Устойчивость точек либрации в эллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

/

На правах рукописи

ЗИМОВЩИКОВ Александр Сергеевич

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ФОТОГРАВИТАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

Специальность 01 02 01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

178032

Москва - 2007

003178032

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика и информатика" Московского Государственного Университета Приборостроения и информатики

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Тхай Валентин Николаевич, (МГУПИ)

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Куницын Андрей Леонидович, (МАИ)

доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Павлович, (МГТУ им А Н Косыгина)

Защита состоится « $ » Л/d'y^" 2008 года в /О часов в Диссертационном совете Д212 125 14 при Московском авиационном институте (государственный технический университет) по адресу

125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (Государственного технического университета)

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кф-мн / ^ В Ю Гидаспов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

В первом томе (1892 г) своего сочинения "Новые методы небесной механики" Анри Пуанкаре, рассуждая о конечной цели небесной механики, высказал мысль " может ли закон Ныотона, и только он один, объяснить все астрономические явления" В скором времени, его сомнения оправдались Оказалось, чю на движение космических тел, кроме гравитации, оказывают влияние силы негравитациоппой природы, среди которых отталкивающая сила света может быть наиболее значительной В некоторых случаях, эта сила количественно соизмерима с силой тяготения и даже может превосходит ее по величине Подобные эффекты наблюдаются в звездной динамике и космодинамике, например при полете космического корабля при помощи солнечного паруса

Открытие закона фотогравитационного взаимодействия между космическими телами принадлежит русскому физику П Н Лебедеву, который первый сравнил силу светового давления с силой гравитационного притяжения, обратил внимание па всеобщность этого закона и на его значение для небесной механики Открытие Лебедева привело к появлению фотогравитационной небесной механики - оригинального раздела небесной механики Фотогравитационная задача трех тел введена в рассмотрение В В Радзиевским в 1950г Основное отличие фотогравитационной проблемы трех тел от классической задачи трех тел заключается в том что одно или сразу оба основных тела излучают свсювую энергию (являются источниками световой ренульсии) Совокупность хравитационных и репульсивных полей образует фоюгравитациониое поле, в котором движется невесомая частица Магматически это проявляется в хом, что в законе притяжения, имей о массы частицы т, берегся эффскхивная масса С}т, (5 ф 1 <2 - коэффициент редукции массы частицы, который характеризует суммарную излучательную способноехь основных тел и восприимчивость часхицы к излучению

Введение к рассмотрение фактора световой реиульсии кардинально изменило постановку задачи трех тел и позволило получить качественно новые эффекты при исследовании математической модели, неизвестные ранее и классическом варианте задачи Так, к пяти положениям равновесия Ьг, Ь5 и ¿4, 1/5, известным в классической задаче, в фотогравитационной задаче добавились новые семейства точек либрации, появление которых напрямую зависит от знака коэффициентов редукции (<2ъ (З2) В круговой ограниченной фотограви тационной задаче трех тел в линейном приближении обнаружена устойчивость внутренних коллинсарных точек либрации и найдены необходимые условия устойчивости треугольных точек либрации Результаты этих исследований позволили подойти к исследованию задачи об устойчивости коллинсарных и треугольных точек либрации в эллиптической задаче

К задаче устойчивости точек либрации существует большой научно-практический интерес Известно, что в этих точках могут накапливаться малые космические тела, формироваться газо-пылевые облака Оказалось, что модель эллиптической ограниченной фотогравитационной задачи трех тел хорошо подходит для изучения распределения устойчивых скоплений микрочастиц и дает возможность определить их характеристики (протяженность, расстояния до компонентов двойной двезды и т п ) В свете практических потребностей космических исследований точки либрации также вызывают большой интерес Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы Например, солнечная гелсосферическая обсерватория БОНО обращается по орбите вблизи коллинсарпой точки либрации Ь\

Задаче устойчивости точек либрации классической задачи посвящены мночислеппые работы (Лсонтович А М , БапЬу Л М , Марксов АП, Сокольский А Г, Купицын АЛ, Иванов АП, Тхай ВН и многие др) Также много рабо! имсс1ся но

фотогравитационной задаче (Радзисвский В В , Colombo G, Черников Ю А , Филянская Е П , Персжогипым А А , Schuer-man D W , Куницыньш A JI Турешбаевым А Т, Simmons J F L , McDonald AJC, Brown JC, Турешбаев AT, Лукьянов Л Г и др) При этом, в последней в основном рассматривалась круговая задача Отдельные работы касались слабоэллшпической задачи (Куницын АЛ, Тхай ВН) и некоторых весьма частных случаев эллиптической задачи (Лукьянов Л Г и Кочегкова А Ю ) Систематическое исследование задачи в эллиптическом варианте не проводилось

Задача трех тел, включая се фотогравитационной вариант, принадлежит к классу обратимых механических систем Используя теорию для этих систем удалось продвинуться в таких принципиальных вопросах как неинтегрируемость почти везде в параметрическом пространстве (Тхай В Н ), теория симметричных орбит (Тхай В Н , Ефимов И Л , Титова Н Н ) и тд Обнаруженный эффект параметрического резонанса для коллинеарных точек либрации при Qi > О, Q2 > 0 (Тхай В Н ) послужил отправной точкой для всех иследований в диссертации

Цель работы.

Основная цель работы - провести систематическое исследование устойчивости точек либрации в эллиптической фотогравитацонпой задаче трех тел и построить области выполнения необходимых условий устойчивости в параметрическом пространстве задачи При этом ставятся следующие подцели

1 Изучи и, условия сущесладвапия и изменения местоположений коллинеарных и треугольных точек либрации в фоюгравитационном иоле, создаваемом основными телами Получить обобщенный качественный результат

2 Детально исследовать условия появления параметрического резонанса и наити результаты его влияния на зарождение зон неустойчивое!и коллинеарных и феуюльных точек либрации в слабо-эллишичсской 01 раниченпой фотогравитационной задаче

грех '1СЛ

3 Систематически исследовать задачу устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации и плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел с двумя излучающими телами Всесторонне проанализировать эволюцию областей выполнения необходимых условий устойчивости при различных значениях относительной массы и в зависимости от величины эксцентриситета орбит основных тел Построить диаграммы устойчивости

Научная новизна

1 Дополнительно к массовому параметру ¡г впервые введен в рассмотрение параметр С, характеризующий отношение мощности излучения основных тел В пространстве параметров ц и С получены условия существования и детально исследована картина появления точек либрации Выведены алгебраические уравнения, численное решения которых позволяют найти координаты коллинеарных и треугольных точек либрации

2 Для коллинеарных точек либрации, с использованием параметра а*,, детально изучены условия появления параметрического резонанса в случае преобладающей световой репульсии Найдены два типа параметрического резонанса Аналитически показано, что эти резопансы приводят к неустойчивости внутренние коллинеарные точки либрации

3 В эллиптической задаче впервые установлено, что в случае преобладающей световой репульсии устойчивой может оказаться только одна шчка либрации (¿12)

4 Подробно исследована задача об устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической фоюгравигационной задаче трех тел Показана эволюция изменения обласюй необходимых условий устойчивости в зависимости от различных значений эксцентриситета и коэффицисшов редукции

5 Показано, что устойчивость коллинсарных точек либрации в эллиптической задаче можно исследовать независимо ог конкретных значений относительной массы коэффициентов редукции и координат точек либрации Достаточно задать значения эксцентриситета (е) решить задачу Коши на отрезке [0,2тг] для системы уравнений в вариациях, найти характеристические показатели и определить значение параметра <ц, удовлетворяющее условию устойчивости Построены диаграммы устойчивости, которые могут быть использованы в исследовании устойчивости коллинеарных точек либрации двойной звезды с известными значениями параметров ей а\

6 Обстоятельно исследованы условия появления параметрического резонанса для треугольных точек либрации Установлено, что на отрезке значений массового параметра ц [0 021286446115 ,0 02859479 ] существуют два параметрических резонанса одного типа Доказано, что эти резонансы приводят к неустойчивости треугольные точки либрации в слабо-эллиптической задаче

7 Впервые подробно изучен вопрос о зарождении зон неустойчивости при малых значения эксцентриситета Установлено, что /л, не принадлежащих указанному отрезку, зона неустойчивости может появится только па одной из резонансных кривых

8 Численно определены минимальные значения эксцентриситета, при которых рождаются зоны неустойчивости

9 Исследована устойчивость треугольных точек либрации в эллиптической фоюгравитационной задаче трех 1сл Для произвольных значений отношения свегимосгей основных тел построены диаграммы, позволяющие проследить эволюцию областей устойчивости в зависимости 01 изменения величины эксцснгриси гета

10 Найдены максимальные числовые значения эксцентриситета орбит основных 1сл, при коюрых возможна устойчивость коллинсарных и феугольных точек либрации

11 Впервые показано, что ограниченная эллиптическая фотогравигациопная задача грех тел применима при исследовании устойчивости коллинсарных и треугольных точек либрации реально существующих двойных звезд Даны примеры исследования двойных звезд Альфа Центавра и Сириуса

Практическая ценность результатов

Результаты исследования резонансных явлений и устойчивости точек либрации в эллиптической фотогравитационпой ограниченной задаче трех тел могут быть применены при исследовании место-положения космических объектов, для решения вопроса о существовании устойчивых скоплений и их характеристик (протяженности, расстояния до компонент и т п) в двойных звездных системах Полученные в работе теоретические результаты, могут быть использованы при решении других прикладных задач, в частности, описываемых обратимыми системами дифференциальных уравнений

Достоверность результатов

Результаты диссертационной работы получены на основе строго обоснованных современных конструктщшых методов исследования Полученные данные сопоставлялись, где это возможно, с известными результатами друшх авюров

Используемые методы исследования

1 Теория устойчивости обратимых механических систем Теория параметрического резонанса для обратимых систем

2 Метод вычисления характерис1ических показателей периодических обратимых систем

3 Метод нормальных форм в исследовании резонансных случаев

4 Использованы численные меюды интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и нахождения корней

£ип ебраичсских уравнений

Для решения поставленной задачи па ЭВМ разработаны соответствующие алгоритмы и прикладные программы

На защиту выносятся следующие основные положения

1 Результаты но проблеме существования семейств коллипсарных и треугольных точек либрации фотогравитационпой задачи трех тел в системах "Звезда-планега-частица" и "Двойная звезда-частица", включая результаты по скоплениям (облако) микрочастиц

2 Результаты по исследованию параметрического резонанса в фотогравитационной задаче трех тел

3 Результаты и выводы об устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической задаче в системах "Звезда-планета-частица" и "Двойная звезда- частица" для двух случаев преобладающей гравитации и преобладающей световой репульсии Диаграммы устойчивости на плоскости (с^, е), а\ - обобщенный параметр, функция относительной массы, коэффицентов редукции и координат точек либрации

4 Результаты и выводы об устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче в системах "Звезда-планета-частица" и "Двойная звезда-частица Эволюция областей устойчивости в зависимости от значений относительной массы и эксцентриситета

5 Результаты моделирования устойчивых скоплений микрочастиц и межзвездной пыли в двойных звездных системах Альфа Центавр и Сириус

Апробация работы

Основные результаты диссерыции докладывались на

— "Втором симпозиуме по классической и небесной механике", Август 1990 г , Великие Луки,

— "Четвертом международном симпозиум по классической и

небесной механике", 15-20 августа 2001 г, Великие Луки,

— VIII Четасвской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 28-31 мая 2002 г, Казань, КАИ,

— "Международной конференции "Небесная механика - 2002 Результаты и перспективы", 10-14 сентября 2002 г, С-Петербург, ИПА РАН,

— "Пятом международном симпозиуме но классической и небесной механике", 23-28 августа 2004 г , Великие Луки,

— XL Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, 19-23 апреля 2004г, Москва, РУДН,

— VIII международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", 2-4 июня 2004 г, Москва,

— "Пятом симпозиуме по классической и небесной механике", 23-28 августа 2004 г, Великие Луки,

— Международной научной конференции по механике "Четвертые иоляховские чтения", 7-10 февраля 2006 г , С -Петербург,

— IX международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", 31 мая-2 июня 2006 г, Москва

Публикации По теме диссертации опубликовано 16 работ, включая 7 статей

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и списка цитируемой литературы

Введение включает в себя краткий обзор, относящийся к рассматриваемой в диссертации теме Прсдсшвлсио обоснование актуальности темы исследования и дано краткое изложение основных результатов полученных в рабою

В Главе / дана постановка задачи и кратко изложен необходимый

теоретический материал, на основе которого в работе проводится исследование задачи об устойчивости точек либрации

В §1 1 записана система уравнений движения частицы Р пренебрежимо малой массы в офаниченной эллшпичсской задаче трех тел с двумя излучающими телами Указано, что эта система допускает семь частных решений, три из которых соответствуют коллинеарным точкам либрации (1/1, 1/2 Ь]) и два положения равновесия относятся к треугольным точкам либрации Ьз)

Исследуемая динамическая система принадлежит к классу обратимых механических систем с двумя неподвижными множествами В §1 2 кратко излагается необходимый теоретический аппарат из теории линейных обратимых систем Изложен метод вычисления характеристических показателей, в общем случае линейных обратимых периодических системем

Одной из основных причин, приводящих к неустойчивости периодические движения в механических системах, в частности в обратимых является параметрический резонанс В §1 3 даны теоретические сведения о параметрическом резонансе в обратимых системах В исследуемой задаче возможен параметрический резонанс с одной частотой, поэтому изложены результаты только для этого резонанса Содержание §§1 2, 1 3 основано па работах проф В Н Тхай, посвященных линейно обратимым механическим системам, методу определения характеристических показателей в этих системах и теории параметрического резонанса в обратимых системах

Глава II посвящена изучению устойчивости коллипсарных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел

В §2 1 получены условия существования коллипсарных точек либрации Записаны алгебраические уравнения, позволяющие находить положения Ь\, ¿2 и на оси абсцисс в зависимости от значений относительной массы ¡.I и коэффициентов редукции

Для случая, ко1да основные тела обладаю! равными массами

исследованы положения внутренних (L\) и внешних (L-¿, ¿3) коллипсарных точек либрации в зависимости от изменения величины коэффициента редукции Q\ первого тела

Общий случай, когда основные тела обладают неравными массами, рассмотрен в §2 2 Здесь установлен характер измепеия положений точек либрации L\, L2 и L3 Показано, что существование коллинеарпых точек либрации в системе двойной звезды полностью зависит от тою, какой физический фактор оказывается доминирующим Определены условия существования коллипеарных точек либрации в зависимости от знака коэффициентов редукции Введен в рассмотрение фотогравитациопный параметр К, определяющий физические свойства двойной звезды Этот параметр позволяет определять местоположения как коллипеарных, так и треугольных точек либрации, исследовать их на устойчивость для любой конкрелю заданной двойной звезды

В §2 3 изучено влияние параметрического резонанса на устойчивость коллипеариых точек либрации Получена система уравнений в вариациях, которая является периодической по истинной аномалии эллиптической орбиты возмущающих тел Используется введенный проф В Н Тхай обобщенный параметр a¿, который даст возможность исследовать задачу только при одном фиксированном значении ai Применена теория параметрического резонанса, разработанная для обратимых систем

Для внутренних коллинеарпых точек либрации определены два интервала изменения значений параметра ai, в которых корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми Один интервал относится к случаю преобладающей 1равитации (точка L\) другой - к случаю, когда превалирует сила световою давления (¿12) В интервале а\ > 0 определено единственное значение парамсфа ai, соо1встствующее параметрическому резонансу Ai = — 2 Интервалу значений при ai < 0 параметрическому резонансу cooiBeicTByioT два значения парамора ai Первое значение этого

параметра соответствует парамефичсскому резонансу А; = —

о

друюе - резонансу Ах = —^ Найденные резопапсы приводят к неупойчивости Резонанс при а\ > 0 впервые был исследован проф Тхай В Н , в данном параграфе анало! ично исследован резонанс при отрицательных значениях а\

В §2 4 для разных значений коэффициента отражения е исследована устойчивость частицы Р находящаяся в системе двойной звезды, компоненты которой имеют одинаковую массу и мощность излучения Устойчивыми считаются частицы, для которых параметр а\ находится в интервале устойчивости Дан алгоритма исследования

Выведено алгебраическое уравнение седьмого порядка, исходными данными для численного решения которого являются параметры а1; С, р, а после нахождения его корней р^ определяются х\, Предложенный подход к исследованию

устойчивости внутренних точек либрации в круговой и слабоэллинтической задачах позволяет напрямую, без численного интегрирования системы дифференциальных уравнений движения и нахождения корней характеристического уравнения отвешть на вопрос об устойчивости коллинеарных точек либрации в любой системе двойных звезд, для которых известны значения относительной массы и коэффициента характеризующего отношение мощности излучения основных тел

Впервые обнаружено, что в двойной звезде при фиксированных значениях относительной массы д и парамсфа С могут появляться от одною до четырех устойчивых скоплений микрочастиц, причем в одном случае оказывается доминирующей ]равитация, а в другом - 01 галкивающая сила светового давления

Изучению устойчивости коллинеарных точек либрации в эллинтческой задаче посвящен §2 5

Исслс/!уемые уравнений движения предсывляют собой линейно обратмую периодическую систему, поэтому для вычисления характеристических показателей достаточно построит!, юлько два

решения задачи Коши Последнее позволяет существенно сократить время вычислений на компьютере

Рассмотрены два примера двойных звезд, где в первом случае компоненты обладают равными массами (// = ^ 130 втором -масса одной компоненты значительно превосходит массу другой Предполагается, что в обоих звездных системах над световой репульсией преобладает гравитация

Получен и изучен большой массив расчетных данных, в зависимости от трех параметров <2ь С?2 и е построены диаграммы устойчивости, прослежена эволюция изменения областей устойчивости

Установлено, что с ростом значений эксцентриситета е количество устойчивых коллинеарных точек либрации уменьшается и при е > 0 9 оно стремится к нулю

Проведен сравнительный анализ зависимости устойчивое!и точек либрации от величины массового параметра ц Представленные результаты показывают, что существует прямая связь между устойчивостью точек либрации и массой одной из компонент двойной звезды

В заключении данного параметра дан численный пример, который показывает, что исключенное из рассмотрения уравнение для координаты г системы уравнений движения не влияет на результаты исследования устойчивости коллинеарных точек либрации

В §2 6 исследован случай, когда доминирует световая репульсия от обоих компонент двойной звезды, обладающих равными массами Для заданных значений эксцентриситета на плоскости параметров 0,1, построены диграммы устойчивости коллинеарных точек либрации Ь\ 2, наглядно офажающие эволюцию изменения обласш устойчивости при различных значения е Показано, чю из кривых параметрического резонанса при е = 0 рождаются зоны неустойчивости в эллиптической задаче

В §2 7 получены диаграммы устойчивости коллинеарных точек

либрации па. плоскости параметров (аi е) для двух случаев а) доминирующей гравитации, б) световой репульсии Эти диаграммы подтверждают теоретические результаты, полученные в 3 и позволяю! наглядно проследить процесс изменения устойчивости коллипеарных точек либрации в эллиптической задаче

Найдены максимально возможные значения эксцентриситета (е), при которых могут существовать устойчивые коллипеарные точки либрации L\ и Ь\2

Исследованию устойчивости коллипеарных точек либрации в двойных звездных системах, обладающих характеристиками близкими к двойным звездам подобным Сириусу и Альфа Центавра, посвящен §2 8 Показано, что в этих звездных системах могут существовать скопления устойчивых коллипеарных точек либрации, как в случае доминирующей гравитации, так и в случае преобладающей световой репульсии

С помощью диаграмм устойчивости дана приближенная оценка протяженности облаков космической пыли и размеров скоплений микрочастиц, которые гипотетически могли бы образоваться в указанных двойных звездах

Глава III посвящена рассмотрению вопроса об устойчивости треугольных точек либрации

В §3 1 исследуются условия существования треугольных точек либрации Выписаны уравнения относительного равновесия, определяющие положение треугольных точек либрации па плоскости координат (х, у) Показано, что треугольные точки либрации могут существовать только при положит ельпых значениях коэффициента редакции Получены соотношения, определяющие координаты х, у точек ¿4 и L5 в зависимости 01 параметров Q\, Qi Приведена область существования треугольных ючек либрации на плоскости (х, у) и поверхность существования этих точек в зависимости от физических парамстров 01делыю взя!ой пары основных юл Выведено алюбраическое уравнение двенадцато! о порядка, численное решение коюрого, при заданных

значениях параметров д, С и коордипагы у, позволяет находить положения треугольных точек либрации по оси абсцисс

В §3 2 предложен способ нахождения условий существования и местоположения треугольных точек либрации в отдельно взятой системе двойной звезды в зависимости от значений массового параметра ц, коэффициента С, характеризующего отношение мощности излучения компонент двойной звезды

Вопросу устойчивости треугольных точек либрации в слабоэллиптической ограниченной фотогравитационной задаче посвящен §3 3

Записана система уравнений возмущенного движения которая описывает плоскую эллиптическую фотогравитационную задачу При е = 0 составлено характеристическое уравнение Введен параметр од и определен интервал его значений, в котором корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми, найдено числовое значение, соответствующее параметрическому резонансу

В §3 4 рассмотрен вопрос о существовании параметрического резонанса для треугольных точек либрации в ограниченной задаче трех тел

Определено числовое значение относительной массы /л, при котором в области устойчивости треугольных точек либрации появляется кривая параметрического резонанса Установлено, что внутри области устойчивости при значениях относительной массы из интервала 0 02128644612 < ц < 0 02859479 существуют две кривые, соответствующие параметрическому резонансу Показано, что при значениях /л > 0 02859479 0стае1ся только одна кривая Приведены диаграммы, которые позволяют проследить эволюцию изменения областей устойчивости точек либрации ¿4, Ь5 в круговой задаче

В §3 5 исследовано зарождение и развитие зон неустойчивости в слабоэллиигичсской задаче Описан алгоритм, па основе коюрою разработана программа численного решения задачи исследования устойчивости треугольных точек либрации На

основании проведенных па ЭВМ расчеши показано чго зоны неустойчивости при малых значениях экс цеп гриси тема е появляются из кривых параметрического резонанса, которые существовали в области устойчивости в круювой задаче Определен интервал изменения значений е в котором рождаются зоны неустойчивости

Установлено, что для каждого значении относительной массы р существует единственное значение эксцентриситета орбит основных тел, при котором зарождается зона неустойчивости Результаты этого исследования сведены в таблицу и приведены фафические иллюстрации

§3 6 посвящен устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче

В соответствие с алгоритмом и по программе, описанными в §3 5, проведено численное исследование устойчивости треугольных точек либрации Полученные результаты представлены в виде диаграмм, которые позволяют проследить эволюцию изменения областей устойчивости при изменении значений относительной массы ¡х эксцентриситета е Показано, что с ростом величин ц и е в области устойчивости появляются и расширяются зоны неустойчивости Установлено, что чем большим значением обладают параметры ц и е, тем меньше количество устойчивых треугольных точек либрации вдоль оси ординат Определено, что максимальное числовое значение эксцентриситета, при котором области устойчивости не распадаются на части близко к 09 и при значениях е > 0 9 устойчивыми могут быть треугольные точки либрации, находящиеся ближе к оси абсцисс При значении е = 0 99537414 , при котором может существовать устойчивая коллипсарная ючка либрации треугольные точки либрации и Ь'-, вырождаются в коллипсарную точку либрации Ь\

В §3 7 проводится исследование возможности существования устойчивых треугольных точек либрации и дастся приблизительная оценка протяженности I ииотетических облаков в двойных звездах, обладающих характеристиками, близкими к характеристикам

реально существующих обьскгов

В Заключении описаиы основные результаты диссертационной работы

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Валентину Николаевичу Тхай за неоценимую помощь и постоянное внимание

Автор также благодарит сотрудников кафедры "Прикладная математика и информатика", где подготовлена диссертация

По теме диссертации опубликованы следующие работы-

1 Зимовщиков А С, Тхай В Н Исследование устойчивости равносторонних треугольных конфигураций в задаче трех тел // Второй симпозиум но классической и небесной механике Тезисы докл М МАИ, 1996 С 31-32

2 Зимовщиков А С, Тхай В Н Об устойчивости треугольных решений неограниченной задачи трех тел Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения М ВЦ РАН, 1998 С 117130

3 Зимовщиков А С, Тхай В Н Исследование устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической фотогравитационной задаче трех тел // Третий межд симпозиум по классич и небесной механике М МАИ, 1998 С 69-70

4 Зимовщиков А С Об устойчивости коллинеарных точек либрации фогогравигационной ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими источниками Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения М ВЦ РАН, 1999 С 121-129

5 Зимовщиков А С Об устойчивости треугольных точек либрагщи в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел с двумя излучающими телами Задачи исследования

устойчивости и стабилизации движения Ч 1 М ВЦ РАН 2000 С 68-77

6 Зимовщиков А С Устойчивость точек либрации и резонансные явления в фотогравшационной эллиптической ограниченной задаче трех тел // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" Казань КАИ, 2000 С 84

7 Zimovsclukou A S, Titova NN, Tkhai VN Periodic orbits m photogravitational three-body problem Труды ИПА РАН Вып 8 Небесная механика СПб ИПА РАН, 2002 С 184-185

8 Зимовщиков А С, Тхай В Н Неустойчивость точек либрации и резонансные явления в фотогравитациопной эллиптической ограниченной задаче трех тел/'/ Астрон вестник 2004 Т 38 N 1 С 180-190

9 Зимовщиков А С Тхай В Н Неустойчивость коллинеарных точек либрации фотогравитациопной задачи трех тел при параметрическом резонансе // XL Всероссийская конференция по проблемам механики, информатики, физики и химии Секции математики и информатики Тезисы докл М РУДН, 2004 С 135136

10 Зимовщиков А С, Тхай В Н Параметрический резонанс в задаче об устойчивости коллинеарных точек либрации фокл равитационной задачи трех тел // VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "Тезисы докл М ИПУ РАН, 2004 С 71-73

11 Зилювщиков АС, Тхай ВН Параметрический резонанс в задаче об устойчивости точек либрации фотогравитациопной задачи трех ícji // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления Избр труды STAB 04 М ИПУ РАН, 2004 С 186-192

12 Зимовщиков А С, Тхай ВН Параметрический резонанс в задаче об устойчивости ючек либрации фото1 равитациопной задачи ipcx тел // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике Тез докл М ВЦ РАН, 2004 С 94-96

13 Зимовщиков А С, Тхай В Н Резонансные явления в задаче об устойчивости точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел // IX Международный семинар им Е С Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"М ИПУ РАН, 2006 С 102-103

14 Zimovschikov A S, Tkhai V N Instability of Libration Points and Resonance Phenomena m the Photogravitational Elliptic Restricted Three-Body Problem Solar System Research Vol 38 No 2, 2004, pp 155-163

15 Зимовщиков А С, Тхай В H Устойчивость коллинеарных точек либрации в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел // Международная научная конференция по механике "Четвертые поляховские чтепия"Тсз докл С - Пб Изд-во "ВВМ", 2006 С 51

16 Зимовщиков А С, Тхай В Н Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел С-Пб Изд-во "ВВМ" 2006

Заказ № 135/11/07 Подписано в печать 20 11 2007 Тираж 65 экз Уел пл 1,25

ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 \vw\v cfr ги, е-тт! т/о@с/г ги

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ФОТОГРАВИТАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С ДВУМЯ ИЗЛУЧАЮЩИМИ ТЕЛАМИ

§1.1 Уравнения движения. Точки либрации

§1.2 Свойство обратимости задачи.

Метод вычисления характеристических показателей линейной обратимой системы

§1.3 Параметрический резонанс в обратимых системах

ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ

§2.1 Условия существования коллинеарных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. Случай ц = 1/

§2.2 Общий случай ц ф 1/

§2.3 Параметрический резонанс для коллинеарных точек либрации

§2.4 Характеристики скопления частиц в устойчивых точках либрации Ь\

§2.5 Устойчивость коллинеарных точек либрации в эллиптической задаче

§2.6 Случай, когда доминирует световая репульсия

§2.7 Диаграммы устойчивости

§2.8 Оценка протяженности облаков и устойчивости KTJI в реальных двойных звездных системах

ГЛАВА III. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ

§3.1 Условия существования треугольных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел

§3.2 Треугольные точки либрации двойной звезды Альфа Центавра

§3.3 Устойчивость треугольных точек либрации в слабоэллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел

§3.4 Параметрический резонанс

§3.5 Рождение и эволюция зон неустойчивости

§3.6 Устойчивость треугольные точки либрации в эллиптической задаче

§3.7 Устойчивость треугольных точек либрации в конкретной двойной системе

В задачах небесной механики часто возникает необходимость учитывать репульсивную силу светового давления, которая в некоторых случаях не только количественно соизмерима с силой тяготения, но и может быть на много превосходящей.

Попдеромоторное1 действие солнечного света на микроскопические тела впервые обнаружил и измерил Лебедев П.Н. в 1899 году. Полученные Лебедевым и более поздними исследователями экспериментальные результаты полностью согласуются с теорией давления света, которую выдвинул в рамках классической электродинамики Дж. Максвелл (1873 год). В этой теории давление света тесно связано с рассеянием и поглощением электромагнитной волны частицами вещества. Максвелл указывал, что световые лучи должны оказывать давление на все тела, на которые они падают.

В астрономических явлениях световое давление играет важную роль. В астрофизике оно вместе с давлением газа обеспечивает стабильность звезд, противодействуя гравитационному сжатию. Пондеромоторным воздействием света объясняют некоторые формы кометных хвостов. Например, из истории астрономии известно, что Иоган Кеплер, наблюдая за движением комет, установил, что их хвосты постоянно направлены в противоположную сторону от Солнца. В своем трактате "О кометах", опубликованном в 1619 году, он впервые высказал гипотезу, которая объясняет явление отклонения хвостов комет отталкивающим действием солнечного излучения.

На движение малых частиц в межпланетном пространстве оказывают влияние силы различной не гравитационной природы, среди которых наиболее значительной является сила светового давления, исходящая от звезд, например, Солнца. Результаты наблюдений в Солнечной системе [51] показали, что функция от латинского pondus - род, ponderis - тяжесть, motor - приводящий в движение распределения по размерам малых частиц в межпланетном пространстве убывает с увеличением их радиуса. Уменьшение размера частиц влечет за собой возрастание парусности (А), которая определяется отношением площади сечения частицы (5) к ее о массе (т): А = ^ [51]. Последнее приводит к возрастанию влияния на движение частиц солнечного излучения. Данный факт имеет большое значение при изучении состояния и эволюции микрометеорной материи в развитии Солнечной системы [51, 62].

Совокупность репульсивных и гравитационных сил образуют, так называемое, фотогравитационное поле. Изучению движения небесных тел в таких полях посвящено много исследований. К ним относятся, например, работы [6, 47], посвященные механике движения кометных образований; О.Ю.Шмидт [90, 91] использовал в космогонической теории эффекты светового давления; Т. А.Агекян [2] разработал теорию фотогравитационного взаимодействия между облаками космической пыли и звездами.

Основополагающими для небесной механики являются работы В.В.Радзиевского [57-62], в которых впервые поставлены и решены некоторые задачи динамики частицы в фотогравитационных полях. В основу построения "фотогравитационной небесной механики" Радзиевский положил одновременное действие на частицу двух противоположных составляющих - силу тяготения Ньютона и отталкивающую силу светового давления Лебедева. При этом сила света не вызывает ответного действия со стороны частицы. Такой подход привел к нарушению привычных представлений и аксиом классической механики (тяжелая масса не равна инертной, действие не равно противодействию, изолированное тело не находится в состоянии покоя или равномерного движения) [60].

Основное отличие фотогравитационной проблемы трех тел от классической задачи трех тел, заключается в том, что одно или сразу оба тела являются источником световой репульсии. Данная постановка задачи применима для исследования движения частиц в фотогравитационных полях, создаваемых, например, удаленными друг от друга визуально-двойными звездными системами или в системе "Звезда-Планета". Здесь в качестве динамической модели рассматривается фотогравитационная ограниченная задача трех тел (ФГОЗТТ), в которой, как и в классической задаче, третье тело - частица Р имеет пренебрежимо малую массу и поэтому не оказывает влияние на движение двух других основных тел;2 последние обращаются относительно друг друга по кеплеровским орбитам. Дифференциальные уравнения движения частицы Р в фотогравитационной ограниченной задаче трех, также как и в классическом варианте, можно записать в форме уравнений Нехвила [10, 44].

Запись уравнений движения в фотогравитационной (с двумя излучающими телами) и в классической задачах отличается тем, что в первом случае силовая функция включает в себя коэффициенты редукции (¿1 и С}2 массы частицы, которые характеризуют суммарное действие силы гравитации и светового давления на частицу. Если основные тела не излучают световую энергию ($1 =

2 = 1), тогда имеем классическую ограниченную задачу трех тел. Следовательно, полученные результаты для классической задачи надо рассматривать с математической точки зрения как частный случай фотогравитационной задачи.

Основные тела могут двигаться по различным орбитам. В зависимости от значений эксцентриситета фотогравитационная ограниченная задача трех тел подразделяется на: 1) круговую, если основные тела обращаются вокруг центра масс по окружности (е = 0); 2) эллиптическую - движение происходит по орбите с эксцентриситетом из интервала 0 < е < 1; 3) параболическую (е = 1); 4) гиперболическую (е > 1).

Частица во вращающейся системе может занимать различные положения. Она может двигаться вместе с основными телами в одной плоскости; в этом случае исследуется плоская задача. Если частица выходит из плоскости орбит основных тел, то имеет место пространственная фотогравитационная ограниченная задача.

2Основными телами называются тела, которые имеют конечную массу и одно или оба излучают световую энергию.

Уравнения движения фотогравитациопной задачи трех тел допускают точные решения - периодические движения, которым в переменных Нехвила отвечают постоянные решения - коллинеарные и треугольные точки либрации.

Впервые точки либрации в фотогравитационной задаче трех тел изучал В.В.Радзиевский. Он нашел, что на положение точек либрации сильно влияет коэффициент редукции [57, 59, 60], и в плоском случае установил связь точек либрации с эволюцией поверхности нулевой скорости. Например, точки Ь\ и могут существовать одновременно или точка предшествует появлению точки L\. Позже, в 1966 году Colombo G. [97] с помощью построенной детальной геометрической картины сечения поверхности нулевой скорости точки либрации Ь2 в системе "Солнце - Земля - Пылевая частица", доказал, что Ь2 появляется прежде чем L\.

Если в классической задаче точки L4 и L5 образуют с основными телами равносторонний треугольник, то в фотогравитационной задаче с одним излучающим телом они формируют равнобедренный треугольник. Если оба основных тела излучают световую энергию, то треугольные точки либрации уже не составляют равнобедренный треугольник, а лежат в области ограниченной двумя окружностями с центрами, совпадающими с положением одного из основных тел [31, 34, 39, 67, 108]. Исключение составляет случай, когда коэффициенты редукции основных тел равны по своей величине.

Позже Радзиевский рассмотрел пространственный случай [58] и обнаружил новые точки либрации, получившие название компланарных точек (Lq и L-j). Эти точки находятся в плоскости xz симметрично оси х вдоль кривой, которая начинается в одном из основных тел и асимптотически подходит к оси Примечательно, что аналогов компланарным точкам либрации в классическом варианте задачи не существует.

Уравнение движения ограниченной фотогравитационной задачи трех тел с одним излучающим центром во вращающейся барицентрической системе координат впервые получено Colombo G. [97] в порядке исследования околоземных гипотетических пылевых облаков в системе "Солнце - Планета - Частица". Вслед за ним, подобные уравнения были получены Черниковым [86] для вращающейся гелиоцентрической системы.

В решении ряда космологических вопросов, например, в исследованиях проблемы образования и эволюции Солнечной системы, точки либрации имеют большое значение. Так, установлено, что в точках либрации могут накапливаться малые тела.

В 1956 году астроном краковской обсерватории Казимир Кордылевский в окрестности треугольной точки либрации системы "Земля - Луна" [104] открыл "облако подобные спутники", представляющие собой очень разрежённые скопления частиц межпланетной пыли и льда. Позже в 1961 году он сообщил об открытии аналогичного облака вблизи Ь4. В 1964 году его открытие было подтверждено наблюдениями американских астрономов. Эти образования в последствие были названы именем их первооткрывателя.

Обнаруженные Кордылевским точки Лагранжа в системы "Земля - Луна", также как и открытые в 1907 году астероиды Троянцы, образующие вместе с Солнцем и Юпитером равносторонний треугольник, явились практическим подтверждением аналитически найденных Лагранжем точных решений ограниченной задачи трех тел.

Открытие Кордылевского вызвало появление гипотезы, прогнозирующей постепенное сгущение этих облаков и превращение их в достаточно плотные космические тела с растущей массой. Предполагалось, что образование подобных плотных масс должно способствовать возникновению систем, например, "Земля - сгусток" и "Луна - сгусток" со своими точками Лагранжа, в которых опять же должны образовываться новые скопления вещества. Но визуальные наблюдения пока не подтвердили наличие в этих точках пылевых облаков постоянного состава и присутствие в них отдельных притягивающих тел с размерами порядка нескольких метров.

Многочисленные сообщения о попытках наблюдения "облаков Кордылевского" чередуются с удачными и безрезультатными экспериментами. Причем удачные эксперименты попадают на периоды времени, когда солнечная активность минимальна. Этот факт может свидетельствовать о том, что концентрация пыли в лагранжевых точках, коррелирует с изменениями интенсивности солнечного излучения. До появления "фотогравитационной небесной механики" исследования "облаков Кордылевского" проводились в рамках классической ограниченной треугольной задачи трех тел. Изучение "облаков Кордылевского "представляет наибольший интерес в рамках фотогравитационной ограниченной задачи трех тел.

Большое внимание к точкам либрации также вызвано и практическими потребностями космических исследований. Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы. Например, обсуждаются проекты размещения во внутренней коллинеарной точке либрации Ь\ системы "Солнце - Земля" защитных зеркальных экранов, слегка затеняющих Солнце с целью предохранения Земли от перегрева вследствие прогнозируемого глобального парникового эффекта [55].

Любой защитный экран обладает высокой парусностью по отношению к световому давлению от Солнца. Поэтому его положение равновесия будет находиться не строго в точке находящейся на расстоянии, равным примерно 1.5 миллиона километров от Земли, а в ее фотогравитационном аналоге. В этой точке сумма центробежных сил, силы светового давления, сил притяжения Земли и Солнца равна нулю, а ее расстояние от Земли будет определяться свойствами самого экрана. Предполагается, что защитный экран (искусственное пылевое облако, плоский зеркальный диск, сферический баллон) будет обращаться вокруг точки Ь\ по периодической орбите.

Естественно возникает вопрос: как будут вести себя подобный защитный экран, космический аппарат или частица, оказавшиеся в малой окрестности точки либрации - останутся ли они "вечно" вблизи этой точки или за конечное время покинут ее окрестность? Поэтому важное место в решении фотогравитационной задачи занимает вопрос об устойчивости положений относительного равновесия.

Впервые исследование устойчивости в линейном приближении пяти точек либрации в круговой задачи было проведено Colombo G. [96], который независимо от Радзиевского В.В. [57, 60], определил их положения. Для случая, когда излучает только одно из основных тел, Черников Ю.А. [86] получил необходимые условия устойчивости семейства треугольных точек либрации для круговой задачи. Неустойчивость коллинеарных точек либрации была установлена им по аналогии с классическим случаем задачи. Детальное аналитическое исследование, доказывающее неустойчивость коллинеарных точек либрации для системы "Солнце-Земля-Частица", было получено Филянской Е.П. [85]. Анализ устойчивости осуществлялся на основе рассмотрения линеаризованных уравнений и вычисления корней характеристического уравнения. Более простой метод, доказывающий неустойчивость коллинеарных точек либрации, при одном излучающем теле, был использован Пережогиным A.A. [49, 50]. Он показал невозможность их гироскопической устойчивости, откуда следует неустойчивость в соответствии с теоремой Кельвина-Четаева.

Schuerman D.W. [117, 118] первым провел исследование точек либрации для круговой ограниченной фотогравитационной задачи с двумя излучающими телами. Им были получены условия устойчивости в первом приближении для треугольных точек либрации и сделаны утверждения относительно неустойчивости коллинеарных точек либрации. Вывод Шуермана об неустойчивости коллинеарных точек либрации был опровергнут Куницыным A.JI. и Турешбаевым А.Т. [30, 108], которые доказали, что в круговой задаче, при равных массах основных тел и для определенных значений коэффициентов редукции Q\ и Q2, в первом приближении существуют области устойчивости внутренних точек либрации. Установлено, что внешние коллинеарные точки либрации (L2, 1/з) всегда неустойчивы. Показано, что при отрицательных значениях Q1 и Q2 все точки либрации неустойчивы. Последний факт опровергается Лукьяновым Л.Г. [38], который показал, что для плоского случая возможна устойчивость прямолинейных точек либрации, когда оба коэффициента редукции (Q\ и Q2) принимают отрицательные значения.

Практически одновременно Куницыным А.Л. и Турешбаевым А.Т. [30] и английскими учеными Simmons J.F.L., McDonald A.J.С., Brown J.С. [119] была исследована устойчивость треугольных точек либрации при двух излучающих телах для круговой задачи. Куницын А.Л. и Турешбаев А.Т. за счет введения новых переменных получили наглядное представление необходимых условий устойчивости треугольных точек либрации.

С разных позиций проблемы устойчивости точек либрации в плоской круговой задаче рассматривались так же в работах [29, 31, 32, 34, 35, 37, 40, 41, 106, 111].

Полученные этими авторами результаты об устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации для ограниченной фотогравитационной круговой задачи трех тел позволяют подойти к постановке задачи об устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации в эллиптической задаче.

В работе [111] затрагивался вопрос о влиянии эксцентриситета е орбит основных тел на существование и условие устойчивости точек либрации. Лукьянов Л.Г. и Кочеткова А.Ю. [41] при малых значениях эксцентриситета первыми получили области устойчивости в линейном приближении для треугольных L4, L5 и коллинеарных L\, L2, L3 точек либрации в эллиптической фотогравитационной задаче трех тел. Области устойчивости представлены диаграммой, аналогичной диаграмме устойчивости Дэнби. Для внешних коллинеарных точек либрации Li и L3 устойчивость не была обнаружена3.

Обозначения внутренней и внешних коллинеарных точек либрации, принятые у

Установлена [41] устойчивость внутренних точек либрации L2 при одинаковых значениях коэффициентов редукции Qi = Q2 = Q. Для Q — 0.1 получена область устойчивости, которая ограничена кривой, подобной "кривой Дэнби", для треугольных точек либрации. Оказалось, что при уменьшении величины Q область устойчивости сокращается, стягиваясь к началу координат. Возрастание значения Q приводит к тому, что область устойчивости увеличивается и сдвигается вправо (в сторону роста относительной массы у). Для треугольных точек либрации обнаружено [41], что при фиксированном Q\ = const с уменьшением Q2 область устойчивости уменьшается, сдвигаясь влево. Когда Q2 = 1, a Q\ уменьшается, область устойчивости, относительно области Дэнби, сдвигается влево. Авторы установили, что при одинаковых значениях параметров коллинеарные и треугольные точки либрации одновременно устойчивыми быть не могут. Показано, что треугольные точки либрации или обе устойчивы или обе неустойчивы.

В работах [37, 106] также затрагивался вопрос о влиянии эксцентриситета е орбит основных тел на существование и условие устойчивости точек либрации, однако соответствующий анализ там отсутствует.

Для определенных значений относительной массы fi и эксцентриситета е проведены численные исследования устойчивости коллинеарных [17] и треугольных точек либрации [18] в фотогравитационной эллиптической ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими телами. Дано графическое представление областей необходимых условий устойчивости. Установлено, что увеличение значений у и е приводит к сокращению количества устойчивых коллинеарных и треугольных точек либрации.

Куницыным A.J1. [34] с помощью перехода в конфигурационное пространство получена простая и физически ясная картина влияния эксцентриситета орбиты основных тел на положение и устойчивость треугольных точек либрации. Показана возможность появления

Лукьянова и Кочетковой, не совпадают с используемыми в диссертации. при сколь угодно малых значениях эксцентриситета новых зон неустойчивости, которые отсутствовали в круговой задаче. Эти зоны неустойчивости вызваны параметрическим резонансом; показано, что возможен только один тип такого резонанса. Заметим, что компьтерные исследования, проведенные в данной диссертационной работе позволили установить, что для достаточно малых, но не равных нулю значениях эксцентриситета неустойчивость возникает лишь при значениях ¡1 из промежутка /1* < ¡1 < 0.5, где (I* = 0.0212865.

Переход из пространства параметров системы в конфигурационное пространство в [34] позволил упростить и сделать физически более ясным анализ устойчивости коллинеарных точек либрации ограниченной круговой фотогравитационной задачи трех тел.

В работе [74] обнаружена возможность параметрического резонанса для коллинеарной точки либрации Ь\ при > 0, С}2 > 0, показано, что этот резонанс единственный и он приводит к неустойчивости в слабо-эллиптической задаче.

Изложенные выше факты привели к актуальной задаче по систематическому исследованию устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации в эллиптической задаче. Результаты такого исследования отражены в [14 - 20]. В ходе анализа уравнений движения в вариациях построена картина, вполне отражающая эволюцию областей необходимых условий устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации при различных значениях эксцентриситета е, коэффициентов редукции (¿1, (¿2 и относительной массы /1. Детально прослежено возникновение зон неустойчивости, показано, как параметрический резонанс приводит к неустойчивости коллинеарные и треугольные точки либрации. Найдено максимальное числовое значение эксцентриситета, при котором еще может существовать устойчивая точка либрации. Найдены условия существования коллинеарных и треугольных точек либрации. Результаты нашли отражение в обобщающих диаграммах устойчивости.

Динамические уравнения фотогравитационной задачи трех тел обладают свойством обратимости [70, 72, 75, 79].

Теория обратимых механических систем создана в последние 15 лет проф. В.Н.Тхай и широко используется при анализе многих задач классической и небесной механики [70 - 82].

Теория параметрического резонанса для обратимых систем [71], а также метод вычисления характеристических показателей для обратимых систем [73] используется в данной работе.

Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение

В заключении резумируем содержание проведенных в диссертационной работе исследований.

I. Найдены условия, при которых существуют коллинеарные и треугольные точки либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел с двумя излучающими телами. Проведен анализ место-положений точек либрации, в зависимости от действующих физических факторов.

Для КТЛ показано, что при положительных значениях коэффициентов редукции существуют все точки либрации L\, Ь2, ¿з, а в случае когда Q\ < О, Q2 < 0, исчезают внешние точки либрации L2, и появляются внутренние Ьц, L\2, L13. Если коэффициент редукции одного из основных тел является положительным, а у другого — отрицательным, то в этом случае, внешние точки либрации Ь2 или L3, ближайшие к телу с преобладающей световой репульсией, не существуют.

Поскольку коэффициенты редукции определяются не только физическими параметрами основных тел, но и зависят от восприимчивости частицы к световому излучению, то значения Qi и Q2 должны удовлетворять соотношению К = | Показано, что величина параметра К напрямую зависит от произведения двух отношений, которые количественно характеризуют пропорциональную соразмерность интенсивностей излучения и масс основных тел К = С^ ^ ^.

Совместное рассмотрение указанных выше двух соотношений для параметра К позволило установить, что положение КТЛ и ТТЛ определяется исключительно физическими свойствами основных тел - относительной массой ц и параметром С, который характеризует отношение мощности излучения основных тел.

Установлено, что частица может оказаться в точках либрации, если она обладает соответствующими значениями парусности и альбедо.

Получены алгебраические уравнения седьмого и двенадцатого порядков, включающие в себя только гравитационные и репульсивные свойства основных тел (Си у). Численное решение этих уравнений позволяет определить положение КТЛ и ТТЛ на плоскости.

II. Известно, что внешние коллинеарные точки либрации неустойчивы, а устойчивость свойственна только внутренним КТЛ [74]. Доказано, что для этих точек возможен эффект параметрического резонанса, приводящий к неустойчивости в слабоэллиптической задаче.

Введение в рассмотрение обобщенного параметра ак позволило исследовать задачу об устойчивости коллинеарных точек либрации только при фиксированном значении параметра аВ случае > О и д2 > 0 параметр а^ принимает положительные значения, а при

0 и < 0 - отрицательные.

Установлено, что если над гравитацией преобладает световая репульсия, то из трех решений алгебраического уравнения пятого порядка, устойчивой точке либрации соответствует только одно решение, которое дает КТЛ Ь\2.

Исследование условий возникновения параметрического резонанса для двух случаев (преобладающей гравитации и преобладающей световой репульсии) показало, что при > О о и $2 > 1 (1/1) в промежутке д < < 1 существует только один резонанс = а при < 0 и < 1 (£12) в интервале а\ < 0 Два резонанса А^ = —| и А^ = —

Подробно исследован параметрический резонанс, когда оба коэффициента редукции принимают отрицательные значения. Показано, что коллинеарные точки либрации Ь\2 устойчивы при всех значениях параметра из интервала устойчивости — ^ < сц < О, исключая значение а\ = —0.3030536. для параметрического резонанса (А^ = — приводящего к неустойчивости.

Показано, что в круговой задаче место-положение устойчивых КТЛ и точек, соответствующих параметрическому резонансу в системе двойной звезды, может быть определено численным нахождением корней алгебраического уравнения седьмого порядка, в которое в качестве исходных данных подставляются значения параметра а\ из интервалов устойчивости для точек Ь\ и Ь\2, при заданных значениях параметров Сир.

III. Исследована устойчивость внутренних коллинеарных точек либрации Ь\ и Ь\2 в эллиптической ФГОЗТТ с двумя одновременно излучающими телами.

Поставленная задача решалась численным интегрированием линеаризованной 27т - периодической по истинной аномалии у системы уравнений в вариациях. Эта система инвариантна относительно каждого из преобразований: (у,Х, У) н-> (—у,Х, —У) и (г;, X, У) н-* (—г;, —X, У) и относится к обратимым периодическим системам.

Последнее дало возможность построить только два частных решения и существенно сократило объём вычислений на ЭВМ.

Для различных значений эксцентриситета и относительных масс р = 0.1 и р = 0.5, при произвольном значении параметра С исследована задача об устойчивости КТЛ, когда притяжение превосходит световое давление. В зависимости от параметров фх, е построены диаграммы, отображающие эволюцию изменения областей необходимых условий устойчивости.

Показано, что при значениях е, близких к нулю, под влиянием параметрического резонанса внутри области устойчивости рождается зона неустойчивости. С ростом величины эксцентриситета зона неустойчивости увеличивается, а размеры двух областей устойчивости сокращаются. Количество неустойчивых КТЛ растет быстрее в сторону нижней границы о интервала д < а\ < 1, и при е > 0.4 эта часть области устойчивости пропадает.

Численно определена максимальная для устойчивости величина эксцентриситета, равная е = 0.99537414. При этом значении е устойчивой останется единственная коллинеарная точка либрации, расположенная в центре масс основных тел.

Установлено, что чем меньше величина относительной массы /л, тем шире интервал коэффициентов редукции, при котором КТЛ будут устойчивы.

Аналогично случаю доминирующей гравитации исследована устойчивость КТЛ в эллиптической задаче при преобладании отталкивающей силы светового давления.

Для значений эксцентриситета, равных 0.1, 0.15, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7 и 0.8, на плоскости параметров С}фг построены диаграммы УСТОЙЧИВОСТИ КТЛ При Ц = гу

При исследовании резонансных явлений в круговой задаче были найдены две резонансные кривые, которые пересекают область необходимых условий устойчивости (/Л =

Анализ эволюции области устойчивости при росте е показал, что на месте, где проходили резонансные кривые (А\ = — А\ = — развиваются зоны неустойчивости, разрастающиеся с е. Происходит деление областей устойчивости зонами неустойчивости. С ростом величины эксцентриситета области устойчивости сокращаются в размерах и при е > 0.7 остается только та область устойчивости, для которой коэффициенты редукции фь 0,2 близки к нулю.

Численно установлено, что максимальное значение эксцентриситета, при котором еще может существовать устойчивая КТЛ 1/12 равна 0.9994.

Показано, что устойчивость коллинеарных точек либрации можно исследовать независимо от конкретных значений относительной массы, коэффициентов редукции и координат точек либрации. Необходимо только знать значение эксцентриситета о е и параметра а\ из интервала д < а\ < 1 для точки Ь\ или < а>1 < 0 для точки .

Численным интегрированием уравнений в вариациях на отрезке [0, 27г] вычислялись характеристические показатели и определялись значения параметра удовлетворяющие условию устойчивости. В итоге на плоскости (а^ е) построены диаграммы устойчивости КТЛ Ь\ и Ь12. Эти диаграммы могут использованы при исследовании устойчивости и оценки протяженности облаков космической пыли и скоплений микрочастиц в КТЛ в системе реально существующей двойной звезды.

В качестве примера рассмотрены двойные звезды, которые по параметрам ц, е, С близки к Альфа Центавра и Сириусу. Полученные результаты представлены на рисунках и в виде таблиц.

IV. Подробно изучен вопрос об устойчивости треугольных точек либрации в круговой и слабо-эллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. Известно, что все ТТЛ будут устойчивы при // < 0.02128644612. в круговой задаче.

Численно показано, что ТТЛ сохраняют свою устойчивость и в диапазоне значений 0.02128644612. < ¡1 < 0.02859479. При 0.02859479. < ц < 0.038520878. область устойчивости распадается на две части, которые сокращаются с увеличением значения ¡л. При 0.038520878. < \1 < ^ существует только область устойчивости, примыкающая к оси абсцисс.

Найдены условия появления параметрического резонанса. Показано, что в области устойчивости при е = 0 появляются две кривые, соответствующие параметрическому резонансу.

Исследовано зарождение зон неустойчивости при малых значениях эксцентриситета. Установлено, что при заданном значении /г в области устойчивости существуют две кривые, соответствующие параметрическому резонансу, но только из одной кривой возникает зона неустойчивости.

Дан способ численного исследования появления зон неустойчивости в слабо-эллиптической задаче, который позднее применен в исследовании вопроса об устойчивости треугольных точек либрациии в эллиптической задаче.

V. Исследована устойчивость треугольных точек либрации в эллиптической ограниченной ФГЗТТ.

Численным интегрированием уравнений в вариациях для различных значений эксцентриситета и относительной массы основных тел получены условия устойчивости ТТЛ. Определено максимальное значение эксцентриситета, равное 0.99537414., при котором еще может существовать устойчивая треугольная точка либрации.

Для случая произвольного значения параметра С построены диаграммы устойчивости, которые позволяют проследить эволюцию областей устойчивости для е = 0.02 и е = 0.1 и при изменении массового параметра /i, принимающего значения 0.01, 0.02, 0.02128645, 0.03, 0.05 и 0.5.

На примере двойных звезд, компоненты которых имеют параметры (/1, С) и эксцентриситет орбиты, конгениальные реально существующим двойным звездам - Альфа Центавра и Сириусу, исследована устойчивость ТТЛ при фиксированном параметре С.

Показано, что в системе двойной звезды, подобной Альфа Центавра, могут существовать устойчивые ТТЛ, в которых образуются облака космической пыли и микрочастиц. Дана оценка их протяженности.

Установлено, что в системе двойной звезды с параметрами, близкими к параметрам Сириуса, не существуют устойчивые треугольные точки либрации.

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М: Наука. 1971.

2. Агекян Т.А. Звезды, галактики, Метагалактика. М.: Наука. 1981.

3. Алъвен X., Аррениус Г. Эволюция солнечной системы. М: Мир, 1979.

4. Биркгофф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

5. Браур Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964.

6. Бредихин Ф.А. О хвостах комет. М.-Л.: 1934.

7. Брюно АД. Локальный метод анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979.

8. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1991.

9. Демин В.Г. Судьба Солнечной системы. М.: Наука, 1975.

10. Дубошип Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука. 1975.

11. И. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука. 1978.

12. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. М.: Наука. 1983.

13. Ефимов И.Л., Тхай В.Н. Устойчивость периодических орбит в задаче Хилла. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 45-60.

14. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Исследование устойчивости равносторонних треугольных конфигураций в задаче трех тел // Второй симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докл. М.: МАИ, 1996. С.31-32.

15. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Об устойчивости треугольных решений неограниченной задачи трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1998. С. 117-130.

16. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Исследование устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической фотогравитационной задаче трех тел // Третий межд.симпозиум по классич. и небесной механике.Тезисы докл. М.: МАИ,1998.С.69-70.

17. Зимовщиков A.C. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими источниками. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 121-129.

18. Зимовщиков A.C. Об устойчивости треугольных точек либрации в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел с двумя излучающими телами. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения.Ч.1. М.: ВЦ РАН, 2000. С. 68-77.

19. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Неустойчивость точек либрациии резонансные явления в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел// Астрон, вестник. 2004. Т. 38. № 2, С. 180-190.

20. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Параметрический резонанс в задаче об устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Избр. труды STAB 04.М.: ИПУ РАН, 2004. С.186-192.

21. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Параметрический резонанс взадаче об устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Тез.докл.М.:ВЦ РАН, 2004. С.94-96.

22. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Устойчивость коллинеарных точек либрации в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел . // Международная научная конференция по механике "Четвертые поляховские чтения"Тез.докл. С-Пб. 2006. С. 51.

23. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел . С-Пб. 2006. С. 112-119.

24. Иванов А.П. Исследование устойчивости постоянных лагранжевых решений неограниченной задачи трех тел. ПММ. Т. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 783-795.

25. Кочеткова А.Ю. Об устойчивости в нелинейном приближении треугольных точек либрации в пространственной ограниченной эллиптической фотогравитационной задаче трех тел. Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 1999. № 5. С. 69 71.

26. Куницын А.Л.,Турешбаев А.Т. О коллинеарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел. Письма в АЖ, 1983, Т. 9. № 7. С. 432-435.

27. Куницын А.Л.,Турешбаев А.Т. Устойчивость треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. Письма в АЖ, 1985, Т.2. № 2. С. 145-148.

28. Куницын А.Л.,Турешбаев А. Т. Об устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. В кн.: Темат. Сб. научн. тр. МАИ "Некоторые задачи иметоды исследования динамики механических систем. 1985. С.26-31.

29. Куницын А.Л,,Турешбаев А.Т. О компланарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел. Письма в АЖ, 1985. Т.2. № 12. С. 930-933.

30. Куницын А.Л. Об устойчивости треугольных точек либрациифотогравитационной задачи трех тел. ПММ. 2000. Т.65. Вып. 5. С. 788-794.

31. Куницын А.Л. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. ПММ. 2001. Т.65. Вып. 4. С. 720-724.

32. Лебедев П.Н. Избранные сочинения. М.-Л.: Гостехиздат. 1949.

33. Лукьянов Л.Г. Лагранжевы решения в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. АЖ. 1984. Т. 61. Вып. 3. С. 564-570.

34. Лукьянов Л.Г. Компланарные решения в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. АЖ. 1984. Т. 61. Вып. 4. С. 789-794.

35. Лукьянов Л.Г. О семействе точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. АЖ. 1988. Т. 65. Вып. 2. С. 422-432.

36. Лукьянов Л. Г. Об устойчивости лагранжевых точек в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел.// АЖ. 1986. Т. 63 Вып. 6. С.1222-1229.

37. Лукьянов Л.Г., Кочеткова А.Ю. Об устойчивости лагранжевых точек либрации в ограниченной эллиптической фотогравитационной задаче трех тел. Вестник МГУ. Сер. физ.-мат. и естеств. наук. 1996. No 5.

38. Ляпунов A.M. Общая задача теории устойчивости движения. М.-Л.: ОНТИ, 1935.

39. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Гостехиздат, 1952.

40. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978. 312 с.

41. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. Наука. М.: 1971.

42. Огородников К.Ф. Динамика звездных систем. М.: ГИФМЛ. 1958.

43. Орлов C.B. Кометы. М.-Л.: 1935.

44. Пережогин A.A. Об устойчивости треугольных точек либрациив фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. Письма в АЖ. 1980. Т.6. № 5.С. 314-317.

45. Пережогин A.A. Об устойчивости точек либрации в ограниченной фотогравитационной круговой задаче трех тел. Космические исследования. 1982. Т.20. № 2. С. 196-205.

46. Пережогин A.A. Исследования устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики с учетом светового давления. Канд. дисс. 1982.

47. Поляхова E.H. Роль эффектов солнечной радиации в теории гелиоцентрических движений пылевых частиц. В сб.: Астрометрия и небесная механика. M.-JL: 1978.

48. Поляхова E.H. Возмущающее влияние светового давления Солнца на движение ИСЗ. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Исследование косм, пространства. Т. 15. М.: ВИНИТИ. 1980.

49. Поляхова E.H. Космический полет с солнечным парусом. М.: Наука. 1986.

50. Поляхова E.H. Роль светового давления в астрономии и космических исследованиях. В книге Столкновения в околоземномпространстве. Под ред. Масевич А.Г. М.: Космосинформ. 1995. С. 173-251.

51. Поляхова E.H. Космический Солнечный экран в первой точке либрации и его использование для мониторинга астероидной опасности. Государственный Университет. Россия. С.- Петербург. 2000, Научно технический фонд "Космический щит", Снежинск, 1999 - 2000.

52. Пуанкаре А. Новые методы в небесной механике. Избранные труды, т. 1,2. М.: Наука, 1971.

53. Радзиевский В. В. Ограниченная задача трех тел с учетом светового давления. АЖ. 1950. Т.27. № 4. С. 249-256.

54. Радзиевский В.В. Пространственный случай огр. задачи трех излучающих и гравитирующих тел. АЖ. 1953. Т.ЗО. К0- 3.

55. Радзиевский В.В. Небесная механика излучающих тел. (Проблемы ф/гр. небесной механики)-Докт. дисс., 1955.

56. Радзиевский В.В. Фотогравитационная небесная механика. -Нижний Новгород: Издатель Ю.А.Николаев, 2003.

57. Себехей В. Теория орбит. М.: Наука. 1982.

58. Струве О., Линде В., Пилланс Э. Эллементарная астрономия. М.: Наука. 1967.

59. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука. 1968.

60. Титова H.H. Построение областей устойчивости по Хиллу и вычисление точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2000. С. 78-86.

61. Титова H.H. Фотогравитационная задача трех тел. Построение областей устойчивости по Хиллу и вычисление точек либрации. Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: Изд-во НИИ Химии С.-Петербургского университета, 2000. С. 109-114.

62. Турешбаев А.Т. О точках либрации ф/гр. огр. элл. задачи трех тел. Рукопись деп. в ВИНИТИ 11 окт. 1985г. № 7207-В ДЕП. Юс.

63. Турешбаев А. Т. Об устойчивости компланарных точек либрации ф/гр. задачи трех тел. Письма в АЖ. 1986, Т. 12. № 9. С.722-725.

64. Турешбаев А.Т. Устойчивость стационарных решений ф/гр задачи трех тел. Дисс.канд. физ.-мат. наук. М.: МАИ 1986.

65. Тхай В.Н. Обратимость механических систем // ПММ. 1991. Т.55. Вып. 4. С. 578- 586.

66. Тхай В.Н. Некоторые задачи об устойчивости обратимой системы с малым параметром // ПММ.1994.Т.58.Вып.1.С.3-12.

67. Тхай В.Н. Неподвижные множества и симметричные периодические движения обратимых механических систем. ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С. 979-991.

68. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли. ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 848-857.

69. Тхай В.Н. Параметрический резонанс в задаче об устойчивостиколлинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2001. С. 112-121.

70. Тхай В.Н. Обратимые механические системы // Нелинейная механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С.131-146.

71. Тхай В.Н. Прямолинейное движение частицы в поле двойной звезды // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения.М.:ВЦ РАН,2001. 4.1. С.30-36.

72. Тхай В.Н. Резонансные ляпуновские семейства периодических движений обратимых систем//ПММ.2004.Т.68.Вып.З. С.384-401.

73. Тхай В.Н. О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Механика твердого тела. Т.34. С.3-8.

74. Тхай В.Н. Неинтегрируемость и интегрируемость в задачах механики. ДАН. 2006. т. 408. №5. С.621-624

75. Тхай В.Н. Периодические движения обратимой механической системы второго порядка. Приложение к задаче Ситникова// ПММ. Т.70. Вып.5. С.813-834

76. Тхай В.Н. Первые интегралы и семейства симметричных периодических движений обратимой механической системы// ПММ. Т.70. Вып.6. С.977-989

77. Тхай В.Н. Обратимые механические системы с первыми интегралами//Четвертые Поляховские чтения. СПб.: 2006. С.197-206

78. Уиттпекер Э. Аналитическая механика. Ред. журн. "Регулярная и хаотическая динамика". Изд. дом "Удмуртский университет". 1999.

79. Фесенкое В.Г. Метеорная материя в межпланетном пространстве. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1947. 276 с.

80. Филянская Е.П. Об устойчивости движения вблизи кол линеарных центров в огр. задаче трех тел с учетом светового давления. Бюллетень Ин-та теор. астрономии, 1972, Т.13. № 3, С. 157-160.

81. Черников Ю.А. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел. АЖ. 1970, Т.47, № 1. С. 217.

82. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат. 1955.

83. Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука. 1966.

84. Шкловский И.С. Звезды: их рождение, жизнь, смерть. М.: Наука. 1984. 384 с.

85. Шмидт О.Ю. Метеорная теория происхождения Земли и планет. Доклады АН СССР. 1944. Т. 45. С. 245-250.

86. Шмидт О.Ю. Четыре лекции о теории происхождения Земли. Изд. 3-е. М.: Изд-во АН СССР. 1957. 140 с.

87. Эйлер JI. Новая теория движения Луны. Л.: Изд-во АН СССР. 1934. 208 с.

88. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука. 1987. 328 с.

89. Bhatnagar К.В., Gupta В. Resonance in the restricted problem caused by solar radiation pressure. Proc. Indian Nat. Sci. Acad. 1977, A43, N 4. P. 303-313.

90. Bhatnagar K.B., Chawla J.M. A study of the Lagrangian points inthe photogravitational restricted three-body problem. Indian Journal pure applied mathematics. 1979, V. 10. N. 11. P. 1443-1451.

91. Colombo G. The stabilization of an artificial satellite at the inferior conjunction point of the Earth-Moon system. Smitheonian Institution, SAO Special Report, N 80, Nov.l, 1961.

92. Colombo G., Lautman D., Shapiro I.I. J. Geophys. Res. V. 71. N 23. P. 5705-5717.

93. Danby J.M.A. Stability of the triangular points in the restricted problem of three bodies. Astron. J. 1964. V. 69. N 2. P. 165-172.

94. Euler L. Theoria Motuum Lunae. Petropoli: Typis Academiae Imperialis Scientarum, 1772. Reprinted in Opera Omnia, Serise 2 (Courvoisier L., ed.), v. 22, Lausanne; Orell Fussli Turicu, 1958.

95. Euler L. Conciderations de motu corporum coelestium. Novi commentarii Ac. Sei. Petropolitanse. 1766. V. 10. P. 544.

96. Flanagan R.C., Modi V.J. Attitude dynamics of a gravity oriented satellite under the influence of solar radiation pressure. Aeronaut. J. 1970. V. 74. N 718. P. 835-841.

97. Kordylewski K. Photographische Untersungen des Libration-spunktes L5 im System Erdi-Mond. Acta Astronómica, Warzawa., 1961, PP. 165-169.

98. Kordylewski K. Dust Cloud Moons of the Earth. Physics Today 2, 1967. PP. 39-46.

99. Kumar V., Choudry R.K. Nonlinear stability of the triangular libration points for the photogravitational elliptic restricted problem of three bodies. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 48: 299-317, 1990.

100. Kunitsyn A.L., Perezhogin A.A. On the stability of the triangular libration points of the photogravitational restricted three-bodyproblem. Celestial Mechanics. 1978. V. 18. P. 397.

101. Kunitsyn A.L., Polyakhova E.N. The restricted photogravitational three-body problem: a modern state. Astronomical and Astrophysical Transactions, 1995, Vol. 6, pp. 283-293.

102. Kunitsyn A.L., Tureshbaev A.T. On the collinear libration points in the photogravitational three-body problem. Celestial Mechanics. 1985. V. 35. P. 105-112.

103. Manju, Choudry R.K. On the stability of libration points taking into account the light pressure for the circular restricted problem of three bodies. Celestial Mechanics. 1985. V. 36. N 2. P. 165-190.

104. Markellos V., Perdios E., Labropoulou P. Linear stability of the triangular equilibrium points in the photogravitational elliptic restricted problem. Astrophys. and Space Sci. 1992. V. 194. P. 207-213.

105. Mignard F. Stability of L4 and L5 against radiation pressure. //Celestial Mechanics. 1984. V. 34. N 1. P. 275-287.

106. Moeed N. S., Zarne J. C. Feasibility of space based observations of the Kordylewski clouds Advances in Space Research. Vol. 20. Issue 8. 1997. PP. 1527-1530.

107. Nechvil V. Sur une nouvelle forme des equations différentielles du problème restreint elliptique. Compte Rendue, T. 182. 1926.

108. Saberman R.K., Neste S.L., Lichtenbeld K. Particle concentration in the asteroid belt from Pioner 10. Science, 1974. V.183. C. 140.

109. Sharma R.K. The linear stability of libration points of the photogravitational restricted three-body problem when the smaller primary is an oblate spheroid. Astrophys. and Space Sci. 135 (1987). P. 271-281.

110. Shuerman D.W. The restricted three-body problem including radiation pressure. Astrophysical Journal. 1980. V. 238. N 1. P. 337-342.

111. Shuerman D. W. The effect of radiation pressure on the restricted three-body preblem. Solid Particles in the Solar System. 1980. N 90. P. 285-288.

112. Simmons J.F.L., McDonald A.J.C., Brown J.C. The restricted three-body problem with radiation pressure.// Celestial Mechanics. 1985. V. 35. P. 145-187.

113. Zimovschikov A.S., Titova N.N., Tkhai V.N. Periodic orbits in photogravitational three-body problem // Труды ИПА РАН. Вып. 8. Небесная механика. СПб.: ИПА РАН, 2002. С. 184.

114. Zimovschikov A.S., Tkhai V.N. Instability of Libration Points and Resonance Phenomena in the Photogravitational Elliptic Restricted Three-Body Problem. Solar Dystem Research, Vol. 38, No 2, 2004, pp. 155-163.

115. Измерение количественных и качественных характеристик звезд, http://astronomy.by.ru/lib/240-0926.htm 31.07.2006.

116. Система Альфа Центавра, http://www.astrogalaxy.ru/332.html 31.07.2006.

117. Alpha Centauri. A Candidate for Terrestrial Planets And Intelligent Life. http://homepage.sunrise.ch/homepage/schatzer/Alpha-Centauri.html 31.07.2006.

118. Главная последовательность. http://www-phys. asu. ru/stud/4course / docs / astrophysics / chapter2 / evolution/ms. htm 31.07.2006.