Фотогравитационная органиченная эллиптическая задача трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ жени М.В.ЛОМОНОСОВА

Хасан Сайед Кадждул

ФОТОГРАВИТАЦМОННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических каук

Мохашко-матемагический факультет

На правах рукописи

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета

Московского, государственного университета км.М.В.Ломоносова

Научный руководитель -

профессор, доктор физико-математических наук, В.Г.Дёмин '

Официальные оппоненты:

доцент, доктор физико-математических наук, В.П.Евтеев,

доцент, кандидат физико-математических наук, А.¡^Прокофьев

Ведущая организация:

Российский Университет Дружбы Народов

Защита состоится * 1993 час. на за-

седании специализированного Совета по механике Д.053.05.01 при-(.{ГУ по адресу: Москва, Ленинские горы, МГУ, кеханико-математиче-ский факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиься в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан " ^ " '4593 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.01 при МГУ

д.ф.-м.н. Д.В.Трещбв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертационной работе изучается движение пассивно грави-тиругацей точки с бесконечно малой ("нулевой") массой под действием нэ только сил тяготения, но и светового отталкивания от двух точечных масс, обращающихся по эллиптическим орбитам.

Актуальность темы. Ограниченная задача трбх тел занимает одно из центральных мест в небесной механике и космической динамике. Значительное количество работ выполнено по ограниченной кру-гоеой задаче трех тел. Но Солее слозшнй вариант задачи трёх тел -ограниченная эллиптическая задача трёх тел - изучен недостаточно.

Ограниченная эллиптическая задача трех тел в небесной механике служит основой некоторых теорий движений Луны и планет, исследований по динамике искусственных спутников, теории движения астероидов.

Известно, что когда частица с бесконечно малой массой (например, метеоритная пыль или частицы в хвосте кометы) приближаются к излучающим телам, например, к Солнцу, она испытывает, на-ря~7 с гравитационной силой, силу отталкивания из-за светового давления. В таких случаях классическая ограниченная задача трёх тел переходит в фогогравитационную ограниченную эллиптическую задачу трах тел.

В диссертации исследуется фотогравитационная ограниченная эллиптическая задача трбх тел и еб предельный вариант - задача Хйлла, представляющиеся перспективными в небесной механике и в механике космического полета.

Цель работы: исследование точек либрации и рассмотрение их устойчивости в фотогравитационной ограниченной эллиптической за-

даче трбх тел, построение новых классов периодических решений в их окрестностях; рассмотрение варианта Хилла изучаемой задачи и построение периодических решений этой-задачи.

Метод исследования. Использован метод малого параметра Пуанкаре, теорема симметрии и теорема Ляпунова о голоморфном интеграле .

Научная новизна. В диссертационной работе изучаются положения относительного равновесия осреднбнной • эллиптической задачи, причем силовая функция осредняется пс истинной аномалии. Находятся коллинеарные и треугольные точки либрации осреднзнных уравнений движения и рассматривается в первом приближении" их устойчивость с помощью теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.

Сформулирована новая задача - фотогравитационная задача Хилла. Методом Пуанкаре доказывается существование новых семейств периодических решений, которым соответствует почти круговое движение. С помощью ряда поворотов системы координат, замен переменных и искусствеиного введения малого параметра удается доказать существование пространственных периодических решений, также близких к круговым. Строятся периодические решения, близкие к либра-ционнвд.

Практическая ценность. Выполненные исследования применимы в небесной механике и динамике космических полетов.

Апробация работы. Полученные результаты диссертации доклада-ьались на семинарах по классической механике на кафедре теоретической механики МГУ (руководитель - проф.Дёмин В.Г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и списка литературы из 27 названия. Текст диссертации изложен на 63 страницах машинописного

текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Ео введении написана краткая история исследований, посвященных ограниченной задаче трах тол, обосновывается актуальность вы-бракнсй темы и излагается содержание диссертации по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны сведения, необходимые в дальнейших исследованиях о методах Пуанкаре и Ляпунова, причем они представлены в той форме, которая удобна для проводимых в дальнейшем исследований.

Вторая глава состоит из трёх параграфов. В первом параграфе дана постановка фотогравитационной ограниченной эллиптической задачи трёх тел.

Дифференциальные уравнения движения этой задачи имеют вид: £ - 2аТ) =

Ч ♦ гп\ = Ц. (I)

г

с "ЗС

где

V = 8- (?2 4- Т)2) + с + г ,

с Гг

причем

т, и тт^ - массы активно гравитирущих тел К, и Иг соответственно, г, и г2 - расстояния между пассивно гравитирукщей точкой и массами м, и м2 соответственно, и - некоторые положительные или отрицательные константы, именуемые коэффициентами редукций масс м, и м2 соответственно,

п - среднее орбитальное движение активно гравитирувдих масс.

Во втором параграфе изучаются положения относительного равновесия осредненной эллиптической задачи, причем силовая функция осредняется по истинной аномалия V. Массу ш1 примем за единицу, п^ Судет иметь массу р. (где ц<1). Расстояние между га, и гп2 примем за единицу длины. Далее через г^ и г2 обозначаем расстояния тел ш1 и в^ от их общего центра масс.

Полученные дифференциальные уравнения движения юлеют вид:

« ~гп - ех •

Т," + 2£< = » .

где штрих обозначает дифференцирование по истинной аномалии V,

1 Г ? 2Ч, 2 2ч ,

п = --рг ^ I + Ирг + #

2(1 + Ц) уГ^г 1 р1 2 р2 -I

причем

р® = се - г, )2 + -п2 .

р| = (£ + г2)г + Т]2 .

Во втором параграфе рассматриваются треугольные и коллинеар-ные точки либрации. Треугольные точки либрашш ь4(ад,ъ4) и Ь5(а5,Ъ5) суть

1 + с^ 3 - ц

" а5 = ---

2 1+11

ъ, = -ъ5«\ ♦ 4'Ъ - ^ - 4/2)г -1,В отличие от классического случая треугольные точки либрации лежат в вершинах равнобедренного, а не равностороннего треугольника.

Координаты коллинеарных точек лиорации Ь1, и Ь3 получаются из следующих соотношений:

(Г) (Л +ц)р|-(3+2^)р|+ (Э+И-)р1+ )р|^2р.42р2-1ачг "О ,

(2) (1+Ц(2+-ЭЦ)р*+ (И-ЭЦ (ч, Р," а, - о ,

(3) (1+ц)р|+(з+гц)р*+(эп1)Рг-(ч1-1+йч2)р|-гцо2р2-чгц - о .

Условия существования перкодических решений сводятся к исследованию корней характеристического многочлена. Для точек либрации 11, ь2 и 13 получим корни;

А.г* (1 + а)(1 * I"5 ~ 2 г /9а" - 2а3 ♦ 7аг - 4а .

в которых

2 ч. м,

а -- (_1 + э

1 + Ц Р? Рг а корни для 1>л, ь5 :

г - - г + Н- 1 /1--г - Эвг(1 + ---2> •

иг 2 4 / (1 + \1)г (1 Ц)г

где

Р - 2 «цг'э * 4'3) - 3 - <^3)2 - 1 .

В третьей главе сформулирована совершенно новая задача -фотогравиташонная задача Хилла, в которой одно из гравитируюиих тел удаляется на бесконечность (во вращающихся осях) при сохранении постоянного значения напряженности поля сил, обусловленного удаляемой ыассой.

Дифференциальные уравнения движения (I) имеют форму: + (q2-- 1)тг£ = Зтгчг£ ,

d2í dTJ 2m — 4 dx

dx2 "

d2TJ dE 2m — + dx

d2C

dx2 +

f (q? - 1 )тгТ| = О , (2)

q2®ZC = О .

где х обозначает новую независимую переменную при подстановке

х = п,^-^) .

причем и п, - две произвольные постоянные, а п ц

П = - , 1£ В -у .

а1 П1

Подобно тому, как Хилл построил вариационную кривую в теории движения Луш, в рассматриваемой задаче были построены периодические решения.

При С=о в уравнения (2) вводим искусственным образом новый параметр

(1ге (П} гч.к 3 . . 3

—= - 2п> — + Рз 4 (<1_ - 1 )пГк - - = - аде ,

dE rq.k 3 , 3

- 2ш — + + (q2 - 1 )га |т} - - q m т) = - - q^rj . (3)

Í3

dx2 """ dx

В окончательном результате нужно будет положить A.=m2. При Х=о уравнения (3), допускают решения

i = а ооз X , tj = в sin х ,

где а - постоянная, определяемая равенством = 1 + 2га + (Л + 1 )тг .

а

После преобразований и=Х+1у, V = X - 1у ,

И

и = а (1 - р) е" . V « а (1 - з) в"1Т ,

получим уравнения: ¿р

+Т!£1 +т)1— *-1(1-р)-1(1-р>-,/г(1-вГ3/г - ^(в-Пв"21',

агг

<1гз йз

-2(1+01)1— +1(1-8)-1(1-рГ3/г(1-зГ1/г . | Ч_\(р-1 )вг1Т, й-Г ЙХ * 2

где

1 = 1 + 2т + ф- 4- 1 )ш2 .

При малых X ищем периодическое решение с периодом 2* в виде: »

Р = Е ,

к=1 *

8 = Е ** •

к=1 *

Искомые функции р и 5 представляются рядами:

о }

Р = Е Е а, .ги-г*,« ,

¿=1 к=0

8 - Е I а*' .-г"-гк)1Т .

где

9 12 + 4m + _(q2+2)m2] 1,1 " 16 Чг 16 - 4m +~0<и-2>тг1

3 138 + 28m + 3(q,+2)m2]

а,'~1 ~ 16 Чг [6 - 4дз + (352-2)тг)

- [402 - 4(1+ш)С + ¿1] 1 „

а 0 = ,-2 - г'сг. если о*0,

г,° 202 12 (402-!) - 4ш + (Зчг-2)т ]

аг.о- "^г.о. если о=0,

причем Аг являются многочленами с положительными коэффициентами относительно постоянных а^ 10, для которых 3<г.

Сходимости рядов мокко доказать, как и в классическом случае.

Третий параграф лосвящВн изучению существования периодических решений уравнений (2) при Ç=o. Если принять коэффициент редукции q1=e sa малый параметр, то решения рассматриваема уравнений движения находятся в виде степенных рядов по степеням е

C(t) = г ek Ek(T) , t=o *

и>

tj(T) « £ е* Т). (т) . k=o к

где . решения (а) и т^ (т) даются в форме:

{, (Ï) = Р.,со£&Я -1- Р2е1хшх + Рде0"1 + ,

^(т) = Р5СОЕШХ + Рбз1яия + ^е01 + Рдв"0* ,

причем

- -(2-<и) » /э*^ - 8<и ,

X. = ♦ Л, г 1ло и = -----ь. т<= ,

о у ^

где Г),и - действительные.

Доказывается существование ряда семейств периодических решений по методу Пуанкаре с применением теоремы симметрии. Получены условия периодичности в виде:

ф, = рги + Р3П - = О ,

20 - Ш

ф2 = - + р30е ш - р4Пе" ы = 0 ,

2Ш 2гш 2 пи

ф- = -у Р, - --? Р- +• -=-х р. = О ,

3 Ы2-(чг-1)ш2 2 С^Нч^)^ 3 02+иг-1)тг 4

ТЙ _ ЯЛ

-2гш) 2ийе ш 2пЛе ш

= рг - Рз + п2+(Чг.1)пг = 0 •

Вычисляя якобиан, получим:

П(Ф?ЖЖ> + С?) сьЩ

Л = ^ з 4 _ ----

В(Рг,Р3.Р4) [Я2 + (ч2-1 )га2]г[Ш2 - (чг-1)тг]

При условии Л ^ о доказано, что рассматриваемое уравнение имеет периодические решения.

В четвертом параграфе изучается существование периодичесхих решений пространственной фотогравитационной ограниченной эллиптической задачи трех тел. С помощь ¡о ряда поворотов системы коорда-

нат и замен переменных, которыэ задаются в следующем виде:

I. i = х,соз (p-v)t - y1sln(n-v)*t , 7} = X,sin(H-V)T + у, COS (Ji-V )т , С •= z, ,

П. х, = х ,

JTj = yoosi - zsini ,

z, = ysint + zcosi , и, наконец,

БГ. x = (о1/3«)созт - ysinx . у = (o1/3+x)sint + уоозт . z = z .

уравнения движения приводятся к надлежащей форме.

Введем в полученной системе дифференциальных уравнений движения малый параметр е следующим образом: £ = QS . aes = stai . Тогда получим:

_*

х" - 2у' - X = ет2Пх ,

у" + 2х* = етгПу , (4)

z" + 2(Ц-v+m)(cost х* - Bint у') = -(H-p.-v+m) z + €т

Решение системы (4) будем искать в виде рядов по малому па- 12 -

раметру:

х = Е • у = 2 £кУк • г = Е •

к=0 * к=0 * 1с=0 *

Методом Пуанкаре доказано существование ряда семейств периодических решений. Доказано, что если

шт ю 1

— * 0,1С , — ^ 0.1С И О), * 12 , 2 2 1

то якобиан ¿/Ой, следовательно, уравнения имеют периодические решения.

Зак. 587

ВНИИИМТ

Тир.100