Дифференциальная геометрия групп диффеоморфизмов и пространств ассоциированных метрик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

<- 41 г^ЧКАДЕМИЯ НАУК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ V Л Институт Математики СО РАН

^ О Специализированный совет Д 002.23.02

На правах рукописи

УДК 514

СМОЛЕНЦЕВ Николай Константинович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ И ПРОСТРАНСТВ АССОЦИИРОВАННЫХ МЕТРИК

01.01.04 - геометр!« и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1995

Работа выложена в Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.С.Мищенко,

Ведущая организация - Казанский ордена Ленина и ордена

Трудового Красного Знамени государственный университет

Защита состоится " 23 " ^фаля iqqs г. в " 10 " часов на заседании Специализированного Совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора физико математических наук при Институте Математики СО РАН по адресу: 630090, Н0В0сибирск-90, Университетский проспект, 4 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики СО РАН

Автореферат разослан "/9 " 1995г.

Учёный секретарь Специализированного Совета, доктор физико математических наук,

профессор А.В.Левичев

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Г.Борисович

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Топоногов

профессор

В.А.Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность теин. Тема диссертации относится к активно развивающемуся направлению, связанному с изучением бесконечномерных пространств, возникающих в дифференциальной геометрии. Примерами таких пространств служат группы диффеоморфизмов гладких многообразий, пространство векторных полей, пространство римзновых метрик, пространство комплексных и почти комплексных структур, пространство связностей в главном расслоении.

Первой работой по изучению пространств отображений одного конечномерного многообразия в другое и пространств сечений гладкого расслоения является работа J. Eels юбз г. [16].

. В 1966 г. В.И.Арнольд ввел в рассмотрение группу гладких диффеоморфизмов многообразия И, сохраняющих элемент объема м £и]. и показал, . что геодезические на группе представляют собой потоки идеальной несжимаемой жидкости. Эта работа в значительной мере стимулировала изучение групп диффеоморфизмов.

Являясь естественными аналогами функциональных пространств, данные пространства отображений и сечений существенно нелинейны «специфика имеется и в самой природе элементов этих пространств). Поэтому анализ таких пространств потребовал кроме определения топологии, введения локальных карт [1], [19]. Дополнительные сложности возникают в связи с тем, что пространства гладких отображений имеют структуру многообразий Фреше. Выход-был найден Х.Омори в .1970 г. Он определил [20 -21] на группе диффеоморфизмов, так называемую структуру ilb- <ilh- > группы Ли, рассматривая группу 3 как обратный предел банаховых многообразий S = Ип Як, Подробное изложение полученных результатов опубликовано в книге [21].

Х.Омори- показал, что iLH-группы диффеоморфизмов, действующие на многообразии И транзитивно и примитивно могут быть только следующими: вся группа 2)<Я> диффеоморфизмов, группа диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объёма ja, группа симплектических диффеоморфизмов, группа контактных

диффеоморфизмов. Группы из перечисленного списка принято называть классическими группами диффеоморфизмов. Они заслуживают всестороннего изучения.

Развивая идеи В.И.Арнольда, Д.Эбин и Дж.Марсден в работе [а] провели основательное изучение группы 25 и её связи с гидромеханикой. Ими была определена риманова связность на - группах Я и ® и доказано, что геодезические на 25^ существуют на малом промежутке времени и представляют собой потоки идеальной несжимаемой жидкости.

Одновременно с развитием теории групп диффеоморфизмов шло изучение других бесконечномерных многообразий, а именно -пространств сечений расслоённых пространств [1]. Из них наиболее интересными с геометрической точки зрения являются пространство Ж всех римановых метрик на И и пространство stf почти комплексных структур на и.

Первой значительной работой, посвященной изучению пространства Ж римановых метрик на компактном многообразии . U является работа Д.Эбина [15]. В ней получены результаты, лежащие в основе изучения пространства Л и действия на Ж группы диффеоморфизмов.. В 1986 Г.D.Freed И D. Groisser НЭШЛИ . [17] выражение тензора кривизны на Д и вид геодезических на Ж.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена изучению геометрии групп диффеоморфизмов и ассоциированных. метрик <метрик, согласованных с. дополнительно заданной симплектической или контактной структурой на многообразии М>,

Актуальность темы объясняется как гидродинамическими приложениями групп диффеоморфизмов, так.и их большой ролью в геометрии и физике. Важное значение групп диффеоморфизмов в дифференциальной геометрии обусловлено тем, что они естественным образом действуют на тензорных полях в виде замен переменных и в частности, они действуют на пространствах римановых метрик и почти комплексных структур. При этом фактор-пространство Ж/% представляет собой множество классов изометричных многообразий. Поэтому изучение пространства Ж и фактор-пространства Ж/ 2 является важной задачей .. римановой геометрии..Столь же актуальным является изучение пространств метрик на U с дополнительной структурой «например, симплектической или контактной>. в этом случае класс метрик

сужается до пространства 'ЛЖ ассоциированных метрик а сответствувдее фактор-пространство служит естественным с

дифференциально-геометрической точки зрения многомерным аналогом пространства Тейхмюллера.

Цель работы состоит в получении результатов многомерной гидродинамики с использованием груш диффеоморфизмов. в изучении аналогов уравнений гидромеханики, полученных как уравнения Эйлера на алгебрах гамильтоновых и контактных векторных полей, в получении результатов по геометрии классических групп диффеоморфизмов, в изучении их действия на пространствах ассоциированных метрик и построении дифференциально-геометрической теории пространств

ассоциированных метрик на компактном многообразии.

Методика исследований. При выполнении работа использовались дифференциально-геометрические методы.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, шляются новыми. В первой главе работы изучаются классические группы диффеоморфизмов. Показано, что группа % является подходящим конфигурационным пространством для гидромеханики идеальной баротропной жидкости. Найдена серия законов сохранения и получена.формула секционных кривизн одной слабой римановой структуры на 2>, возникающей при механической интерпретации группы

Аналогичные результата установлены для группы 25^. Особо рассмотрен случай трехмерного многообразия а3. Показано, что группа Э^й3» имеет биинвариантную квадратичную форму и исследованы её свойства.

Для группы ё точных симшгекгических диффеоморфизмов построена биинвариантная слабая риманова структура. Найдено уравнение Эйлера на алгебре Ж гамильтоновых векторных полей, получена серия законов сохранения, дано описание геодезических правоинвариантной римановой структуры на §. Получена формула секционных кривизн группы "§, которая затем применяется для вычисления секционных кривизн группы симплектических

диффеоморфизмов тора У24 и сферы Б2.

Аналогичные результаты установлены для группы 2>в точных контактных диффеоморфизмов.

В конце главы показано, что группа диффеоморфизмов,

сохраняющих элемент объёма м и ненулевое векторное поле X является п-н-гр.уппой Ли.

Во второй главе изучаются пространства римановых метрик и почти комплексных структур.

На пространстве Л римановых структур на многообразии М определён ряд новых слабых римановых структур, для них установлены формулы ковариантной производной, тензора кривизны, секционной кривизны, геодезических.

Затем изучаются пространство я(ш ассоциированных почти комплексных структур и пространство ассоциированных метрик. Данные пространства обладают тремя важными преимуществами: 1 > они "меньше" пространства А всех римановых метрик и пространства ' ^ всех почти комплексных структур, соответственно, и допускают хорошее описание; 2) использование почти комплексных структур и их большая гибкость по сравнению с комплексными структурами, даёт возможность применения при исследованиях дифференциально - геометрических методов; з> имеется естественное соответствие мевду ассоциированными метриками и почти комплексными структурами.

Получена серия ортогональных ортогональных разложений типа разложения Берже - Эбина пространства Э2 симметричных 2-форм и пространства БгА антиэрмитовых симметричных 2-форм.

Найдены формулы секционных кривизн пространства М и • фактор-пространства . Полученные результаты применяются для конкретного вычисления секционной кривизны пространств М и М/3 в случае, когда многообразие И является двумерной сферой Бг, либо тором 2*.

Аналогичные факты установлены для группы точных

контактных диффеоморфизмов.

В конце "главы доказано, что аналогом свойства зйнштейновости в случае ассоциированных метрик на симплектическом многообразии является свойство эрмиговости тензора Риччи и постоянства скалярной кривизны.

Отметим, что пространствам ассоциированных метрик посвящено лишь несколько работ Д.Блэра <см. например [1з-14]>, где показано, что критические ассоциированные метрики имеют эрмитов тензор Риччи.

Практическая значимость. Работа носит теоретический

характер. Её результаты могут служить основой для дальнейшего изучения груш диффеоморфизмов и пространств метрик, как в дифференциальной геометрии так и в смежных областях математики. Отдельные параграфы могут быть использованы для разработки и чтения спецкурсов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах: кафедры математического анализа КемГУ, кафедры геометрии и топологии НГУ, кафедры геометрии Казанского университета, кафедры высшей геометрии и топологии МГУ, кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ, топологическом семинаре МГУ, отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН; на Всесоюзной Школе по теории функций, посвященной юо-летию со дая рождения академика Н.Н.Лузина; на Всесоюзных Школах "Оптимальное управление. Геометрия и анализ", г. Кемерово, в ювб, 1988, 1990 годах; на "Понтрягинских чтениях г. Воронеж, 1993 г. и 1994 г.; на международной конференции "Лобачевский и современная геометрия", г. Казань, 1992 г-, на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике, посвященной памяти лауреата Нобелевской премии Л.В.Канторовича, 1994 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 статьях и 4 тезисах.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 171 наименования. Объём работы -зи страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ' Глава I. Классические группы диффеоыорфизиов.

В первом параграфе излагаются необходимые понятия и факты. Приведены примеры хин-групп Ли: группа Я всех гладких диффеоморфизмов компактного многообразия М, груша 2> диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объёма на №. груша 2>ш симплектических диффеоморфизмов, груша 2>в точных контактных преобразований.

Введём ряд необходимых понятий.

Пусть II - гладкое «класса (f > замкнутое риманово многообразие, ориентируемое, размерности п. Мы фиксируем на M гладкую риманову структуру g , скалярное произведение в касательном пространстве ТЫ мы будем обозначать скобками: <X,Y>x. Пусть ц - риманов элемент объёма на И. •

Рассмотрим группу 0 всех гладких : диффеоморфизмов многообразия М. она является [ie], [20] бесконечномерной группой Ли-Фреше. Алгебра Ли правоинвариантных векторных полей на 0 отождествляется с алгеброй Ли Г(Ш> гладких векторных полей на М.

Если ri е а, то касательное пространство Т^Ь к 0 в точке

де® есть множество всех гладких отображений V : U -> ТМ,

обладающих свойством: ot-V = 11, где ж: ТЫ -> M - проекция

касательного расслоения.

На группе 0 имеется естественная слабая риманова структура. Скалярное произведение в каждом касательном пространстве TJb выражается формулой:

CV.WÏ = J<Vc±» ,*<»> <#. . <1.1)

Термин "слабая" риманова структура объясняется тем, что скалярное произведение <i.i> определяет в I Э топологию более слабую, чем имеющаяся.

Пусть Я = С n е 0 ; ï\*fA = ju > - группа диффеоморфизмов,' сохраняющих элемент объёма м-

Слабая риманова структура <i.i> инвариантна относительно правого действия 0^ на 0.

Пусть V - пространство гладких элементов объёма на if, задающих ту же ориентацию на if, что и м. фиксированного полного объёма, равного объёму Vol с if. м> относительно ц.

Груша 0 транзитивно-действует на пространстве V :

V*2) --> V, <П.1>> -»

где п е 0, v е У, п* - кодифференвдал диффеоморфизма п.

Отображение

-► V , п->

является главным Я^-расслоением.

Определение I.I. Плотностью многообразия M , соответствующей диффеоморфизму ц относительно элемента объема м» назовем функцию р на U, определенную равенством

-г-

гп"*/V = ям.

Таким образом, = ян и поэтому мы будем в дальнейшем '

писать я = . опуская фиксированный элемент объёма щ.

Пусть -► К^ - гладкая, функция, определённая на

положительной полуоси для которой [/4<1 > является

единственным минимумом.

Композицию и^ру функции с плотностью р будем называть удельной внутренней энергией (жидкости) ¡1 [в]. Рассмотрим функционал

17 -> К, 1/сп> = ¡и^рур с1ц, р = ¥><П). <1.2)

м н

Число У«тр будем называть внутренней энергией «жидкости) И, соответствующей конфигурации п на й.

Кинетической энергией мы будем называть функцию Т: 22)-►

К, определённую равенством

КУ ) = % СУ ,У ) . <1.3)

Ч 2 г)' )) ч

Полная энергия Н = Т + и>л имеет следующее выражение: н = /с1уг + ^<Я>>Ясгм. <11-4>

м

Где V = <Ш~1(.У ), УеГЯ<=К&, я = V ¿К - правый

V Т} V п и ■ V ^

сдвиг.

Определим давление «жидкости) У следующим уравнением состояния [8]:

А

Р<Р> = р Яр • <1-5>

Жидкость и с так определённым давлением р называется идеальной бароторопной.

Напомним уравнения гидромеханики идеальной баротропной жидкости:

ц. + вырУ = о. Обратимся снова к содержанию диссертации. В §г данной работа показывается, что вся группа диффеоморфизмов 3) является подходящим конфигурационным пространством для гидромеханики идеальной баротропной жидкости.

Теореиа 1.1. Функционал и~.Ъ-> К имеет градиент

относительно слабой римановой структуры наЯион выражается следующей формулой:

GradtfCn) = сйД igradpcp>j, пе®, р =

где gradp<p> - это градиент функции р<р> на многообразии И.

Слабая риманова структура на группе Я позволяет определить обычным образом каноническую <риманову> i-форму в на касательном расслоении Т3>. Каноническая <риманова> 2-форма О на 22) определяется как внешний дифференциал i-формы в. Она задаёт симплектическую структуру на ТЗ.

Воспользуемся - правоинвариантной тривиализацией

касательного расслоения 2®,

R: 2) х Г(Ш) -► 2®,

R(n.V) = dR^CV) = V-n = V^.

Teopeua 1.2. Гашлыпонова система на Ш с гамильтонианом Н = Т + описывает движения идеальной баротропной жидкости на U. Другими, словами, кривая Cnt,Vft)) на T5b = 55 х r(ТМ) есть траектория данной гамильоновой системы в том и только в том случае, когда векторное поле V(t) на И является полем скоростей движения идеальной баротропной жидкости с плотностью p(t) где i\t -

поток на it, порождённый полем V(t).

Группа при действии справа является группой симметрии механической системы С 55, П, Я). Это позволяет получить следующие законы сохранения.

Теорема 1.3. Для любого бездивергентного векторного поля X на U при движении идеальной баротропной жидкости в И с полем скоросткй Vu плотностью р сохраняет постоянное значение величина

Jx = ¡<V,X<t>>pdn, <1.6?

и

где X<t> - векторное поле на Ш, увлекаемое из X потоком жидкости, т. е. такое что X<t,z> = dn4(XCn~\<£>J>.

Группа КМ> изометрий многообразия U при действии на 0 слева также является группой. симметрии нашей механической системы.

Теореыа 1.4. Для любой инфинитизимальной изометрии У многообразия ¡1 при движении идеальной баротропной жидкости в М с полем скоростей V и плотностью р, величина

= 1<У,У>/>сгц <1.?>

м

не изменяется со временем.

Если многообразие И является тором или сферой, интегралы <1.7> принимают вполне конкретный вид.

Получены законы сохранения, которые обобщают хорошо известные в трехмерной гидромеханике законы ' сохранения циркуляции поля скоростей и потока вихря.

Пусть - 1-форма, полученная из векторного поля V опусканием индекса при помощи метрического тензора.

Пусть Я с и - ориентированное подмногообразие размерности

2й, 2 < 2Н п. Если п^.М-> И - поток на И, то семейство

подмногообразий = п^Я) будем называть подмногообразием, увлекаемым потоком

Теореиа 1.5. Для любого 2к-мерного (2 < 2к £ п ) ориентированного подмногообразия Иа) <= и, увлекаемого потоком идеальной баротропной жидкости с полем скоростей У(г), следующий интеграл сохраняет постоянное значение:

Б = [ Ссйа )к. <1 .8)

N J У<1>

М< I >

В случае, когда подмногообразие С трехмерно, можно не требовать увлекаемости С потоком жидкости.

Теорема 1.6. Для любого гладкого трехмерного ориентированного цикла С <= И , величина

. 1 с = <1.9>

с .

сохраняется при движении идеальной баротропной жидкости с полем скоростей V.

Слабая риманова структура на группе Я обладает [а]

римановой связностью V. Тензор кривизны (? на Я выражается через тензор кривизны 1? метрики ё на и. Именно, если X ,

Т Я, то

V

ЯСХ ,У >2 ■= ей (1?<Х ,7 >2 ),

т? >7 17 17

где К,У ,2 - векторные поля на И, полученные из_ элементов правым сдвигом ей"1 в единицу. Поэтому для секционной

кривизны К а группы 0 в направлении площадки б = СХ^.У^), определённой ортонормированной парой элементов Х^ = сШ^Х, У^ = сШ^У имеем выражение:

к = се;<х ,у >у д > = Гк<х,у>рс*м, <1.ю>

о- 4 Т}' г? У? 17 ^ » .г I »

где р = К<Х,У> = <К<Х,У>У,Х>х- кривизна многообразия 1

Пусть V: 55 -» К - внутренняя энергия ий- некоторая

константа. Будем считать, что £ > Уо1<И,н>. Рассмотрим, открытую область 2)<й> <= ао, состоящую из диффеоморфизмов п е 20, для которых £/<п> < к. . .

Определим в области й<2г>. ещё одну слабую риманову структуру:

Показано, что данной слабой римановой структуре отвечает некоторая риманова связность ? . Геодезические.метрики <1.п> на 2><й> представляет собой траектории потоков идеальной баротрошой жидкости в и. Именно, если п4 - геодезическая, то можно выбрать параметризацию t = {<т> так, что поток П1(Т>:#

'-> и будет потоком . идеальной . баротрошой жидкости.

Параметризация ¿<т> выбирается из условия постоянства полной энергии потока п1<т).

Найдена формула секционных кривизн области 25с&> относительно метрики ci.ii>.

Рассмотрим главное 2>м-расслоение -> V. Слабая

риманова структура С1л> на 0 инвариантна относительно действия групш справа. Это позволяет определить на пространстве "V = слабую риманову структуру так, что

проекция ч> ^ будет римановой субмерсией.

В конце §2 получены формулы секционных , кривизн пространства V элементов объёма для слабых римановых структур на V, полученных из <1.1> и <1.и> на группе й.

Третий параграф посвящён изучению . группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема щ на ¡1. Как уже отмечалось, группа служит конфигурационным пространством для гидромеханики идеальной несжимаемой жидкости. Содержание

§3, во многом, соответствует второму параграфу. Показана гамилътоновость уравнений гидромеханики идеальной несжимаемой жидкости, найдена серия первых интегралов. Показано, что геодезические на не имеют самопересечений, кроме случая простых замкнутых геодезических.

Результаты о кривизне группы 2> в случае двумерного тора получены В.И.Арнольдом [п.] в 1966 г. В дальнейшем кривизна группы изучалась А.М.Лукацким [4 - б] в случае, когда многообразие Ы является n-мерным тором или двумерным компактным многообразием.

В §з данной работы получена общая формула секционной кривизны группы 2) в случае любого многообразия. Формула использует скобки Ли векторных полей на И и оператор А"1, обратный к лапласиану А = - div.grad.

Пусть

Р: Г(ТН) —> Tjn^

- ортогональная проекция пространства Г (ТЫ) векторных полей на И на пространство бездивергентных векторных полей на if в соответствии с разложением Ходка.

Теорема 1.7. Секционная кривизна группы в направлении двумерной площадки в, заданной ортонормированной парой векторов X.Y е TJbвыражается формулой:

Ка = ~ ^X.lcX.Yi.Yl) - y.iX,cX,Y2l,Y) - |ссХ,Гз,сХ,Уз) -

- CP<vxX>, Р<7у7» + <1.12

+ 3(РС7ХУ + PCVX7 + v^».

При этом члены, содержащие проектор Р могут быть записаны в следующем виде:

(Рс?хУ + vvx>, р<7хУ + vyZ>) = J<vx7 + vj + vy£> -

м

- 4J div<V y>A"1<dlvV y>dfA, м

(P<? P«? 7>) = [<vvZ,v y>d)U - jdivcv Z>A""1div<<? Y>d|u

X I Y л ж

M M

В четвертом параграфе рассматривается трёхмерный случай. На трёхмерном римановом многообразии М3 определено векторное произведение и оператор rot. Это позволяет ввести на алгебре

Те2>а точных бездивергентных векторных полег на и инвариантную симметричную форму.

Напомним, что векторное поле X на М наывается бездивергентным, если <п-1)-форма 1хи - замкнутая, где 1х -внутреннее произведение. Поле X называется точным бездивергентным,если <гс-1>-форма 1хц - точная.

Существует [20] и-н-группа Ли Яа <= 2>м» алгеброй Ли которой служит алгебра Т%а точных бездавергентных векторных полей на №. Группу назовём группой точных диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объёма м-

Инвариантная форма на определяется следующим

образом:

<Х,У> = ^.гоГ'У^сгм. <1.13)

м "

Эта форма невырожденная, но не положительно определённая.

Теорема 1.8. Билинейная форма <1.13> на алгебре Ли Те2>д группы. Ли Ъд определяет и.н-гладкую биинвариантную форму на п-н-группе Ли 2>э. Сигнатура квадратичной формы, соответствующей <г.1з>, равна ц-инварианту многообразия II.

Наличие биинвариантной невыроященной симметричной формы на и правоинвариантной кинетической энергии позволяет записать уравнения гидромеханики идеальной несжимаемой жидкости в виде уравнения Эйлера на алгебре Ли , следуя

общей конструкции работы [7].

В заключение §4 исследуется кривизна группы й^М3).

Секционная кривизна биинвариантной метрики в направлении двумерной площадки в, заданной ортонормированной «относительно «1.1з>> парой векторов Х,У е Т^д<М3>, выражается формулой:

где х - векторное произведение.

Секционная кривизна группы 2>а<М3> относительно правоинвариантной слабой римановой структуры устанавливается следующей теоремой.

Теорема 1.9. Секционная кривизна группы 2>д<Мэ> в направлении двумерной площадки е, заданной ортонормированной парой векторов Х,У е Ге2> <На>

выражается формулой:

Ка = ~ Ц<Х.[сХ.Гз.Г]^ dfi - У<[Х,сХ.Уз],У>хс1м -

м м

- ffccX.Ya.cX.Y^dn + J<rot~1[X,rotX],YxrotY> dM - <1.14)

ы м *

- ij< rot"4tX,roiY] - [rotX,Y]> .XxrotY - rotX*Y >d|4.

Формула <i.i4> принимает более простой вид, если X и Y собственные векторы оператора rot.

В §5 рассматривается симплектичесное многообразие if,а и группа 5Ви симплектических диффеоморфизмов.

Алгебра Ли 2* 2)ы группы -состоит, из локально

гамильтоновых векторных полей на U. Пусть X - алгебра гамильтоновых векторных полей. Ей соответствует [22] ilh-груша Ли ¡5 , которую мы будем называть группой точных симплектических диффеоморфизмов.

На алгебре Ж определено инвариантное скалярное произведение. Если XF, Хн е то

<XF,XH> = JfcxHKzxo", <i.is)

м

где F, Н - функции на М, которые служат гамильтонианами полей XF и Хн. Для того чтобы гамильтониан Я определялся по своему векторному полю Хн однозначно, мы требуем, чтобы

¡Hcx>dn<xy = о.

м

Пространство таких функций на М обозначим <7^<lf,(R). Лапласиан Д

= -div-grad определяет изоморфизм А:С™<М,Ю -> . R>.

Поэтому определён обратный, к лапласиану оператор А"1.

Скалярное произведение <i.i> на Ж выражается через инвариантное скалярное произведение <i.is> следующим образом:

<XF,XB> = <ХДг,Хн>. <1.1б>

Теорема 1.10. Слабая риманова структура на ^.подуче? ная из скалярного произведения <1 .ib> на Ж при помощи правы сдвигов, является биинвариантой и ilh-гладкой.

На алгебре Ж имеется инвариантное скалярное произведение <i.i5) и функция кинетической энергии Т. Следуя обще

- is-

конструкции, предложенной в работе [т], можно ..написать уравнение Эйлера. В нашем случае оно выгладит так:

fyAF = <Д F,P> <1.173

Показано, что'данное уравнение описывает геодезические на груше S в том смысле, что если F<x,t> - решение уравнения <i.17>, то поток nt на U, порожденный гамильтоновым векторным полем ХР(1 х) является геодезической на 3 метрики <i.i>. Обратно, если nt - -геодезическая на 5, то векторное поле

скоростей XF = c2ñ^l<3fIlt> имеет гамильтониан F.

удовлетворяющий уравнению <i.i7>.

Теорема I.II. Пусть F = F(t,x) - решение уравнения Эйлера <i.i7>. Тогда следующие величины не зависят от времени t:

L = !<*r«v = Ф&т.

и

Ik = J<AF>kdH.

м

Следствие, геодезические на группе 3 не могут иметь самопересечений.

Во второй части §5 изучается кривизна груш 2>ш и

Относительно биинвариантной метрики кривизна группы имеет стандартный вид. Для правошвариантной метрики на получена формула секционной кривизны группы аналогичная o.i2>. которая в случае группы "§• принимает вид, удобный душ вычислений.

В качестве примера применения установленной формулы, найдены секционные кривизны группы симплектических диффеоморфизмов, тора Г24 = IR24/2atZ2<í. .

Рассмотрим двумерную площадку а <= образованную

векторными полями XF,XH с гамильтонианами

F = cos<nz + ту), Н = cos<&r + Zy>, при условии я2 + «!z / О и гг + I2 / о,

Для биинвариантной метрики получаем выражение:

К = ímk " п1>\ <1 ,18>

к

Для правоинвариантной метрики: <тк - nl>* пг + тг+ &2+ I2

C2n>zq <п2+т2><й2+1гх<п-й>г+<и-г>2)С<п+й>2+<ш-г>2)

В случае Н = sinc&r + Zy> мы получаем точно такие же формулы.

В двумерном случае Г2 секционные кривизны были впервые найдены В.И.Арнольдом в 1966 г. В случае сферы S2 кривизна группы 3U<S2> изучалась A.M.Лукацким [4]. Общее выражение кривизны группы 2)ш<52> получено Аракеляном и Завидней в issa г. Сю]. Их выражение использует з^символы Вигнера, определение и вычисление которых весьма непросто. Поэтому имеет смысл прямое вычисление на ЭВМ секционных кривизн группы 0a)<Sz> по нашей формуле.

В конце §в в системе- аналитических вычислений reduce вычисляются секционные кривизны группы ®U<SZ> как относительно биинвариантной, так и для правоинвариантной метрик. Двумерные площадки е с ж задаются двумя сферическими функциями. Результаты вычислений приведены в таблицах г- - з. Оказалось, что кривизна группы Z>W<S2> может быть любого знака.

Содержание §6 во многом соответствует пятому параграфу.

Мы рассматриваем регулярное контактное многообразие if,б и группу 2>0 точных контактных преобразований п , т.е. таких, что п*е = е. Алгебра Ли группы состоит из контактных

векторных полей X на М, т.е. таких, что 1хв = о.

Если X е ТеЯе - контактное векторное поле, то функция / = 9<1> назьвается контактным гамильтонианом поля X, а само поле X обозначается обьгсно Хг Нетрудно заметить,что

Xs = /£ - <pgrad/, <1 ,ia>

где t - характеристическое векторное поле контактной структуры 8, а функция / постоянна на траекториях векторого поля I.

Груша 25 в обладает естественной правоинвариантной слабой римановой структурой <i.i>.

Введём ещё одно скалярное произведение на Т 3 :

<xt,Х > = ¡fgdfx. <1,20>

9 м

Легко видеть, что оно инвариантно относительно присоединённого действия группы й9 на Т$> . Поэтому <1.2о>

определяет биинвариантную слабую ртапову структуру на групш

Для группы 2в получены результаты, аналогичные тем, которые установлены Для йм и§.

Особо рассмотрен случай трёхмерного контактного многообразия И3. Поскольку йе<М3> - подгруппа в , то на

®е<#э> индуцируется биинвариантная слабая риманова структура <i.i3> группы 0|J<ii3>. Возникает вопрос о её связи с <i.2o>.

Теорема 1.12. Если контактная метрическая структура ка ¡1 К-контактна, то инвариантные скалярные произведения <i.i3> и ci.2o> отличаются числовым сомножителем,

<xf,x >D = -з<х,,х >D . <i.2i>

a И a e

Б конце §e найдены секционные кривизны группы £>9<S3> через структурные константы алгебры 3C<S2>, которые можно считать известными по работе [ю].

Завершает §6 таблица секционных кривизн группы 0e<S3>, вычисленная на ПЭВМ в системе аналитических вычислений reduce.

В §7 рассматривается вопрос о том, когда группа $х диффеоморфизмов, сохраняющих векторное поле К на и является . iLH-группой Ли. Этот вопрос интересен тем, что действие группы диффеоморфизмов 0 на векторных полях на U это

присоединённое действие 0 на своей алгебре Ли Г<ТИ>.

Теорема I.I3. Если гладкое векторное поле X на И Оездивергентно и нигде не обращается в нуль, то группа 0X(J = является замкнутой ILH-nodгруппой

группы Её алгебра Ли TJbXii состоит из бездивергентных векторных полей на U, коммутирующих с X.

Биинвариантная квадратичная форма <i.i3> на алгебре Те2>д<иэ> выражается через оператор rot. Такой оператор можно определить и на семимерном многообразии И7 при некоторых топологических условиях на if7. Поэтому естественно поставить вопрос о том, будет ли биинвариантной форма о .1з> на алгебре точных бездивергентных векторных полей на М7.

В §8 показывается, что ответ на этот вопрос отрицателен.

Глава 2. Пространства ассоциированных цетрик.

В § 1 излагаются необходимые понята и факты, относящиеся к пространству Ж гладких римановых метрик на многообразии И, полученные в работах [16], [17], [18]. Изложены также результаты Эбина о срезе действия группы диффеоморфизмов на Ж.

Пусть Э2 = Г(5_,Ю - пространство Фреше гладких симметричных 2-форм на Н в С^-топологии Уитни.

Пространство Ж римановых метрик является открытым выпуклым конусом в пространстве Фреше Э.,. Поэтому касательное пространство Т^Л в любой точке § е ж совпадает с Эг. Каноническая слабая риманова структура на Ж определяется равенством: для а,ЬеЗг = Т^Ж,

(а.Ь) = /1г(б-1ад-1Ь)сгм<в> = №к8*\.Ък}ф1 . <2.1)

4 м м

где = (detglJ)1/zf±r1л.. ,лсй:л - риманов элемент объёма.

Во втором параграфе излагаются результаты автора по геометрии пространства Ж относительно введённых им других слабых римановых структур на Ж.

Рассмотрим слабую риманову структуру на Ж вида:

<а,Ъ> = Дг^ав'^с&кв), <2.2>

9 м

где а,Ъ е Эг, go - фиксированная метрика на П.

Будем использовать в дальнейшем следующие обозначении:

А = в = Аа = ё'^а, Со = ё'01в. <2.з)

Пусть <1Ъ - производная по направлению а векторного поля Ь = ь<в) на д.

Тёореыа 2.1. Слабая риманова структура (2.2) на Ж имеет следующие характеристики:

1) ковариантная производная

Б Ъ = сг Ъ + к1г<4)Ъ +■ 1г<в>а) - ^г<АВ>ё С,

а а 4 4 о о ^о

2> тензор кривизны К<а,Ь)с = - т4(<41г<Л<7> + 1г<ЛНг<С))Ь -

- <41г<ВС> - 1г<В>1г<С>>а) -С >в (4В + ЬгВЮ + \lrtriBCyg (4А + +

10 О О '-'о 10 О О

+ щичсЬагч^смЬ - ичВ0С0>а>.

з-> геодезические на Ж являются решениями следующего дифференциального уравнения 2-го порядка,

р(в)§ ) = ЧС,

где й = Щх) - функция на и, не зависящая от в.

.Рассмотрены также следующие слабые римановы структуры:

(а,Ь) = ¡1г<.АВ>сЦхсво), <2.4>

9 м

Са,Ъ)а = ¡1г<АВ >с1щ<е) + а|гг<А Нг<В >сгц<в>• <2.е>

3 м и

Для них найдены ковариантная производная, тензор кривизны, секционные кривизны и вид геодезических.

В заключение рассм а тривается нериманова связность на А, которая сохраняет билинейную форму

О<а,Ъ> =|1г<4ПгчВ>(*м<ё>

и

и определяется следующей ковариантной производной:

V Ь = 6 Ъ - 1<аВ +ЪА> + ¿аг<А>Ъ + Ы<в>а).

а о « о

Теореиа 2.3. и Тензор кривизны связности V выражается формулой

&(а,Ъ)с = ~8[[А,ВЗ,С] - ¿агс^Ь - 1г<В>аИг<С>.

2> Геодезические на А, выходящие из точки Д в направлении Ао = + В, 1г(В> - о имеют вид:

=

г <{зг + ±т<.рг + 1>в ), р о

[ g ехрШ>, О = о.

Пусть 8* - пространство гладких комплексных структур на римановой поверхности Я2. Группа 3><М2> диффеоморфизмов многообразия И2 естественным образом действует на пространстве

si. Если ao - компонента единицы группы 2кй2>, то фактор-пространство si/ao есть конечномерное многообразие - это пространство Тейхмгаллера римановой поверхности Мг.

При обобщении теории пространства Гейхмюллера на случай многообразия И большей размерности, естественно сначала рассмотреть трёхмерные многообразия Jf3. предполагая, что на них задана контактная структура <мы учитываем, что двумерные римановы поверхности обладают симшгекгической структурой». На роль пространства si комплексных структур подходит простанство Же контактных метрических структур на контактном многообразии

к,е.

Такой подход был предложен Блэром в юво г. [13J. Он показал, что если й3,в - контактное многообразие, допускающее Я-контактную метрику, то фактор-цространство Д0/й0 бесконечномерно и сформулировал гипотезу о том, что если ограничиться пространством % Я-контактных метрик, то ЭС/2>9 -конечномерно. Напомним, что контактная метрическая структура g называется Я-контактной, если характеристическое векторное поле t контактной структуры киллингово.

В §з показано, что предположение Блэра неверно.

Теореиа 2.4. Если контактная структура на многообразии Ыэ регулярна, то фактор-пространство бесконечномерно.

Для регулярной контактной структуры векторное поле £ поровдает свободное действие единичной окружности S1 на М. В этом случае M/S1 = N - гладкое компактное двумерное многообразие. Пусть р - род поверхности ff.

Пусть SC. - пространство всех гладких Я-контактных метрик на U постоянной скалярной кривизны, равной с.

Теореиа 2.5. Если контактная структура на Ua регулярна и допускает K-контактную метрику постоянной скалярной кривизны с < -2, то пространство %с/3>во является гладким многообразием размерности ар-е.

На двумерном ориентируемом многообразии имеется естественный способ связать с каждой почти комплексной структурой риманову метрику. В многомерном случае такой возможности нет. Однако она появляется, если на многообразии И

считать заданной симплектическую структуру а.

Определение 2.1. Почти комплексная структура <п.к.с.> J на симплектическом многообразии ¡1, а называется положительной ассоциированной с ш, если для любых векторных полей X, У на М, 1> = а><Х,У>,

2> (¿><Х,.7Х> > о, если X о.

Цусть - пространство всех положительных

ассоциированных п.к.с. на И.

Имеется естественное соответствие между п.к,с. J из и римановыми метриками на П. Именно, каждая п.к.с. J е определяет риманову метрику я на И равенством: ;

ё<Х,У> =

Так определенная метрика g на и также называется ассоциированной.

Пусть - пространство всех ассоциированных римановых метрик на И. Это бесконечномерное многообразие Фреше. Его касательное пространство Т&& совпадает с пространством 5гд всех антиэрмитовых симметричных г-форм , т.е. таких форм к, что для любых векторных полей Х,У на М,

Л^Х.Л") = -7г<Х,У>,

где J - почти комплексная структура, соответствующая метрике

В §4 получены разложения типа Берже - Эбина £12] пространств Эг и 52А, связанные с действием групп 2>ш и симплектических и точных симплектических диффеоморфизмов.

Пусть = - ковариантная производная, <*д(Х>

Ь^в - производная Ли метрического тензора ё и Х„ - 1-форма, полученная из векторного поля X опусканием индекса.

Теорема 2.6. Пространство Б2 раскладывается в прямую сумму ортогональных подпространств

5, = Б* © а (.Т £> <2.е>

2 2 д е

Каждая форма К <£ Бг однозначно представима в виде

И = Н* + Ъф,

где Ьф - производная Ли вдоль гамильтонова векторного

поля X, а И* обладает тем свойством, что dlvJЬ 1г* = о.

9

Следствие. Пространство 52Д раскладывается в ортогональную прямую сумму

= в* в в (I 8 ) <2.7>

2 А 2 А д е

где 5*Л состоит из антиэрштовых симметричных 2-форм Н таких, что divJ5 Ъ = о.

Пусть Ън - эрмитова компонента формы Л и - форма, определённая равенством: Л<Х,У> = ЫХ.Л^у.

Получен также ряд более тонких разложений, из которых в частности следует, что пространство 3*д бесконечномерно.

Теорема 2.7. Каждое тензорное поле К е Бгл однозначно представимо в виде

К = П° + Ь^ё + Ь^В, <2.85

где X - локально гамилътоново векторное поле , определяется по И0, векторное поле У и 2-форма К° обладают свойствами:

1> 8 = о,

9

2> = -л(<Хуа>н),

з> с.7<ДУ - дгас!с11уУ - 2(?1с^>Уэ)Д - аГ-точная 1 -форма.

В §5 мы находим секционные кривизны пространства М ассоциированных метрик и фактор-пространства МСЗ.

Пространство всех гладких п.к.с. есть пространство гладких сечений расслоения, поэтому оно является [1] гладким бесконечномерным многообразием.

В §б определены другие, более естественные карты на

Координатную окрестность ии^ элемента Jo выберем так:

У<«70>={^ е 1 - - изоморфизм ТУ }.

, В качестве модельного пространства для координатной окрестности U<Jo> возьмём пространство Фреше Е<<7о> гладких

эндоморфизмов Р:ТМ-► ТМ, антикоммутирующих с J0, P<■J0 =

-J0'P^ Отметим, что E<Jo> - это бесконечномерное комплексное векторное пространство. Комплексная структура ■ на Е<<10>

определяется оператором Jo:E<■Joi -» Е<,7о>, J0<P~> =

Координатное отображение ср задаётся при помощи преобразования Кзли, а именно:

Ф: иио> ->

<2.0)

<р<«7) = <1 - 1Г(71Ч)"1<1 + J е £Г</0).

Если Р = ср <J), то очевидно

J = <7 <1 + Р)<1 - Р) . <2.10)

о

Полученный атлас на х является аналитическим. Матрица оператора Р в локальном базисе сечений а 1.....ап,

■ ■-з^ расслоения !ГИС = Т10^) ф Т01^) имеет ввд:

р" = Р!.

г, :•)•

где Р^ - матрица комплекснозначных функций.

Координатная карта <2.9) удобна для описания положительных ассоциированных п.к. с. Je

Теореиа 2.8. Почти комплексная структура J принадлежит пространству sfj~$J(J0) тогда и только тогда,

когда оператор Р = <p(J) симметричен, а оператор i-P* положителен относительно римановой метрики gQ.

Используя формулу <2.ю) легко получить выражение метрики g, соответствующей п.к.с. J, через риманову метрику go=G<Jo) и оператор Р = <р<J):

g<X,7) = g <<i+P)X, <i-P)_1Y>

° <2.11) = g <<i+P>X, <i+P)DY),

О ä

где D = <i -PV\ -

Напомним , что многообразие M обладает слабой римановой структурой <2.1), Непосредственно проверяется, что скалярное произведение <2.i> эрмитово относительно п.к.с. J на М, J aiX,Y> = a<-X,JY>.

Теореиа 2.9. Секционная кривизна многообразия sШ в направлении двумерной площадки, определенной парой 2-форм а, bei stM неположительна и выражается формулой

i

Жа,Ь>= -—- ftr(t/4.B]2)dM. <2,12>

4II II м

В частности, голоморфная секционная кривизна имеет вид:

K<a,Ja> ----— Jtr (4*>cím. <2.i3>

4ii ап м

Группа 3 точных симплектических диффеоморфизмов многообразия Ы естественным образом действует на пространстве &А ассоциированных метрик на Af. Фактор-пространство <4А/&, вообще говоря, не является многообразием, так как имеет особенности, отвечающие тем метрикам g, у которых груша изометрий Kg> имеет нетривиальное пересечение с группой "§.

Вычислим кривизну &А/& в регулярных точках [g] = gS, т.е. в таких, у которых Г<g>ng = Се>. Множество таких классов [g] открыто и всюду плотно в sэто вытекает из теоремы о срезе-действия 2? на <АА [15].

Слабая риманова структура <2.1> на s€А инвариантна [15] относительно действия группы Поэтому на регулярной части пространства s€М/& естественным образом определяется

слабая риманова структура такая, что проекция р: з(А-► síA/§

является римановой субмерсией .

В § 4 показано, что горизонтальное подпространство Яд состоит, из.антиэрмитовых симметричных 2-форм а таких, что divJ5 а = о.

9

Введём следующие величины, i> эллиптический оператор 4-го порядка:

Е : (f°<Jf,K» -> (f><A.,\R>, Е </> = divJ8 a Jgrad/,

g g ' ■ g 3 '

очевидно, что его ядро состоит из постоянных функций;

2> дифференциальный оператор i-го порядка [12]:

□ : s2 -► T(S2M ® т,

(oa)k. = ак. =| (v ак + ?.ак - vka ), а е S .

VJ 1J 2 V ¡ J V Ij 2

Определим свертку па и Ь^а с симметричной 2-формой Ъ: ша,Ь>к = ak.bli, <6 а,Ъ>к = Ък<а а>\

1-J 9 13

Введем обозначение:

-2 5"-

/

{а,Ъ} = <& Ъ,а> + <оЬ,а> - <& а,Ъ> - гаа,Ь>.

9 9

Теорема 2.10. Пусть - регулярная точка

фактор-пространства &Ж/& и ^ е - любая метрика из класса

Сё]. Секционная кривизна К<а,Б> пространства в

направлении двумерной площадки, определенной парой

векторов а, Б е.1 выражается формулой

Ша,Ъ> = Яса,Ь> + С2.14-»

+ 3 " Г<сЛуЛа,Ь»<Е"1<сЛуЛа,Ь}>)сгиСй>),

4« а^Ы и 9

где а,Ь «= Т^М - горизонтальные лифты векторов а, Ъ, К^а.Ъ* -

секционная кривизна пространства М.

Б следующем, шестом параграфе результаты, полученные в §4 и §5 используются для изучения ассоциированных метрик на сфере Б2 и торе 2*.

Рассмотрим тор 2* = Кг/2я2г с координатами сг.уэтоагя, плоской метрикой go = вхг + ей/2.

Ассоциированная метрика задаётся эндоморфизмом Р, который в данном случае определяется одной комплекснозначной функцией р<х,у> на торе Т2. Функцию р<я,у».запишем в виде р = ге4* = гчсобф + {б1п<р>, где г = г<х,у>, <р = <р<а:,у> - функции на торе 2*. Тогда:

ё<Р> = _!_(■ 1+Г2+2ГСО5¥. -гг.1пр 1 <2ЛВ>

1-Г21- -2Гв1пр 1+Гг-2Гсозр

Полную ортогональную систему функций на торе I2 образуют функции

Рк1 = е><кх+1у>, ' й,1 6 г. <г.у> € 2*.

Найдена кривизна Д = дег^<р> Д1г12 ассоциированной

метрики я<рк1>. Для семейства метрик gt = имеем

следующее выражение гауссовой кривизны:

А = --р<<Й2-1г>С05<&Е+1у> - 2Й151пСЙХ+1у)) <2.16>

Пусть £ е м - любая ассоциированная метрика и «7 -соответствующая ей комплексная структура. Заметим, что элемент объёма ^l.<g> совпадает с симплектической формой о = сйхф. Выберем на Т* поле ортонормированных с относительно ё>

реперов е4, е2. Пусть а4 = |<е4 - £ег>, = \<е1 + {ег> -

соответствующее поле комплексных реперов.

Как изве имеет матрицу

Как известно <§б>, в комплексном репере элемент а е Т^'ЛА

о а ■'

где окг,у) - комплексная функция на Г2.

Функции е1<|сх<'1у> образуют полную ортогональную систему функций на торе Г2. Они определяют комплексный базис в Вещественный базис пространства Т^&Л соответствует функциям

со5<&с+гу>, 51п<&х+1у>, <2 17)

Вычислена секционная кривизна Я<а,Ь) пространства в

случае, когда элементы а и Ъ задаются функциями системы

<2,17>.

Пусть Жа,Ь) - секционная кривизна пространства М в направлении площадки ез, образованной элементами а, Ъ.

Рассмотрим плоскую метрику ёо = вгвг на Г2. Пусть оператор Р задаётся функцией р = и + IV. Тогда соответствующий Р квадратичный дифференциал а = гgoP = рс1г<±г +

рсбсй в вещественном базисе с£г, ф имеет вид

а = 2исЬСг - 4ХХШу - 20гу2.

Горизонтальное пространство Э*д, ортогональное к орбите с ЛЛ состоит из квадратичных дифференциалов а = рс£г2

+ рс2гсй, удовлетворяющих уравнению

сЛУ^ а = = <2.18)

9 эя2 <?у2 дхдУ Найдём секционную кривизну фактор-пространства М/"§ | в

случае, когда в качестве элементов а,Б е тс ¿М/З) берутся горизонтальные формы а, Ъ, задаваемые функциями вида:

cosfcc. sinfer. cosly, SinZj/, к, l <= Z, <2.19)

icospcz+y>, {sinpcx+j/>. <2 20,

Icosgcx-yi, islnqix-ye Z.

Теорема 2.II. Секционная кривизна Ша,Ъ) пространства ЫЖ/'З в точке с$оз в направлении горизонтальных форм

а,Ъ <= Т принимает следующие значения:

9 о

о если а есть cos&r или sin&c, ар- есть cosly или sinZy, то

Ш.Ь) =

2 -1 2

з ЙП 80t2 <fc2+ZZ>2'

в остальных случаях вещественных функций, 3£<а,£> = о,

1> если а есть (соирсх+у> или 1Б1пр<х+у>, ар- есть (созд<л-у> иди С з1пд<х-у>, то

ШЬ) -

32Л; <р+дг>

6 остальных случаях чисто мнимых функций, 2£<а,£> •= о, з) если а - леЯая вещественная функция из <2.19> и - любая мнимая функция вида <2.го>, то

Ша.Ъ) =

4ТС

В параграфах 7 и в изучаются ассоциированные, метрики на регулярном контактном многообразии. Установлены теоремы, аналогичные теоремам 2,6 - г.ю. Рассмотрим функционал

й< g> = jr<g>d|m<g>,

где - скалярная кривизна метрики g. Как известно [з], критические метрики этого функционала на пространстве Ж представляет собой эйнштейновы метрики.

Если функционал К мы рассмотрим на пространстве М ассоциированных метрик, то его критические метрики имеют

эрмитов тензор Риччи [14].

Важным свойством пространства S Л эйнштейновых метрик на M является конечномерность пространства модулей £М/2>. В случае ассоциированных метрик такой конечномерности для множества критических метрик мы не имеем. ■ Возникает вопрос о дополнительных условиях на ассоциированные метрики, при которых соответствующее факторпространство критических метрик является конечномерным.

Основной результат §э заключается в том, что таким .условием является постоянство скалярной кривизны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрахам Р. Трансверсальность отображений. - приложение з к книге Лент С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М., Мир, 1967.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1974.

3. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, тл и т.2. - м.: Мир,

1990.

4. Лукацкий А.У. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру двумерной сферы. - Функц. анализ и его прил.,

1979, Т.13, ВЫП.3, 23-27.

в. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру n-мерного тора. - Сиб. мат.журн., 1984, т.25,

Мв, 76-88.

е. Лукацкий A.M. О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру двумерного компактного многообразия. - Сиб. мат.журн., 1988, т.29, №в, 95-99.

7. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных грушах Ли. - Изв. АН СССР. Сер. мат.,, 1978,

Т.42, №2, 395-415.

8. Седов Л.И. Механика сплошной среда., тл, М.: Мир,

1973.1972, Т.27, В.2, 77-133.

9. Эбин Д.. Марсден Д. Группы диффеоморфизмов и движение несжимаемой жидкости. - Математика, 1973, № 5, 142-167, tfe,

111-146.

10. Arakelyan Т.Д. , Sawidy G. К. Geometry of a group of area-preserving diffeomorphisms. - Phys. Lett. - В, 1989, v.223, no.l, 41-46.

11. Arnold V. Sur la geometrie différentielle des groupes de Lie de dimenzlon infinite et ses applications a 1'hidrodynamique des fluides parfaits. - Ûnn. Institut Fourier., 1966, v. 16, No 1, 319-361.

12. Berger M. . Ebin D. Some decompositions of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold. - J. Different. Geom., 1Q69, v. 3, № 3, 379-382.

13. Blair D. E. On the space of riemannian metrics on surfaces and contact manifolds. - Lect. Notes Math., 1980, N. 792 , 203-219.

14. Blair D. E. , I anus S. Critical associated metrics on symplectic manifolds. - Contemporary Math. , 1986, v. Б1 , 23-29.

15. Ebin D. The manifold of riemannian metrics. - Proc. Symp. Pure Math. , v. 16, ûmer. Math. Soc. , Providence, R.I. , 1970, 11-40.

16. Eel IS J. On the geometry of function spaces. -Symposium de Topología Algebra, Mexico, 1958, 303-307.

17. Freed D. S. , Groisser D. The Basic Geometry of the Manifold of Riemannian Metrics and of its Quotient by the Diffeomorphisms Group. - Michigan Math. J. , 1989, v. 36, № 3, 323-344.

18. Gil-Medrano 0. , Michor P. The Riemannian manifold of ail Riemannian metrics. - Qjart. J. Math. Oxford, 1991, v. 42, № 2, 183-202.

19. Lesl ie J- On a differential structure for the group of diffeomorphisms. - Topology, 1967, v.6, 263-271.

20. Omori H. On . the group of diffeomorphisms on a compact manifold, -r Proc. Symp. Pure Math. , v. IS. Amer. Math. Soc., 1970, p.167-183.

21. Omori H. Infinite dimensional Lie transformations groups. - Lect. Notes Math., 1974, v.427.

22. RatiU T. , Shmid R. The differeotiabie structure of three remarcable diffeomorphisms groups. - Math. 2. , 1981, v. 177, 81-ЮО.

Работы автора по теие диссертации.

1. Сиоленцев Н.К. Первые интегралы потоков идеальной баротропной жидкости. - Тезисы докл. Всесоюзной конф. по соврем, проблемам геометрии, Минск, 1979, с. 182.

2. Сиоленцев Н.К. О принципе Мопертюи. - Сиб.мат.журн.,

1979, Т.20,№ Б, 1092-1098.

3. Сиоленцев Н.К. Об одной слабой римановой структуре на группе диффеоморфизмов. - Изв. ВУЗов, Математика, 197в, № 5,

78-80.

4. Сиоленцев Н.К. Геометрические свойства потоков идеальной баротропной жидкости. - Диссертация на соискание уч. степени к.ф.-м.н., 1980, 86 стр.

в. Сиоленцев Н.К. Геометрические свойства потоков идеальной баротропной жидкости. - Труды Томского университета, Геом. сборник, 1980,Я 21, ез-78.

в. сиоленцев Н.К. Об одном спектральном инварианте семимерного многообразия. - Тезисы Всесоюзного симпозиума по геметрии в целом. Новосибирск, 1982, 105-106.

7. Сиоленцев Н.К. Интегралы потоков идеальной баротропной ЖИДКОСТИ. - Сиб. мат. журн., 1982, т.23,205-208.

8. Сиоленцев Н.К. Биицвариантцая метрика на группе диффеоморфизмов трёхмерного многообразияю - Сиб. мат.журн.,

1983, Т.24, К 1, 152-159.

з. Сиоленцев Н.К. О груше диффеоморфизмов, оставляющих неподвижным векторное поле. - Сиб. мат. журн.,1984, т.25, № 2, 180-185.

10. Сиоленцев Н.К. О' векторном произведении на семимерном многообразии. - Сиб. мат. журн., 1934, т.25, Я 5, 157-167.

и. Сиоленцев Н.К. Биинвариантные метрики на некоторых грушах диффеоморфизмов. - Теория функций и её приложения. Сборник научных работ, Кемерово, 1985, 73-78.

12. Сиоленцев Н.К. Бшнвариантная метрика на груше

симплектических диффеоморфизмов и уравнение = <Дг,р>. -

Сиб. мат. журн., 198В, т.27, № 1, 100-166.

13. Сиоленцев Н.К. О пространстве К-контактных метрик

-з 1-

трехмерного многообразия. - Сиб. мат. журн., 1987, т.28, № в,

119-125.

14. Смоленцев Н.К. Вариация секционной кривизны ассоциированных метрик. - Тезисы Всесоюзной конф. по геометрии и анализу, Новосибирск, 1089, с. 79.

15. Смоленцев Н.К. Ортогональные разложения пространства симметрических тензоров на почти кзлеровом многообразии. -Сиб. мат. журн., 1989, т. зо, к з, 131-139.

16. Смоленцев.Н.К. О пространстве ассоциированных метрик на регулярном контактном многообразии. - Сиб. мат. журн.,

1990, т. 31, № 3, 176-185.

17. Смоленцев Н.К. Геометрические свойства действия группы точных симплектических диффеоморфизмов на пространстве ассоциированных метрик. - Геометрия и анализ, Межвузовский сб. научн. трудов, Кемерово, 1991, 31-эе.

18. Смоленцев Н.К. О кривизне пространства ассоциированных метрик на симплектическом многообразии. -Сиб. мат. журн., 1992,-т.зз, я 1, 132-139.

19. Смоленцев Н.К. О крививизне пространства ассоциированных метрик на контактном многообразии. - Сиб. мат. журн., 1992, т. 33, № 6, 188-194.

го. Смоленцев Н.К. Кривизна группы диффеоморфизмов и пространства элементов объёма. - Сиб. мат. журн., 1992, т.зз,.

№ 4, 135-141.

21. Смоленцев Н.К. Кривизна некоторых групп диффеоморфизмов. - Тезисы докладов - ВВМШ "Понтрягинские чтения-iv", Воронеж, 1993, с. 17б.

22. Смоленцев Н.К. Кривизна классических груш диффеоморфизмов. - Сиб. .мат. журн., 1994, т.зб, № 1, 169-176.

23. Смоленцев Н.К. Естественные слабые римановы структуры на пространстве римановых*метрик. - Сиб. ' мат. журн., 1994,

т.35, № 2, 439 - 445.

24. Смоленцев Н.К. Две слабые римановы структуры на пространстве римановых метрик. - Известия ВУЗов, Математика, 1994, № 2, Ь1 - 23 .