Вполне геодезические подмногообразия в многомерных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ КАУК УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

Р Г о ОД

л " '** г ' ' - - —

' ' 1 " На прав ах рукописи

ОКРУГ Сергей Иванович

ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

Антчрефер&т диссертации яд соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков - 1995

Диссертация является рукописью

Работа выполнена в Харьковском государственном университете Научный руководитель - доктор физико-математических наук, член корреспондент HAII Украины, профессор А.А.Ворисенко Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.Аминов, доктор физико-матсматических наук, профессор В.Ю.Ровенский Ведущая организация - Алтайский государственный университет

Защита диссертации состоится " &S" Щ. 199 S г. в 4L" час. на заседании специализированного ученного совета Д 02.35.01 при Физико-техническом институте низких температур им. Б.И. Веркина HAH Украины по адресу: 310164, Харькоа-164, пр.Ленина, 47

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФТИНТа по адресу: 310104 Харьков-164, пр.Ленина, 47

Автореферат разослан " £М " II 199jT f.

Ученый секретарь специализированного .

совета доктор физико-математических наук ■ В.П.Котляров

ОБЩАЯ .ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Начало созремеяноиу изучению азсыом подмногообразий в рпмаяозой геометрия было полозсио Эли Хартанои и яат'яз XX веха, [3], когда оа сформулировал ахспому I- плоскостей и доказал, что хладе рямзлэзых многообразий, ей удовлетворяющих, совпадает с семейством вещественных пространственных фор^!, Идея Картана вызвала столь серьезный интерес, что начиная с 20-х годод по настоящее время это направленно пользуется устойчивым научным интересом. Особенно изящные результаты в этой тематике была получены такими геометрами, ках Схоутен, Гольд-

бгрг, Япо, Чен н Нсмндэу. Разными авторами рассматривались все/

возмогшие ослабления сяспсмы Картана и кх зомллехсяые аналоги, прп этол решалась задача харахтерязащга класса рямаяозых многообразий, удовлетворяющих соответствующей аксиоме [16, 18, 14, 24, 11, 20, 9, 23, 22]. Подробный обзор результатов, полученных в этой области можно найти в [21].

Рнмапоао многообразие Мп удовлетворяет аксиоме I- плоскостей Картана, если для лзобоя точки х из М и для любого /-мерного подпространства (I - фиксированное ) из касательного пространства ТХМ существует i-Mepr.ce вполне геодезическое подмногообразие ТУ, проходящее через х, и такое, что ТХУУ = О, т. е. оно касается подпространства Ц. В настоящее время определилось два направления в тематике окопом подмногообразий.

1). Ослабление условия вполне геодезичности подмногообразия IV. При этом рассматривались следующие варианты ослабления. От подмногообразия 1У требовалось: быть внешней сферой, иметь параллельную вторую основную форму, быть вполне омбилическим, пметь плоскую нормальную связность,- и некоторые другие.

2). Римановы аксиомы подмногообразий переносились на кэле-ровы многообразия с дополнительными условиями на подпространство С}. Оно предполагалось комплексным, вполне вещественным или СИ-подпространством.

Первое направление позволило охарактеризовать пространства постоянной кривизны менее сильными аксиомами, чем аксиома Картана. Это прежде всего такие аксиомы, как аксиома /-сфер из [16] и аксиома подмногообразий с параллельной второй основной формой из [14]. Кроме того, аксиомой вполне омбилических подмногообразий в работах [18, 19, 24] удалось охарактеризовать класс конформно плоских римановых многообразий. Второе направление позволило охарактеризовать пространства постоянной голоморфной кривизны, [23], и кэлеровы многообразия плоские по Бохнеру, [10].

Пробелом в упомянутых исследованиях было отсутствие таких обобщений аксиомы Картана, когда размерность вполне геодезического подмногообразия была бы больше размерности подпространства Такое обобщение позволяет получить римановы пространств, которые естественно рассматривать, как обобщения пространств постоянной кривизны. Достоинством предлагаемого обобщения является то, что аксиома формулируется в синтетических терминах подобно тому, как это имеет место в аксиомах связи классической геометрии Евклида, духом которой, безусловно, и проникнута аксиома I- плоскостей Картана, с которой и начиналось изучение аксиом подмногообразий.

X

Цель работы.

1. Определить обобщение аксиомы Картана так, чтобы допускался случай, когда размерности вполне геодезического подмногообразия IV и подпространства которого оно касается, необязательно

совпадают.

2. Охарактеризовать структуру тензора кривизны римановых многообразий, обладающих обобщенной аксиомой Картана.

3. Описать риманову метрику удовлетворяющую предлагаемой обобщенной аксиоме Картана.

4. Изучить строение римановых гильбертовых подмногообразий с неположительчой внешней кривизной.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. Предложено принципиально новое направление обобщений аксиомы I- плоскостей Картана и охарактеризовал класс римановых многообразий Мп удовлетворяющих аксиоме (¡,п— 1)- плоскостей, служащий естественным обобщением хласса пространственных форм. В рамках этого подхода проясненно вырожденное положение сильно сферических метрик. На римановы гильбертовы многообразия распространены конечномерные результаты о строении подмногообразий неположительной внешней кривизны и малой коразмерности.

Методы исследований - это методы геометрии подмногообразий, римановой геометрии, теории рим-новых субмерсий, полилинейной алгебры, глобального анализа и спектральной теории операторов гильбертовых пространств.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты описывают класс римановых пространств, являющихся ближайшим обобщением вещественных пространственных форм в духе аксиом подмногообразий. Эти результаты могут служить для дальнейших исследований и области геометрии подмногообразий, а также могут найти применение и чтении спецкурсов для студентов специализирующихся м дифференциальной геометрии. Полученные результаты по р-омстрии гиль- .У -

бертсзых подыкошабрагий врпмспкки в c5.is.cti: сариагцкяшою пс-чвсленаг к теории оптимального управления.

Anpoforars паботи. Результаты диссертации докдадыгахпет.» са Харьковском городской геометрическом сешга&ро (руководитель акад. Погсрслоз A.B.),па«яжпарекафедры геокстрси(руководитель проф. Ворпсеико A.A.)) на IX Всесоюзной конференции по гескетрки (г. Кишинев, 1888 г.), па Всесоюзной кшфоревцш по гаоыэтрнк н анализу (г. НсЕОСкбпр«;, 1989 г.), па пезкдуаародкоы конференции "Ло-бачсйскЕЙ к сссрсшзш&г геометрия" (г. Казань, 1932).

Публнтптл. Но тгка диссертации опубяикооаво 3 статьи и 3 •resHCoa докладов ( список првгодгп в коцца автореферата).

Объем к структура работы. Работа состоит из введеипл и трех глаз. Объем работы - ПО страниц шяпыполисцого текста, сак cos литературы содержит 47 наззашш.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ К ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Псррзя глава содоркнт краткий обзор часто используемых доня-тей и фактов рнмапозой гсоыетрдк с геометрии подмногообразий. В тем число, здесь приведены онредзлешгя сешзнш: типов иодшгаго-обр&зкй: вполне геодезических, вполне оыбышческвх, внешних сфер, с параллельной второй основной формой п с плоской нормальной связностью. Здесь не содержатся формулировки теорем об аксиомах поднпогоаброзвй Лсунга-Нсиидзу, Гольдбсрга-Москаля и другие. Заканчкваетса первая глава описанием конструкции скрещенного произведения риывновкх метрик, Екекжхеп существенное значение в последующем изложении.

Во второй главе дается обобщение аксиомы Картапа.

Определение 2.1.1. Риианово многообразие Мп удовлетворяет аксиоме (l,s)- плоскостей (1 < i < s <пв • целые фиксированные

числа), если для любой точки х из М и для любого /-мерного подпространства О С ТХМ существует л- мерное вполне геодезическое подмногообразие проходящее через ж, такое, что (} С Тх\¥'.

Устанавливается взаимосвязь между классами римаповых пространств удовлетворяющих аксиоме (I, з)- плоскостей при различных I и е. Приводятся разнообразные примеры римановых пространств, удовлетворяющих введенной аксиоме. Далее изучается совокупность сильнейших из всего семейства введенпых аксиом, а именно, аксиомы (¿,п — 1)- плоскостей, или, другими словами, аксиома I- гиперплоскостей.

Примем следующие соглашения. Если Ф и Ф два подпространства в одном касательном пространстве, то обозначение А:(Ф Л Ф) = х означает, что значения секционных кривизн к(Х Л и) равны одному и тому же числу х независимо от выбора векторов X из Ф и и из Ф. То же соглашение о независимости значений будет действовать и в тензорных выражениях, где вместо векторов стоят подпространства, т. е. выражение Ф)Ф С Ф следует понимать так, что УХ, У 6 Ф 6 Ф ЩХ, 1Г)У € Ф. Основным результатом первого параграфа является описание структуры тензора кривизны римановых многообразий, удовлетворяющих этой аксиоме.

Теорема 2.1.12. Если риманово многообразие А1 удовлетворяет аксиоме I- гиперплоскостей, то в каждой точке х из М имеется прямое ортогональное разложение

ТХМ- ФФФ, Ф-'-еФт, (2.1.8)

*(Ф Л Ф) _ к, Л(Ф Л Фц) ~ (2.1.9)

Л(Ф,Ф)Ф„=0, Д(Ф„,Фд)Ф = 0, И(Фа,Ф)Ф С Ф„, (2.1.10)

(уФо./г)(Ф,Ф)Ф/3 = 0, (2.1.U)

гдесПтФ:>£, ШтФ« = 1, (а,0 = 1,... ,т).

В этом же параграфе показано, что риманова метрика скрещенного произведения произвольного (п — I — 1)-мерного риманова многообразия на (I + 1)-мерную вещественную форму удовлетворяет аксиоме I- гиперплоскостей. Во втором параграфе в предположении, что структура кривизны имеет, так сказать, общее положение, т. е. к ф находится строение римановой метрики многообразий

удовлетворяющих аксиоме I- гиперплоскостей.

Теорема 2.2.2. Пусть Мп - риманово многообразие, касательное расслоение которого разлагается в прямую ортогональную сумму гладких распределений ТХМ = Ф © Ф1 © • • • ф ФЛ-г-1 таких, что сНтФ„ = 1, 1 < I < п — 1, причем в каждой точке М выполняются условия (2.1.9-2.1.11) из теоремы 2.1.12 и к тому жекф XV, Va. Тогда риманово многообразие М локально изометрично скрещенному произведению некоторого риманова многообразия размерности п — I — 1 на вещественную пространственную форму размерности I + 1, т. е. метрическая форма имеет следующее локально координатное представление

ds2 = dl2(u) + ip2(u)0*(x)

где -a - (it1,... ,un~'~1), x = (x1,..., ®'+1) и 6\ риманова метрика постоянной кривизны с.

Приведенную выше теорему можно рассматривать, как дополнение к классической теореме Шура. Следствие 2.2.3 этой теоремы совместно с теоремой 2.1.12 позволяют охарактеризовать структурой кривизны многообразия, удовлетворяющие аксиоме гиперплоскостей.

Следствие 2.2.3. Пусть для рншшоп-л многообразия А/" выполнены условия теоремы 2.2.2. Тогда многообразие М удовлетворяет аксиоме I- гиперплоскостей.

Таким образом, предложенный подход выделения классов римн-псвых пространств аксиомой (l,s)- плоскостей приводит к классам отличным от полученных ранее с помощью перечисленных выше аксиом подмногообразий. В случае самой сильной из аксиом I- гиперплоскостей римапова метрика полностью характеризуется Лез дополнительных неравенств и предположений о гладкости распределений.

Теорема 2.2.5. Если р и манило многообразие Мп (п > 4) имеет н каждой точке прямое ортогональное разложение касательного пространства ТХМ — Ф © Ф а сумму одномерного и (п — 1)-ш:рш>го пространств таких, что

к{Ф Л Ф) = к, А;(Ф Л ф) = х, Ф)Ф О

(Уфл:)(Ф,Ф)Ф = о,

то существует всюду плотное открытое подмногообразие, а окрестности каждой точки которого метрическая форма представима в виде

ds2 = du2 + ip2(u)d0l(ж\ • • •, xn~1),

где d.02c - метрическая форма пространства, постоянной кривизны.

Последняя теорема показывает, что многообразие Мп с аксиомой (п — 2)- гиперплоскостей в точках общего положения есть ничто иное, как субпроективнсе пространство. Эти пространства были определены Каганом В.Ф. в [4], как обобщения проективных пространств. Пространство аффинной связности М называется субнроехтивным,

если для любой геодезической линии найдется такая система локальных координат, что в этой системе координат геодезическая будет представляться плоской линией. Римановы пространства с многопараметрическим семейством вполне геодезических подмногообразий рассматривались также харьковским геометром Ю.С. Слободяном. В этом же параграфе показано, что предположение о гладкости распределений в теореме 2.2.2 является естественным, по крайней мере для структуры кривизны общего положения и достаточно больших значений I в аксиоме I- гиперплоскостей.

Определение 2.2.8. Будем говорить, что риманово многообразие М, удовлетворяющее аксиоме I- гиперплоскостей, имеет структуру кривизны ( строго ) общего положения, если в каждой точке х 6 М, для имеющегося по теореме 2.1.12 разложения

А. ± X

- г1М = Ф$Ф, Ф = #1 е-ФФт,

к(ФлФ) = £, &(Ф Л Фа) = Ха,

сПтФ = I + 1 и Уп — 1,...,т, к ф ха. ( Сверх того, все ха различные между собой, соответственно. ) Подпространство ф будет наливаться направлением параллели, а подпространство Ф - направлением меридиана.

Предложение 2.2.10. Пусть многообразие Мп (п > 4), удовлетворяющее яксиоме I- гиперплоскостей с I > п/2, имеет структуру кривизны общего положения, тогда направления параллели образуют гладкое распределение па М.

Теорема 2.2.11. Пусть многообразие Мп (п > 4), удовлетворяющее аксиоме I- гиперплоскостей с I > п/2 — 1, имеет структуру кривизны строго общего положения, тогда М локально изометрично

-{О-

скрещенному произведению некоторого (п — I — 1)-мерного римано-ва пространства на (¿+ 1)-мерную вещественную пространственную форму.

В третьем параграфе рассматривается случай, когда многообразие с аксиомой гиперплоскостей имеет строение кривизны прямо противоположное, чем в случае структуры кривизны общего положения, т. е. к — хЧп. Это строение кривизны приводит к введенным Мальтцем, в [17], пространствам почти постоянной кривизны, т. е. таким римаковым многообразиям, тензор кривизны которых удовлетворяет в каждой точке х следующему равенству

ЩХ, А)В = с «В, А) X - (В,Х) А),

где А и В любые, а вектор X принадлежит некоторому подпространству N С ТГМ. Размерность N называется индексом, а величина с - показателем почти постоянной кривизны. Эти метрики являются обобщениями сильно параболических метрик, введенных Черном и Кейпером в [12] и изучавшихся многими авторами, в том числе Ферусом, Эйбом, Розенталем, Грейем, Борисенко, Ровенс.ким и другими. В этом параграфе показано, что, во-первых, точечная структура кривизны метрик почти постоянной кривизны является частным случаем структуры кривизны метрик, удовлетворяющих равенствам (2.1.8-2.1.11) из теоремы 2.1.12, описывающей строение кривизны многообразий с аксиомой I- гиперплоскостей, во-вторых, среди метрик, удовлетворяющих аксиоме гиперплоскостей, метрики почти постоянной кривизны образуют вырожденный класс прямых ироиз ведений.

Предложение 2.3.2. Если метрика почти постоянной кривиты на многообразии Мп(п > -1) с индексом почти постоянной кривизны

р, п/2 < Ц < I ^ 1 удовлетворяет аксиоме I- гиперплоскостей, то М локально язометричяо прямому произведению некоторого (п -I — 1)-мерного риы&нова пространства на (I + I)-мерное евклидово пространство, в частности, показатель почти постоянной кривизны с = 0.

В четвертом параграфе рассматриваются полные многообразия с аксиомой гиперплоскостей.

Определение 2.4.1. Будем говорить, что риманово многообразие удовлетворяет существенной аксиоме I- гиперплоскостей, если оно удовлетворяет указанной аксиоме и не удовлетворяет аксиоме (/+ 1)-гиперплоскостей.

Строится пример полного локально неприводимого риманова многообразия М" с аксиомой (п — 2)- гиперплоскостей и структурой кривизны общего положения, т. е. М удовлетворяет существенной аксиоме (п — 2)- гиперплоскостей. Хотя в примере М является топологически приводимым многообразием, доказывается следующее предложение.

Предложение 2.4.4. Если многообразие М" допускает полную ри-манову метрику постоянной кривизны, то оно допускает и полную риманову метрику, удовлетворяющую существенной аксиоме I- гиперплоскостей, с любым наперед заданным I > п/2 — 1.

Третья глава посвящена исследованию подмногообразий в рима-новом гильбертовом многообразии, условия на кривизну которых приводят ко вполне геодезическим слоениям. Хотя глобальный анализ уже стал активно используемым инструментом в дифференциальной геометрии, как, например, теорема Нэша-Мозера об обратной функ-. дин, [15], для многообразий Фрешс. Дифференциальной геометрия

- ¡г-

на многообразиях отличных от гильбертовых, по сути, по-прежнему нет, как и в 1960 году, когда Дж. Иллс опубликовал первый обзор, ¡3], по бесконечномерным многообразиям. Несмотря на их схожесть во многом с конечномерными многообразиями их топология и геометрия в некоторых вопросах качественно отличается. Так, например, все гильбертовы многообразия параллелизуемы и не всегда в метрически полном римановом гильбертовом многообразии две точки могут быть соединены минимизирующей расстояние геодезической, [6] и [7], Роль гильбертовых многообразий в конечномерной дифференциальной геометрии достаточно весома, хотя бы благодаря тому ппи-менению, которое они находят в оценке числа замкнутых геодезических без самопересечения на римановых многообразиях, [5]. Поэтому представляется естественным выяснение логических границ распространения результатов конечномерной римановой геометрии на гильбертовы многообразия. В первом параграфе выводятся уравнения Гаусса-Кодацци-Риччи для подмногообразия в римановом гильбертовом многообразии в инвариантном виде. В локально координатном представлении эти уравнения были получены в [2]. Основным техническим инструментом при выводе уравнений для подмногообразия служит следующая лемма, характеризующая ковариантную производную в гильбертовом случае. Отличие от конечномерного случая состоит в дополнительных пунктах 4)-6).

Лемма 3.1.2. Пусть ж : Е >-* М - гильбертово расслоение. Отображение V : Х(М) х Хе(М) >-» Хе(М) является ковариантиой производной единственного оператора связности К тогда и только тогда, когда выполнены следующие свойства:

1) /УхН + дУуЕ;

2) Vx(■E + íl) = VxE + Vxi1;

3) Ух/Н = Л7-Н + /УхН;

4) поточечная непрерывность относительно поточечной сильной сходимости векторных нолей, т. е.

Хп-Х (г.ос) =» УХпЕ - У*2

г,) поточечная непрерывность относительно поточечной слабой сходимости дифференциалов ссчсиий, т. е.

ТЕП —» ТЕ => УХНП - У*-

0) для любого координатного представления (Ф,<р, Щ индуцируемое по формуле {£,т]) — главная часть (У хН) отображение областей <р(1/) н-► Л(Н, Е:Е) на стационарных главных частях является гладким.

»о втором параграфе уравнения изометрического погружения применяются для исследования подмногообразий конечной коразмерности и неположительной внешней кривизны. В конечномерном слу-■1н<' изучение этих вопросов начиналось с работ Черна и Кейпера, Одзуки, Хартмана и Ниренберга, Рыжкова, Сакстедера и других. Основными результатами являются следующие теоремы, служащие гильбертовыми аналогами известных конечномерных результатвов Феруса, Мальтца и Борисенко из [13, 17, 1].

Теорема 3.2.1. Пусть М - ( полное ) риманово гильбертово подмногообразие в римановом гильбертовом многообразии N с инду-ниронанной метрикой, инвариантное относительно оператора кривизны. Если подпространства относительного дефекта Т" образуют подрасслоение касательного расслоения, то через каждую точку М

преходит сдипстшшсв жжеттытюа ( полная ) г,полно txwxnvio cv.oo ri H иажаюгао&ртхе M", иршкшяжащее Ai, вдаль которого к?.спто:гг>пео к M аростртстпо стг:игоп?р;га.

Тсярзмп Пусть M - (полное) рил'скосо пии-.С^ртаг.о аалкяо-

ix;oGpna::c испог.ожк'хслыюй тошней кртшзиы коаечиоЯ пор гэггерхго-сга р a pimnnonou гплпСсртспан ituoroQdpv.mn N, тпкрп^птпао ог-ксекгагш/о оператора /флпш/ях Тогда. ял // ле::гкт (¡толпа?) momie есояззячссксз в обт.-схлющои unorocSpssua N uajiîs;;.arao5pnsiro Ii" хорззиорцоегг: n M ira 7crr p(jH-1), идол:, которого zc.cz-

тклыяуз ясасхряясгга к m стгцгспгрпо.

•Тссрта З.Я.Ю. Если M - ппиита з ргляазоао гмльбертопо со.пттпо-гообрязке псиолохжопыюй внешней кривизны хоазшоЗ горззкер-яоегп а гильбертово:"; сфера, то M ест,'» Солыпрч сфера.

Отсюда следует аегдегпчпоо утеерггдепкв п длз подшгогообразня л гильбертогс!.; npcc-sxr:n::cii прсстргнстпе.

В заключзппе считаю сеояи долгой-выразить призпателькость •:с:му научному рукосодителю профессору Л. А. Борпсеппо за постановку задач и руководство работой над диссертацией.

л И Т Е Р А Т У Р А

1. Eapucemto А. А. О поверхностях неположительной внешней крпвазпы n пространствах постоянной кривкзпы // ГЛатек. сб., 1981, т. 114 (156), с. 339-354

2. Гсллслоо M. М. Глобальный вариант теоремы Бонне для гильбертова пространства // Изз. вузов. Математика., 1987, N 3, с. 71-73

3. Иллс Дж. Основы глобального анализа // Успехи мат. наук., 1969, т. 24, N 3, с. 157-210

-ts-

4. Каган В. Ф. Субпроективные пространства. М., 1961,287 с.

5. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. Пер. с англ.-М., Мир, 1982, 416 с.

6. Кюйпер //. Гомотопический тин унитарной группы гильбертова пространства. Пер. с англ., (В кн. Атья М. Лекции по К-теории. М., Мир, 1967), с. 241-260

7. М. do Carmo Positively - curved hypersurfaces of a Hilbert space // J. Diff. Geometry, 1968, v. 2, p. 355-362

8. Cartan E. Lecons sur la Geometrie des Espaces de Riemann. Gauthier-Viliars, Paris, 1928, 237 p.

9. Chen В. У., Ogiue K. Some characterizations of complex space forms // Duke Math. J., 1973, v. 40, p. 797-799

10. Chen B. Y., Ogiue K. Two theorems on Kaehler manifolds // Michigan Math. J., 1974, v. 21, p. 225-229

11. Chen 3. Y., Versiraelen L. Surfaces wit.h flat normal connection // Atti Accad. Naz. Lincei Rend., 1975, v. 59, p. 407-410

12. Chern S. S., Kuiper V. Some theorems on the isometric imbedding of compact Riemannian manifolds in Euclidean space // Ann. Math., 1952, v. 56, p. 422-430

13. Fenis D. Totally geodesic foliations // Math. Ann., 1970, v. 188, N4, p. 313-316

14. Goldberg S. /., Moskal E. M. The axiom of spheres in Kaehler geometry // Kodai Math. Sem. Rep., 1976, v. 37. p. 188-192

15. Hamilton R. S. The inverse function therem of Nash and Moser // Bull. Amer. Math. Sos., 1982, v. 7, N 1, p. 6-229

16. Leung D. S., Nomizu K. The axiom of spheres in Riemannian geometry // J. Diff. Geometry, 1971, v. 5, p.487-489

17. Maliz R. The nullity spaces of curvature like tensors // ,1. OifF.

-IS-

GeomeVry, 1972, v. 7. N 3-4, p. 519-525

18. Schonten J. A. Uber die konforme Abbildung n-dinionsiouiilcr Mannigfaltigkeiten mit quadratischer Maasbestimmung auf пи- Mannigfaltigkeit mit euklidischer Massbestimmung // Math. Z.. !')'-"!. v. ] 1, p. .48-88

1У. Stellmacher K. L, Geometrische Deutung konform invarUnicr liigenschaftcr des ricmannschen Raumes // Math. Ann., 1951. v. 123. p. 34-52

20. Van Lindt D.. V'ersiraelen L. Some axioms of Einst,oijii.ui and conformally flat hypersurfaces // J. DifF. Geometry, 1981, v. 16, p. 205-212

21. Van Lindt D.. Verstraelen L. A survey on axioms of submanifnMs in Riemannian and Kaehlerian geometry // Colloq. math.. 1987. v. 54, N 2, p. 193-213

22. Yarnaguchi S., Kon M. KaehSer manifolds satisfying the axiom of anti-invariant 2-spheres // Geom. Dedicata, 1978. v. 7. p. 403-406

23. Yano K,, Mogi I. On real representations of Kaehlerian manifolds // Ann. of Math., 1955, v. 61, p. 170-189

24. Yano K., Muto Y. Sur la theorie des espaces a connection conforme normale et la geometrie conforme des espaces de Iii cm ami // .). Far. Sei. Imp. Univ. Tokyo, 1941, v. 4, p.117-169

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Борисепко А. А., Окрут С. И. О строении гильбертовых подмногообразий неположительной внешней кривизны // IX Всесоюзная геометрическая конференция. - Кишинев, 1987, с. 47-48

2. Корисенко А. А., Окрут С. И. Подмногообразия с з-мерным внешним нуль-индексом // Всесоюзлая конференция по геометрии и

анализу. - Новосибирск, 1989, с. 12

3. Округа С. И. Рхшановы гильбертовы подмногообразия неположительной внешней кривизны // Ужр. геометр, сб., 1990, Вып. 33, с. 91-101

4. О'луут С. Е. Римановы многообразия с обобщенной аксиомой плоскостей // Укр. геометр, сб., 1992, Вып. 35, с. 103-110

5. Ох-рут С. И. Обобщенная ахсиома Картаыа // Лобачевский и современная геметрзя. Международная научная конференция. Ч. I - Казань, 1992, с.70

6. Оярут С. И. Структура кривизны рнманова многообразия с аксиомой гиперплоскостей // Мат. физика, ааализ, геометрия., 1994, т. 1, N 2, с. 227-231

Окрутп С.И. Вполне геодезические подмногообразия п многомерных пространствах. Лиггрртяшюття работа ю» <ч к< ученой степени кандидата финико-иатгшгичоских да/я (•;;<•..*<• лльности 01.01.04 геометрия и гомология. Рассматрипне г.:ч '.ценич аксиомы плоскостей Картана. Но определению. >ip':;Mi»iin многообразие удовлетворяв ак.'исм» гнперпл«к-костеГг (г ф>'кги;»>-iiaiuiuu IU если каждое его i иериое иоциространета»» ль**>и> a.u:h-гелыюго пространства содержится в касательном аростраи<-гi«-которого вполне геодгеи'кткоп« подмногообразия корллмерн«« т« t. Описание таких многообразий дается в терминах структур).; т<чг*.-ра кривизны. Дано обобщение классической теоремы Шура.

Ключов! слова: ц1лком геопешчт ншмгюговнди. c-kuUIна тина, схрещенннй чдобуток.

Okrut S.l. Totally geodesic submanifolds in mani-dimensional spaces. Dissertation for the tcwntific <'¡agree of kaixliilat in I'hvsics and Mathematics of speciality 01.01.0-1 geometry ami topology. The generalization of the Cartan's axiom of plain* is By «Ieiinitioti.

a Riemarmian manifold satisfies t he axiom of 7- hyptirpiai.»** (with / lix'ti) if its every I- dimensional tangent, suhspace contains in the tangent ¡»parr of a totally geodesic submanifoid of codimeiiaion I. Description of .-.,« ц inanifo'.dti is given in terms of the structure of «tic curvature tensor. Tii<-generalization of the classical Sohur theorem' is given.

i'yi. ' by Ач^-Д-Л

Ответственный за выпуск М.И.Островский

Подписано к печати Ol. I0.3S~ Физ. п.л. I

Учотн.изл.л. L Заказ № ¿2 Тираж 100 экз.

'^отаприкт ФТИНТ HAH Украины, 31ОШ, Харьков, пр. Ленина, 47