Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Жукова, Анна Александровна

Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Жукова, Анна Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами»

Автореферат диссертации на тему "Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами"

На правах рукописи

Жукова Анна Александровна

КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ И ИХ УСТОЙЧИВОСТИ)

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

1 о ЛЕК 2009

кандидата физико-математических наук

Воронеж 2009

003487496

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Перов Анатолий Иванович

Официальные оппонеты доктор физико-математических наук,

профессор

Обуховский Валерий Владимирович

Защита состоится 22 декабря 2009 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 Воронежского государственного университета по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор

Курбатов Виталий Геннадиевич

Ведущая организация Московский государственный университет

335.

Автореферат разослан 2009

г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 д.ф.-м.н., профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Уравнение Хилла хорошо известно в теории колебаний. Возникшее при изучении движения Луны в астрономии, оно вызвало пристальное внимание со стороны математиков. Одним из важных и трудных вопросов в теории уравнения Хилла является вопрос об устойчивости, причем эта устойчивость, если она имеет место, носит характер двусторонней устойчивости по Ляпунову, что иными словами называется устойчивостью по Дирихле.

Устойчивость по Дирихле означает, что из малости решения и его производных в какой-то момент времени вытекает его малость на всей числовой прямой, а не только в положительном направлении, как в теории Ляпунова. Из устойчивости по Дирихле вытекает, конечно, устойчивость в смысле Ляпунова. Для изучаемых в диссертации канонических систем, к которым стандартным образом может быть приведено уравнени Хилла, верно и обратное.

Устойчивость в смысле Дирихле берет свое начало от теоремы Дирихле в аналитической механике, называемой также теоремой Лагранжа.

Уравнение Прюфера хорошо известно в теории уравнения Хилла. Но никто - по нашим сведениям - не обратил внимания на то, что его можно трактовать как дифференциальное уравнение на торе. Согласно теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе1 поведение решений в целом характеризуется числом вращения и некоторым гомеоморфным отображением окружности на себя. Отметим лишь,что по числу вращения можно судить не только об устойчивости уравнения Хилла (или канонической системы), но и указать номер области устойчивости или неустойчивости.

Еще больший интерес представляет нелинейное уравнение Хилла и ка-

1Перов А.И. К теории Пуанкаре-Данжуа многомерных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, И.Ю. Эгле // Дифференциальные уравнения, - 1972, - т.8, - № 5, - С.801-810.

ионическая система двух нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь возникает отображение Пуанкаре, которое позволяет привлекать для изучения устойчивости по Дирихле дискретные динамические системы. Эта теория связана с именами А. Пуанкаре, Д. Биркгофа и Э. Хопфа. Здесь представляет интерес не только получение условий существования и единственности периодического решения, но и вопросы устойчивости или неустойчивости получающихся периодических решений.

Целью работы при изучение уравнения Хилла и линейной канонической системы является определение связи между их устойчивостью с соответствующими свойствами уравнения Прюфера. Для нелинейного уравнения Хилла и нелинейной канонической системы целью является получение условий существования и единственности, а также обсуждение их устойчивости и неустойчивости.

Методика исследования. Используются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории динамических систем и систем с интегральным инвариантом.

При изучении отдельных вопросов применяются вариационные методы2, а также результаты теории дифференциальных уравнений с монотонными нелинейностями 3.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие:

1. Для изучения уравнения Хилла привлечена теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.

2. Для нелинейного уравнения Хилла указаны различные условия существования и единственности периодических решений, а также признаки их устойчивости и неустойчивости.

2Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. - Воронеж: изд-во ВГУ, 1981, - 196 с.

3Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников,А.И. Перов. — Минск: Наука и техника, 1986, - 200 с.

3. Для изучения линейных канонических систем с периодическими коэффициентами применяется теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.

4. Для нелинейных канонических систем приведены эффективные признаки существования и единственности периодических решений, а также обсуждается их устойчивость и неустойчивость.

Теоретическая и практическая значимость. Ценность работы теоретическая. Материал диссертации может быть использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля, на которых читается теория нелинейных колебаний.

Аппробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на региональной межвузовской научно - практической конференции "Из режима функционирования - в режим развития "(Воронеж, 2007), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна- 2008 (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Стратегии развития - инновационно-инвестиционную активность" (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Экономический кризис России: социально-экономический, правовой и гуманитарные аспекты"(Воронеж, 2009), на научном семинаре кафедры нелинейных колебаний под руководством профессора А.И. Перова (ВГУ, 2006-2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. Из совместных публикаций [1], [10], [11] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору. Работы [6], [9] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, заключения и списка литературы, включающего 51 наименование. Общий объем работы 106 страниц.

Краткое содержание работы

Нумерация приводимых ниже формул и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования.

В первой главе рассматривается уравнение Хилла

x+p(t)x = 0, (1.1)

где p{t) - из-периодическая функция, суммируемая на отрезке [0, из\. После перехода в уравнении (1.1) от декартовых координат к полярным, получается нелинейное уравнение для полярного угла

в = cos2(9)+p(t)sin2(0) ЕЕ f(t,6), (1.9)

которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение на торе. Уравнение (1.9) назовем уравнением Прюфера для уравнения (1.1). Согласно теории Пуанкаре-Данжуа поведение решений полностью характеризуется числом вращения р и некоторым сохраняющим ориентацию го-меоморфным отображением Н окружности £ на себя. Число вращения р дифференциального уравнения (1.9) определяется следующим образом

р-- lim -^—i-(1.15)

7Г 0<|i-s|-*+oo t — S

Гомеоморфизм Я описывается функцией ст(г?) = 0(ш, тЗ), где 6(t, т9) - решение уравнения Прюфера с начальным условием 6(0) = t). Приведем основные теоремы.

Теорема 1.2 Если мультипликаторы уравнения Хилла вещественные, то число вращения есть целое неотрицательное число,

р = п, п = 0,1,2,..., (1.22)

причем если мультипликаторы различные, то уравнение Хилла сильно неустойчиво и принадлежит п - й области неустойчивости.

Наоборот, если число вращения есть целое неотрицательное число, т.е. имеет место (1.22), то мультипликаторы уравнения Хилла вещественные и, если они различные, то уравнение Хилла сильно неустойчивое и принадлежит п-й области неустойчивости.

Теорема 1.4 Если мультипликаторы уравнения Хилла невещественные, то число вращения отличается от целого неотрицательного числа, т.е.

рфп, п = 0,1,2,..., (1.24)

и либо

р- рациональное число, . .

р = п/тп, где т > 1 и п > 0 взаимно простые; в этом случае т -я степень гомеоморфизма Н имеет неподвижные точки:

Hmz = z при некотором гбС. (1-26)

(периодический случай), либо

р - иррациональное число; (1-27)

в этом случае никакая степень гомеоморфизма Н не имеет неподвижных точек

Hmz ф z при z е £ и тп = 1,2,... (1.28)

и имеет место эргодический случай.

Так как мультипликаторы уравнения Хилла невещественные, то уравнение Хилла сильно устойчивое, причем оно принадлежит п-й области устойчивости, где п есть целая часть числа вращения р.

Пункт 1.4 посвящен устойчивым числам вращения, открытым В.А. Плиссом 4. Рассматривается возмущенное уравнение

0 = /(М) + Д/М) = /М), (1.30)

4Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плис. - Москва - Линенград: Наука, 1964. - 368 с.

где Д/(4,0) удовлетворяет ограничениям такого же типа, как и {(1, в), и

|Д/(«,6>)|<Дт(<), (1.31)

|Д/М) - Д/М)| < Д/(*)|0- <?|, (1-32)

Дто(4), Д/(£) - -периодические, суммируемые на отрезке [О,«] функции.

Число вращения р дифференциального уравнения (1.9) называется устойчивым, если можно указать такие е > 0, что число вращения возмущенного уравнения (1.30) не меняется при условии, что

Дт(«)Л < г. (1.34)

/о

Доказывается, что число вращения дифференциального уравнения (1.9) является устойчивым тогда и только тогда, когда оно является целым неотрицательным числом, а вещественные мультипликаторы уравнения Хилла являются различными.

В пункте 1.6 приведена формула, связывающая мультипликаторы ¡л± уравнения Хилла с нецелым числом вращения р для уравнения (1.9):

ц± = (1.38)

Вторая глава посвящена изучению нелинейного дифференциального уравнения второго порядка следующего вида

£ + /(«, г) = 0, (2.1)

где х) непрерывна по совокупности переменных и + = /(£, х).

Проблема существования и единственности а;-периодического решения уравнения (2.1), а также его неустойчивости, изучается с общей точки зрения - для произвольных систем вида:

= г = 1,..., п; х = Г(£,х), (2.5)

где £(4, х) : I х 1° -»К непрерывна по совокупности переменных и

£(г+ш,х) = г(г,х). (2.6)

Предполагается, что выполнено условие Липшица

||f(i,x)-f(t,y)||</||x-y||, (2.7) где I есть некоторая положительная постоянная. Кроме того

(f(t, х) - f(t, у), W(® - у)) > е||х - у||2, (2.8)

где W есть некоторая симметрическая матрица.

Теорема 2.2 Пусть функции fi(t,xi,...,xn), г = 1,2,... , удовлетворяют условиям (2.6), (2.7) и (2.8). Пусть матрица W является индефинитной.

Тогда система нелинейных дифференциальных уравнений (2.5) имеет единственное и-периодическое решение и это решение неустойчиво по Ляпунову.

Этот результат переносится на нелинейное уравнение (2.1), причем основное условие принимает в этом случае вид:

(f(t, х) - f(t, у))(х -у)< -ф - у\\ (2.21)

Пункт 2.2 посвящен устойчивости по Дирихле.

Теорема 2.4 Пусть функция f{t,x) в уравнении (2.1) непрерывна по совокупности переменных, периодична по t с периодом ы > 0, и удовлетворяет условию Липшица по х. Пусть кроме того при некотором целом неотрицательном числе п выполнены следующие ограничения

fnn + E+

где е+ и - некоторые положительные числа.

Тогда нелинейное уравнение Хилла (2.1) имеет единственное и -периодическое решение. Это решение устойчиво по Дирихле в первом приближении.

Третья глава посвящена изучению систем двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

< /(*,»)-/(*,У) < ((п+1)*-Е->|^ ^ (227)

х-у

В пукте 3.1 рассматривается каноническое уравнение с постоянным гамильтонианом

Л = Нг, = ( ° ~1 I , (3.1)

V1 0 )

Н* = Н. (3.2)

Приводится уточнение таблицы 5 областей устойчивости для постоянных гамильтонианов, трактуемых как о;-периодические.

В пунктах 3.2-3.4 изучается каноническое уравнение с ш-периодическим гамильтонианом

Л = Н(4)г, (3.13)

где Н(£)* = Н(г) и Н(<;) есть и-периодическая матричная функция, суммируемая на отрезке [0,а>]. Приведены эффективные критерии сильной устойчивости и сильной неустойчивости уравнения (3.13), которые позволяют определить номер области устойчивости и неустойчивости соответственно. Пусть

с1еШ(£)<0 (3.35),

а А±(£) - различные собственные значения матрицы Н({). Обозначим через 5(£) матрицу, столбцы которой - собственные векторы матрицы Я(()

этвЦ) -сов*(*)

СОвв^) 8Ш0(<)

Тогда

Н(«)$(*) = 5(4) ( Л+о(0 Д |. (3.42)

Пусть кроме того

А+(£) > в(1) > А_(*), (3.46)

5Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. — М.: Наука, 1972.— 720 с.

и существует такая постоянная а > 0, что

(Х+(1)-в(тв(1)-\41))>а2.

(3.47)

Теорема 3.1 Пусть выполнено условие (3.35). Тогда однозначно определяются собственные значения А+(4) и Л_(£) матрицы Н(£) (измеримые и суммируемые на отрезке [0, и>] функции). Пусть можно указать такую абсолютно непрерывную функцию 0(4), что имеет место формула (3.42), где ортогональная матрица построена по формуле (3.41).

Тогда исходная каноническая система (3.13) сильно неустойчива. Мультипликаторы и этой канонической системы - вещественные положительные и различные, причем имеют место оценки

где число а взято из формулы (3.47).

Теорема 3.2 (достаточные условия устойчивости по Дирихле)

Пусть для изучаемого гамильтониана удалось подобрать такие гамильтонианы А{Ь) и В(Ь), что справедливы двусторонние ограничения

(неравенства понимаются в смысле квадратичных форм). Предположим, что можно указать такое целое число п (положительное, отрицательное или равное нулю), что имеют место неравенства

причем если п = р{А(Ь)}, то п < р{Н(4)}; аналогично, если р{В(Ь)} = п + 1,то /?{Н(4)} < п + 1.

Тогда гамильтониан Н(£) сильно устойчив и принадлежит п -й области устойчивости Оп (число п взято из (3.50) Пункты 3.5 - 3.10 посвящены системе вида

(3.48)

л(г) < н(«) < ВЦ)

(3.49)

п<р{А(*)}, р{ВЦ)}<п +1,

(3.50)

— = ¡121{г)х + /г22 (*)у,

(3.59)

-т: = - Г112Ц)у,

в которой коэффициенты hij(t) - вещественные ш-периодические функции, суммируемые на отрезке [0, со], и выполнено условие

ГШ ГШ

/ hn(t)dt= / h2i(t)dt. (3.60)

Jo J о

После перехода в системе к полярным координатам, получается дифференциальное уравнение на торе:

0 = hu(t) sin2 в + [Mi) + Мг)1 sin 9 COS в + h22(t) cos2 в = f(t, в), (3.73)

Получены следующие основные результаты.

Теорема 3.4 Число вращения р является целым числом, т.е.

р — fi, (3.100)

тогда и только тогда, когда мультипликаторы системы (3.59) вещественные. Если мультипликаторы не только вещественные, но и различные, то система (3.59), будучи сильно неустойчивой, принадлежит п -й области неустойчивости.

Теорема 3.7 Число вращения р является нецелым числом, т.е.

рфп, (3.105)

тогда и только тогда, когда мультипликаторы системы (3.59) невещественные. При выполнении последнего условия система (3.59), будучи сильно устойчивой, принадлежит п-й области устойчивости, где п есть целая часть числа вращения р :

п=\р]. (3.106)

Далее, могут представиться две возможности: либо

р- рациональное число, р = —, (3.107)

где п и m - целые взаимно простые числа (и m ^ ±1 ); в этом случае m -я степень гомеоморфизма С имеет неподвижные точки, т. е.

Cmz = 2 при некотором z G <£, (3.108)

и имеет, место периодический случай; либо

р - иррациональное число; (3.109)

в этом случае никакая степень гомеоморфизма С (кроме нулевой ) не имеет неподвижных точек

Ст2 фгприге€, т ф 0, (3.110)

и всегда имеет место эргодический случай.

Четвертая глава посвящена нелинейным каноническим системам

■ _ ди{Ь,х,у) — ^

ди(1:х,у) '

У Эх

где и(Ь, х, у) - непрерывная по совокупности переменных функция, дважды непрерывно дифференцируемая по переменным хну.

Для отображения дгав, и{Ь,х,у) составим матрицу Якоби Я(£, х, у) по переменным х и у; ее определитель det Н^,х,у) будем называть гессианом. Пусть Л +(Ь,х,у) и А_(4, х, у) - собственные значения матрицы 7/(£, х, у). Мы предполагаем также, что элементы матрицы Гессе являются ограниченными. Пусть выполнено следующее детерминантное условие

¿еЬНЦ,х,у) <0. (4.8)

Пусть 5(4, х, у) есть ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные векторы е+(Ь,х,у) и е__х, у) матрицы х, у)

8{г,х,у)=(5Ш{*'Х>У) "«»^«.»Л (4.14)

\ сое в(Ь,х, у) бтв^,х,у) I

Матрица приводит матрицу Н^,х,у) к главным осям.

Определим производную функции 9^,х,у) в силу системы (4.1):

- дв(г,х,у) дв{1,х,у)ди{1,х,у) двЦ,х,у) ди(г,х,у) в&х,у)= т +—^--^---¥у--. (4.18)

Пусть выполнены следующие неравенства

А+(4, х, у) > 0(4, х, у) > А_(*, х, у), (4.19)

(Х+(г,х,у)~вЦ,х,у))(в(г,х,у) - А-(г,х,у)) > а2. (4.20)

Теорема 4.1 Пусть выполнено условие (4.8). Тогда однозначно определяются собственные значения А+(£,а:,у) и Л_(£, х, у) матрицы

х, у). Пусть угловая функция х, у) непреывно дифференцируема по всем переменным Ь, х и у и в(1,х,у) - ее производная в силу системы (4.1) (см. формулу (4.18)/ Пусть выполнено неравенство (4.19) и существует такая постоянная а > 0, что имеет место оценка (4.20).

Тогда нелинейная каноническая система (4.1) имеет единственное ы -периодическое решение и это решение неустойчиво по Ляпунову.

Доказательство теоремы основано на рассмотрении отображения Пуанкаре, к которому применяется теорема Адамара.

Следующая теорема, приведенная в пункте 4.2, представляет собой наиболее широкое обобщение на нелинейный случай известного критерия Жуковского для уравнения Хилла.

Теорема 4.2 Пусть для изучаемой матрицы Гессе удалось подобрать такие постоянные гамильтонианы А и В, что справедливы двусторонние ограничения

А<Н(г,х,у)<В (4.32)

(неравенства понимаются в смысле квадратичных форм). Пусть симметрические матрицы А и В являются положительно определенными и для некоторого целого числа п > 0 имеют место неравенства

< Л(<)<1е^ < (4-33)

Тогда нелинейная каноническая система (4.1) имеет единственное и)-периодическое решение = ?/(£)} и это решение устойчиво в смысле Дирихле в первом приближении.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Автор выражает огромную благодарность научному руководителю профессору Перову Анатолию Ивановичу за постановку задачи, полезные рекомендации и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Жукова A.A. Вынужденные колебания нелинейной следящей системы / A.A. Жукова , А.И. Перов, JI.A. Полякова. // Труды молодых ученых ВГУ, 2006, вып. 1-2. - Воронеж, 2006. - С.34-37.

2. Жукова A.A. Об условиях устойчивости по Ляпунову периодических решениях систем нелинейных дифференциальных уравнений типа Хилла / A.A. Жукова //Из режима функционирования - в режим развития, Материалы региональной межвузовской научно - практической конференции, Ч.2.- Воронеж,2007. - С. 11-14.

3. Жукова A.A. Устойчивость периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка типа Хилла / A.A. Жукова // Воронежская зимняя школа С.Г. Крейна, 2008: Тез. Докл. -Воронеж, 2008 - С. 56-57.

4. Жукова A.A. Число вращения как полная характеристика поведений решений канонической системы / A.A. Жукова // Стратегии развития - инновационно-инвестиционную активность, Материалы региональной межвузовской научно-практической конференции, ч.2. - Воронеж, 2008.-С. 28-31.

5. Жукова A.A. Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе / A.A. Жукова // Вестник ВГУ, серия Физика. Математика, №2, 2008. - Воронеж, 2008. - С.88-91.

6. Жукова A.A. Число вращения как полная характеристика устойчивости уравнения Хилла / A.A. Жукова // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия, №2(68), 2009. - Самара, 2009. - С. 26-33.

7. Жукова A.A. Некоторые условия существования единственного периодического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений; случай неустойчивости / A.A. Жукова // Вестник факультета ПММ - 2009, - вып. 7. - Воронеж, 2009, С.34-41.

8. Жукова A.A. Устойчивость по Дирихле линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / A.A. Жукова // Материалы региональной межвузовской научно-практической конференции (Воронеж, 27-29 апреля 2009 г.) Экономический кризис России: социально-экономический, правовой и гуманитарный аспекты. - Воронеж, 2009. - С.559-561.

9. Жукова A.A. Признаки существования, единственности и устойчивости периодических решений нелинейных канонических систем / A.A. Жукова // Известия Тульского государственного университета. Сер. Естественные науки. - 2009, - вып. 2. - Тула, 2009. - С. 32-37.

10. Жукова A.A. Об устойчивости в смысле Дирихле периодических решений канонических систем двух нелинейных дифференциальных уравнений: Препринт № 31 / A.A. Жукова, А.И. Перов. - Воронеж, Научно-исследовательский институт математики ВГУ, 2009. - 27 с.

11. Жукова A.A. Признаки неустойчивости периодических решений двумерных канонических систем с периодическими коэффициентами: Препринт № 32 / A.A. Жукова, А.И. Перов. - Воронеж, Научно-исследовательский институт математики ВГУ, 2009. - 56 с.

Работы [6] и [9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку

Подписано в печать 18.11.09. Формат 60*84 '/к. Усл. печ. л. 0.93 Тираж 80 экз. Заказ 1897

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

ВАК РФ.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Жукова, Анна Александровна

Введение

1 Уравнение Хилла и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе

1.1 Уравнение Хилла

1.2 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на торе.

1.3 Связь сильной устойчивости и сильной неустойчивости уравнения Хилла с числом вращения и гомеоморфизмом Пуанкаре для уравнения Прюфера.

1.4 Устойчивые по Плиссу числа вращения.

1.5 Уравнение Хилла с постоянными коэффициентами

1.6 Связь мультипликаторов с числом вращения.

1.7 Критерий устойчивости Жуковского.

1.8 Неоднородное уравнение Хилла.

2 Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

2.1 Признак существования и единственности неустойчивого периодического решения

2.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения

2.3 Нелинейное обобщение критерия Жуковского

2.4 Маятник с колеблющейся точкой подвеса.

3 Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре

Данжуа дифференциальных уравнений на торе

3.1 Каноническое уравнение с постоянным гамильтонианом

3.2 Каноническое уравнение с произвольным периодическим гамильтонианом

3.3 Достаточные условия неустойчивости.

3.4 Достаточные условия устойчивости по Дирихле.

3.5 Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

3.6 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на торе.

3.7 Вспомогательные леммы.

3.8 Вещественные мультипликаторы.

3.9 Невещественные мультипликаторы.

3.10 Устойчивые по Плиссу числа вращения.

3.11 Один пример линейной канонической системы.

4 Нелинейная каноническая система с периодическими коэффициентами

4.1 Признак существования и единственности неустойчивого периодического решения

4.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения

Введение диссертация по математике, на тему "Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами"

Уравнение Хилла [41] хорошо известно в теории колебаний. Возникшее при изучении движения Луны в астрономии, оно вызвало пристальное внимание со стороны математиков. Одним из важных и трудных вопросов в теории уравнения Хилла является вопрос об устойчивости, причем эта устойчивость, если она имеет место, носит характер двусторонней устойчивости по Ляпунову, что иными словами называется устойчивостью по Дирихле [7].

Уравнение Прюфера хорошо известно в теории уравнения Хилла. Но никто - по нашим сведениям - не обратил внимания на то, что его можно трактовать как дифференциальное уравнение на торе. Согласно теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе поведение решений в целом характеризуется числом вращения и некоторым гомеоморфным отображением окружности на себя. Отметим лишь,что по числу вращения можно судить не только об устойчивости уравнения Хилла (или канонической системы), но и указать номер области устойчивости или неустойчивости.

Еще больший интерес представляет нелинейное уравнение Хилла и каноническая система двух нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь возникает отображение Пуанкаре, которое позволяет привлекать для изучения устойчивости по Дирихле дискретные динамические системы. Эта теория связана с именами А. Пуанкаре, Д. Биркгофа и Э. Хопфа. Здесь представляет интерес не только получение условий существования и единственности периодического решения, но и вопросы устойчивости или неустойчивости получающихся периодических решений.

В работе используются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории динамических систем и систем с интегральным инвариантом.

При изучении отдельных вопросов применяются вариационные методы [28], а также результаты теории дифференциальных уравнений с монотонными нелинейностями [38].

Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие:

1. Для изучения уравнения Хилла привлечена теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.

Ценность работы теоретическая. Материал диссертации может быть использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля, на которых читается теория нелинейных колебаний.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на региональной межвузовской научно - практической конференции "Из режима функционирования - в режим развития "(Воронеж, 2007), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2008 (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Стратегии развития - инновационно-инвестиционную активность" (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Экономический кризис России: социально-экономический, правовой и гуманитарные аспекты" (Воронеж, 2009), на научном семинаре кафедры нелинейных колебаний под руководством профессора А.И. Перова (ВГУ, 2006-2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. Из совместных публикаций [32], [23], [24] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору. Работы [44], [45] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение

В диссертации впервые изучаются свойства сильной устойчивости и сильной неустойчивости линейного уравнения Хилла (линейной канонической системы) с позиции теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе. Приведенное исследование показывает, что дифференциальное уравнение на торе адекватно описывает многие важные свойства изучаемого уравнения Хилла (канонической системы), включая возможность по одному только числу вращения сказать сильно устойчиво уравнение или нет, и если оно устойчиво, то сказать, какой именно области устойчивости принадлежит соответствующий коэффициент p(t) (гамильтониан H(t)).

Получена формула, связывающая мультипликаторы уравнения Хилла с нецелым числом вращения для уравнения Прюфера.

Для нелинейного уравнения Хилла указаны различные условия существования и единственности периодических решений, а также признаки их устойчивости и неустойчивости.

Для нелинейных канонических систем приведены эффективные признаки существования и единственности периодических решений, а также обсуждается их устойчивость и неустойчивость.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Жукова, Анна Александровна, Воронеж

1. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. - М.: Физматиз, 1959, - 916 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1974, - 432 с.

3. Боровских А.В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.В. Боровских, А.И. Перов. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004, - 540 с.

4. Борисович Ю.Г. Введение в топологию / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близнеков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. М.: Высшая школа, 1980, - 296 с.

5. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве /Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970, -536 с.

6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967, - 472 с.

7. Дирихле Л. (Dirichlet L.) Uder die Stabilitat des Gleichgewichts / Л. Дирихле //J. reine angewandte Math., 1846, - № 32.

8. Жуковский H.E. Условия конечности интегралов уравнения d2y/dx2 +ру = 0 / H.E. Жуковский // Матем. сб., 1892, - 16, вып.З, - С.582-591.

9. Жужома Е.В. Топологическая классификация слоений, задаваемых одномерными формами Пфаффа на т-мерном торе /Е.В. Жужома // Дифференциальные уравнения, 1981, - т. 17, - JV2 8, - С.1385-1393.

10. Каудерер Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер. М.: ИЛ, 1961, -780 с.

11. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А.Коддингтон, Н. Левинсон. М.: Из-во ин.лит., 1958, -476 с.

12. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975, - 512 с.

13. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости / М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко. М.: Физ-матиз, 1963, - 248 с.

14. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Мир, 1966, -332 с.

15. Красносельский М.А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений /М.А. Красносельский, А.И. Перов // Доклады АН СССР, 1959, - т. 126, №1, - С. 15-18.

16. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967, - 464 с.

17. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. М.: Наука, 1978, -280 с.

18. Левитан Б.М. Почти-периодические функции / Б.М. Левитан. М.: ГИТТЛ, 1953, - 396 с.

19. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1949, - 552 с.

20. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков / И.И. Ольховский. М.: Наука, 1970, - 448 с.

21. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975 - 560 с.

22. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: изд-во ВГУ, 1981, - 196 с.

23. Перов А.И. Признаки неустойчивости периодических решений двумерных канонических систем с периодическими коэффициентами / А.И. Перов, А.А. Жукова. Воронеж, Научно-исследовательский институт математики ВГУ, Препринт № 31 (сентябрь 2009), - 27 с.

24. Перов А.И Об устойчивости в смысле Дирихле периодических решений канонических систем двух нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, А.А. Жукова. Воронеж, Научно-исследовательский институт математики ВГУ, Препринт № 32 (октябрь 2009), - 56 с.

25. Перов А.И. К теории Пуанкаре-Данжуа многомерных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, И.Ю. Эгле // Дифференциальные уравнения, 1972, - т.8, - № 5, - С.801-810.

26. Перов А.И. О вариационном подходе при исследовании периодических решений гамильтоновых систем / А.И. Перов, В.Л. Хацкевич

27. Теория операторов в функциональных пространствах, Воронеж, 1983, - С. 72-79.

28. Перов А.И., Классы регулярности билинейных форм и нелинейных эллиптических граничных задач / А.И. Перов, B.JI. Хацкевич // Дифференциальные уравнения, 1988, - том 24, - №3, - С. 464-476.

29. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов //IX Межвузовская конференция по нелинейным колебаниям, Киев, - 1981, - т.2, Качественные методы в теории нелинейных колебаний. Киев, Наукова думка, - 1984, - С.310-315.

30. Перов А.И. Об одном обобщении критерия устойчивости Жуковского на нелинейный случай / А.И. Перов // Черноземный альманах научных исследований. Воронеж, - 2007, - №1(5), - С.12-24.

31. Перов А.И. Вариационный подход к задаче о периодических решениях / А.И. Перов, Т.И. Смагина, Т.И. Хацкевич // Сибирский математический журнал, 1984, - t.XXV, - № 1, С. - 106-119.

32. Перов А.И. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса: Методические указания по спецкурсу для студентов 4 курса дневного отделения / А.И. Перов, , И.Д. Коструб. Воронеж: из-во ВГУ, 2002, - 37 с.

33. Перов А.И. Вынужденные колебания нелинейной следящей системы / J1.A. Полякова , А.А. Жукова // Труды молодых ученых ВГУ, -2006, вып. 1-2, - С.34-37.

34. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисс. Москва - Линенград: Наука, 1964, - 368 с.

35. Понтрягин JI.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко.- М.: Наука, 1969, 384 с.

36. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том II / Дж. Сансоне. М.: Из-во ин. лит., 1954, - 416 с.

37. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов.- М.: Физматгиз, 1958, 468 с.

38. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.: изд-во ин. лит., 1962, - 352 с.

39. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников,А.И. Перов. Минск: Наука и техника, 1986, - 200 с.

40. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1970, - 608 с.

41. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970, - 720 с.

42. Hill G. Acte math, 1886, v.8, p.l.

43. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М.: Мир, 1964, 480 с.

44. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. М.: Наука, 1972, - 720 с.

45. Жукова А.А. Число вращения как полная характеристика устойчивости уравнения Хилла / А.А. Жукова // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия, №2(68), - 2009, - С. 26-33.

46. Жукова А.А. Признаки существования, единственности и устойчивости периодических решений нелинейных канонических систем / А.А. Жукова // Известия Тульского государственного университета. Сер. Естественные науки. 2009. - вып.2. - С. 32-37

47. Жукова А.А. Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе / А.А. Жукова // Вестник ВГУ, серия Физика. Математика, 2008, - №2, С.88-91.

48. Жукова А.А. Устойчивость периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка типа Хилла / А.А. Жукова // Воронежская зимняя школа С.Г. Крейна, 2008: Тез. Докл Воронеж, - 2008, — С. 56-57.

49. Жукова А.А. Некоторые условия существования единственного периодического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений; случай неустойчивости/ А.А. Жукова // Вестник факультета ПММ, 2009, - вып. 7, - С. 34-41.