Исследование устойчивости решений уравнения Хилла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАРАМОВА Хеди Сумановна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ

ХИЛЛА

Специальность 01.01.02 -Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа «Московский педагогический государственный университет»

Научный руководитель: - кандидат физико-математических наук, профессор

Сабуров Михаил Серафимович

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук, профессор

Розов Николай Христович

- доктор физико-математических наук, профессор Сафонов Валерий Федорович

Ведущая организация: - МГТУ им. Н.Е. Баумана

Защита состоится « ъ&тълс'^ ,£ 2005 г. в /У час. РР мин. в аудитории

М710А на заседании диссертационного совета К 212.157.01 при Московском

энергетическом институте (Техническом университете) по адресу: г. Москва, Красноказарменная ул., д. 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ).

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.157.01 к. ф.-м. н., доцент

В.П. Григорьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящей диссертации исследуется устойчивость линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. В частности, рассматривается линейное однородное уравнение с непрерывным периодическим коэффициентом f{t):

называемое уравнением Хилла.

Необходимость исследования устойчивости решений уравнения Хилла, возникает во многих математических и технических задачах. К уравнению Хилла заменой

приводится линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами

где ait) б С,1 (-оо,+оо), b(t) е С(-оо,+оо) и a(t + Т) = a(t), b(t + Т) = b(t).

Существует более сотни различных условий ограниченности решений уравнения Хилла (1). Однако для ряда коэффициентов /(/) ни один из известных критериев не решает задачу устойчивости решений. В частности, ни один из них не решает вопрос устойчивости решений уравнения Хилла (1) при /(i) = sin Л К тому же неясно, какой из критериев следует применить в том или ином случае, поскольку неизвестно какой из этих критериев сильнее.

Условия, полученные методами теории оптимального управления, позволяют точно ответить на вопрос: можно ли на основании выбранных характеристик, определить поведение решений уравнения Хилла (1), или же этих характеристик недостаточно и нужны какие-то дополнительные. Применение методов теории оптимального управления позволяет для определенных классов функций f(t) выяснить поведение решений уравнения Хилла.

Цель работы

1. Установление критерия устойчивости и неустойчивости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэ ффициентами.

2. Оценка константы Ляпунова изучаемого уравнения.

3. Применение полученных результатов для исследования задач устойчивости решений некоторых уравнений.

Методы исследования

Основой работы является теория Флоке. Кроме того, использован принцип биоптимальности, разработанный М.С. Сабуровым, а также средства линейной алгебры, анализа и дифференциальных уравнений.

Научная новизна

Основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

1. Получены критерии устойчивости и неустойчивости решений уравнения Хилла.

2. Получена оценка константы Ляпунова.

3. Исследована задача устойчивости решений уравнения Хилла для некоторых коэффициентов /($, которая не была до сих пор решена.

4. Предлагается алгоритм исследования задачи устойчивости решений уравнения Хилла (1) для любой функции {).

Теоретическое и практическое значение

Диссертация имеет в основном теоретическую направленность. Полученные результаты предназначены для исследования и решения широкого круга линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались

• на девятой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Г. Дубна, 28 января - 2 февраля 2001 г.;

• на Всероссийской научной конференции «Наука, образование и производство». Г. Грозный, 4 декабря 2003 г.;

• на научно-исследовательском семинаре Московского энергетического института (технического университета) по дифференциальным уравнениям.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано автором в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 91 странице. Список литературы включает 44 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации - «Определения и теоремы теории устойчивости решений уравнения Хилла» - дается обзор некоторых результатов, полученных при исследовании ограниченности и неограниченности решений уравнения Хилла. При этом большое внимание уделено, прежде всего, тем из них, которые получены путем оценки константы Ляпунова. Один из подходов к исследованию ограниченности решений уравнения Хил-ла был предложен М.С. Сабуровым. Именно эти результаты и послужили основой для проведения исследований, результаты которых изложены в настоящей работе.

Вторая глава - «Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью принципа биоптимальности» - имеет теоретическую направленность и посвящена исследованию устойчивости решений уравнения Хилла с помощью принципа биоптимальности. Она состоит из шести разделов.

1. Постановка проблемы

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом

у+ут=о, /и+т)=/(!), о)

или эквивалентную систему дифференциальных уравнений первого порядка

Устойчивость решений системы дифференциальных уравнений (2) в силу периодичности функции () зависит от следа SpX(r) матрицанта Х(Г) системы (2), подсчитанного в момент времени Т.

Мы будем рассматривать множество иу измеримых на промежутке [О, Г] функций определенное по следующим характеристикам функции

т.е.

где

Таким образом, нам необходимо исследовать поведение решений сис темы дифференциальных уравнений первого порядка

X | — ""ЫХ 2) =

где

Функция Рф является одним из элементов множества Цу. Обозначив для каждой функции ы(() множества Ц отвечающую ей константу Ляпунова через 1(и), определим величины

Задачу о нахождении наибольшего J и наименьшего / значения константы Ляпунова при фиксированных параметрах функции /(/) сформулируем как задачу оптимального управления. Для этого введем обозначения

*з(0 = *|(0. *4« = *з('), *,(/)= /и(г)«/г,

и заменим систему (3) эквивалентной системой дифференциальных уравнений

(4)

Определение. Измеримая функция ы((), заданная на промежутке [О,Г], называется управляющей функцией класса Ц или просто функцией класса Цу, если на промежутке [О,Г] она удовлетворяет следующим условиям:

(5)

Таким образом, перед нами стоит следующая задача.

Оптимизировать функционал •/(и) = -^-[х1(7') + ;с2(Г)] по всем

управлениям на траекториях х(), являющихся решениями системы

(4), с начальным условием лг(0) = (1 0 0 1 0)" при ограничениях (5).

В результате получилась автономная билинейная задача оптимизации функционала с условиями типа равенства на правом конце оптимальной траектории и с фиксированным левым концом. Назовем нашу задачу J -задачей.

1. Вид оптимального управления

Доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Если параметры функции ) удовлетворяют неравенству

1 2

(б)

то оптимальным управлением в I — задаче является кусочно-постоянная функция (рис. 1), принимающая два значения а и Ъ, имеющая п переключений, удовлетворяющаяравенствам

и заданная формулой

где

в которых п — число переключений функции u(t).

Теорема 2. Если параметры функции удовлетворяют

неравенству

- вг.Т

(7)

9<в«Т

то оптимальным управлением в J-задаче является кусочно-постоянная функция ^^ (рис.2), принимающая два значения а и Ъ, имеющая п переключений, удовлетворяющаяравенствам

и заданная формулой

где

в которых п - число переключений функции ^^.

3. Нахождение константы Ляпунова

Если параметры функции /(*) удовлетворяют неравенству (6), то значение оптимизирующего функционала / на решениях системы (3) определяется формулой

2 V

* sinVw^Y cos-n/o7¡ -4= sin <JaTt

COS л[ЬТ2 —Tfoiu-4u±2

-4bsin4bT2 eos4ътг Д-4айп4аТх cos4aTx

12 р эш у ил 2 I wva-vui| j=¿

*Jb I -Ja

cos *Jbt0 -jj? sin y[bt0 -Jb sin 4btQ eos 4bt0 )

в которой параметры Т1х, Т^ определяются соотношениями

и удовлетворяют ограничениям

(8)

(9)

(10)

Если же параметры функции удовлетворяют неравенству (8), то значение оптимизирующего функционала / на решениях системы (3) определяется формулой

cos -Jat0 -l=sinVaí| Va

- VasinVafo cosVaí0

в которой параметры Ttí Т, t0 определяются равенствами

(12)

и удовлетворяют следующим ограничениям

0<Г,<4=* 0<?!<-!=> 0<í0<r,.

лJa V¿

(13)

Критерий устойчивости и неустойчивости

Пусть параметры функции f(t) удовлетворяют неравенству (6)

или(7). Тогда,

1. если константа Ляпунова J, определенная равенством (8) или соответственно равенством (11), по модулю меньше единицы, то решения уравнения (2.1) устойчивы;

2. если константа Ляпунова J по модулю больше единицы, торе-шенияуравненияХилла (2.1) неустойчивы;

3. если же константа Ляпунова J no модулю равняется единице, то необходимо дополнительное исследование.

5. Примеры

На основе полученных результатов делаем вывод, что решенияуравнения Хилла при fit) = sin / неустойчивы. Отметим, что ни один из известных критериев устойчивости решений уравнения Хилла (1) не решает задачу устойчивости решений уравнения Хилла для функции /(/) = sin/.

Замечание. Решения уравнения Хилла (1) неустойчивы не только для функции / (/) = sin/, но и для множества периодических функций fit) пе-

риода Т = 2ж, принимающих значения в п р е д1й и таких, что

Во второй главе исследовано поведение решений уравнения Хилла с параметром

и установлено, что

1) если I принадлежит отрезку [4,377;4,9377], то решения уравнения у + 12у$т2л1 = 0 устойчивы;

2) если I принадлежит объединению интервалов (0;4,377) и (4,9377;+оо), то решения данного уравнения неустойчивы.

Замечание. Эти условия справедливы и для Г-периодических функций, для которых Г = 1, —1гй /(?) <12, д0=0, &1= .

В рассмотренных примерах другие известные нам критерии не работают.

В третьей главе - «Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью оценки константы Ляпунова» - получена оценка константы Ляпунова, вычисленной на основе пяти характеристик функции /(/): а,Ь,Т,в0,в}, с помощью значений константы Ляпунова, определенных при четырех параметрах функции

В этой главе доказаны следующие теоремы.

Теорема 2. Если в J-задаче параметры функции /(() удовлетворяют неравенству

то константа Ляпунова J, вычисленная на основе характеристик а, Ь, Т, удовлетворяет следу ющимусловиям:

где

а I — значение константы Ляпунова, определенное при параметрах а, Ь, Т,в0, по формуле

Теорема 4. Если в 1-задаче параметры функции /{() удовлетворяют неравенству

то константа Ляпунова I, вычисленная на основе характеристик а,Ь,Т,в0,в}, удовлетворяет следующим условиям:

где

а I - значение константы Ляпунова, определенное при параметрах по формуле

а„ = со%4а%со&4ьТ2+ ^Хтт/а^втл/ЬТ2,

в которой I

1 (Ь-а)п' 2 (Ь-а)п

Заключение

В настоящей диссертации получены условия, при которых пределы 3, константы Ляпунова удовлетворяют соотношениям

7>1 или 7<-1 или -1<У<7<1.

Тогда, на основании теории Флоке, однозначно решатся задача устойчивости решений уравнения Хилла (1). Если же окажется, что

-1 е 7] или 1 е [/, 7],

то исследование может быть продолжено по использованной в данной работе схеме с добавлением еще одной характеристики функции /(г). В качестве шестой характеристики можно взять, например, величину

Т I

в2 = \с1г\Ж{)тс1г.

о о

В результате решения соответствующей задачи оптимизации будут найдены наибольшее 3 и наименьшее I значения константы Ляпунова изучаемого уравнения Хилла. Если полученные пределы окажутся такими, что возможное значение константы Ляпунова будет принадлежать интервалам то все решения исследуемого уравнения Хилла будут неограниченными. А если окажется, что возможное значение константы Ляпунова принадлежит интервалу (-1;1), то - ограниченными. В остальных

случаях - исследование может быть опять продолжено по приведенной схеме.

В тех случаях, когда на основе четырех характеристик функции /(/):

не удается решить задачу устойчивости решений уравнения Хилла (1), в качестве дополнительной характеристики, как показали результаты второй главы диссертации, следует взять повторный интеграл

В частности, исследование задачи устойчивости решений уравнения (1) при / (/) = sinf с помощью принципа биоптимальнсти на основе четырех характеристик функции /(/): а,Ь,Т,90, привело к критическому случаю, т.е.

Введение новой характеристики функции /(/) позволило сузить интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова, что дало возможность однозначно решить задачу устойчивости решений уравнения (1) при () = smt.

В том случае, когда интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова для некоторого коэффициента () уравнения (1), определенное при пяти параметрах функции содержит -1

или 1, то следует ввести новую характеристику функции /(I). В качестве дополнительной характеристики, как показали результаты второй главы, целесообразно взять интеграл

На п -и шаге следует рассматривать следующие характеристики функции /(/):

На каждом шаге интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова изучаемого уравнения (1), будет сужаться. Если значение константы Ляпунова отлично от -1 или 1, то на каком-то шаге по теореме Флоке можно будет решить вопрос устойчивости решений рассматриваемого уравнения Хилла (1).

Практически предлагается алгоритм исследования задачи устойчивости решений уравнения (1) для любой функции /(/). Предлагаемый алгоритм изучения вопроса устойчивости решений уравнения Хилла (1), как нам представляется, является более эффективным, чем все до сих пор известные. Он позволит на некотором шаге на основе выбранных характеристик функции f(t) однозначно решить задачу устойчивости решений любого уравнения Хилла.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору М.С. Сабурову, проректору по научной работе Чеченского госпединститута профессору Х.Г, Умарову, а также профессору Чеченского госуниверситета СМ. Умархаджиеву за добрые советы и помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тарамова Х.С. Исследование устойчивости уравнения Хилла / Научные труды математического факультета Mill У (юбилейный сборник 100 лет). -М.: Прометей, 2000. - С. 109 -112.

2. Тарамова Х.С. Уравнение Хилла и принцип оптимальности: Труды ГТНИ/ Отв. ред. И.А. Керимов. - Грозный: ГГНИ, 2004. - С. 76 - 81.

3. Тарамова Х.С. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла: Всероссийская науч.- практич. конф. - Грозный: ГГНИ, 2004. - С. 75 -79

4. Тарамова Х.С. Оценка константы Ляпунова // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования (юбилейный сборник 70 лет кафедре математического анализа Московского Педагогического Университета) - М: МПГУ, 2004. - С. 329 -333.

5. Тарамова Х.С. Исследование устойчивости уравнения Хилла: Сб. науч. тр. IX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». -Дубна, 2001. - Вып.9. - Т.2. - С. 398 -407.

Подписано в печать /иЧ IЬ/Зак. Тир. ¡СС П.л. ¡¡2Ь Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д. 13

N«. 4i

i . »es«« í*»*' 1

15 ИЮЛ 2005 • ьш*»* j

i*™} ✓

.s

Глава 1. Определения и теоремы теории устойчивости решений уравнения Хилла.

История вопроса.

Основные теоремы.

Основной результат диссертации. .14

Соотношение с другими результатами.19

Глава 2. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью принципа биоптимальности.22

Постановка задачи.22

Характеристические функции.28

Особые оптимальные управления.35

Вид оптимального управления.37

Нахождение константы Ляпунова.53

Критерий устойчивости и неустойчивости.54

Глава 3. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью оценки константы Ляпунова.60

Постановка проблемы.60

Нахождение вспомогательной функции S(n).63

Сравнение функций S(ri) и вх(п).68

Нахождение вспомогательной функции S*(n).72

Сравнение функций S*(n) и #,(/?).76

Критерий устойчивости и неустойчивости.81

Заключение.83

Обозначения.86

Библиографический список использованной литературы.88

Заключение

В данной работе исследована задача устойчивости решений уравнения Хилла

У + У№ = 0, f(t + T) = f(t), ДО е С(—оо;+<ю). (4.1)

В настоящее время существует более сотни различных теорем устойчивости решений уравнения Хилла (4.1), большинство из которых доказаны путем исследования зависимости значения константы Ляпунова от различных характеристик функции /(0.

В диссертации задача устойчивости решений уравнения Хилла (4.1) исследована с помощью принципа биоптимальности на основе пяти характеристик функции /(t): т т t

Ту a = inf /(/), Ь= sup /(/), 0О = \f(t)dt, в, = \dt\f{r)dT. ф,г] I I i

В результате проведенного исследования сузились те пределы значений константы Ляпунова, которые найдены на основе лишь четырех характеристик функции /(/): Т, а, Ъ, О0.

Ни один из известных критериев не решает вопрос устойчивости решений уравнения Хилла (4.1) при ДО=sin/ • Результаты данной работы позволяют ответить и на этот вопрос.

Получены условия, при которых пределы J, J константы Ляпунова удовлетворяют соотношениям

J> 1 или J<— 1 или -1<У <7<1.

Тогда, на основании теории Флоке, однозначно решатся задача устойчивости решений уравнения (4.1).

Если же окажется, что

-le[j, Jj или то исследование может быть продолжено по использованной в данной работе схеме с добавлением еще одной характеристики функции ДО- В качестве шестой характеристики можно взять, например, величину

62 = \dt\dtx)f(T)dT. ООО

В результате решения соответствующей задачи оптимизации будут найдены наибольшее J и наименьшее J значения константы Ляпунова изучаемого уравнения Хилла. Если полученные пределы окажутся такими, что возможное значение константы Ляпунова будет принадлежать интервалам (-oo,— l) или (l,+ oo) то все решения исследуемого уравнения Хилла будут неограниченными. А если окажется, что возможное значение константы Ляпунова принадлежит интервалу (-l;l), то — ограниченными. В остальных случаях — исследование может быть опять продолжено по приведенной схеме. В тех случаях, когда на основе четырех характеристик функции f it): т

Т, а = inf ДО, Ъ= sup ДО, 0„ = Г не удается решить задачу устойчивости решений уравнения Хилла (4.1), в качестве дополнительной характеристики, как показали результаты второй главы диссертации, следует взять повторный интеграл т t ex = \dt\fiv)dx. о о

В частности, исследование задачи устойчивости решений уравнения (4.1) при ДО = sin/ с помощью принципа биоптимальнсти на основе четырех характеристик функции ДО: а->Ь,Т,в0, привело к критическому случаю, т.е. — le jj, jj. Введение новой характеристики вх функции fit) позволило сузить интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова, что дало возможность однозначно решить задачу устойчивости решений уравнения (4.1)при ДО = sin/.

В том случае, когда интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова для некоторого коэффициента fit) уравнения (4.1), определенное при пяти параметрах функции fit): а,Ь,Т,в0, 0Х, содержит -1 или 1, то следует ввести новую характеристику функции fit). В качестве дополнительной характеристики, как показали результаты второй главы, целесообразно взять интеграл e2=T\dt)dtx)f{T)dT. ооо

На п -м шаге следует рассматривать следующие характеристики функции

ЛО:

Т, а= inf ДО, Ъ = sup fit), 0О = ]fit)dt, вх = )dt\fir)dx, i 0J s

T t tx T t h e2 = \dt\dtx ]fir)dr,en = \dt\dtnx.]fiv)dz .

0 0 0 0 0 0 v-.-'

Л+1

На каждом шаге интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова изучаемого уравнения (4.1), будет сужаться. Если значение константы Ляпунова отлично от —1 или 1, то на каком-то шаге по теореме Флоке можно будет решить вопрос устойчивости решений рассматриваемого уравнения Хилла (4.1).

Практически предлагается алгоритм исследования задачи устойчивости решений уравнения (4.1) для любой функции fit). Предлагаемый алгоритм изучения вопроса устойчивости решений уравнения Хилла (4.1), как нам представляется, является более эффективным, чем все до сих пор известные. Он позволит на некотором шаге на основе выбранных характеристик функции f (/) однозначно решить задачу устойчивости решений любого уравнения Хилла.

86

ОБОЗНАЧЕНИЯ

SpF(t) — след матрицы F(t); det[X(f)] — определитель матрицы X(t); J — константа Ляпунова; — периодический коэффициент уравнения Хилла; Т — период функции /(/); e = ±-)f(t)dt',

1 о

00 = jf(t)dt; о т t вх = \dt\f(T)dr; о о а= inf /(0; е[0,Г] b = sup /(0; fe[0,r] u(t) — управляющая функция класса Uf\ и,= Т u(t): inf u(t) = a, sup u(t) = b, \u(t)dt = 0Q, н0,п <е[0,г] i

T t dt ju(T)dr =6X, u(t + T) = u(t) о 0 n — число переключений управляющей функции; ■Z+ — 0, 1,2, 3,.; g(x) е С(-оо;+оо) — функция g(x) принадлежит пространству непрерывных в интервале (—оо;+оо) функций; g(x) е Cj (—оо;+оо) - функция g(x) принадлежит пространству непрерывно дифференцируемых в интервале (—оо;+оо) функций; 05 -вектор-столбец пятого порядка: (О О О О 0)'г; О* -вектор-строка пятого порядка: (0 0 0 0 0).

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. 432 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.-271 с.

3. Атанс М, Фалб И Л. Оптимальное управление. — М.: Машиностроение, 1968.-764 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 1998. — 574 с.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1971. — 223 с.

6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 2001.-376 с.

7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.-М.: 2003 г., 216 с.

8. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. — М.: Высшая школа, 2001.-239 с.

9. Болтянский В.Т. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969. 408 с.

10. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. — Минск: Изд-во БГУ, 1981.-350 с.11 .Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

11. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. — М.: Наука, 1975.-407 е.:

12. Гольдин A.M. Об одном критерии Ляпунова. ПММ, 15 (1951), с. 379 — 381.14уЦемидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Издательство МГУ, 1998. 480 с.

13. Крейн М.Г. Обобщение некоторых исследований A.M. Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами // ДАН СССР, 73 (1950), с.445 448.

14. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973.446 с.

15. КурошА.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. — 431 с.

16. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М. — Л.: Гостех-издат, 1950.-472 с.

17. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 533 с.

18. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1967. — 564 с.

19. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. I. — М.: Наука, 1990. — 528 с.

20. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. II. — М.: Наука, 1990.-543 с.2Ъ.Петровский КГ. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1984. — 295 с.

21. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.-331 с.

22. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976. — 392с.

23. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов // Понтрягин JI.C. Избранные научные труды. Дифференциальные уравнения. Теория операторов. Оптимальное управление. Дифференциальные игры. Т. 2. 1988. — 576 с.

24. Сабуров М.С. Оптимальные критерии ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Научные труды Mill У им. В.И. Ленина. М.: Прометей, 1994. С. 13 - 23.

25. Сабуров М.С. Особые управления в одной билинейной задаче оптимального управления // Научные труды Mill У им. В.И. Ленина. — М.: Прометей, 1995. С. 13-23.

26. Сабуров М.С. О теоремах существования в ряде задач оптимального управления // Межвузовский сборник научных трудов. « Математическая физика ». М.: Прометей, 1994. С. 148 - 157.

27. Сабуров М.С. Применение принципа максимума Понтрягина для исследования устойчивости уравнения Хилла: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1972.

28. Сабуров М.С. Принцип биоптимальности. — М.: Научный мир, 2003. — 327с.

29. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985.-447 с.

30. ЪЪ.Чезари А. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. Мир, 1964. — 477 с.

31. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1990. 176 с.

32. Якубович Г.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.-718 с.

33. Швердтфегер Г. The eigen value problem of Hill's equation. Journ. and Proc. of the Royal Soc. of New South. Wales, 1945, 71, p. 176 - 186.