Исследование предельных циклов двумерных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава первая. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ЦИКЛАМИ

§1.1. Замечания общего характера.

§1.2. Случай контактной кривой, ветвями которой являются кривые второго порядка.

§1.3. Случай контактной кривой, ветвями которой являются кривые третьего порядка.

§ 1.4. Случай контактной кривой, ветвями которой являются кривые четвертого порядка.

Глава вторая. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНТЕГРИРУЮЩИЙ

МНОЖИТЕЛЬ

§2.1. Об одном свойстве интегрирующего множителя дифференциального уравнения, имеющего предельный цикл.

§2.2. Интегрирующие множители некоторых дифференциальных уравнений, имеющих предельные циклы. Примеры.

§ 2.3. О числе предельных циклов и их уравнениях.

§2.4. Дифференциальное уравнение в криволинейных координатах и его интегрирующий множитель.

§2.5. О дифференциальных уравнениях без предельных циклов.

§ 2.6. Об одном способе конструирования систем дифференциальных уравнений с предельными циклами.

Глава третья. О ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С КРАТНЫМИ РЕГУЛЯРНЫМИ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ЦИКЛАМИ

§3.1. Некоторые общие сведения о кратных предельных циклах.

§ 3.2. Об одном способе вычисления производных функции п).

§ 3.3. О производных любого порядка функции приращения.

§3.4. Дифференцирование одного дифференциального уравнения в силу другого. О необходимых и достаточных условиях кратности регулярного предельного цикла.

§3.5. Связь между условиями кратности регулярного предельного цикла.

§3.6. Другой способ вывода формул связи между условиями кратности регулярного предельного цикла.

Актуальность работы. Поставленная еще Пуанкаре (Poincare Н) [70] и Гильбертом (Hilbert D) [69] проблема предельных циклов является одной из труднейших в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости. В общем виде она не решена до сегодняшнего дня, несмотря на огромное количество посвященных ей работ.

Одна из принципиальных трудностей решения упомянутой проблемы, по-видимому, заключена в глобальном характере самой задачи.

Важность предельных циклов в связи с возможными их применениями в естествознании для адекватного описания автоколебаний с одной степенью свободы впервые была открыта A.A. Андроновым. Следует особо отметить в этом же плане работу A.A. Андронова и JI.C. Понтрягина [8, с. 183-187], в которой заложены основы теории грубых систем (систем с устойчивой структурой).

Предельные циклы нашли широкое применение во многих областях естествознания: радиофизике, теории колебаний, математической биологии (фотосинтез, гликолиз), химии (периодические процессы в реакциях), авиации (мертвая петля самолета, волнообразный полет самолета), автоматическом регулировании, математической экономике, астрономии (цефеиды), теории конструирования точных приборов, медицине (психические заболевания) [5], [9], [66] и др.

Реальные автоколебательные процессы соответствуют устойчивым предельным циклам. Наличие таких предельных циклов является необходимым и достаточным условием для существования автоколебаний.

Изучение систем, могущих генерировать незатухающие колебания за счет источников энергии, не обладающих колебательными свойствами, легло в основу развития радиосвязи, электроакустики, телевидения и других отделов техники. Системы такого рода получили название колебательных систем. Наиболее распространенными системами являются электромагнитные прерыватели, примером которых является ламповый генератор [5, с. 182].

Однако явления автоколебаний встречаются не только среди электрических систем, но широко распространены в динамических системах любого вида. К этому классу принадлежат, например, часы, все тепловые машины поршневого типа, все смычковые и духовые инструменты и т.д.

Нередко автоколебания оказываются нежелательными, в этом случае условия их возникновения изучаются для того, чтобы предотвратить их появление. К числу таких явлений относятся: автоколебания усилителей, систем автоматического регулирования, мостов, крыльев самолета (флаттер), колес автомашин, резцов токарных станков и др.

Так как основные свойства разнообразных по физике явлений автоколебаний, уравнения, которыми описываются эти процессы, и методы их решения являются сходными, то изучение автоколебательных явлений и методов их исследования позволяет решать многие задачи не только в какой-то конкретной области (например, в радиотехнике), но и в других областях науки и техники.

Вопросу о максимально возможном числе предельных циклов дифференциального уравнения посвящены работы В.В. Немыцкого [63], И.Г. Петровского, Е.М. Ландиса [55]. В этом же плане следует отметить работы H.H. Молчанова [61], М.И. Войлокова [34] и др. Большой вклад в теорию предельных циклов внесли работы М.И. Альмухамедова [3,4], М.В. Долова [38,39,40], Ю.В. Малышева [56,57,58], В.П. Захарова [44 - 49] и др. Условиям существования конечного или счетного множества предельных циклов посвящена работа В.П. Захарова [43].

Вопрос о минимально возможном числе предельных циклов дифференциального уравнения, т.е. о достаточных условиях существования не менее любого, наперед заданного, числа предельных циклов, также относится к упомянутой проблеме.

В работах М.В. Долова, Д.Л. Пикуса [68], Ю.В. Малышева, В.П. Захарова в исследовании предельного цикла дифференциального уравнения применяется его интегрирующий множитель, что является сравнительно новым направлением в качественной теории дифференциальных уравнений. С помощью интегрирующего множителя рассматриваются классы дифференциальных уравнений и не имеющих предельные циклы.

Кратным предельным циклам посвящены работы Н.Ф. Отрокова [65], М.И. Войлокова, В.П. Захарова, В.Ф. Ткачева [75] и др. В.А. Красногоров [53] рассмотрел вопрос об отсутствии кратных регулярных предельных циклов у некоторых систем дифференциальных уравнений. В.П. Захаров [50] исследовал предельные циклы бесконечной кратности. В работе Р.Ф. Даниловой, В.П. Захарова [37] обнаружена связь между первыми двумя необходимыми и достаточными условиями кратности регулярного предельного цикла.

Целью данной работы является получение достаточных условий существования не менее любого, наперед заданного, числа п предельных циклов определенной двумерной динамической системы с контактными кривыми разных порядков. Кроме того, проведено исследование свойств интегрирующего множителя дифференциального уравнения в окрестности предельного цикла и на этой основе получены достаточные условия существования или отсутствия предельного цикла. Исследованы кратные предельные циклы, получены новые необходимые и достаточные условия кратности, обнаружены связи между условиями кратности регулярных предельных циклов.

Научная новизна заключается в получении достаточных условий существования не менее любого, наперед заданного, числа предельных циклов у рассматриваемой двумерной автономной системы дифференциальных уравнений, применяемой в теории колебаний, в доказательствах существования или отсутствия предельных циклов некоторых классов дифференциальных уравнений с помощью свойств интегрирующих множителей, в получении новых необходимых и достаточных условий существования кратного регулярного предельного цикла, в доказательствах формул связи между различными условиями кратности.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, метод контактной кривой и кольцеобразной области, построение фазовых портретов систем с помощью ЭВМ.

Достоверность. Достоверность обеспечивается тем, что результаты теоретических расчетов сравнивались с результатами экспериментальных исследований и моделированием на ЭВМ по точным математическим моделям, а также с результатами, полученными другими авторами.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе условия существования или отсутствия предельных циклов могут быть использованы в инженерной практике. Результаты работы могут быть применены в курсе высшей математике при изучении студентами вузов раздела «Дифференциальные уравнения», при выполнении ими курсовых и дипломных работ.

На защиту выносятся:

- теоремы о достаточных условиях существования не менее любого, наперед заданного, числа предельных циклов двумерной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений определенного вида, имеющей для выбранной топографической системы кривых контактную кривую, ветвями которой являются замкнутые кривые или второго, или третьего, или четвертого порядков;

- теоремы об отсутствии предельных циклов у некоторых классов дифференциальных уравнений, доказанные с помощью свойства их интегрирующих множителей;

- новые необходимые и достаточные условия кратности регулярного предельного цикла двумерной автономной системы дифференциальных уравнений;

- формулы связи между необходимыми и достаточными условиями кратности регулярных предельных циклов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись и обсуждались на семинаре профессоров М.И. Альмухамедова, Ю.В. Малышева в Казанском госпединституте (Казань, 1970, 1973), на математической конференции, проведенной Адыгейским госпединститутом (Майкоп, 1972), на 3-й Всесоюзной конференции по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Самарканд, 1973), на Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1976), на семинаре по дифференциальным уравнениям профессора Н.Ф. Отрокова в Нижегородском университете (Нижний Новгород, 1978), на семинаре по дифференциальным уравнениям профессора Н.М. Матвеева в Санкт-Петербургском университете (Санкт-Петербург, 1986), на II Всероссийской конференции «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (Чебоксары, 1998), на Итоговых научных конференциях в Чувашском госуниверситете и на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова (Ленина) (2001).

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы применяются при изучении специальной дисциплины «Основы теории управления» при подготовке специалистов по специальностям 210100 -«Управление и информатика в технических системах», 220200 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Аналитические и численные методы исследования предельных циклов автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, предложенные в данной работе, используются в курсе лекций по высшей математике в разделе «Дифференциальные уравнения» для студентов указанных выше специальностей, а также при выполнении ими курсовых и дипломных работ на технических факультетах Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 19 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 79 наименований, содержит 20 рисунков и 5 таблиц. Текст изложен на 143 страницах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты диссертации заключаются в следующем:

1. С помощью метода контактной кривой и метода кольцеобразной области получены достаточные условия существования п предельных циклов у определенной двумерной автономной системы дифференциальных уравнений.

2. Доказан ряд теорем о существовании нескольких предельных циклов у системы дифференциальных уравнений, имеющей контактные кривые в виде замкнутых линий второго, третьего, четвертого порядков.

3. Приведены числовые примеры с любым наперед заданным числом предельных циклов.

4. Фазовые портреты систем дифференциальных уравнений получены методом Рунге-Кутта второй степени точности с контролем погрешности на шаге.

5. Приведено новое доказательство известной теоремы об обращении интегрирующего множителя дифференциального уравнения в бесконечность в точках предельного цикла. Теорема обобщена для случая многих предельных циклов.

6. Приведены примеры интегрирующих множителей некоторых дифференциальных уравнений, имеющих предельные циклы.

7. Разработан метод определения точного числа предельных циклов дифференциального уравнения, а также уравнения самих предельных циклов по виду интегрирующего множителя.

8. Уравнение в полных дифференциалах, интегрирующий множитель рассмотрены в криволинейных координатах.

9. Сформулирован ряд критериев отсутствия предельных циклов у некоторых классов дифференциальных уравнений на основе доказанного свойства интегрирующих множителей.

10.Приведена методика построения дифференциального уравнения с предельным циклом по уравнению предельного цикла и виду интегрирующего множителя.

11.Для вычисления производной любого порядка функции Р(б,п) по п применяется формула производной дробной функции.

12.Доказана формула производной любого порядка сложной функции, которая применена для вычисления производных функции приращения 8(п0).

13.Применен метод дифференцирования одного дифференциального уравнения в силу другого, с помощью которого выведены новые необходимые и достаточные условия кратности регулярного предельного цикла дифференциального уравнения.

14.Выведены формулы связи между первыми четырьмя условиями кратности регулярного предельного цикла.

1. Абрамов И.М. О формулах, выражающих производную n-го порядка от сложной функции. ПММ, вып.З, 1939.

2. Адамов A.A. Элементарный способ для изучения очертаний кривых третьего порядка по данному уравнению в декартовых координатах. Пгр., 1918.

3. Альмухамедов М.И. О конструировании дифференциального уравнения, имеющего своими предельными циклами заданные кривые // Известия высших учебных заведений. Математика. 1965, № 1(44). С.12-16.

4. Альмухамедов М.И. К задаче отыскания гладкого предельного цикла // Известия физико-математического общества и Научно-исследовательского института математики и механики при Казанском университете. 1938, сер. 3. Том И.С. 161-179.

5. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

6. Андронов А.А, Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

7. АндроновА.А., Леонтович Е.А. Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

8. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Доклады АН СССР. 1937. Том 14, № 15. С.247-250.

9. Андронов A.A. Собрание трудов. М.: Изд во АН СССР, 1956.

10. Ю.Андронов A.A. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний. // Шестой съезд русских физиков. Госиздат, М.; JL, 1928. С. 23-24.

11. П.Артемьев H.A. Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. J1.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1941.

12. Атаманов П.С. Об одном способе исследования кратных регулярных предельных циклов системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Сборник аспирантских работ Казанского пединститута, вып. 90. Казань, 1971. С. 122-126.

13. Атаманов П.С. О достаточных условиях существования предельных циклов одной системы дифференциальных уравнений // Волжский математический сборник № 16.Казань, 1973. С. 11-15.

14. Атаманов П.С. О конструировании примеров систем дифференциальных уравнений с заданным числом предельных циклов // Математика, некоторые ее приложения и методика преподавания. Ростов нД, 1973. С. 9-10.

15. Атаманов П.С. Предельные циклы некоторых дифференциальных уравнений и соответствующие им геометрические интерпретации // Актуальные проблемы геометрии и ее приложений. Чебоксары, 1975. С. 98-105.

16. Атаманов П.С. О предельных циклах уравнения Q(x,y)dx-P(x,y)dy=0 // Тезисы 3-й Всесоюзной конференции по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Самарканд, 1973. С.14-15.

17. Атаманов П.С. Взаимосвязь и геометрическое истолкование первых трех условий кратности регулярного предельного цикла. Деп. 10.10.73, № 7040-73. 4 с.

18. Атаманов П.С., Захаров В.П. Предельные циклы и однозначные аналитические интегрирующие множители // Тезисы Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений. Рязань, 1976. С.82.

19. Атаманов П.С., Захаров В.П. Об одном способе конструирования дифференциального уравнения с заданным предельным циклом // Актуальные проблемы геометрии и ее приложений. Чебоксары, 1976. С. 107-114.

20. Атаманов П.С. Поведение предельных циклов, рождающихся при повороте векторного поля // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1980. С. 123.

21. Атаманов П.С. Об отсутствии предельных циклов у некоторых классов дифференциальных уравнений // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Чебоксары, 1982. С. 18-23.

22. Атаманов П.С. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений с контактными кривыми второго порядка // Высшая школа -народному хозяйству Чувашии. Естественные науки. Тез. докл. Чебоксары, 1992. С. 18-19.

23. Атаманов П.С. О существовании предельных циклов у одной системы дифференциальных уравнений // Естественные науки: сегодня и завтра. Тез. докл. юбилейной итоговой научной конференции ЧТУ. Чебоксары, 1997.1. С. 12-13.

24. Атаманов П.С., Желтов В.П. Аналитический и численный методы исследования предельных циклов динамических систем. Чебоксары, 1998. 139 с.

25. Атаманов П.С., Желтов В.П., Мельник Д.П. Исследование некоторых динамических систем численными методами // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике. Материалы II Всероссийской конференции. Чебоксары, 1998. С. 11-12.

26. Атаманов П.С., Желтов В.П., Димитриев А.П. Исследование предельных циклов динамических систем. Деп. № 3304-В18 от 16.11.98. ВИНИТИ. 11 с.

27. Атаманов П.С., Желтов В.П., Димитриев А.П. Исследование одной динамической системы с помощью ЭВМ // Математические модели и их приложения. Сборник научных трудов. Чебоксары, 1999. С. 85-95.

28. Атаманов П.С., Желтов В.П., Димитриев А.П. Исследование динамической системы с контактными кривыми третьего порядка с применением ЭВМ // Математические модели и их приложения. Сборник научных трудов. Вып. 2. Чебоксары, 2000. С.79-82.

29. Атаманов П.С., Желтов В.П., Малышев A.B. Исследование предельных циклов одной нелинейной динамической системы второго порядка // Математические модели и их приложения. Сборник научных трудов. Чебоксары, 2001. Вып. З.С. 71-78.

30. Баганов A.B. Общая формула производной n-го порядка дробной функции // Труды Ивановского химико-технологического института, вып. 31, 1940.

31. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем. М.: Наука, 1976.

32. Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // Успехи математических наук, вып. 9, 1941. (Пер. статьи 1901.).

33. Валеева Р.Т. Конструирование дифференциального уравнения с заданными предельными циклами и особыми точками // Волжский математический сборник, вып. 5. Казань, 1966. С. 83-85.

34. Войлоков М.И. Определение числа предельных циклов у системы х=Х(х,у),y=Y(x,y) // Научные доклады высшей школы. 1959. № 1. С. 18-23.

35. Галин Б.К. О регулярных предельных циклах // Сборник аспирантских работ Казанского пединститута, вып. 90. Казань, 1971.С.3-10.

36. Галин Б.К. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений // Сборник аспирантских работ Казанского пединститута, вып. 90. Казань 1971 .С.92-97.

37. Данилова Р.Ф., Захаров В.П. О необходимых условиях кратных регулярных предельных циклов // Волжский математический сборник, вып. 12. Казань, 1971. С. 20.

38. Долов М.В. Об одном методе исследования предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1968. Том 4. № 5. С.813-820.

39. Долов М.В. Структура однозначного интегрирующего множителя вблизи цикла// Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 8. С.1490-1492.

40. Долов М.В., Алексеев A.A. Об отсутствии предельных циклов динамических систем с интегрирующим множителем специального вида // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 6. С. 947-954.

41. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1970. 572 с.

42. Желтов В.П., Атаманов П.С., Мельник Д.П. Исследование систем нелинейных дифференциальных уравнений численными методами // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике. Материалы II Всероссийской конференции. Чебоксары, 1998.С.23-26.

43. Захаров В.П. Нейтральные многообразия и условия существования конечного или счетного множества предельных циклов // Тезисы Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений. Рязань, 1971. С. 140-141.

44. Захаров В.П. О некоторых вопросах отыскания предельных циклов дифференциальных уравнений. Дис. канд. физ-мат. наук. Самарканд, 1964. 106 с.

45. Захаров В.П. О правильных предельных циклах. Ученые записки Чувашского пединститута. 1959. Вып. 7. С. 3-11.

46. Захаров В.П. О некоторых вопросах качественного исследования на плоскости. Ученые записки Чувашского пединститута. 1960. Вып. 11. С.29-50.

47. Захаров В.П. О нахождении предельных циклов. Ученые записки Чувашского пединститута. 1963. Вып. 15. С.46-55.

48. Захаров В.П. Введение в теорию предельных циклов. Чебоксары, 1978.120 с.

49. Захаров В.П., Малышев Ю.В. Применение обобщенных функций Ляпунова к исследованию предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. №12.

50. Захаров В.П. Предельные циклы бесконечной кратности // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1. №4. С.464-466.

51. Коновалов И.А. Предельные циклы и кривые топографических систем // Сборник аспирантских работ Казанского пединститута. Казань, 1971. Вып. 90.С.103-110.

52. Красногоров В.А. Регулярные предельные циклы дифференциальных уравнений первого порядка. Автореферат диссертации. Самарканд, 1967.12 с.

53. Красногоров В.А. Отсутствие кратных регулярных предельных циклов у системы уравнений одного вида // Материалы 25-й итоговой научной конференции в СамГУ. Самарканд, 1968. С. 35-37.

54. Креер Л.И. Сборник упражнений по дифференциальным уравнениям. М. 1940.

55. Ландис Е.М., Петровский И.Г. О числе предельных циклов уравнения= , где Р и Q многочлены степени п // Доклады АН СССР. 1957. Т.dx Q(x, у)113. №4. С. 748-751.

56. Малышев Ю.В. Применение обобщенных функций Ляпунова к исследованию неоднородных систем // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 3. № 2. С. 244-249.

57. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Кольцевые области, содержащие предельные циклы // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20. №3.

58. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Об интегрирующих множителях и предельных циклах// Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. №3. С.542-544.

59. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

60. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. 1963.546 с.

61. Молчанов H.H. Применение теории непрерывных групп преобразований к исследованию решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР. 1957. Т. 112. № 6. С.998-1001.

62. Мухарлямов Р.Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Том 3. № 10. 1967.

63. Отроков Н.Ф. Аналитические интегралы и предельные циклы. Волго-Вятское книжное издательство. Горький. 1972.216 с.

64. Памяти Александра Александровича Андронова.М.: Изд-во АН СССР, 1955.

65. Папуш П.Н. О нахождении регулярных полуустойчивых предельных циклов // Успехи математических наук. Том 7. Вып. 4(50). С.165-168.

66. Пикус Д.Л. Интегрирующий множитель и предельные циклы // Вопросы теории и методики преподавания физико-математических наук. Чебоксары, 1972.С.3-9.

67. Проблемы Гильберта. Под общ. ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969. С. 48.

68. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.;Л.:ГИТТЛ, 1947.

69. Рейссиг Г., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.318 с.

70. Савелов A.A. Плоские кривые. М.: ФМ 1960.

71. Смогоржевский A.C., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: ФМ 1961.

72. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ФМ, 1958.468 с.

73. Ткачев В.Ф. Необходимые и достаточные условия устойчивости, полуустойчивости предельного цикла и некоторые их приложения // Математический сборник. 1962 Том 56(98). № 3. С. 281-300.

74. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1952.

75. Шахова Л.В. О критериях отсутствия и единственности предельных циклов // Материалы 13-й конференции профессорского-преподавательского состава Сам ГУ по итогам выполнения научно-исследовательских работ за 1965. Самарканд, 1966.С.59-60.

76. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГИТТЛ, 1955.

77. Urabe М, Katsuma S. Jeneralization of Poincare Bendixson theorem. (Урабе M., Кацума С. Обобщение теоремы Пункаре-Бендиксона) // J. Sei. Hiroshima Univ. 1954. A 17. P. 365-370.