Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп ЛИ в применении к уравнениям математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛУКАЦКИЙ Александр Михайлович

СТРУКТУРНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ В ПРИМЕНЕНИИ К УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и

теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ярославль - 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ -

доктор физико-математических наук, профессор Оншцик Аркадий Львович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Богданов Рифкат Ибрагимович доктор физико-математических наук, профессор Красильщик Иосиф Семенович доктор физико-математических наук, профессор Краснов Вячеслав Алексеевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -

Санкт-Петербургское отделение Математического Института Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится «&£_>> а ИГЛ 2006 г. в

14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Автореферат разослан « » сентября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ЯблоковаС.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Развитие теории уравнений математической физики, приемов и методов построения их решений, анализа свойств известных решений насчитывает богатую историю: отправляясь от законов динамики Ньютона, включая теорию статических электрических полей, развитую Максвеллом до теории электромагнитного поля, а также теорию теплопроводности, развитую в трудах Фурье, а затем доведенную в работах Планка, Фоккера, А.Н. Колмогорова до теории стохастической диффузии и, наконец, уравнение Шредингера в квантовой механике (появление формализма Гейзенберга, вторичного квантования по Фоку) -вот далеко не полный перечень этапов этой истории.

Бурный прогресс наукоемких высоких технологий последней четверти ХХ-го столетия, обусловленный указанным выше развитием, настоятельно требует разработки на первый взгляд противоречивых направлений:

повышение производительности и миниатюризация информационных технологий требуют рассмотрения быстрых (на сегодня порядка 10"13 — 10"15 сек) переходных процессов и разреженных ансамблей частиц (порядка 10й - 1013 электронов);

наряду с этим задачи макроэкологии, космологии требуют прогнозов антропоморфных процессов на периодах от 1 до 106 лет и выше.

Таким образом, обнаруживается необходимость предъявления новых решений уравнений математической физики, позволяющих описывать и предсказывать феномены в указанных выше проблемах.

Существует порядка десяти основных уравнений математической физики, описывающих с принципиальной точки зрения все известные на сегодня физические процессы. Наряду с этим существует практически необозримое количество публикаций, посвященных построению и исследованию их решений, а также описанию экспериментальных данных на их основе. В этом списке уравнений основных уравнений особое место занимают нелинейные гидродинамические уравнения Эйлера и Навье -Стокса, кинетические уравнения Больцмана, уравнение Колмогорова -Петровского - Пискунова и др.

В настоящей работе предлагаются подходы к построению решений

уравнений математической физики, а также к исследованию устойчивости их решений, основанные на погружении пространства состояний описываемого физического объекта (конфигурационного пространства) в бесконечномерную группу Ли. В качестве ключевого метода исследования уравнений предлагается использовать дифференциально-геометрические инварианты бесконечномерных групп Ли, а также их структурно-алгебраические свойства. В ряде случаев приходится прибегать к теории линейных представлений полупростых групп Ли, спектральной теории линейных операторов, теории G-структур.

Цель работы.

Исследование структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли и получение на этой основе значимых результатов в теории нелинейных уравнений математической физики. Использование групп Ли для реализации конфигурационных пространств изучаемых динамических систем.

Изучение структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли, представляющих конфигурационные пространства физических задач. Введение римановых метрик на получающихся бесконечномерных многообразиях так, чтобы решения уравнений математической физики были геодезическими этих метрик, т.е. геометрическая интерпретация классических уравнений математической физики. Вычисление тензоров кривизны и связанных с ними геометрических инвариантов (например, кривизны Риччи) полученных бесконечномерных римановых многообразий. Анализ поведения решений уравнений математической физики в терминах геометрических инвариантов : устойчивость решений эволюционных уравнений, численные оценки величин нарастания ошибок в начальных условиях по мере эволюции состояния физической системы, существование глобальных решений (в частности, для уравнений несжимаемой жидкости).

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 155 страницах и состоит из введения и четырех глав. Библиография включает 128 наименований.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и опубликованы. На защиту взносятся следующие

результаты.

1. Построение структур 1Ы1-групп Ли и групп второго рода на определенных классах бесконечномерных групп Ли, представляющих движения сплошных сред.

2. Конечная порожденность (как топологической группы) связной компоненты единицы в группе диффеоморфизмов компактного многообразия с краем. Построение конечной системы образующих этой группы, состоящей из бирациональных диффеоморфизмов, для и-мерных тора, сферы, вещественного проективного пространства.

3. Вычисление тензора кривизны и секционных кривизн групп диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема, через метрический тензор многообразия, приведение их к простому виду в случае компактных локально евклидовых многообразий.

4. Вычисление кривизны Риччи группы диффеоморфизмов 11-мерного тора и плоской области с границей.

5. Анализ уравнения Ландау-Лифшица методами бесконечномерных групп Ли. Представление решений в виде геодезических на группе Ли (нестандартной группе токов) с алгеброй Ли - алгеброй токов с нестандартной скобкой Ли. Вычисление тензора кривизны и секционных кривизн для нестандартной группы токов.

6. Погружение бесконечномерных групп Ли второго рода в конфигурационное пространство несжимаемой жидкости. Построение семейств решений уравнений Эйлера и Навье -Стокса несжимаемой жидкости, продолжаемых во времени на бесконечность.

Методика исследования.

Основные результаты диссертации получены новыми методами, которые были специально разработаны автором для этой цели. Часть результатов получена при помощи интенсивно развивающегося в последние десятилетия аппарата дифференциальной геометрии бесконечномерных многообразий. Наряду с этим используется аппарат бесконечномерных групп Ли, римановой геометрии, теории в-структур.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы и развитая техника вычисления геометрических инвариантов бесконечномерных групп Ли могут быть использованы в интенсивно развивающейся в последние десятилетия общей теории бесконечномерных групп Ли и групп диффеоморфизмов. В то же время ряд результатов может быть применен в разделах классической механики, посвященных исследованиям сплошных сред (гидродинамика несжимаемой жидкости, идеальной и вязкой, нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков). В частности, возможно использование результатов диссертации при исследовании явлений, связанных с турбулентным поведением упомянутых сплошных сред.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

международный коллоквиум памяти С. Ли (150 лет) и Н.И. Лобачевского (200 лет), Тарту (Эстония), октябрь 1992 г.;

международная конференция "Классическая и квантовая геометрия однородных пространств" в г. Москве, 12-20 августа 1994 г.;

международная конференция «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики», посвященная 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева, Москва, МГУ, октябрь 1999 г.;

международная научно-техническая конференция, посвященная 80-летию гражданской авиации России, Москва, МГТУ ГА, апрель 2003 г.;

международная научно-практическая конференция, посвященная 35-летию основания Университета гражданской авиации, Москва, МГТУ ГА, май 2006;

семинар по группам Ли и теории инвариантов, МГУ, мехмат (рук. проф. Э.Б. Винберг, проф. А.Л. Онищик), декабрь 2003 г.

семинар по спектральной теории линейных операторов, МГУ, мехмат (рук. акад. В.А. Садовничий), ноябрь 2004 г.

семинар по бесконечномерному анализу и математической физике, МГУ, мехмат (рук. проф. О .Я. Смолянов), март 2005 г.

семинар по геометрической теории дифференциальных уравнений, Московский центр непрерывного математического образования (рук. проф. И.С. Красильщик), декабрь 2005 г.;

семинар по теории представлений и динамическим системам, Санкт-

Петербургское отд. Математического института РАН (рук. проф. A.M. Вершик), апрель 2006 г.

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в 21 работе автора, список которых приведен в конце автореферата, причем из результатов совместной работы [9] в диссертацию включены лишь результаты, полученные диссертантом.

Краткое содержание работы

Во введении сначала дается краткий обзор результатов ряда математиков, связанных с применениями структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли к уравнениям математической физики. Прежде всего, отмечается, что в 1966 г. В.И. Арнольд впервые предложил использовать- в качестве конфигурационного пространства идеальной несжимаемой жидкости группу диффеоморфизмов сохраняющих элемент объема компактного риманова ориентированного многообразия М. Алгеброй Ли этой группы является пространство VM(M) бездивергентных векторных полей. Эта группа снабжается правоинвариантной слабой римановой структурой, и уравнения Эйлера представляются как уравнения геодезических этой структуры. При этом отрицательность секционных кривизн по двумерным направлениям, проходящим через заданное векторное поле, является признаком неустойчивости течения идеальной жидкости. В качестве примера В.И. Арнольдом впервые были вычислены секционные кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема двумерного тора, и исследован на асимптотическую устойчивость пассатный поток на двумерном торе (векторное поле с синусоидальным профилем v=(sin у, 0)), аппроксимирующий средние атмосферные потоки на земном шаре (при этом сделано упрощающее предположение о том, что земля имеет форму тора). В качестве следствия получена оценка нарастания начальной ошибки при долгосрочном прогнозировании погоды, показывающая, что при прогнозировании погода на 2 месяца надо иметь точность замеров в 5 десятичных знаков, что практически делает невозможным такое долгосрочное прогнозирование. Затем в историческом плане кратко излагаются основные результаты автора диссертации.

Развивая подход В.И. Арнольда, автор рассмотрел в конце 70-х годов

случай двумерной сферы [2], где исследовал векторное поле V = г(-у,х,0), представляющее уточненный вариант рассмотренного Арнольдом пассатного потока на торе. При этом получился тот же качественный результат, что и для тора. В частности, оказалось, что остается справедливой оценка Арнольда 2-х месяцев в качестве срока, за пределами которого практически невозможен долгосрочный прогноз погоды. В начале 80-х годов автором был рассмотрен случай и-мерного тора [5], для которого были подсчитаны кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Опираясь на спектральное разложение оператора Лапласа-Бельтрами, была определена и вычислена кривизна Риччи группы ТЛИрСГ) [6]. Был также рассмотрен случай некомпактного многообразия и введена алгебра Ли бездивергентных векторных полей, быстро убывающих на бесконечности. Для модельного случая многообразия М - Б1 хК' [8] были вычислены кривизны соответствующей группы диффеоморфизмов. Рассматривался также случай группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема прямоугольной области, были вычислены кривизны и тензор Риччи. Кроме того, получено выражение для тензора кривизны правоинвариантной метрики на произвольной группе Ли через структурные константы ее алгебры Ли [7]. Этот формализм был применен к случаю произвольной компактной поверхности. Для определенного класса векторных полей на двумерной сфере была вычислена асимптотика секционных кривизн. Оказалось, что асимптотические значения получающихся кривизн отрицательны, что явилось обобщением результатов, полученных в [2] для пассатного потока. В [10] получена общая формула для секционных кривизн группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема. Кроме того, удалось упростить выражение для секционных кривизн в случае локально евклидовых многообразий.

Параллельно автором разрабатывались другие физические приложения, в частности, к уравнению Ландау - Лифшица. Переход от физической проблемы к представлению через геометрию бесконечномерных групп Ли (групп токов) был разработан автором совместно с В.А. Алексовским [9]. Затем [10] было получено выражения для тензора кривизны группы токов. Были подсчитаны скалярные кривизны и выявлены направления, по которым кривизны отрицательны (в случае уравнения Ландау - Лифшица их значительно меньше, чем в гидродинамике). Были введены обобщенные группы токов, позволившие рассматривать групповую модель уравнения Ландау - Лифшица на

непараллелизуемых многообразиях [11].

В работе [15] также разрабатывался групповой подход к гидродинамике несжимаемой жидкости (идеальной и вязкой), основанный на рассмотрении бесконечномерных подгрупп специального вида в группе диффеоморфизмов. Примером такой подгруппы является полупрямое произведение обобщенной группы токов и группы Ли, сохраняющей геометрическую структуру [14, 15]. Это позволило построить класс решений уравнений Эйлера и Навье - Стокса в многомерном случае, продолжаемых во времени на бесконечность [13, 14,15]. В этом контексте получился класс интегрируемых решений уравнений гидродинамики, генерирующий подгруппу в группе диффеоморфизмов, которая естественно вкладывается в группу Бонди - Метнера - Закса. Последняя группа описывает асимптотически плоские метрики Минковского и используется в моделях квантовой космологии, причем получающейся из класса решений уравнений гидродинамики подгруппе соответствует класс асимптотически плоских евклидовых метрик.

В главе 1 собраны результаты по структурным свойствам групп диффеоморфизмов, которые используются в последующих главах. Пусть М — компактное гладкое многообразие, возможно с краем. Обозначим через группу гладких диффеоморфизмов многообразия М ,

снабженную С°°-топологией, а через — связную компоненту

единицы в Б1££(Л/). Справедлива (см. [1,4])

Теорема 1.9. Топологическая группа В1££0(Л/) конечно порождена.

Для определенного класса многообразий (сфера, проективное пространство, тор) установлено также наличие в рассматриваемых группах конечных систем образующих, состоящих из бирациональных диффеоморфизмов (в смысле естественных вещественных алгебро-геометрических структур), причем указан явный вид этих образующих (теоремы 1.5, 1.6, 1.7, см. [3]).

Наряду с топологическими свойствами групп диффеоморфизмов рассматривались аспекты, связанные с введением структур обобщенных групп Ли на них. Рассмотрен класс бесконечномерных групп Ли — полупрямых произведений обобщенных групп токов и конечномерных групп Ли. На таких группах введены структуры 1ЬН-групп Ли, ранее введенные Н. Ошоп на группе всех диффеоморфизмов и подгруппе диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Кроме того,

установлено, что такие группы являются бесконечномерными группами Ли второго рода, т.е. обладают локальными каноническими координатами второго рода. Для этого класса бесконечномерных групп Ли справедливы результаты конечномерной теории Ли (три теоремы Ли), что не имеет место для общих 1ЬН-групп Ли. Один из результатов такого рода представляет следующая:

Теорема 1.1. Пусть К — конечномерная группа Ли, действующая на многообразии М,аР — обобщенная группа токов, сохраняющая поточечно геометрическую структуру в касательных пространствах ТХМ, индуцированную некоторой в-структурой на М. Тогда на полупрямом произведении В = К-Р можно ввести структуру 1ЬН-группы Ли и группы второго рода.

Заметим, что даже для С-структуры конечного типа, например, римановой, обобщенная группа токов Р является бесконечномерной группой Ли, в отличие от группы автоморфизмов С-структуры.

Для некомпактного многообразия М в алгебре Ли У/М) можно выделить подалгебру У°м(М) векторных полей, быстро убывающих на бесконечности со всеми производными. Ей отвечает подгруппа в группе диффеоморфизмов, которую также можно снабдить структурой 1ЬН-группы Ли.

Аналогом группы диффеоморфизмов для комплексного многообразия V является группа биголоморфных автоморфизмов Но1( последующий

пример показывает, что в этой ситуации бесконечномерных групп Ли, представляющих интерес для группового анализа дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами, может не существовать совсем. Пусть 2" — комплексная квадрика, заданная в Сп+1 уравнением г/+...+2и+/ = 0. Тогда имеет место

Теорема 1.8. Комплексно ортогональная группа 80(п+1,С) как подгруппа группы Но1(2") обладает следующим свойством максимальности. В алгебре Ли Ьо1(2") голоморфных векторных полей на 2" не существует подалгебры А, удовлетворяющей условию зо(п+1,С) с/гс Ио1(2Г), состоящей из полных векторных полей и не совпадающей с хо(п+1, С).

В главе 2 собраны результаты автора по дифференциально-геометрическим свойствам бесконечномерных групп Ли, являющихся подгруппами групп диффеоморфизмов. Как известно, группа диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактного ориентированного риманова многообразия М, снабжается правоинвариантной (слабой) римановой метрикой, которая задается в ее алгебре Ли (пространстве бездивергентных вещественных векторных полей на М) следующим образом:

<m,v>= J (u(x),v(x)) dx.

м

Через [k,v], как обычно, обозначается операция (скобка Ли) в алгебре Ли векторных полей на М

Первая группа результатов главы 2 - это вычисление кривизн групп диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактных ориентированных римановых многообразий М. Для ортогональной пары бездивергентных векторных полей и, v через K(u,v) обозначается секционная кривизна по двумерному направлению, натянутому элементами и,v. Секционные кривизны вычислены для конкретных многообразий: 2-мерная сфера, и-мерный тор. Для случая n-мерного тора вычислена также кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема.

В случае двумерной сферы S2 в алгебре Ли V^S2) выберем ортогональный базис из сферических векторных полей е'т, взяв в качестве функций тока сферические функции:

/(/-/»)! (2/ + 1) 1 . ... »«</'" (sin в)

} '=, --—-- —¡— (exp(j <p) cos О) --—— }

* \ С + m)!2л- 2'И d(cosO)Um

с нормирующими коэффициентами ^^ ^ , что гарантирует условие

\\е'т\\ = 1. Пусть h = (-у,х,0) - векторное поле вращения. Для произвольного векторного поля v е VP(S2) будем использовать его разложение по элементам ортогонального базиса v = ]Г v'me'm.

l.m

Тогда имеет место следующая теорема (см. [2]):

Теорема 2.1. Имеем

Для аналога пассатного потока на двумерном торе для S2 , т.е. для векторного поля g = z(-y,x,0), получена следующая асимптотика секционных кривизн:

lim K(g,e¡) = -Ii '-»« 8 л-

и установлены двумерные направления, по которым секционные кривизны отрицательны. В частности, K(g, e'j <0 при |/я|>1.

В случае «-мерного тора положим

V = Z, Vi es, где ек = exp(ik<p),

и пусть_/^+ = sin k(p,f¿ = cos ktp. Тогда для секционных кривизн имеет место следующее (см. [5]):

Следствие 2.2. Имеем

K(uf¿, v) = -I И(Г) £ -L <u,I>2 I<к. v„ ± v,+t> . 1 1+0 I 'I

Для произвольной бесконечномерной группы Ли получена формула, выражающая коэффициенты тензора кривизны правоинвариантной метрики через структурные константы ее алгебры Ли. Одним из применений этой формулы является вычисление тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема компактной римановой поверхности М1. В алгебре УМ(А4*) бездивергентных векторных полей на М рассмотрим подалгебру У^/К?), состоящую из векторных полей с однозначными функциями тока и через соответствующую ей

подгруппу в группе диффеоморфизмов. Обозначим через Д оператор

Лапласа - Бельтрами на векторных полях. Заметим, что оператор Д обратим на подпространстве и там имеет смысл рассматривать

оператор Д"1.

Теорема 2.8. Тензор кривизны Я(и,у)\м группы для

элементов и,\,у/,г е У/л.^М2) дается следующим выражением:

<Я(иу)м>, г> = ¿<[>,у] + А'([Дм>,\]-[щАу]), [и,г] + А'([и,Аг]-[Аи,г])> - < [и-,н] + А'([Ам>,и]-^,Аи]), [V,/-] + А'([у,АГ]-[АУ,Г])> +

| < [к, V], К г] - А1 ([А\у, г]-+ [и>, Аг]) >

Для пары ортонормированных векторных полей иу, являющихся собственными для оператора Лапласа-Бельтрами Д со значениями X, /и имеем

4 + 7 а-р)2\А'[и,у]<у,[М>[^]]>.

4 4 /л

В частности, если X = ц, то

Эти формулы применимы также для двумерных областей с границей, если рассматривать диффеоморфизмы, неподвижные на границе. Подробно рассмотрен случай группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема прямоугольной области на плоскости. В этом случае вычислены секционные кривизны.

Для двумерной сферы , заданной в И3 уравнением х2+у2+г2 — 1 , рассмотрены векторные поля и с функциями тока вида /(г) (см. [7]). При фиксированном векторном поле и рассматривается последовательность векторных полей у„+, у„' с функциями тока Кч(х+1у)п, 1т(х+1у)" . Они являются собственными для оператора Лапласа - Бельтрами с собственными числами —п(п+1), а также старшими и младшими векторами непривидимых представлений группы БО(3) в пространстве вихревых полей на

Вычислена асимптотика секционных кривизн группы диффеоморфизмов сферы. Здесь справедливо:

Следствие 2.12. Если векторное поле и с функцией тока f(z) нормировано (|ы| = 1), то имеем следующую асимптотику секционных кривизн :

lim Щи, v/; = -f"(0).

Пусть теперь М — компактное риманово многообразие произвольной размерности с метрическим тензором G = fgij. Обозначим через р : V(M) —> V/M) оператор ортогонального проектирования пространства гладких векторных полей на подпространство бездивергентных, q = Id - р. Фиксируем ортонормированную пару бездивергентных векторных полей u,v на М и обозначим

h = i p(G'u(G))v - G'v(G))u + G' (Du)1 (Gv) - G1 (Dv)'(Gu))

(здесь 1 — обозначает поточечное взятие сопряженного оператора в смысле скалярного произведения в ТХМ).

Теорема 2.10. Секционная кривизна группы Diff^(A0 дается выражением

K(u,v) = < p(Vuv) , Fvm> + <[u,v],h> - <p(Vuu), Vvv>.

В случае локально евклидова многообразия это выражение допускает следующее упрощение:

Теорема 2.11. Для локально евклидова многообразия М секционная кривизна дается выражением

K(u,v) - - <q(u(v))>2 +<q(u(u)), v(v)>.

Следствие 2.14. Если выполнено условие div и(и) = 0, то выражение для секционной кривизны имеет вид

K(u,v) = - <q(u(v))>2.

Для случая произвольного бездивергентного векторного поля и на п-мерном торе получена асимптотика кривизн KfavJ, когда векторное поле vn является простой гармоникой (т.е. имеет вид v„= а„ cos к„ср + bn sin £яф), показатель которой к„ стремится к бесконечности. Именно, справедлива

Теорема 2.5. Пусть задана последовательность бездивергентных векторных полей wn = cos кп<р а„ + sin k„ç> b„, причем |w„| = 1 и существуют такие и, к е R", что

атЪп п-* оо,

к

I —--К I —> 0, п —> 00 .

11*„| 1

Для произвольного бездивергентного векторного поля v, |v| = 1, обозначим через K(wn,v) кривизну по двумерному направлению, натянутому векторными полями w„, v. Введем многозначную функцию /К = <к,ф> . Тогда

lim K(v, Wn)=-2 \[uM(f¿\2-

и-ио

Для задачи исследования решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости как геодезических на группе диффеоморфизмов полезно ввести следующий аналогом конечномерной кривизны Риччи. Пусть Spec(A) — дискретный спектр оператора Лапласа - Бельтрами на векторных полях компактного ориентированного риманова многообразия М. Представим алгебру Ли V/M) бездивергентных векторных полей в виде индуктивного предела подпространств Vf¡(M)L, натянутых объединением базисов собственных подпространств Vx , где X е Spec(A), |Х,| < L. Введем величины

Ricc(v,L) =—- Z [{cot )]-Vn(M)L K(v,eJ .

Тогда кривизна Риччи в направлении поля v определяется как Ricc(v) = lim Ricc(v,£).

Полученная выше асимптотика секционных кривизн позволяет также вычислить кривизну Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющей

элемент объема «-мерного тора.

Теорема 2.7. Пусть V - бездивергентное векторное поле на Т, М=1. Тогда

ШссМ =-т——г-<ДУ,У>.

4 ' (и-1)Л(П + 2)уо/(Г)

Для плоской прямоугольной области К с. К2 также вычислена кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема.

Следствие 2.11. Кривизна Риччи группы О1£Г(1(/0 дается формулой

Шсс(У) =---—

2 vol(K)^ 1

Отдельно рассмотрен случай некомпактного многообразия М. Алгебре Ли У°м(М) векторных полей, быстро убывающих на бесконечности (быстрее любой полиномиальной зависимости) с производными, соответствует подгруппа в группе диффеоморфизмов некомпактного многообразия, которую можно снабдить правоинвариантной римановой метрикой. В случае, когда М — цилиндр, проводится вычисление секционных кривизн этой группы диффеоморфизмов.

Глава 3 посвящена группам токов и их применению к исследованию нелинейной динамики намагниченности ферромагнетиков. Пусть задано трехмерное ориентированное риманово многообразие М. Рассматривается группа токов С? = С(М,БО(3)). Ее алгеброй Ли является алгебра токов %(М,ьо(3)). Если М параллелизуемо (например, 3-тор или 3-сфера), то алгебра токов отождествляется с пространством векторных полей У(М) с операцией поточечного векторного умножения к Уравнение Ландау -Лифшица имеет вид:

п .

—= т хРт;

<И

здесь т — гладкое векторное поле на М, Р — дифференциальный оператор, представимый в виде Р = N + л, где N — эллиптический

дифференциальный оператор (часто используется оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях А), а к — оператор проекции пространства векторных полей на заданное одномерное подпространство:

я(т(х)) = Ь(т(х),ез), где Ь > 0. Для определенности будем считать, что эллиптический оператор N отрицательно определен. Оказывается удобным иметь в качестве Р обратимый оператор. Этого можно достичь, если заменить Р на оператор Ра = Р - а И, где а - скаляр. Доказывается, что при а > Ъ оператор Ра обратим.

В связи с уравнением Ландау - Лифшица на группе токов рассматривается левоинвариантная риманова метрика, определенная на алгебре Ли формулой

<тит2> = - | (гп1(х),Рат2(х))с1х.

и

Оказывается, однако, что решения уравнения Ландау-Лифшица не являются геодезическими для группы токов с этой метрикой. Поэтому автор в работе [И] предложил рассмотреть в алгебре токов нестандартную скобку Ли:

[теА т2] = Ра' (Ра т хРат)

Для группы Ли с такой алгеброй Ли (нестандартной группы токов) решения уравнения Ландау - Лифшица являются геодезическими кривыми вышеприведеннной метрики. Для этой группы Ли вычислен тензор кривизны. Пусть и,у,м> £: У(М). Положим / = Ри, g= Р\, А=Ри>.

Теорема 3.1. Тензор кривизны группы токов имеет вид

Циу)тл> = I {Р^ \-ifxg} +/хРа0г ху) хРа(И хи) +/хРа(г хм>) -4

- £ хРа([ хмг)] — (/'х^х\1г-кх^хи) + Их(/ху)+ Ра{Ъ ху) хи-

- Ра0% x и) xv + Ра(% хм>) хи-Ра(У х -н/) x V +/хРа~' x И) -

- 8*Ра'' (ГхИ)-2ИхРа-'

Используя это выражение, далее вычисляются секционные кривизны

для простых гармоник на 3-мерном торе. В качестве эллиптического оператора N берется оператор Лапласа. Исследуется асимптотика выражений для кривизн. Установлено, что когда одна из гармоник фиксирована, а другая стремится к бесконечности, секционные кривизны становятся положительными. В случае же, когда простые гармоники векторных полей и, v совпадают и стремятся к бесконечности, кривизны K(u,v) стремятся к минус бесконечности.

Установлено также существование областей для пар простых гармоник, в которых секционные кривизны соответствующих пар векторных полей отрицательны. Пусть а, Ъ те же, что и выше.

Теорема 3.2. Пусть дана пара векторных полей м = (cos кх)ез, v = (cos lx) (s ei + r ez), удовлетворяющая условию а ¿(к-1)

Обозначим q2 - ^ ~Р , рг Тогда справедлива следующая оценка:

Таким образом, для уравнения Ландау - Лифшица в пространстве пар простых гармоник удается выделить зоны, которым соответствуют отрицательные секционные кривизны в конфигурационном пространстве. В тексте 3-й главы приводится пример такой зоны с расчетом значений соответствующих секционных кривизн.

Случай однородно намагниченного тора описывается постоянным векторным полем на торе. Здесь справедлива

К(иу) <

С((*2+/Ча) + 2(а-6» 4 vo/(73)

,2 '

В частности, если а = р = -. то

K(u,v) <-

Теорема 3.3. Пусть векторное поле V то же, что и в теореме 3.2, а А = ез. Тогда секционные кривизны по двумерным направлениям, проходящим через А и V, положительны и даются выражением:

К(Н,У) = (/'Г); .

Таким образом, для векторного поля V с ненулевой простой гармоникой имеем К(И,\) > 0, что соответствует физическому факту устойчивости однородно намагниченного тора (см. [11]). Здесь имеется некоторая аналогия с группой диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема двумерной сферы . Если ц — векторное поле на соответствующее вращению, а р — векторное поле с простой сферической гармоникой, то, как было отмечено выше, К(д,р) > 0.

Глава 4 посвящена групповому анализу несжимаемой жидкости. Для идеальной несжимаемой жидкости основополагающей является конструкция Арнольда правоинвариантной метрики на группе диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема многообразия. Эта группа может рассматриваться в качестве конфигурационного пространства не только для идеальной, но и для вязкой несжимаемой жидкости. Здесь рассматривается проблема существования решений, продолжаемых во времени на бесконечность. Редукция задачи к подгруппам группы диффеоморфизмов дает возможность построить конкретные классы таких решений.

Сначала исследуется случай идеальной несжимаемой жидкости, описываемой уравнениями Эйлера:

ди/д! + Ки + Гр=0

Предложение 4.1. Пусть и является векторным полем алгебры Ли компактной группы Ли, сохраняющей риманову метрику на М. Тогда и -стационарное решение уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости.

Верна и более общая теорема.

Теорема 4.1. Пусть на компактном ориентированном римановом многообразии М заданы два бездивергентных векторных поля и, V, удовлетворяющих условиям

1) и - векторное поле компактной группы Ли К, сохраняющей риманову метрику;

2) v - стационарное решение уравнений Эйлера на М;

3) V„« = 0 ( или V„v = 0).

Тогда решением w' Эйлера с начальными данными w° — и + v является векторное поле w1 = и + g'*(v) (или, соответственно, и + g~'*(v)). (Здесь £ — поток векторного поля и, a f-v обозначает действие диффеоморфизма f на векторное поле v).

В гидродинамике идеальной несжимаемой жидкости неоднократно исследовалось (Л,Д С)-поле на трехмерном торе:

и = (Asin z + Ccos у, Bsin х +А cos z, Csin у + Bcos x).

Это векторное поле дает пример течения 3-х мерной жидкости, приводящего к турбулентным эффектам, в частности, оно разбирается В.И. Арнольдом в лекциях по классической механике. Из теоремы 4.1 вытекает (см. [15]):

Следствие 4.1. (А,В,С)-поле на торе I3 является неустойчивым по Ляпунову.

Приведем еще одну конструкцию, позволяющую применить эту теорему. Рассмотрим расслоение Р над компактной ориентируемой римановой поверхностью М, слоями которого являются окружности S1 в касательных пространствах. В качестве бесконечномерной группы Ли возьмем полупрямое произведение компактной группы Ли К изометрий римановой поверхности М (с алгеброй Ли к) и обобщенной группы токов О(М) поточечных поворотов касательных пространств ТХМ. Элемент группы 0(М) может быть задан гладкой функцией / на М, значение которой в точке х поверхности М есть как угол поворота по часовой стрелке в слое S1 с: ТХМ расслоения Р. Обозначим через п векторное поле, соответствующее действию поворотами на одни и тот же угол для всех х. Тогда алгебру Ли о(М) фуппы О(М) образуют векторные поля вида fit, а полупрямое произведение G=K-0(M) вкладывается в группу диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема 3-мерного многообразия Р. Векторное поле п задает стационарное решение уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости в Р, так как является полем действия компактной группы Ли S1 на Р. Здесь справедлива

Теорема 4.2. Для пары векторных полей и е к и v е о(М) выполняются условия теоремы 4.1 (со вторым вариантом условия 3).

Таким образом, получается класс нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости в многообразии Р. Эволюция поля скоростей жидкости описывается следующим образом. Обозначим через g' = exp(tu) однопараметрическую подгруппу компактной группы Ли К. Тогда решение уравнений Эйлера с начальными данными ^вЦ-hf п будет иметь вид V -

И f(g'x)n. Таким образом диффеоморфизмы, определяющие движение сплошной среды, задают действие компактной группы Ли К в пространстве гладких функции / на поверхности М при помощи сдвигов аргумента. Если базой М является двумерная сфера, то группа G = S0(3)0(S7) изоморфна SO(3)CT(S!) и естественно вкладывается в группу Бонди - Метнера - Закса, представляющую собой полупрямое произведение группы конформных преобразований двумерной сферы SO(l,3) на пространство гладких функций на сфере. Физически элементы этой группы описывают класс асимптотически плоских метрик Минковского. Это позволяет сделать вывод, что элементы подгруппы G описывают подкласс асимптотически плоских евклидовых метрик.

Методология нахождения решений уравнений Эйлера типа "бегущей волны" применяется также к уравнению Навье - Стокса:

du/dt + Vuu - vAu + Vp =0, где v— показатель вязкости жидкости. В этом случае справедлива

Теорема 4.3. Пусть на компактном ориентированном римановом многообразии заданы два бездивергентных векторных поля и, v, которые удовлетворяют условиям 1) - 3) теоремы 4.1 и являются собственными для оператора Лапласа-Белырами с собственными числами Ä, /л . Тогда решением уравнения Навье - Стокса с начальными данными u+v будет векторное поле

w' = ехр( vAt)u + ехр( v/M) (или, соответственно,

w' = exp(vXt)u + exp(v(if) g'^'}>(v)) ,

где <p(t) = ~1 ПрИ д^Ои <p(t) = t при Я = 0, a g'- поток векторного

поля и.

Публикации автора по теме диссертации

1. Лукацкий A.M. О построении конечных систем образующих в алгебрах Ли векторных полей и группах диффеоморфизмов компактных многообразий // Геометрические методы в задачах анализа и алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 170-182.

2. Лукацкий А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2-мерной сферы // Функц. анализ и приложения. 1979. Т. 13(3). С. 23-27.

3. Лукацкий A.M. О бирациональных базисах в группах диффеоморфизмов многообразий 7", S" и RP" //Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1982. С. 55 - 62.

4. Lukatsky A.M.: Construction of finite systems of generators for Lie algebras of vector fields and for groups of diffeomorphisms of compact manifolds // Sel. Math. Sov. 1981. V. 1( 2). P. 185-195.

5. Лукацкий A. M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру «-мерного тора//Успехи мат. наук. 1981. Т. 36 (2).

С. 187-188.

6. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру л-мерного тора // Сиб. мат. журнал. 1984. Т. 25 (6).

С. 76-88.

7. Лукацкий А. М. О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2-мерного многообразия // Сиб. мат. журнал. 1988. Т. 29 (6). С. 95-99.

8. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Сиб. мат. журнал. 1990. Т. 31 (3). С. 209.

9. Алексовский В.А., Лукацкий А.М. Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков и движение обобщенного твердого тела с группой токов // Теоретическая и математическая физика. 1990. Т. 85(1), С. 115-123.

10. Lukatsky A.M. On the curvature of diffeomoiphisms groups // Ann. Global Anal, and Geometry. 1993. V. 11. P. 135-140.

11. Lukatsky A.M., On the geometry of current group and a model of the Landau - Lifschitz equation // Lie groups and Lie Algebras. Dordrecht: Kluwer Ac. Publ., 1998. P. 425-433.

12. Лукацкий А. М. Об одном обобщении конструкции групп токов

// Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1998. С. 137-141.

13. Лукацкий A.M. О геометрии бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях //Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики /Материалы международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева. М.: МГУ, 1999. С. 29-30.

14. Лукацкий А. М., О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях // Научный вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика. М.: МГТУ ГА. 2003. Вып. 64. С. 7-17.

15. Лукацкий А. М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли к динамике несжимаемой жидкости // Прикладная математика и механика. 2003. Вып. 5. С. 784-794.

16. Лукацкий А. М., О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях // Международная научно-практическая конференция, посвященная 80-летию гражданской авиации России. М.: МГТУ ГА. 2003. С. 145.

17. Лукацкий A.M. Максимальность действия ортогональной группы на аффинной квадрике // Геометрические методы в задачах анализа и алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1980. С. 130-137.

18. Лукацкий А. М. О некоторых типах бесконечномерных групп Ли и примерах непрерывных действий простых групп Ли, не эквивалентных гладким действиям //Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 2003. С. 152-162.

19. Лукацкий А. М. О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Научный вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика. М.: МГТУ ГА, 2005. Вып. 91.

С. 36-47.

20. Лукацкий А. М. О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Международная научно-практическая конференция, посвященная 35-летию основания Университета. М.: МГТУ ГА, 2006. С. 174.

21. Лукацкий A.M. О применении бесконечномерных групп Ли для оценивания турбулентности // Научный вестник МГТУ ГА, серия Информатика и прикладная математика. М.: МГТУ ГА, 2006. Вып. 105. С. 164-168.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 04.09.06 Тираж 100 экз. Усл. пл. 1,44 Печать авторефератов (495) 730-47-74,778-45-60

Введение.

Глава 1. Общие структурные свойства бесконечномерных групп

Введение.

1.1. Необходимые групповые конструкции.

1.2. Обобщение конструкции группы токов.

1.3. Топологическая конечнопорожденностъ бесконечномерных групп Ли.

1.4. Конструкция максимальной подгруппы в группе биголоморфных автоморфизмов.

1.5 Конечнопорожденностъ связной компоненты единицы в группе диф-феомормизмов произвольного компактного многообразия.

1.6. Локальные действия алгебр Каца-Муди.

1.7. Разбор случая группы диффеоморфизмов некомпактного многообразия.

Глава 2. Геометрия групп диффеоморфизмов.

Введение.

2.1 Исследование пассатного потока на двумерной сфере.

2.2. Разбор случая тора Тп.

2.3 Вычисление кривизны Риччи для группы /)г//м(Тп).

2.4 Разбор случаев компактных римановых поверхностей.

2.5. Исследование геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия.

2.6. Вычисление кривизн группы £)г//°(М) для некомпактного М в общем случае.

Глава З.Геометрия групп токов. Приложения к исследованию нелинейной динамики намагниченности ферромагнетиков, описываемой уравнением Ландау-Лифшица.

Введение.

3.1. Получение выражения тензора кривизны группы токов.

3.2. Вычисление секционных кривизн для группы токов на трехмерном торе.

3.3. Обобщение конструкций на случай риманова многообразия.

Глава 4. Исследование динамики жидкости, описываемой уравнениями Эйлера и Навье-Стокса, методами группового анализа.

Введение.

4-1. Случай идеальной несжимаемой жидкости.

4-2. Случай вязкой несжимаемой жидкости.

4.3. Связь конструкций с теорией поля.

Замечания.

1. Общая характеристика работы.

1.1. Актуальность темы.

Развитие теории уравнений математической физики, а также приемов и методов построения их решений, анализа свойств известных решений насчитывает богатую историю: отправляясь от законов динамики Ньютона, включая теорию статических электрических полей, развитую Максквел-лом до теории электромагнитного поля, а также теорию теплопроводности, развитую в трудах Фурье, а затем доведенную в работах Планка, Фоккера, А.Н. Колмогорова до теории стохастической диффузии и, наконец, уравнение Шредингера в квантовой механике (появление формализма Гейзенберга, вторичного квантования по Фоку) далеко не полный перечень этапов этой истории.

Бурный прогресс наукоемких высоких технологий последней четверти ХХ-го столетия, обусловленный указанным выше развитием, настоятельно требует разработки на первый взгляд противоречивых направлений: повышение производительности и миниатюризация информационных технологий требуют рассмотрения быстрых (на сегодня порядка Ю-13 —10"15 сек) переходных процессов и разреженных ансамблей частиц (порядка 1011 — 1013 электронов); наряду с этим задачи макроэкологии, космологии требуют прогнозов антропоморфных процессов на периодах от 1 до 106 лет и выше. Таким образом, обнаруживается необходимость предъявления новых решений уравнений математической физики, позволяющих описывать и предсказывать феномены в указанных выше проблемах.

Существует порядка десяти основных уравнений математической физики, описывающих с принципиальной точки зрения все известные на сегодня физические процессы. Наряду с этим существует практически необозримое количество публикаций, посвященных построению и исследованию их решений, а также описанию экспериментальных данных на их основе. В этом списке уравнений основных уравнений особое место занимают нелинейные гидродинамические уравнения Навье- Стокса, кинетические уравнения Больцмана [Бол], [КЗ] и т.д. В качестве примера можно привести известную в математической литературе работу Колмогорова-Петровского- Пискунова [КПП] в которой было предложено на основе автомодельных решений уравнения стохастической диффузии анализировать явление распространения инфекции в подходящей питательной среде.

Анализ соответствующей литературы показывает, что основным методом исследования нелинейных дифференциальных уравнений на сегодня является отыскание частных решений (возможно приближенных) и вычисление их инвариантов, устойчивых относительно малых возмущений (возможно, специального вида), например, консервативное возмущение вполне интегрируемой гамильтоновой системы в классической теории KAM. Ярким примером вычисления инвариантов, связанных с линеаризацией изучаемого уравнения в окрестности указанного решения, является теория линейных представлений групп Ли и их алгебр Ли (находящаяся в наиболее развитом виде в случае конечномерных полупростых групп [В2]). Однако, не взирая на длительную историю развития линейного подхода, исследование квадратичных приближений далеко от завершения и, более того, имеется лишь ограниченный круг успешного развития второго порядка теории приближений: вариационное исчисление (достаточные условия экстремальности решения), квантовая механика с обилием парадоксов. Здесь уместно подчеркнуть возможность использования гамильтонова или лагранжева формализма([[Моз], [К2], [ДК], [ДНФ], [МСШ], [Ж], [Вин]): линейному векторному полю может отвечать квадратичный гамильтониан.

Успех и полезность линейных представлений конечномерных групп Ли и их алгебр Ли помимо чисто внутреннего оправдания задачами самой теории имеет и содержательные истоки: классификация орбит присоединенного действия группы обратимых матриц. Как следствие, здесь получается жорданова нормальная форма матрицы. Имеется бесконечномерный аналог этой задачи для матриц, зависящих от функциональных параметров ([Ар2], [Ар4]).

Наряду с плодотворностью этих подходов в конечномерном случае, их развитие в бесконечномерном случае наталкивается на ряд проблем. Важнейшей из них является резкое отличие бесконечномерной геометрии от конечномерной. Поэтому необходим анализ свойств групп, привлекаемых к рассмотрению. Второй не менее существенной проблемой является реализация конфигурационного пространства рассматриваемой системы с помощью подходящей группы. Кроме отдельных, сравнительно недавно появившихся примеров, в этом исследовании отсутствуют результаты. Идея симметрий изучаемых явлений пронизывает математическую физику, как в содержательном смысле , так и в смысле построения адекватных математических моделей. Симметрии, по сути дела, апеллируют к подходящему действию соответствующей группы. Инварианты такого действия позволяют, как правило, значительно прояснить динамику изучаемых (или описываемых) явлений. В настоящей работе предлагаются подходы к построению решений уравнений математической физики, исследованию их свойств на основе группового подхода, апеллирующего к бесконечномерным группам. Здесь надо отметить, что бесконечномерные группы в математической физике возникали и ранее в контексте проблем теории поля у Г. Вейля ([В1], [Ат]) причем аналогичная группа использовалась в задаче орбитальной эквивалентности у Р.И. Богданова [Б].

Безусловно, использование бесконечномерных групп требует в ряде случаев для получения прикладных результатов прибегать к спектральной теории линейных операторов, методам теории представлений и методам статистической физики. Например, в духе идей И.М. Гельфанда и его школы, в частности, развиваемых в настоящие годы в школе В.А. Са-довничего. В качестве ключевого метода исследования уравнений математической физики в настоящей работе предлагается использовать геометрические инварианты бесконечномерных групп Ли, а также некоторые их структурные свойства (например, построение в них бесконечномерных подгрупп специального вида).

1.2. Цель работы. Исследование нелинейных уравнений математической физики с целью реализации конфигурационных пространств, изучаемых динамических систем, в виде бесконечномерных групп. Вместе с этим исследование и описание свойств возникающих таким образом групп с целью их использования в прикладных задачах математической физики.

Изучение структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли, представляющих конфигурационные пространства физических задач. Введение римановых метрик на получающихся бесконечномерных многообразиях и получение решений уравнений математической физики как геодезических этих метрик, т.е. придание классическим уравнениям математической физики геометрической интерпретации. Вычисление тензоров кривизны и связанных с ними геометрических инвариантов (например, кривизны Риччи) бесконечномерных римановых многообразий. Анализ поведения решений уравнений математической физики посредством полученных геометрических инвариантов : устойчивость решений эволюционных уравнений, численные оценки величин нарастания ошибок в начальных условиях по мере эволюции состояния физической системы, глобальное существование решений (в частности, глобальная разрешимость уравнений несжимаемой жидкости).

1.3. Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и опубликованы. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Построение структур 1ЬН-групп Ли и групп второго рода на определенных классах бесконечномерных группах Ли, представляющих движения сплошных сред.

2. Конечнопорожденность (как топологической группы) связной компоненты единицы в группе диффеоморфизмов компактного многообразия с краем. Для п-мерных сферы, тора, вещественного проективного пространства построение конечных базисов из бирациональных диффеоморфизмов.

3. Вычисление тензора кривизны и секционных кривизн групп диффеоморфизмов через коэффициенты метрического тензора многообразия, приведение их к простому виду для групп диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема локально евклидовых многообразий.

4. Аналитическое выражение для секционных кривизн групп диффеоморфизмов произвольных компактных римановых многообразий через коэффициенты метрического тензора и скобку Пуассона бездивергентных векторных полей.

5. Вычисление кривизны Риччи группы диффеоморфизмов п-мерного тора и плоской области с границей.

6. Анализ уравнения Ландау-Лифшица методами групп токов. Представление решений в виде геодезических на группе токов с нестандартной скобкой Ли. Вычисления тензора кривизны группы токов.

7. Погружение бесконечномерных групп Ли второго рода в конфигурационное пространство несжимаемой жидкости. Получение семейств решений этих уравнений, продолжаемых во времени на бесконечность, для многомерной гидродинамики.

1.4. Методика исследования. Основные результаты диссертации получены новыми методами, которые были специально разработаны автором для этой цели. Часть результатов получена при помощи интенсивно развиваемого в последние десятилетия аппарата дифференциальной геометрии бесконечномерных многообразий, который до конца сегодня не разработан.

Наряду с этим используется аппарат бесконечномерных групп Ли, рима-новой геометрии, теории С-структур, глобального анализа, теории представлений, классической механики.

1.5. Научная новизна и практическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы и развитая техника вычисления геометрических инвариантов бесконечномерных групп Ли могут быть использованы в интенсивно развивающейся в последние десятилетия общей теории бесконечномерных групп Ли и групп диффеоморфизмов. В то же время ряд результатов может быть применен в разделах классической механики, посвященных исследованиям сплошных сред (гидродинамика несжимаемой жидкости идеальной и вязкой, нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков). Как одно из направлений возможно использование результатов диссертации при исследовании явлений, связанных с турбулентным поведением упомянутых сплошных сред. Также возможно использование в исследовании магнитных свойств ферромагнитных материалов (пленок и т.п. ) в связи с применениями уравнения Ландау-Лифшица.

1.6. Апробация работы. Результаты работы представляют собой развитие дифференциально- геометрических аспектов теории бесконечномерных групп Ли и докладывались на следующих конференциях и семинарах: международный коллоквиум памяти С. Ли (150 лет) и Н. Лобачевского (200 лет) в г. Тарту, Эстония, октябрь 1992 г.; международная конференция "Классическая и квантовая геометрия однородных пространств", Москва, август 1994 г.; международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева. Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики, Москва, октябрь 1999 г., МГУ [Л 14]; международная научно-техническая конференция, посвященная 80-ти летию гражданской авиации России, Москва, апрель 2003 г., МГТУ ГА [Л 13]; международная научно-практическая конференция, посвященная 35-ти летию основания Университета, Москва, МГТУ ГА, май 2006, [Л 17]. семинар по группам и алгебрам Ли , МГУ, мехмат, рук. проф. Э.Б. Винберг, проф. А.Л. Онищик, декабрь 2003 г.; семинар по спектральной теории линейных операторов, МГУ, мехмат, рук. академик В.А. Садовничий, ноябрь 2004 г. семинар по бесконечномерному анализу и математической физике, МГУ, мехмат, рук. профессор О.Я. Смолянов, март 2005 г. семинар по геометрической теории дифференциальных уравнений, Московский центр непрерывного математического образования, рук. профессор Красильщик И.С., декабрь 2005 г. семинар по теории представлений и динамическим системам, Санкт-Петербургское отделение МИАН, рук. профессор Вершик A.M., апрель 2006 г.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [JI1-JI4], [JT6-JI10], [JI11-JI12], [Л14-Л16],[Л18], [L1-L3]; анонсированы в тезисах [Л5],[Л10], [Л13], [Л 17] в течение 1977-2006 годов.

2. Обзор содержания диссертации. Содержание диссертации разбито на введение и четыре главы. Во введении систематизируются результаты авторов, работающих в области применения структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли к уравнениям математической физики. Бесконечномерные группы Ли связаны с рядом физических приложений, одним из существенных направлений которых является гидродинамика несжимаемой жидкости. Здесь в 1966 г. В.И. Арнольдом ([Аг1]) впервые было предложено использовать в качестве конфигурационного пространства группу диффеоморфизмов Diff^(M), сохраняющих элемент объема компактного риманова ориентированного многообразия М. Алгеброй Ли группы Diffp (М) является пространство V^ (М) бездивергентных векторных полей. В случае идеальной жидкости удалось снабдить конфигурационное пространство слабой римановой структурой (т.е. положительно определенной метрикой в пространстве задающей X2, но не С00-топологию) и представить уравнения Эйлера как уравнения геодезических такой структуры. При этом секционные кривизны по двумерным направлениям, проходящим через заданное векторное поле могут выступать в качестве признаков неустойчивости соответствующих течений идеальной несжимаемой жидкости (отрицательность кривизн является признаком неустойчивости течений идеальной жидкости). В качестве примера В.И. Арнольдом впервые были подсчитаны римановы кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема двумерного тора и исследован на асимптотическую устойчивость пассатный поток на двумерном торе (векторное поле с синусоидальным профилем v = (sinу, 0)), аппроксимирующим средние атмосферные потоки на земном шаре (при этом сделано упрощающее предположение о том, что земля имеет форму тора). В качестве следствия получена оценка нарастания начальной ошибки при долгосрочном прогнозировании погоды (10*™, где к « 2,5, п - количество месяцев прогноза). Это означает, что при прогнозировании погоды на 2 месяца надо иметь точность замеров - 5 знаков, что практически делает невозможным такое долгосрочное прогнозирование). Трудно оправдать предположение, что поверхность Земли эквивалентна поверхности тора. Поэтому автор рассмотрел в конце 70-ых годов случай двумерной сферы 52 [ЛЗ], где также исследовал векторное поле V = г(—у,х, 0), представляющее уточненный вариант рассмотренного Арнольдом пассатного потока для сферы. Оказалось, что анализ на асимптотическую устойчивость пассатного потока на сфере дал тот же качественный результат, что и для тора. В частности, оказалось, что остается справедливой оценка Арнольда 2-х месяцев в качестве срока, за пределами которого практически невозможен долгосрочный прогноз погоды.

Очевидно, что геометрия торических поверхностей тесно связана с уравнениями математической физики. Поэтому в начале 80-х годов автором был рассмотрен случай п-мерного тора [Л5], для которого были подсчитаны кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Была также определена применительно к случаю бесконечномерной группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема, кривизна Риччи. Опираясь на спектральное разложение оператора Лапласа-Бельтрами была вычислена кривизна Риччи группы .Ог//ц(Тп) [Л6]. Был также рассмотрен случай некомпактного многообразия и введена алгебра Ли бездивергентных векторных полей быстро убывающих на бесконечности. Для модельного случая многообразия М = 51 х В} [Л16] были вычислены кривизны соответствующей группы диффеоморфизмов. Рассматривался также случай группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема прямоугольной области, были вычислены кривизны и тензор Риччи. Кроме того, получено выражение для тензора кривизны правоинвариантной метрики на произвольной группе Ли через структурные константы ее алгебры Ли [Л7].

Этот формализм был применен к случаю произвольной компактной поверхности, посредством чего были вычислены кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема для собственного базиса оператора Лапласа-Бельтрами. Для определенного класса векторных полей на двумерной сфере, представляющие собой стационарные течения с меняющимся от вертикальной составляющей профилем подсчитана асимптотика секционных кривизн. Для этого были выбраны такие двумерные направления, когда одно векторное поле фиксировано, а другое представляет собой сферическую гармонику, частота которой стремится к бесконечности. Оказалось, что асимптотические значения получающихся кривизн отрицательны, что явилось обобщением результатов, полученных в [Api] для пассатного потока. В [L2] удалось получить формулу для кривизн группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема. Кроме того, удалось упростить выражение для кривизн по двумерным направлениям в случае локально евклидовых многообразий.

Параллельно автором разрабатывались другие физические приложения, в частности уравнение Ландау-Лифшица. Переход от физической проблемы к представлению через геометрию бесконечномерных групп Ли (групп токов) был разработан автором совместно с В.А. Алексовским [АЛ]. Затем [L3] было получено выражения для тензора кривизны группы токов. Были подсчитаны скалярные кривизны и выявлены направления отрицательности кривизн (хотя в случае уравнения Ландау- Лифшица их значительно меньше, чем в гидродинамике). Были введены обобщенные группы токов, позволившие рассматривать групповую модель уравнения Ландау-Лифшица на непараллелизуемых многообразиях [Л9]. В работе [Л 12] также разрабатывался групповой подход к гидродинамике несжимаемой жидкости (идеальной и вязкой) , основанный на рассмотрении бесконечномерных подгрупп специального вида в группе диффеоморфизмов. Примером такой конструкции является полупрямое произведение обобщенной группы токов и группы Ли, сохраняющей геометрическую структуру [Л11],[Л12]. Это позволило получить класс решений уравнения Навье-Стокса в многомерном случае, продолжаемых во времени на бесконечность, [Л 12]. В этом контексте получился класс интегрируемых решений уравнения Навье-Стокса, генерирующий подгруппу в группе диффеоморфизмов, которая естественно вкладывается в группу Бонди-Метнера- Закса. Эта группа описывает асимптотически-плоские метрики Минковского и используется в моделях квантовой космологии, а получающейся из класса решений уравнения Навье-Стокса подгруппе соответствует класс асимптотически-плоских евклидовых метрик.

Дадим обзор основных направлений в рассматриваемой области. Здесь наряду с основополагающей работой Арнольда 1966 г. необходимо отметить следующие работы других авторов:

J. Moser, D. Ebin, J. Marsden — геометрическое представление решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости как геодезических группы диффеоморфизмов сохраняющих элемент объема, вычисление связности Леви-Чивита на группе диффеоморфизмов с метрикой-кинетической энергией, получение локальных теорем существования и единственности для уравнений Эйлера и Навье-Стокса [Mos], [ЕМ], [ЕЬ];

J. Leslie, H.Omori, T. Ratiu, R. Schmidt, P.W. Michor — введение структур бесконечномерных многообразий Фреше на группах диффеоморфизмов и их подгруппах, представление групп диффеоморфизмов в виде проективных пределов гильбертовых пространств [Lesl], [Les2], [Les3], [Mich], [Oml], [Om2], [RS];

T.A. Аракелян, Г.К. Завидия, К. Yoshida — получение вида тензора кривизны группы диффеоморфизмов сохраняющих элемент объема двумерной сферы (Dif /д(52)) с использованием коэффициентов Клебша-Гордона

AS],[Y];

G.Misiolek — вычисление сопряженных точек на геодезических групп диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактного многообразия (1993-1998) [Mis];

T. Kambe, F. Nakamura, Y. Hattori, К. Suzuki, А.И. Шафаревич, С.Ю. Доброхотов, Б.А. Хесин, B.JI. Гинзбург, В.Ю. Овсиенко — исследование на устойчивость определенных течений идеальной жидкости (например, А, В, С - поля на трехмерном торе), исследование уравнения Ландау-Лифшица для случая однородно намагниченного тора, исследование уравнения Кортевега де Фриза с использованием алгебры Вирасоро [Kami], [Kam2], [SOnKam], [SWKam], [NHK], [KhM], [GKh], [KhM], [OK], [ДШ];

J. Marsden, A. Weinstein, Т. Ono — вычисление геометрических инвариантов бесконечномерных групп Ли для магнетогидродинамики [Mas], [On];

H.K. Смоленцев , М.Е. Shanks, L.E. Pursell, D. В. Epstein, M. Herman, W. Thurston, R.N. Mather, J. Grabovski — исследование структурных свойств групп диффеоморфизмов и алгебр векторных полей [См1], [См2], [СмЗ], [См4], [См5], [ShP], [Ер], [Her], [Т], [M], [Grl], [Gr2];

И.М. Гельфанд, Д.Б. Фукс, P. Boulley — вычисление когомологий алгебр векторных полей и групп диффеоморфизмов [Ф], [В1];

П.К. Рашевский, JI.B. Овсянников, Н.Х. Ибрагимов, A.M. Виноградов, И.С. Красильщик, A. Tresse, Е. Vessiot, J. F. Pommarret — геометрическая теория дифференциальных уравнений, групповой анализ дифференциальных уравнений [Р], [Вин], [Ов1], [Ов2], [ОвЗ], [Ибр1], [Ибр2], [Tr], [Ves], [Pom];

P.J. McCarty, R.K. Sacsh, H. Bondi — исследование объектов квантовой космологии при помощи бесконечномерных групп Ли — полупрямых произведений полупростых групп Ли и топологических векторных пространств [Мс] методами теории представлений G.W. Mackey [Мае].

В.И. Арнольд, Б.А. Хесин — обзорная монография (Топологические методы в гидродинамике), перечень задач направления [Аг2], [ЗА].

В главе 1 собраны результаты по структурным свойствам групп диффеоморфизмов, которые используются в последующих главах. Особенность предложенного в работе подхода состоит в том, что структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли рассматриваются глобально. В качестве геометрических объектов, в которых действуют бесконечномерные группы Ли, как правило, выступают компактные ориентированные многообразия, снабженные римановой метрикой. Для отдельных приложений разбирается и некомпактный случай. В работах [Л2], [Л4] бесконечномерные группы Ли исследовались как топологические группы, что являлось продолжением работ, начатых автором в кандидатской диссертации. Пусть М— компактное ориентируемое многообразие, возможно с краем. Обозначим через Diff(M) группу С00- диффеоморфизмов М, снабженную С°° - топологией, через Diffo(M)— связную компоненту единицы в Diff(M). Справедлива

Теорема 1.9. Топологическая группа Diffo(M) конечнопорождена. Для n-мерных сферы, проективного пространства и тора построены бирацио-нальные базисы в группах диффеоморфизмов ([Л2], [Л4]).

Наряду с топологическими свойствами групп диффеоморфизмов рассматривались аспекты, связанные с введением структур обобщенных групп Ли на них. Рассмотрен класс бесконечномерных групп Ли — полупрямых произведений обобщенных групп токов и конечномерных групп Ли. На таких группах введены структуры ILH-групп Ли, ранее введенные H. Omori на группе всех диффеоморфизмов и подгруппе сохраняющих элемент объема диффеоморфизмов. Кроме того, установлено, что такие группы являются бесконечномерными группами Ли второго рода, т.е. обладают локальными каноническими координатами второго рода. Для этого класса бесконечномерных групп Ли справедливы результаты конечномерной теории Ли (три теоремы Ли), что не имеет место для общих ILH-групп Ли. Один из результатов для такого типа подгрупп групп диффеоморфизмов представляет следующая:

Теорема 1.2. Пусть К— конечномерная группа Ли, действующая на многообразии М, а Р— обобщенная группа токов, сохраняющая поточечно геометрическую структуру в касательных пространствах ТХМ, индуцированную некоторой (7-структурой на М. Тогда полупрямое произведение В = KP является ILH- группой Ли и группой второго рода.

Заметим, что даже для G-структуры конечного типа, например римано-вой, обобщенная группа токов Р является бесконечномерной группой Ли, в отличие от группы киллинговых преобразований G-структуры. Для случая некомпактного риманова многообразия в алгебре Ли V^ (М) можно выделить подалгебру SVE(M) векторных полей, , быстро убывающих на бесконечности со всеми производными. Такую бесконечномерную группу Ли можно снабдить структурой ILH группы Ли и в дальнейшем исследовать с точки зрения вычисления кривизны. Если рассматривать комплексные многообразия V, обладающие достаточным классом голоморфных функций, например, многообразия Штейна, то вместо группы диффеоморфизмов надо рассматривать группу биголоморфных автоморфизмов Hol(V). Здесь возможна ситуация, когда бесконечномерных групп Ли, представляющих интерес для группового анализа дифференциальных уравнение с голоморфными коэффициентами может не существовать совсем. На примере комплексной квадрики Zn, заданной в Спуравнением z\ + .+z% = 0 показано следующее.

Теорема 1.3. Комплексно ортогональная группа SO(n + 1, С) в качестве подгруппы Hol(Zn) обладает следующим свойством максимальности. Если so(n+1, С)— алгебра Ли комплексно-ортогональной группы, hol(Zn)— вся алгебра Ли голоморфных векторных полей на Zn, то не существует собственного расширения h алгебры Ли so(n +1, С), состоящего из полных векторных полей (т.е. из полей, задающих фазовые потоки на Zn).

Как следствие из этого получаем, что система дифференциальных уравнений на обладающая свойством комплексно-ортогональной инвариантности, и имеющая голоморфные решения, продолжаемые на все С, может являться только системой, задающей одну из подалгебр алгебры Ли комплексно- ортогональной группы. Доказательство использует разложение представления группы 50(1, С) присоединенным действием в пространстве алгебры Ли 1го1^п) на неприводимые подпространства: где все комплексные пространства У\ конечномерны и имеют вполне определенные старшие веса на полупростой алгебре Ли во(п+1, С) (эта алгебра Ли проста при п > 3 и полупроста при п = 3). Пусть йо(п +1, С) = Ум при п/Зи 5о( 4, с) = Ум< + Ум» • Показано, что в любом из неприводимых подпространств У\ , имеются неполные векторные поля (т.е. такие векторные поля, которые задают локальный поток на многообразии 2п не продолжаемый до глобального потока, определенного на всем [Л13]).

В главе 2 собраны результаты автора по геометрическим свойствам бесконечномерных групп Ли, являющихся подгруппами групп диффеоморфизмов. Как известно, группа диффеоморфизмов сохраняющих элемент объема компактного ориентированного риманова многообразия М снабжается правоинвариантной римановой метрикой (слабой) — кинетической энергией. Она задается в ее алгебре Ли (пространстве бездивергентных вещественных векторных полей на М) следующим образом:

Пусть а<1и(г;) = [и,у]— оператор присоединенного действия в алгебре Ли векторных полей на М с операцией [и,у]— скобкой Пуассона векторных полей. Здесь важен также оператор коприсоединенного действия а<1*(г;), сопряженный к ас1и(г;) в смысле метрики (0.1) а

0.1) а(1*(^),к; >=< и, ад.ит >

0.2) и билинейная форма

В (и, у) = аё1(и).

0.3)

Первая группа прикладных результатов главы — это вычисление кривизн групп диффеоморфизмов сохраняющих элемент объема компактных ориентированных римановых многообразий М. Для ортогональной пары бездивергентных векторных полей и, V через К (и, у) обозначается секционная кривизна по двумерному направлению, порожденному элементами и, V. Секционные кривизны вычислены для конкретных многообразий: 2-х мерная сфера, п-мерный тор. Для случая п- мерного тора вычислена также кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. В случае двумерной сферы 52 в алгебре Ли У/х(52) выбран следующий ортогональный базис из сферических векторных полей е1т. В качестве функций тока взяты сферические функции М!(2 т (I + т)\ (4тг) ]

С ОЪ1+тв е1 I

7711 с нормирующими коэффициентами ^^ , что гарантирует условие 1. Пусть к = (—у,х, 0) - векторное поле вращения. Для произвольного векторного поля V Е ^(52) будем использовать его разложение по элементам ортогонального базиса Е

Теорема 2.1. Кривизны по двумерным направлениям даются выражениями:

1 .К(Н,е1т)= 3 ™2

8тг (/2(/ + 1)2 « 2 (0.4) о тгО. \ 3 ^ / 7X1

2 .к(Н,ь) =

Для аналога пассатного потока на двумерном торе для т.е. векторного поля д = z(—y, я, 0) получена следующая асимптотика:

15

Шд (0.5) и установлены двумерные направления, по которым секционные кривизны отрицательны: ffoejj <0,|m| > 1. Для случая n-мерного тора вычислен функционал кривизн. Пусть

V = ^~2vses,es = ехр (1кф), S f¿ = sin кф, /¿Г = cos кф

Тогда для секционных кривизн имеет место следующая формула, [Л6]: Теорема 2.2.

К(и/±,у) = Уо1(ГП) ^ ± <щ1>2 | < к,Щ-к±ч+к > |2 (0.6)

4 1ф0 I'1

Для произвольной бесконечномерной группы Ли получена формула, выражающая коэффициенты тензора кривизны правоинвариантной метрики через структурные константы ее алгебры Ли. Одним из применений этой формулы является вычисление тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема компактной римановой поверхности М2. В алгебре У^(М2) бездивергентных векторных полей на М рассмотрим подалгебру 5Уо(М2), состоящую из векторных полей с однозначными функциями тока. Обозначим через А— оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях. Заметим, что оператор А обратим на подпространстве (М2) и там имеет смысл рассматривать оператор А-1. Теорема 2.3. Тензор кривизны Я(и,у)ю группы £>г//^(М2) для элементов и,у,ш,г € 5Уо(М2) дается следующим выражением: Я(и, г;)ги, г >= - < [т, г>] + Д—1([Дгу, г;]— гу,Дг;]),[и,г]+

А-1 (К Дг] - [Аи,г]) >

1 (0.7) [и),и] + Д1([Ди>,«] - [гу,Ди]),[и,г]+

Д-1([и,Дг] - [Ди,г]) > + ^ < [и,у],[ю,г] - Д-1([Дгу,г] -+[«;, Дг]) >

Для вычисления секционных кривизн групп диффеоморфизмов удобно использовать базис в алгебре Ли 51/о(М2) из собственных элементов оператора Лапласа-Бельтрами.

Следствие 2.1. Для пары ортонормированных векторных полей и, V, являющихся собственными для оператора Лапласа-Бельтрами А со значениями Л, ц (заметим, что на подалгебре 5УЬ (М) оператор А не имеет ядра, т.е. Л,// ф 0), имеем

КМ = -\\[иМ? + ^(Л-^)2|Д1[и,и]|2 - < гфН] > (0-8)

Если же А = то 3

К [и, у) = < и, [и[ш>]] >

Эти формулы применимы также для двумерных областей с границей, если рассматривать диффеоморфизмы, тождественные на границе. Подробно рассмотрен случай группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема прямоугольной области на плоскости. В этом случае вычислены секционные кривизны. Для двумерной сферы заданной в Д3 уравнением х2 + у2 + г2 = 1 , в [Л7] рассмотрены векторные поля и с функциями тока вида £(г). При фиксированном векторном поле и рассматривается последовательность векторных полей с функциями тока Яе{х + 1у)п,1т(х + гу)п. Они являются собственными для оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере с собственными числами n(n-f 1), а также старшими и младшими векторами неприводимых представлений группы S0(3) в пространстве вихревых полей на S2. Вычислена асимптотика секционных кривизн группы диффеоморфизмов сферы.

Теорема 2.4. Если векторное поле и с функцией тока f(z) нормировано (\и\ = 1), то получаем следующую асимптотику секционных кривизн : lim K(u,vt) = -f"(0)- (0.9) n—* оо

Если в теореме 2.3 и следствии 2.3 даны выражения для тензора кривизны и секционных кривизн группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактной римановой поверхности, то в общем случае также получено выражения для секционных кривизн. Для этого в случае компактного риманова многообразия М произвольной размерности оператор коприсоединенного действия выражен через коэффициенты связности Леви-Чивита многообразия М [L2]. Пусть метрический тензор G = {gi,j}-Обозначим через р : V(M) —> Vß(M)— оператор ортогональной проекции пространства гладких векторных полей на подпространство бездивергентных, q = Id —р. Фиксируем пару бездивергентных векторных полей и, v на М, ортонормальных в смысле метрики - кинетической энергии. Обозначим h = ^{G-^G^v - + G~1(Du)'(Gv) - G~1(Dv)'(Gu))

Li

Здесь ' - обозначает поточечное взятие сопряженного оператора, т.е. в смысле скалярного произведения в ТХМ).

Теорема 2.5. Секционная кривизна группы Diff^(M) дается выражением:

К(щ v) =< p(Auu), Avu > + < [и, v], h > - < р(Аии), Avv > (0.10)

Полученное выражение для К (и, v) позволило в известной формулы секционной кривизны, использованной Арнольдом при расчетах на 2-х мерном торе, сократить член со скалярным квадратом скобки Ли [и, v] векторных полей с некоторым другим членом. Например, при вычислениях на простых гармониках для случая 2-х мерного тора в расчетах Арнольда, и n-мерного тора в ранее проведенных автором расчетах [JT6], когда показатель гармоники стремится к бесконечности, скалярный квадрат скобки Ли оказывался старшим членом при вычислении кривизны. В случае локально евклидова многообразия оператор коприсоединенного действия приводится к наиболее простому виду, что позволяет упростить выражение для секционных кривизн.

Теорема 2.6. Для локально евклидова многообразия М секционная кривизна дается выражением:

К (и, v) = - < q(u(v)) >2 + < q(u(u)), v(v) > (0.11)

Следствие 2.2. Если выполнено условие divu(u) = 0 (например, когда векторное поле и является простой гармоникой на n-мерном торе), то выражение для секционной кривизны приводится к виду:

K(u,v) = - < q(u(v)) >2 (0.12)

Для случая произвольного бездивергентного векторного поля и на п-мерном торе получена асимптотика кривизн К (и, vn), когда векторное поле ггп является простой гармоникой (т.е. имеет вид vn = ancoskn(j) + bnsinkn(f)), показатель которой кп стремится к бесконечности. Именно, справедлива

Теорема 2.7. Пусть задана последовательность бездивергентных векторных полей wn = coskn(f)an + sinкпфЬп, причем \wn\ = 1 и существует такие u,K<ERn„ что

Q"ni Ьп и, п —>■ оо, к ■¡т~т — -> 0, п -)• оо

Для произвольного бездивергентного векторного поля v,\v\ = 1, обозначим через K(wn,v) кривизну по двумерному направлению, натянутому векторными полями wn,v. Введем многозначную функцию fK =< /с, ф > . Тогда lim K(v,wn) = -2\[u,v](fK)\2 n—too

Заметим, что и рассматривается как элемент алгебры Ли п-мерного тора, и, хотя функция fK- многозначная, т.к. координаты на торе могут отличаться на величины 2кп, после взятия производной по направлению [и, г;] от функции получается однозначная функция [и, г>](/«), поэтому вышеприведенная формула для асимптотики секционных кривизн корректна. Для задачи исследования решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости как геодезических на группе диффеоморфизмов полезно ввести среднюю кривизну поля скоростей жидкости, являющуюся аналогом конечномерной кривизны Риччи[Бес]. Кривизна Риччи для бесконечномерной алгебры Ли Уц{М) определяется следующим образом. Пусть 5рес(Д)— дискретный спектр оператора Лапласа- Бельтрами на векторных полях компактного ориентированного риманова многообразия М. Представим алгебру Ли У^{М) бездивергентных векторных полей в виде индуктивного предела подпространств У^(М)Ь, натянутых объединением базисов собственных подпространств У\, где Л е 5рес(Д), |А| < Ь.

Введем величины

1) = (сШп^М)^!) £

К М ' ' [{еа}]=У„(М)Ь

Определение.

Шеф) = Ит Шеф, I) (0.13)

Ь—юо

Полученная выше асимптотика секционных кривизн позволяет вычислить также кривизну Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема п-мерного тора.

Теорема 2.8. Пусть V— бездивергентное векторное поле на Тп, нормированное в смысле метрики — кинетической энергии (|г;| = 1). Кривизна Риччи группы 0{//ц(Тп) имеет следующий вид. -(»-й^Н1^ (0.14)

Для плоской прямоугольной области К С К также вычислена кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема области. Теорема 2.9. Кривизна Риччи группы /}г'//м(.ЙГ) дается формулой

3, ^т ,2 1

Шеф) = --|>/(=Д)|; 1 Уо1 (К)

Заметим, что для случаев двумерного тора и прямоугольной области выражения для кривизны Риччи отличаются только постоянным множителем (для Т2 из теоремы 2.5 имеем

Отдельно рассмотрен случай некомпактного многообразия М. Алгебре Ли У®(М) векторных полей, быстро убывающих на бесконечности с производными, соответствует подгруппа в группе диффеоморфизмов некомпактного многообразия, которую можно снабдить правоинвариантной метрикой - кинетической энергией. Для случая группы диффеоморфизмов цилиндра проводится вычисление секционных кривизн этой группы диффеоморфизмов.

Глава 3 посвящена группам токов и, как следствие, исследованию нелинейной динамике намагниченности ферромагнетиков. Пусть задано трехмерное ориентированное риманово многообразие М. Уравнение Ландау-Лифшица имеет вид: л

-^ = тхРт. (0.15) дЬ

Здесь х— операция векторного произведения в касательных пространствах, снабженных евклидовой структурой, наследуемой от римановой метрики, ш— гладкое векторное поле на М, Р— дифференциальный оператор, представимый в виде

Р — N 7г, где N— эллиптический дифференциальный оператор (здесь часто используется оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях А), а тг— оператор проекции пространства векторных полей на заданное одномерное подпространство: тг(т(х)) = Ь(т(х),еЗ),Ь > 0, здесь 7г отвечает за анизотропный член. Для определенности будем считать, что эллиптический оператор N отрицательно определен. Оказывается удобным иметь вместо Р обратимый оператор. Этого можно достичь, если заменить Р на оператор Ра = Р — a Id, где а— скаляр, a Id обозначает тождественный оператор. Можно показать, что для а > Ь оператор Ра становится обратимым. Для уравнения Ландау-Лифшица существуют две инвариантные метрики : поточечно инвариантная метрика (поточечное скалярное произведение):

Оказывается, однако, что решения уравнения Ландау-Лифшица не являются геодезическими для группы токов с одной из этих метрик. Поэтому на группе токов автором предложено воспользоваться нестандартной скобкой Ли:

Тогда для группы токов с такой скобкой Ли и с левоинвариантной метрикой <гп1,т2 > решения уравнения Ландау-Лифшица являются геодезическими кривыми метрики. Для группы токов с нестандартной скобкой Ли вычислен тензор кривизны. Положим / = Ри,д = Рг>, И = Ръи.

Теорема 3.1. Тензор кривизны группы токов имеет вид: mi(x),m2(x)) и интегрально инвариантная : mi, m2 >= ~ (™>i(x), Parri2(x))dx. Jm mi,m2] = Pa 1{Pam X Pam)

R(u,v)w = ]i{p-1[-(fxg)xh+ f x Pa(h xv)-gx Pa(h x u)+ f x Pa(g x w)-g x Pa(f xw)]-{f x g) xw-hx (g xu)+ h x (/ x v) + Pa(h x v) x u—

0.16)

Pa(h x u) x v+

Pa(g XW)XU~ Pa(f XW)XV+ f x P~l(g xh)-gx P~l(f x h)

-2hxP-\fxg)}

Используя выражение для тензора кривизны алгебры токов, далее вычисляются секционные кривизны для простых гармоник на 3-х мерном торе. В качестве эллиптического оператора N берется оператор Лапласа. Исследуется асимптотика выражений для кривизн. Установлено, что когда одна из гармоник фиксирована, а другая стремится к бесконечности, секционные кривизны становятся положительными. В случае же, когда простые гармоники векторных полей и, v совпадают и стремятся к бесконечности, кривизны K(u,v) стремятся к минус бесконечности. Установлено также существование областей для пар простых гармоник, в которых секционные кривизны соответствующих пар векторных полей отрицательны. Пусть a, b те же, что и выше.

Теорема 3.2. Пусть дана пара векторных полей и = cos кхе з, v = cos lx(se\ + гег), удовлетворяющая условию : а<{к-1)2 < к2.

Обозначим q2 = = р-. Тогда справедлива следующая оценка кривизны:

2 , ,2 , ч , о (а~Ь)

K(u,v) < С(к + Г + а) + 2

4Vol(T3) где и - (1д)2 +1

В частности, если q = р = то справедлива следующая оценка

Таким образом, для случая уравнения Ландау-Лифшица удается выделить зоны в спектре оператора Лапласа, в которых оказываются отрицательными секционные кривизны группы токов. Случай однородно намагниченного тора описывается постоянным векторным полем на торе. Здесь справедлива

Теорема 3.3. Пусть векторное поле V то же, что и в теореме 3.2, а И = е^.

Тогда секционные кривизны по двумерным направлениям, проходящим через И и V, положительны и даются выражением:

М'ТЩгЩ^ь) (0Л8)

Таким образом, для векторного поля V с ненулевой простой гармоникой кривизны К (к, у) > 0, что соответствует физическому факту устойчивости однородно намагниченного тора [ЬЗ]. Здесь имеется некоторая аналогия с группой диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема двумерной сферы 52. Если q- векторное поле, соответствующее вращению на 52, а р— векторное поле с простой сферической гармоникой, то выше было отмечено, что > О [ЛЗ].

Глава 4 посвящена групповому анализу несжимаемой жидкости. Для идеальной несжимаемой жидкости основополагающей является конструкция Арнольда правоинвариантной метрики на группе диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема многообразия. Эта группа может рассматриваться в качестве конфигурационного пространства не только для идеальной, но и для вязкой несжимаемой жидкости. Здесь одной из проблем является не только устойчивость течений, но и получения решений, продолжаемых во времени на бесконечность [ММ]. При этом редукция задачи к подгруппам группы диффеоморфизмов может позволить получать конкретные классы таких решений. Сначала исследуется случай идеальной несжимаемой жидкости, описываемой уравнениями Эйлера: ди „ + Чии + Ур = О т

Предложение 4-1- Пусть и является векторным полем алгебры Ли компактной группы Ли, сохраняющей риманову метрику на М. Тогда и - стационарное решение уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости. В более общем случае верна

Теорема 4-1- Пусть на компактном ориентированном римановом многообразии М заданы два бездивергентных векторных поля и, и, удовлетворяющих условиям:

1) и— векторное поле компактной группы Ли К, сохраняющей риманову метрику;

2) V— стационарное решение уравнений Эйлера на М;

3) Vvu = 0 ( либо 3') 0).

Тогда решение векторное поле w* является решением уравнений Эйлера с начальными данными w° = и + v . wl = u + gl{v)(u + g?(v)). (0.19)

Здесь дь— поток векторного поля u,f*v— обозначает действие диффеоморфизма / на векторное поле v.

В качестве примера можно привести векторное поле на 3-х мерном торе Т3 w = (а, 6, f(x, у)). Если взять и = (а, Ь, 0), v = (0,0, f(x, у)), то выполняются условия теоремы 4.1 в варианте 3. Тогда решение уравнений Эйлера с начальными данными w° = w будет иметь вид: wь = (a, b,f(x — at, у — bt)).

В гидродинамике идеальной несжимаемой неоднократно исследовалось (А, В, С)-поле на трехмерном торе и = (A sin z + С cos у, В sin х + A cos С sin у + В cos х)

Это векторное поле дает пример течения 3-х мерной жидкости, приводящего к турбулентным эффектам, в частности, это векторное поле разбирается Арнольдом в лекциях по классической механике. Различными авторами проводились машинные эксперименты по изучению поведения интегральных кривых (Л, В, (7)-поля. В [JI7] автором вычислялись секционные кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема 3-тора по двумерным направлениям, содержащим (А, В, С)-поле и был установлен ряд условий на векторное поле v, гарантирующих отрицательности кривизн К (и, v) по двумерным направлениям, проходящим через (А, В, С)-поле. Позднее G. Misiolek [Mis] выявил и такие двумерные направления, проходящие через (А, В, С)-поле, для которых имеет место положительность кривизны K(u,v). Проведенный выше групповой анализ уравнений Эйлера позволяет оценить устойчивость течений, задаваемых (А,В,С)~ полем другими методами. Из теоремы 4.1 вытекает [JI12]

Следствие 4-1• (А,В,С)-иоле на Т3 является неустойчивым по Ляпунову.

Одна из конструкций, подпадающих под эту теорему, строится следующим образом. Рассмотрим сферическое расслоение Р над компактной римановой поверхностью М со слоем окружность 51:

7Г Р —V М

В качестве бесконечномерной группы Ли возьмем полупрямое произведение компактной группы Ли К киллинговых преобразований римановой поверхности М (с алгеброй Ли £) и обобщенной группы токов О(М) поточечных поворотов касательных пространств ТХМ. Элемент группы 0(М) может быть задан гладкой функцией / на М. При этом значение функции / в точке х поверхности М интерпретируется как угол поворота по часовой стрелке в слое 51 С ТХМ сферического расслоения, индуцированного римановой структурой на М. Обозначим через п векторное поле, соответствующее действию поворотами в ТХМ на одни и тот же угол для всех х. Тогда алгебру Ли о(М) группы 0(М) образуют векторные поля вида /п, а полупрямое произведение, т.е. группа О = КО(М) вкладывается в группу диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема 3-х мерного многообразия Р. Векторное поле п задает стационарное решение уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости в Р, т.к. является полем действия компактной группы Ли (51) на Р. Здесь справедлива

Теорема 4-2. Для пары векторных полей и £ I и V Е о(М) выполняются условия теоремы 4.1 в варианте 3'.

Таким образом, получается класс нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости в многообразии Р. Эволюция поля скоростей жидкости описывается следующим образом. Обозначим через д1 = ехр(£и) -однопараметрическую подгруппу компактной группы Ли К. Тогда решение уравнений Эйлера с начальными данными V = /п будет иметь вид V1 = ¡(д~гх)п. Таким образом диффеоморфизмы, определяющие движение сплошной среды, задают действие трансляциями элементов из компактной группы Ли К на гладкие функции / на поверхности М. Если базой М является двумерная сфера, то такие течения вкладываются в бесконечномерную подгруппу В группы диффеоморфизмов трехмерного многообразия 5(52) (изоморфного МР3). Имеем В = 50(3)0(52), которая естественно вкладывается в группу Бонди-Метнера-Закса. Известно, что группа Бонди-Метнера-Закса представляет собой полупрямое произведение конформной группы двумерной сферы 50(1,3) на пространство гладких функций на сфере. Физически элементы этой группы описывают класс асимптотически плоских метрик Минковского. С другой стороны, доказательство этого факта проведено Заксом на упрощенном примере группы, представляющей собой полупрямое произведение ортогональной группы на пространство гладких функций, применительно к классу асимптотически плоских евклидовых метрик. Это позволяет сделать вывод, что элементы подгруппы В описывают подкласс асимптотически плоских евклидовых метрик.

Методология нахождения решений уравнений Эйлера типа "бегущей волны" применима также к уравнению Навье-Стокса: ди + Чии - иАи + Ур = О

Здесь и— показатель вязкости жидкости. Влияние диссипатовного члена и А, на поведение решения удобно учесть с использованием метода вариации постоянных. Так для рассмотренного выше примера с начальными данными т = (а, 6, /(я, у)) можно применить разложение в ряд Фурье: = XI а(М) С0ФХ + 1У) + Ь(к,1) *т(кх + 1у)) (М))

Если взять теперь собственные числа оператора Лапласа А (к, I) = —к2 — 12 и ввести зависящую от времени функцию:

1*(х,у) = ^2ехр(\(к,1)г)(а{к^ со8(кх + 1у) + ЪМ8\п(кх + 1у))), (к,1) то решением уравнения Навье-Стокса с начальными данными т° = и> будет векторное поле ги1 = (а,Ь,/*(х -аг,у - Ы)). В более общем случае справедлива

Теорема 4-3. Пусть на компактном ориентированном римановом многообразии заданы два бездивергентных векторных поля u, v, которые:

1) удовлетворяют условиям 1-3(1-3') теоремы 1; 2) являются собственными для оператора Лапласа-Бельтрами с собственными числами А,// -соответственно. Тогда решением уравнений Навье-Стокса с начальными данными и + v будет векторное поле: w* = exp(z/A t)u + exp(i^t)gí{t) (v) (0.20) либо wl = exp(v\t)u + где (j>{t) = ^(ffl-1 при А ф 0 и (¡>(t) = t при A = 0. Итак, анализ спектральных свойств операции эволюции вдоль геодезического потока на бесконечномерных групп Ли различных типов показывает в изученных примерах : а) случай отрицательного спектра значений кривизн для задачи описания течений несжимаемой жидкости в локально евклидовом случае; б) отрицательность средней кривизны (кривизны Риччи) для п-мерного тора, плоской области с границей); в) существование областей отрицательности кривизн на спектральной плоскости для задачи нелинейной динамики ферромагнетиков.

Таким образом, рассмотренные выше примеры усложняются по мере изложения материала глав. Установленные факты отрицательности кривизн бесконечномерных групп Ли, взятым по двумерным направлениям вдоль эволюции геодезического потока, являются признаками неустойчивости решений соответствующих уравнений математической физики ([Api], [Ан]). Это свидетельствует о возможном турбулентном поведении эволюционирующей сплошной среды для физических явлений различных типов.

1. Лукацкий A.M : О построении конечных систем образующих в алгебрах Ли векторных полей и группах диффеоморфизмов компактных многообразий. В сб. Геометрические методы в задачах анализа и алгебры, Ярославский государственный университет, 1978, с. 170-182.

2. Лукацкий А. М.: О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2- мерной сферы, Функ. анализ и приложен., vol.l3(1979), №.3, 23-27.

3. Лукацкий A.M. : О бирациональных базисах в группах диффеоморфизмов многообразий Tn, Sn и RPn. В сб. Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославский государственный университет, 1982, с. 55 62.

4. Lukatsky A.M.: Construction of finite systems of generators for Lie algebras of vector fields and for groups of diffeomorphisms of compact manifolds, Sel. Math. Sov., vol.l(1981), no. 2, 185-195.

5. Лукацкий А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру п- мерного тора, УМН, т. 36, 1981, вып. 2, с. 187-188.

6. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру п- мерного тора, Сибирский математический журнал, vol.25 (1984), №.6, с. 76-88.

7. Лукацкий А. М. .: О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2-мерного многообразия, Сибирский математический журнал, т.29(1988), №.6, с. 95-99.

8. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия , Сибирский математический журнал, т.31(1990),

9. Алексовский В.А., Лукацкий A.M., Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков и движение обобщенного твердого тела с группой токов. Теоретическая и математическая физика, т. 85(1990), №.1, с. 115-123.

10. Lukatsky A.M., On the curvature of diffeomorphisms group, Annals of Global Analysis and Geometry, Berlin, vol.ll(1993), p. 135-140

11. A.M. Lukatsky, On the geometry of current group and a model of the Landau- Lifschitz equation, Lie groups and Lie Algebras, B.P. Komrakov et al.(eds.), Kluwer Academic Publishers, Printed in the Netherlands, 1998, p.425-433.

12. Лукацкий A. M. Об одном обобщении конструкции групп токов. В сб. Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославский государственный университет, 1998, с. 137-141.

13. Лукацкий А. М., О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях, Научный вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, Москва, МГТУ ГА, № 64, 2003, с. 7-17.

14. Лукацкий А. М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли к динамике несжимаемой жидкости , Прикладная математика и механика, 2003, № 5, 784-794.

15. Лукацкий А. М., О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях, Международная научно-практическая конференция, посвященная 80-ти летию гражданской авиации России, Москва, МГТУ ГА, 2003, с. 145.

16. Лукацкий A.M. Максимальность действия ортогональной группы на аффинной квадрике. В сб. Геометрические методы в задачах анализа и алгебры, Ярославский государственный университет, 1980, с. 130-137.

17. Лукацкий A.M. О некоторых типах бесконечномерных групп Ли и примерах непрерывных действий простых групп Ли, неэквивалентных гладким, Вопросы теории групп и гомологической алгебры, 2003, с. 152162.

18. Лукацкий А. М., О геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия, Научный вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, Москва, МГТУ ГА, № 91, 2005, с. 36-47.

19. Лукацкий А. М., О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия, Международная научно-практическая конференция, посвященная 35-ти летию основания Университета, Москва, МГТУ ГА, 2006, с. 174.

20. Лукацкий А. М.,0 применении бесконечномерных групп Ли для оценивания турбулентности, Научный вестник МГТУ ГА, серия Информатика. Прикладная математика, Москва, МГТУ ГА, № 105, 2006, с. 164-168.