Интегрирующие множители динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

1 Однозначные интегрирующие множители

1.1. Свойства интегрирующих множителей вблизи замкнутых траекторий.

1.2. Интегрирующие множители и циклы второго рода.

1.3. Нормированные интегралы вблизи сепаратрисы простого седла

1.4. Об условиях отсутствия предельных циклов.

2 Многозначные интегрирующие множители и циклы на цилиндре

2.1. Канонический интегрирующий множитель.

2.2. Канонический интегрирующий множитель и циклы на цилиндре

3 Интегрирующие множители типа Дарбу полуалгебраических систем

3.1. Свойства интегрирующего множителя типа Дарбу.

3.2. Интегрирующие множители типа Дарбу и периодические движения на цилиндре

3.3. Полу алгебраические системы с интегрирующим множителем

Актуальность темы. Аппарат первых интегралов эффективно использовался для решения различных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы этого метода заложены в трудах А. Пуанкаре [64], A.M. Ляпунова [59], А. Дюлака [50], где исследовалась аналитическая структура первых интегралов U(x, у) — с вблизи состояний равновесия системы. В классической постановке задачи предполагается однозначность функций U(x,y) в рассматриваемой области. Однако существование асимптотически устойчивых состояний равновесия и асимптотически устойчивых орбит ведет к тому, что первый интеграл не является однозначной функцией на всем фазовом пространстве.

В частности, в работах [51], [52] K.JI. Зигелем показано, что в общем случае не существует всюду однозначных голоморфных интегралов. При некоторых ограничениях на нули и полюсы мероморфных функций в [74] доказан факт существования многозначных первых интегралов, аналитически продолжаемых почти на все (п+1)-мерное комплексное пространство к (n+1). При этом характер ветвления интегралов не исследуется, и не изучаются особые точки этих функций.

Н.Ф. Отроков рассмотрел нормированный первый интеграл двумерной автономной системы аналитического класса и изучил его свойства в окрестности периодического движения I [61]. При этом доказано, что характер ветвления нормированного интеграла при обходе по циклу I или любой замкнутой кривой индекса +1, лежащей в окрестности представляет собой функцию последования, то есть определяет преобразование монодро-мии. При этом рассмотрение ведется в некоторой окрестности цикла

При глобальном изучении многозначных первых интегралов М.В. Долов выделил классы так называемых канонических и квазиканонических первых интегралов двумерных аналитических систем. По определению такие интегралы при аналитическом продолжении вдоль замкнутой кривой, в общем случае не являющейся инвариантным множеством динамической системы, восстанавливаются с точностью до мультипликативной постоянной. В [22] найдены условия существования таких интегралов и установлена связь их свойств с топологической структурой фазовых кривых на плоскости. При этом значительное внимание уделялось двумерным системам с полиномиальными правыми частями. Доказано, что интегралы Дарбу [71] где многочлены по х, у; - константы, а также обобщенные интегралы Дарбу где функция I/ имеет вид (1), - многочлены вещественных переменных ж, 2/, коэффициенты которых, как и величины (3^, в общем случае комплексные, и такие, что между Г и II нет функциональной зависимости, являются частным случаем канонических и квазиканонических интегралов. С помощью этих результатов решена проблема Н.П. Еругина о существовании полиномиальных систем дифференциальных уравнений, имеющих одновременно особую точку центр в смысле Пуанкаре и предельные циклы. Построен контрпример к гипотезе К.С. Сибирского о всюду плотности множества систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями с интегралами Дарбу в .множестве полиномиальнх динамических систем с центром в смысле Пуанкаре, а также изучены некоторые вопросы

1) в(х, у) = Т(х, у) ехр и(х, у)

2) теории бифуркаций.

Во всех этих работах не предполагалось периодичности системы дифференциальных уравнений по одной из фазовых переменных. Однако решение некоторых физических задач, таких как исследование колебаний маятников, динамики электромеханических машин, подстройки частоты приводит к рассмотрению систем вида Фг{У1] ■ ■ ■ 1 Утт ■ ■ ■ 5 . . х- ^ ' ^ ■ • • > Утпч > • • • > ) где функции (г = 1,. . , га, ] — 1,.,п) периодические с периодом

Т — 2тг по координатам х^, ъ — 1,. , п. Конкретные динамические системы (3) второго и третьего порядков служат для решения задач радиотехники: описывают системы телевизионной синхронизации, фазовые системы радионавигации, системы автоматической подстройки частоты [7]. Такие системы изучались в работах [3], [5]-[10] .Спецификой систем вида (3) является наличие периодических движений второго рода и особых движений второго рода. Исследованию периодических движений второго рода посвящены также работы [11], [67] и другие.

В [44] изучение предельных циклов второго рода систем с цилиндрическим фазовым пространством осуществлялось методами канонических и квазиканонических интегралов. В [44] также выделен класс двумерных автономных динамических систем =Р(*,„), !=<?(*,„), (4) правые части которых Р жСЦ суть тригонометрические полиномы по у степени п, коэффициенты которых - вещественные тригонометрические полиномы по х порядка т. Такие системы называются полуалгебраическими или системами класса Атп. М.В. Доловьш>и Е.В. Кругловым в работах [27]-[29] по аналитическому виду интегралов Дарбу (1) и обобщенных интегралов Дарбу (2), где рде Фу б Атп , з — 1,2устанавлена степень вырождения предельных циклов первого и второго рода и исследована их аналитическая структура. Наряду с этим выделены случаи отсутствия у полуалгебраических дифференциальных систем интегралов Дарбу (1) и обобщенных интегралов Дарбу (2).

В настоящей работе показывается, что для таких систем функции вида (.1) и (2) могут быть интегрирующими множителями. Поэтому актуальным является изучение аналитической структуры динамически предельных множеств полуалгебраических систем по свойствам интегрирующих множителей типа Дарбу.

Подобная задача решалась в [16], [45]—[49], [62] для систем дифференциальных уравнений на плоскости. Для исследования динамических систем •различных классов метод интегрирующих множителей применялся в работах [12], [14], [65], [66], [69], [70], [76], [77]. В [13, с. 102] свойства интегрирующих множителей использовались при решении вопроса, имеет ли данное дифференциальное уравнение одну или несколько непрерывных групп преобразований. М.В. Доловым и Б.В. Лисиным в [30]—[34], [55]—[58] рассматривались, вообще говоря, многозначные интегрирующие множители. Заметим, что результаты этих исследований, касающиеся состояний равновесия системы и периодических движений первого рода применимы при изучении систем на фазовом цилиндре.

Продолжая исследования, начатые в [54], [55], настоящая работа посвящена изучению систем (4), периодических по одной из фазовых переменных и допускающих динамически предельные множества второго рода.

Целью работы является построение общей теории интегрирующих множителей вещественных двумерных автономных систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовь^м пространством; применение полученных результатов к проблеме существования предельных циклов и особых предельных циклов первого или второго рода исследование кратности предельных циклов первого или второго рода, а также состояний равновесия.

Методы исследования. При решении поставленных задач используются методы качественной и аналитической теорий обыкновенных дифференциальных уравнений [2], [50]; методы канонических и квазиканонических интегралов [22], [44], [54]; а также методы теории функции комплексных переменных [68].

Научная новизна. В настоящей работе методами теории интегрирующих множителей получены необходимые и достаточные условия: консервативности системы в окрестности периодического движения второго рода изолированности на фазовом цилиндре траектории I. Наряду с этим изучена степень вырождения предельных циклов второго рода в зависимости от свойств интегрирующего множителя.

Исследованы свойства нормированных интегралов в окрестности движений второго рода. С помощью аппарата нормированных интегралов установлено отсутствие предельных циклов второго рода и особых предельных циклов второго рода в виде сепаратрисы простого седла для систем с интегрирующим множителем специального вида.

Доказаны теоремы о топологической структуре траекторий вблизи интегральных контуров типа лемнискаты и улитки Паскаля, образованных сепаратрисами простого седла, а также контуров, образованных особыми циклами второго рода при наличии у системы аналитического интегрирующего множителя.

Изучена структура динамически предельных множеств полуалгебраических систем с интегрирующим множителем типа Дарбу.

Все основные теоремы иллюстрируются примерами.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит в основном теоретический характер. Полученные результаты позволяют делать выводы о существовании предельных циклов первого или второго рода динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством, их кратности; топологической структуре траекторий вблизи интегральных контуров, образованных сепаратрисами простых седел; а также по проблеме различения центра от фокуса.

Апробация и публикации. Результаты работы докладывались на международных математических конференциях: «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1998 г.), «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1999 г.), «Еругинские чтения VI» (Гомель, 1999 г.), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2000 г.), «8-ая математическая конференция Беларуси» (Минск, 2000 г.), «Дни динамики 2000» (Гилфорд, Великобритания 2000 г.), «Еругинские чтения VII» (Гродно, 2001 г.), международной конференции, посвященной 100 -летию со дня рождения A.A. Андронова «Успехи нелинейной науки» (Нижний Новгород 2001 г.), «Качественная теория дифференциальных уравнений и её приложения» (Рязань, 2001 г.), «3-ие научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию Ю.С. Богданова» (Минск, 2001 г.); семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, и опубликованы в [35] - [43], [60], [72], [75].

В опубликованных совместно с научным руководителем работах М.В. Долову принадлежат постановка задачи, формулировки основных результатов и общее руководство.

Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих 12 разделов, и списка литературы. Работа содержит 144 стра

1. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем, - Москва: «Наука», - 1966, - 568с.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, Москва: «Наука»,- 1967, 487с.

3. Андронов A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний, М.-Л.: ГРТТЛ, -1937, - 518с.

4. Атаманов П.С., Захаров В.П. Об одном способе конструирования дифференциального уравнения с заданным предельным циклом //В кн.: Актуальные проблемы геометрии и ее приложений, Чебоксары,- 1976, В. 2, - с. 107-114.

5. Барбашин Е.А. Условия существования рекуррентных траекторий в динамических системах с цилиндрическим фазовым пространством // Дифференциальные уравнения, 1967, - Т. III, - .№ 10. - с. 1627-1633.

6. Барбашин Е.А. Классификация траекторий динамических системах с цилиндрическим фазовым пространством // Дифференциальные уравнения, 1967, - Т. III,- № 12, - с. 2015-2020.

7. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством, Москва: «Наука», - 1969, - 300с.

8. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, Москва: «Наука»,- 1990, 488с.

9. Белюстина JI.H. О разбиении на траектории цилиндрической фазовой поверхности // Известия ВУЗов. Радиофизика, 1958, - Т. I, - № 2,- с. 118-130.

10. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифференциальные уравнения, 1973, -Т. IX, - № 3, - с. 403-415.

11. Буркина Л.И. О существовании предельных циклов второго рода фазовых систем, не имеющих состояний равновесия // Математические методы исследования систем, Твер. гос. ун-т, - Тверь, - 1991, -с. 112-114.

12. Горбузов В.Н., Тьдценко В.Ю. Частные интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Математический сборник,- 1992, Т.183, - №3, - с.76 -94.

13. Гурса Э. Курс математического анализа, М.-Л.: ГТТИ, - 1933, -Т.2. - 4.2, - 287с.

14. Долов М.В. Структура однозначного интегрирующего множителя в окрестности цикла // Дифференциальные уравнения, 1981, - Т. XVII,- № 8, с. 1490-1492.

15. Долов М.В. Канонический интеграл в окрестности фокуса // Дифференциальные уравнения, 1976, - Т. XII, - № 11, - с. 1946-1953.

16. Долов М.В. Интегрирующий множитель в окрестности узла // Дифференциальные уравнения, 1997, - Т. XXXIII, - № 2, - с. 158-160.

17. Долов М.В. Предельные циклы и алгебраические интегралы в случае центра // Дифференциальные уравнения, 1975, - Т. XI, - № 11, -с. 1935-1941.

18. Долов М.В. Предельные циклы и интегралы Дарбу в случае узла // Дифференциальные уравнения, 1977, - Т. XIII, - № 3, - с. 406-415.

19. Долов М.В. Интегралы Дарбу в случае фокуса // Дифференциальные уравнения, 1978, - Т. XIV, - № 7, - с. 1173-1178.

20. Долов М.В. О дифференциальных уравнениях, имеющих интеграл Дарбу // Дифференциальные уравнения, 1978, - Т.Х1У, - № 10, -с. 1765-1774.

21. Долов М.В. Квазиканонические интегралы и особые циклы // Дифференциальные и интегральные уравнения, Межвуз. сб, - Горький, ГГУ, - 1979, - с. 3-13.

22. Долов М.В. Канонические интегралы и предельные циклы // Диссертация на соискание учёной степени д.ф.м.н., Горький, - 1983, -294с.

23. Долов М.В. Об одном методе исследования предельных циклов // Дифференциальные уравнения, 1968, - Т. IV, - № 5, - с. 812-820.

24. Долов М.В. Квазиканонические интегралы // Дифференциальные уравнения, 1981, - Т. 17, - № 3, - с. 411-422.

25. Долов М.В. Об одном методе исследования предельных циклов // Дифференциальные уравнения, 1968, - Т. 4, - № 5, - с. 812-820.

26. Долов М.В., Алексеев А.А. Об отсутствии предельных циклов динамических систем с интегрирующим множителем специального вида // Дифференциальные уравнения, 1994, - Т. XXX, - № 6, - с. 947-954.

27. Долов М.В., Круглов Е.В. О предельных циклах одного класса динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством / / Дифференциальные уравнения, 1995, - Т. 31, - № 5, - с. 752-758.

28. Долов М.В., Лисин Б.В. Алгебраический интегрирующий множитель и предельные циклы // Дифференциальные и интегральные уравнения, Межвуз. сб., - Горький, - 1983, - с. 3-7.

29. Долов М.В., Лисин Б.В. Интегрирующий множитель и предельные циклы // Дифференциальные и интегральные уравнения, Межвуз. сб., - Горький, - 1984, - с. 36-41.

30. Долов М.В., Лисин Б.В. Интегрирующий множитель и предельные циклы алгебраических дифференциальных уравнений // УМН, №5,- 1985, с. 186.

31. Долов М.В., Лисин Б.В. О предельных циклах алгебраических диф-фернциальных уравнений с интегрирующим множителем типа Дарбу // Дифференциальные и ^интегральные уравнения, Межвуз. сб., -Горький, - 1985, - с. 118-119.

32. Долов М.В., Лисин Б.В. Канонический интегрирующий множитель // Дифференциальные и интегральные уравнения, Межвуз. сб., -Горький, - 1986, - с. 44-45.

33. Долов М.В., Мулько А.Н. Интегрирующий множитель динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством // Математическое моделирование, 1998, - Т. XX, - № 12, - с. 10.

34. Долов М.В., Мулько А.Н. О предельных циклах аналитических динамических систем с частным интегралом // Известия РА ЕЯ. Математика, Рязань, - 2001, - 5, - с. 54-56.

35. Долов М.В., Мулько А.Н. Однозначный интегрирующий множитель и предельные циклы // Нижегор. ун-т., Нижний Новгород. Деп в ВИНИТИ 29.08.2001, № 790 - В 2001.

36. Долов М.В., Мулько А.Н. Интегрирующие множители типа Дарбу и предельные циклы полуалгебраических систем // Среднееолжский математический сборник, 2002, - Т. 3-4, - №1, - с. 223-233.

37. Долов М.В., Мулько А.Н. Интегрирующие множители типа Дарбу и предельные циклы второго рода полу алгебраических систем // Тезисы докладов международной математической конференции «Еру-гинские чтения VI», Гомель, - 1999, - с.62-63.

38. Долов М.В., Мулько А.Н. Об алгебраических предельных циклах полиномиальных векторных полей // Тезисы докладов 8-ой математической конференции Беларуси, Минск, - 2000, - ч.1, - с. 109.

39. Долов М.В., Мулько А.Н. Однозначные интегрирующие множители и предельные циклы // Тезисы докладов международной математической конференции «Еругинские чтения VII», Гродно, - 2001, -с.60-61.

40. Долов М.В., Мулько А.Н. О предельных циклах одного класса двумерных динамических систем // «3-ие научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию Ю.С. Богданова». Тезисы докладов, Минск, - 2001, - с. 51-52.

41. Долов М.В., Родичева Н.В. Канонические интегралы динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством // Дифференциальные и интегральные уравнения, Межвуз. сб., - Горький, - 1986,- с. 24-28.

42. Долов М.В., Чистякова С.А. О структуре общего решения и интегрирующего множителя в окрестности простой особой точки // Дифференциальные уравнения, 2001, - Т. ХХХПУ, - № 5, - с. 710-713.

43. Долов М.В., Чистякова С.А. Об алгебраических дифференциальных уравнениях с интегрирующим множителем типа Дарбу // Известия АН РМ. Математика, 1993, - № 1(11), - с. 96-106.

44. Долов М.В., Чистякова С.А. Уравнения с интегрирующим множителем типа Дарбу // Дифференциальные уравнения, 1997, - Т. XXX,- № 5, с. 618-622.

45. Долов М.В., Чистякова С.А. Предельные циклы и интегрирующий множитель // Деп. в ВИНИТИ, 10.09.1996, - № 2790 - В96.

46. Долов М.В., Чистякова С.А. О предельных циклах одного класса систем с интегрирующим множителем типа Дарбу // Тезисы докл. межд. конф. «Диференцгальнъ та гнтегральнг р1вняння», Одесса, -2000, - с.86.

47. Дюлак Г. О предельных циклах, Москва: «Наука», - 1980, - 157с.

48. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике, Москва: ИЛ, - 1959, -300с.

49. Зигель К.Л. Об интегралах канонических систем // Математика, -1961, 5, - 2, - с. 103-117.

50. Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики, фундаментальные направления. Д.В. Аносов, С.Х. Арансон, В.И. Арнольд, И.У. Бронштейн, В.З. Гринес, Ю.С. Ильяшенко, М.: ВИНИТИ, - 1985, - Т. I, - 243 с.

51. Круглов Е.В. Канонические интегралы динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством // Диссертация на соискание учёной степени к.ф.м.н, Нижний Новгород, - 1996, - 123с.

52. Лисин Б.В. Канонический интегрирующий множитель и предельные циклы // Диссертация на соискание учёной степени к.ф.м.н, Нижний Новгород, - 1997, - 116с.

53. Лисин Б.В. Структура решений квадратичных дифференциальных уравнений с интегрирующим множитлем типа Дарбу// Дифференциальные и интегральные уравнения, Межвуз. сб., - Горький, - 1985, - с. 41-46.

54. Лисин Б.В. О существовании интегрирующих множителей типа Дарбу у квадратичных дифференциальных уравнений с алгебраическими интегралами второй степени // Нижегор. ун т., Нижний Новгород,- Деп в ВИНИТИ, 1997.

55. Лисин Б.В. Интегрирующий множитель и предельные циклы дробно-кубических дифференциальных уравнений // Нижегор. ун т., Нижний Новгород, - Деп в ВИНИТИ, - 1997.

56. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // В кн.: A.M. Ляпунов. Собрание сочинений, M.-JL: Изд-во АН СССР, - 1956,- Т.2, с. 5-263.

57. Мулько А.Н. Интегрирующие множители и особые циклы на цилиндре // Известия ВУЗов. Математика, Казань, - (в печати).

58. Отроков Н.Ф. Аналитические интегралы и предельные циклы, -Горький: Волго-Вятские кн. изд-во, 1972, - 215с.

59. Пикус Д.Л. Интегрирующий множитель и предельные циклы // В кн.: Вопросы теории и методики преподавания физико- математических наук, Чебоксары, - 1972, - с. 3-9.

60. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений, Москва: «Наука», - 1977, - 304с.

61. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, М.-Л.: ГИТТЛ, - 1947, - 392с.

62. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, Изд. 6-е, - Москва: ГИТТЛ, - 1952, - 466с.

63. Чистяков С.Ф. Интегрирующий множитель и замкнутые траектории // Автореферат на соискание ученой степени к.ф.м.н., Ленинград, - 1983, - 13с.

64. Шилова Г.М. О разбиении кратных предельных циклов второго рода // Волжский мат. сб., Казань, - 1973, - T. XVI, - с. 314-322.

65. Фукс Б. А. Введение .в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, Москва, - 1962, - 420с.

66. Anco S.C., Blumen G. Integrating factors and first integrals of ordinary differential equations // Eur. J. Appl. Math, 1998, - 9, - c. 245-249.

67. Anco S.C., Blumen G. Erratum: Integrating factors and first integrals of ordinary differential equations // Eur. J. Appl. Math, 1999, - 10(2), -c. 223.

68. Darboux G. Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré // Bull. des. Sc. math., 1878, -(2), -2, - c. 60-96, 123-144, 151-200.

69. Dolov M, Moulcot A. On algebraic limit cycles of polynomial two-dimensional dynamical systems / / Book of abstracts of conference Dynamical Days 2000, Guildford, UK, - 2000, - c.71-72.

70. Dulac H. Recherches sur les points singuliers des équations différentielles // J. Ec. polyt., Paris - 1904, - s.2, - c. 9.

71. Kaplan W. Analytic first integrals of ordinary differential equations // Comment. Math. Nelv., 1972, - 47, - №2, - c. 205-212.

72. Moulcot A. Integrating factors and limit cycles of dynamical systems with the cylindrical phase space //In Proc. International conference dedicatedto the 100th Anniversary of A.A. Andronov, Nizhny Novgorod, - 2001, - (в печати).

73. Stallworth D.T., Roush F.W. On polynomial integrating factors for first order ordinary differential equations // Pure Math, and Appl. В., -1991(1992), 2, - №4, - с. 199-201.

74. Van Horssen W.T. On integrating factors for ordinary differential equations // Nieuw arch, wish., 1997, - 15(1-2), - c. 15-26.