Об одном методе исследования уравнения Хилла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИI РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Б.Н. ЕЛЬЦИНА

Диссертационный совет К 730.001.02

на правах рукописи

КАРАСАЕВ ИШЕН КАРАСАЕВИЧ

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фшико-математических наук

2 7 0КТ-2011

Бишкек-2011

4858099

Работа выполнена в Бишкекском гуманитарном университете им. К. Карасаева

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук Керимбеков А.К.

доктор физико-математических наук Алымкулов К.А. кандидат физико-математических наук Байзаков А.Б.

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится « & »л^уе-^Ал"_2011 г. в 1£ ^^ часов на

заседании диссертационного совета К 730.001.02 при Кыргызско-Российском Славянском университете им. Б.Н. Ельцина по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская, 44.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кыргызско-Российского Славянского университета им. Б.Н. Ельцина по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская, 44.

Автореферат разослан « -3 » ожг^У^ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

С.Н. Землянский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнение вида

d2x , ч . — + a{t)x = О,

где a(t) непрерывная периодическая функция, в математике принято называть уравнением Хилла. Оно в следующем частном виде:

лютно сходится, встречается в мемуарах Хилла, опубликованных в 1877 году, посвященных исследованию движения Луны. Уравнение (1) в следующем виде

было рассмотрено Матье еще в 1868 году в связи с изучением колебаний эллиптической мембраны. Со времен Хилла и Матье уравнение (1) в том или ином частном виде исследовались многими авторами (X. Кох, Н.Е. Кочин, А. Пуанкаре, Г.В. Бондаренко, А.П. Проскуряков, В.Ф. Журавлев, К.Г. Валеев, В.В. Болотин и др.) в связи с решением физических, технических и астрономических задач. Поскольку эти задачи были прикладного характера и в связи с отсутствием теоретически разработанного метода решения уравнения Хилла, авторы ограничивались построением приближенных решений, которые в том или ином смысле удовлетворяли потребности практики. Например, Хилл для решения астрономической задачи ограничивался использованием значения определителя лишь третьего порядка, составленного из центральных строк и столбцов бесконечномерного определителя.

Согласно теории Флоке решение уравнения (1) имеет вид:

00

где а0 Ф ù,ava2,... - известные постоянные и ряд ^ancos2nt абсо-

Л=1

dt

(2)

где ¡Л - характеристический показатель, а вектор

определяется как решение бесконечномерной системы линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет решение лишь в том случае, когда некоторый бесконечномерный определитель, зависящий от ¡1, равен нулю. Это обстоятельство (например, вопросы существования бесконечномерного определителя, вычисление его значения и т.д.) вносит свои коррективы при разработке методики построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. В этом направлении, несмотря на то, что теория линейных дифференциальных уравнений достаточно развита, на сегодняшний день почти отсутствует теоретически разработанный метод решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Что касается уравнения

Хилла (1), то для случая, когда среднее значение а0 коэффициента

а (/) не равно нулю, достигнуты определенные успехи. Обзор литературы показал, что со времен Хилла исследования уравнения (1) проводились только при условии 0, и полученные результаты теряют

смысл при а0= 0. Поэтому случай а0= О условно назовем критическим.

Поскольку уравнение Хилла часто встречается в прикладных задачах, а также ряд важных уравнений, после выполнения некоторых преобразований, приводятся к уравнению Хилла, то полное исследование уравнения Хилла в критическом случае (построение характеристического уравнения и вопросы его разрешимости, разработка алгоритма построения фундаментальной системы решений, поведение фазовых траекторий и др.) является одной из актуальных задач теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Цель работы заключается в разработке конструктивного метода решения уравнения Хилла в критическом случае.

Методика исследования. В процессе исследования использованы методы теории Флоке, характеристических показателей Ляпунова, функций комплексного переменного и бесконечномерной системы линейных однородных алгебраических уравнений, и развиты известные методы исследования уравнения Хилла.

Научная новизна работы. Уравнение Хилла исследовано в критическом случае и получены следующие результаты:

1. Разработан метод поляризации, позволяющий характеристическое уравнение, представляющее собой бесконечномерную систему линейных однородных алгебраических уравнений, преобразовать к каноническому уравнению, которое имеет простую структуру, что позволяет

находить корни характеристического уравнения посредством решения

квадратного уравнения;

2. Дана полная картина расположения на комплексной плоскости корней промежуточного уравнения, эквивалентного характеристическому уравнению, в зависимости от значения бесконечномерного определителя к,

3. Установлены интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова;

4. Разработан алгоритм построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. Доказано, что бесконечная матрица характеристического уравнения обладает свойством нормальности, т.е. свойством конечномерной матрицы, и на основе этого свойства были построены линейно-независимые частные решения уравнения Хилла;

5. Установлены типы точек покоя линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, эквивалентной

уравнению Хилла;

6. Приведены результаты численных расчетов для отдельных примеров, которые подтверждают теоретические результаты и показывают, что поведения решений уравнения Хилла очень чувствительны к изменению вида периодического коэффициента а(1).

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты представляют как теоретический, так и практический интерес. Предложенная методика построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла создает предпосылки для разработки и развития методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. С другой стороны, разработанная методика является конструктивной и позволяет довести решение уравнения Хилла до численных расчетов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Общая схема применения разработанного метода поляризации для преобразования бесконечномерной системы линейных однородных алгебраических уравнений (характеристического уравнения) в критическом случае к каноническому виду;

2. Общая схема установления интервалов изменения характеристических показателей Ляпунова в критическом случае в зависимости от значения бесконечномерного определителя;

3. Общая схема построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла в критическом случае, основанная на свойствах нормальности бесконечномерной матрицы характеристического уравнения и классификация фазовых траекторий (точек покоя).

Апробация результатов. Результаты работы сообщались: на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979 г.), на международной практической конференции по «Аналитическим экспериментальным методам мат. физики» (Ош, 1984), на семинарах профессора Хапаева М.М. (факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, 1984), профессора Матвеева М.Н. (кафедра матанализа Ленинградского педу-ниверситета, 1985), на Международной конференции по «Пограничным и внутренним слоям: вычислительные и асимптотические методы» (Новосибирск, 1986), на конференции математиков и механиков Киргизии, посвященной 70-летию Октября (Фрунзе, 1987), на семинаре профессора Умбетжанова Д.У., (Инст. математики и механики HAH Республики Казахстана, 1987), на семинарах академика Иманалиева М.И. (Инст. матем. HAH KP, 1987), члена-корр. АН Укр. Самойленко A.M. (Инст. математики АН Укр., 1988), профессора Фомина В.Н. (Ленинградского университета, 1989), на Всесоюзной конференции «Асимптотические методы сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач» (Бишкек, 1991), на республиканской научной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (ОшГУ, 1993), на Международной научной конференции, посвященной 1200-летию Ахмада Ал-Фергани (Фергана, 1999).

На третьей (г. Бишкек, 2008 г.) и четвертой (г. Бишкек, 2010 г.) международных конференциях «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике», на семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова «Качественная теория дифференциальных уравнений» (руководители: проф. Асташова И.В., проф. Бороских A.B., проф. Розов Н.Х., проф. Сергеев И.Н., 23 апреля 2010 г. в 18.30. ауд. 16-04), на семинаре кафедры «Прикладной математики и информатики» Кыргызско-Российского Славянского Университета в 2007 - 2011 гг. (руководитель проф. Керимбеков А.К.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 10 работах [1-10], приведенных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, состоящих из 6 разделов, где имеются 15 рисунков и 9 таблиц, списка используемой литературы, содержащего 64 наименований, и приложения, где изложена программа вычислений. Объем текста 109 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена актуальность темы диссертации, цель и краткое содержание работы по главам.

В первой главе, состоящей из трех разделов, приведен обзор работ других авторов, посвященных исследованию уравнения Хилла, изложена методика вывода характеристического уравнения и процедура приведения характеристического уравнения к каноническому виду.

В разделе 1.1. изложен подробный обзор литератур, посвященных исследованию уравнения Хилла.

В разделе 1.2. для уравнения Хилла (1) получено характеристическое уравнение:

дД/^с^д, (//) = (), (3)

где А0(/^) - матрица системы

00

{М + гр)2 УР= Е аР-чУч =°>Ре2> Ю

д=—<0

ч*р

т.е.

4>(м)=[арч1арр=(1и + 1р)2,аря=ар_<],р*д ар - коэффициенты Фурье разложения,

а(О=Харе'р'(а0=О).

р=-со

На основе метода поляризации, предложенного автором, система (4) преобразуется к системе уравнений:

(1 + —^-)ур + £ ар~1 уч = О ,рег (5)

{/л + грУ-а р ^(р + гр) -а

1*р

матрица которой имеет вид:

А (р) = [Арч},АРР= 1 + 7-^-, Ап = —^-, р * я .

" 1 (р + гр) -а (р + 1р) -а

Такой подход позволяет находить р из уравнения

Д1(/ц) = ёе1Л,(;ц) = 0 (6)

и для матрицы А1 удается доказать (например, методом Коха) сходимость бесконечномерного определителя

А, (/¿) = (1&Л1(/и).

В диссертации бесконечномерный определитель А, (//) вычисляется по правилу

£Л, ( £11 — 11Ш д' N

1 N

А1(//) = ишДГ(//),

где А, (//) определитель матрицы

= Р>9-=-N,...-1,0,1,...К

2Ы+1-порядка. Сходимость бесконечномерного определителя А1 (//)

можно проверить согласно условиям Коха или Кагана, однако, заметим, что эти условия являются лишь достаточными.

Задача определения /л из уравнения Д2 (//) = 0 является сама

по себе сложной задачей и требует дополнительных исследований.

В разделе 1.3. доказано, что функция А1 (//) обладает свойством

четности и периодичности (с периодом г). Далее установлен ряд полезных формул и доказан ряд лемм.

Лемма 1.3.1. Для функции А1 (//) имеет место разложение

А! (/¿) = 1 + г1(а1№лг(а1 - /л)+ г2{а2)^т(а2 -//), (7)

где

г1(а1) =--— Л (а,), г2(а2) =--Я{сс2)

а,-а, аг -ах

^ ~ бесконечномерный определитель, удовлетворяющий соотношению

т.е. имеет место разложение по котангенсам.

Лемма 1.3.2. Функции г, (аг,) и Г2 (а2 ) связаны соотношением

(^2 ) = ~Г1 ) •

где

Лемма 1.3.3. Для функции А, (//) имеет место представление

=-Щ ' ()

Д=е2~\/?2=е2я\ 2 = е2л",

Лемма 1.3.4. Для функции гх (а^) имеет место представление

= (9).

Далее устанавливается эквивалентность уравнений

Д,(//) = 0 и Р{1) + щ{ахШ2)-Р2{2)\ = О, (Ю)

и уравнение (10) преобразуется к уравнению вида

вт2 тц = пгк, (И)

где А - бесконечномерный определитель. Уравнение (11) назовем каноническим видом характеристического уравнения (10).

Во второй главе, состоящей из трех разделов, изложены результаты исследований канонического уравнения, интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова и приведены формулы их вычисления. Указан алгоритм построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла и возможные типы точек покоя.

В разделе 2.1. приведена полная картина расположения на комплексной плоскости корней промежуточного уравнения, эквивалентного характеристическому уравнению. Установлены всевозможные случаи расположения корней промежуточного уравнения в зависимости от значения бесконечномерного определителя /г.

В разделе 2.2. согласно расположениям корней промежуточного уравнения вычислены характеристические показатели Ляпунова решений уравнения Хилла, и установлены интервалы изменения их значений. Результаты исследований разделов 2.1 и 2.2 приведены в следующей таблице:

Интервалы изменения h Корни уравнения (2.1.2) и их геометрические характеристики Интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова

-оо < h < 0 z, = 1-2л2И + 2лл1п2Ьг-h i K| = z,, argz, = 0 бх >0,

z1=\-ht1h-2n^ln1h1 - h , 62 <0

\z21 = z2, arg z2 = 0

h = 0 z, = 1, |Z]| = 1, arg z, = 0 <5, =0

z2 = 1 , |z21 = 1, arg z2 = 0 82 = 0

0 <h< \ 2n z, = 1 - 2лгИ + ilny/h - 7r2h2 |z,|= 1, - n2h2 arg zx~arctg 1 - 2rc h 8Х = 0

z2 = \-2n2h~ iln-Jh - n2h2 , д2 = 0

KH'

2п4ъ-пгЬг arg z2 = -arctg

2л Z, =/, |z,| = l, argz, =у Z2 =/, |z2| = 1, argz2 = -y Sx = 0 ¿2=0

1 , 1 --<h< —г 2л л2 z, = \-2л2к + 12л^Ъ-л2к2 , К1 = ь In^h-n^h1 arg zx = л + arctg ^^ z2 = 1-2л-2/г-г2л-л/А-л-2/;2 . КИ' 51 =0 52 = 0

argz2=-*-arclg ^^

7t zx = -1, |z,| = 1, argz, = 7Г z2 = -l, |z2| = 1, argz2 = яг =0 ¿2 = 0

1 , —— < h < оо л z, = 1 -2ж2й + 2л^1л2Нг - h , |г,| = 2л2h - \ - 2лу/л2h2 -h , arg Zj = л z2 =\-2л2И-2лу]л1И1 -h , |z2| = 2лг1г-\+ 2л4л2Ь2 - h , arg z2 - л <0 ¿2 <0

Рассмотрены несколько примеров и приведены в виде таблиц значения бесконечномерного определителя h, корней z, и z2 промежуточного уравнения и значений характеристических показателей Ляпунова соответствующих корням zx и z2.

Например, для уравнения x" + s¡n/-x = 0 результаты численных расчетов приведены в следующей таблице:

a(i) = sin/

N h(N) zl(N) z2(N) MW M2(N)

3 0,462046682 -0,06180827 -16,17906359 -0,4430424856+0,5i 0,4430124856+0$

5 0,459855802 -0,06214176 -16,09223764 -0,4421860706+0,5i 0,4421860906+0$

10 0,459323971 -0,06222326 -16,07116028 -0,441977475340,5! 0,441977475340$

20 0,459257137 -0,06223352 -16,06851152 -0,441951242-Ю,5i 0,441951242+O5i

30 0,459250408 -0,06223455 -16,06824484 -0,441948600740$ 0,4419486007+0$

40 0,45924877 -0,0622348 -16,06817991 -0,4419479575-Ю, 5i 0,4419479575+0$

50 0,459248186 -0,06223489 -16,06815678 -0,4419477284-Ю,5i 04419477284+0$

60 0,459247928 -0,06223493 -16,06814656 -0,4419476272-Ю,5i 0,4419476272+0$

70 0,459247797 -0,06223495 -16,06814136 -0,4419475757-Ю,5i 0,4419475757+0$

80 0,459247723 -0,06223496 -16,06813844 -0,4419475468+0,5i 0,4419475468+0$

90 0,459247679 -0,06223497 -16,06813668 -0,4419475293+0$ 0,4419475293+0$

100 0,45924765 -0,06223497 -16,06813555 -0,4419475181-Ю,5i 0,4419475181+0$

Как показывают численные расчеты, = üm h(N)& 0,45924

Л' > * v '

и удовлетворяет неравенству 0,1013 « < h < 0,4620 < +оо

п

и Z, « -0,0622,z2 »-16,038, Sl «-0,4419, 8г « 0.4419 , что подтверждает аналитические результаты.

Рис. 2.2.1

На рисунке 2.2.1 приведен график зависимости h = h[N), который показывает, что значение бесконечномерного определителя h конечно и удовлетворяет оценке

0,45923 < h <0,46204.

Заметим, что из расчетов приведенных в таблице 2.2.1 можно установить допускаемые погрешности, при замене точных значений величин h, zx, z2 и ¿>,, S2 их приближенными значениями.

Отметим также, что результат j5,(u>)| = jj2(10)j = 0,44127 почти совпадает с результатом работы Филлипова А.Ф., где |<S,| = |¿>2| = 0,442, которое им получено при исследовании характеристических показателей уравнения х" + sin t ■ х = 0 с других позиций.

В разделе 2.3. изложена методика построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. Решение уравнения (1) ищется в виде (2), где вектор у является нетривиальным решением бесконечномерной системы (4). Согласно разработанной методике вектор у находится как решение системы

4(м)у**4(м,а)у(а) = 0, О2)

где в - нулевой вектор.

Лемма 2.3.1. Решение уравнения (12) не зависит от значения ос . Поэтому вектор у можно определить из уравнения

Определитель матрицы вычисляется по правилу

Д, (//,0) = с!еЫ, (//,0) = Ни^еЫ,2"*1 (¡и,0),

где А^'*' (//, 0) - матрица порядка 2И+1, определитель которой вычисляется по известному правилу. При этом элемент у0, определяется как алгебраическое дополнение элемента 1 нулевой строки, а у_п - элемента уп - элемента Ы = 1,2,3,.... В силу нормальности матри-цг цг

цы А{(ц,0) существует предел

А = Нт Лй42У+1(//,0)<со,

и алгебраическое дополнение любого элемента любой строки, в частности, нулевой строки матрицы Ах{ц,0) является конечным числом. Кроме того, ряд

ОО

где у - алгебраическое дополнение элементов любой строки матрицы Д(//,0), абсолютно сходится. Поэтому существует решение бесконечномерной системы линейных алгебраических уравнений (12). Таким образом, уравнение Хилла (1) имеет решение, которое можно построить по формуле

р=- ОО р-~ 00

Согласно теории Флоке эти решения являются линейно независимыми и общее решение уравнения Хилла находится по формуле

X (0 = С,*, (0 + С2х2 (,) = С^ ± + Сге^ ± /У',

00 рж"00

где С,, С2 - произвольные постоянные.

В заключение раздела представим в виде таблицы типы точек покоя системы

5

х2 =-а (/)*(,

которая эквивалентна уравнению Хилла, в зависимости от значения к.

Таблица 2.3.1

Интервалы изменения Ь 8, Типы точек покоя

¡ге{- оо, 0) больше нуля меньше нуля седло

\ л ) равно нулю равно нулю центр

меньше нуля больше нуля седло

В приложении построена программа для приближенного решения уравнения Хилла на языке программирования С# 2005.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. Карасаев И.К. Об одном способе определения характеристических показателей линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Известия вузов. Математика - 1981. - №3. -С. 73-75.

2. Карасаев И.К. Векторное уравнение Хилла // Наука и новые технологии. -№1-2, Бишкек: 2008. С. 3-8.

3. Карасаев И.К. Построение характеристического уравнения // Наука и новые технологии. - Бишкек: 2008. №3-4 С. 167-173.

4. Карасаев И.К. Упрощение характеристического уравнения // Известия вузов. - Бишкек: 2008. №3-4. С. 24-28.

5. Карасаев И.К. Построение фундаментальной системы решений уравнения Хилла. // Известия вузов. - Бишкек: 2007. №3-4. С. 240-245.

6. Карасаев И.К. Поведение характеристических показателей Ляпунова в зависимости от малого параметра // Известия вузов. №3-4, Бишкек: 2004. №3-4. С. 70-75.

7. Карасаев И.К. Оценка сверху старшего показателя Ляпунова // Наука и новые технологии. Бишкек: 2008. №1-2. - С. 222-225.

8. Карасаев И.К. Построение фундаментальной системы решений уравнения Хилла. // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. - Бишкек: 2010, том 10, №9. - С. 107-114

9. Карасаев И.К. Построение характеристического уравнения // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. - Бишкек: 2010, том 10, №9.-С. 115-122

10. Карасаев И.К. Об одном методе исследования уравнения Хилла.// Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46, №11, (1 стр.)

РЕЗЮМЕ

Карасаев Ишен Карасаевич

«Об одном методе исследования уравнения Хилла»

Диссертация представлена на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

Ключевые слова: нормальная матрица, бесконечный определитель, характеристическое уравнение, характеристические показатели, фундаментальная система, устойчивость.

В современной теории дифференциальных уравнений для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которые в частности могут быть периодическими функциями, не разработан алгоритм построения фундаментальной системы решений.

В диссертации предложен метод, называемый методом поляризации, который позволяет проводить полное исследование уравнения Хилла, в частности, построить фундаментальную систему решений, как в критическом, так и не в критическом случаях и исследовать устойчивость его решений. При этом указана методика преобразования характеристического уравнения, представляющее собой бесконечно мерную линейную систему алгебраических уравнений к каноническому уравнению типа квадратного уравнения, а также при построении фундаментальной системы решений использовано свойство нормальности бесконечно мерной матрицы.

Подписано в печать 29.09.2011. формат 60х90'/16 Офсетная печать. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 338.

Отпечатано в типографии КРСУ 720048, Бишкек, ул. Горького, 2.

61 12-1/64

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ

РЕСПУБЛИКИ

БИШКЕКСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.956(575.2)(04);517.91./93 На правах рукописи

КАРАСАЕВ ИШЕН КАРАСАЕВИЧ

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ XI 1.1.1 А

01.01.02- дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук Керимбеков А. К.

Бишкек-2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...................................................................................3

Глава I. Исследование уравнения Хилла методом поляризации..............13

1.1 Обзор исследований уравнения Хилла.....................................13

1.20 разрешимости уравнения Хилла в критическом случае............29

1.3Преобразование характеристического уравнения

к каноническому виду..............................................................33

Г лава II. Характеристические показатели Ляпунова и их интервалы

изменения................................................................................44

2.1 Расположение на комплексной плоскости корней промежуточног о

(характеристического) уравнения..............................................44

2.2Характеристические показатели Ляпунова и интервалы их

изменения...........................................................................50

2.3Построение фундаментальной системы решений уравнения

Хилла................................................................................72

Примеры применения

Заключение..............................................................................81

Список использованных источников.............................................. 82

Приложение..............................................................................88

ВВЕДЕНИЕ

Уравнение вида

(0.1)

где a(t) непрерывная периодическая функция, в математике принято называть уравнением Хилла. Оно в следующем частном виде:

где а0 ф 0,о,,<7,,...- известные постоянные и ряд со$2т абсолютно

сходится, встречается в мемуарах Хилла, опубликованных в 1877 году,

посвященных исследованию движения Луны. Уравнение (0.1) в следующем виде

было рассмотрено Матье еще в 1868 году в связи с изучением колебаний эллиптической мембраны. Со времен Хилла и Матье уравнение (0.1) в том или ином частном виде исследовались многими авторами (X. Кох, Н. Е. Кочин, А. Пуанкаре, Г. В. Бондаренко, А. П. Проскуряков, В. Ф. Журавлев, К. Г. Валеев, В. В. Болотин и др.) в связи с решением физических, технических и астрономических задач. Поскольку эти задачи были прикладного характера и в связи с отсутствием теоретически разработанного метода решения уравнения Хилла, авторы ограничивались построением приближенных решений, которые в том или ином смысле удовлетворяли потребности практики. Например, Хилл для решения астрономической задачи ограничивался использованием значения определителя лишь третьего порядка, составленного из центральных строк и столбцов бесконечномерного определителя.

Согласно теории Флоке решение уравнения (0.1) имеет вид:

+ (Я + а со s 21) х - 0,

да

*(0 = (0-2)

р = -<0

где и - характеристический показатель, а вектор

определяется как решение бесконечномерной системы линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет решение лишь в том случае, когда некоторый бесконечномерный определитель, зависящий от ц, равен нулю. Это обстоятельство (например, вопросы существования бесконечномерного определителя, вычисление его значения и т.д.) вносит свои коррективы при разработке методики построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. В этом направлении, несмотря на то, что теория линейных дифференциальных уравнений достаточно развита, на сегодняшний день почти отсутствует теоретически разработанный метод решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Что касается уравнения Хилла (0.1), то для случая, когда среднее значение а0 коэффициента а (г) не равно нулю, достигнуты определенные успехи. Обзор литературы показал, что со времен Хилла исследования уравнения (0.1) проводились только при условии а0 + 0, и полученные результаты теряют смысл при а0 0. Поэтому случай а0 - 0 условно назовем критическим.

Поскольку уравнение Хилла часто встречается в прикладных задачах, а также ряд важных уравнений, после выполнения некоторых преобразований, приводятся к уравнению Хилла, то полное исследование уравнения Хилла в критическом случае (построение характеристического уравнения и вопросы его разрешимости, разработка алгоритма построения фундаментальной системы решений, поведение фазовых траекторий и др.) является одной из актуальных за/дач теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Цель диссертационной работы заключается в разработке конструктивного метода решения уравнения Хилла в критическом случае. Материалы диссертации изложены в следующей последовательности. В первой главе, состоящей из трех разделов, приведен обзор работ-других авторов, посвященных исследованию уравнения Хилла, изложена методика вывода характеристического уравнения и процедура приведения характеристического уравнения к каноническому виду.

В разделе 1.1. изложен подробный обзор литератур, посвященных исследованию уравнения Хилла.

В разделе 1.2. для уравнения Хилла (0.1) получено характеристическое уравнение:

А0{м) = йе1А0(м)^0 (0.3)

где Л0 (/¡) - матрица системы

(/' • Ч'У У: X". X />•• У-. (0.4)

Ч*Р

т.е.

Ао (аО = \ар,\арр = (/' +1-Р)2 -- арЧ ^ ар-1> р * СЬ ар - коэффициенты Фурье разложения,

со

а(0=£я/"(яо=о)-

р~-СА>

На основе метода регуляризации, предложенного автором, система (0.4) преобразуется к системе уравнений:

а+7—7

матрица которой имеет вид:

/Мп) |,1 И,- 1 - у -,Ард =т—^-

Такой подход позволяет находить и из уравнения

Д1(^) = ае1Х,(А£) = 0 (0.6)

и для матрицы А, (/;) удается доказать (например, методом Коха) сходимость бесконечномерного определителя Д5 (/¿) = det Л, (и).

В диссертации бесконечномерный определитель Л, О) вычисляется по правилу

ДД/О-НтДГ^),

К1

где А "(¡и) определитель матрицы

2№-1-порядка. Сходимость бесконечномерного определителя ДД^) можно проверить согласно условиям Коха или Кагана, однако, заметим, что эти условия являются лишь достаточными.

Задача определения ц из уравнения Л, (,и) 0 является сама по себе сложной задачей и требует дополнительных исследований.

В разделе 1.3. доказано, что функция Л, О) обладает свойством четности и периодичности (с периодом i). Далее установлен ряд полезных формул и доказан ряд лемм.

Лемма 1.3.1. Для функции имеет место разложение

Д, (/г) = 1+ l\{al)ctg7ti[сх^ -¡и)+ г2(а2)^т (а2 - /г) (0-7)

где

гх (а,) =--—— Я{ах),гг (аг) =------—— Я (а,)

ОС^^2 (X у ОС |

К(ц) - бесконечномерный определитель, удовлетворяющий соотношению

¡.г - а

т.е. имеет место разложение по котангенсам.

Лемма 1.3.2. Функции г (а,) и г, (а,) связаны соотношением

г2(а2 )=■■-/;(«!).

Лемма 1.3.3. Для функции Д,(у") имеет место представление

АД/О

Р(г)мф])\Р1(г)Р2(г) Р(г)

(0.8)

где

Р{2) = {г-р1){г-р2).

Лемма 1.3.4. Для функции г, (а,) имеет место представление

Далее устанавливается эквивалентность уравнений

А1(^) = 0 И !>(:■:)■ ¡г (и )\1>(~) /'.(::) | 0.

и уравнение (0.10) преобразуется к уравнению вида

эт2 Я1 ¡л = ж2к,

(0.11)

(0.10)

(0.9).

где к - бесконечномерный определитель. Уравнение (0.11) назовем каноническим видом характеристического уравнения (0.10).

Во второй главе, состоящей из грех разделов, изложены результаты исследований канонического уравнения, интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова и приведены формулы их вычисления. Указан алгоритм построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла и возможные типы точек покоя.

В разделе 2.1. приведена полная картина расположения на комплексной плоскости корней промежуточного уравнения, эквивалентного характеристическому уравнению. Установлены всевозможные случаи расположения корней промежуточного уравнения в зависимости от значения бесконечномерного определителя к.

В разделе 2.2. согласно расположениям корней промежуточного уравнения вычислены характеристические показатели Ляпунова решений уравнения Хилла, и установлены интервалы изменения их значений. Результаты исследований разделов 2.1 и 2.2 приведены в следующей таблице:

Таблица 2.2.0

Интервалы изменения

-оо < /г < 0

Корни уравнения (2.1.2) и их геометрические характеристики

г, -=\-2л2к + 2л^тс2/г -7? -

ащгх =0 = 1 -2л2к -2л^п2кг....../г, к1:

ащг7, = 0

Интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова

........... >0......

8 2 < 0

А = 0

^ =1, ¡г,| = 1, ащг^ -0 г2 =1, к| = 1, ат§22 =0

<5, - О

=0

О <1к-

2л'

^ = 1 - 2лг2/? + Пж4ь. -п2Ь = 1

а^г, =аг

2лык-л2к2 \-2Л2И

= 1 — 2яг2/г —¡2т1\[И. -Л2И2 , к| = 1.

£1г§ ~ -агсЩ

2л4н — л2к2 1-2Л2/1

81 = 0

<5, = О

2;г

г, 1^1 = 1, а^^ = г2 = /', |г2| = 1, ащг, =■

л

л

д) - О

-> - О

1 / 1

2л~ л

гх = \-2л"1ч +12л\[И-л2И'' , г1 --1

ащ = л + агс1%

2лл]Ъ-л111г \~2л1Н

г, = 1 - 2л2Ь -12к4ь - л2к2 , к I = 1,

2п\1И-- ж'А2

ат г, = -тг - агс№ -

2 1- 2тг Л

гх=-[, к = 1, ащг,

: Л

Л

Л, к( = 1, arg27 = л

: : О

- О

- О

<5, ::: О

2

■ < h < oo

n'

z, = \ — 2n2h + 2ял]ж2И2— h , |z,| = 2п1к-\-2ж4ж'1И1' -h, ;im:.\ ,т z, -1 — 2ж2к-2пу[я7И2 -h,

¡z2 = 2ж~]-1 -1 + 2тсVж~Ъ - h , arg z7 - я:

S1 < 0,

<í>7 > 0

Рассмотрены несколько примеров и приведены в виде таблиц значения бесконечномерного определителя /г, корней ^ и z, промежуточного уравнения и значений характеристических показателей Ляпунова соответствующих корням z, и z,.

Например, для уравнения х" + sint-x = О результаты численных расчетов приведены в следующей таблице:

Таблица 2.2.1 ( а (7) = sin t)

TV h{N) zl{N)) z2{N)) f¿l(N) fi2(N)

3 0,462046682 -0,06180827 -16,17906359 -0,4430424856+0,5i 0,4430424856+0,5i

5 0,459855802 -0,06214176 -16,09223764 -0,4421860706+0,5i 0,4421860706+0,5i

10 0,459323971 -0,06222326 -16,07116028 -0,4419774753+0,5i 0,4419774753+0,5i

20 0,459257137 -0,06223352 -16,06851152 -0,441951242+0,5i 0,441951242+0,5i

30 0,459250408 -0,06223455 -16,06824484 -0,4419486007+0,5i 0,4419486007+0,5i

40 0,45924877 -0,0622348 -16,06817991 -0,4419479575+0,5i 0,4419479575+0,5i

50 0,459248186 -0,06223489 -16,06815678 -0,4419477284+0,5i 0,4419477284+0,5i

60 0,459247928 -0,06223493 -16,06814656 -0,4419476272+0,5i 0,4419476272+0,5i

70 0,459247797 -0,06223495 -16,06814136 -0,4419475757+0,5i 0,4419475757+0,5i

80 0,459247723 -0,06223496 -16,06813844 -0,4419475468+0,5i 0,4419475468+0,5)

90 0,459247679 -0,06223497 -16,06813668 -0,4419475293+0,5i 0,4419475293+0,5i

100 0,45924765 -0,06223497 -16,06813555 -0,4419475181+0,5i 0,4419475181+0,5i

Как показывают численные расчеты, 1т «0,45924 и

удовлетворяет неравенству 0,1013«-^-</7<0,4620< к» и

К '

г, ~ -0,0622,« -16,038, 8Х « -0,4419, 8г « 0,4419, ЧТО подтверждает аналитические результаты.

На рисунке 2.2.1 приведен график зависимости к=к[Щ,

V : : i

Рис. 2.2.1

который показывает, что значение бесконечномерного определителя а конечно и удовлетворяет оценке

0,45923 <й< 0,46204.

Заметим, что из расчетов приведенных в таблице 2.2.1 можно установить допускаемые погрешности, при замене точных значений величин /?,z,,z2 и <5,, <52 их приближенными значениями.

Отметим также, что результат |<s,(10)j = |<5<10)|=--0,44197 почти совпадает с

результатом работы Филлипова А.Ф., где |¿>, | ~ |<5,,| -- 0,442, которое им

получено при исследовании характеристических показателей уравнения х" + sint-x = 0 с других позиций.

В разделе 2.3. изложена методика построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. Решение уравнения (0.1) ищется в виде (0.2), где вектор у является нетривиальным решением

бесконечномерной системы (0.4). Согласно разработанной методике вектор у находится как решение системы

(0.12)

где в - нулевой вектор.

Лемма 2.3Л. Решение уравнения (0.12) не зависит охзначения а . Поэтому вектор у можно определить из уравнения

4 (/1,0)7(0)-е.

Определитель матрицы вычисляется по правилу

Дг (/и, 0) = det 4 (ц, 0) = lim det A™+1 (ц, 0),

/V —>со

где лГ+1(//,0) - матрица порядка 2/VH, определитель которой вычисляется по известному правилу. При этом элемент у0, определяется как алгебраическое дополнение элемента 1 нулевой строки, а - элемента

СI 01

-у, v„- элемента —7V = 1,2,3,.... В силу нормальности матрицы Д(/г.0) fi ' fi~

существует предел

А = lim det A2'v+1 (ц,0) < со,

и алгебраическое дополнение любого элемента любой строки, в частности, нулевой строки матрицы ЛД/i, 0) является конечным числом. Кроме того, ряд

/С Ур'

р = -СО

где ур - алгебраическое дополнение элементов любой строки матрицы /1,(^,0), абсолютно сходится. Поэтому существует решение бесконечномерной системы линейных алгебраических уравнений (0.12). Таким образом, уравнение Хилла (0.1) имеет решение, которое можно построить по формуле

со со

Согласно теории Флоке эти решения являются линейно независимыми и общее решение уравнения Хилла находятся по формуле

СО СО

х(7) = С>- (г) + С2х, (/) = X З^'+С^' X .у^',

р~-со р=~ со

где С];С2- произвольные постоянные.

В заключение раздела представим в виде таблицы типы точек покоя системы

х, =

которая эквивалентна уравнению Хилла, в зависимости от к.

Таблица 2.3.1

Интервалы изменения И (5, Типы точек покоя

И е (-со, 0) больше нуля меныпе нуля седло

равно нулю равно нулю центр седло

меньше нуля больше нуля

В приложении построена программа для приближенного решения уравнения Хилла на языке программирования С# 2005.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА МЕТОДОМ

ПОЛЯРИЗАЦИИ

В первой главе, состоящей из трех параграфов, приведен обзор работ других авторов, посвященных исследованию уравнения Хилла, изложена методика вывода характеристического уравнения и процедура приведения характеристического уравнения к каноническому виду.

1.1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА

Анализируя движение Луны, в частности, при определении движения лунного перигея, Хилл получил уравнение [2] d2x œ

—"- + (а0 + X Cin cos 2nt)x - 0, ( 1.1.1 )

dt n=i

со

где коэффициенты а0, ах, а2,... - известные постоянные и ряд ^Гя,, coslnt

п= 1

абсолютно сходится. Оно получило название уравнение Хилла. Заметим, что мемуары Хилла [2] первоначально были опубликованы в 1877 г. в Кембридже (см. [29], гл. 19).

Уравнение более общего вида с периодическим коэффициентом a(t):

^~--\-ci(t)x = 0 (1.1.2)

dt"

в математике также принято называть уравнением Хилла. Вкратце изложим метод решения Хилла уравнения (1.1.2) в случае, когда a(t)~ четная периодическая функция с периодом яг (см. [29], гл. 19). Решение ищется в виде

со

(1-1-3)

п-- со

где ß- комплексно-значный параметр, уп - коэффициенты Фурье разложения

ЛО'Еу.еГ".

Л7 = -С0

По теории Флоке [1] решение уравнения (1.1.2) с периодическим коэффициентом a(t) имеет структуру (1.1.3). Функция a(t) представлена в виде ряда

со

a(t)= £ аиепш , а*0, (1-1.4)

H = ~'Tj

Тогда, после подстановки (1.1.3) в уравнение (1.1.2), получено соотношение

+ Ип)2 Уме^> + ( £ апе'2'" Y £ уяе^ j - 0 ,

со \И = -СО J\n = - со J

которое превращается в тождество, если

со

(иаЩ у!: • Y ад., 0. п = ...,-2, -1, 0, 1, 2, .... (1.1.5)

Н/ = — СО

Отсюда, полагая ап =а_п, после деления « - го уравнения на о0 4/zn (для обеспечения сходимости определителя этой системы), получено уравнение (характеристическое) Хилла:

О'М + 4)2

4 - ап

О Î/

-о.

4 -а„

4 •

(г> + 0)2

(Г-оп

42 - а„

42

-а,

О -а„

(г>-4)2

— ап

О,

(1.1.6)

определяющее . Определитель Д(/>) называется определителем Хилла. Определитель

д0'/0 = [л,]>

с элементами

(?'//-2т)"-ай -а

/[ ~ -1-1 А =-—— (т у- и)

4 т ~а0 4/7? -я0

является лишь условно сходящимся, так как произведение элементов главной диагонали не является абсолютно сходящимся. Поэтому используем определитель

с элементами

В =1 ,В =-—,(т:Ап),

га,я ' т.п / . \2 'V / >

\lm-ip,) а0

который является абсолютно сходящимся. Определитель АДг'/х) обладает следующими свойствами:

1°. А, (/>)- четная периодическая функция от с периодом 2/; 2°. А, (/,«) - аналитическая функция от // (имеющая плюсы), которая стремится к единице, когда вещественная часть /г с тремится к ±«>. Далее, используя соотношение

j. х I а - -4и2 г' I 0 j

уравнение (1.1.6), после некоторых преобразований, представлено в виде

■ Л

sm — КЦ1 \

М'И) m-----Tf-

• ? J. r

Sin - | - 7ТуГа0

Тогда получим уравнение

sm2 = А(0)sin2 {~Цс70 j, (1.1.7)

из которого определяется ¡л. Когда р таким образом найдено, то коэффициенты уп могут быть выражены через >•, и миноры определителя А (/>), и решение дифференциального уравнения Хилла на этом заканчивается.

Хиллом бьшо показано, что для его астрономической задачи можно получить весьма хорошее приближение для значения беря только три центральных строки столбца его определителя ([29], стр. 60, 269-273).

Заметим, что в представлении (1.1.3), если среднее значение функции а {г), т.е. коэффициент

ао=0, (1.1.8)

то, как следует из формул (1.1.6) и (1.1.7) предложенная методика решения уравнения Хилла становится непригодной.

Уравнение Хилла (1.1.2) в том или ином частном виде исследовались многими авторами [2, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 21, 25, 27, 36, 42, 44, 46, 49, 50, 53, 53, 58 и т.д.]. Частным случаем уравнения Хилла является уравнение Матье

^+(Я+асоз2г)х = 0, (1.1.9)

где Я и а постоянные. Оно было рассмотрено Матье еще в 1868 г. 15 связи с задачей о колебаниях эллиптической мембраны ([29], стр. 258259).

Решение уравнения (1.1.9) ищется в виде

со к= -со

Относительно параметра ¡л и неизвестных коэффициентов ск появляется бесконечная система линейных алгебраических уравнений типа (1.1.5).

Из условия существования нетривиальног о решения полугенной системы для характеристического показателя ц получается уравнение

тс

скщ1 -1 + 2А(0)8Ш2 л/Я,

где

Д(0) =

а ,-4 0 0} 0

1 а Я.....1 0 0

а Я 1 а Я 0

0 а 1 а

Я-1 Я-1

0 0 а 1

Я-4

Показано, что для малых а приближенное значение характеристического показателя // определяется из уравнения

скщ1 = 1+ 2зш2 — -»/Я +-——р-втягл/я + о(ог4),

2 4(1- Я) V Я

где о (о4) - бесконечно малая величина.

Кочин Н.Е., рассматривая расчет коленчатых валов для одноцилиндровых машин, получает уравнение типа Хилла [5]

й а

■—~ + и ск2

( Л

1 + 2^Г а" со$ 2т д = О,

V и=1 у

(1.1.10)

где а - величина, определяемая физическими и механическими характеристиками коленчатого вала,

К(<р) - в + пгр2 эт2

в- момент инерции, р- радиус кривошипа, т- масса, <р т ■ у - углы поворота, г = юг, у - жесткость вала, ц - параметр, определяющий критические скорости, т.е. угловые ско