Канонические интегралы динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

_ На правах рукописи

р Г Б ОД

1 5 ДЕК 1338

КАНОНИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ФАЗОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 1996

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете (ННГУ)

Научный руководитель - доктор физико-математических наук профессор М.В.Долов.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук профессор А.Д.Морозов.

- доктор физико-математических наук профессор В.Н.Щенпиков.

Ведущая организация - Волжская государственная академия водного транспорта.

Защита состоится " ^-В^Гй^Я 1996 года в "/3 час, на заседании диссертационного совета Д 063.77.07 в Нижегородском государственном университете по адресу: ГСП-20. 603600. г.Н.Новгород. пр.Гагарина. 23. корп.2. конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского университета.

Автореферат разослан 1996 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент

В.И.Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Теории динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством посвящены исследования, различных авторов. Основные идеи и методы принадлежат А.Пуанкаре. В отдельный класс такие системы были выделены А.А.Андроновым.

A.А.Виттом и С.Э.Хайкиным. Л.Н.Белюстина опубликовала обзор основных фактов качественной теории двумерных систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. Исследования систем на цилиндре содержатся в работах Е.А.Барбашина, Г.А.Леонова. И.М.Буркина. А.И.Шепелявого. А.Д.Морозова. М.В.Долова. Н.В. Родиче-вой. Г.И. Шиловой. М.И. Альмухамедова, Ю.С.Шакировой и др. Конкретные динамические системы второго и третьего порядков, описывающие тс или иные физические явления либо работу различных технических устройств (движение маятника, динамику полёта самолёта, системы угловой стабилизации, системы фазовой синхронизации и пр.). исследовались в работах Н.Н.Баутина. Е.А.Барбашина и В.А.Табуевой. Л.Н.Белюстиной.

B.Н.Белых. Н.П.Власова. Е.Н.Гершта, Н.А.Губарь. М.В.Капранова. В.Н.Кулешова. Г.М.Левченко. И.С. Шаровой. Г.И. Шиловой и других авторов.

В настоящей диссертации двумерные автономные динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством исследуются методам» теории первых интегралов.

Аппарат первых интегралов эффективно использовался для решения самых разнообразных задач теории дифференциальных уравнений в исследованиях A.M. Ляпунова. А. Пуанкаре. А. Дюлака. В.И. Зубова. К.С. Сибирского. В.А.Плисса. Н.Ф.Отрокова. М.В.Долова. М.Г.Худай-Веренова. В.Н.Горбузова. Т.А.Дружковой. А.М.Терентьева и др. При этом, как правило. не предполагалась периодичность правых частей по фазовой переменной. М.В.Доловым введены .в рассмотрение так называемые канониче-

ские интегралы, соответствующие периодическому движению, и квазиканонические интегралы и изучены влияния предельных множеств систем дифференциальных уравнений на существование таких интегралов и область их-аналитичности; показано, что одним из важных частных случаев канонических и квазиканонических интегралов являются интегралы Дарбу и интегралы типа Дарбу систем с полиномиальными правыми частями. Теория канонических и квазиканонических интегралов и систем с интегралами типа Дарбу позволила решить некоторые задачи качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений.

В отличие от произвольных систем аналитического класса системы, правые части которых периодические по одной из фазовых переменных, допускают замкнутые траектории и многоугольники траектории, охватывающие цилиндр. Для таких систем М.В.Доловым и Н.В.Родичевой сформулированы определения и теоремы существования канонических интегралов. соответствующих циклам второго рода, и квазиканонических интегралов. Актуальным является дальнейшее распространение теории канонических интегралов на случай; когда фазовым пространством динамической системы является цилиндр.

ЦЕЛЬЮ работы является построение теории канонических интегралов двумерных автономных аналитических систем дифференциальных уравнений, периодических по одной из фазовых переменных.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. При построении теории канонических интегралов и анализе конкретных классов систем, допускающих канонические интегралы, используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теория функциональных уравнений, теория аналитических функций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе содержатся следующие новые научные результаты.

Для систем аналитического класса, 2т1-периоднческих по фазовой переменной х. впервые введены понятия канонических интегралов, соответ-

ствуюших либо сепаратрисе, образующей петлю, охватывающую цилиндр, либо сепаратрисному контуру, включающему траекторию, являющуюся одновременно а- и со-сепаратрисой седла (х0,/0), и траекторию, являющуюся одновременно сепаратрисой сёдел и (х0 + 2п.у0). Доказаны теоремы существования канонических интегралов.

Для систем, правые части которых полиномы по у степени п с коэффициентами - тригонометрическими полиномами по х порядка не более /и. т.е. систем класса А^,. получена оценка сверху числа полуалгебраических частных интегралов.

Исследовано влияние предельных множеств на существование интегралов специального вида (интегралов типа Дарбу) и их структуру. Для систем класса А1Ш]. допускающих интегралы типа Дарбу, указаны аналитические выражения канонических интегралов: найдены необходимые и достаточные условия кратности: предельных циклов как первого, так и второго рода, а также фокуса с чисто мнимыми собственными значениями оператора линейной части. Изучены сингулярности интеграла в случае наличия у, системы состояния равновесия с комплексными корнями характеристического уравнения, а также достаточные условия отсутствия у системы из

класса АП1П интеграла типа Дарбу.

Указаны случаи одновременного рождения предельных циклов первого и второго рода из сепаратрисных контуров.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Работа является дальнейшим развитием теории канонических интегралов и в основном носит теоретический характер: её результаты позволяют для определённых классов систем делать выводы относительно существования предельных циклов, их кратности; особых предельных циклов: решать проблему различения центра и фокуса, а также могут быть использованы при исследовании конкретных динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством, имеющих как теоретическое, так и практическое зла-

чение. в частности, при решении вопросов существования периодических движений первого и второго рода, их кратности, а также при исследовании бифуркаций рождения предельных циклов.

АПРОБАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск. 1994.1996). "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа.1996). 11-ом Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Самара. 1993). 6-ой конференции математиков Белоруссии (Гродно. 1992). 3-й и 4-й конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород. 1993. 1996). научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского госуниверситета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание диссертации отражено в 12 печатных работах и тезисах докладов.

Личным вкладом диссертанта в совместные с М.В.Доловым работы являются формулировки и доказательства теорем, построение примеров. М.В.Долову принадлежат постановки задач, идеи доказательств основных теорем и общее руководство.

ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Основной текст диссертации состоит из введения, трёх разделов, списка литературы и содержит 123 страницы и 6 рисунков. Список литературы содержит 78 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы, приведён краткий обзор литературы, примыкающей к теме диссертации, и краткое изложение результатов.

Всюду в работе рассматриваются действительные системы дифференциальных уравнений

x = P(x.y). y = Q(x.y), (1)

где P(x,}),Q{x,y)- однозначные функции, аналитические в некоторой области D. В п. 1 первого раздела для таких систем, допускающих периодические движения, сформулированы основные понятия, используемые в дальнейшем.

Определение I (М.В.Долов. Дифференциальные уравнения. 1969, т.5. №11. с.2028.) Каноническим интегралом, соответствующим замкнутой траектории /| = j(x,j)L\- = <p|(/).j= v|/|(/)} периода Tj системы (1). будем называть действительное решение z-F(x,yJ[) уравнения

P(x,y)-z'x i-Q(x.y)-^ =0, (2)

такое, что

1) ветвь F0(x.y,l\) функции F(A',j;/j) регулярна хотя бы в одной точке

на // ;

2) последующая ветвь ^¡(л\ г:/]), получаюгцаяся из F0 после одного полного обхода по I, в направлении движения по I; при убывающих t. отличается от Fa{x.yJ\) постоянным множителем exphj. Здесь

П о

Системы вида (1). аналитические всюду на фазовой плоскости и 2л-периодические по х. наряду с периодическими движениями первого рода могут допускать периодические движения второго рода, т.е. решение

.х = ф2(0, ;' = ч/2(0, (/2)

такое, что найдётся конечное значение Т2 > 0. при котором для всех t справедливы равенства o2(t + Т) = ЧЬ(0 + 2я, y2(z + Т)= ЧМО-

Определен и еЗ (М.В.Долов, Н.В.Родичева. Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький. 1986. с.25.) Каноническим интегралом, соответствующим периодическому движению второго рода U. системы II). 2п-периодической по х. называется действительное решение z- F(x.y.U)

уравнения (2). аналитическое хотя бы в одной точке на 1: и такое, что F(x + 2л,y,l2) = F(x-.Р(_Л2). Здесь т-

& = i (^(Ф2(0,У2(0)+е;(Ф2(0.ч'2(0))л-

о

М.В.Доловым сформулированы и доказаны теоремы существования канонических интегралов, причём понятие канонического интеграла распространено на случай петли сепаратрисы, идущей из простого седла .-i(x0.j0) в то же седло. При этом предполагалось, что система (1) в точке А класса г. т.е. имеет в точке (x0,j0) простое седло, такое, что ^у(*о>.)Ь) + (?!-(*0'Л) = 0 > н аналитический в окрестности (x0-.>b) интеграл

Н(х.у)= v а,ш (.v--v„)"'(r-.)„)". (3)

т+п-2

где атп постоянные.

Для систем вида (I), аналитических в R2 и 2тх:-периодических по .v. возможно существование траектории /л* = {(x.^jx = ф2(0,.)'= Ч^С)}: стремящейся при /-»+со(-оо) к седлу (xq.Jo). а при /->-со(+оо) - к седлу (х0 +2tt.j0). Обозначим = ¿2*U{(x0,>b),(x0 + 2л,;■„)}.

Определение5. L, = L2*U{(x0,j0),(x0 + 2л,;'0)} будем называть особым циклом второго рода системы (I). 2к -периодической по х.

Обозначим S^Ln.c). где е>0 и сколь угодно мало, с-полуокрестность особого цикла L:, содержащуюся в области вращательных движений системы (1).

Определение 6. Особый цикл второго рода

L, = ¿2*U{(x0 j0),(x0 + 2л, Jo)} будем называть предельным, если существует

полуокрестность S il^.z). в которой нет траекторий системы (1). являющихся периодическими движениями второго рода.

Пусть без ограничения общности х0 = _у0 =0 и пусть система (I) клас-

са г в точке (0.0).

Определение?. Каноническим интегралом, соответствующим осооому циклу второго рода L2 = L2*U{(0.0),(27r.0)} системы (1). 2п -периодической по х, являющейся системой класса г в точке (0,0), назовём вещественное решение : = F(x.y.l^) уравнения (2). аналитическое в состоянии покоя

(0.0) и в S (Li.z) и такое, что F(x + 2n.y.Ln) = Fix.y.I^Jexpalh. где h2 = J

(/\'(ф2(г),чь(0) + Q[(fp2(t)'4l2(0))^t■ в случае, когда Ь:являет-

-x'

ся (о(аНепаратрисой седла (0.0).

На вопрос о существовании интеграла Fix.y.U) отвечает Т е о р е м а 4. Пусть система (1). 2л -периодическая по х. является системой класса г в точке (0.0) и имеет особый цикл второго рода

L, -- Z^'U{(0.0).(27t.0)}. Тогда:

-r'J-j

1) при /ь = { + существует капо-

—у

нический интеграл : = F(x.y.Li), при зтом F(x.y.L^) определена с точностью до постоянного множителя:

2) если ¡и = 0 и особый цикч L2 является предельным, то канонический интеграл : - F(x.y.L) Ф const отсутствует:

3) если Иг = 0 и все траектории системы (11, близкие к L^ и лежащие в области вращательных движений . суть циклы второго рода, то существует канонический интеграл :г = F(x,)"L±). причём F = у(Н). где v(//)- произвольная вещественная функция, голоморфная при Я =0. функция Ы имеет вид 13/ <х0 = уп=0).

М.В.Доловым исследовался вопрос существования канонического интеграла при наличии сепаратрисного контура типа лемнискаты. Для систем (1). 271-периодических по х . возможно одновременное существование петли

сепаратрисы, идущей из седла (х0, j0) в то же седло (х0./0). и сепаратрисы, идущей из седла (х0, j0) в седло (х0 + 2п,уй).

Пусть х0 = =0 и траектория L, = {(x,>')¡ х -<р,(0,У~ является

одновременно а(ш)- и «(а)-сепаратрисой седла (0.0); траектория Lo = {(x,j')j х = Ф:(0,У= ЧМО} - одновременно а(м)-сепаратрисой седла (0.0) и со(сс)-сепаратрисой седла (2л,0). Обозначим Ц \JL2 U{(0,0),(2n,0)} = L. В таком случае существует е-полуокрестность S~(L,,e). принадлежащая области колебательных движений системы, и е-полуокрестности S~(L2.e) и

S+(L.s) = S+(L(,s)U S+(L2.z) • принадлежащие области вращательных движений системы (1). где е > 0 и сколь угодно мало.

+СП

Обозначим Л.= J (/^(ф,,{t).y¡(/)) + <2'(фДО-/=1-1 В п.1.2

-со

вводится понятие канонического интеграла, соответствующего сепаратрис-ному контуру L. доказывается теорема его существования.

Определение 1. Каноническим интегралом, соответствующим сепаратрисному контуру L = ¡Л UL2 IJ{(0,0),(2л,0)} системы (1). 2к-периодической по х и являющейся системой класса г в точке (0.0). назовём вещественное решение z = F{x. y.L) уравнения (2). анаштическое в состоянии покоя (0,0) и в S'r(L.z) и такое. что F(x + 2л.y.L) - F(x.у + h2). где ст = 1(-1) в случае, когда яв-

ляется со(сс) - сепаратрисой седла (0,0).

Теорема 1. Пусть Р(х,у), Q(x,y) функции. 2п-периодические по х. система (!) класса г в точке (0,0) и имеет сепаратрисный контур L. Тогда:

1) при + lh ф 0 существует канонический интеграл z - F{x, у. L). причём F(x.y. L) определена с точностью до постоянного множителя:

2) если /)| +/¡i =0 и найдётся такая область S+(L,z). принадлежащая

области вращательных движений системы (/), что в S+(L,r,) нет циклов второго рода системы (1). то интеграл F(x.y.L) Ф const отсутствует:

3) если 1\ +/¡1=0 ив S4(L. с) все траектории системы (1) суть цикш второго рода, то существует канонический интеграл F(x.yL). причём F = v(#), где Н - с определяется при ,v0 = произвольная веще-

ственная функция, голоморфная при Н = О.

Во втором и третьем разделах изучаются системы дифференциальных уравнений (1). где Р и Q полиномы по у степени п, коэффициенты которых - тригонометрические полиномы по х порядка не выше т. т.е. системы класса Апш.

В п.2.1 показано, что если система (1) из Anin допускает конечное число з неприводимых частных интегралов Ф;(х,_)') = 0, класса Атп,> то

s < 2(ш + l)(n +1) + т -1. В п.2.2 рассматриваются системы (1) из Amn. допускающие первый интеграл

k Р; J ",

G(x.y) = ПФ/ (xj)exp(yx + П U;)) = с. (4)

/=i >.=1

где Ф; е Am^. j = \,2,...,k. ^ eAm)11) . >. = 1.2....,J, у, р j, ахеС, при этом коэффициенты тригонометрических полиномов, содержащихся в Ф;-. Ч'; . могут быть комплексными и такими, что между

Гехр(ул-) = г)ехр(ул-) (5)

/=1

и

U^UV^ixj) (6)

л = 1

нет функциональной зависимости при l/ф const. Предполагается, что Ф, и % неприводимы в классах Л „ Anunx соответственно.

Совокупность систем (1), допускающих первые интегралы (4). обозначим Afuil. В п.2.2 показывается, что если (1)еА^п.то otj....,a, целые, i.e.

(7)

Z(x.y)

где R.Z - полиномы по у, коэффициенты которых суть тригонометрические полиномы по ,х", при этом R и Z взаимно просты и. вообще говоря, приводимы: по аналитическому выражению (4) устанавливается степень вырождения предельных циклов как первого, так и второго рода и исследуется их аналитическая структура. Пусть

Ф/U.j) = P/U, У) + iQ;(x, у). ру = cij + ibj. где Р,{х,у), Qj{x,y) вещественные функции класса Ага^, cij.bj - действительные числа: / = {(х. у^х = ф(г)-У = ф(г)} - периодическое движение второго рода.

Теорема 7. Периодическое движение I второго рода системы (Г) из

А^т будет простым предельным циклом тогда и только тогда, когда:

!) вещественная класса Апщ функция s(x. у), с| -0. входите Г: 2/z(x. у)

содержится в U с неотрицательным показателем: 3) выполнено неравенство 4 тс Re у + Kt * 0. где

К, = -2 2 А,- Ап^я—-1-V - ,

М \ /5у(ф(/) + 2т1,ч)(0) " Я/(ф(О.Ч'(0),

Теорема 8. Периодическое движение I второго рода системы (I) из .-/,'/„, будет предельным циклом кратности более единицы тогда и только тогда, когда выполнено неравенство 4тг11еу + А', * 0 и с точностью до обозначений 4^=0 и а, <0, причём 4' может не входить в Г, и порядок кратности равен I -а1.

В п.2.2 для систем (1) из , имеющих грубый предельный цикл как первого, так и второго рода, доказано существование канонического интеграла и найдено его аналитическое выражение. Приводится пример

системы из А^щ, имеющей предельный цикл второго рода и интеграл вида (4) при ух + и = 0; указана бифуркация одновременного рождения предельных циклов первого и второго рода из сепаратрисных контуров.

В п.2.3 для систем из Ашп решён вопрос о числе частных интегралов, обращающихся в нуль в состоянии покоя (х0,.у0). При этом показано, что таких интегралов может быть не более двух, если (х0.;0) - простое

состояние равновесия, отличное от узла, для которого А. = —£(}"'", где

к 2

собственные числа матрицы линеаризованной системы.

В п.2.4 рассматривается система (1) из А„„. имеющая петлю сепаратрисы Ь, идущую из седла (,г0.у0) в то же седло (.г0. г0). либо в седло (л-0 +2я._)'0). и с помощью интеграла (4) исследуется топологическая структура траекторий системы в окрестности Ь.

Пусть траектория С ~^х.у)\ х = ф(г). = ^О} является одновременно

а(со)-сепаратрисой седла (0.0) и т(а)-сепаратрисой седла (2я,0) системы (1). и уравнение с(л:,>) = 0 задаст особый цикл второго рода

I-и{(0.0),(2л.0)}; 8-полуокрестность 5 особого цикла /_ содер-

жится в области вращательных движений системы.

Обозначим П(х.у) Ф, ( а, .1 )Ф:(л-. ;)■ • ■ Ф1:(х. г). Будем предполагать, что функция 2{х, у) та же, что и в (7).

ТеоремаЗ. Если система (!) из имеет особый цикл второго рода ¿ = £*и{(0,0),(2т:,0)}, то

а) при 2(0,0) ф 0. Г2(0,0) = 0м 4пЯеу *-К2. где

г ^ n ÍA t еЛф(о^тгмо) еДф(о.у(о)1

А, = -2У Imß ,• Arctg—-.--v-Arctg——--, .

-reo

величина lh = J (/^(<p(O;y(0) t Q[.(q(l),\i)(t)))dl-¿0 " найдётся

—CO

полуокрестность S~(L,8) кривой L, содержащаяся в области вращательных движений системы (1). такая, что в S (L.o) нет периодических движений второго рода системы (1); при 4тгRey = -К2 величина lh --0 и найдётся полуокрестность S~(L,5). в которой все траектории суть периодические движения второго рода:

б) при Z(0.0) = 0, Г2(0,0) * 0, особый цикл L является кривой класса

■'1т П/ ■ функция £(х,у) еАт/ П/ , е(х,.}')| - 0 и с точностью до обозначений

-i

совпадает с , функция U представима в

виде U= RW . где а, >0. Л(0.0)И'(0:0)^0 и h2=0; при этом найдётся полуокрестность S~(L.5). содержащаяся в области вращательных движений системы (1), такая, что в S~(L,8) нет циклов второго рода системы (1). если в соотношении (5) величины, у, ß¡ и полиномы Фj(x,y) = Pj(x,y) +iQj(x.y) таковы, что

4TiRey *-К2, иначе все траектории системы (1) в S~(L.ö) будут периодическими движениями второго рода.

В п.2.4 найдено аналитическое выражение канонического интеграла

F{x.y,L), соответствующего особому циклу ¿ = L*U{(0,0),(2ti.0)]. для которого величина h ^ 0.

В третьем разделе в предположении, что система (1) из Апш имеет в точке (0,0) состояние равновесия либо с комплексными, либо с действительными, одного знака корнями характеристического уравнения исследуются вопросы существования и сингулярности интегралов типа Дарбу. Для систем (1) с полиномиальными правыми частями эти вопросы изучены

М.В.Доловым. В п.3.1 для случая, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые, найдены необходимые и достаточные условия наличия фокуса кратности г и исследован случай грубого фокуса: при этом доказаны

Т е о р е м а 2. Пусть (0.0) - состояние равновесия системы (1) из Л,1,',, с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения. Тогда для того, чтобы система (1J имела в точке (0,0) фокус кратности г > 1, необходимо и достаточно, чтобы с точностью до обозначений Ч^ зф^ , причём а, <0 и

^(0,0)=^/ (0,0) = 47, (0,0) = 0; при этом Ret' =--- „

Г = Ф, (Ф,) " " Ф3' •••ФА , где функции U и Г те же. что ив (5) и (6). }\] £Лтп л = 1.2, И"|(0,0)И''2(0,0)*0, Ф3(0,0)-...ФА.(0,0)*0, ¿ц ie,| + i^|>0. i Ch + ifisj > 0.

Теорема 3. Пусть система (1) еЛ,?и. (0,0) - грубый фокус. X, = к2 корни характеристического уравнения, соответствующего (0.0). Тогда в некоторой окрестности точки (0,0) функция U(x.y) аналитическая, в соотношении (4) Ф,(0,0)=0. Ф, = й\, Ф,(0.())---Ф, (0.0) г 0 и либо + РЛ, =0. либо РД, =0; при этом Ф|. Фт могут содержаться в

L'fx.y) только с неотрицательными показателями степени.

Кроме того, в первом пункте третьего раздела для систем (1) из имеющих в точке (0,0) простое состояние равновесия типа фокус или центр и канонический интеграл, найдено аналитическое выражение последнего.

В п.3.2 предполагается, что система (1) из А^, имеет состояние равновесия типа узел, такое, что отношения корней характеристического уравнения - действительные числа, отличные от натурального. Доказаны

Теорем а2. Пусть система (1) е Ат„ и (0,0) - состояние равновесия, такое, что отношение корней характеристического уравнения Х2К]1 >0.

причём Л-Л/, .Я^-,1 .не являются целыми, и пусть частные интегралы

и(х.у) -0. ! {х. _}) = 0 таковы, что и(х, у), _)) аналитические функции,

и<£Лтл, v <гАт п[, «(0,0) = 1(0,0) = 0. ¡м'х.(0.0)1 + 1м;(0.0)1 >0.

Д(ии-)1

¡г;.(о,о)[ + (г;.(о,о) >0.

1 ' 1 0{х.у)

^0. Тогда (1) не может иметь интеграла

х=у=О

вида (4).

Теорем аЗ. Если система (1) из Атп имеет хотя бы один предельный цикл первого рода I и при этом в области, ограниченной кривой I. у (1) нет других состояний равновесия, кроме (0.0). такого, что отношение характеристических чисел /о'-Т' >0. причём . /.¡/.т' то (1) не

может иметь интеграла вида (4).

Приведён пример, показывающий, что при наличии у системы (1) дикритического узла возможно существование интеграла вида (4).

Автор глубоко признателен научному руководителю проф. М.В.Долову за существенную помощь и постоянную поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Долов М.В., Круглов Е.В. Интегралы типа Дарбу и периодические решения одного класса систем. // 6-я Конференция математиков Беларуси. Тезисы докладов. Часть 3-я. Гродно. 1992. с.32.

2. Долов М.В., Круглов Е.В. Интегралы типа Дарбу полуалгебраических динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. II Современный групповой анализ и задачи математического моделирования. 11-й Российский Коллоквиум. Тезисы докладов. Самара. 1993. с.39.

3. Долов М.В.. Круглов Е.В. О периодических решениях полуалгебраических динамических систем с интегралами типа Дарбу.// Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов 3-й конференции. Н.Новгород, 1993. с.75.

4. Долов М.В.. Круглов Е.В. Интегралы типа Дарбу полуалгебраических динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. -Нижегор.ун-т,- Н.Новгород. 1994,- 11с.-Деп. ВИНИТИ 01.07.94 №1638-В94.

5. Долов М.В., Круглов Е.В. Сингулярности интегралов типа Дарбу полуалгебраических дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения. Саранск, 1994. с.6.

6. Долов М.В.. Круглов Е.В. Сингулярности интегралов типа Дарб\ полуалгебраических дифференциальных уравнений. // Математическое моделирование. 1995. т.7.№5.с.31.

7. Долов М.В.. Круглов Е.В. Сингулярности интегралов типа Дарбу полуалгебраических систем. // Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, издательство Мордовского университета. 1995. с.23-31.

8. Долов М.В.. Круглов Е.В. О предельных циклах одного класса динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. // Дифференциальные уравнения. 1995. т.31. №5. с.752-758.

9. Долов М.В., Круглов Е.В. О числе полуалгебраических частных интегралов //Дифференциальные уравнения. 1995. т.31. №6. с. 949-954.

10. Долов М.В., Круглов Е.В. О предельных циклах второго рода полуалгебраических динамических систем. // Комплексный анализ.

дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Т.З. Дифференциальные уравнения. Уфа, Институт математики с ВЦ РАН. 1996.

11. Долов М.В., Круглов Е.В. Об одном классе систем с цилиндрическим фазовым пространством. // Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов 4-й конференции. Н.Новгород, 1996, с.56-57.

12. Долов М.В., Круглов Е.В. Особые циклы и канонические интегралы периодических систем. // Тезисы докладов второй Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск. 1996. с.8.

Подп. к печ. . Формат бумаги 60x90 1/16. Бумага газетная.

Печать офсетная. Объём 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ

Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия. Нижний Новгород, пр.Гагарина, 97.

Типография НГСХА. Нижний Новгород, нр.Гагарина, 97.