Римановы метрики и симплектические структуры, присоединенные к многомерной три-ткани тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

"И '1 2 N ?

московский ордена ленппл и ордена трудового красного знамени педагогический государственный университет нмепп В. II. ленина

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукописи

КОГДАНОН Сергей Николаевич

РИМАИОВЫ МЕТРИКИ И СПМПЛЕКТПЧЕСКПЕ СТРУКТУРЫ, ПРИСОЕДИНЕННЫЕ К МНОГОМЕРНОЙ ТРИ-ТКАНИ

01.01.04 — геометрия п топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского ордена Лешша и ордена Трудового Красного Знамени педагогического государственного университета имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор М. Л. ЛКИВИС

О ф и ц паль и ы е он н о и е и т ы:

доктор физико-математических наук, доцент Л. М. 111ЕЛЕХОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент С. Е. СТЕПАНОВ

Ведущая организация — Университет Дружбы Народов имени II. Лумумбы.

Защита состоится «... а. Ж... час.

на заседании специализированного совета К 053.01.02 по прп-сузкдснпю ученой степепн кандидата фпзпко-математических наук и Московском педагогическом государственном университете им. В. II. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке МПРУ им. В. И. Лешша (адрес университета: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МИГУ им. В. И. Лешша).

Автореферат разослан «............»........................1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Г. А. КАРАСЕВ

ОЫЦАл ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш исследования. 3 диссертация изучается класс римановых метрик, который инвариантно присоединяется к многомерной три-ткани, а такке связанные с этими метриками почти комплексные, почтя эрмитовы и почти симплектические структуры.

Геометрия тканей возникла на рубеже üO-x - ЗО-х годов нашего столетия в работах немецкого геометра В.Бляшке, его сотрудников и учеников. В этих работах изучались ткани, образованное семействами кривых на плоскости и в трехмерном пространстве. Обзор этих работ имеется в монографии Б. Бляшке и Г.Боля 113] , а таклсе в книгах [111 , [12] . В частности, в книге [111 Бляшке рассмотрел ркманову метрику, присоединенную к двумерной три-тканл, относительно которой эта ткань становится равноугольной. В реферируемой диссертации это построение обобщается на многомерный случай.

Первой работой по теории многомерных три-тканей била статья Г.Боля [141 , написанная в 1935 году. В ней изучается три-ткани двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве. В 1936 году появилась работа Черна [1эЗ , в которой строится геометрия многомерных три-тканей, образованных тремя семействами t -мерных поверхностей в -мерном пространстве.

С середины 50-х годов активно развивается алгебраическая теория тканей. Обзор результатов по алгебраической теории три--тканей и подробная библиография имеется в работе З.Д.Белоусова а В.В.Рыжкова И1 .

Начинал с работ til , 121 , опубликованных в 1968 году, систематическим изучением многомерных три-тканей на дифференцируемом многообразии занимается Ы.А.Акнвис и его ученики.

Основы совреЕенной теории многомерных три-тканей изложены в книге У.А.Акиваса, А.Шолохова 171 , я достаточно полный обзор результатов по этой теории и подробная библиография имеются в работах :/..А.Акиваса С51 , М.А.Акивиса и С.А.Герасименко С61 .

Многообразно М ,• несущее три-ткань W43.J?.?), имеет размерность 2г . Поэтому возникает вопрос о возмояности инвариантно! о присоединения к три-тк.-ши ди ¡ фз р к г и ал ъ н о -г о о к е т р и че с -ках струкгур, допускаж,'их свое суа^ст&овати лизь на четномерных кнэгооо,'алиях. iак в рагютах йл.Акшвюэ 13) , L43 к трл-ткани и:ш ц-.a-bu i:j п^лшибтая i!C4i.í -ю'иллексная структура, а в

статьях В.Ф.Кириченко Г93 , [10] - почти антикватернионные структуры. В связи с этим возникает вопрос о присоединении к три-ткани с римановой метрикой почти эрмитовой и почти симплек-тической структур.

Таким образом, изучение римановых метрик, присоединенных к три-ткани, и связанных с ними дифференциально-геометрических структур.представляет несомненный интерес. Все выше сказанное подтверждает актуальность темы, исследуемой в данной работе.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии многомерных три-тканей с присоединенными к ним Романовыми метриками. Основными задачами данного, исследования являются следующие:

1. Построить класс римановых метрик, инвариантно присоединенных к три-ткани, изучить эти метрики, а также связанные с ними почти симплектичаские и почти эрмитовы структуры.

2. Выделить и изучить некоторые типы три-тканей, обладающих специальными свойствами относительно присоединенных римановых метрик.

3. Построить примеры выделенных специальных типов три-тканей с помощью групповых три-тканей, тканей Муфанг, Боля и грассмано-вых три-тканей.

Научнад новизна диссертации заключается в обобщении равноугольной метрики Бляшке, которая рассматриваюсь ранее лишь для три-тканей кривых на плоскости, на случай многомерных три-тканей на дифференцируемом многообразии размерности 2 г , Такая метрика инвариантным образом порождает на многообразии, несущем три--ткань, почти эрмитову и почти сшшлектическую структуры. В данной диссертации изучаются эти структуры в их связи с геометрией тканей. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Метод исследования. Работа выполнена методом внешних форм Э.Картана. Все рассмотрения носят локальный характер. Многообразия, изучаемые в работе, предполагаются достаточно гладкими.

Теоретическое и практическое значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и могут быть применены в исследованиях, посвященных дифференциально-геометрическим структурам на многообразиях, а тачже при чтении спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где ведется работа по близкой тематике, например, в Московском педагогическом государст-

венном университете им. В.И.Ленина, Тверском государственном университете, Московском институте стаяи и сплавов и др.

Апробация работы. Осношша результаты диссертации докладывались и обсуждались на 27-й Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов им. П.Лумумбы (1931 г.), на заседании Всесоюзной школы--семмнара по геометрии тканей ¡1 квазигрупп, проводимой на базе Куйбышевского государственного педагогического института (19ЭО г.), а также на геометрических семинарах под руководством профессора М.А.АкивиС! в Московском институте стали и сплавов (1990 г.) и под руководством профессора В.£.Кириченко в Московском педагогическом государственном университете им. В.Л.Ленина (1992 г.).

рубликпилл. Основное содержание диссертации отражено в четырех публикациях 1171 - 1201 , которые выполнены без соавторов.

Структура ¿) рбьег,;. работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав основного текста, включающих 11 параграфов, и списка цитируемой литературы из 53 наименований. Объем работы составляет 104 стрчниш машинописного текста.

ОьоОР С0дЬ,Р&А1Ш дИССЕРТМШ

30 введен.!« излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и приводится ее краткое содержание.

В цервой г^аве "Равноугольная риманова метрика на многомерной три-ткани" изучаются свойства равноугольной римановой метрики, присоединенной к три-ткани, а также выделяются некоторые классы тра-тканей с такой метрикой.

Основные необходимые определения и результаты из теории многомерных три-ткзшей приводятся в §1.

В на .многообразии И размерности 2 г , несущем тря-ткань 3. '2, т ) , рассматрававтфг римаиова метрика с/5* , определяемая симметричным невыровденньм тензором ^ = , по отнэзешш к которой подпространства Ты(х) 1,2,5 , карательные н одоям три-мани, проходящим через точку ос 6 М , • яаляш-ся п-л. 11.1:0 иэикллннша и образуют мезду собой углы 2Ж/3 . И о -п.--: м 1-.:лку сЬ1 , иравоздтежкул к трл-тканй, будем

называть равноугольной римановой метрикой на три-ткани.

.Далее доказывается, что квадратичная форма <35а может быть представлена в виде

12 Ц I •Х Ь »

причем каждая из квадратичных форм 5 , е/^. ; » а, 3),

1> , определяет на многообразии М , несущем три-тканъ, риманову метрику. В касательном пространстве Тя (И) любой точки ос € И все римановы метрики (Зь2 , с1$2 и сК1 имеют в качестве изотропных одни и те же трансверсашше 2-плоскости три-ткани. Они образуют конус Кт изотропных трансвереальных 2-плоскостей, лежащий на конусе. Сегре С(2,7) , определяемом в Тх (М > подпространствами (х ) , касательными к слоям ткани, проходящим через точку М .

В §3 устанавливается связь мезду аффинными связностями инвариантно порождаемыми тра-тканью, и римановыми связностями

V , порождаемыми метрика!® о1$г . Для связностей V спра-ве^шва - ,

Теорема 1.7. Слои и Щ три-ткани, проходящие через некоторую точку X € N1 , являются вполне геодезическая подмногообразиями многообразия И , несущего эту ткань, относительно римановой связности V

Затем выделяются три класса три-тканей с равноугольной римановой метрикой, которые характеризуются тем, что все слои три--ткани являются вполне геодйзкческшш подмногообразиями многообразия М относительно одной из рамановых связностей V . Теорема 1.8 дает необходимые VI достаточные условия принаможности три-ткани с равноугольной римановой метрикой к одному из этих классов.

Три-ткань с метрикой о1з5 , принадлежащая всем трем' еыдй-ленккм классам, обладает тем свойством, что все слои атой трз- ' -ткани являются вполне геодезическими подмногообразиями ¡люгооб-разкя И относишяьно каждой из римановых связностей V • Для таксой ткани тлеет и-зсто

Теорема 1.9. Бее слои три-ткани У'/СЗ.ЯД) буду! вполне геодезическими подмногообразиями.многообразия И относительно каждой из римановых связностей тогда и только тогда, когда тензор ковариантно постоянен в средаэй связности V

три-ткани. . '

Три-ткань с равноугольной метрикой, удовлетворяющая теореме 1.9, с необходимостью является шестиугольной (теорема,1.11). Для случая 1 = 2 ) справедлива

Теорема 1.12. Если все слои три-ткани ^(3,2,2) с равноугольной римановой метрикой являются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия М относительно каждой из связ-ностей , то эта ткань параллелизуема, а многообразие М локально евклидово.

Во второй главе "]ш£ференциально-геометрическиэ структуры, порождаемые равноугольной римановой метрикой на три-ткани" рассматриваются дифференциально-геометрические структуры, инвариантным образом"определяемые три-тканьш с равноугольной римановой метрикой на многообразий И , несущем эту ткань.

§1 посвящен изучению почти комплексной структуры I , инвариантно присоединяемой к три-ткани. Такая структура рассматривалась !/..А. Акивисом в работах ГУ] и 14 ] » В диссертация получены некоторые новые результаты, касающиеся почти комплоксной^струк-туры Т . Например, доказано, что а^ринные связности V ' , Ф , ииваричнтно определяемые тканью, являются почти комплексными относительно структуры Т , присоединенной к три-ткани (теорема 2.1). 1)то свойство связности V дает возможность вычислить тензор НейенхеР.са № почти комплексной структуры I . Его компоненты ( к-1____,0.-х , относительно адапти-

рованных три-ткани репоров выражаются через тензор кручения этой ткани следующим образом (теорема 2.2)

Отсюда, в частности, вытекает, что почти комплексная структура

Т , присоединенная к три-ткани, <3удет комплексной тогда и только тогда, когда эта ткань нэ имеет кручения.

а §2 рассматривается почти эрмитова структура, инвариантно определяемая равноугольной римановой метрикой на многообразии И . несущем три-ткань. Имеет место

Г е о р о м а 2.3. Равноугольная риманова метрика ¿ч? на мног»¡мирней три-ткани является эрмитовой относительно почти ком— гьтшшй структур» 3 , присоединенной к этой три-ткпни.

1. !.1етс:1 (уи^интЫМЯ форы I & почти эрмитовой

структуры (Т, с1ъг ). Затем доказывается, что трансверсально--геодезические поверхности три-ткани V/ (3,2,1) являются инвариантными подмногообразиями многообразия И , несущего эту ткань, относительно почти комплексной структуры Я . Иэоклинные подмногообразия три-ткани № являются антиинвариантными

1С-мерными подмногообразиями многообразия М относительно почти эрмитовой структуры (I, (Зь5 ).

В.Ф.Кириченко в работах [9] и [10] определил антикватерни-онные структуры (X , К ) , инвариантно порождаемые три--тканью. Бри этом операторы задают на многообразии

И , несущем три-ткань, почти комплексные структуры. Имеет место (

Теорема 2.6. 1) Каждая пара (К , о{52) определяет на многообразии И , несущем три-ткань \У(3,2,т ) с равноугольной метрикой с|$а , почти параэрмитову структуру, а каждая пара

^ ~ почти эрдитову структуру. Здесь = (1,2,3),

(2,3,1),(5,1,2).

2) Операторы Т , Т связаны соотношением

/2 и М

3) Двумерные трансверсальные направления три-ткани

VI/ (3,2,7:) являются инвариантными направлениями для каждого из операторов I , К и 1

4) Фундаментальные фор&ы структур (\( ,сЬл) и (Т , с точностью до постоянного коэффициента совпадают с фу^даменталь-

' ной формой ¿2 структуры ( Л", с* 5 *) .

§3 посвящен изучению почти симплектической структуры Л , инвариантным образом определяемой тензором С}^- на многообразия И , несущем три-ткань с равноугольной рлмановой метрикой. Форма 57 лишь^постоянным коэффициентом отличается от фундаментальной формы Л почти эрмитовой структуры (Т , с< ), присоединенной к три-ткани. Поэтому симплектичноеть структуры Л равносильна келеровосхи равноугольной рнмановой метрики с1ьи относительно почти кскплексной структуры Т . Теорема 2.9 дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы ({.орла П опреде-г ляла симплектическую структуру на многообразии М .

Изоклиннне подмногообразия три-ткани являются лагранжевш.га подмногообразиями многообразия М относительно симплектической структуры 57 .В частности, лагранжевыми подмногообразиями являются слои, образующие три-ткакь. Поэтому три-ткань XV(3,2,г) ,

на которой Форма 57. определяет симплектическуя структуру, будем называть лагр;шжевой три-тканью.

¿алее рассмотрены необходимые и достаточные условия лагран-жевости изоклинной три-ткани с равноугольной римаи-^ метрикой. Эта ткань выделяется тем, что чер^зз качедую ее точку :роходит од-нопараметрическое смейство изокл^нных подмногообразий, которые являются латрш-чевыми относительно симплектнческой структуры Л . Если все слои изоклинной три-ткани яаяяются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия .М в каждой из римано-вых связностей У , то эта три-ткань лагранжева.

Калоше два слоения лагранжевой три-ткани образуют лагранже- • ву два-ткань. С.Л.Табачников, изучая лагранжевы два-ткани в работе Г163 , рассматривал симплектические связности, сохраняющие эти ткани, то есть связности, относительно которых слои два--ткани являются вполне геодезическими подмногообразиями. Для лагранжевой три-ткани справедлива

Т е о р е м а 2.12. Риманоза связность V лагранжевой три-ткани является симплвктической связность», сохраняющей лаг--ранжеву два-ткань, образованную слоениями и .

' В третьей глав? "Примеры многомерных три-тканей с равноугольной риманопой метрикой" изучаются примеры три-тканей ({"метрикой, относящихся к специальным классам, выделенным в первой и второй главах.

В §1 в качества такого примера рассмотрена грассманова-три--ткань С№43,2,"О , порожденная гиперповерхностями X , У , Z проективного пространства Р , причем предполагается, что X - тангенциально невырожденная гиперповерхность. Асимптотический тензор | ^ тангенциально невыровденной гиперповерхности X определяет равноугольную ричаиову метрику с^1 на грассма-новой три-ткани. Грассманова ткань с такой равноугольной метрикой является лаграняевой тря-тканьд (теорема 3.1). С точки зрения геометрии почти эрмитовых структур грассм?дово многообразие

1) , несушее лагрзижеву грассманову грл-ткань О 'Л' 0,2,г ) , начнется почти келеровнм многообразием с почти келеровой структурой (I, с15* ). Имеет место

Теорема 3.3. Черзз каждую прямуя р проективного нрострайства Р , пркнгиугежящу? лагранжевой три-ткани

) . протопит (г -/)-параметрическое семейство дву-

мерных инвариантных и однопйраметрическое семейство г-мерных . антиинвариаатных подмногообразий почти келеровой структуры (7. ). Этими гюдмногоооразиями являются соответственно плоские поля прямых пространства г , носители которых есть двумерные плоскости, проходящие через р , и связки прямых . д . с центрами на р .

• В §2 вводится понятие трансверсально-изотропних поверхностей три-ткани с равноугольной ркгиановой метрикой и трансверсаль-но-изотрошшх три-тканей. Показано, что грассманова три-гкань 2,* ) с равноугольной римановой метрикой, определяемой асимптотическим тензором £ ;> тангенциально невырожденной гиперповерхности X , будет трансверсалыю-изотроиной ткань.о тогда и только тогда, когда X является гиперквадрикой (теорема 3.4). Б качестве примера трансворсалыю-изотрошюЙ грассмановой три—ткани рассмотрена ткань СIV (3,2, 'I ) , порождаемая невырожденной линейчатой квадрикоД X и дьукорнимп плоскостями У и 2 ' проект, 1ьиого пространства Р 1 .

В §3 на средней три-ткани Боля рассмотрена равноугольная . риманова метрики, определяемая тензором - О*. , в предположении, что отог тензор неиырожден. ^оказано, что псе слон этой три-ткани явлмяси вполне геодезическими подмногообразиями Несущего ее ¡.-июгообр ййд И относительно римшоьой связности V . Аналогичный результаты справедливы для левой и правой три-тканей Боля.

В §4 в качестве сле^,ацего примера три-тканей с равноугольной римановой метрикой р »осмотрена групповая три-ткань, порожденная полупростой группой Ли б . Рашоугольиая метрика на этой три-ткани определяется метрикой Кшшнг.1 группы Ли С . Все слои групповой трн-тк-ани, порожденной полупустой группой Ли С | являются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия С * С , несущего оту ткань, относительно каждой из ри-мановых связностей V

В §о рассматривался три-ткшш ¡.'.ураиг с невырожденным тензором и равноугольная рлманоьа метрика, определяемая- этим тензором, для этих тканей так.1Ш доказано, что все их слои являются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия М относительно каждой из римановых сьязноотей V . в качестве примера негрупповых три-тканей Му)анг, тензор г^ --Д^С, которых невырозден, рассмотрены ткани Кургнг, определяемые полив-

вши простыми алгебрами. Мальцева.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВШОС.ШЕ НА ЗАВДТУ

1. Изучен класс равноугольна ркмановых метрчк dsa , присоединенных к три-ткани. Эти метрики обобщают мегрм- >• Бляшке, присоединенную к двумерной трл-тйани. Доказано, что метрики являются эрмитовыми относительно почти комплексной структуры

J , инвариантно присоединенной к три-ткани. Метрика ds* инвариантно определяет почти симплектическуп структуру S2 на три--ткани. ' .

2. Выделены некоторые классы трк-тканей, обладающих специ^ альными свойствами по отношению к присоединенной римановой метрике .

'3. Изучены свойства почти эрмитовой и почти сгалплектичеокой" структур, присоединенных к три-ткани, рассмотрен вопрос о существовании двумерных инвариантных и 1 -мерных антиинвариантных Подмногообразий на многообразии, несущем три-ткань.

4. Построены примеры выделенных специальных классов три--тканей с помощью групповых три-ткан?й, тканей Муфанг, Боля и Грассманосих трн-тканей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивяс М.А. О три-тканях многомерных поверхностей // Тезисы докл. 3-й Прибалтийской геометрической конференции.- Паланга, 1968.- С.3-5.

2. Акивяс М.А. Многомерные три-ткани на дифференцируемом многообразии //, Резюме док-т. 1-ого Всесоюзного симпозиума по тео-ряи квазигрупп и ее применениям,- Тбилиси, 1968.- С.З.

3. Акивнс М.А. О почта комплексной структуре, присоединенной к три-ткани многомерных поверхностей // Тр. семинара кафедры геометрии / Казанский гос. ун-т.- Казань, 1975,- 8.- С.11-15.

4. Акивис К.А. Диф^ерендаатьно-ге.ометрическг» структура, связанные с три-ткаяью // Ткани и квазигруппы: Меявуз. темат. сб. науч. тр. / Калининский гос. уя-т,- Калинин, 1982.- С.З-б.

5. Акивис М.А'. Дифференциальная геометрия тканей // Итога наукя ,, ,1 техн. В.1НИГЛ. Проблемы геометрия.- 1983.'- 15.- С. 187-213.

6. Акивис М.А., Герасименко О.А. Многомерные ткани Боля // Ито-

ги наука техн. МШ'Л. Проблемы геометрии.- 19dü.- 1Ü.-

- 0.73-lÜb.

7. Акивас U.K., Шалехов A.M. Основы теории тканей.- палинин: »СалининскиЙ гос. ун-т, 19о1,- Ьо с.

8. Белоусов Н.д., Pühkob В.В. Геометрия тканей // Лтогн науки. В1ШТЛ. Алгебра. Топология. Геометрия.- 1972,- 10. - С.15Э--luö.

9. Кириченко В.Ф. Касательное расслоение с точки зрения обобщенной эрматовой геометрии // Изв. Вузов. Математика. -

- 19d4.- X V.- G.5Ü-UO.

10. Кириченко B.K Оообденная эрллтова геометрия в касательном расслоении // Изв. Ali 30JP. Физика. Математика.- 19о}.- 33, J* 3.- C.3ii3-3ob.

11. ,߀osc(ike Vf. icnjuUiuH^ сcht HUfen.--ймм:^- Stutt^itt: &C tk ka-.ti.ez , ios s-.

Л2. ßiaickke W. Smti^ductitue uCta qec>'>«txi'Q .

// Re^d.Sfи. Mjit. Mtssirt«. - I.- 5. Ii -S3,

13. feiautli« W^beCG. Gecf\4tx<e Ju CiuivC«.- btci:»: Spieet, f 3 äif55ГС? S.

14. ßoC <?. ftitft 3-Ge.utti< Cn VCetdCmtLn^CoHa^cn iau« // hAtk. J?t,n.~ IS 35.- ittP. -

15. Ch.em S.S. ti'ue Jnij'a. х^ич ¿e.< ¿kvpxte dtt i-GeuJe6e

üus l-'rfuMttou'inti'eM <.'n

R.,* // Haik. Sei«. ¿AwV. H^^iutp- i3SL".'

- ii. - S-ЬЫ- boä.

16. -Та ёа с A nt ко О Geowe tty LaijxctHgC an ¡x,<.J i/бдг»viitiS-u/tifb // Pxepti'iL / <j/ J?iko.*%a%,- Jhkcitisai , iäy/.-

Г1УШКАЦЛ.1 Ab ГОРА ijO ТЫ/.rJ ^иСлтЩМ

17. Богданов C.H. О рамановой метрике, присоединенной к тра-■ • -ткани // Тезисы докл. 27-Й Науч. кон1. -1ак. 4из

. естест. наук / Ун-т Другой пародов,- М., 1991.- С.143. , 18. Богданов D.H. Римановы и сшимектичесхае связности, присоединенные к многомерной тра-ткани / Моск. пед. гос. ун-т ' т. В.Л. Ленина.- М., 1992,- 25 е.- дай. в йШТЛ 28.ül.9:i » 2Э1-В92.

19. Богданов С.Н. О риыанових связностях многомерной тра-тйа-• на //'Тезисы дока. Междуна;/, науч. кощ.. "Дозачеьсклй а