Исследование симметричных периодических орбит в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

Титова Наталья Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ В ОГРАНИЧЕННОЙ ФОТОГРАВИТАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидат физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в отделе механики Вычислительного Центра им. А.А. Дородницына Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор В.Н. Тхай

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор A.J1. Куницын

кандидат физико-математических наук, доцент A.A. Пережогин

Институт Проблем Механики Российской Академии Наук.

Защита состоится 20 февраля 2004 года в 16 часов на заседании специализированного Совета по механике Д 501.001.22 при Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Авюреферат разослан « i-Ô » jbMyi^fux^ 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 501.001.22 кандидат физико-математических наук

В.А. Прошкин

йт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы возрос интерес к изучению периодических орбит ограниченной задачи трех тел и ее модификаций, учитывающих вместе с гравитационными силами и другие силовые поля. Естественной модификацией задачи трех тел является движение частицы в репульсивно-гравитационном поле; невозможно представить движение частицы без учета светового излучения со стороны основных тел (звездная динамика, движение комет, эволюция межзвездных газопылевых облаков). Появилось множество проектов по запуску спутников, космических станций, лабораторий и других космических аппаратов на орбиты, примыкающие к точкам либрации систем "Земля-Луна" и т. п. Это, в свою очередь, порождает более сложные задачи управления, чем запуск на околоземную орбиту, а следовательно делает необходимым более тщательное изучение таких орбит.

В другой стороны, модель ограниченной фотогравитационной задачи трех тел хорошо описывает движение в астродинамике, в частности, двойную звездную систему, и с этой стороны представляет большой интерес.

Задача трех тел и другие модели классической и небесной механики учитывают фундаментальное свойство обратимости, изучаемое в естественных науках. Теория обратимых систем - одно из наиболее приоритетных направлений в современной теоретической механике, весьма важное для прикладных задач. На сегодня в теории механических обратимых систем имеется хорошо разработанная теория периодических движений. Развитие этой теории и применение к исследованию ограниченной фотогравитационной задачи трех тел представляется актуальным.

Цель работы:

1. Решить вопрос о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических орбит, примыкающих к коллинеарным точкам либрации ограниченной фотогравитационной задачи трех тел.

2. Изучить нелокальные семейства, полученные продолжением локальных ляпуновских семейств. Построение и систематическое исследование этих семейств: эволюция, бифуркации, сценарии перехода в другие семейства, определение зависимости периода от энергии на каждом семействе, решение задачи устойчивости построенных орбит.

Научная новизна. В диссергационной работе впервые проведено систематическое исследование симметричных периодических

РОС и. ■ ИЛЬНАЯ

Ь 1' ид

(. с 3 >0., рг

гообрк

орбит офаНичснной фотогравитационной задачи трех тел. Впервые систематически применяется теория обратимых механических систем, которая использует фундаментальное свойство обратимости небесно-механических моделей. Впервые получены условия существования симметричных периодических движений в вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения. Полностью решена проблема существования ляпуновских семейств периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи. Выполнено изучение нелокальных семейств, полученных продолжением локальных ляпуновских семейств. Исследована их эволюция, бифуркации, устойчивость по Ляпунову.

Практическая ценность результатов. Результаты по исследованию симметричных периодических орбит фотогравитационной задачи трех тел могут быть применены при изучении движения объектов (планет, комет, спутников и т. п.) в фотогравитационном силовом поле двойных звезд. Теоретические результаты, полученные в работе, могут быть использованы при решении других прикладных задач, описываемых обратимыми системами дифференциальных уравнений.

Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, ВЦ им. A.A. Дородницына РАН, Института Проблем Механики РАН, ИПА РАН, ГАИШ, МАИ и другими научными центрами математики, механики и астрономии.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы получены с помощью строго обоснованных современных конструктивных методов исследования. Результаты численных исследований обосновываюгся совпадением с известными результатами в частных случаях (классическая задача трех тел, Копенгагенская задача).

Используемые методы. Основными методами исследования в диссертации являются: 1) метод продолжения по малому параметру симметричных периодических решений обратимой механической системы в негрубых случаях; 2) метод нормальных форм в резонансном случае; 3) метод построения и исследования на устойчивость всех симметричных периодических движений обратимой механической системы.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- теорема о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений в обратимой механической системе с двумя степенями свободы в вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения;

- результаты по существованию ляпуновских семейств симметричных периодических орбит примыкающих к коллине-арным точкам либрации ограниченной фотогравитационной ограниченной задачи трех тел;

- резулыагы по исследованию нелокальных периодических орбит ограниченной фотогравитационной ограниченной задачи трех тел, примыкающих к коллинеарным точкам либрации: численное продолжение локальных семейств, построение орбит, исследование их эволюции, бифуркаций, свойства устойчивости по Ляпунову.

Апробация работы. Отдельные разделы диссертации докладывались и обсуждались на:

- Международной научной конференции по механике «Вторые По-ляховские чтения», 2-4 февраля 2000 г., С.-Петербург;

- The Third Meeting on Celestial Mechanics «CELMEC III», June, 1622, 2001, Villa Mondragone, Monte Porzio Catone, Rome, Italy;

- Четвертом Международном Симпозиуме по классической и небесной механике, 15-20 августа 2001 г., Великие Луки;

- XXXVII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, 15-18 мая 2002 г., Москва, РУДН;

- VII Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», 24-26 мая 2002 г., Москва, ИПУ;

- VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, усгойчивосгь и управление движением», 28-31 мая 2002 г., Казань, КАИ;

- International Conference «Libration Point Orbits and Applications», June, 10-14, 2002, Barcelona (Spain), Institut d'Estudis Espacials de Catalunia;

- VIII Международной конференции «Устойчивость управление и динамика твердого тела», 3-7 сентября 2002 г., Донецк: Институт прикладной математики и механики НАНУ;

- Международной конференции «Небесная механика - 2002: Результаты и перспективы», 10-14 сентября 2002 г., С.-Петербург, ИИА РАН;

- семинаре отдела механики ВЦ им. А А. Дородницына РАН, 2003 г.;

- семинаре по динамике относи 1ельного движения (рук. чл.-корр В.В. Белецкий, проф Ю Ф. Голубев, доц К.Я Якимова), 2003 1 ;

- семинаре по аналитической механике и устойчивости движения (рук акад. В В Румянцев, чл -корр. В.В Белецкий, проф. А В. Карапетян), 2003 1.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 рабоии. Список публикаций приведен в конце автореферата

Структура и обьем диссертации. Диссертация сосюит и? введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 138 наименований. Общий объем диссертации составляет 224 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации. Дано обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов, кратко изложены основные результаты диссертационной работы.

В первой главе рассматривается гладкая автономная линейно обратимая механическая система

где А и В - постоянные матрицы, rj) и Е(£, г/) - нелинейные члены.

Для системы (1) приведены все основные теоремы и методы, которые в последующих главах используются для исследования симметричных периодических орбит ограниченной фотогравитационной задачи трех тел.

В параграфе 1.1 дается формулировка общей теоремы о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений, примыкающих к положению равновесия гладкой автономной обратимой системы:

Теорема I.1. Если система (1) такова, что характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет пару ± ia> чисто мнимых корней, среди остальных корней этого уравнения нет корней, равных ± ipa (р е N), и rankS = п, то система (1) допускает (1-п)- параметрическое многообразие положений равновесия, принадлежащих неподвижному множеству М. К каждой точке этого многообразия положений равновесия примыкает однопараметрическое семейство ляпуновских периодических движений.

Далее формулируется теорема2 о существовании ляпуновских семейств в случае, когда rankS = п-1; в этом случае система (1) не допускает периодических движений в окрестности положения равновесия. Кроме того, дается теорема3 о существовании ляпуновских семейств в случае, близком к ranks - п -1.

В системе (1) с двумя степенями свободы рассмотрен неисследованный ранее вырожденный случай гапЫ = rankS = 1, когда характеристическое уравнение линейной части системы (1) имеет два

' В Н. Тхай Ляиунокские семейства периодических движений в обратимой chcicmc /У ПММ

2000. Т. 64. Вып 1.С 46-58 1 Там же

3 Там же

(1)

¿¡eR', t] е/Г (/2 и); 5(0,0) = 0, 2(0,0) = 0; Щ,-г,) = -S(£, п), Щ-V) =

простых нулевых корня. После понижения порядка системы (1) на единицу и приведения ее к неавтономной 2п -периодической системе

dr _U со&ср+ V sirup d<p Ф

dx X

= (2) d<p Ф w

dy _Y

d<p Ф

где Ф = ea+ ^ Fcosp- ^ [f sirup, используется метод продолжения г г

периодического решения по малому параметру, развитый для обратимых систем4. Составляется так называемое амплитудное уравнение

1 "

P(r<„x0)= \Y2(0,r0cos<p,r0sin<p,x0,Q)d<p = 0 (»о

где У2 - квадратичная часть функции У, четной по переменным rcos<p, х

Y2 = А/д cos2 <р + А^х] + A}r0x0 cos<p анализируя корни которого, формулируем следующее утверждение

Теорема 2. Пусть характеристическое уравнение линейной части обратимой системы (1) допускает два простых нулевых корня и пару чисто мнимых корней + ио. Если коэффициенты квадратичной части функции У удовлетворяют условию А,А2 <0, то система (1) допускает однопараметрическое семейство ляпуновских движений примыкающих к нулевому положению равновесия.

В параграфе 1.2 описана процедура приведения системы (1) к нормальной форме в случае внутреннего резонанса гретьего порядка . Приводится теорема об устойчивости нулевого положения равновесия при этом резонансе6. Затем сформулирована теорема о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений в окрестности нулевого положения равновесия в системе (1) при внутреннем резонансе третьего порядка7.

4 В.11 ТхаЙг-0 метоле Ляпунова-Пуанкаре в теории периодических движений // ПММ 1998 Т 62. Вып. 3. С. 355-371.

5 См , например, И.Г Малкин Теория устойчивости движения Гостехиздат, 1952,431 с

*ВН Тхай Об устойчивости механических систем под действием позиционных сит //ПММ 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 40-48.

7 Тхай В.Н Резонансные ляпуновские семейства периодических движений обратимых механических систем.//ПММ. 2004. Т 68 Вып 3 (в печати).

В параграфе 1.3 излагается конструктивный метод построения всех симметричных периодических движений обратимой механической системы, а также исследования этих движений на устойчивость по Ляпунову8.

Вторая глава посвящена решению вопроса о существовании локальных семейств симметричных периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел. Эта задача изучает движение частицы Р пренебрежимо малой массы в репульсивно-гравитационном поле, создаваемом двумя макроскопическими (основными) телами М0 и Мп когда, помимо гравитационной силы притяжения, на частицу действует также репульсивная сила светового давления.

В параграфе 2.1 дана постановка плоской круговой фотогравитационной ограниченной задачи трех тел. Подробно объяснен физических смысл коэффициента редукции массы 0. Уравнения движения фотогравитационной задачи

„ ди

Х-2у =

дх - Ж ду

(3)

2 Я, А,

^=(х + мУ+у\ 111={х + И-1)г+у2

(//, 1 - ц - безразмерные массы основных тел, Л,, Л2 - расстояния от частицы до основных тел) содержат параметры характери-

зующие интенсивность излучения, исходящего от каждого из основных тел. Диапазон изменения параметров (-»;1], откуда видно, что наложение силы светового давления на гравитационное поле приводит к "уменьшению" массы М основного тела, то есть, уменьшению гравитационного притяжения частицы основным телом, и появлению "эффективной массы" ()М 9

Приведен обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби). Отмечено свойство обратимости уравнений (3), т.е. их инвариантность относительно линейного преобразования

(х,у,Х,у)^(х,-у,-Х,у) (4)

" Тхай В.Н. Неподвижные множества и симметричные периодические движения обратимых механических систем ГТММ 1996 Т60 Вып 6 С 979-991. Тхай В.Н Вращательные движения механических систем. 11ММ. 1999 Т. 63. Вып. 2 С. 179-195.

' Радзиевскнй В В Ограниченная задача трех тел с учетом светового давления АЖ 1950 Т 27 № 4. С. 249-256.

Если имеем дело с идентичной двойной звездой ^ ~ 0-г )> то система (3) инвариантна также относительно преобразования

(х,у,Х,})-*(-х,у, *,-?). (5)

В параграфе 2.2 рассматриваются коллинеарные и треугольные положения относительного равновесия (точки либрации) ограниченной фотогравитационной задачи трех тел. Вводится в рассмотрение плоскость параметров задачи которая разбита на области

существования одной или трех коллинеарных точек либрации. На границе этих двух областей имеется две коллинеарные точки. Выделены области существования качественно различных коллинеарных * точек либрации. Например, возможно существование двух внутренних коллинеарных точек (третья точка - внешняя, левая или правая), или трех внутренних точек. В случае существования одной коллине-арной точки также выделены области значений параметров в которых эта единственная точка является внешней (левой или правой) или внутренней.

В параграфе 2.3 проведено численное исследование каждой из коллинеарных точек на этой плоскости параметров; в соответствии с теоремой 1, найдены области существования одного, двух или отсутствия ляпуновских семейств симметричных периодических орбит в окрестности каждой точки либрации.

В параграфе 2.4 решен также вопрос о существовании ляпуновских семейств в случае резонанса третьего порядка. На плоскости параметров задачи выделены резонансные множества. Численно проведена нормализация уравнений движения. Исследован вопрос об устойчивости «промежуточной» точки либрации (т.е. той точки, которая расположена между двумя другими (при наличии трех коллинеарных точек), независимо от расположения точек либрации относительно основных тел) в резонансном случае. В соответствии с ^ теоремой о существовании локальных семейств, приведенной в параграфе 1.2, сделаны выводы о наличии периодических движений в фотогравитационной задаче при резонансе третьего порядка а также * в случаях, близких к этому резонансу.

В параграфе 2.5 рассмотрен случай существования нулевых корней характеристического уравнения системы (3) (случай когда не выполнено третье условие теоремы 1). На плоскости параметров (бпбг) выделено соответствующее множество, которое отвечает границе между областями существования одной и трех коллинеарных точек либрации. Показано, что в окрестности «промежуточной» точки либрации ляпуновских семейств периодических движений в

этом случае fie существует. Исследовано существование локальных движений в случае близком к рассматриваемому.

В третьей главе с помощью компьютерного моделирования систематически исследованы нелокальные периодические орбиты ограниченной фотогравитационной задачи трех тел, примыкающие к коллинеарным точкам либрации. Впервые проведены обширные исследования по систематическому изучению семейств симметричных периодических орбит ограниченной фотогравитационной задачи трех тел: проведено численное продолжение локальных ляпунов-ских семейств, примыкающих к коллинеарным точкам либрации (существование этих семейств доказано в предыдущей главе). Исследована эволюция орбит, их бифуркации, проведено исследование на устойчивость. Эти исследования выполнены с помощью программы «The3BodyProblem»'°, адаптированной для фотогравитационной задачи трех тел.

В параграфе 3.1 приведено сведение системы уравнений (3) ограниченной фотогравитационной задачи трех тел к системам третьего и второго порядка. Это необходимо для корректного применения метода построения симметричных периодических орбит и исследования их на устойчивость, изложенного в параграфе 1.3. В параграфе 3.2 дается изложение этого метода в применении к фотогравитационной задаче.

В параграфе 3.3 рассматривается идентичная двойная звезда

' 2> Q\~Qi ~ Q)- Приведено детальное описание эволюции и

бифуркаций симметричных периодических орбит для известного частного случая (Копенгагенская задача, Q = \). Предложена классификация орбит, исследована их устойчивость, выполнено визуальное построение всех семейств симмегричных периодических орбит. Приведены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость начальных условий орбит от параметра h (константа Якоби), а также диаграмма зависимости периода Т по времени полученных орбит от этого параметра. Дается детальное сравнение этих диаграмм. Результаты полученные в этом параграфе сравниваются с классическим численным исследованием".

В параграфе 3.4 подробно анализируются результаты по исследованию симметричных периодических орбит при значениях параметра Q < 1 ; дается детальное сравнение эволюционной картины с эволюцией орбит в Копенгагенской задаче. Отмечены изменения характера эволюции при уменьшении Q : в целом эволюционная кар-

10 Ефимов И Л, Тхай В Н Усшйчивость периодических орбит в задаче Хилла. Задачи исследования устойчивости и стабтизации движения М ВЦ РАН. 1999. С 45-60 " См, например, Себехей В Теория орбит. М: Наука. 1982.

тина при уменьшении параметра Q становится менее сложной по сравнению с орбитами Копенгагенской задачи. Отметим, что в случае внутренней коллинеарной точки либрации 12, в ее окрестности во всех случаях удалось построить все ляпуновские семейства, существование которых доказано в предыдущей главе. Например, при 0 = 0.12, -0.05 в окрестности I, получено два ляпуновских семейства локальных периодических движений, а в случае 0 = 0.1 таких движений не обнаружено. Во всех остальных случаях построено по одному ляпуновскому семейству. Так же, как и в предыдущем параграфе, приводится и сравнивается не только изменение зависимости начальных условий от А, но и изменение периода орбит но времени; отмечено сходство поведения этих характеристик.

В параграфе 3.5 аналогичное исследование проводится для систем с отклонениями от идентичной двойной звезды по параметрам /¿и Q.

1)^=12-Ди,0=й=0

Возникает проблема применения в этом случае метода, описанного в параграфах 1.3 и 3.2. Вследствие неинвариаптносш системы (3) относительно дополнительного преобразования (5), возникает трудность в построении и исследовании симметричных периодических орбит, примыкающих к внешним точкам либрации, а также некоторых семейств орбит, примыкающих к внутренним точкам либрации. Предлагается решение этой проблемы с помощью выбора альтернативного набора параметров.

Дается сравнение полученных результатов с результатами для идентичной двойной звезды: картина эволюции при отклонениях от симметричного случая принципиально не отличается от эволюции в случае идентичной двойной звезды. Количественные отличия заметнее при отклонениях по параметру /л (в обоих случаях отклонения брались в размере 5 % от параметров идентичной двойной звезды).

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложение I содержит результаты численного исследования существования одного, двух или отсутствия ляпуновских семейств симметричных периодических орбит в окрестности всех коллинеар-

ных точек либрации офаничепной фошгравщационной задачи ipex тел.

В Приложении II приведены уравнения для нахождения коэффициентов нормализующего преобразования, а также резонансных коэффициентов при нормализации системы уравнений движения в случае внутренне1 о резонанса Tpeibero порядка

В Приложении III.1 приведен пример работы программы «The3BodyProblem»

Приложение III.2 содержит построенные семейства симметричных периодических орбит фотогравитационной ограниченной задачи трех тел, выполненные с помощью программы «The3BodyProblem», а 1акже бифуркационные диаграммы и комментарии к ним.

В Приложении II 1.3 дан иример файла начальных условий для орбит, построенных в Приложении III.2

IIo теме диссертации опубликованы следующие рабо1ы:

1. Титова Н Н Построение областей устойчивости по Хиллу и вычисление шчек либрации в фотогравитационной *адаче трех тел // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М ' ВЦ РАН 2000 С. 78-86.

2. Н Н Титова, В Н Тхай Фотогравитационная задача трех тел Семейства симметричных периодических орбш, примыкающих к коллинсарным точкам либрации // Четвертый Международный симпозиум по классической и небесной механике Тезисы докладов Москва - Великие Луки- ВЦ РАН, 2001 С. 162-163

3 НН. Титова, В.II Тхай Семейства симметричных периодических орбш фою1рави1ационной задачи грех ie.i, примыкающие к коллинсарным точкам либрации Вариант двойной звезды // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М,: Изд-во ВЦ РАН. 2001. С. 113-145.

А. N N Titova, V N Tkhai The reversible system with two degrees of freedom Fxistence of periodic solutions in non-robust cases // Internationa! Conference "Libration Point Orbits and Applications" Barcelona, Institut d'Estudis Espacials de Catalunia, 2002 P. 17.

5. H H Титова, BH Тхай Об одном частном случае существования периодических решений в обрашмой сис!еме с двумя cicne-пями свободы /' VIII Четаевекая международная конференция «Ана-титическая механика, усюйчивость и управление движением» 1с-зисы докладов. Казань-Изд-во Каз. гос. тех ун-та, 2002. С 120.

6 NN Titova, VN Tkluu The re\ersible system with two degrees of freedom Non-iobust cases Existence of periodic solutions. П VIII Международная конференция «Устойчивость управление и динамика твердою ic.ia». Донецк- Ин-i прикладной ма1ематики и механики НАНУ, 2002 С 92

7. Zinwvsthikov AS. NN Titova, VN Tkhai Periodic oibits in photogravitational three-body problem // Груды ИПА РАН Вып. 8 Небесная механика. СПб. ИПА РАН, 2002. С. 184-185.

8 IIII Титова, В Н Тхай О существовании симметричных периодических движений в обратимой системе с двумя степенями свободы // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М • Изд-во ВЦ РАН 2002. С. 54-62

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та М1 У Тираж Заказ №

РНБ Русский фонд

2006-4 9820

il

Введение.

Глава 1. Обратимые механические системы. Теоретический аппарат.

1.1. Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений в окрестности положения равновесия обратимой системы

1.2. Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений при резонансе третьего порядка.

1.3. Метод построения всех симметричных периодических решений обратимой системы. Исследование устойчивости.

Глава 2. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел. Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений.

2.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

2.2. Точки либрации. Поверхности нулевой скорости.

2.3. Ляпуновские семейства симметричных периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации.

2.4. Существование ляпуновских семейств при внутреннем резонансе третьего порядка и в случаях, близких к резонансному.

2.5. Существование ляпуновских семейств при гапкВ = 1.

Глава 3. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел. Исследование периодических движений.

3.1. Редукция к системам третьего и второго порядков.

3.2. Метод построения симметричных периодических орбит.

3.3. Исследование симметричных периодических орбит. Случай иден-тичой двойной звезды.

3.4. Анализ результатов, полученных для идентичой двойной звезды.

3.5. Случай, близкий к идентичной двойной звезде.

Изучение движения материальной точки в различных силовых полях является одной из основных проблем механики, в частности, небесной механики и астродинамики. Большое значение в решении этой проблемы приобрела ограниченная задача трех тел [6, 10, 11, 48].

Как известно, при изучении небесных тел наряду с гравитационной силой часто приходится учитывать целый ряд других сил (магнитных, электрических, сил излучения и т. д.), которые в ряде случаев могут быть не только количественно соизмеримыми с первой, но и значительно превосходящими ее . Одна из них, а именно репульсивная сила светового давления [26, 40-42, 45, 46, 108], является неизменной спутницей гравитации, поскольку невозможно представить макроскопическое небесное тело, имеющее температуру, отличную от абсолютного нуля, и, вместе с тем, не отдающее излучения в окружающее его пространство.

Световым давлением называют механическое воздействие световых лучей, производимое на облучаемые ими тела и вызываемое взаимодействием между фотонами света и освещаемой поверхностью, которая отражает или поглощает свет. Заметим здесь, что звезды, в том числе и Солнце, излучают электромагнитные волны не только в видимом световом диапазоне; многообразие физических процессов, происходящих на звездах, порождает электромагнитное излучение в огромном диапазоне длин волн - от сверхдлинных радиоволн до гамма-лучей. С этой точки зрения, более точным является термин "давление звездной радиации", однако, наиболее часто в этом смысле употребляется термин "световое давление" [42].

Здесь необходимо также различать фотонную (электромагнитную) радиацию звезд и корпускулярную радиацию, т.е. совсем другое физическое явление, представляющее собою истечение звездного вещества вследствие высокой температуры звездной поверхности.

Давление электромагнитного излучения, таким образом, представляет собою природное явление. В реальных условиях на гравитационное поле всегда накладывается некоторое поле репульсивных сил, образуя так называемое фотогравитационное силовое поле [42, 45, 46, 108]. Векторы гравитационной силы Fg и силы светового давления Fp звезды лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Действие репульсивной силы, которая отталкивает частицу от основного тела, приводит к "уменьшению массы" этого тела и появлению "эффективной массы" [61].

Изучению движения небесных тел в таком поле было посвящено большое количество исследований. И. Кеплер (1619 г.) впервые сформулировал гипотезу о световом давлении, пытаясь объяснить причину отклонения хвостов комет. П.Н. Лебедев [25] доказал верность этой гипотезы, а также разработал строгий математический аппарат теории светового давления. Одной из наиболее тщательных разработок по фотогравитационной механике является механическая теория кометных форм, созданная Ф.А. Бредихиным [4], Н.Е. Жуковским [14] и С.В.Орловым [36]. О.Ю. Шмидт широко использовал в своей космогонической теории эффекты светового торможения [78, 79]. Агекяном [1] была разработана теория фотогравитационного взаимодействия между облаками космической пыли и звездами. Ф.А. Цандеру принадлежит первое серьезное исследование проблемы космического полета с помощью сил светового давления солнечных лучей (см. библиографию в [42]).

Для небесной механики и астродинамики наибольшее значение имеют работы В.В. Радзиевского [45, 46], в которых были впервые поставлена одна из важнейших задач динамики частицы в фотогравитационных полях - фотогравитационная задача трех тел. Фотогравитационная задача отличается от классической ограниченной задачи трех тел тем, что одно или оба основных тела являются источником световой репульсии.

В постановке с двумя излучающими телами эта задача допускает приложения в звездной динамике: на ее основе, например, можно эффективно строить промежуточные орбиты частиц газопылевых облаков в поле двойных звезд. Двойные звезды представляют собою парные звездные системы, в которых вращение происходит по кеплеровым орбитам вокруг общего центра масс под действием сил тяготения. Двойные звезды составляют примерно половину всех звездных систем [2, 15, 35].

Дадим здесь несколько примеров реальных двойных звездных систем, к которым применима рассматриваемая задача: приведем параметры этих систем в виде таблиц [2, 15]. Компоненты двойной звездной системы здесь обозначаются, как это принято в астрономии, А и В.

Заметим здесь, что во всех примерах параметры орбит основных тел вокруг центра масс весьма близки к круговым [2, 15]. Масса компонентов указана в единицах массы Солнца (Mq = 1.9891 • Ю30 кг). 1. Капелла (а Возничего).

А В

Масса М, Mq 4.2 3.3

Спектральный F4 GO класс

Температура Т, К 6500 6000

2. £ Возничего.

А В

Масса М, Mq 13 32

Спектральный В4 М2 класс

Температура Т, К 15300 3400

3. £\ Лиры.

А В

Масса М, Mq 2.5 2.5

Спектральный А2 А2 класс

Температура Т, К 10000 10000

4. 7 Овна1.

А В

Масса М, Mq 1.04 1.02

Спектральный АО АО класс

Температура Т,К 11000 11000

Уравнения фотогравитационной задачи хорошо описывают движение частиц в поле взаимно удаленных двойных звездных систем (в которых отсутствует обмен массами между их компонентами); эту задачу

Первая обнаруженная в телескоп двойная звезда (Р. Гук, 1664 г.) [15] удобно рассматривать в качестве динамической модели такого движения [108].

Основной целью настоящей диссертации является систематическое исследование симметричных периодических орбит фотогравитационной задачи. Это исследование включает доказательство существования локальных семейств симметричных периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации, продолжение этих локальных семейств по параметру h (константа интеграла энергии); исследуются их эволюция и бифуркации и их свойство устойчивости.

Периодические орбиты являются очень важным классом решений ограниченной задачи трех тел, в том числе и фотогравитационной задачи. Поскольку уравнения ограниченной задачи являются неинтегри-руемыми [44, 48], то одним из путей изучения движения таких систем при t —У оо является исследование периодических траекторий (наряду с асимптотическими и почти периодическими движениями).

Отметим, что для периодических движений существует много возможностей классификации: например, разделение движений на симметричные (траектории в окрестности основных тел и коллинеарных точек либрации) и несимметричные (орбиты, примыкающие к треугольным точкам либрации), или разделение на локальные (ляпуновские семейства, полученные в виде рядов [27, 80, 104]) и нелокальные (например, орбиты, построенные численно в [130-132]).

На существование периодических траекторий указал еще JI. Эйлер [80]. Он получил периодические решения в окрестности коллинеарных точек либрации поставленной им ограниченной задачи трех тел. Периодические движения частицы в окрестности одного из основных тел построил Г.В. Хилл [104], рассматривая задачу о движении Луны (задача Хилла).

Огромный вклад в исследование периодических орбит внес А. Пуанкаре [43, 44]. Было показано, что так называемые решения первого сорта ограниченной задачи трех тел получаются посредством аналитического продолжения круговых решений задачи двух тел, а решения второго сорта - из эллиптических орбит соответствующей задачи двух тел.

Что касается численных исследований симметричных периодических орбит ограниченной задачи трех тел, то наиболее полной и строгой является работа, выполненная в Копенгагенской обсерватории под руководством Э. Стрёмгрена [130-132]. Продолжение этой работы, а также ценные комментарии содержат труды Г.Х. Дарвина [91], Ф.Р. Мульто-на [115], 3. Копала [106], Дж. X. Бартлетта [83], Т.Н. Тиле и К. Барро [88] Дж. Фишера-Петерсена [95], Н.Л. Гулда [98], Е. Рабе [116-118] и др. (см. библиографию в [48]). Дана классификация периодических орбит, связанная с 7-ю точками на плоскости ограниченной задачи: пятью точками либрации и двумя основными телами2. При изменении постоянной Якоби изменяется вид периодических орбит, что позволяет объединять эти орбиты в классы. Аналогичное исследование ограниченной задачи трех тел, в которой за основные тела принимаются Земля и Луна (лунные орбиты), было проведено Р. Брукке [87]. В работах В.А. Егорова [12], Е. Рабе [116-118] рассчитаны более сложные лунные орбиты, а также движения вокруг треугольных точек либрации. Имеется также множество других работ касающихся периодических орбит ограниченной задачи трех тел в различных аспектах (см. например [89]).

В монографии А.Д. Брюно [6] дана оригинальная (более сложная) классификация решений задачи двух тел, а также ограниченной задачи трех тел в случаях, когда безразмерная масса /х равна нулю или отлична от нуля. При этом параметризация проведена не по постоянной Якоби, а по кеплеровым элементам орбиты3. Для всех семейств симметричных периодических орбит дано строгое математическое описание. В качестве иллюстраций приводятся, например, численные результаты, полученные М. Хеноном [101, 102].

В последние годы, в связи с интенсивным освоением космического пространства, возрос интерес к изучению периодических орбит ограниченной задачи трех тел и ее модификаций (см. например [89]). Однако большинство исследований посвящены задачам в постановке, максимально приближенной к реальности, когда параметры системы отвечают реальным небесным телам (см. например [87, 90, 97, 99, 120, 124]). Наиболее часто встречаются работы по изучению так называемых систем "Солнце-Юпитер" и "Земля-Луна", когда параметры в

2Отметим, что система координат Стрёмгрена несколько отличается от стандартной : начало отсчета выбрано во внешней коллинеарной точки либрации

3Классификации предшествует процедура нормализации гамильтониана динамической системы ограниченной задаче трех тел берутся соответствующими данным небесным телам.

Впервые на существование локальных периодических орбит в окрестности внутренней коллинеарной точки фотогравитационной задачи трех тел либрации указал В.В. Радзиевский [45, 46] (в задаче с одним излучающим телом). Позднее Е.П. Филянская [75] показала, что такие орбиты существуют в окрестности всех коллинеарных точек. В данной работе периодические орбиты описываются с помощью экспонент с чисто мнимыми аргументами. Р.К. Шарма [126] рассмотрел периодические орбиты в задаче с одним излучающим телом при учете его несферичности. Периодические орбиты в окрестности треугольных точек либрации были построены Р.А. Фрейтасом и Ф. Вальдсом [96]. Для случая двух излучающих тел, существование периодических орбит вокруг компланарных точек либрации доказано А.Т. Турешбаевым [56], в слабоэллиптической задаче. Более детальное исследование этих орбит выполнено О. Рагосом и К. Загорасом [119]. Построение пространственных нелокальных решений фотогравитационной задачи было проведено А. Элипе и М. JIapa [94]. В этой работе был применен численный алгоритм построения орбит, предложенный А. Депри и Ж. Энраром [93].

Наряду с периодическими орбитами, множество исследований по фотогравитационной задаче трех тел посвящено изучению точек либрации. Впервые точки либрации, аналогичные классическим, в случае как с одним, так и с двумя излучающими телами, были исследованы В.В. Радзиевским [45, 46]. Он обнаружил, что их положение напрямую зависит от коэффициентов редукции массы. Линейная устойчивость коллинеарных и треугольных точек либрации в случае одного излучающего тела впервые была исследована Ю.А. Черниковым [76]. В этой работе была доказана неустойчивость коллинеарных точек либрации. А.А. Пережогин [37-39] используя другой, более простой метод, показал невозможность гироскопической стабилизации коллинеарных точек и как следствие (по теореме Кельвина-Четаева) их неустойчивость.

Для случая двух излучающих тел, детальные исследования существования и положения коллинеарных и треугольных точек либрации в зависимости от параметров ft,Qi,Q2, были выполнены А.Л. Куницы-ным и А.Т. Турешбаевым [21, 22, 109], а также Дж.Ф.Л. Симмонсом и др. [129]. Показано (см. например [56]), что внешние коллинеарные точки либрации всегда неустойчивы, тогда как для внутренней точки либрации существует область устойчивости. В работах ([107, 112]) была исследована линейная устойчивость треугольных точек либрации. Работы А.С. Зимовщикова [16-18] посвящены численным исследованиям устойчивости точек либрации.

Уравнения фотогравитационной задачи, так же, как и классической задачи трех тел [57], представляют собою обратимую систему дифференциальных уравнений. Свойство обратимости существенно используется в настоящем исследовании. Отметим здесь, что необходимость в исследовании обратимых динамических систем возникает не только при исследовании задачи трех тел, но также и многих других задач классической и небесной механики (см. например [57, 62-64, 72]).

Дадим определение обратимой системы. Если система дифференциальных уравнений инвариантна относительно преобразования х -> Gx (*) х - вектор фазового пространства, G - некоторое отобр ажение этого пространства, такое что G2 = id (тождественное преобразование)) при одновременном обращении независимой переменной, то такая система называется обратимой [72, 110]. Линейно обратимой системой называется система, инвариантная относительно линейного преобразования (*). Такую систему, выбирая соответствующим образом переменные г) можно представить в виде [72] g Rl, rje Rn,

Здесь / и п - число собственных значений матрицы G, равных соответственно +1 и -1. В механических системах всегда / > п, поэтому в этом случае систему можем назвать обратимой механической системой [72].

Неподвижным множеством обратимой системы называется [72] множество х = Gx неподвижных точек оператора G. Для приведенной здесь обратимой системы неподвижное множество запишется в виде

М = {£,77:77 = 0}.

Одним из простейших примеров обратимой механической системы с одной степенью свободы является математический маятник [64, 72] х + sin а: = 0.

Легко видеть, что это уравнение инвариантно относительно замены (£, х, х) —> (—х, —х). Его неподвижное множество, таким образом, можно представить в виде: Мр = {х, х : х = 0}.

В работе Г.В. Хилла по теории движения Луны [104] дифференциальные уравнения задачи представляют собою [72] линейно обратимую систему, инвариантную относительно двух преобразований типа (*). Периодические движения, полученные в этой работе, а также в работе A.M. Ляпунова [27], посвященной задаче Хилла, симметричны относительно двух неподвижных множеств.

В работах А. Пуанкаре [43, 44] симметричные периодические орбиты ограниченной задачи трех тел порождаются из эллиптических орбит (решений второго сорта) задачи двух тел.

Корректное доказательство существования семейств симметричных периодических орбит дано в работах Т. Уно [136], Р.Б. Баррара [82], Р.Ф. Аренсторфа [81], причем в этих работах фактически используется теорема Хейнбокела-Страббла [100].

В последние годы теория обратимых систем развивается очень интенсивно в работах В.Н. Тхая [57-73] и его учеников [7-9, 13, 16-18, 34, 49-55, 134, 135, 138]. Одно из направлений этих работ - исследование симметричных периодических движений (колебаний и вращений) в обратимых механических системах, в частности, локальных периодических движений в окрестности положений равновесия.

Вопрос о существовании локальных семейств периодических движений в окрестности положений равновесия впервые исследован A.M. Ляпуновым [28]. Доказана теорема о существовании таких семейств для системы дифференциальных уравнений с голоморфными нелинейными правыми частями. Если характеристическое уравнение такой системы допускает пару чисто мнимых корней, то в нерезонансном случае в системе имеется локальное однопараметрическое семейство (ляпуновское семейство) симметричных преиодических движений.

В работе Ю.А. Рябова [47] дано обобщение этой теоремы Ляпунова: доказано, что утверждение Ляпунова справедливо без каких-либо ограничений на корни характеристического уравнения.

Для обратимых систем теоремы о существовании локальных семейств периодических движений были в разное время сформулированы и доказаны А.Д. Брюно [5] и Р.Л. Девани [92]. Наиболее общая формулировка теоремы для обратимых систем дана в работе В.Н. Тхая [64]. Это утверждение содержит конструктивно проверяемые условия существования ляпуновских семейств в обратимой механической системе. В этой же работе имеется условие существования периодических движений в обратимой системе при некоторых нарушениях условий общей теоремы. В [55] доказана теорема о существовании периодических движений в неисследованном ранее вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения. Существование ляпуновских семейств периодических движений в резонансных случаях исследуется в работе М.Б. Севрюка [125] для векторных полей (при I — п). В одном из последних исследований В.Н. Тхая [73] рассматривается обратимая механическая система; доказаны теоремы о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений в различных резонансных случаях. Для исследования применяются методы, развитые для обратимых систем [62, 71]. Заметим здесь, что тема резонансности в динамических системах также хорошо изучена в литературе в самых различных аспектах. Явление резонансности изучалось в общей теории динамических систем [5, 20, 33, 121, 122, 123, 133], в теории обратимых систем [8, 58, 73], а также непосредственно в приложении к ограниченной задаче трех тел [31, 84].

В работе А.А. Зевина [137] доказано утверждение, содержащее условия продолжения локальных семейств периодических движений по параметру. При этом возможны следующие сценарии эволюции локальных семейств: 1) стягивание к положению равновесия; 2) переход в другие семейства движений (симметричных или несимметричных); 3) неограниченное возрастание периода, а также амплитуды периодических движений ("катастрофа голубого неба").

В.Н. Тхаем [57, 65] был разработан и строго математически обоснован конструктивный метод численного построения и исследования устойчивости в смысле Ляпунова всех периодических траекторий в обратимой механической системе. Он основан на том, что периодическое решение обратимой системы дважды пересекает неподвижное множество М. Доказано, что пересечение множеств М и Мт (образ неподвижного множества при изменении независимой переменной за полупериод) содержит все точки, принадлежащие симметричным 2Т-периодическим решениям обратимой системы.

В дальнейшем данный метод был успешно реализован на компьютере и опробован на различных задачах классической и небесной механики: задаче Хилла (И.Л. Ефимов, В.Н. Тхай, [13]), ограниченной задаче трех тел4, задаче о движении спутника (Ю.Д. Глухих, В.Н. Тхай, [7], Д.Л. Гродман, В.Н.Тхай, [9]), фотогравитационной ограниченной задачи трех тел (Н.Н. Титова, В.Н. Тхай, [52, 53]).

Заметим, что подобный подход к построению симметричных периодических траекторий встречается в работах Э. Уиттекера [74] и А.Ф. Шанцле [124]. Он заключается в том, что вектор скорости при движении по орбите должен быть перпендикулярен оси абсцисс в точках ее пересечения с орбитой. Такой подход используется, например, в [130132] при построении орбит Копенгагенской задачи. В отличие от этого критерия, метод построения, разработанный В.Н. Тхаем, опирается на строгие теоремы. Учитывание свойства обратимости системы уравнений движения дает возможность выполнять построение симметричных орбит "с открытыми глазами".

В заключение перейдем к краткому описанию содержания настоящей диссертационной работы.

В первой главе приведены все основные теоремы и методы, кото

4 Ефимов И.Л. Компьютерное моделирование периодических орбит ограниченной задачи трех тел. Дипломная работа. 2000. МГАПИ, кафедра "Математическое моделирование" рые в последующих главах используются для исследования ограниченной фотогравитационной задачи трех тел. Дается формулировка общей теоремы о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений, примыкающих к положению равновесия гладкой автономной обратимой системы, а также теорема о существовании локальных семейств в случае резонанса третьего порядка и в случае, когда характеристическое уравнение системы допускает пару нулевых корней. Для неисследованного ранее случая двух простых нулевых корней теорема о существовании локальных семейств периодических движений приводится с подробным доказательством. Излагается метод построения всех симметричных периодических движений обратимой системы, а также исследования этих движений на устойчивость по Ляпунову.

Вторая глава посвящена решению вопроса о существовании локальных семейств симметричных периодических орбит в окрестности кол-линеарных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел. Вводится в рассмотрение плоскость параметров задачи, на которой выделены области существования качественно различных кол-линеарных точек либрации. Проведено численное исследование каждой коллинеарной точки на этой плоскости параметров; найдены области существования одного, двух или отсутствия ляпуновских семейств симметричных периодических орбит в окрестности точки либрации. Исследован также вопрос о наличии ляпуновских семейств в случае резонанса третьего порядка и в случае присутствия нулевых корней характеристического уравнения.

В третьей главе с помощью компьютерного моделирования систематически исследованы нелокальные периодические орбиты ограниченной фотогравитационной задачи трех тел, примыкающие к коллинеарным точкам либрации. При этом выполнено численное продолжение локальных семейств, исследована их эволюция и бифуркации; для каждой орбиты выяснено свойство устойчивости; предложена классификация орбит. Рассмотрен случай идентичной двойной звезды (основные тела с равными массами и одинаковой светимостью), а также случай двойной звездной системы, близкой к идентичной. В результате проведенных обширных исследований впервые выполнена систематическая работа по изучению семейств симметричных периодических орбит ограниченной фотогравитационной задачи трех тел.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- теорема о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений в обратимой механической системе с двумя степенями свободы в вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения;

- исследование существования ляпуновских семейств симметричных периодических орбит примыкающих к коллинеарным точкам либрации ограниченной фотогравитационной ограниченной задачи трех тел;

- систематическое исследование нелокальных периодических орбит ограниченной фотогравитационной ограниченной задачи трех тел, примыкающих к коллинеарным точкам либрации: численное продолжение локальных семейств, построение орбит, исследование их эволюции, бифуркаций, свойства устойчивости по Ляпунову.

Заключение.

В настоящей диссертационной работе впервые проведено систематическое исследование симметричных периодических орбит ограниченной фотогравитационной задачи трех тел. К задаче впервые применяется теория обратимых механических систем , которая учитывает фундаментальное свойство симметрии небесно- механических моделей.

Впервые получены условия существования симметричных периодических решений в вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения. Теорема дополняет теорию развитую В.Н. Тхаем [64, 73] о существовании локальных семейств периодических орбит в окрестности положений равновесия обратимых механических систем.

С помощью указанной теории проведено полное исследование существования ляпуновских семейств периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи. На плоскости параметров задачи (Q\,Q2) выделены области существования различного количества локальных ляпуновских семейств симметричных периодических орбит для всех коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи. Кроме того, исследовано существование ляпуновских семейств в случаях, не подпадающих под общую теорию: в случае внутреннего резонанса третьего порядка и в случае существования нулевых корней характеристического уравнения.

Локальные ляпуновские семейства продолжены по параметру, выполнено построение и классификация нелокальных симметричных периодических орбит, исследована их эволюция, бифуркации, устойчивость по Ляпунову. Подробно рассмотрен случай идентичной двойной звезды, когда оба основных тела аналогичны друг другу, а также звездная система, близкая к идентичной двойной звезде.

Все результаты диссертационной работы получены с помощью строго обоснованных современных конструктивных методов исследования. Результаты численных исследований обосновываются совпадением с известными результатами в частных случаях (классическая задача трех тел, Копенгагенская задача).

Основными методами исследования в диссертации являются:

- метод продолжения по малому параметру симметричных периодических решений обратимой механической системы в негрубых случаях (В.Н. Тхай);

- метод нормальных форм в резонансном случае;

- метод построения и исследования на устойчивость всех симметричных периодических движений обратимой механической системы, развитый В.Н. Тхаем [57, 65].

Результаты по исследованию фотогравитационной задачи трех тел (существование локальных семейств при различных значениях параметров задачи, построение и исследование на устойчивость периодических орбит) могут быть применены при изучении движения объектов (планет, комет, спутников и т. п.) в фотогравитационном силовом поле двойных звезд. Теоретические результаты, полученные в работе, могут быть использованы при решении других прикладных задач, описываемых обратимыми системами дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, ВЦ им. А.А. Дородницына РАН, Институте Проблем Механики РАН, ИПА РАН, ГАИШ, МАИ и другими научными центрами математики, механики и астрономии.

1. Агекян Т.А. Звезды, галактики, Метагалактика. М.: Наука. 1981. 415 с.

2. Астрономический календарь. Постоянная часть. М.: Наука. 1981. 704 с.

3. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейиные колебания и их бифуркации. Л.: ЛГУ. 1991. 144 с.

4. Бредихин Ф.А. О хвостах комет. М.-Л.: 1934. 280 с.

5. Брюно А.Д. Локальный метод анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. 255 с.

6. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1991. 295 с.

7. Глухих Ю.Д., Тхай В.Н. Периодические движения механической системы с одной степенью свободы. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 100112.

8. Глухих Ю.Д., Тхай В.Н., Шевалье Д. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой плоскости. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2000. Ч. 1. С. 87-104.

9. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука. 1975.

10. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука. 1978.

11. Егоров В. А. О некоторых задачах динамики полета к Луне. Успехи физ. наук. 1957. 63. Вып. 1а. С. 73-117.

12. Ефимов И.Л., Тхай В.Н. Устойчивость периодических орбит в задаче Хилла. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 45-60.

13. Жуковский Н. Е. Собрание сочинений. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. Т. 1. 578 с.

14. Зигелъ Ф.Ю. Сокровища звездного неба. М.: Наука. 1980. 311 с.

15. Зимовщиков А.С. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими источниками. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 121-129.

16. Зимовщиков А.С., Тхай В.Н. Об устойчивости треугольных решений неограниченной задачи трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1998. С. 117130.

17. Зимовщиков А.С. Об устойчивости треугольных точек либрации в фотогравитационной ограниченной задаче трех тел с двумя излучающими телами. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2000. Ч. 1. С. 68-77.

18. Куницын А.Я., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1979. - С. 58-139.

19. Куницын А.Я., Муратов А.С. Об устойчивости одного класса квазиавтономных периодических систем при внутреннем резонансе. ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 31-39.

20. Куницын А.Л.,Турешбаев А.Т. О коллинеарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел. Письма в АЖ, Т. 9. 7. С. 432-435.

21. Куницын А.Л.,Турешбаев А.Т. Об устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. В кн.: Темат. Сб. научн. тр. МАИ "Некоторые задачи иметоды исследования динамики механических систем. 1985. С.26-31.

22. Куницын А.Я. Об устойчивости треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 788-794.

23. Куницын A.JI. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 4. С. 720-724.

24. Лебедев П.Н. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

25. Лукьянов Л.Г. Лагранжевы решения в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. АЖ. 1984. Т. 61. Вып. 3. С. 564-570.

26. Ляпунов A.M. О рядах, предложенных Хиллом для прелставления движения Луны. Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1954. Т. 1. С. 418-446.

27. Ляпунов A.M. Общая задача теории устойчивости движения. М.-Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

28. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. 1956. 491 с.

29. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Гостехиздат, 1952, 431 с.

30. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодина-мике. М.: Наука, 1978, 312 с.

31. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положений равновесия га-мильтоновых систем. ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 6. С. 997-1004.

32. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса. ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 738-744.

33. Матвеев М.В. Устойчивость по Ляпунову положения равновесия обратимых систем. Мат. заметки. 1995. Т. 57. Вып. 1. С. 90-104.

34. Огородников К.Ф. Динамика звездных систем. М.: ГИФМЛ. 1958. 627 с.

35. Орлов С.В. Кометы. М.-Л.: 1935. 195 с.

36. Пережогин А. А. Об устойчивости треугольных точек либрации в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. Письма в АЖ. 1980, Т.6. 5.С. 314-317.

37. Пережогин А.А. Об устойчивости точек либрации в ограниченной фотогравитационной круговой задаче трех тел. Космические исследования, 1982. Т.20. 2. С. 196-205.

38. Пережогин А.А. Исследования устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики с учетом светового давления. -Канд. дисс., 1982.

39. Поляхова Е.Н. Роль эффектов солнечной радиации в теории гелиоцентрических движений пылевых частиц. В сб.: Астрометрия и небесная механика. М.-Л.: 1978.

40. Поляхова Е.Н. Возмущающее влияние светового давления Солнца на движение ИСЗ. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Исследование косм, пространства. Т. 15. М.: ВИНИТИ. 1980.

41. Поляхова Е.Н. Космический полет под солнечным парусом. М.: Наука, 1986, 304 с.

42. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука. 1965.

43. Пуанкаре А. Новые методы в небесной механике. Избранные труды, т. 1,2. М.: Наука, 1971.

44. Радзиевский В.В. Ограниченная задача трех тел с учетом светового давления. АЖ. 1950. Т.27. 4. С. 249-256.

45. Радзиевский В.В. Пространственный случай ограниченной задачи трех излучающих и гравитирующих тел. АЖ. 1953. Т.30. 3. С. 265.

46. Рябов Ю.А. Обобщение одной теоремы Ляпунова. Учен. зап. МГУ, "Математика", т. VII, вып. 165, 1954.

47. Себехей В. Теория орбит. М.: Наука. 1982.

48. Титова Н.Н. Построение областей устойчивости по Хиллу и вычисление точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2000. С. 78-86.

49. Титова Н.Н. Точки либрации и области устойчивости по Хиллу в фотогравитационной задаче трех тел. Вторые Поляховские чтения. Тезисы докладов. СПб.: Изд-во НИИ Химии С.-Петербургского университета, 2000. С. 48.

50. Титова Н.Н. Фотогравитационная задача трех тел. Построение областей устойчивости по Хиллу и вычисление точек либрации. Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: Изд-во НИИ Химии С.-Петербургского университета, 2000. С. 109-114.

51. Титова Н.Н. Тхай В.Н. О существовании симметричных периодических движений в обратимой системе с двумя степенями свободы / /

52. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения М.: Изд-во ВЦ РАН. 2002. С. 54-62.

53. Турешбаев А.Т. Устойчивость стационарных решений фотогравитационной задачи трех тел. Дисс.канд. физ.-мат. наук. М.: МАИ 1986.

54. Тхай В.Н. Неподвижные множества и симметричные периодические движения обратимых механических систем. ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С. 979-991.

55. Тхай В.Н. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил // ПММ. 1980. Т.44. Вып. 1. С. 40-49.

56. Тхай В.Н. Исследование плоской неограниченной задачи трех тел. ПММ. 1996. Т. 6. Вып. 3. С. 355-374.

57. Тхай В.Н. Нелинейные колебания обратимых систем. ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 1. С. 38-50.

58. Тхай В.Н. Параметрический резонанс в задаче об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2001. С. 112-121.

59. Тхай В.Н. О продолжении движений обратимой системы в негрубых случаях. Приложение к гг-планетной задаче. ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 56-72.

60. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли. ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 848-857.

61. Тхай В.Н. Ляпуновские семейства периодических движений в обратимой системе. ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 46-58.

62. Тхай В.Н. Вращательные движения механических систем. ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 2. С. 179-195.

63. Тхай В.Н. Симметричные периодические орбиты в ограниченной задаче трех тел. Космические исследования. 1997. Т. 35. 2. С. 164171.

64. Тхай В.Н. Симметричные периодические орбиты задачи многих тел. Резонансность и парад планет. ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 3. С. 355-365.

65. Тхай В.Н. Симметричные периодические орбиты третьего рода в n-планетной задаче. Резонансность и парад планет. Доклады Академии наук. Механика. 1996. Т. 350. 1. С. 52-55.

66. Тхай В.Н. Нелинейные колебания обратимых систем. ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 1. С. 38-49.

67. Тхай В.Н. Обратимость механических систем. ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 578-586.

68. Тхай В.Н. О методе Ляпунова-Пуанкаре в теории периодических движений. ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 355-371.

69. Тхай В.Н. Обратимые механические системы. В кн.: Нелинейная механика. М.: Физматлит. 2001. 432 с.

70. Тхай В.Н. Резонансные ляпуновские семейства периодических движений обратимых механических систем. ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3 (в печати).

71. Уиттекер Э. Аналитическая механика. Ред. журн. "Регулярная и хаотическая динамика". Изд. дом "Удмуртский университет". 1999. 584 с.

72. Филянская Е.П. Об устойчивости движения вблизи коллинеарных центров в огр. задаче трех тел с учетом светового давления. Бюллетень Ин-та теор. астрономии, 1972, Т.13. 3, С. 157-160.

73. Черников Ю.А. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел. АЖ. 1970, Т.47, 1. С. 217.

74. Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука. 1966. 628 с.

75. Шмидт О.Ю. Метеорная теория происхождения Земли и планет. Доклады АН СССР. 1944. Т. 45. С. 245-250.

76. Шмидт О.Ю. Четыре лекции о теории происхождения Земли. Изд. 3-е. М.: Изд-во АН СССР. 1957. 140 с.

77. Эйлер Л. Новая теория движения Луны. Л.: Изд-во АН СССР. 1934. 208 с.

78. Arenstorf R.F. Periodic solutions of the restricted three-body problem representing analytic continuations of the Keplerian elliptic motions. Amer. J. Math. 1963. V. 85. N 1. P. 27-35.

79. Barrar R.B. Existence of periodic orbits of the second kind in the restricted problem of three bodies. Astron. J. 1965. - V. 70. N 1. -P. 3-4

80. Bartlett J.H. The restricted problem of three bodies. Copenhagen Obs. Publ., 1965, N 179.

81. Bhatnagar K.B., Gupta B. Resonance in the restricted problem caused by solar radiation pressure. Proc. Indian Nat. Sci. Acad. 1977, A43, N 4. P. 303-313.

82. Bhatnagar K.B., Chawla J.M. A study of the Lagrangian points in the photogravitational restricted three-body problem. Indian Journal pure applied mathematics. 1979, V. 10. N. 11. P. 1443-1451.

83. Birkhoff G.D. The restricted problem of three bodies // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1915, V. 39. P. 265-344.

84. Broucke R. Recherches d'orbites periodiques dans le probleme restreint plan (ststeme Terre-Lune). Louvain, Belgium: Univ. of Louvain, 1962, dissertation unpublished.

85. Celetti A.,Chessa A., Hadjidemetriou J., Valsecchi J.B. A systematic study of the stability of symmetric periodic orbits in the planar circulat restricted three-body problem. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2002. 83. P. 239-255.

86. Darwin G.H. Periodic orbits. Acta. Math., 1897, 21, 99. On certain families of periodic orbits. Mounthly Notices Roy. Astron. Soc. 1909, 70, 108; ibid. 604 (1910); also Scientific Papers. London, New York: Cambrige Univ Press. 1911. V. 4. P. 140.

87. Devaney R.L. Reversible diffeomorphisms and flows. Trans. Amer. Math. Soc. 1976. V. 281. P. 89-113.

88. Deprit A., Henrard J. Natural families of periodic orbits. Astron. J. 1967. 72. P. 158-172.

89. Elipe A., Lara M. Periodic orbits in the restricted three body problem with radiation pressure. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. V. 68. N 1. P. 1-11.

90. Fischer-Peters en J. Die auf der Kopenhagener Sternwarte ausgefuhrten numerischen Untersuchungen das Dreikorpenproblem. I. Probleme restreint. Copenhagen Obs. Publ., 1917, N 27, 2.

91. Freitas R.A., Valdes F. A Search for Natural or Artificial Objects Located at the Earth-Moon Libration Points. Icarus. 1980. V. 42 N 3. P. 442-447.

92. Gould N.L. Particle trajectories around close binary systems. Astron. J., 1959, 64, 226.

93. Hechler M. HERSCHEL, PLANCK and GAIA orbit design. International Conference "Libration Point Orbits and Applications". Barcelona, Institut d'Estudis Espacials de Catalunia, 2002. P. 13.

94. Heinbockel J.H., Strubble R.A. Periodic solutions for differential systems with symmetries. J. Soc. Indust. Appl. Math. 1965. V. 13. N 2. P. 425440.

95. Henon M. Exploration numerique du probleme restreint. Masses egales, orbites periodiques. Ann. astrophys. 1965. T. 28. N 3. P. 499-511.

96. Henon M. Exploration numerique du probleme restreint. Masses egales, stabilite des orbites periodiques. Ibid. N 6. P. 992-1007.

97. Henrard J. Liapunov's center theorem for resonant equilibrium // J. Different. Equat. 1973. V. 14. N. 3. P. 431-441.

98. Hill G. W. Researches in the Lunar theory. Am. J. Math. - 1878. -V. 1. - P. 5-26, 129-147, 245-260.

99. Houghton M. Getting to Li the hard way: Triana's launch options. International Conference "Libration Point Orbits and Applications". Barcelona, Institut d'Estudis Espacials de Catalunia, 2002. P. 15.

100. Kopal Z. Evolutionary process in close binary systems. Ann. Astrophys., 1956, 19, 298.

101. Kumar V., Choudry R.K. Nonlinear stability of the triangular libration points for the photogravitational elliptic restricted problem of three bodies. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 48: 299-317, 1990.

102. Kunitsyn A.L., Polyakhova E.N. The restricted photogravitational three-body problem: a modern state. Astronomical and Astrophysical Transactions, 1995, Vol. 6, pp. 283-293.

103. Kunitsyn A.L., Tureshbaev A.T. On the collinear libration points in the photogravitational three-body problem. Celestial Mechanics. 1985. V. 35. P. 105-112.

104. Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: a survey // Physica D. 112 (1998). P. 1-39.

105. Manju, Choudry R.K. On the stability of libration points taking into account the light pressure for the circular restricted problem of three bodies. Celestial Mechanics. 1985. V. 36. N 2. P. 165-190.

106. Markellos V., Perdios E., Labropoulou P. Linear stability of the triangular equilibrium points in the photogravitational elliptic restricted problem. Astrophys. and Space Sci. 1992. V. 194. P. 207-213.

107. Miele A. Theorem of image trajectories in the Earth-Moon space. Astron. Acta. 1960. V. 6. N 5. P. 225-232.

108. Mignard F. Stability of and L5 against radiation pressure. Celestial Mechanics. 1984. V. 34. N 1. P. 275-287.

109. Moulton F.R. Periodic orbits. Washington: Carnegie Inst, of Washington, D.C. 1920. 524 p.

110. Rabe E. Determination and survey of periodic Trojan orbits in the restricted problem of three bodies. Astron J. 1961. 66. 500.

111. Rabe E. Additional periodic Trojan orbits and further studies of their stability features. Astron. J. 1962. 67. 382.

112. Rabe E., Schanzle A. Periodic librations about the triangular solutions of the restricted earth-moon problem and their orbital stabilities. Astron. J. 1962. 67. 732.

113. Ragos O., Zagouras C. Periodic solutions about the 'out of plane' equilibrium points in the photogravitational restricted three-body problem. 1988. Celestial Mechanics. 44. P. 135-154.

114. Roberts C. The SOHO mission halo orbit recovery from the attitude control anomalies of 1998. International Conference "Libration Point Orbits and Applications". Barcelona, Institut d'Estudis Espacials de Catalunia, 2002. P. 14.

115. Roels J. An extension to resonant cases of Liapunov's theorem concerning the periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium // J. Different. Equat. 1971. V. 9. N 2. P. 300-324.

116. Roels J. Families of periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium when the ratio of two eigenvalues is 3 // J. Different. Equat. 1971. V. 10. N 3. P. 431-447.

117. Schmidt D.S. Periodic solutions near a resonant equilibrium of a Hamiltonian system // Celest. Mech. 1974. V. 9. N. 1. P. 81-103.

118. Schanzle A.F. Herseshoe-shaped orbits in Jupiter-Sun restricted problem // Astron. J. 1967. V. 72. N 2. P. 149-157.

119. Sevryuk M.B. Reversible systems. Lecture notes in Math. 1211. Berlin. Springer, 1986.

120. Sharma R.K. The linear stability of libration points of the photogravitational restricted three-body problem when the smaller primary is an oblate spheroid. Astrophys. and Space Sci. 135 (1987). P. 271-281.

121. Shuerman D. W. The restricted three-body problem including radiation pressure. Astrophysical Journal. 1980. V. 238. N 1. P. 337-342.

122. Shuerman D. W. The effect of radiation pressure on the restricted three-body preblem. Solid Particles in the Solar System. 1980. N 90. P. 285288.

123. Simmons J.F.L., McDonald A.J.C., Brown J.G. The restricted three-body problem with radiation pressure. Celestial Mechanics. 1985. V. 35. P. 145-187.

124. Stromgren E. Connaissance actuelle des orbites dans le probleme de trois corps. Bull. Astron., 1933, 2., 9,87; also Copenhagen Obs. Publ., 1935, N 100.

125. Stromgren E. Forms of periodic motion in the restricted problem and in the general problem of three bodies, according to researches executed at the Observatory of Copenhagen. Copenhagen Obs. Publ., 1922, N 39.

126. Stromgren E. Unsere Kennitnisse uber die Bewegungsformen im Dreikorperproblem. Ergeb. exakt. Naturw., 1928, 4, 233.

127. Sweet D. Periodic solutions for dynamical systems possessing a first integral in the resonant case //J. Different. Equat. 1973. V. 14. N. 1. P. 171-183.

128. Uno T. Recherches sur les solutions periodiques dans le problem restreint de trois corps. Jap. J. Astron. and Geophys. 1937. V. 15. N 1/2. P. 149191.

129. Zevin A.A. Nonlocal generalization of the Lyapunov theorem // Nonlinear Astrophysics Theory, Methods and Applications. 1998. V. 28. N. 9. P. 1499-1507.

130. Zimovschikov A.S., Titova N.N., Tkhai V.N. Periodic orbits in photogravitational three-body problem // Труды ИПА РАН. Вып. 8. Небесная механика. СПб.: ИПА РАН, 2002. С. 184.