Фотогравитационная ограниченная эллиптическая задача трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

РГ6 ОД Механико-математический факультет

~ а 1393

На правах рукописи

Хасан Сайед Надамул

ФОТОГРАВИТАЩОННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1ЭЭЗ

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета

Московского, государственного университета км.М.В.Ломоносова Научный руководитель

профессор, доктор физико-математических наук, В.Г.Демин'

Официальные оппоненты:

доцент, доктор физико-математических наук, В.П.Евтеев,

доцент, кандидат физико-математических наук, А.И.Прокофьев

Бедущая организация:

Российский Университет Дружбы Народов

Защита состоится г. в /¿час, на за-

седании специализированного Совета по механике Д.053.05.01 при МГУ по адресу: Москва, Ленинские горы, МГУ. механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией мокко ознакомиься в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан " ^ 993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.СБ.01 при МГУ

д.ф.-м.н. Д.В.Трещёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертационной работе Изучается движение пассивно грави-тируэдей точки с бесконечно малой ("нулевой") массой под действием не только сил тяготения, но и светового отталкивания от двух точечных масс, обращающихся по эллиптическим орбитам.

Актуальность темы. Ограниченная задача трёх тел занимает одно из центральных мест в небесной механике и космической динамике. Значительное количество работ выполнено по ограниченной круговой задаче трёх тел. Но более сложный вариант задачи трех тел -ограниченная эллиптическая задача трёх тел - изучен недостаточно.

Ограниченная эллиптическая задача трех тел в небесной механике служит основой некоторых теорий движений Луны и планет, исследований по динамика искусственных спутников, теории движения астероидов.

Известно, что когда частица с бесконечно малой массой (например, метеоритная пыль или частицы в хвосте кометы) приближаются к излучающим телам, например, к Солнцу, она испытывает, на-ря.-у с гравитационной силой, силу отталкивания из-за светового давления. В таких случаях классическая ограниченная задача трёх тел переходит в фэтогравитационную ограниченную эллиптическую задачу трех тел.

В диссертации исследуется фотогравитационная ограниченная эллиптическая задача трёх тел и её предельный вариант - задача Хилла, представляющиеся перспективными в небесной механике и в механике космического полёта.

Цель работы: исследование точек либрации и рассмотрение их устойчивости в фотогрзвитационной ограниченной эллиптической за-

даче трех тел, построение новых классов периодических решений в их окрестностях; рассмотрение варианта Хилла изучаемой задачи и построение периодических решений этой-задачи.

Метод исследования. Использован метод малого параметра Пуанкаре, теорема симметрии и теорема Ляпунова о голоморфном интеграле.

Научная новизна. В диссертационной работе изучаются положения относительного равновесия осредненной • эллиптической задачи, причем силовая функция осредняется пс истинной аномалии. Находятся коллинеарные и треугольные точки либрации осреднении уравнений движения и рассматривается в первом приближении' их устойчивость с помощью теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.

Сформулирована новая задача - фотогравитационная задача Хилла. Методом Пуанкаре доказывается существование новых семейств периодических решений, которым соответствует почти круговое движение. С помощью ряда поворотов системы координат, замен переменных и искусственного введения малого параметра удается доказать существование пространственных периодических решений, также близких к круговым. Строятся периодические решения, близкие к либра-ционнкм.

Практическая ценность. Выполненные исследования применимы в небесной механике и динамике космических полетов.

Апробация работы. Полученные результаты диссертации докладывались на семинарах по классической механике на кафедре теоретической механики МГУ (руководитель - проф.Дёмин В.Г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, заключения и списка литературы из 27 названий. Текст диссертации изложен на 63 страницах машинописного

текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении написана краткая история исследований, посвящЗн-ш ограниченной задаче трбх тел, обосновывается актуальность выбранной теш и излагается содержание диссертация по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны сведения, необходимые в дальнейших исследованиях о методах Пуанкаре и Ляпунова, причём они представлены в той форме, которая удобна для проводимых в дальнейшем исследований.

Вторая глава состоит из трбх параграфов. В первом параграфе дана постановка фотогравитациошой ограниченной эллиптической задачи трёх тэл.

Дифференциальные уравнения движения этой задачи имеют вид:

I - гщ = Щ.

+ 2П5 = (I)

г - = 67

где

= §- (6е + г\с) + г + г причём

в( а п^ - массы активно гравитирующих тел и, и м2 соответственно, г1 и - расстояния между пассивно гравитяруюцей точкой и массами ы1 и ыг соответственно, q1 и ^ - некоторые положительные или отрицательные константы, именуемые коэффициентами редукций масс И1 и мг соответственно,

«

п - среднее орбитальное движение активно гравитирупцих масс.

в1<11 А - ^г

гг

Во втором параграфе изучаются положения относительного равновесия осредненной эллиптической задачи, причем силовая функция осредняется по истинной аномалии V. Массу ш1 примем за единицу, п^ будет иметь массу р. (где ц<1). Расстояние между и, и ш2 примем за единицу длины. Далее через г, и тг обозначаем расстояния тел о, и в^ от их общего центра масс.

Полученные дифференциальные уравнения движения имеют вид:

р" рп. _ «П « - 2т) - ВС '

где штрих обозначает дифференцирование по истинной аномалии у,

1 г ? 2ч. , 2 а,

а т -, + -о1 + + "оЧ •

г(1 + и) А Тг I 1 р1 г рг 1

причем

Р* = Ц - г,)г + "П2 , р\ = (Е + гг)г + л2 .

Во втором параграфе рассматриваются треугольные и коллинеар-ше точки либрации. Треугольные точки либрации ь4(а4,ъ4) и 1.5(а5.Ъ5) суть

= а5 -

1 ♦ - 4/3

2 1 +• Ц

2

V _ _ 1 то)„г/г А 2/з> ,г/з „г/гг _ ол = -ъ5 = 2 12(4, ♦ ч2 ) - - чг ) - 1)

В отличие от классического случая треугольные точки либрации лежат в вершинах равнобедренного^, а не равностороннего треугольника.

Координаты коллинеарных точек либрации Ь,, и Ь3 получаются из следующих соотношений:

(1) (1+Ц)р|-(3+2ц)р|+(3-ф-)р|+(с1,-1-цчг)р^2Ц(1гр2-^ч2 * О ,

(2) (1+ц)р®+(г+зц)р*+(1+э^)р?-(<11-ц+чгм.)р^-га1р1- ч, - о ,

(3) » о .

Условия существования периодических решений сводятся к исследованию корней характеристического многочлена. Для точек либрации 1и1 , Ъг и ь3 получим корни:

\гиг= (1 + а)(1 - г г /эа4 - 2а? + 7а2 - 4а ,

в которых

2 ч, ЦЧ,

а „--+ _|> ,

1 + И- Р, Рг а корни для Ь4, 15 :

А * ' - ? + * /1--2 " Зв (1 + -2> '

1 'г 2 4 / (1 + Ц)2 (1 + Ц)2

где

р - г + 4/з) - - 4/3)г - •• .

В третьей главе сформулирована совершенно новая задача -фотогравитационная задача Хилла, в которой одно из гравитирушкс тел удаляется на бесконечность (во вращающихся осях) при сохранении постоянного значения напряжённости поля сил, обусловленного удаляемой массой.

ДшМеренциалыше уравнения движения (I) имеют форму:

d2£ dTJ q М , 2

_ 2m — + + <q 1)шге = 3mzq £ ,

dt2 di г^ 2

d2T) d{ q Ю} _

—^ ♦ 2m — + -Ц- + (q_ - 1 )m tj = 0 , (2)

d-Г dT r? 2

<12C q,kC

q£m2C = 0 .

4

где t обозначает новую независимую переменную при подстановке

dT2 ' г? ' "2"

1 = 11, .

причем <0гп, - две произвольные постоянные, а п „ **

О я - , К К — .

п1 4

Подобно тому, как Хилл построил вариационную кривую в теории движения Луны, в рассматриваемой задаче были построены периодические решения.

При С=о в уравнения (2) вводам искусственным образом новый параметр X:

аг£ ¿7) л.к 3 ? . Э

- 2т — + -Ц + и, - 1 )шг £ - - Ч-ХЧ = - Ч-А£ . ат2 • йт г, 2 ■* 2 2 2

d^l л, к 3 ? 3

—- 2т — + + (q_ - 1)т£ h - - q^n^ = - - q-Дт] . (3)

di2 dt «• r^ 2 J г 2 г 2

В окончательном результате нужно будет положить Л=лг. При Х=0 уравнения <3), допускают решения

£ = а ооз 1 , 1) = a sin т ,

гле а - постоянная, определяемая равенством

-¡3=1 ♦ 2п> + (ф * 1 . а

После преобразований и = х * 1у , V = х - 1у ,

И

и = а (1 - р) е11 , V « а (1 - ч) в~1Т ,

получим уравнения:

й

+(1+в)1— +1(1-р)-1(1-р)-1/г(1-в)-3/г - 2<ил.(в-1 ь'21*. а-г лт ^ 2

~ -2(1 +-1(1-з)-1(1-р)-3/г(1-а)-1/г « I <1,Х(р- 1)ег",

йт^ <11 * ^

где

1 = 1 + 2н ♦ (^ + 1 )тг .

При малых \ ищем периодическое решение с периодом 2* в виде:

® к Р =■ Е Р,. X , к=1 К

а = Е Sic •

к=1

Искомые функции р и q представляются рядами:

<0 3

Р = Е £ ..^iV«-"'«,

3=1 k=0 3,3 **

в.Е Е •Jlak*J»-2,a"21,)1T.

3=1 v=o

где

9 (2 + 4m + (q +2)m2]

а с--q ----— ,

1,1 16 ^ [6 - 4m + (3q2-2)m23

3 f38 + 28m + 3(q2+2)ra2J

a. , = — q_ -=— ,

16 2 16 - 4m + (3q2-2)o2]

§1A - C402 - 4(1+m)0 + |l] A _

а „ = 2 P-2 , r'g, если Ott,

т'а 20Г U(402-1) - 4m + (3q2~2)m ]

1

a 0 ---A_ „ , если C7=0,

■ 31 r,°

причем Аг ±o являются многочленами с положительными коэффициентами относительно постоянных а. для которых j<r.

Л«•

Сходимости рядов можно доказать, как и в классическом случае.

Третий параграф посвящен изучению существования периодических решений уравнений (2) при с=о. Если принять коэффициент редукции за малый параметр, то репения рассматриваемых уравнений движения находятся в виде степенных рядов по степеням е

£(х) = £ Ек £Лт) , к=0 к

Т)(Т) » г Е* T^Ct) .

1с=0

где г. - решения'^ (а) и f)l(t) даются в форме: = ß1oosux + ßzssiaxiz + Pge^ + ß4e-nx ,

т^ (*т) = р5соеип + Р6з1№П + Р7еПх +

причем

-<2-<и) » ~ 8Ч2 2

\ = ± П, ± 1Ы И = -?-?-2 П1 ,

2

где О,и - действительные.

Доказывается существование ряда семейств периодических решений по методу Пуанкаре с применением теоремы симметрии. Получены условия периодичности в виде:

ф, = р2ш + р3п - = о .

50 _ 39

ф2 = - + р3Пе и - рЛПе ы = О ,

гм 2ш 2ш ф, = -5-о р. - -=--- Р, + -у р. = о ,

3 и -(ч2~1 )т 2 02+(Чг-1)т' 3 Пг+(ч2-1)тг 4

-2Ш 2тПе и 2тПе ш ф. = -=-=■ Э- - -5-о Рэ + Гг-Т ^ = 0 •

Вычисляя якобиан, получим:

Б(Фг.Ф3.Ф4) гш'о2»^ ♦ о2)

А = - =

пСРг.Рз.Рд) [Пг + )тг]2[и2 - (Чг-1)тг]

При условии Л ?! о доказано, что рассматриваемое уравнение имеет периодические решения.

В четвертом параграфе изучается существование периодических решений пространственной фотогравитационной ограниченной эллиптической задачи трех тел. С помощью ряда поворотов системы коорди-

нат и замен переменных, которые задаются в следующем виде:

I. 5 = х^озСц-у)"! - у1з£п(ц-у)т , 71 = Х1з1п(ц-У)1 + у1соз(ц-у)1 ,

с - х, .

П. х, = х ,

у, = усов! - 2з1л( ,

г1 = уз1п{ +• зсоз ( , и, наконец,

ПГ. х = (о1/3+х)созт - у8±м , у = (о1/3+х)з1пт + уоозт: , Е = г ,

уравнения движения приводятся к надлежащей форме.

Введём в полученной системе дифференциальных уравнений движения малый парамэтр е следующим образом:

е = .

ЗЕ£ = б!п1 .

Тогда получим:

?

х" - 2у* - х = ет £1 ,

у" + 2х' = ео О . (4)

?

г" + 2(ц-у+т)(оозг х' - в1пт у') = -(и-ц-у+тг г + ет О

Решение системы (4) будем искать в виде рядов по малому па- 12 -