Пространства мультипликативных автоморфных форм и подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕРГЕЕВА Ольга Алексеевна

ПРОСТРАНСТВА МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ АВТОМОРФНЫХ ФОРМ И ПОДМНОГООБРАЗИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ШОТТКИ И ТЕЙХМЮЛЛЕРА

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2006

I

Работа выполнена на кафедре математического анализа Кемеровского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Чуешев Виктор Васильевич,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Цих Август Карлович, кандидат физико-математических наук Миронов Андрей Евгеньевич.

Ведущая организация: Тверской государственный университет.

Защита состоится «9» М<Хрта. 2006 года в 15""часов на заседании Диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан «С » кръ.ль2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Данная диссертация связана. с функциональным анализом в пространствах мультипликативных автоморфных форм (дифс}>с; инициалов Прима) и тополого-аналитическим исследованием гюдмног<юбрнзий в П{>о-странствах Шоттки и Тейхмюллера для двух классов ком пак пгых римаковых поверхностей с двупорождонными группами конформных автоморфизмов.

Классическая теория однозначных ме|юморфных функций и дифференциалов на компактной римановой поверхности была постоят в работах А. Пуанкаре, Ф. Клойна, Л. В. Альфорса, Л. Берса, И. Кра [4, 9,12|. Теория однозначных измеримых автоморфных форм была раивита Л. Бергом, И. Кра в работах |2, 4, 9, 12|. Вся эта классическая теория соответствует тривиальному характеру р =- 1. В работах Ф. Прима, Г. Роста, П. Аппеля [11] впервые были изучены мультипликативные функции и дифференциалы (дифференциалы Прима) для специальных классов характеров. Они нашли многочисленные приложения в теории уравнений математической физики - работы Дж. Фея, С. П. Новикова, И. М. Кричеверй, И. А, Тайманова, в теории векторных расслоений над римановыми поверхностями и комплексными многообразиями Р. Ганнинг, Дж. Кемпф, в аналитической теории чисел - Г. Пстереон, Дж. Фей, Дж. Йоргснсон, X. М. Фаркаш, А. Б. Венков,-П. Г. Зограф. Принимая во внимание такую практическую ценность мультипликативных объектов для специальных характеров, Р. Ганнинг [8] начал, а В. В. Чуешев [15, 11] продолжил поот|юенис общей теории мероморфных дифференциалов Прима для общих характеров на компактной римановой поверхности.

Результаты глав I и II в данной работе относительно пространств мультипликативных (измеримых, мероморфных и голоморфных) автоморфных форм для: произвольного характера р интересны самостоятельно и могут быть использованы в теории краевых задач на компактной римановой поверхности, а также при алгебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений математической физики.

Изучению пространств Тейхмюллера, Шоттки и их подпространств, были Посвящены работы Л. В. Альфорса, Л. Берса, Р. Рёди, К. Эрла, В. Г. Шерето-ва, В. В. Чусшева. Л. В. Альфорс [4] изучил топологические и аналитические свойства подмногообразия в пространство Тейхмюллера, состоящего из гиперэллиптических римановых поверхностей. Р. Рёди [1] исследовал компактные ри-мановы поверхности, вложимые в К1' вместе с конформным автоморфизмом. К. Эрл [7} начал изучение относительных пространств Тейхмюллера, связанных с компактными римановыми поверхностями, допускающими группы конформных автоморфизмов. В. Г. Шеретов [5, 6] и В, В. Чуешев [3] изучали подмногообразия в пространстве Тейхмюллера, в пространствах групп Шоттки и К<-бс., связангые

3

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

с циклическими группами конформных и антиконформных автоморфизмов.

В главе III исследуются подмногообразия н укачанных гцхнтрвнетвях для двупорождён«ых групп конформных автоморфизмов. Эти группы интсрт;ы не только как продолжение циклических, но также и потому, что для них ещё возможно построить плоские конформные модели и с учетом этого выписать явные координаты в пространстве римановых поверхностей, допускающих конечные группы конформных автоморфизмов.

Цель работы.

1) Найти и изучить мультипликативные модификации операторов Берта и проектирования измеримых форм на голоморфные, а также функционалы в нормированных пространствах мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима); исследовать общую (</, р)-двойетвенноеть мероморфных и голоморфных дифференциалов Прима.

2) Исследовать подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера, соответствующие двум классам компактных римановых поверхностей с двуяо-рождёнными группами конформных автоморфизмов.

Основные результаты.

1) Получены обтцие формы теоремы Римана-Роха:

• для строгой классической двойственности с помощью нового понятия - индекса двойственной дополнительности и

• для введённой общей строгой ^-двойственности мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности.

2) Найдены универсальная оценка нормы и свойство "самосопряжённости" оператора проектирования измеримых мультипликативных автоморфных форм на голоморфные и двухсторонние оценки норм линейных функционалов для пространств голоморфных мультипликативных автоморфных форм.

3) Введены и изучены четыре мультипликативных модификаций оператора Берса и соответствующие им билинейные спаривания Петерсона, в связи со всеми основными видами двойственности голоморфных мультипликативных автоморфных форм.

4) Исследованы топологическая и аналитическая структуры подмногообразий в пространствах Тейхмюллера и Шоттки для двух классов компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов.

5) Найдены явные плоские (конформные) модели и глобальные координаты для EST-групп, униформизирующих такие поверхности.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы интегрального исчисления функций комплексных переменных, техника работы с дивизорами на компактной римановой поверхности, теории пространств Тейхмюллера и плоских квазиконформных отображений.

4

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Вбо результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития функционального анализа пространств мультипликативных автоморфных форм и в теории векторных расслоений над пространством Тсйхмюллера и группой характеров.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю. Г. Решетника (2006), на семинаре «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д. ф. -м. н. А. Д. Медных (2003, 2005), на семинаре «Многомерный комплексный анализ» кафедры теории функций Красноярского государственного университета под руководством д. ф. -м. н. А, К. Циха (2006), а также на Международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения» (г. Волгоград, 2004), на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвящённой 75-лотию академика РАН Ю. Г. Решетника (г. Новосибирск, 2004), на IV Вс№.ибирском конгрессе женщин-математиков и в конкурсе молодых ученых, посвященных памяти С. В. Ковалевской (г. Красноярск, 2006), на XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005). Кроме того, все результаты работы докладывались на семинаре «Римановы поверхности» кафедры математического анализа Кемеровского государственного университета под руководством д. ф. -м. н. В. В. Чусшева.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации изложены в работах [13]-[21].

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 147 (."границах и состоит из введения, 3 глав (1,11, III), подразделённых на 7 параграфов и 17 пунктов, и списка литературы из 37 наименований.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д. ф. -м. н. В. В. Чуешеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагаются основные результаты диссертации и приводится краткий обзбр по теме диссертации.

В главе I вводится общая д-двойственность (строгая д-двойственность) ме-роморфных дифференциалов Прима для q е Z, указываются её алгебраические и аналитические характеристики, связанные с аналитическими уравнениями в миих'ообразии Якоби для компактной римановой поверхности. Для полноты изучения здесь также установлены топологические и аналитические свойства группы характеров и её основных подгрупп для компактной римановой поверхности.

б

;

Пусть И ограниченное открытое множество в С, конформно эквивалентное единичному кругу Д; С? - отмоченная конечнопорождённая разрывная группа конформных п|Х!обрн;юваний множества И на себя такая, что В ¡О = Р отмоченная компактная риманова поверхность. Будем обозначать через Яот(С, С*) группу всех характеров (одномерных подставлений) р из О в С* = С \ {0} с, (ч:т<ч!тв<!вн0й операцией умножения.

Определение 1. Измеримой (мероморфпой, голоморфной) мультипликативной автоморфпой формой порядка д с характером р па Р (или д-дифферппциалом Прима) называется однозначная измеримая (меро-морфпая, голоморфная) функция ф на И с условием ф(Аг)А'(г)я — р(А)ф(г) для любого А 6 О, г е Д .О/С? = Р.

Мультипликативная автоморфная форма / порядка 0 с характером р на Р называется мультипликативной функцией для р. Если /1 - мультипликативная функция для р\ без нулей и полюсов на И, то характер р\ называется несущественным ([И, 9]), а сама такая функция /1 - мультипликативной единицей да» Рь

В главе I вводится новое понятие

Определение 2. Дна мероморфных дифференциала Прима: фх - порядка I с характером р\ и ф? порядка т с характером ръ на F называются д-двойапвепными, если р\ ■ ръ = 1 и I + т = д € Z, т. е. Ф1Ф2 - однозначный д-диффере.нциал па Р.

Определение 3. Два мероморфных дифференциала Прима: ф\ - порядка I с характером р\ и фч - порядка т с характером р-г па Р называются строго д-двойственными, если они д-двойственны и (фг) > (ф?) > £> для некоторого дивизора О па Р, т. с. Ф1Ф2 - голоморфный однозначный д-дифференциал на Р.

Получена общая форма теоремы Римана - Роха для строгой классической двойственности дифференциалов Прима (д = 1), в которой вводится индекс двойственной дополнительности с; ,, устанавливающий связь между размерностями строго двойственных пространств:

Теорема 1. (Римана - Роха для классической строгой двойственности дифференциалов Прима). На компактной ргшановой поверхности Р рода д > 1 верно равенство

а

■где. I € Z, cit„ = (g — 1)(2/ — 1); ил и,, равносильно, существует (•/,„ + A niueilno независимых l-дифференциалов Прима для р с. полюсами Q¡,..., Q„, причём к - число строго двойствен,пых им линейно нтачаслших (1 — Í)-du<f*ficpev циплов Прима для которые, равны пулю в точках Q\,..., Q„.

Если I > 1, то c¡iS можно рассматривать как сумму я -)■- »,,¿(1). \\ i <гой ттро-мы получена таблица для ст[>огой классической двойственности, н которой как частные случаи содержатся твсстные теоремы о размерностях двойственных пространств П. Аппеля, Э. Риттера и Г. Кёнига [11, 8J. Для строгой «/-двойственности доказаны

Теорема 2. Пусть F компактная римапона поверхность рода у > 1, 7 € Z, т натуральное число или нуль, I = q — rn; Qu ■ ■ ■, Q(-¿g 2)т щюи шолъный набор и.] (2g — 2)m (с учетом кратности) точек на F. Тогда сели комплексная размерность векторного пространства ... Q(2H-¿)„i) ixiena г, где г

р

може.т принимать два значения - либо 0, либо 1, то размерность Л строго q-daoücmee,иного пространства Í2¡, ci\¡ ' ) jxwna

О, если q < О, г, если q — О, «,„ + г, если <7=1, ty*, если q > 1 для g >2 и d — r для g — 1.

Теорема 3. (Римана-Роха для строгой q-двойственности дифференциалов Прима). Пусть F ■ компактная риманова поверхность рода g > 2, / + rn, — q, q € Z и

d-

dt = <

0;

при t < 0,

Г 1, если 1=1

\0, если 1 = 0 ; nput =

Г g «"«f-l; nput = í, ^ g — 1, если 1 = 0 '

„ (g - lj(2r - 1) (> 3g - 3 > g); при t > 1.

Тогда

1) если г = m - p, I = hJQi • ■■Qc¿9-2)P), то ú,ro(Qi. . . Q^ 2)P) = df,

g; если r = í - p, / = • • • Q(2y-2)P), то hm (q„,,a'2g J) = d4 r,

Íp,l{Ql • ■ ■ Q(2g-2)p) ~ dr.

7

Услонис 7 = 1, например, когда г — I — р, очняча/т, что выполняется равенство . .. <3(20-2)р) = Р(~2А") + ф(р) в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности Р родя д > 2,

Доказательство этих теорем использует тонкую технику работы с дивизорами иа компактной римановой поверхности, многообразия Якоби, теорему Абеля для характеров. Оказывается, что размерности двойственных пространств зависят от того, будет ли выполнено некоторое, аналитическое равенство в многообразии Якоби.

В главе II исследованы банаховы щмхтранстна измеримых мультипликативных автоморфных форм относительно группы, изоморфной фуксовой группе первого рода, униформизирующей компактную риманову поверхность, и подпространства из голоморфных дифференциалов Прима. Вводятся и изучаются мультипликативные операторы и функционалы, действующие на пространствах интегрируемых и ограниченных мультипликативных автомо!>фных форм. Получены оценки для норм всех рассматриваемых здесь операторов и функционалов, некоторые тсо{>емы вложения для мультипликативных пространств, новые формы билинейного спаривания Петерсона в связи с (у, р)-двойственностью голоморфных дифференциалов Прима.

При введении и изучении мультипликативных объектов, рассмотренных в главе II, существенную роль играет разложение Фаркаша - Кра [9] р = рир1 любого характера р на нормированный рп (|/эо(Л)| = 1 для любого А 6 (?) и несущественный р1 характеры.

Пусть А = Ад задаёт метрику Пуанкаре на Д /1 единица для несущественного характера р\ в разложении Фаркаша-Кра для р.

В первом параграфе главы И введены:

• норма в пространстве О, р) р-интогрируемых мультипликативных автоморфных форм ф порядка д>2 для характера р

для любого конечного вещественного числа р > 1; • норма в пространстве (7, р) ограниченных мультипликативных форм

в/о

8

• билинейное спаривание Петерсона

(Ф, Ф)я,с„р = // Kzf-^^^-dz Л Л (1)

D/G

для ф€ C*(D, G,p) игре &q{D, G, р), где ¡ + fr = 1.

Обозначаем через A%(D, G, р) замкнутое подпространство в £?(D,G,p), состоящее из голоморфных форм.

Рассмотрим на D х D мультипликативную функцию двух переменных KtlPllD(z,C) = K9,D(z,C)fl(z)fi(0,z € D, С е Д которая обобщает на мультипликативный случай корнфункцию Бергмана. Для нес доказывается важная вспомогательная интегральная оценка и воспроизводящее свойство. Доказаны теоремы:

Теорема 4. Для целого q > 2 оператор

(ММ = // 0/x(C)áC Л

D

является ограниченным линейным отображением пространства C%(D, G, р) в A?(D, G, р), 1 < р < оо, с нормой < сч. Если р — р\ - несущественный характер, то (3q ■ проекция пространства Cpq{D,G,р\) на A?(D,G.р\), т, е. для любого ip 6 Apq(D, G, р\) верно равенство ¡3q<p — <р.

Теорема 5. Для целого q > 2 оператор

ф= If ^^k^díz, о г«№ Л de f

D

является ограниченным отображением пространства G, р) в

A^D^G,^), таким что ||/4nVll«n,*,<V ^ С«»1М1 1?,а,р> где р = nk < оо или р = оо = к, и верно равенство (/Sq^ip, ^n)qn,a,pn = (<рп, /3?nV)ín,Gy для всех v е £Р(ДG,р), ф е /#(ДG,р), где ¿ + ¿ = 1.

Если дополнительно p¡¡ = 1, где ро - нормированный характер для р, то на подпространстве голоморфных форм оператор (Зд^ действует как степенная функция: pj^ip — фп для любой ip £ AP(D, G, р).

Теорема 6. Пусть 1 < р < оо u ~ + ^ = 1. Тогда билинейное спаривание Петерсона задаёт антилинейный топологический ■изоморфизм между

9

A?\D, G, pi) и пространством, сопряжённым, к A?(D:G,pi), где р\ - несущественный характер. Кроме mogo, если ij) € A^(D. G, pi) и линейный функционал I на G, pi) соответствуют друг другу при :>том изоморфизме, то верно неравенство Ч^НвУАм — Ш — IMI!Н1 норма линейного функционала, I, а сч —

Теорема 7. Для любого t > аде 1 < р < оо и любого р € Hom(G', С*) имеет место непрерывное вложение G, р) «—» Apq+t(A).

В доказательство этих теорем использованы теорема Фубини-Тонелли; ряд интегральных оценок, в частности неравенство Гёльдери для специальных мер; свойства инвариантности плотности метрики Пуанкаре и свойства мультипликативной автоморфности рассматриваемых форм.

Во втором параграфе главы II полагаем, что С - квазиокружность в С, D\ = IntC, D2 = ExtC; \{z)\dz\ — метрика Пуанкаре в Di U D2; G квазифуксова группа дробно-линейных преобразований С с неподвижной кривой С\ константа

^ ¿¡¡Or-lb- - „

ч ~ —7¡ Для Целого q > 2.

Определение 4. [12] Измеримая на С функция fiq(z), 2 < q € N, называется обобщённым коэффициентом Бельтрами для разрывной группы Г дробно-линейных преобразований С с множеством разрывности П(Г) и предельным множеством Л(Г) = С\П(Г), если у, |л(г)= 0, n{Az)A'{z)l~ 4A'(z) — n(z), для любых А 6 Г, z € Г2(Г) и почти всюду на С

< K\(z)2~q, где К = const. (2)

Введены и изучены четыре модифицированных оператора Берса, а именно:

• оператор B(f"1, обращающий характер формы:

D\

• оператор B'¿'d, q-двойственно меняющий порядок формы:

W5VX*) -¡¡J л *€ D2'

Di

где fiqi j Ч1 - фиксированный обобщённый коэффициент Бельтрами класса Cl(Di) для q = qi + q¿.

• операторы Вха и Bp, связанные с общей (q, ^-двойственностью.

10

Рассмотрены новые формы билинейного спаривания Петерсона, в связи с двойственностью голоморфных дифференциалов Прима. Из них наибольший ин-то{>ес представляет симметричное билинейнех; спаривание вида

= Л йъА 02, (3)

о/а

определённое как для (9, ^-двойственных голоморфных форм, так и для строго (?) /(^-двойственных мероморфных форм. Доказаны теоремы

Теорема 8. Для характера р £ Нот (О, С*) оператор В(?"1 является антили-пейпым непрерывным отображением между пространствами р-даойпиагшъи форм: 8%™ : Л£(А,£,р) <7, р € К, 1 < р < ос, д > 2, <■ нормой

\\В^т\\ < кч. Кроме того, для любых <р € А%(ВиО,р) и ф € 2,0,*), с

1 + верно

Теорема 9. Для характера р € Нот(С, С*) оператор является ограниченным линейным отображением из (£>1, (?, р) о ^¡(Дг, С, р), р е К, 1 < р < оо, > 2, ф > 2, с нормой ЦВ^'Ц < А' • константа и,1

неравенства (2) для 9 = 91 + Чг), и удовлетворяет условию "тмосопряжён-ности"относительно билинейного спаривания (3), а именно: для любых голоморфных ¡р е ^(£>1,<2, р) и ф € ^(£>2, С, 1), ~ + ^ = 1, ядрно равенство

Теорема 10. Антилинейный оператор В^ о В^"1 осуществляет непрерывное вложение 0, р) с-> С, (9, р)-двойственных пространств го-

ломорфных форм, д\ >2, 42 >2, и справедлива оценка \\В^ о В^'Ц < Кк^к^, где К - это константа из (2) для 9 = 91 + 92- Кроме того, для любых голоморфных <р е (£>1 ,в,р) иф € (П\, <3, р) на + ^ ~ 1 верно равенство (<р, О В^ф)м а = (В$*<р, В\ГФ)м,а- г

Теорема 11. (Обитая (д, р) - двойственность). Для характера р £ Нот((3, С*) и целых 91 > 2, 92 > 2 операторы Верса:

1>1

г € £>2, для случая N Э 92 — 41 ^ 2 и

{ВУ){г) = 1 /У ^'^^(С) ШсКАсК,

К ст > 2 УУ {С-г)ЪМ0М*У 1}1

11

i € £>2, для случая N Э qi — <& > 2, (Pqi-m) - фиксированный

обобщённый ко:>ффициепт Бельтрами класса С1 (Di) для целого q¿ — q\ > 2 (fyi ~ Чг — 2/ являются антилине.йными непрерывными отображениями u;t прострпиства Af^Di, G, р) в "(q,p)-deoüc.mee,HHoe. "пространство A^2(D2, G, i) f нормами ||Soll < Kik4i¡ < A'^fc^ соответственно, где. K\ (K<¿) - константа неравенства (2) для q — 32 — ?i (q — Qi~ (¡2)-

В главе III построены плоские (конформные) модели для двух классов компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов. Найдены топологическая и аналитическая структуры соответствующих подмногообразий в пространствах Шоттки и Тойхмюллера.

Рассмотрим тройки (F; W, М) и (F; Р, М) вида (а, в) и (б, в) соответственно, где F компактная риманова поверхность роди, h, h > 2, W, Р, М конформные автоморфизмы на F со свой<твами:

а) W конечного порядка N, N > 2, не имеющий неподвижных точек на F;

б) Р конечного порядка N1, N1 > 2, с двумя неподвижными точками на F;

в) М порядка 2 с 2к, к > 2, неподвижными точками на F

и выполняют« я условия совместимости автоморфизмов на F в парах тина (а, в) И (б, в), а именно:

- WM = A'/W, к> N, к — Nm для некоторого тп € N (для (а, в));

- две неподвижные точки на F для М являются также неподвижными точками для Р, Ni — 21,1 € N (для (б, в)).

Подмножества в пространстве Тойхмюллера Тд, соответствующие тройкам (F; W, М) a (F; Р, М), будем обозначать через М^2к и М~ 2fc соответственно, где

Л обозначает 1*>д фактор-поверхности F/ <W,M > (F/ < Р,М >) по действию соответствующей двупорождённой группы на F. Через и обозначаем множество точек в пространстве Qa модулей EST-гцупп [10], соответствующих отмеченным EST-группам типа <т — (</, s1), (д1 + a' = h), униформизирующим компактные римановы поверхности вида (а, в) и (б, в) соответственно.

Теорема 12. Для любой тройки (F\W,M) onda (a, в) и набора (д, л) - натуральных чш ел таких, что N{2(g + в) + "а) — h - 1,

12

существует отмеченная, EST-группа G < фундаментальной областью H, центрально симметричной по M\,M\{z) = —z, it "симметричной"па Wi, Wi(z) = az, a € С, |«| > 1 ;

группа G, имеющая алгебраическое представление ч «né

G = <WfrîT1.....Tll,...,T2i)-,U1,Vh...,Ull,VM,...,U2„,V^

Ai, •••) Am; lu, ••■, Ï29,/vi Un, V12,..., H>4,/vj A\2, :

\Uh Vj) = 1, [Ujn, vg = 1, j = 1,.... 2«, n - 2,..., N >,

с дополнительными внешними соотношениям,и, связанными г д< Лстчш м дробно-линейных а»томорфизмоо М\ и Wi

ия1,я = MiUqM\,V^g = MiVtMx,q = 1,

г,„ - ж;1 c/Jn = ж/1

Vjn = WT"1 W*n_1>, A,„ = игЧит*-4,

« = l,...,2£f,i = 1.....2s, i = 1,..., m, ïî = 2,..., iV,

униформизирует F в инвариантной компоненте D = (J T(H);

TcG

действие автоморфизмов W и M на F конформно эквивалентно действию конформных. автоморфизмов W\ и М\ на H/G, индуцированные, дробно-линейными Wi, М\ соответственно.

Аналогичная теорема доказана для тройки (F;P,M) вида (б, в), со.-ласно которой действие автоморфизмов Р и Mjm F конформно эквивалентно действию конформных автоморфизмов Pi, М\ на H/G, индупэдюванных дробно-линейными Pi(z) = zexp(jff) и Mi (z) = —z соответственно.

Геометрические характеристики группы G (описание ее фундаментальной (области), униформизируклцей поверхность F в своей инвариантной компоненте с такими автоморфизмами специального вида, дают сё алгебраические <арак-теристики. Соотношения для G в последних теоремах вместе со стандартными соотношениями в отмеченной EST-группе G дают полный набор алгебраически независимых соотношений для G.

Теорема 13.

1 ) Множество Mjt 2f, является замкнутым комплексно-аналитическим подмногообразием оТ/, комплексной размерности 3+2m, (m = -fe), состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфпых компонент.

13

2) Множество Q|fc является замкнутым комплексно-аналитическим многообразием комплексной размерности 3/?—3+2т, состоящим из счётного числа изолированных попарно ломеоморфпых компонент.

Теорема 14. Многообразие Q-* является комплексно-аналитическим подмно-гообришс.м комплексной размерности ЗЛ — 3 + 2т в области Q„ С ?де

а = (N(2g + т) + 1,2Ns), h = \а\.

Подобные теоремы докапаны для множеств М~ ^ и .

В доказательстве этих теорем использованы теория пространств Тсйхмюл-лера, теория плоских квазиконформных отображений, алгебро-тоиологичеекоо. описание Эрла для относительных нространсти Тсйхмктлера.

Список литературы

[1] Riiedy R. Symmetric embedding of Riemann surfaces. In: Discontinuous groups and Riemann surfaces// Ann, of Math. Studies, - 1974, K' 79. P. 409 - 418.

[2] Bers L. Uniformization by Beltrami equations// Comm. pure appl. math. 1961, - V. 14. - P. 215 - 228.

[3| Чуешев В. В. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с циклическими группами конформных автоморфизмов: сб. тр. КемГУ. Кемерово. - 1991. С. 8-13.

[4] Альфорс Л., Вер»с JI. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ. - 1961.

[5] Шеретов В. Г. О подмногообразиях в пространстве Тойхмтоллера// Ученые записки Пермского госун-та. - 1D69. 218. - С. 90-98.

[6] Шеретов В. Г. Лекции по римановьш поверхностям. - Тверь: ТвГУ. - 2005.

[7] Earle С. J. On the moduli of closed Riemann surfaces with symmetries, Advances in the theory of Riemann surfaces, Princeton. Proc. of the 1969 Stony Brook Conference// Ann. of Math. Studies. - 66. - 1971. - C. 119-130.

[8] Gunning R.C. On the period classes of Prym differentials. I // J. Rome Angew. Math. - 1980, - Bd. 319, - P. 153 - 171.

[9] Farkas H.M., Kra I. Riemann surfaces. Berlin: Springer. Ed. 2. - 71. - 1992 (Grad Texts in Math.).

14

[10] Чуешев В. В. Пространства компактных римановых поверхностей и групп Кёбо// Сибирский математ. журн. - 22, № 5 (1981), С. 190-205.

[11] Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на поименной компактной римановой поверхности. - Ч. 2. Кемерово: КемГУ. - 2003.

[12] Кра И. Автоморфныс формы и клейновы группы. М.: Мир, 1975.

Работы автора по теме диссертации

[13] Койнова (Сергеева) О. А. Топологические и аналитические свойства группы характеров для компактной римановой поверхности// Материалы XXXVIII Мождунар. науч. студ. конф. "Студент и науч.-тохн. прогресс11. • Матем-ка. - Новосибирск. 2000. - С. 40-41.

[14] Сергеева О. А. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов//Междунар. конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А. Д. Александрова (Новосибирск, 9-20 тент. 2002 г.): тез. докл. - Новосибирск. 2002, - С. 66-68.

[15] Койнова (Сергеева) О. А., Чуешев В. В. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов// Вестник НГУ. - 2002, - Т. 2, вып. 3. • С. 11-27.

¡16] Сергеева О. А. Подмногообразия в пространстве Шоттки н Тейхмюллс-ра, связанные с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов// Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика РАН Ю.Г. Решетника (Новосибирск, 23 авг. 2 сент. 2004 г.): тез. докл. - Новосибирск, 2004. - С. 232-234.

[17] Сергеева О. А. Подмногообразия в пространстве Шоттки и двупо|юждсн-ные группы конформных автоморфизмов// Вестник НГУ. 2005. - Т. V, вып. 2. - С. 59-77.

[18] Сергеева О. А. д-Двойственность дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях// Вестник НГУ. - 2005, ■ Т. V, вып. 3. - С. 71-88.

[19] Сергеева О. А. Пространства мультипликативных автоморфных форм// Материалы ХЫП мождунар. науч. студ. конф. "Студент и научно-технич. прогресс". - Матем-ка. - Новосибирск, 2005. - С. 83-84.

15

[20] Сергеева О. А. Банаховы пространства мультипликативных автоморфных форм// Вестник НГУ. - 2006. Т. V, выи. 4. С. 45-63.

[21] Сергеева О. А. Модифицированные операторы Бсрса и общая двой-ствеиткх'ть в пространствах голоморфных дифференциалов Прима// Материалы IV Всесибирского конгресса женщин-математиков, иосвящениого С.В,Ковалевской. - Красноярск, 2006. С. 152-154.

1«

Сергеева Ольга Алексеевна

Пространства мультипликативных автоморфных форм и подмногообразия в щюстранствах Шоттки и Тейхмичглера

Авто^форат диссертации на соискание ученой сччшеии кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 1. 02. Об. Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1, 25. Тираж 100 экз. Заказ № 7 / ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Отпечатано в издательстве *Кузбагев.у зизд ат». 650043, г. Кемерово, ул. Ермака, 7.

«

«

i

*

i

•"2 93 8

Введение.

Глава I Двойственность дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности.

§1. Топологические и аналитические свойства группы характеров для компактной римановой поверхности

§2. Общая д-двойственность мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности

2.1 Мультипликативные функции, дифференциалы Прима и их дивизоры на римановой поверхности

2.2 Пространства строго двойственных дифференциалов Прима

2.3 Общая строгая д-двойственность дифференциалов

Прима.

Глава II Нормированные пространства мультипликативных автоморфных форм

§1. Нормированные пространства измеримых и голоморфных мультипликативных автоморфных форм

1.1 Мультипликативные автоморфные формы

1.2 Мультипликативные операторы

1.3 Мультипликативные функционалы

1.4 Теорема вложения для пространств мультипликативных голоморфных автоморфных форм

§2. Модифицированные операторы Берса и двойственность мультипликативных голоморфных форм

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Модифицированный оператор Берса, обращающий характер формы.

2.3 Модифицированный оператор Берса, ^-двойственно меняющий порядок формы

2.4 Композиция модифицированных операторов Берса

2.5 Модифицированный оператор Берса и общая (д, р)-двойственность голоморфных форм

Глава III Конформные автоморфизмы компактных ри-мановых поверхностей, подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера

§1. Предварительные сведения

§2. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов

2.1 Структура множества неподвижных точек циклической группы конформных автоморфизмов

2.2 Двупорождённая группа автоморфизмов типа (а,в)

2.3 Двупорождённая группа автоморфизмов типа (б,в)

§3. Подмногообразия в пространстве Шоттки и Тейхмюллера, связанные с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов

3.1 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов (\¥,М)

3.2 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов (Р,М)

Данная диссертация посвящена исследованиям нормированных пространств мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима) и подмногообразий в пространствах Шоттки и Тейхмюлле-ра для двух классов компактных римановых поверхностей с двупоро-ждёнными группами конформных автоморфизмов.

Классическая теория однозначных мероморфных функций и дифференциалов на компактной римановой поверхности была построена в работах А. Пуанкаре, Ф. Клейна, Л. В. Альфорса, Л. Берса, И. Кра [6, 17, 22]. Теория однозначных измеримых автоморфных форм была развита Л. Берсом, И. Кра в работах [2, 6,17, 22]. Вся эта классическая теория соответствует тривиальному характеру р = 1. В работах Ф. Прима, Г. Роста, П. Аппеля [19] впервые были изучены мультипликативные функции и дифференциалы (дифференциалы Прима) для специальных классов характеров на компактной римановой поверхности. Они нашли многочисленные приложения в теории уравнений математической физики — работы Дж. Фея, С. П. Новикова, И. М. Кричеве-ра, И. А. Тайманова, в теории векторных расслоений над римановыми поверхностями и комплексными многообразиями — Р. Ганнинг, Дж. Кемпф, в аналитической теории чисел — Г. Петерсон, Дж. Фей, Дж. Йоргенсон, X. М. Фаркаш, И. Кра, А. Б. Венков, П. Г. Зограф. Принимая во внимание такую практическую ценность мультипликативных объектов для специальных характеров, Р. Ганнинг [15, 16] начал, а В. В. Чуешев [31, 18, 19] продолжил построение общей теории мероморфных диференциалов Прима для общих характеров на компактной римановой поверхности.

Классическая строгая двойственность дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности изучалась в работах Э. Риттера и В. В. Чуешева. Э. Риттер доказал теорему Римана-Роха для строго двойственных мероморфных дифференциалов Прима в случае простых полюсов. В. В. Чуешев, используя другие методы, доказал эту теорему для кратных полюсов, но при определенных условиях на порядок дифференциалов и род поверхности.

Главы I и II данной работы посвящены исследованию мультипликативных функциональных пространств для произвольного характера р с введением и последующим изучением характерных для этого случая явлений (общая строгая д-двойственность дифференциалов Прима (д £ Ъ)} индекс двойственной дополнительности, билинейное спаривание Петерсона для двойственных мероморфных и голоморфных дифференциалов Прима, модифицированные операторы Берса).

В главе I вводится общая д-двойственность (строгая д-двойственность) мероморфных дифференциалов Прима для ? Е указываются её алгебраические и аналитические характеристики, связанные с аналитическими уравнениями в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности. Получены наиболее общие формы теоремы Римана-Роха для классической и общей д-двойственности мероморфных дифференциалов Прима. Из них, как частные случаи, получаются теоремы о размерностях П. Аппеля, Э. Риттера, Г. Кёнига [19, 15, 16]. Кроме того, приведённые исследования строгой д-двойственности дифференциалов Прима могут быть использованы в теории краевых задач на компактной римановой поверхности, а также при алгебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений математической физики.

Для полноты изучения в главе I установлены топологические и аналитические свойства группы характеров и её основных подгрупп для компактной римановой поверхности.

В главе II исследованы банаховы пространства измеримых мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима) относительно группы, изоморфной фуксовой группе первого рода, унифор-мизирующей компактную риманову поверхность, и их замкнутые подпространства, состоящие из голоморфных дифференциалов Прима.

Вводятся и изучаются мультипликативные операторы и функционалы, действующие на пространствах мультипликативных автоморфных форм. Установлено свойство "самосопряжённости "мультипликативных операторов проектирования измеримых форм на голоморфные относительно билинейного спаривания Петерсона. Введены и исследованы четыре мультипликативных модификации оператора Берса в связи со всеми основными видами двойственности голоморфных мультипликативных форм. Для частного случая построено непрерывное вложение пространства мультипликативных автоморфных форм в пространство однозначных автоморфных форм более высокого порядка. Получены оценки для норм всех рассматриваемых здесь операторов и функционалов, некоторые теоремы вложения, новые формы билинейного спаривания Петерсона, соответствующие мультипликативным пространствам.

Работы, посвящённые изучению пространств Тейхмюллера, Шот-тки и их подпространств, принадлежат JI. В. Альфорсу, JI. Берсу, Р. Рёди, К. Эрлу, В. Г. Шеретову, В. В. Чуешеву. JI. В. Альфорс [6] изучил топологические и аналитические свойства подмногообразия в пространстве Тейхмюллера, состоящего из гиперэллиптических ри-мановых поверхностей. Р. Рёди [1] исследовал компактные римановы поверхности, вложимые в R3 вместе с конформным автоморфизмом. К. Эрл [12] начал изучение относительных пространств Тейхмюллера, связанных с компактными римановыми поверхностями, допускающими группы конформных автоморфизмов. В. Г. Шеретов [7, 8] и В. В. Чуешев [4, 9] изучали подмногообразия в пространстве Тейхмюллера, пространствах групп Шоттки и Кёбе, связанные с циклическими группами конформных и антиконформных автоморфизмов. JI. Берс [2] установил связь между квазиконформными отображениями и уни-' формизацией компактных римановых поверхностей.

В главе III построены плоские (конформные) модели для двух классов компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов. Приводится алгебраическое и геометрическое описание EST-rpyuu, униформизирующих компактные римановы поверхности с такими двупорождёнными группами конформных автоморфизмов. Найдены топологическая и аналитическая структуры подмногообразий в пространствах Шоттки и Тейхмюллера, отвечающих таким компактным римановым поверхностям. Предложен метод введения явных координат на множестве римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов через независимые модули для униформизирующих ЕБТ-груии.

Опишем основные результаты данной диссертации с кратким указанием необходимых начальных сведений.

Пусть В - ограниченное открытое множество в С, конформно эквивалентное единичному кругу; С - отмеченная конечнопорождённая разрывная группа конформных преобразований множества В на себя такая, что В/й = Р - отмеченная компактная риманова поверхность.

Будем обозначать через Нот(С, С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из (2 в С* = С\{0} с естественной операцией умножения.

Определение 1. Измеримой (мероморфиой, голоморфной) мультипликативной автоморфной формой порядка д с характером р на Р (или д-дифференциалом Прима) называется однозначная измеримая (мероморфная, голоморфная). функция ф на В с условием ф(Аг)А'(г)1 = р(А)ф{г) для любого А ев, г £ В,В/в = Р.

Мультипликативная автоморфная форма / нулевого порядка с характером р на В называется мультипликативной функцией для р. Если /1 - мультипликативная функция для р\ без нулей и полюсов на В, то характер р\ называется несущественным ([19, 17]), а сама такая функция /1 называется мультипликативной единицей для р\.

В главе I вводится новое понятие

Определение 2. Два мероморфных дифференциала Прима: ф\ - порядка I с характером р\ и Ф2 ~ порядка т с характером р2 на F называются д-двойственными, если р\ • р2 = 1 и I + т = д € т. е. Ф1Ф2 ~ однозначный д-дифференциал на Р.

Определение 3. Два мероморфных дифференциала Прима: ф\ - порядка I с характером р\ и Ф2 - порядка т с характером Р2 па

Р называются строго д-двойственными, если они д-двойственны и (<М > {Ф2) > для некоторого дивизора Б на Р, т. е. Ф1Ф2 -голоморфный однозначный д-дифференциал па F.

Получена общая форма теоремы Римана - Роха для строгой классической двойственности дифференциалов Прима (д = 1), в которой вводится индекс двойственной дополнительности сц, устанавливающий связь между размерностями строго двойственных пространств:

Теорема 1. (I; 2.2.1) (Римана - Роха для классической строгой двойственности дифференциалов Прима). На компактной римаиовой поверхности Р рода д > 1 верно равенство где I £ Ъ, = я + (д — 1) (2/ — 1); или, равносильно, существует + к линейно независимых 1-дифференциалов Прима для р с полюсами (¿1,., причём к - число строго двойственных им линейно независимых (1 — 1)-дифференциалов Прима для которые равны нулю в точках С} 1,., (55.

Если I > 1, то можно рассматривать как сумму й + гр^(1). Из этой теоремы получена таблица 1 для строгой классической двойственности, в которой как частные случаи содержатся известные теоремы о размерностях двойственных пространств П. Аппеля, Э. Риттера и Г. Кёнига [19, 15, 16].

Далее рассмотрена строгая д-двойственность. Доказаны

Теорема 2.(7; 2.3.1) Пусть Р - компактная риманова поверхность рода д > 1, д 6 т - натуральное число или нуль, I = д — т; (¿1,., С$(2д-2)т ~ произвольный набор из (2д — 2)т (с учетом кратности) точек на Р. Тогда если комплексная размерность векторного пространства ^((^х. Сд(2д-2)т) равна к, где к моэ/сет прир нимать два значения - либо 0, либо 1, то размерность в, строго д-двойствепного пространства 0,1р 2) ) равна

О, если <7 < О, 1 если Я — О?

С1,з + если <7 = 1, с/15, если д > 1 для д >2 и (I — к для д = 1.

Теорема 3. (I; 2.3.2) (Римана-Роха для строгой д-двойственности дифференциалов Прима). Пусть Р - компактная риманова поверхность рода ^>2;/ + т = д,

0; при t < О,

1, если 1=1 = при £ = О, 0, если / = О а, если 1 = 1 , при £ = 1, д — 1, если 7 = 0

I (0 - 1)(2г - 1) (> Зр - 3 > 9); при £ > 1.

Тогда

1) если г = т - р, I = . Я(29-2)Р), то П,т(Я 1 • • • Я(2д-2)р) = ¿V, гр,1 (дь.^2д2)р) = ¿я-г!

2) если г = 1-р,1 = ¿^(<21. Я{2д-2)р), то Пт (оТЩ^)

1 • • • Я{2д-2)р) =

Условие 1=1, например, когда г = I — р, означает, что выполняется равенство ср(Я\. Я(2д-2)р) — + Ф(р) в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности Р рода д > 2.

Доказательство этих теорем использует тонкую технику работы с дивизорами на компактной римановой поверхности, многообразия Якоби, теорему Абеля для характеров. Оказывается, что размерности двойственных пространств зависят от того будет ли выполнено некоторое аналитическое равенство в многообразии Якоби.

При введении и изучении мультипликативных объектов, рассмотренных в главе II, существенную роль играет разложение Фарка-ша - Кра [17] р = poPi любого характера р на нормированный ро {\ро{А)\ = 1 для любого А е G) и несущественный р\ характеры.

Пусть Л = Хв задаёт метрику Пуанкаре на D по правилу: для конформного отображения / : А —> D XD(f(z))\f'(z)\ = Ад(2), z £ А, где Ад[z] = izjjp, z Е А, - плотность метрики Пуанкаре в единичном круге А. Пусть /1 - единица для несущественного характера р\ в разложении Фаркаша-Кра для р.

В первом параграфе главы II введены:

• норма в пространстве £q(D, G, р) р-интегрируемых мультипликативных автоморфных форм ф порядка q > 2 для характера р ф(г) '

D/G

Mz) dz Л dz\ i) для любого конечного вещественного числа р > 1;

• норма в пространстве О, р) ограниченных мультипликативных форм

IA,oo,, = sup<A(2:) « zeD l

ФМ

ЛМ

2)

• билинейное спаривание Петерсона

Ф, = Ц Л Л (3)

2?/С? для ф е Д с,р) Ифе Д О, р), где ± + ± = 1.

Обозначаем через С?, р) замкнутое подпространство в р), состоящее из голоморфных форм. Рассмотрим на Б х И мультипликативную функцию двух переменных: КЪР1М^С) = 0/1ЙШzeD.Ce и, которая обобщает на мультипликативный случай кернфункцию Бергмана. В лемме 1.2.1 (главы И) доказывается важная вспомогательная интегральная оценка с участием функции и её воспроизводящее свойство.

Доказаны теоремы:

Теорема 4. (II; 1.2.1) Для целого # > 2 оператор

РФ)(х) = Л ^^-К^г, ОМСЖ А ¿С и является ограниченным линейным отобраоюением пространства (7, р) в А^И, (7, р), 1 < р < оо, с нормой < сд. Если р = р\ € Ьд, то /Зч - проекция пространства (7, р{) на С, р\), т. е. для любого € (2, р{) верно равенство /Зд(р = ср.

Теорема 5. (II; 1.2.2) Для целого д > 2 оператор

РрЩ*) = Л С) ГШ А ¿С, является ограниченным отображением пространства /^(-0, р) б таким что <-Р\\чп,к,с,Р- < Сдп1М1£р,<г)Р/ гдер = пк < оо или р — оо = к, и верно равенство рМ<р, = Р^п)ф)яп,с,рп (4) для всех V 6 ££(Д <?,р), ф е (Уд{р, в,р),где± + ± = 1.

Если дополнительно рд — 1; А) ~ нормированный характер для р, то на подпространстве голоморфных форм оператор действует как степенная функция:

ЗМф = фп для любойф е в, р).

Теорема 6. (И; 1.3.1) Пусть 1<р<оои~ + -р — 1. Тогда билинейное спаривание Петерсона задаёт антилинейный топологический изоморфизм между А^(D, G, р\) и пространством, сопряснсённым к A^(D,G,pi), где р\ - несущественный характер. Кроме того, если ф £ G, pi) и линейный функционал I на Av(D,G,p\) соответствуют друг другу при этом изоморфизме, то верно неравенство cq IWkp',G,Pl < W < \\Ф\\ q,p',G,pi j (5) где ||/|| - норма линейного функционала I, a cq = ЦЕ^

Теорема 7. (II; 1-4-I) Для любого t > где 1 < р < оо и любого р € Hom(G, С*) имеет место непрерывное вложение A^(A,G, р)

В доказательстве этих теорем использованы теорема Фубини-Тонелли; ряд интегральных оценок, в частности неравенство Гёльдера для специальных мер; свойства инвариантности плотности метрики Пуанкаре и свойства мультипликативной автоморфности рассматриваемых форм.

Во втором параграфе главы II полагаем, что С - квазиокружность в С, D\ = IntC, L>2 = ExtC; X(z)\dz\ - метрика Пуанкаре в D\ U Д2; G - квазифуксова группа дробно-линейных преобразований С с неподвижной кривой С; константа kq = 42(^1)27Г для целого q > 2.

Определение 4. [22] Измеримая на С функция p,q(z), 2 < q 6 N; называется обобщённым коэффициентом Белътрами для разрывной группы Г дробно-линейных преобразований С с множеством разрывности и предельным множеством А(Г) = С \ П(Г), если М |л(г)= 0, p(Az)A'(z)1~qA'(z) = p(z), для любых А е Г, z G П(Г) и почти всюду на С ц(г)\ < K\(zf-\ где К = const. (6)

Здесь введены и исследованы четыре модифицированных оператора Берса, а именно: оператор В^от, обращающий характер формы:

Bhc°m<p)(z) = 1 [[ Л(С)2"-!МС) -dC Adl ze D2; (7) -Di

• оператор g-двойственно меняющий порядок формы:

BSMM = 5 // (^5£/1((cV(C)dC л " e (8) A где fiqi+q2 - фиксированный обобщённый коэффициент Бельтрами класса C^Di) для q = q\ +

• операторы и связанные с общей (q, р)-двойственностью.

Рассмотрены новые формы билинейного спаривания Петерсона в связи с двойственностью голоморфных дифференциалов Прима. Из них наибольший интерес представляет симметричное билинейное спаривание вида

91,92,AG = J J Ni+q2{zMz)iP(z)^dz A dz, (9)

D/G определённое как для (q, р)-двойственных голоморфных форм, так и для строго (д, /^-двойственных мероморфных форм. Доказаны теоремы

Теорема 8. (II; 2.2.1) Для характера р € Нот(G,C*) оператор ghom является антилинейным непрерывным отображением между пространствами р-двойствениых форм: В^т : A^(Di,G,р) —» Apq(D2, G, р £ М, 1 < р < оо, q > 2, с нормой \\В%>т\\ < kq. Кроме того, для любых ip £ AVJD\,G, р) и ф £ A^(D2,G,-), с - + -7 = 1

Р Р Р верно: в^Ф) = U В^Ф) .

V 'q,LD2,G \ ° / q,p,D\,G

Теорема 9. (II; 2.3.1) Для характера р е Нош(С, С*) оператор является ограниченным линейным отображением из Л^Д-Ох, (2, р) в А?2(02,в,р), р е К, 1 < р < оо, Я! > 2, д2 > 2, с нормой \\В°СГ(1\\ < КкЯ2 (где К - константа из неравенства (4) для д = дх+дгЛ и удовлетворяет условию "самосопряжённости "относительно билинейного спаривания (9), а именно: для любых голоморфных (р 6 Л^Д-О^С, р) иф £ - л- ^ = I, верно равенство

Теорема 10. (II; 2.4-1) Антилииейный оператор В^ о В^т осуществляет непрерывное влоэ/сение А1аД-Ох, (7, р) с-> Л^ДД^ С, (д, р)-двойственных пространств голоморфных форм, дх > 2, > 2, и справедлива оценка \\В^ о В^от|| < КкЧ1кЧ2, где К - это константа из (4) для д = дх + Кроме того, для любых голоморфных <р £ А?ДД, <3,р) и ф £ ма Д. + 1 = 1 вермо раеекство

Теорема 11.(Общая (д, /?) - двойственность) (II; 2.5.1) Для характера р £ Нош(С, С*) и целых > 2, д2 > 2 операторы Берса: = £ /У л(с)"291^1(—Ш^СА(10) г € 1)2, для случая N Э дг — дг > 2 и в2с<р)& = г- [Г-Л(с) л ¿с; (и) г € £>2; для случая N Э дх — дг > 2, где рЯ2-Я1 ~ фиксированный обобщённый коэффициент Бельтрами класса С1 (Их) для целого дг — дх > 2 ('дх — дг > 2,), являются антилинейными непрерывными отобраэюениями из пространства А^Д^х, С,/?) б "(д, р)-двойственное"пространство У^ДДг? с нормами \\В^,\\ < К\кЧ2,

В2С\\ < К2кЯ2 соответственно, где К\ (К2) - константа из неравенства (4) для д = — Я1 (я. = Я1 ~ 0.2)

В главе III будем рассматривать тройки (Р; И7, М) и (Р; Р, М) вида (а, в) и (б, в) соответственно, где Р - компактная риманова поверхность рода /г, к > 2, Р, М - конформные автоморфизмы на Р со свойствами а) И7 - произвольного конечного порядка Ы, N > 2, не имеющий неподвижных точек на Р; б) Р - произвольного конечного порядка N1, N1 > 2, с двумя неподвижными точками на Р; в) М - порядка 2 с 2к, к > 2, неподвижными точками на Р и выполняются условия совместимости автоморфизмов на Р в парах типа (а, в) и (б, в), а именно:

- IVМ — М\¥, к > АГ, существует тбМ, такое что к = А^т (для пары (а, в));

- две неподвижные точки на Р для М являются также неподвижными точками для Р, N1 = 21, I е N (для пары (б, в)).

Подмножества в пространстве Тейхмюллера ТГд, соответствующие тройкам (Р1; И7", М) и (Р; Р, М), будем обозначать через М^2к и М~2к соответственно, где Н обозначает род фактор-поверхности Р/ < ИГ,М > (Р/ < Р,М >) по действию соответствующей двупорождён-ной группы на Р. Через ^ и обозначаем множество точек в пространстве фо- модулей .РЗТ-групп [10], соответствующих отмеченным ЕБТ-группам типа а = (д', й'), (д' + б' = Н), униформизирующим компактные римановы поверхности вида (а, в) и (б, в) соответственно. Доказаны теоремы:

Теорема 12.(111; 2.2.1) Для любой тройки (Р; \¥, М) вида (а, в) и набора (д, 5) - натуральных чисел таких, что М(2(д+з)+т) — к — 1,

- существует отмеченная ЕвТ-группа (3 с фундаментальной областью Н, центрально симметричной по М^М^г) = — г, и "симметричной"по И7!, У/\(г) — ах, а £ С, > I;

- грг]ппа С, имеющая алгебраическое представление в виде

С = < И^; Ть .,Т9,Т2д] иъ Уъ., иа, Уа,и2з, У2з; Ат\ Т12,., 725)дг; С/12, ^12, и2а^, ^12, Ап,лг: [£/,-, V,-] = = 1,3 = 1,., п = 2,., ЛГ >, с дополнительными внешними соотношениями, связанными с действием дробно-линейных автоморфизмов М\ и

Т9+р = М1ТрМ1,Р=1,.,д, из+д = М^.Мь - М^Мь д - 1,в, Тгп = и,п =

Ъп = ШГ'У^-^,^ = и г = = 1,г = 1,., 771,72 = 2, униформизирует Р в инвариантной компоненте И = и Т(Н);

ТеС

- действие автоморфизмов У/ и М на Г конформно эквивалентно действию конформных автоморфизмов и М\ на Н/С, индуцированных 6 МдЬС соответственно.

Теорема 13.(111; 2.3.1) Для любой тройки (Р; Р, М) вида (бв) и набора (д, й) - натуральных чисел таких, что 1[2{д + + га] = к,

- существует отмеченная ЕвТ-группа О с фундаментальной областью Н, "симметричной"по М\, М\(х) = —г, и по Р\, ЛИ = ^ехр(^);

- группа С с алгебраическим представлением в виде

G — Am, Ti, T2g, £Д, Vi, i/2s, V2s, Au, Am\,

Tl2, T2gJ, U12, V12, ., U2s,l, V2s,l ■ [Uj, Vj] = 1, [Ujn, Vjn] — l,j = 1,25, n = 2,I, У где образующие удовлетворяют внешним соотношениям, связанным с действием дробно-линейных автоморфизмов М\ и Р\,

Tg+P = MlTpM1,p=l,.,g, Us+q = MrUgMu = M\VqMi, q = 1,5, rn -pn-lrp p-fa-l) tt -pn-lrj p-(n-l) ■мп — ri -1г-Г1 j ujn — rl 1 — р?г-1т/. p-(n-l) ^ pn-1 л p-(n-l) i ~ l,.,2g,j = l,.,2s,e = 1,., m, n = 2,I, униформизирует F в инвариантной компоненте D — (J T(H);

T&G

- действие автоморфизмов P и M на F конформно эквивалентно действию конформных автоморфизмов Р\,М\ на H/G, индуцированных Pi, Mi £ МдЬС соответственно.

Геометрические характеристики группы G (описание её фундаментальной области), униформизирующей поверхность F в своей инвариантной компоненте с такими автоморфизмами, дают её алгебраические характеристики. Соотношения для G из теорем 2.2.1, 2.3.1 главы III вместе со стандартными соотношениями в отмеченной EST-группе G дают полный набор алгебраически независимых соотношений для G.

Теорема 14. (III; 3.1.1)

1) Множество М^2к является замкнутым комплексно-аналитическим подмногообразием в Тh комплексной размерности 3h — 3 + 2т, ('т = jj), состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент;

2) Множество Q| является замкнутым комплексно-аналитическим многообразием комплексной размерности 3h — 3 + 2т, состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент.

Теорема 15. (III; 3.1.2) Многообразие Q-^ является комплексно аналитическим подмногообразием комплексной размерности 3h — 3 + 2т в области Qa С C3h~3, где а = (N(2g + т) + 1,2Ns) ,h = \а\.

Теорема 16.(111; 3.2.1)

1) Мноо/сество является замкнутым комплексно - аналитическим подмногообразием в Тд комплексной размерности 3h + 2т — 1 = 3h — 3 + (2m + 2), т = состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент;

2) Множество Q~k = Ф£7(М~ ) С Qa является замкну

1} J. тым комплексно - аналитическим подмногообразием комплексной размерности 3h + 2т — 1, состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент.

В доказательстве этих теорем использованы теория пространств Тейхмюллера, теория плоских квазиконформных отображений, алгебро-топологическое описание Эрла для относительных пространств Тейхмюллера, а также плоские модели компактных ри-мановых поверхностей с автоморфизмами. Кроме того, с помощью полученных в главе III теорем 2.2.1, 2.3.1 удаётся явно выписать глобальные координаты в пространстве EST-vpyuu, униформизирующих такие поверхности.

1. Riiedy R. Symmetric embedding of Riemann surfaces. In: Discontinuous groups and Riemann surfaces// Ann. of Math. Studies.- 1974, N 79. - P. 409 - 418.

2. Bers L. Uniformization by Beltrami equations// Comm. pure appl. math. - 1961. - V. 14. - P. 215 - 228.

3. Чуешев В. В. Пространства Шоттки типа {д, s,m)// Сибирский математ. журн. - 1979. - Т. 20, N 3. - 632 - 640.

4. Чуешев В. В. Плоские модели для компактных римановых по- верхностей с циклическими группами конформных автоморфиз-мов: сб. тр. КемГУ. Кемерово. - 1991. - 8-13.

5. Maskit В. On the classification of kleinian groups: I - Koebe groups// Acta Math. 135:3-4 (1975). - P. 249 - 271.

6. Альфорс Л., Вере Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ. - 1961.

7. Шеретов В. Г. О нодмногообразиях в пространстве Тейхмюлле- ра// Ученые записки Пермского госун-та. - 1969. 218. - 90-98.

8. Шеретов В. Г. Лекции по римаповым поверхностям. - Тверь: ТвГУ. - 2005.

9. Чуешев В. В. Конформные автоморфизмы компактных рима- новых поверхностей и группы Кёбе//Сибирский математ. журп. -23, N 6 (1982). - 196-197. - ДЕП ВИНИТИ 1120-82, 21.

10. Чуешев В. В. Пространства компактных римановых новерхно- стей и групп Кёбе// Сибирский математ. журн. - 22, N 5 (1981).- 190-205.И. Чуешев В. В. Геометрическая теория функций па компактнойримаповой поверхности. -Кемерово: КемГУ. - 2005. - 401 с.144

11. Earle J. On the moduli of closed Riemann surfaces with symmetries, Advances in the theory of Riemann surfaces, Princeton.Proc. of the 1969 Stony Brook Conference// Ann. of Math. Studies.- 66. - 1971. - C. 119-130.

12. Earle C. J., Eells J, The diffeomorphism group of a compact Riemann surface //Bull. Amer. Math. Soc. - 1967, 73. - P. 557-559.

13. Earle С J., Eells J. A fibre bundle description of Teichmuller theory //J. Diff. Geom. - 1969, 3. - P. 19-43.

14. Gunning R. C. Riemann surfaces and generalized theta functions //Ergeb. Math. - Berlin. - 1976, 91.

15. Gunning R. С On the period classes of Prym differentials. I // J. Reine Angew. Math. - 1980, 319. - P. 153 - 171.

16. Farkas H.M., Kra I. Riemann surfaces. Berlin: Springer. - Ed. 2. - 71. - 1992 (Grad Texts in Math.).

17. Чуешев В. В. Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима на комнактной римановой поверхности // Сибирский ма-темат. журн. - 1999. - Т. 40, N 2. - 465 -475.

18. Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на неременной компактной римановой новерхности. - Ч. 2.Кемерово: КемРУ. - 2003.

19. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функ- ций// Успехи математ. наук. - 26, N 1 (1971). - 113-179.

20. Родин Ю. Л. Структура общего решения краевой задачи Рима- на для голоморфной вектор-функции на комнактной римановойноверхности: сб. "Вонросы метрической теории отображений и еёприменение". - Киев: Наукова думка. - 1978, - 109-120.

21. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир. - 1975.145

22. Соболев Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск, СО АН СССР. - 1962.

23. Даирбеков Н. Введение в пространства Соболева. Новоси- бирск: НГУ. - 1999.

24. Earle J. А reproducing formula for integrable automorphic forms // Amer. J. Math. - 88(1966). - P. 867-870.

25. Bers L. A non-standard integral equation with applications to quasiconformal mappings // Acta mathematica. - V. 116, 1966. -P. 115-134.

26. Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих ком- плексных неременных. М.: Мир. - 1969.

27. Шабат Б. В. Введение в комплекспый анализ. - Ч. 2. М.: Наука. - 1985.Работы автора по теме диссертации

28. Койнова (Сергеева) О. А. Топологические и аналитические свойства грунны характеров для компактной римановой новерх-ности// Материалы XXXVIII Между нар. науч. студ. конф. "Сту-дент и науч.-техн. прогресс". - Матем-ка. - Новосибирск, 2000. -С. 40-41.

29. Койнова (Сергеева) О. А., Чуешев В. В. Нлоские модели для компактных римановых новерхностей с двунорождёнными груп-146пами конформных автоморфизмов// Вестник НГУ. - 2002, - Т. 2,выи. 3. - 11-27.

30. Сергеева О. А. Подмногообразия в пространстве Шоттки и двунорождённые грунны конформных автоморфизмов// ВестникНГУ. - 2005. - Т. V, вын. 2. - 59-77.

31. Сергеева О. А. д-Двойственность дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях// Вестник НГУ. - 2005, -Т. V, вып. 3. - 71-88.

32. Сергеева О. А. Пространства мультипликативных автоморфных форм// Материалы XLIII междунар. науч. студ. конф. "Студенти научно-технич. нрогресс". - Матем-ка. - Новосибирск, 2005. -С. 83-84.

33. Сергеева О. А. Банаховы пространства мультипликативных ав- томорфных форм// Вестник НГУ. - 2005. - Т. V, вып. 4. - 45-63.

34. Сергеева О. А. Модифицированные онераторы Верса и об- щая двойственность в пространствах голоморфных дифференци-алов Прима// Материалы IV Всеснбирского конгресса женщин-математиков, посвященного В.Ковалевской. - Красноярск, 2006.- 152-154.147