Периоды дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Пушкарева Татьяна Алексеевна

ПЕРИОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ПРИМА НА ПЕРЕМЕННОЙ КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г. Красноярск, 2014

1 ь СЕН 2014

005552573

005552573

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Горно-Алтайском государственном университете"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Чуешев Виктор Васильевич

Официальные оппоненты: Сафонов Константин Владимирович

доктор физико-математических паук, профессор Сибирский государственный аэрокосмический университет им. академика М.Ф. Решетыёва, Красноярск кафедра прикладной математики, заведующий кафедрой;

Абросимов Николай Владимирович

кандидат физико-математических наук Институт Математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск лаборатория 'Теория функций", научный сотрудник

Ведущая организация: Национальный исследовательский Томский

государственный университет

Защита состоится "10" октября 2014 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском Федеральном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 8-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета и на сайте http://www.sfu-kras.ru.

Автореферат разослан " " 2- 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федченко Дмитрий Петрович

Общая характеристика работы Актуальность темы

Мультипликативные функции и дифференциалы Прима появились в классических работах Ф. Прима. Г. Роста1 и П. Аппеля2. как естественное обобщение абелевых дифференциалов и их периодов. Для случая специальных характеров на компактной римановой поверхности они нашли приложения в геометрической теории функций, аналитической теории чисел (Х.Фаркаш, И. Кра), теории векторных расслоений над комплексными многообразиями (Р. Ганнинг, И. Ергенссон, Дж.Фау. Г. Кемпф. Э. Джеблоу).

В работе В.В. Чуешева3 начато построение основ теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности для произвольных характеров. Проведенные в работе исследования берут начало в основной работе Р. Ганнинга (1980 г.)4. который возродил интерес к периодам дифференциалов Прима для любых характеров и вместо пространства периодов предложил так называемое когомологическое расслоение Ганнинга для фиксированной поверхности и для любых характеров. В работе В.В. Чуешева предложено обобщить понятие когомологического расслоения Ганнинга над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров.

Известно, что абелевы дифференциалы и их периоды нашли многочисленные приложения в уравнениях математической физики, при ал-

;Ргу.п F.. Rost G. Theorie der Prymschen Funktionen erster Ordnung im Anschluss an die

Schoepfungen Riemann's. Leipzig: Teubner, 1911.

2Appeli, P. Sur les integrales de fonctions a multiplicateurs et leur application an développement des

fonctions abeliennes en series trigonometriques. Acta Math. - 1890. - Vol. 13. n. 3/4. P. 1-174.

'Чуешсв B.B. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. 4.2 - Кемерово, КемГУ. 2003.

4Gunning R..C. On the period classes of Prym differentials. .1. Reir.e Angew. Math. 1980. V. 319. P.

153 - 171.

гебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений в работах С.П. Новикова5, И.М. Кричевера6, и в теоретической физике (Р. Дик. С. Климек), а также в теории пространств Тейхмюллера в работах Л.В. Альфорса, Л. Берса7, С.Л. Крушкаля и К. Эрла8.

Построенные в диссертационной работе основы теории мероморфных и гармонических дифференциалов Прима и их периодов на переменной римановой поверхности с переменными характерами существенно отличаются от имеющихся классических результатов по теории абеле-вых дифференциалов и их периодов, приведенных в книгах Дж. Спрингера9, Фаркаша-Кра10 по классической геометрической теории функций на компактной римановой поверхности. Сначала заметим, что все объекты рассматриваются на переменной компактной римановой поверхности Ftl. Для построения теории однозначных дифференциалов большую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса (Дж. Спрингер и Фаркаш - Кра), и голоморфно зависящие от модулей [/л] компактных римановых поверхностей Ffl. В нашей работе дано построение и конструктивное описание дивизоров элементарных дифференциалов Прима трех родов любых целых порядков.

Всё вышесказанное говорит об актуальности темы диссертации.

5Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебра типа Вирасоро, тензор энергии-импульса и операторные разложения на римановых поверхностях. Функцион. анализ и его приложения. 1989. Т.23. В.1. С. 24 - 40.

"Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, Вып. 6. С. 180-208.

'Альфорс Л. В., Берс, Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. - М, ИЛ, 1961.

8Earle C.J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties. Annals of Mathematics. 1978. V. 107. P. 255-286.

^Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.- М. ПЛ.: 1960.

'"Farkas, Н. М., Kra, I. Riemann surfaces. - Grad. Text's .Math.. - V. 71. - New-York. Springer, 1992.

Цель диссертации

Целями диссертационной работы является:

1) получение теоремы о полной сумме вычетов для (р, <?)— дифференциалов Прима любого целого порядка на переменной компактной рима-новой поверхности;

2) построение четырех основных типов элементарных дифференциалов Прима т/г,(].т^(т > 1 ),т1гР2Р2, и т^, где ¿¡й{С2\) = 0 и /0 -мультипликативная единица для р, локально голоморфно зависящих от характера р и модулей [р] компактной римановой поверхности;

3) классификация основных соотношений на периоды и видов билинейных соотношений между периодами элементарных дифференциалов Прима трёх родов на переменной компактной римановой поверхности для любых характеров;

4) доказательство того, что голоморфное векторное расслоение Прима будет вещественно-аналитически изоморфно когомологическому расслоению Ганнинга над произведением пространств Тейхмюллера и нетривиальных нормированных характеров;

5) построение канонических базисов голоморфных дифференциалов Прима локально голоморфно зависящих от существенных характеров и модулей римановых поверхностей;

6) построение канонических базисов гармонических дифференциалов Прима, которые вещественно-аналитически зависят от нормированных характеров и комплексно-аналитически от модулей римановых поверхностей.

Методы исследования

В работе использовались следующие методы: 1) универсальное расслоение Якоби над пространством Тейхмюллера;

о

2) метод построения базисов голоморфных дифференциалов, и различных видов мероморфных дифференциалов Прима, которые голоморфно зависят от модулей \р] римановой поверхности и характеров /?;

3) сложную технику работы с классами дивизоров и голоморфными сечениями К. Эрла в пространствах целых дивизоров на переменной римановой поверхности;

4) когомологическое векторное расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и представляют научный интерес.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, геометрической теории функций на компактной римановой поверхности, аналитической теории чисел, уравнениях математической физики и комплексной алгебраической геометрии. Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по геометрической теории функций и многомерному комплексному анализу для магистрантов и аспирантов кафедры математического анализа Кемеровского и Горно-Алтайского государственных университетов.

Степень достоверности и апробация работы

Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими доказательствами. Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях :

международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" / Новосибирск. НГУ, 2010. 2011, 2012 г.;

всесибирском конгрессе женщин-математиков / Красноярск, СФУ, 2010

г.:

на школе-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск, ГАГУ 2010, 2011, 2012 г.;

международной школе-конференции по геометрии и анализу / Кемерово, КемГУ, 2011 г.:

на совместном заседании семинаров "Геометрическая теория функций" и "Инварианты трехмерных многообразий" в Новосибирском Институте Математики (СО РАН) под руководством член-корр. РАН А.Ю. Веснина, профессора НГУ А.Д. Медных и профессора НГУ В.В. Асеева в 2013 г.;

в Сибирском Федеральном университете на семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством проф. А.К. Циха и проф. A.M. Кытманова (Красноярск), 2013 г.;

на семинаре по "Геометрической теории функций комплексного переменного" в Томском государственном университете под руководством профессора д.ф.-м.н. И.А. Александрова, 2014 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-16]. из них 3 работы [1-3] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 2 публикации [4-5] в материалах конференций, 11 публикаций [616] являются тезисами конференций.

Исследования по теме диссертации были поддержаны грантами: 1) Аналитическая ведомственная целевая программа, 2.1.1.3707: 2) Федеральная целевая программа, №-02.740.11.0457; 12-01-90800-моб-рф-нр; 3)

РФФИ No. 14-01-31109 мол.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы, насчитывающей 23 наименования. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета ВД^Х. Объем работы - 111 страниц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и изложена история исследуемых задач и кратко охарактеризовано содержание диссертации.

Напомним основные определения, используемые в нашей работе. Пусть F - фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода д > 2, с отмечанием {а^, т. е. упорядоченным набором об-

разующих для tti(F), a Fo - риманова поверхность с фиксированной комплексно-аналитической структурой на F. По теореме униформиза-ции существует конечно порожденная фуксова группа Г первого рода, инвариантно действующая на единичном круге U = {z 6 С : \z\ < 1} такая, что U/Г конформно эквивалентна F0 и Г изоморфна 7Ti(F). Любая другая комплексно-аналитическая структура на F может быть отождествлена с некоторым дифференциалом Бельтрами р на Fo, т. е. выражением вида fi(z)dz/dz, которое инвариантно относительно выбора локального параметра на F0, где fj.(z) - комплекснозначная функция на F0 и ll^lli^fFg) < 1- Эту структуру на F будем обозначать через F;,. Элементами пространства Тейхмюллера Т9 являются классы конформной эквивалентности отмеченных компактных римановых поверхностей FM рода д > 2. Модули таких классов для краткости будем обозначать через [р].

Характером р для ^ называется любой гомоморфизм р : (^(^д), ■) —»■

->(С*,0, с* = с\{о}.

Определение, (р, <7)-дифференциалом называется дифференциал ф = = ф(г)ЛгА такой, что ф(Тг)(Т'г)ч = р{Т)ф{г)..г е и, Т е Г, р : Г С*. В частности, при <7 = 0, это мультипликативная функция относительно Г для р.

Если /о - мультипликативная функция на /•}, для р без нулей и полюсов, то ее характер р будем называть несущественным, а /о - единицей. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на щ(/"},). Обозначим через Нот(Г, С*) группу всех характеров на Г. Несущественные характеры образуют подгруппу Ьд в группе Ыогп(Г, С:>).

Обозначим через Zx (Г,,, р) для р € Нот{Гц, С*) множество всех отображений ф : Г„ С таких, что ф(БТ) = ф(Б) + р(5)ф(Г), 3, Г € Г,,. Пусть В1(Г(,,р) - одномерное подпространство в Z1(Г|í,p), порожденное элементом а. Тогда Н1(Т^,р) = 21{Т)„р)1В1{Т^,р) - комплексное векторное (2д — 2)—мерное пространство для р 1. Будем называть множество С = и Н1(Г^,р) когомологическим расслоением Ганнин-га над Т5 х (Нот{1\ С")\{1}).

В первой главе диссертации в §1.2 доказана теорема о полной сумме вычетов для (р, д)—дифференциалов Прима при любых характерах р на переменной компактной римановой поверхности.

Теорема 1.2.2. Для любого (р, д) — дифференциала т с любым характером р и дивизором (г) > 1 д..,, 6 N,.7 = с попарно различными точками СЦ^.ь > 2, и любого целого числа ц Ф 0,1 на перельенной компактной римановой поверхности рода д > 2 существует мультипликативная функция / для р~1 такая, что верно

равенство

s TJ 0+1

Eres-г + res ——г = 0,

п. , ,9-1 ¿—I ч , ,9" 1

причем

1) f - единица на Fß, если p - несущественный характер;

2) f - единственная, с точностью до умножения на ненулевую константу, функция с единственным простым полюсом Q\ на Ft,, если р - существенный характер.

В каждом из этих случаев о>о ~ голоморфный абелев дифференциал с дивизором (ljq) = Si...SgSg~l, (ps3+1{Si...Sg) = —2К в многообразии Якоби J(F,,) и {5ЬSa, S5+1} П {Qb QJ = 0 на F,t.

Как следствие в §1.3 доказываются законы взаимности для однозначных мероморфных функций и дифференциалов Прима, и находятся необходимые и достаточные условия существования (р, q)— дифференциалов с заданными полюсами и вычетами в них.

В §1.4 построены четыре основных типа элементарных дифференциалов Прима, локально голоморфно зависящие от характера р и модулей компактной римановой поверхности. Дано полное описание дивизоров элементарных дифференциалов Прима на поверхности.

Теорема 1.4.1. Для любого существенного характера р, точки Q £ € Fß существует некоторая ветвь элелгентарного дифференциала t^q третьего рода с единственным простым полюсом в точке Q на Fß рода g > 2, локально голоморфно зависящего от [//] и р.

Теорема 1.4.2. На переменной компактной римановой поверхности Fß рода g > 2 для любой точки Q, любого характера р um > 2, тп 6 N, существует дифференциал Прима t^q с полюсом Q точно порядка т, голоморфно зависящий от [д] и р. Причем для существенного характера он имеет асимптотику (^7 + 0(l))dz, s(Q) = 0.

Теорема 1.4.3. Для любых различных точек и «« переменной компактной римановой поверхности рода д > 2 для любого несущественного характера р существует дифференциал тр.д2д2 второго рода с полюсами второго порядка в точках С^х и (Эг, голоморфно зависящий от [//,] и р, и имеющий нулевые вычеты в точках С^х и СЦ-2-

Любой мероморфный дифференциал можно представить в виде конечной суммы элементарных дифференциалов трех* родов. С помощью таких элементарных дифференциалов Прима можно построить базисы локально голоморфных сечений всех основных типов векторных расслоений, со слоями состоящими из дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров (М.И. Головина11, М.И. Тулина12).

В §1.5 получены новые свойства пространств мероморфных мультипликативных функций с заданными полюсами на переменной компактной римановой поверхности и для переменных характеров. Кроме того, в §1.6 доказаны аналоги формулы разложения П. Аппеля для мультипликативных функций на переменной компактной римановой поверхности.

Во второй главе диссертации найдены основные соотношения на периоды и виды билинейных соотношений между периодами элементарных дифференциалов Прима трёх родов на переменной компактной римановой поверхности для любых характеров.

Теорема 2.1.1. Для периодов голоморфного дифференциала ПримаО

с характером р ф 1 на переменной компактной римановой поверхности

"Головина М.И. Дивизоры дифференциалов Прима ка римановой поверхности. Вестник КемГУ, N 3/1, 2011. С. 193-198.

'-Тулина М.И. Однозначные дифференциалы и специальные дивизоры дифференциалов Прима. Сибирский матем. ж., 2013, т. 51, N 4, С. 914 - 931.

.Р), рода д >2, верно равенство

Е

к=1

ф(Ьк)а(ак) - ф(ак)о(Ък) р{ак)

р{Ь{) ■ ■ ■ р{Ьк^) = 0.

В §2.2 - §2.4 найдены билинейные соотношения на периоды дифференциалов Прима трех родов для существенного и несущественного характера.

Теорема 2.3.1. Для дифференциалов Прима тр.д и ф1 третьего и первого родов со взаимно обратными существенными характерами р и р\ на Гц верно билинейное соотношение (равенство) льежду их периодами

Е

Ь=1

+дет+

+р(Ьк)фг(Ьк)

П(Ь0с7(О,) - П(о.,)ст(&;) 2тп

^ \Р(Ъ)р(ЬМ)...р(Ьк)р(сц)

~ 2тгг/1(20).

Теорема 2.3.2. Для периодов голоморфного дифференциала Прима Фх и элементарного интеграла Прима П(г; г0, г{) третьего рода со взаимно обратными несущественными характерами р\ и р па верно билинейное соотношение (равенство) между их периодами

к=1

Е

Ма*) ^ ,, . 1 , . о{Ък) ^

+

+Щьк) ^(дк)

к-1

лыЕ

1

Р\{щ)Р\{Ь1...Ък_1)

рЫ Р1{Ьз)р{Ьк...Ь^ Ф).{Сг) + Ф1{ак)+

+

Р{ак) ¿^ Р1{Ь,)р(Ьк...Ь^

■ р(Ьк)Ф1(ьк)^2

2ттг

= 2тпШ20)/оЫ - /l(2l)/o(*l)]-

Таким образом в этой главе получена классификация билинейных соотношений для периодов дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности рода # > 2. Отметим, что частные случаи билинейных соотношений в работах П. Аппеля, Р. Ганнинга13, В.В. Чуешева. Дж. Кемпфа15, Э. Джеблоу16 рассматривались только на фиксированной поверхности и для специальных характеров. В §2.1 доказана эквивалентность основных соотношений П.Аппеля и Р.Ганнинга на периоды голоморфных дифференциалов Прима.

В третьей главе рассматриваются абелевы дифференциалы и дифференциалы Прима на специальных римановых поверхностях. В. М. Бух-штабер и А. К. Цих обратили наше внимание на важность изучения теории функций на специальных римановых поверхностях, т. е. заданных конкретными полиномиальными уравнениями. В этой главе получены явные базисы в пространствах голоморфных (р, q)— дифференциалов для несущественных характеров на четырех специальных римановых поверхностях и на всех кривых Ферма Fn : у'1 = хп — 1, п > 3.

Теорема 3.2.1. Для любого п > 3 набор голоморфных дифференциалов О < i + j < п -3, на кривой Ферма Fn : u" = zn - 1 является базисом в пространстве голоморфных абелевых дифференциалов на кривой Fn.

В четвертой главе изучаются периоды гармонических дифферен-

"Gunning R.C. Lectures on vector bundles over Riemann surfaces. Princeton: Princeton Univ. Press., 1967.

Gunning R. C. Riemann surfaces and generalized theta functions. Ergebnisse Math. Bd. 91. Berlin 1976.

15Kempf G. A property of the periods of a Pryrn differential. Proc. of the Amer. Math. Soc. 1976. V.54.

P. 181 - 184.

16 Jablow E. An analogue of the Ranch variational formula for Pryrn differentials. Israel J. of Math. 19S9. V. 65. N 3. P. 323 - 355.

циалов Прима для существенных и несущественных характеров на переменной компактной римановой поверхности.

Гармоническим дифференциалом Прима на F для р 6 Нот.(Г, С*) называется гармоническая (однозначная) дифференциальная 1-форма ф = фх{г)6г + ф2{г)с[г на Г/ такая, что

ф1{Тг)(1Тх + ф2{Тг)<£П = + ф2{^)сГг),

где Т е Г, 2 е и. Множество всех гармонических дифференциалов Прима ф для р 6 Яото(Г/х.С) образует комплексное (2д - 2)-мерное векторное пространство Г(Г1иН1^)) при р <£ ЬдиТ^, так как

= Г^О1-0^)) ф Г^О0'1 (/>)),

где Ьд - образ Ьд при отображении комплексного сопряжения р р.

Теорема 4.2.1. Гармоническое расслоение Прима НР = Ц^ р) Г^, является эрмитовым голоморфным векторным, расслоением ранга 2д - 2 над Т, х Нот(Г, С)\(Ьд и Т~д) при любом д > 2. Кроме того, НР является прямой суммой ортогональных эрмитовых голоморфных * — инвариантных векторных. подрасслоений~Р 1.0 и Рол ранга д — 1 над этой базой.

Теорема 4.2.2. Когомологическое расслоение Ганнинга С7 является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 над Тд(К) х (Нот(Г, С*)\1).

В теореме 4.2.3 доказано, что гармоническое векторное расслоение Прима вещественно-аналитически изоморфно когомологическому расслоению Ганнинга над произведением пространства Тейхмюллера и группы нормированных нетривиальных характеров. Этот изоморфизм задается отображением периодов, которое сопоставляет гармоническому дифференциалу Прима ф на F,1 его класс периодов [ф] е Я1(Г;4,/9).

Первая группа Я£,я(^,,р) когомологий де Рама па ^ для р определяется как фактор-пространство пространства А^^р) (всех замкнутых дифференциалов Прима на класса Сх для р) по подпространству г/Сос(^,р) (образ пространства С°°(^,р), которое состоит из всех мультипликативных функций на ^ класса С°° для р, по оператору дифференцирования с{).

Предложение 4.4.1. (Аналоги теорем де Рама и Ходжа) Для р е [Я1]2-9 верно Г(^.НЧр)) = //¿я(Г/пр) = Я^Г^р) и ¿ля любого зол(кку-того дифференциала Прима ф на ^ класса С'°° для р существует единственное разложение Ходжа 6 = ф0+(1/(г), гдефо е Г(Г,„ %1(р)), /(г) 6 С,эс(^,,р). а также для любого класса периодов [ф] £ Я^Гд.р) существует замкнутый дифференциал Прима ф на ^ класса С°° для р такой, что [ф] = в ЯЧГ/4;р).

Отметим, что эти результаты для частного случая фиксированной поверхности были получены Р. Ганнингом и Э. Джеблоу с помощью когомологий с коэффициентами в пучках. В нашем случае это получается элементарными способами используя классы периодов Ганнинга сразу для переменной компактной римановой поверхности.

В теореме 4.4.1 строятся канонические базисы гармонических дифференциалов Прима, которые вещественно-аналитически зависят от нормированных характеров и комплексно-аналитически зависят от модулей компактных римановых поверхностей.

В §4.5 в теореме 4.5.1 изучены периоды голоморфных дифференциалов для существенных характеров. В следствии 4.5.1 построены канонические базисы голоморфных дифференциалов Прима, локально голоморфно зависящие от существенных характеров и модулей компактных римановых поверхностей.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Чуешеву Виктору Васильевичу за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

Основные результаты :

1) Получены теоремы о полной сумме вычетов для (р, д)-дифференциалов Прима любого целого порядка на переменной компактной рима-новой поверхности;

2) Построены четыре основных типа элементарных дифференциалов Прима тк0, т^(тп > 1), тр:Р2 Ри т^, где ¿/о(<?1) = 0 и /0 - мультипликативная единица для р, локально голоморфно зависящих от характера р и модулей [р] компактной римановой поверхности;

3) Получена классификация: основных соотношений на периоды и видов билинейных соотношений между периодами элементарных дифференциалов Прима трёх родов на переменной компактной римановой поверхности для любых характеров. Как частные случаи из них получаются билинейные соотношения П.Аппеля, Р.Ганнинга, Г.Кемпфа;

4) Доказывается, что голоморфное векторное расслоение Прима будет вещественно-аналитически изоморфно когомологическому расслоению Ганнинга над произведением пространств Тейхмюллера и нетривиальных нормированных характеров;

5) Построены канонические базисы голоморфных дифференциалов Прима локально голоморфно зависящих от существенных характеров и модулей римановых поверхностей;

6) Построены канонические базисы гармонических дифференциалов Прима, которые вещественно-аналитически зависят от нормированных характеров и комплексно-аналитически зависят от модулей римановых поверхностей.

Публикации по теме диссертации Статьи в журналах из перечня ВАК

1. Пушкарева Т.А. Вычеты и элементарные дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности // Вестник НГЪ1 / Новосибирск, т. 13, № 2, 2013, С.99-118.

2. Пушкарева Т.А. Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима на рим-ановой поверхности // Вестник НГУ / Новосибирск, т. 14, № 1, 2014, С. 66 - 83.

3. Пушкарева Т.А., Чуешев В.В. Пространство гармонических дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности // Сиб. мат. журнал. Новосибирск, т.55, N 2 ,2014, с. 379 - 395.

Материалы конференций

4. Пушкарева Т.А. Базис голоморфных дифференциалов на некоторых специальных римановых поверхностях // Сборник научных трудов кафедры математического анализа Г-АГУ / Горно-Алтайск. N 2, 2010, С. 65-78.

5. Пушкарева Т.А.. Чуешев В.В. Гармонические дифференциалы Прима и их классы периодов на переменной компактной римановой поверхности // Вестник КемГУ / Кемерово, 2011. т. 3/1, С.211-216.

Тезисы конференций

6. Пушкарева Т.А. Голоморфные дифференциалы на специальных ри-л<.ановых поверхностях /7 Х1ЛШ1 Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс"/ Новосибирск, 2010, С. 105.

7. Пушкарева Т.А. Голоморфные дифференциалы на специальных ри-мановых поверхностях // VI Всесибирский конгресс женщин - математиков /' Красноярск. 2010. С. 362-364.

8. Пушкарева Т.А. Базисы голоморфных дифференциалов на специальных римановых поверхностях // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск. 2010. С. 59.

9. Пушкарева Т.А. Классы периодов гармонических дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности // Международная школа-конференция по геометрии и анализу / Кемерово, Кем-ГУ, 2011, С. 1-2.

10. Пушкарева Т.А. Periods of harmonic Prym differentials on a variable B.iemann surface jj 8-й Международный конгресс ISAAK 2011 / Москва, 2011, С. 60.

11. Пушкарева Т.А. Гармонические дифференциалы Прима и их классы периодов на переменной компактной римановой поверхности // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск. 2011, С. 40-41.

12. Пушкарева Т.А. Голоморфные дифференциалы на специальных римановых поверхностях. // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции / Казань, 2011, С. 293-294.

13. Пушкарева Т.А. Вычеты дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности ff Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск, 2012, С. 42-43.

14. ПушЕсарева Т.А. Теоремы о вычетах для дифференциалов Прима любого порядка // IV российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам / СФУ, Красноярск. 2012, С. 58-59.

15. Пушкарева Т.А. Гармонические дифференциалы Прима для нормированных характеров //' 4-я международная конференция (90-лет Л.Д. Кудрявцеву) / РУДН, Москва, 2013. С. 354-355.

1С. Пушкарева Т.А. Гармонические дифференциалы Прима и расслоение Ганнинга // Дни геометрии в Новосибирске, 2013 / Новосибирск, 2013, С. 70.

Издательство Горно-Алиайского государственного университета 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1.

Подписано в печать 17.07.2014 г. Формат 60 х 84/16. Бумага дтя множительных аппаратов. Печать ризо. Печ. л. - 1,25. Тираж 120 экз. Заказ №111.

Отпечатано полиграфическим отделом Горно-Алтайского госуниверситета. 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1.