теорема 5.1.2. Пусть w — w(t) - локально однолистная линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности F рода д > 2. Тогда w = w(t) является униформизацией F тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) w(U) ф С,

2) w(U)/Ai[w] - компактная ориентируемая поверхность рода д.

Следствие 5.1.3. Пусть w = w(t) - локально однолистная линейнополиморфная функция на отмеченной компактной римановой поверхности F рода д > 2 такая, что M[w] - отмеченная группа Кёбе сигнатуры а = (Л, s; г'х,., гт), |сг| = д. Если гу(С/) ф С, то w == w(t) - униформизация F группой Кёбе сигнатуры сг.

Заметим, что если = w(t) такая, как в следствии 5.1.3, но w(U) = С, то утверждение следствия 5.1.3 не верно. Для доказательства нетрудно построить фундаментальную мембрану Rдля w так, чтобы Л4[ги] была такая же, как в следствии 5.1.3, а отображение w : Т—> Rw — ) было n-значно, п > 2.

Следствие 5.1.3 и предыдущее замечание показывают, что, как и классическая проблема выбора присоединенных параметров для униформиза-ции фуксовыми группами [64], проблема выбора присоединённых параметров для любой стандартной униформизации компактной римановой поверхности группами Кёбе имеет единственное решение, если линейно-полиморфная функция w имеет "ограниченный"образ круга, т.е. w(U) ф С. Следствие 5.1.3 включает в себя, как частные случаи, теоремы 3 и 5 из работы Д.А. Хейхала [64] для фуксовой группы и для групп Шоттки соответственно. Кроме того, получаем примеры групп монодромии, которые алгебраически устроены, как отмеченные группы Кёбе, но на w(U) они действуют неразрывно, хотя Ai[w] - группа конформных гомеоморфизмов многолистной области w(U) на себя.

В этом параграфе также исследуется отображение монодромии р : TaQ М, где ТgQ - векторное расслоение из голоморфных квадратичных абелевых дифференциалов над пространством Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода д, Л4 - пространство отмеченных групп монодромии для рода д. Д.А. Хейхал в [64] показал, что отображение р не обладает свойством поднятия путей над Л4, но над частью A4q, соответствующей квазифуксовым униформизациям, оно обладает этим свойством. Естественно представляет интерес нахождение частей пространства Л4, над которыми отображение р обладает этим свойством. В конце параграфа 5.1 доказывается, что над любым пространством квазиконформных деформаций групп Кебе сигнатуры а = (/i, s; ii,im), связанных со стандартной униформизацией компактной римановой поверхности рода д, отображение р обладает свойством поднятия путей.

В работе Д.А. Хейхала [65] начато исследование группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности с помощью вариационных методов. Он нашел первую вариацию для группы монодромии. Затем К. Эрл [47] вывел формулу первой вариации с помощью квазиконформных отображений римановых поверхностей.

В параграфе 5.2 будет получена точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка и первая вариация для решения уравнения Шварца на компактной римановой поверхности.

Функция 2q(t) = {z, t} = [z"/z')' — \{z"/z')2 удовлетворяет соотношениям q(t) = q(Lt)L'(t)2 для L £ Г,t £ U. Следовательно, q(t) задает квадратичный голоморфный абелев дифференциал на F = U/Г.

Выберем произвольно г = r(t)dt2,q = q(t)dt2 из Q(F). Рассмотрим нормированные решения z(t,h) и v(t,ti),u(t,h) уравнения Шварца где h € С, |/г| < е, е - достаточно малое положительное число. Здесь z(t,h) = v{t1h)/u{t,h). Используя теорему Пуанкаре о малом параметре [7], теорему Коши-Ковалевской и ряды Хартогса [30], получим на U х {h : |/i| < е} сходящиеся ряды u(t, h) = u(t) + m{t)h + u2(t)h2 + . + un{t)hn + .,, v(t, h) = г;(£) + vi(t)h + v2{t)h2 + ., где u(t),v{t),ui{t), V{(t) - голоморфные функции на U. Введем следующие обозначения z, t} = 2[r(t) + hq(t)] и линейного уравнения u"(t) + [r(*) + hq(t)]u{t) = 0, to где где t s.

Сначала получаем точную вариационную формулу для решений U[t, h) J \ u(t) J \ Ui(t) ) X u2(t) J X Un[t) J О 1 f' AWs+h2 f* Ms)Ms)ds+.+hn J*

Отсюда имеем точную вариационную формулу для элементов группы монодромии <*Ф) РФ) \ \ 1Ф) h(h) ) ~ [( 0 1 )+ЬМЩ+Ь2Мт+---+ЬпАп-1(ЬЦ)+.\ ( gj ) .

Далее рассмотрим уравнение Шварца d z,t} = 2[r(t) + J2hjqj(t)] i и линейное уравнение d u"{t) + [r(t) + hjqj(t)]u(t) = 0 j=l на F — U/T, где <7i(i), qd{t) - базис в пространстве Q(F), h = {h\,.,hd) 6 Cd, d = 3g — 3. Снова будем рассматривать только нормированные решения z(t,h) и v(t,h), u(t,h) для любого h такого, что \h\ = maxi<j<d\hj\ < е,е - достаточно малое положительное число. Повторяя предыдущие рассуждения, получим вариационные формулы d t, h) = z{t, 0) + hj / gj(s)Ms) - z{t, 0)u(s)]2ds + o{h), j=\ J*0 ocL(h) pL(h) \

V lb(h) 6L(h) J {( I I ) + E \k(Lto)hk+Y, A1]k(Lt0)hk+.+ Y^ An-l.jt(Lt0)hk+.} Ш=1 |fc|=2 |fc|=n

A:|=1 |fc|=2 \к\=т l{0) Pl(0) Л ' V 7l(0) SL(0) J ' где / .^(sjM^sJds, n > 1, % > 0, *■•=.(*!,ад, |*| = h + . + kd, hk = h\\.hkdd, мм=Ф) () = при A;■— (0, .,0,1,0, .,0), символ 1 стоит на j - том месте.

При выводе последней вариационной формулы была получена точная вариационная формула для решений Й ) = Ц 5>Е ( ).

4 v ' 7 4 7 |Jt|=l |Jfc|=n 4 V ' '

Вариационные формулы показывают, как зависит группа монодромии и решение уравнения Шварца от присоединенных (аксцессорных) параметров^(hi,., hd).

Вышеизложенные результаты этой работы позволяют охарактеризовать данное направление как актуальное. Все основные результаты диссертации являются новыми; Используемые при доказательстве теорем специальные и новые методы могут быть применены в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций комплексного переменного.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях : Всесоюзной конференции по теории функций, посвященной 100-ю со дня рождения Н. Н. Лузина( 10-19 сентября 1983 г., Кемерово); Всесоюзном семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа"(16-23 сентября 1985 г., Ташкент); Всесоюзном семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа"(5-10 июня 1989 г., Ташкент); Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (14-16 ноября 1989 г., Новосибирск); Международной конференции по геометрии, посвященной Н. И. Лобачевскому (август 1992 г., Казань); Всесоюзной школе "Алгебра и анализ"(1993г., Байкал); International conference on discrete groups and 3-manifolds (Bielefeld State University, Germany, June 1996 г.); Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-96); Третий Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-98); Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 1999 г.); Международной конференции по геометрии, посвященной 70-летию профессора В. А. Топоногова (Новосибирск, 2000 г.); Четвертый Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-2000); Международной конференции, посвященной 100-летию академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2001 г.); Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A. D. Alexandrov, Euler International Mathematical Institute, St. Petersburg, June 2002; Всероссийской конференции "Математические методы в механике", посвященной 70-летию член-корр. РАН В. Н. Монахова ( 8-13 августа, 2002 г., Барнаул); Ben-Gurion University, Beer-Sheva, Israel (семинар под руководством профессора В. М. Гольдштейна) -1999 г.; Bar-Ilan University, Tel-Aviv, Israel (объединенный семинар Института Математики) - 1999 г.; Институт математики СО РАН (семинар по геометрии, топологии и их приложениям под руководством профессора И. А. Тайманова) - 2002 г.; Омский государственный университет (геометрический семинар под руководством профессора В. Н. Берестовского) - 2002 г.; Красноярский государственный университет (семинар по комплексному анализу под руководством профессора А. К. Циха) - 2002 г.; Казанский государственный университет (городской семинар по геометрической теории функций под руководством профессоров Л.А. Аксентьева и С.Р. Насыро-ва) - 2002 г.; Институт математики СО РАН (объединенный семинар отдела геометрии и анализа под руководством академика Ю. Г. Решетняка) - 2002 г.; Кроме того, все результаты работы в различное время докладывались в Институте математики СО РАН (семинар отдела теории функций под руководством профессоров П. П. Белинского, С. Л. Крушкаля; семинар по геометрическим структурам на многообразиях и орбифолдах под руководством профессора А. Д. Медных).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-01-00630).

Пользуясь случаем автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору А.Д. Медных за постоянную дружескую поддержку и конструктивные обсуждения основных результатов диссертации.

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах:

88] Чуешев В.В. О некоторых подмногообразиях пространств групп Кебе// Докл. АН СССР. 1978, Т.243, N 3. С. 588 - 591

89] Чуешев В.В. Пространства Шоттки типа (g,s,m)// Сибирск. матем. журн. 1979, Т. 20, N 3. С. 632 - 640

90] Чуешев В.В. Пространства компактных римановых поверхностей и групп Кебе// Сибирск. матем. журн. 1981, Т. 22, N 5. С. 190 - 205

91] Чуешев В.В. Конформные автоморфизмы компактных римановых поверхностей// Сибирск. матем. журн. 1982, Т. 23, N 6. С. 196 - 197. ВИНИТИ 1120-82. 21 с.

92] Чуешев В.В. Отображение монодромии для компактных римановых поверхностей// Сибирск. матем. журн. 1983, Т. 24, N 3. С.216. ВИНИТИ 6533-82. 12 с.

93] Чуешев В.В. Вариационные формулы для группы монодромии// Тез. докл. на Всесоюз. конф. по теории функций, посвящ. 100-ю со дня рожд. Н.Н.Лузина. 10-19 сент. 1983 г. Кемерово. 1983. С. 129.

94] Чуешев В.В. Точная вариационная формула для группы монодромии на компактной римановой поверхности// "Теория функций и ее приложения". Межвузовский сборник научных трудов, посвящ.100-ю со дня рожд. Н.Н.Лузина. Кемерово. 1985. С. 23 - 28

95] Чуешев В.В. Когомологическое расслоение Ганнинга над компактной римановой поверхностью// Тез. докл. Всесоюзного семинара "Актуальные вопросы комплексного анализа". Ташкент. 1985. С. 116 - 117

96] Чуешев В.В. Когомологическое расслоение Ганнинга и группа Торел-ли// Сибирск. матем. журн. 1990, Т. 31, N 3. С. 198 - 203

97] Чуешев В.В. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с циклическими группами конформных автоморфизмов// "Геометрия и Анализ". Межвузовский сборник научных трудов. Кемерово. КемГУ. 1991. С. 8 -13

98] Чуешев В.В. Расслоение Прима и Ганнинга над пространством Тейхмюллера// Тез. докл. Всесоюзной Воронежской конф. Понтрягин-ские чтения-4, посвящ. 85-летию со дня рожд. JI.C. Понтрягина. 1993. С. 203.

99] Chueshev V.V. Harmonic and holomorphic Prym differential on compact Riemann surface// Preprint 96 - 099. 1996. Universitaet Bielefeld. Germany. 14 S.

100] Чуешев В.В. Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 1999, Т.40, N 2. С. 465 - 475

101] Чуешев В.В., Койнова О.А. Топологические и аналитические свойства группы характеров компактной римановой поверхности// Вестник КемГУ. 2000, В.4. С. 251 - 260

102] Чуешев В.В. Векторные расслоение Прима и расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера// Сибирск. матем. журн. 2001, Т.42, N 4. С. 937 - 951

103] Чуешев В.В. Периоды гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 2002, Т. 43, N 4. С. 937- 952

104] Чуешев В.В. Пространства мероморфных q-дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности и тэта-функция Римана// Вестник НГУ. 2002, Т. 2, В.1. С. 85 - 114

105] Chueshev V.V. Multiplicative Weierstrass points// Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A.D. Alexandrov. POMI. S.-Petersburg. May-June 2002. P. 15 - 16

106] Чуешев В.В. Базис мероморфных q—дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности// Тез. докл. Всероссийской конференции "Математические методы в механике", август 2002. АлтГУ, Барнаул, с. 34 - 35

107] Чуешев В.В. Базис пространств мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности и группы Кебе// Вестник НГУ. 2002, Т. 2, В. 2. С. 78 - 107

108] Чуешев В.В., Якубов Э.Х. Мультипликативные точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 2002, Т. 43, N 6. С. 1408 - 1429

109] Чуешев В.В., Койнова О.А. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорожденными группами конформных автоморфизмов// Вестник НГУ. 2002, Т.2, В.З. С. 11 - 27

110] Чуешев В.В. Мультипликативные точки Вейерштрасса и многообразие Якоби компактной римановой поверхности// Тез. докл. Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж. Воронеж, гос ун-т. 2003. С. 280 - 282.

111] Чуешев В.В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности, ч. 2// Кемерово. КемГУ, 2003. 247 с.

1. Princeton Univ. Press. P. 107 122 [55] Grauert H. Analytische Faserungen ueber holomorphvollstaendigen Raeumen// Math. Ann. 1958, V. 135. S. 266 273 [56] Griffiths P., Harris J. Principles of algebraic geometry, v. 1// New- York. Wiley-Interscience Publication, 1978. 255

2. Amer. Math. Soc. Providence. Rhode Island. New-York. 1989. [58] Gunning R.C. Special coordinate coverings of Riemann surfaces// Math. Ann. 1967, V. 170. P. 67 86 [59] Gunning R.C. Riemann surfaces and generalized theta functions// Ergebnisse Math. Bd.

3. Berlin. Birkhaeuser, 2001. [70] Kempf G. A property of the periods of a Prym differential// Proc. of the Amer. Math. Soc. 1976, V.54. P. 181 184 [71] Koenig R. Zur arithmetischen Theorie der auf einem algebraischen Gebilde existierenden Funktionen// Ber. der Verh. Saechs. Ges. Wiss. Leipzig. Math.-Phys. Kl. 1976, V. 63. S. 348 368 256