Исследование устойчивости точек либрации ограниченной фотогравитационной эллиптической пространственной задачи трех тел в нелинейном приближении тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Постановка задачи и уравнения движения.

Глава 2. Стационарные решения системы уравнений движения пассивно гравитирующего тела.

2.1 .Координаты треугольных точек либрации.

2.2.Координаты коллинеарных точек либрации..

Глава 3. Вычисление координат коллинеарных и треугольных точек либрации.;

Глава 4. Разложение функции Гамильтона в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия.

Глава 5. Нормализация квадратичной части гамильтониана.

5.1 Построение нормализующей матрицы.

5.2 Выполнение линейной нормализации.

Глава 6. Нелинейная нормализация гамильтониана методом точечных отображений.

Глава 7. Выполнение нелинейной нормализации..

7.1 Построение производящей функции отображения.

7.2 .Нормализация производящей функции.

7.3.Построение нормальной формы функции Гамильтона. Критерии нелинейной устойчивости точек либрации.

Глава 8. Исследование вырождения компланарных решений круговой фотогравитационной задачи в задаче эллиптической,.

8.1 Поиск решений вне плоскости движения основных тел.

8.2 Поиск решений методом малого параметра.

8.3 Результаты численных исследований.

Глава 9. Результаты численного исследования устойчивости точек либрации.

ЮЛ .Устойчивость коллинеарных точек либрации.

10.2.Устойчивость треугольных точек либращш.

Изучение устойчивости частных решений ограниченной задачи трех тел всегда представляло большой интерес, поскольку на основе такого исследования можно смоделировать с достаточной степенью точности поведение реально существующих небесных объектов. В частности, полученные результаты можно с успехом использовать при построении теории эволюции двойных звезд а также в космонавтике.

Упомянем кратко об основных работах, отражающих историю исследований, посвященных этой теме. Классическая задача трех тел, движущихся под действием сил взаимного гравитационного притяжения, в общем виде не интегрируется, но допускает частные решения, в которых все три материальные точки лежат в неизменной плоскости и движутся по кеплеровским орбитам вокруг барицентра системы. Три частных решений, для которых три гравитирующие точки расположены на одной прямой — коллинеарные точки либрации — были впервые описаны Эйлером [1] еще в 1767 году. Несколько позже Лагранж [2] нашел еще два решения, для которых три тела образуют равносторонний треугольник — треугольные точки либрации. Наиболее полно вопрос об устойчивости точек либрации рассмотрен в ограниченной задаче трех тел, когда предполагается, что одно из тел имеет бесконечно малую массу и не влияет на движение двух других тел. Для самой простой, круговой, задачи трех тел, когда основные тела движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс, необходимое условие устойчивости треугольных точек либрации в линейном приближении, справедливое как для плоского, так и для пространственного случая, впервые упоминается в работе Гашо [3] и записывается в виде неравенств: где массы Ш1 и Ш2 основных тел связаны соотношением: |Л=Щ2 /(Ш1+Ш2)

В 1957 году Литлвуд показал [4], что при начальном возмущении порядка 8 отклонение пассивно гравитирующего тела от вершины треугольника имеет тот же порядок в течение интервала времени, равного где А зависит только от ц.

Строгий анализ, который в 1962 году проделал Леонтович [5], показал, что в случае плоской задачи треугольные точки либрации устойчивы по Ляпунову для всех \х из области (*), кроме, быть может, множества значений имеющих, так называемую, нулевую меру. или

0<27|!(1-|1)<1 0<ц<Й°=0.038. Г) ехр[А-81/2(|1оЕ(8)| )"3/4 ]

Применив результаты Арнольда [6] и Мозера [7] по теории гамильтоновых систем, Депри установил [8], что это множество состоит из трех значений (г= 1,2,3), для которых не применима теорема Арнольда-Мозера [7]. В 1969 году Маркеев А.П. провел строгий нелинейный анализ и получил [9], что в случае плоской задачи только треугольные точки либрации, соответствующие ^1=0.024. и {12=0.013. неустойчивы, а для всех остальных \х из области (*) точки либрации устойчивы по Ляпунову.

Для пространственной круговой задачи Маркеев А.П. доказал [10], что треугольные точки либрации устойчивы в смысле Лебега для большинства начальных условий при всех [х из области устойчивости в первом приближении ( кроме значений \х\ и \хг ), причем, почти для всех ц из (*) имеет место формальная устойчивость [И], кроме, быть может, тех значений ц, при которых частоты соответствующей линейной задачи удовлетворяют соотношениям двукратного резонанса. При |1=0 задача трех тел переходит в задачу двух тел, где имеет место лишь орбитальная устойчивость ( Соколь-ский А.Г. [12]).

Сокольский А.Г. также показал [13], что при критическом соотношении масс Раусса \х=\Х°={9469)/\8=0.039 треугольные точки либрации формально устойчивы как в плоской, так и в пространственной задаче. Устойчивость в более общем и, соответственно, более сложном случае, когда рассматривается неограниченная задача трех тел, была исследована в работах Куницына А.Л. [14,15,16], ТхаяВ.Н. [17,18] и Иванова А.П. [19,20]. Однако, если предположить, что пассивно гравитирующее тело Мо является частицей газопылевого облака или звездного вещества, то учитывать лишь гравитационную силу уже недостаточно. На движение таких частиц существенно влияет световое давление со стороны основных тел — излучающих объектов.

Впервые такая фотогравитационная задача была сформулирована в 1950 году Радзиевским В.В. [21]. Он ввел фотогравитационные параметры — Коэффициенты редукции масс основных тел М] и М2 по отношению к частице в случае сферической формы всех трех тел [22]:

0!= 1- А-Т^/агбгао-бо , 0г= 1- АТ24/а2-52 ао-5о (**) где А=5.15109 С08 — константа, Ть ^ и ^ — соответственно абсолютная эффективная температура, радиус и плотность тела М| (1=0,1,2).

Для круговой ограниченной задачи с одним излучающим телом ( т:е. СЬ=1, Радзиевский В.В. получил [23] координаты трех коллинеарных, двух треугольных и двух компланарных ( лежащих вне плоскости движения основных тел) точек либрации,

В 1983 году Куницын А.Л. и Турешбаев А.Г. исследовали [24] области существования коллинеарных точек либрации в пространстве параметров и |1, и показали, что число коллинеарных точек зависит от знаков параметров С>1 и СЬ : при положительных коэффициентах редукции существует одна внутренняя (расположенная между основными телами ) и две внешние точки; когда и разных знаков — две внутренние и одна внешняя; когда фотогравитационные параметры отрицательны, внешних точек нет, а существуют либо три, либо одна внутренняя точка.

Эти же авторы впервые установили, что, в противоположность классической задаче , при определенных значениях параметров существуют области устойчивости коллинеарных точек либрации. В работе Куницына А.Л. и Турешбаева А.Г. [25] приведена зависимость размера области устойчивости внутренней точки от массового параметра \х. Треугольные точки либрации фотогравитационной круговой задачи трех тел рассматривались в работах Черникова Ю.А.

26] ( в предположении СЬ=1 ) в 1970 году, Шуермана Д.В.

27] в 1980 году.

Вопрос об устойчивости треугольных точек либрации фотогравитационной задачи впервые был рассмотрен в работах Пережогина A.A. [28,29].

Необходимое условие устойчивости этих треугольных точек было получено в 1985 году в работе Куницына A.JI. и Турешбаева А.Т. [30]: положительные значения Qi и СЬ и ji (l-|a)<l/36. Причем, согласно работе [31] Куницына A.JI. и Маркеева А.П., в отсутствии резонансов устойчивость сохраняется при учете в уравнениях возмущенного движения членов до сколь угодно высокого (конечного ) порядка. Исследование устойчивости треугольных точек было продолжено в работе Пережогина A.A. и Турешбаева А.Г. [32].

Лукьянов Л.Г. в работе [33] определил области существования лагранжевых решений и в работе [34] получил области устойчивости треугольных и прямолинейных точек либрации для большинства начальных условий в плоскости параметров Qi и Q2.

Существование и устойчивость решений вне плоскости движения основных тел были подробно изучены в работах Пережогина A.A. [46], Куницына А.Л. [47], Турешбаева А.Г. [48,49] и Лукьянова Л.Г. [50]. В работе [50] показана возможность существования четырех компланарных точек либрации одновременно и получил эти области в пространстве параметров Qi и СЬ .

В работе [51] Лукьянов Л.Г. установил, что компланарные точки L8 и L9 в фотогравитационной задаче всегда неустойчивы, а для точек Ьв и L7 получил области устойчивости в зависимости от массового параметра fi и коэффициентов редукции Qi и Q2 .

Устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи посвящена подробная работа Симмонса, МакДоналда и Брауна [52].

Исследование поверхностей нулевой скорости этой задачи проведено в работах Лукьянова Л.Г. [53], Радоса О. и Загураса К. [54], Бекова A.A. и Мухаметкалиевой Р.К. [55]. В обзорной работе Поляховой E.H. [56] рассмотрены главные направления развития фотогравитационной задачи, приведена основная постановка задачи с одним и двумя излучающими центрами, приведены уравнения движения, охарактеризованы треугольные, компланарные и коллинеарные точки либрации, дано сравнение поверхностей нулевой скорости классической и фотогравитационной задач, а также сделано обобщение этой задачи в случае произвольных коэффициентов редукции. Говоря о приложениях фотогравитационной задачи, нельзя не упомянуть о проблемах динамики звездных полетов с солнечным парусом. Эта задача рассматривалась Поляховой E.H. в работах [57-61]. В работе [60] случай переменной редукции гравитационного поля применен к пылевым частицам Солнечной системы и отмечено, что результаты фотогравитационной задачи могут быть использованы в изучении движения комет при учете солнечной радиации и корпускулярных потоков солнечного ветра. В работе [61], где в качестве переменной величины выбирается парусность частицы, показана возможность применения результатов к микрометеоритным межпланетным частицам с убывающими радиусами.

Задача трех тел в случае, когда одно из основных тел является оСесимметричным неизлучающим, а второе сферическим излучающим рассмотрена в работе Эль-Шабури С.М. [62]. Влияние эффекта Пойнтинга-Робертсона на устойчивость точек либрации в фотогравитационной ограниченной задаче трех тел изучено в работе Радоса О., Зафиропулоса Ф.А. и Врахатиса М.Н. [63]. Они установили, что учет релятивистских поправок ведет к неустойчивости точек либрации.

Во всех вышеупомянутых работах предполагалось, что основные тела движутся вокруг общего центра масс по круговым орбитам (эксцентриситет е=0). Однако в действительности мы почти всегда имеем дело с орбитами эллиптическими (е<1). Этот случай существенно сложнее, так как гамильтониан возмущенного движения явно содержит независимую переменную — время.

В 1964 году Денби Ж.М. в работе [64] методом численного интегрирования исследовал линеаризованную систему и получил область устойчивости треугольной точки либрации эллиптической задачи в плоскости e,ji.

Позже Беннетт А. в работе [65] численно исследовал характеристические показатели треугольных и коллинеарных точек либрации для произвольных е и ц, и не обнаружил в эллиптической задаче областей линейной устойчивости прямолинейных точек равновесия.

В 1970 году Нейфех А.Х. и Кемел A.A. аналитически получили [66] границы областей устойчивости и неустойчивости треугольных точек плоской задачи с точностью до четвертой степени эксцентриситета. Но решение проблемы достаточной устойчивости в линейном приближении не дает выводов об устойчивости в строгом смысле, поэтому возникает необходимость перейти к нелинейной постановке задачи.

Маркеев А.П. в своих работах [67,68] рассмотрел эту задачу. Для малых значений эксцентриситета он построил с точностью до е2 нормальную форму функции Гамильтона и показал, что в области линейной устойчивости при значениях fi, не равных найденным им резонансным значениям, точки либрации будут формально устойчивы при учете в гамильтониане членов до шестого порядка включительно по координатам и импульсам.

В 1974 году Маркеев А.П. и Сокольский А.Г. [69] провели исследование устойчивости решений в плоской эллиптической задаче для произвольных значений эксцентриситета, получив области формальной устойчивости и устойчивости для большинства начальных условий в плоскости е,ц, и исследовали на неустойчивость по Ляпунову резонансные линии третьего и четвертого порядков. Пространственная эллиптическая задача была рассмотрена в 1973 году Маркеевым А.П. [70]. В своей работе он показал, что, если параметры е и р, находятся в области устойчивости первого приближения и не принадлежат резонансным кривым третьего и четвертого порядков, то для достаточно малых значениях е треугольные точки либрации устойчивы для большинства начальных условий при учете в нормализованном гамильтониане членов до четвертого порядка включительно по координатам и импульсам. Маркеев А.П. также установил, что вследствие тождественного резонанса, проявляющегося только в пространственной эллиптической задаче, существует узкая область неустойчивости лагранжевых решений в плоскости определяемая неравенством: е2> 15625000}! при достаточно малых значениях е и р.

Результаты численного исследования устойчивости при произвольных е и ц приведены в работе Маркеева А.П. [71] для системы Солнце-Юпитер. Он получил, что треугольные точки либрации устойчивы при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно по координатам и импульсам возмущенного движения.

В работе [72] Турешбаев А.Т. установил, что в эллиптическом случае при малых значениях эксцентриситета вблизи компланарных точек либрации существуют периодические движения с периодом, близким к периоду орбиты основных тел.

Случай, когда на тело бесконечно малой массы действуют гравитационная сила и сила светового давления со стороны основных тел, движущихся в пространстве по эллиптической орбите вокруг центра масс, ранее не рассматривался. Приведем краткое содержание данной работы. Первая глава посвящена описанию основных тел Системы. Вводится система координат, задаются параметры и единицы измерения. Определяется уравнение движения основных тел, записываются уравнения движения пассивно гравитирующего тела в координатах Нехвила. Во второй главе приводятся формулы для вычисления координат треугольных и коллинеарных точек либрации. В третьей главе описывается алгоритм нахождения координат треугольных точек, а также коэффициенты уравнений пятой степени, полученные в аналитическом виде, для нахождения координат коллинеарных точек либрации. В четвертой главе осуществляется перенос координат в исследуемую точку либрации. Приводятся формулы разложения гамильтониана в ряд Тейлора по координатам и импульсам. Описан метод реализации данного разложения и приведена блок-схема соответствующей программы. В пятой главе строится матрица перехода, приводящая квадратичную часть гамильтониана к нормальной форме. Показан алгоритм нахождения собственных векторов системы.

В шестой главе показано, как найти производящую функцию отображения, приводящего исходный гамильтониан к нормальному виду.

В седьмой главе приводятся формулы, связывающие коэффициенты функции Гамильтона и дифференциальных уравнений нахождения производящей функции. Подробно описан алгоритм нелинейной нормализации. В восьмой главе показано, что в эллиптической задаче компланарных решений не существует и приводятся результаты исследования вырождения этих решений круговой задачи в случае е^О.

В девятой главе осуществляется анализ результатов, полученных в ходе исследования устойчивости треугольных и прямолинейных точек либрации в нелинейном приближении.

В заключении перечислены основные результаты работы. В приложении приведены тексты программ, построенных автором и применявшихся при выполнении данной работы.

Общая характеристика работы. Актуальность темы.

Необходимость рассмотрения устойчивости решений задачи трех тел существовало давно. Однако, Вследствие резкого увеличения объема вычислений и громоздкости формул при переходе от ограниченной круговой задачи к более общим моделям, исследование этого вопроса в данной постановке было в значительной мере затруднено. И только в последнее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники и повышением уровня программного обеспечения стало возможным рассмотрение данной задачи. Цель работы.

Диссертация посвящена получению областей линейной устойчивости точек либрации данной задачи, нелинейной нормализации функции Гамильтона внутри этих областей и исследованию устойчивости точек либрации по нормальной форме гамильтониана в нелинейном приближении.

На защиту выносятся следующие положения диссертации:

1. Получены области линейной устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации в плоскости эксцентриситета и массового параметров и изменение этих областей в зависимости от фотогравитационных параметров;

2. Осуществлена нормализация функции Гамильтона методом точечных отображений до членов четвертого порядка включительно по координатам и импульсам;

3. По нормализованному гамильтониану получены области нелинейной устойчивости точек либрации и исследована зависимость этих областей от четырех вышеупомянутых параметров;

4. Исследование характера вырождения компланарных точек либрации в случае ненулевого значения эксцентриситета.

Вышеперечисленные пункты определяют научную новизну работы.

Практическая ценность.

При изучении эволюции небесного тела крайне необходимо учитывать динамику системы, в которую это тело входит. В частности двойная звездная система может быть смоделирована в виде ограниченной задачи трех тел, когда под основными телами подразумеваются звезды^ а роль пассивно гравитирующего тела играют частицы звездного вещества. Тогда движение звездного вещества будет определятся гравитационным влиянием и световым давлением со стороны звезд. Поскольку в большинстве случаев мы имеем дело с орбитами эллиптическими, то результаты^ рассмотрения пространственной эллиптической модели, учитывающей влияние излучения основных тел наиболее пригодна в использовании при построении теории эволюциидвойных звезд.

Заключение.

Впервые осуществлена нелинейная нормализация до членов четвертого порядка включительно по координатам и импульсам гамильтониана ограниченной фотогравитационной эллиптической пространственной задачи трех тел.

По полученной нормальной форме функции Гамильтона проведен анализ устойчивости точек либрации

Для треугольных точек внутри области линейной устойчивости получена устойчивость решений при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно по координатам и импульсам, найдена узкая область, в которой имеет место неустойчивость по Ляпунову, а также линии, на которых D=0 (невыполнение критерия устойчивости для большинства начальных условий), на плоскости е, р. Показано изменение этих областей в зависимости от фотогравитационных параметров (рис.9,10,11).

Для коллинеарных точек либрации показана возможность устойчивости точки либрации L2 (рис.4). Проведен анализ нелинейной устойчивости этой точки на примере PY Per (рис.6), получены области устойчивости для различных значений фотогравитационных параметров в плоскости е, р. (рис. 5,7,8)

Показана невозможность существования компланарных точек либрации в эллиптической фотогравитационной задаче, исследован характер вырождения этих точек круговой задачи в задаче эллиптической в зависимости от массового параметра (рис. 2а,б) и эксцентриситета (рис. За,б).

Все вышеупомянутые исследования проводились впервые и все полученные результаты являются новыми.

Рис Л

Рис. 26.

Рис. 4.

79

Рис. 9

Рис. 10.

Рис. 11.

1. Euler L., De motu rectilíneo trium corporum se mutuo attra henum., NbviComm Acad. Sei 1.p, Petr,, 1767, Ul, pp.144.

2. Lagrange J.L., Eassair sur le problème des trois corps. Paris, 1772.

3. Gascheau G., Examen d'une classe d'équations différentielles et application a un cas particulier du problème des trois corps., Comptes Rendus, 1843, v.16, p.393.

4. Littlewood JE., The Lagrange configuration in celestial mechanics., Proc. London Math. Soc., 1959, v.3, Ш9, p.525.

5. Леонтович A.M., Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел., Доклады АН СССР, 1962, т.143, №3, С.535.

6. Арнольд В.И., Об устойчивости положений равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае., Доклады АН СССР, 1961,т.137, №2, С.255.

7. Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах., Мир, 1973.

8. Deprit A., Deprit-Bartolome, Stability of the triangular Lagrangian points., Astron. Joum., 1967, y.72, №2, p. 173.

9. Маркеев АП., Об устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел., Прикладная математика и механика., 1969, т.ЗЗ, вып.1, с.122.

10. Маркеев А.П., Об устойчивости треугольных лагранжевых решений пространственной ограниченной задачи трех тел., Астр, журн., 1971, т.48, вып.4, с.862.

11. Маркеев А.П., К задаче об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел., Прикладная математика и механика, 1973, т.37, вып.4.

12. Сокольский А.Г., Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при р(езонансе первого порядка., Прикладная математика и механика, 1977, т.47, вып.1, с.24.

13. Сокольский А.Г., Об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел при критическом отношении масс., Прикладная математика и механика., 1975, т.39, вып.5, с.366.

14. Куницын А.Л., Геометрическая интерпретация необходимых условий устойчивости треугольных точек либрации общей задачи трех тел., Celest. Mech., 1971, v.3, №2, р.222.

15. Куницын A.JI., К проблеме устойчивости лагранжевых решений неограниченной задачи трех тел., Проблемы аналитич. механики, теории устойчивости и управления., М., 1975, с. 175.

16. Куницын А.Л., Тхай В.Н., О неустойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел., Письма в Астр, журн.,1977, т.З, №8, с.376.

17. Тхай В.Н., Об устойчивости постоянных решений неограниченной задачи трех тел., Прикладная матем. и механ.,1978, т.42, №6, с. 1026.

18. Тхай В.Н., Об устойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел., Письма в Астр, журн., 1979, т.5, №9, с.486.

19. Иванов А.П., Исследование устойчивости постоянных лапласовых решений плоской неограниченной задачи трех тел., Прикладн. матем. и механ., 1979, т.43, №5, с.787.

20. Иванов А.П., К задаче об устойчивости лагранжевых решений неограниченной задачи трех тел., Письма в Астр, журн., 1979, т.5, №9, с.489.

21. Радзиевский В.В., Ограниченная задача трех тел с учетом светового давления., Астр, журн., 1950, т.27, с.250.

22. Радзиевский В.В., Задача двух гравитирующих и излучающих тел., Астр, журн., 1951, т.28, с.365.

23. Радзиевский В.В., Пространственный случай ограниченной задачи трех излучающих тел., Астр, журн., 1953, т.30, вып.5.

24. Куницын А.Л., Турешбаев А.Т., О коллинеарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел., Письма в Астр, журн., 1983, т.9, №7, с.432.

25. Kynitzyn A.L., Tureshbaev А.Т., On the collinear libration points in the photo-gravitational three-body problem., Celestial mechanics, 1985, v.35, №2, p.105.

26. Черников Ю.А., Фотогравитационная ограниченная задача трех тел., Астр, журн., 1970, т.47, с.217.

27. Schuerman D.W., The restricted three-body problem including radiational pressure., Astrophys. J, 1980, 238, №1, p.337.

28. Пережогин А.А., Об устойчивости точек либрации в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел., Письма в Астр, журн., 1980, т.6, №5, с.314.

29. Пережогин А.А., Об устойчивости точек либрации в ограниченной фотогравитационной круговой задаче трех тел., Космич. исследования, 1982, т.20, №2, с.196.

30. Куницын А.Л., Турешбаев А.Т., Устойчивость треугольных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел., Письма в Астр, журн., 1985, т.11, №2, с.145.

31. Куницын А.Л., Маркеев А.П., Устойчивость в резонансных случаях., в сб. Итоги науки и техники, сер. Общ. мех., М., Наука, 1979, т.4, с.58.

32. Пережогин A.A., Турешбаев А.Г., Об устойчивости треугольных точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел., Письма в Астр, журн., 1987, т. 13, №4, с.338.

33. Лукьянов Л.Г., Лагранжевы решения в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел., Астр, журн., 1984, т.61, №3, с.564.

34. Лукьянов Л.Г., Об устойчивости лагранжевых точек в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел., Астр, журн., 1986, т.63, №6, с. 1222.

35. Дубошин Г.Н., Небесная механика. Основные задачи и методы., М. Наука, 1975, с.758.

36. Дубошин Г.Н., Небесная механика. Аналитические и качественные методы., М. Наука, 1975.

37. Маркеев А.П., Точки либрации в небесной механике и космодинамике., М. Наука, 1978.

38. Ляпунов A.M., Общая задача об устойчивости движения., Собр. соч., т.9, изд-во АН СССР, 1956.

39. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц., М.:Наука, 1966.

40. Маркеев А.П., О нормализации гамильтоновой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами., Прикладная математика и механика., 1972, т.36, Вып.5, С.805.

41. Неймарк Ю.И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний., Известия ВУЗов., Радиофизика, 1958, т.1, №1,2,5,6.

42. Неймарк Ю.И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний., М.-.Наука, 1972.

43. Маркеев А.П., О методе точечных отображений и некоторых его приложений к задаче трех тел., Препринт ИПМ, №49, 1973, деп.№6727-73.

44. Poincaré H., Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste., Paris, 1892.

45. Свечников М.А., Каталог орбитальных элементов, масс и светимостей тесных двойных звезд., Иркутск: Изд-во Ирк. ун-та.,1986.

46. Пережогин A.A., Устойчивость шестой и седьмой точек либрации в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел., Письма в Астр, журн., 1976, т.2,№9, с.448.

47. Куницын A.JI., Турешбаев А.Т., О компланарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел., Письма в Астр, журн., 1985, т.11, №12, с.930.

48. Турешбаев А.Т., Об устойчивости компланарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел., Письма в Астр, журн., 1986, т. 12, №9, с.722.

49. Пережогин A.A., Турешбаев А.Т., О компланарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел., Астр, журн., 1989, т.66, №4, с.859.

50. Лукьянов Л.Г., Компланарные решения в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел., Астр, журн, 1984, т.61, №4, с.789.

51. Лукьянов Л.Г., Об устойчивости компланарных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел., Астр, журн.,1987, т.64, №6, с. 1291,

52. Simmons J.F.L., McDonald A.J.C., Brown J.C., The restricted 3-body problem with radiationa! pressure., Celestial Mechanics, 1985, v.35, p. 145.

53. Лукьянов Л.Г., О поверхностях нулевой скорости в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел., Астр.журн., 1988, т.65, №6, с.1308.

54. Rados О., Zagouras С., The zero velocity surfaces in the photogravitational restricted three-body problem., Earth, Moon and planets, 1988, v.41, №3, p.257.

55. Беков A.A., Мухаметкалиева P.K., О поверхностях нулевой скорости в двойной звездной системе с излучением., Пробл. физ. и динам, звезда, систем, 1989, с. 18.

56. ПоляхОва E.H., Ограниченная фотогравитационная задача трех тел: современное состояние проблемы., Вестник ЛГУ, сер.1, 1990, №4, с.69.

57. Поляхова E.H., Парусноая гелиоцентрическая задача с переменной редукцией гравитационного поля., Вестник ЛГУ, сер.1,1984, вып.4, с.63.

58. Поляхова Е.Н., Космический полет с солнечным парусом., М., Наука, 1986.

59. Поляхова Е.Н., Интегрируемый случай задачи Гюльдена-Мещерского применительно к движению в фотогравитационном поле., Вестник ЛГУ, сер.1,1986, вып.З, с.83.

60. Поляхова Е.Н., Прикладной фотогравитационный случай нестационарной задачи Гюльдена-Мещерского., Прикл. небесн. мех. и управл. движен.: Труды 13 науч. чтений по космонавтике. 24-28 янв. 1989 г., с. 5.

61. Поляхова Е.Н., Нестационарная фотогравитационноая задача двух тел в терминах проблемы Гюльдена-Мещерского-Джинса., Астр, журн., 1989, т.66, с. 1304.

62. El-Shaboury S.M., Existence of libration points in the restricted problem of three bodies with radiation pressure., Eart, Moon and planets, 1990, v.48, №3, p.233.

63. Rados O., Zafiropulos F.A., Vrahatis M.N., A numerical study of the influence of the Pointing-Robertson effect on the equilibrium points of the photogravitational restricted three-body problem., Astron. Astrophys., 1995, v.300, pp. 568,579.

64. Danby J.M.A., Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies., Astr J., 1964, v.69, №2, p.165.

65. Bennett A., Caracteristic exponents of the five equilibrium solutions in the elliptically restricted problem of three bodies., Icarus, 1965, v.4, №2.

66. Nayef A.H., Kamel A.A., Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies., AIAA Journ., 1970, v.8, №2.

67. Маркеев А.П., Об устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической ограниченной задаче трех тел., Прикладная математика и механика., 1970, т.34, №2, с.227.

68. Маркеев А.П., Исследование устойчивости лагранжевых решений плоской эллиптической задачи трех тел., Препринт ИПМ, 1973, №1, деп.5828-73.

69. Маркеев А.П., Сокольский А.Г., Численное исследование устойчивости лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел., Прикладная математика и механика., 1974, т.38, вып.1, с.49.

70. Маркеев А.П., Об устойчивости лагранжевых решений пространственной эллиптической задачи трех тел., Celestial mechanics., 1973, v.8, р.307.

71. Маркеев А.П., Об устойчивости треугольных точек либрации в системе Солнце-Юпитер., Астр, журн,, 1974, т.51, №3.

72. Турешбаев А.Т., Устойчивость стационарных решений фотогравитационной ограниченной задачи трех тел., Канд. дисс., 1986, с.ЗЗ.

73. Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

74. Лукьянов Л.Г., Кочеткова А.Ю. Об устойчивости лагранжевых точек либрации в ограниченной эллиптической фотогравитационной задаче трех тел.- Вестник Моск. ун-та, сер.З, 1996, №5.

75. Кочеткова А.Ю. Об устойчивости в нелинейном приближении треугольных точек либрации в пространственной ограниченной эллиптической фотогравитационной задаче трех тел.* Вестник Моск. ун-та, сер.3,1999,№5.