Дифференциалы Прима на переменной конечной римановой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Казанцева Алена Алексеевна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА НА ПЕРЕМЕННОЙ КОНЕЧНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4 ДЕК 2014

Томск - 2014

005556389

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Горно-Алтайский государственный университет», на кафедре математики и методики преподавания математики.

Официальные оппоненты: Лейнартас Евгений Константинович, доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», кафедра теории функций, профессор

Абросимов Николай Владимирович, кандидат физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение науки Институт Математики имени С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, лаборатория теории функций, научный сотрудник

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнёва», г. Красноярск

Защита состоится "29 "декабря 2014 г. в 14:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корпус 2, ауд. 304).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на официальном сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения зыс-шего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Автореферат разослан ". ii ."ноября 2014 г.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http//www.tsu.ru/content/news/announcement of_ tlie dissertations in the tsu.php Ученый секретарь диссертационного совета, Малютина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Чуешев Виктор Васильевич

кандидат физико-математических наук

Александра Николаевна.

Общая характеристика работы Актуальность темы

После работы Р. Ганнинга (1980 г.)1, связанной с мультипликативными функциями и дифференциалами Прима для любых характеров на фиксированной компактной римановой поверхности, начался новый этап современного развития теории таких дифференциалов. В работе Чуеше-ва В. В.2 начато построение общей теории дифференциалов Прима для произвольных скалярных характеров, причем для переменной компактной римановой поверхности.

В книге Х.М. Фаркаша и И. Кра3 приведены основы теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима для фиксированной поверхности и для любых характеров.

В работах Ф. Прима, Г. Роста 4, О. Хаупта 5, Р. Ганнинга 6 начато изучение векторных мультипликативных функций и дифференциалов Прима для специальных матричных характеров на компактной римановой поверхности рода д >2.

Цель диссертационной работы Казанцевой A.A. создание основ общей теории дифференциалов Прима для любых переменных характеров, как аналог теории абелевых дифференциалов, на переменной конечной римановой поверхности; доказательство существования матричных диф-

1 Gunning R.C. On the period classes of Prym differentials. J. Reine Angew. Math. 1980. V. 319. P. 153 - 171.

2Чуешев B.B. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. КемГУ, Кемерово. 2003, 248 с.

3Farkas Н.М., Kra I. Riemann surfaces. Grad. Text's Math. 1992. V. 71. New-York : Springer.

4Prym F., Rost G. Theorie der Prymschen Funktionen erster Ordnung im Anschluss an die

Schoepfungen Riemann's. Leipzig : Teubner, 1911.

5Haupt O. Zur theorie der Prymschen Funktionen 1 und N Ordnung. Math. Ann. 1916. V. 77. N 1. s.

24-64.

"Gunning R.C. Lectures on vector bundles over Riemann surfaces. Princeton : Princeton Univ. Press., 1967.

ференциалов Прима любых положительных порядков для любых матричных характеров на компактной римановой поверхности рода д > 2.

При этом используются новые современные средства геометрической теории функций: пространства Тейхмюллера, группы характеров, векторные расслоения из дифференциалов Прима над пространством Тейхмюллера, универсальное многообразие Якоби, расслоения целых дивизоров с голоморфными сечениями над пространством Тейхмюллера и метод дивизоров.

Теория однозначных дифференциалов (характер р = 1) имеет ряд существенных отличий от теории дифференциалов Прима с произвольными характерами (р ф 1). Однозначные дифференциалы нашли приложения в уравнениях математической физики в работах С.П. Новикова7, И.М. Кричевера8, Б.А. Дубровина9, И.А. Тайманова10 и в теоретической физике (Р. Дик, С. Климек), в аналитической теории чисел в работал X. Фаркаша, И. Кра, в теории краевых задач в классах аналитических функций в работах В.Н. Монахова, Е.В. Семенко, Э.И. Зверовича и в теории пространств Тейхмюллера в работах Л.В. Альфорса, Л. Берса11, С.Л. Крушкаля12 и К. Эрла13.

7Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебра типа Вирасоро, тензор энергии-импульса и операторные разложения на римановых поверхностях. Функцион. анализ и его приложения. 1989. Т.23. В.1. С. 24 - 40.

Новиков С.П. Периодическая задача Кортвега - де Фриза. Функцион. анализ и его приложения.

1974. Т. 8. В 3. С. 54 - 66.

8Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, Вып. 6. С. 180-208.

9 Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. Успехи матем. наук. 1981. Т.36. В. 2. С. 11 - 80.

10Тайманов И.А. Секущие абелевых многообразий, тэта функции и солитонные уравнения. Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. В. 1. С. 150 - 224.

иАлъфорс Л.В., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М. : ИЛ, 1961.

12Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука,

1975.

13Eaile С J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties. Annals of Math. 1978, v. 107, p. 255-286.

Результаты диссертации Казанцевой A.A. принципиально отличаются от имеющихся классических результатов, в книгах Дж. Спрингера14, Фаркаша-Кра по классической геометрической теории функций на компактной римановой поверхности. Во-первых, все объекты рассматриваются на переменной конечной римановой поверхности Fß. В диссертационной работе дано конструктивное описание дивизоров элементарных, как абелевых дифференциалов, так и дифференциалов Прима всех трех родов любых положительных порядков, которые голоморфно зависят от модулей [/и] конечных римановых поверхностей Fß.

Цель диссертации

Целью работы является:

1) построение основных типов элементарных (р, ^-дифференциалов Прима трех родов, голоморфно зависящих от характера р и от модулей конечной римановой поверхности; нахождение базисов локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из (р, д)-дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров на римановой поверхности типа (д, п), д > 2, п > 1, q > 1;

2) построение основных типов элементарных однозначных (абелевых) g-дифференциалов трех родов целого порядка q> 1, голоморфно зависящих от модулей конечной римановой поверхности; нахождение базисов локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из абелевых g-дифференциалов, над пространством Тейхмюллера типа (д,п);

3) двумя методами доказывается существование мероморфных дифференциалов Прима и мультипликативных матричных функций для лю-

"Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960.

бых матричных характеров на фиксированной компактной римановой поверхности рода д > 2.

Методы исследования

Методы исследования используют:

1) универсальное расслоение Якоби, со слоями являющимися многообразиями Якоби для компактных римановых поверхностей, над пространством Тейхмюллера;

2) метод построения базисов голоморфных дифференциалов, и различных видов мероморфных дифференциалов Прима, которые голоморфно зависят от модулей конечных римановых поверхностей и характеров;

3) тонкую технику работы с классами дивизоров и голоморфными сечениями К. Эрла в пространствах целых дивизоров на переменной компактной римановой поверхности;

4) матричные тэта ряды Пуанкаре.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и представляют научный интерес.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, геометрической теории функций на компактной римановой поверхности, аналитической теории чисел, уравнениях математической физики и комплексной алгебраической геометрии.

Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по геометрической теории функций и многомерному комплексному анализу для бакалавров,

магистрантов и аспирантов кафедр математического анализа Кемеровского и Горно-Алтайского государственных университетов.

Степень достоверности и апробация работы

Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими

доказательствами.

Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:

международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"/ Новосибирск, НГУ, 2010, 2011, 2012 г.

всесибирском конгрессе женщин-математиков, посвященных C.B. Ковалевской, / Красноярск, СФУ, 2010 г.

на школе-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск, ГАГУ 2010, 2011, 2012 г.

международной школе-конференции по геометрии и анализу / Кемерово, КемГУ, 2011 г.

на совместном заседании семинаров "Геометрическая теория функций'^ "Инварианты трехмерных многообразий"в Новосибирском Институте Математики (СО РАН) под руководством член-корр. РАН А.Ю. Веснина, профессора НГУ А.Д. Медных и профессора НГУ В.В. Асеева в сентябре 2014 г.

в Сибирском Федеральном университете на семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством проф. А.К. Циха и проф. A.M. Кытманова (Красноярск), в октябре 2014 г.

в Томском государственном университете на семинаре по геометрической теории функций под руководством проф. И.А. Александрова, в июне 2014 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12], из них 3 работы [8,11,12] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 2 публикации [9,10] в материалах конференций, 7 публикаций [1-7] являются тезисами конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, насчитывающей 31 наименования. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета КГЩХ. Объем работы - 93 страницы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и кратко охарактеризовано содержание диссертации.

В первой главе построены все типы элементарных дифференциалов Прима, голоморфно зависящих от характера и от модулей конечной римановой поверхности типа (д,п). С их помощью построены базисы локально голоморфных сечений всех основных типов векторных расслоений, со слоями состоящими из дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера типа (д,п) и группы характеров для таких поверхностей. В частности, получена размерность и построен базис для первой голоморфной группы когомологий де Рама для характеров на переменной конечной римановой поверхности типа (д, п).

Напомним основные определения, используемые в нашей работе.

Пусть F — фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода д > 2, с отмечанием {а*:, Ь/с}£=1, т.е. упорядоченным набором образующих для 7Г1^), а ^ — компактная риманова поверхность

с фиксированной комплексно-аналитической структурой на F. Зафиксируем различные точки Р\,..., Рп 6 F. Пусть F' = F\{Pi, - - -; Рп} — поверхность типа {д,п), п > 1, д > 2, и Г' - фуксова группа первого рода, инвариантно действующая в круге U = {z & С : |z| < 1} и униформизирующая поверхность F(}, т.е. Fq = U/T', которая имеет алгебраическое представление Г' = {А\,.... Ад, В\,..., Вд, С\...., Сп : п [Aj, Bj]Ci ... С„ = Z), где [А, В] = AB А'1 В'1 для А, В & Г, а I -тождественное отображение. Здесь Aj, Bj,j = l,...,g, - гиперболические, а С\,..., Сп — параболические элементы.

Характером р для Fназывается любой гомоморфизм р : (7Г1 (F^), •) -»■ (С*, •), С* = С \ {0}. Характер единственным образом задается упорядоченным набором (рК), р{Щ),. ■ •, р(а£), р(Ь£), р(тП, • • • - рШ) е (С*)2^.

Определение 1.1.2. тп—дифференциалом Прима относительно фук-совой группы Г' для р, т. е. (р, т)-дифференциалом, называется дифференциал oj(z)dzm такой, что oj(Tz){Trz)mp(T) = u{z), zeU, Те Г, р : П С*.

Если /о — мультипликативная функция на F^ для р без нулей и полюсов, то характер р для /0 имеет вид: р(а£) = ехр2тггс^([/х], р). р(Ь£) =

ехр(2тгг {] сДИ, p)7rjfc([/x])), k = 1,.. - ,.<?•

j=i

Обозначим через р) для р £ Нотп{Т'^ С) множество всех отоб-

ражений ф : Г; ^ С таких, что 0(5Г) = 0(5) + p(S)0(T), 5, Г е Г„. Для замкнутого дифференциала Прима ф можно определить, так называемые, классические периоды. Для Т 6 Г'д соответствующий ему клас-

Tzq

сический период ф^(Т) = f ф и верно равенство 03о(Т) = Ф^Т) -f(z0)a(T), где <т(Г) = 1 - р(Т), Г е Г^.

Следовательно, отображения вида Т -»• ф/,Ло(Т) (периоды по Р. Ган-нингу) и вида Т -» фго(Т) (классические периоды) определяют один и

тот же класс периодов [ф] & ЯХ(Г= Z1(Гр)/ < а > для дифференциала Прима ф на для р.

В §1.1 даны предварительные сведения по теории пространств Тейх-мюллера. Приведены теоремы Римана-Роха и Абеля для характеров.

В §1.2 доказывается, что когомологическое расслоение Ганнинга над произведением пространства Тейхмюллера типа (<?,п) и группы характеров является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 + п.

В §1.3 найден общий вид элементарных (р, с[) -дифференциалов Прима на

Теорема 1.3.1. Для любой точки <5 и любого характера р на ^ типа (д, п), д > 2. п > 1, и любых т > 2, д > 1 существует элементарный (р,9)-дифференциал т^д класса М\{р) с полюсом точно порядка т в точке <5, у которого общий вид дивизора (т^д) = 1 ,

г<?е (р(Й!... йэ) = -2КИ? + ¥>(<?т) - <р(#3+1 • • ■ Длг) + + • • • +

(р(Р„") + т/'Ср)»> 0,_7 = 1,..., тг, при этом точки Яд+х,..., выбираются произвольно на и N = — 2)д + ш 4- /¡1 + • • • 4- кп. Кроме того, эти дифференциалы локально гололюрфно зависят от [р,] и р.

В теореме 1.3.2 для любого характера р на типа (д, п), д > 2, п > 1 и любого натурального числа <? > 1 доказано существование элементарного (р, д)-дифференциала тр.?:д,<з2 третьего рода точно с простыми полюсами <51 = ЯгЬАтЯ^ — <2г[л] ^ локально голоморфно зависящего от р и [/х].

В §1.4 найдены размерности и построены базисы в векторных расслоениях Ег = и^ЛР'^/^ЛК) и = и^(огЬг;для несущественных характеров. Причем следующие наборы классов смеж-

ности дифференциалов Прима: либо

/оСь • - • , /оСк: /о Сд, /о Тр"'+1)' • • • > /огР?'+1)» /оГР2Р„ • - • > /оТ^Л, (1) либо

/оСъ • ■ •./оСь • • ■, /оСя, ....т-^ц, /отргр1У. ■ ■, /оТр„ра, (2)

задают базис локально голоморфных сечений расслоения Е\. А набор классов смежности дифференциалов

/оСь • • ■ > /оСь • • • I /оСр. /отр"1+1\ • • ■! /о4"9+ \

/оГРаР,, ■ • ■; /()Т"р„р,, /о^Рц ■ • • ■ /от«г,Р1 (3)

будет базис локально голоморфных сечений расслоения

В §1.5 дано полное описание мультипликативных единиц и мультипликативных функций с заданными полюсами и существенно особыми точками на переменной конечной римановой поверхности. В §1.6 доказывается

Теорема 1.6.1. Векторное расслоение Е3 = Лв"

ляется голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 + тг над базой Т9,„ х Нот(Г',С)\Ьд при д > 2, п > 2. Причем следующие наборы классов смежности дифференциалов Прима: либо

СС?_1, Тр\ ■ ■ ■ , ^ . • • • . ТРпР^ (5)

11 1

либо

Сь . . . , Сд-ЬтД1+1\ . . . , т£*"1+1\ ГР2РП . . . , ТРпРиТ^Р1- (6)

либо

Сь..., с9-ь • • •, 42\'тр" • • •'м

* 1 * <3—I

задают базис локально голоморфных сечений этого расслоения, где <5о £ Р, числа гц,.... пя-1 — мультипликативные пробелы Вейерштрасса в

11

точке А (б на поверхности Р^. и ¿р-^Рг —Рд-л) = 0, Г\,.... Рд_1 £ р

Теорема 1.6.2. Векторное расслоение Е4 = и является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 + п 4- г нас? базой Т9>пх (Нот(Т', С*)\Ьд) при попарно различных точках (З1,..., <35, 5 > 1, на поверхности ^ типа {д,п), д > 2, п> 2. Причем набор классов смежности дифференциалов Прима: либо

ЦЬ • • ■ , <,0-1, ~р1 ,---,тР1 ,

ТВД, . . . , ТВД, Т,^, . . . , Тдл, ГР|Р1, (7)

либо

Г г гЫР,)+1) _К-1(Л)+1) чь-'-Лг-ьТР! I ■ • ■: р^

три тР2,.... тРп. т^,..., тц,, (7')

где П1,..., па_1 — мультипликативные пробелы Вейерштрасса в Р\ на Рц для р. задает базис локально голоморфных сечений этого расслоения.

Во второй главе диссертации построены все основные типы элементарных абелевых 5—дифференциалов любого целого положительного порядка, голоморфно зависящие от модулей конечной римановой поверхности типа (д, п). С их помощью построены базисы локально голоморфных сечений всех основных типов векторных расслоений со слоями, из абелевых д—дифференциалов, над пространствами Тейхмюллера тина (.д,п). Дано полное описание дивизоров всех основных типов элементарных абелевых <?—дифференциалов на переменной конечной римановой поверхности.

В §2.1 найден общий вид д—дифференциалов с единственным полюсом в точке <3 точно порядка т > 1 на где <7 > 1.

Теорема 2.1.1. На

переменной римановой поверхности типа 12

С9, п), д > 2. п > 1. для любых натуральных чисел гп> 1, д > 1 существует элементарный д-дифференциал т^ = (^г + 0(1))йг9, = О, с полюсом в любой точке <? € точно порядка тп класса М\ локально голоморфно зависящий от [д], у которого общий вид дивизора {т^) =

^ = ^ = (25-2)9+771+^=! +

...+кп, иу>(Я 1 • • • Я,) = -2^Нд+<р((5т)-^(Дэ+1 • • • ДдгН^Л*1... в многообразии Якоби J{Ffi). При этом точки Яд+г, ■ • •, Ддг и <2 = <ЭМ выбираются как локально голоморфные сечения расслоений целых дивизоров степени ЛГ — д и 1 над достаточно малыми односвязными окрестностями из Тг.п.

В теореме 2.1.2 доказывается аналогичное утверждение для элементарного д-дифференциала т^д^ третьего рода.

В параграфе 2.2 построены базисы из локально голоморфных сечений для всех основных типов векторных расслоений абелевых д—дифференциалов, аналогичные расслоениям из первой главы. Но доказательства и формулировки этих теорем имеют принципиальные отличия.

В §2.3 предлагается новый способ построения базисов голоморфных абелевых д-дифференциалов и (р, д)-дифференциалов Прима для любых характеров на переменной гиперэллиптической римановой поверхности, так как теорема М. Нётера о базисах не применима для гиперэллиптической поверхности.

В третьей главе изучаются дифференциалы Прима с матричными характерами.

В §3.1 определяются основные понятия, связанные с матричными характерами на компактной римановой поверхности.

В §3.2 двумя методами доказано существование мультипликативных функций и д—дифференциалов Прима (д > 1) для любых матричных ха-

рактеров на компактной римановой поверхности рода д > 2, без условия регулярности функции, определяющей матричный тэта-ряд Пуанкаре, на границе круга.

Теорема 3.2.1. Пусть 1,3 - 1 ,...,п, будут любые функции

аналитические на круге и — {\г\ < 1}, кроме конечного числа полюсов в и. Пусть задан любой матричный характер р : Г —>■ GL(n, С) фуксовой группы Г первого рода, которая униформизирует компактную римано-ву поверхность F рода д >2 в круге и. Тогда для любого натурального к > О существует, отличный от тождественного нуля, матричный мероморфный к-дифференциал (р(г)<1гк на и, относительно группы Г для р. Такой дифференциал задается формулой

ф) = £ М(Т{*))П*)кр{П г 6 и,

Те Г

при к + А1 > 2.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Чуешеву Виктору Васильевичу за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

Основные результаты

1) Построены основные типы элементарных (р, 5)—дифференциалов Прима трех родов, голоморфно зависящих от характера р и от модулей конечной римановой поверхности; найдены базисы локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из (р? Ч)—дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейх-мюллера типа (д, п), и гру'ппы характеров таких поверхностей; доказано, что одно из этих расслоений аналитически эквивалентно когомологическому расслоению Ганнинга.

2) Построены основные типы элементарных абелевых q—дифференциалов трех родов целого порядка q > 1, голоморфно зависящих от модулей конечной римановой поверхности; найдены базисы локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из абелевых ^-дифференциалов, над пространством Тейхмюллера типа (д, п).

3) Двумя методами доказано существование матричного дифференциала Прима любого положительного целого порядка для любого матричного характера на компактной римановой поверхности рода д > 2.

Список работ автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных результатов диссертаций

1. Беспоместных A.A., Чуешев В.В. Мультипликативные функции с матричными характерами на компактной римановой поверхности. Журнал Сибирского федерального университета, сер. Математика и физика 2009. Т. 2, 1, С. 31-40. - 1,2 / 0,6 п.л.

2. Казанцева A.A., Чуешев В.В. Пространство мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Сибирский математический журнал. 2012. Т. 53, № 1, С. 89-106. - 2,16 / 1,2 п.л.

3. Казанцева A.A. Однозначные g-дифференциалы на переменной конечной римановой поверхности. Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14, № 3, С. 57-67. - 1,32 п.л.

Статьи в других научных изданиях

4. Беспоместных A.A., Чуешев В.В. Дифференциалы Прима и функции с матричными характерами на римановой поверхности. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева, Новосибирск, ИМ, 2008, 1 с. - 0,06 / 0,03 п.л.

5. Пушкарева A.A. Периоды мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Материалы 48 международной научной студенческой конференции, Новосибирск, 2010, С. 104. - 0,06 п.л.

6. Пушкарева A.A. Пространство мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Материалы школы-конференции по геометрическому анализу, Горно-Алтайск, РИО Г-АГУ, 2010, С. 57-58. - 0,12 п.л.

7. Пушкарева A.A. Периоды мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. VI всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, РИЦ СибГТУ, 2010, С. 360-362. - 0,18 п.л.

8. Пушкарева A.A. Периоды мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Сборник научных трудов кафедры математического анализа № 2, Горно-Алтайск, РИО Г-АГУ, 2010, С. 5465. - 0,72 п.л.

9. Пушкарева A.A. Пространства дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Сборник научных трудов кафедры математического анализа № 3, Горно-Алтайск, РИО Г-АГУ, 2010, С. 16-31. - 1 п.л.

10. Казанцева A.A., Чуешев В.В. Элементарные мероморфные дифференциалы Прима на конечной римановой поверхности. Международная школа-конференция по геометрии и анализу. Кемерово, КемГУ, 2011, 4 с. - 0,48 / 0,24 п.л.

11. Казанцева A.A. Однозначные g-дифференциалы на переменной конечной римановой поверхности. Материалы 52 международной научной студенческой конференции, Новосибирск, 2014, С. 27. - 0,06 п.л.

12. Казанцева A.A. Векторные расслоения абелевых дифференциалов над пространством Тейхмюллера. Материалы конференции Дни геометрии в Новосибирске, Новосибирск, 2014, С. 33. - 0,12 п.л.

РИО Горно-Алтайского государственного университета 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1.

Подписано в печать 12.11,2014 г. Формат 60x84/15. Бумага для множительных аппаратов. Печать ризо. Печ. л. - 1,4. Тираж 120 экз. Заказ № 186.

Отпечатано полиграфическим отделом

Горно-Алтайского госуниверситета. 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1.