Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

% ' 00 - ср-Н* оь№ош1о&

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АРМЕНИИ

На правах рукописи

РЙМАНОВЫ РИЧЧИ-ПОЛУСШШЕТРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ I ИХ ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОГРУЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

01,01.04 - Геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г/ Нр

резиА.иум Ълц

¡¡»РкуАИлуьенук г^адя.Л;

Н««АЬНЯК У1Тр^Аени

г.. N

^оссия

аХу

ЕРЕВАН - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр,

ВВЕДЕНИЕ....................... 4

ГЛАВА I. РЙМАНОВЫ /¿¡С, -ПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА...................21

§ I* Элементы формализма ковариантного

дифференцирования.............. 21

§ 2. Действие операторов кривизны и определение римановых - полусимметрических пространств................. 29

§ 3. Основные классы римановых Нос- полусимметрических пространств ...... 35

§ 4. - полусимметричность как

мультипликативное свойство ........ 44

ГЛАВА 2, РЙМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА С ПОЛУПАРАЛЛЕЛЬНЫМ

СИММЕТРИЧЕСКИМ ЭНДОМОРФИЗМОМ ......... 50

§ 5. Подпространства собственных векторов

симметрического эндоморфизма ........ 50

§ б. У- и ¿и. — разложения......... 51

§ 7. Приводимость риманова пространства с полупараллельным симметрическим эндоморфизмом...................5?

ГЛАВА 3. СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РИМАНОВЫХ ¡¿Се -

- П0ЛУСЙ1МЕТР1ЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ....... 66

§ 8. Основная структурная теорема и ее следствия . 66

§ 9. Частные структурные теоремы и признак

приводимости ............... . 70

§ 10.Аналитические римановы и кэлеровы Шс -

- полусимметрические пространства ...... 73

Ûfp.

§ II. /¿Ce-» полуошметрячесше пространства о

гармощчеокой кривизной ........... 77

§ 12» Конусы с многомерными образующими над

двумерными л зйнштейновыми пространствами . . 86

глава 4. foc ~ шдашшдаЕсш юдшогоошаш m

§ 13. Основные определения, формулы и уравнения * • 97

§ 14. Проблема приводимости пояуоимметря-

ческшс подмногообразий а приводимость подмногообразия в евклидовом пространстве . • 110

§ 15. Признаки приводимости некоторых классов уй'с-

- полусишетрическшс подмногообразий • » ». • 125

§ 16. Полуояммбсричвокяб подмногообразия.....139

ГЛАВА 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ I ПОЛУПАРАШ ДЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

на подмюгоошаюх...................ш

§ 17. Общие свойства параллельных

подмногообразий . . ............» 151

§ 18. Локальная структура s - параллельных в

s ~ полутараллелышж подмногообразий « * » .158

fI9. параллельные подмногообразия

с лапласово S - рекуррентной второй фундаментальной формой ........... 176

§ 20, Подмногообразия,несущие полупараллельные

структуры как огибающие ........... 184

ЛИТЕРАТУРА ...................... .210

ВВЕДЕНИЕ

Открытие в 1925-1926 родах П.А.Широковым и Э.Картаном римановых симметрических пространств ознаменовало важный этан в развитии римановой геометрии. В настоящее время геометрия симметрических пространств оформилась в обширную и богатую приложениями теорию, которая активно взаимодействует с многими областями математики и оказывает на них значительное влияние. Основы этой теории и современное состояние ряда ее разделов освещены в монографиях Дж.Вольфа [ 8 Э.Картава [14] , ВиКобаяви и К.Номидзу [ 17 ] , 0.1ооса[ 23 ] , В.В.Трофимова [76], А.Т.Фоменко ( 78 ], С.Хелгасона/ 79 ] и др. Обзор работ по симметрическим пространствам и библиография даны в обзорной статье В.И.Ведерникова и А.С.Феденко[ б ].

Начиная с 1950-х годов, параллельно с развитием теории симметрических пространств, стали появляться различные теоретико-групповые обобщения симметрических пространств. Это ре-дуктивные пространства, введенные П.К.Рашевским, однородные Ф - пространства, введенные В.И.Ведерниковым, субсимметрические и трисимметрические пространства, определенные Л.В.Сабининым, 5- пространства, введенные А.Ледаером и далеко идущие обобщения этих пространств. Ближайшим и естественным обобщением неприводимых римановых симметрических пространств являются также однородные римановы пространства, у которых стационарная группа точки неприводимо действует на касательном пространстве. Классификация таких пространств впервые была получена О.В.Мантуровьш [ 33-35 В настоящее время геометрия обобщенных симметрических пространств оформилась в стройную и красивую теорию. Наиболее важные достижения этой теории отражены в монографиях О.Ковальского[ 19 ], посвящен-

ной теории ^ - структур, и А*С»Феденко [77 ] 9 посвященной в основном регулярным Ф ~ пространствам. В [77] А.О.Феде«-ко введены пространства о симметрия«», позволяющие рассматривать с единой точки зрения все разновидности симметрических пространств и многих их обобщений. Подробный обзор результатов по теории обобщенных симметрических пространств ш библиография приведены в обзорной статье Г 6 1. 1.1.Широковым [ 80 I, [ 81 ] рассматривались симметрические пространства, определяемые алгебрами. Это направление активно разрабатывалось и в дальнейшем оформилось в теорию пространств над алгебрами, основные достижения которой освещены в монографии В.В.Вишневского, А.II,Широкова, В.В.Вурыгшна [ 7 ].

Наряду с теоретико-групповыми обобщениями симметрических пространств рассматривались также их прямые дифференциально-геометрические обобщения» Еще П.А.Ищшковым [ 82 ] были рассмотрены римановы пространства с параллельным тензором Риччи (симметрические пространства этим свойством обладают) и доказано, что они разлагаются в произведение эйнштейновых пространств. Так как рашшово (локально) симметрическое пространство М характеризуется условием ковариаитного постоянства ми парюгашот (ЭДо тс же самое) тензора кривизны Г ,

VII - 0 , где V- риманова связность на М % го оно автоматически удовлетворяет таю условию И (Х} У) • Ц - О, где X, У - произвольны® касательные векторные поля, а

Ц (X, а ; = ¡7Х Уу - % ¡7/ - X, у Г

оператор кривизны. Это условие в своих исследованиях существенно использовали ЭДартан [ 14 ] и П.А.Широюв [ 83 ]. Ими же была поставлена проблема изучения римановых пространств, удовлетворяющих условию £ (У> 0. В теории геодези-

ческих отображений римановых пространств условие

£(Х рассматривалось Н.С.Синюковым [71 ] . Римановы

пространства, удовлетворяющие условию /¿(X,У) • Я =- О им были названы полусимметрическими [72 ], В настоящее время это название является общепринятым и мы также будем придерживаться его. Условие Я (X, У) 'Я =0 называется также условием полупараллельности тензора И •

В 1968 г. К.Номидзу (135 ] доказал, что полная гиперповерхность в евклидовом пространстве Е^^ с типовым числом к(х)^>3 хотя бы в одной точке и удовлетворяющая условию /1(Х>Ч)'/1 0 является произведением сферы ^ в (Н- К)-плоскости Е¡п_к (тогда V О!) и выдвинул гипотезу, что для полного неприводимого риманова пространства условие — О влечет VЯ — 0. Эта гипотеза

была опровергнута Х.Такаги [152 ] построением полной неприводимой трехмерной поверхности в Е^ , удовлетворяющей условиям |7 И И (X, {д)-Я = 0. Тем не менее, справедливость ги-

потезы К.Номидзу при различных дополнительных условиях доказали С.Фудхимура [103 ] , К.Секигава [ 141 [143-145] , С.Тайно [ 156 ] и др. Задачу локальной классификации римановых полусимметрических пространств решил З.Сабо [ 149 ]. Им рассмотрены также вопросы глобальной теории этих пространств и в евклидовом пространстве дана классификация полных внутренне полусимметрических гиперповерхностей, т.е. гиперповерхностей, удовлетворяющих условию Я(Х> Ю'М — 0. В пространстве постоянной кривизны М„ (с ) внутренне полусимметрические гиперповерхности рассматривал П.Райен[ 138 ]. Внутренне полусимметрические подмногообразия коразмерности > I в М^(с) с наложением ряда дополнительных условий рассмотрены К.Сакамото Г140 ] . В общем случае этот класс подмногообразий мало изучен.

Полусимметрические псевдоримановы пространства иооледовали с ь В.Р.Кайгородовым [ II-I3 ] в связи с применением их в теории гравитации. Подробный обзор работ в этом направлении и библиография приведены в [ 13 J. Алгебраическую трактовку условия /¿(X, =0 Дал П.И.Ковалев[18 J.

В связи с указанной выше гипотезой К.Номидзу, начиная о 1969 г., стали рассматриваться также римановы пространства и подмногообразия, удовлетворяющие условию R, (X^ У)*—О> где /?Х - тензор Риччи. Так как римановы пространства с параллельным тензором Риччи и полусимметрические пространства удовлетворяют этому условию (см. § 3), то этот класс римановых пространств является их естественным обобщением. Частные классы римановых пространств и подмногообразий, удовлетворяющих условию Я ( Х} У) * Ц^ = О рассматривались в работах С.Танно [ 155 ], К.Секигавы и Х.Такаги [146] , К.Секигавы /"142 J , Х.Такаги и Я.Ватанабе /"153 7 , Х.Накагавы и Р.Такаги [134 ] , Я.Матсуямы [ 127 J и др. В этих работах, с привлечением сильных дополнительных условий, решаются в основном вопросы приводимости, проверяются импликации К(Х,У )•£=() И(Х>Ч>К=0> ~ 0 VИi — 0 и выявляются некоторые свойства изучае-

мых объектов. Геодезические и голоморфно-проективные отображения римановых и кэлеровых пространств, удовлетворяющих условию Ц (Xi У)' Ri —0 рассматривались в работах й.Микеша Г 36 ] , [130 ] , Н.С.Синюкова и Е.Н.Синюковой [74 J и Е.Н.Синюковой [75 В этих работах римановы пространства, удовлетворяющие указанному условию, были названы риччи-полусимметрическими. Мы также будем придерживаться этого термина и называть их просто -полусимметрическими пространствами. Условие И (Х3 У) ' называется также условием полупараллельности тензора Эйн-

штейновы пространства также удовлетворяют условию Ц (X, 3) • * (¿± = 0. Им посвящены монографии А.Бессе [4,5] и А.З.Петрова

Гбз].

Среди подмногообразий пространств постоянной кривизны, моделирующих римановы локально симметрические пространства наиболее интересны (внешне) симметрические подмногообразия, аналитически характеризуемые параллельностью второй фундаментальной формы (ф.ф.) (т.е. V— 0 , где обозначает связность Ван дер Вардена-Бортолотти) и подмногообразия с параллельной ф.ф. высшего порядка ( Как показали

Д.Ферус [ 100-102 ] , а затем М.Такеути [ 154 Е.Бакес и Х.Рек-цигел [ 89 ] симметрические подмногообразия исчерпываются, в основном, стандартными вложениями симметрических Я, -пространств. Для подмногообразий с параллельной ф.ф. ( 3 ), которым посвящены работы автора [37,38 ] , [46],[50], [ 52 ],[59], [62] , Ю.Г.Лумисте [25-27] ,[109] ,[ПЗ ] ,[П6] , К.Рийвес [ 67], [б8 ] , Ф.Диллена [ 95-97 7 , классификационные задачи решены ( в основном Ю.Г.Лумисте и Ф.Дилленом) для случая плоской нормальной связности и для малых размерностей. В общем случае теория этих подмногообразий еще не разработана и многие проблемы остаются открытыми. Различные классы подмногообразий с параллельной ф.ф. с^л описаны Ю.Г.Лумисте в [ 114,115 ],[ 117-121 ] . Однако проблема их полного геометрического описания остается пока открытой. Более детальный обзор результатов по подмногообразиям с параллельной ф.ф. (б 2) дан в § 17 (см. также обзорные статьи [ 30]и [54] ).

Следующий наиболее изученный класс подмногообразий в пространствах постоянной кривизны составляют полусимметрические подмногообразия, характеризуемые условием полупараллельности

ф.#. ^ = 0, где R Ш) = % Гц -

'ff/fy ~F[x У J " оператор кривизны связности 7 )• В силу импликации Я (УU^-0 И(X, 3)'Я = О они имеют внутреннюю геометрию полуоимметрического риманова пространства, чем и обусловлен большой интерс к этим подмногообразиям. Им посвящены работы Й.Депр [93,94 7, Ю.Г.Лумисте [ 28-30 ] [ 105,106 J , [ 108 J ,["110-112 J,[ 114,115 J, [117-122 ], Ю.Г.Лумисте и К.Рийвес [ 123 ], К.Рийвес[ 69],[l37], Ф.Меркури [ 129], Ф.Диллена и С.Нёлкер Г 98 J, А.Асперти и Ф.Меркури [ 87 J и автора f53]. Обзор этих работ приведен в § 16. Здесь мы только отметим, что большая заслуга в решении классификационных задач полусимметрических подмногообразий (для подмногообразий малых размерностей и для случая плоской нормальной связности) и их геометрического описания принадлежат Ю.Г.Лумисте.

Подводя итог сделанному выше краткому обзору, можем сказать, что хотя и отдельные классы /¿¿с - полусимметрических пространств, такие как локально симметрические и эйнштейновы, всесторонне исследованы и классифицированы, тем не менее общая теория ршановых -Hit~ полусимметриче ских пространств еще не разработана. Особенно мало изучены изометрические реализации этих многообразий в пространствах постоянной кривизны (за исключением указанных выше частных случаев).

Настоящая диссертация, посвященная структурным и общим проблемам теории римановых Hie - полусимметрических пространств и их изометрических погружений, имеет своей целью восполнить в некоторой степени указанный выше пробел. Основными объектами исследования являются:

1) римановы пространства с полупараллельным симметрическим эндоморфизмом;

2) римановы Осе - полусимметрические пространства, ко-

торые исследуются как в общем случае, так и при наложении ряда дополнительных условий;

3) конусы с многомерными плоскими образующими над двумерными и эйнштейновыми пространствами;

4) ¡¿¿с - полу симметрические подмногообразия пространств постоянной кривизны и такие их частные классы как

а) внутренне полусимметрические подмногообразия,

б) подмногообразия с параллельным тензором Риччи,

в) полусимметрические подмногообразия,

г) подмногообразия с параллельными и полупараллельными фундаментальными формами высших порядков,

В связи с той исключительной ролью, которую играли и играют симметрические пространства и их обобщения в развитии ри~ мановой геометрии и приложениях, особенно в теоретической физике, изучение перечисленных выше классов римановых пространств и подмногообразий является задачей своевременной и весьма актуальной.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на 20 параграфов со сквозной нумерацией и списка литературы.

Глава I включает в себе §§ 1-4. В § I излагаются элементы формализма ковариантного дифференцирования, который систематически применяется на протажении почти всей диссертационной работы. В § 2 приводятся некоторые стандартные сведения из римановой геометрии, устанавливается, что операторы кривизны действуют как дифференцирования тензорной алгебры, определяются полупараллельные тензорные поля, дается определение полусимметрических пространств и показывается, что условие Я(!с- полусимметричности равносильно коммутируемости

тензора Риччи со всеми операторами кривизны Ü

В § 3 перечисляются основные классы ¡¿¿С - полу симметрических пространств. Это, как было указано вше, римановы пространства с параллельным тензором Риччи и, в частности, эйнштейновы пространства, полусимметрические пространства, двумерные римановы пространства и, наконец, новый класс римановых пространств, который был введен автором в [ 54,55 J и назван полуэйнштейновыми. Полуэйнштейново пространство определяется следующим образом. Пусть М - риманово пространство с отличным от

-г (О)

нуля индексом дефектности, 1Х - пространство дефектности в точке х £ М , а Т^^- его ортогональное дополнение в касательном пространстве ТАМ) . ТА и // инвариантны относительно тензора Риччи R-± . Если в каждой точке * на каждом инвариантном подпространстве ¡x ^ тензор Риччи имеет только одно ненулевое собственное значение, то пространство М называется полуэйнштейновым. Доказано, что полуэйнштейновы пространства удовлетворяют условию И(Х, Ч)'/1± = Р. В § 4 доказывается, что если риманово пространство М локально является произведением римановых пространств 3 Д/ f то оно будет flit - полусимметрическим тогда и только тогда, когда каждое ML (Y = /,•-•, s ) будет fUc- полусимметрическим (теорема 4.1). На основании этого результата и известной теоремы разложения де Рама (теорема 4.2) формулируется теорема разложения де Рама для flic- полусимметрических пространств (теорема 4.3).

Вторая глава включает в себя § 5-7 и посвящена вопросам приводимости римановых пространств, на касательных расслоениях которых действует поле симметрического полупараллельного эндоморфизма А , т.е. удовлетворяющего условию Я(Х, О.

В § 5 доказывается инвариантность собственных распределений А у (¥=1,> £ ) эндоморфизма А относительно операторов кривизны &(Х,У) и определяетея действие последних в касательном расслоении (теорема 5.1). В § 6 для произвольного риманова многообразия М с помощью примитивной группы голономии в точке хе М строится неприводимое

относительно Рх разложение

касательного пространства в этой точке, которое называется V- разложением. Здесь У^ есть пространство дефектности в Х> Далее формулируется теорема стабильности (теорема 6,1), принадлежащая З.Сабо [ 149 которая в частности описывает поведение распределений ( 0, • ••, при ковариантных дифференцированиях. Доказывается, что если индекс дефектности риманова пространства равен нулю, т.е. если 1/у - нулевое подпространство, то все V параллельны и многообразие М локально разлагается в произведение их интегральных многообразий, которые также имеют нулевой индекс дефектности (тео-

и(о)

рема 6.2). Если распределение V является параллельным, то

1)®акже параллельны и М локально разлагается в произведение их интегральных многообразий, причем интегральное многообразие распределения Удивляется локально евклидовым (теорема 6.