Динамически предельные множества кубических систем дифференциальных уравнений, порожденных интегралом типа Дарбу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1.0 предельных циклах кубических систем дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу. ft 1 Необходимые и достаточные условия существования предельного цикла при к = 3. ft 2 Необходимые и достаточные условия существования предельного цикла эллиптического типа для некоторого класса кубических систем.

§ 3 Качественное интегрирование в целом некоторого класса кубических систем.

§ 4 О некотором классе кубических систем с инвариантным множеством гиперболического типа. ft 5 О некотором классе кубических систем с инвариантным множеством параболического типа.

Глава2. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений из Еа3. ft 6 О существовании предельных циклов эллиптического типа.

§ 7 О предельных циклах, являющихся алгебраической кривой третьего порядка.

§ 8 Состояния покоя и предельные циклы.

Глава3. О бифуркациях предельных циклов систем из Еа

§ 9 Рождение предельного цикла из состояния равновесия.

§10 Системы с неизолированными состояниями покоя. ff 11 Кратные циклы и интегралы Дарбу. ft 12 Интегралы Дарбу и бифуркации особых циклов.

Динамические системы с полиномиальными правыми частями явились объектом многочисленных исследований. Для изучения таких систем широко применяется качественная теория, возникшая в конце прошлого столетия в связи с задачами небесной механики.

А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым [48, 56, 57] сформулированы идеи, согласно которым значительную информацию о поведении траекторий динамических систем можно получить, не прибегая к интегрированию. Последующие исследователи развили эти идеи, прояснив роль особых траекторий двумерной автономной системы - положений равновесия, сепаратрис, предельных циклов, которые определяют поведение траекторий в целом. Эти результаты систематически изложены в монографиях [2, 3].

В качественной теории систем дифференциальных уравнений центральной является проблема существования, числа и взаимного расположения предельных циклов (16-ая проблема Гильберта [55,60]). Наряду с этим много внимания уделяется изучению определённых классов уравнений, допускающих те или иные частные алгебраические интегралы (см. например, [10, 30, 31, 37, 39, 47, 51, 52, 65, 67, 68]). Так в [39, 68, 58] исследовались квадратичные системы дифференциальных уравнений, имеющие интегральные прямые. В [6] доказано, что квадратичная система, имеющая две интегральные прямые, не имеет предельных циклов. В [70] решались вопросы наличия предельных циклов кубических систем с четырьмя линейными интегралами.

Знание частных решений значительно облегчает качественное интегрирование в целом. Постановка этой задачи с одной стороны связана с работой Н.П. Еругина [33], а с другой, восходит к трудам Г. Дарбу.

В 1878 году Г. Дарбу [72] опубликовал статью, в которой рассмотрел специальное алгебраическое дифференциальное уравнение и показал, что если у последнего существует определённое число алгебраических частных интегралов, то такое уравнение имеет первый интеграл ф/'ф/2 Ф,Рк -с

I) где Фу - полиномы, fij = const. Следуя [17], обозначим через Е( множество полиномиальных систем а

X = Р(х, у) У = &У),

И) допускающих первый интеграл вида (I).

В работах К.С. Сибирского, М.В. Долова, [15,16, 19,22,25,59] установлено, что при наличии интеграла Дарбу система (II) имеет ряд важных свойств. Например, предельные циклы у (II) из ^-алгебраические; полиномы, определяющие циклы, - вещественные и входят в аналитическое выражение (I); циклы структурно устойчивы ([15]). Состояния равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения для (II) из Еа могут быть только центрами ([59, 16]). При наличии интеграла типа Дарбу (I), существенно облегчается поиск и исследование состояний покоя системы (II)

Современные авторы указывают на важность глубокого изучения динамических систем класса Еа. Например, X. Жолондек [76], работая над проблемой различения центра от фокуса, полагает, что ". множество всех полиномиальных векторных полей с центром . может быть подразделено на 3 группы: имеющие интеграл Дарбу, рационально обратимые и имеющие первый интеграл типа Дарбу - Шварца - Кристофеля" и ".любая кубическая система с центром является или рационально - обратимой, или имеет интеграл Дарбу". Д. Шломиук [75] считает, что Жолондек выдвигает "смелые идеи и доказательства, пока понятные лишь автору" и отмечает, что помимо широко известных, появились новые приложения интегралов Дарбу к космологическим системам [73].

Таким образом, прослеживается необходимость дальнейшего изучения динамических систем из класса Еа.

22, 25,16]).

Интересным, на наш взгляд, объектом исследования являются системы класса Еа с Еа 5 т.е. динамические системы дФ}. м ' ду дф, mn порождённые интегралом типа Дарбу (I).

Такие системы исследовались в работах М.В. Долова, В.А. Балтага и других авторов.

Так, в [29] установлено, что при к = 2 , т\+ ТП-2> # + 1. (где fflj = deg 0j , П = max (deg P, deg Q)) все интегральные кривые (III) - алгебраические. В случае к = 2, Ш\ — 4, ГП2 — 6, П = 3 полное качественное исследование проведено в [4]. В [20] М.В. Доловым для систем (III) при при к = 3 , Ш\ + + т^ > П + 1 найдены достаточные условия алгебраической интегрируемости и необходимые условия существования предельных циклов, изучены свойства правых частей (III) при наличии у системы предельных циклов.

При этом в общем случае не делалось никаких ограничений на степени полиномов 0j, входящих в (III), и степени полиномов Р и Q. Вопрос о реализации утверждений некоторых теорем из [20] в заданном классе уравнений (систем) остаётся открытым. В частности, представляет интерес рассмотрение кубических систем (п — 3), порождённых интегралом

Дарбу, где к —Ъ , ГП\ + т.2 + ГПз>П + 1 при различных ограничениях на nii, i — 1, 3.

Заметим, что несмотря на разнообразие методов и приёмов качественного интегрирования большая часть исследователей обращается лишь к линейным и квадратичным системам. Одним из факторов, обуславливающих это, является сильно возрастающий (с ростом степени П) объём аналитических преобразований. Даже широко развивающаяся в настоящее время компьютерная алгебра в случае кубических систем "принесла разочаровывающие результаты ввиду огромных выражений". ([75]) Тем не менее всё чаще появляются модели реальных процессов, описываемые кубическими системами, например, модели типа "хищник - жертва", которые описывают процессы в экологии, иммунологии, химии, термодинамике и ряде других наук (например, [50,70, 74]).

Всё вышесказанное определяет актуальность и важность изучения динамически предельных множеств кубических систем дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу.

Цель работы состоит, в основном, в изучении проблемы предельных циклов двумерных автономных систем дифференциальных уравнений с кубическими нелинейностями из Еа при наличии в интеграле Дарбу заданного числа сомножителей (к < 3), являющихся полиномами степени не выше четвёртой.

Методика исследования. В диссертации использованы методы и приёмы качественного интегрирования, восходящие к трудам А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона и получившие развитие в работах A.A. Андронова, Н.П. Еругина, К.С. Сибирского, М.В. Долова и их учеников, а также методы теории функций.

Научная новизна состоит в следующем:

- Найдены необходимые и достаточные условия существования предельного цикла кубической системы из Еа с двумя интегральными прямыми.

Для таких систем с частными интегралами эллиптического, гиперболического и параболического типов исследованы вопросы существования предельных циклов, в том числе бесконечно удалённых и особых.

- Установлено отсутствие предельных циклов эллиптического типа и циклов, определяемых алгебраической кривой 3-го порядка для систем из * —

Ь/а 3 при некоторых ограничениях на степени полиномов Фу, j — 1, 3 , входящих в (III).

- Изучена для систем из Еа бифуркация рождения предельных циклов из неизолированных состояний покоя, из кратных циклов, из особых циклов и из сложных положений равновесия.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа, в основном, носит теоретический характер и имеет важное практическое значение при изучении процессов, происходящих в механике, акустике, радиофизике, астрономии и других областях естествознания. Её результаты могут быть использованы в научно-исследовательской работе по качественной теории дифференциальных уравнений и в учебных курсах.

Апробация и публикации. Материалы диссертации докладывались: на научной конференции "Проблемы математики и информатики" (Гомель, 1994 г.); на международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 1995 г.); на Вторых Республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященных 75 -летаю Ю.С. Богданова (Минск, 1995 г.); на IV конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 1996 г.); на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. НИ. Лобачевского (руководитель проф. Долов М.В.), кафедры высшей математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель проф. Чекмарёв Т.В.). Основные результаты опубликованы в работах [27,28, 43-46]. В совместно опубликованных работах [27, 28] соавтору принадлежит постановка задачи и общее руководство.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы из 76 наименова

1. Авдонин Н.И. Примеры рождения предельного цикла из петли сепаратрисы и особого цикла. //Дифференциальные уравнения, 1969, т. 5, № 7, стр. 1335 - 1337.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. -М.: Наука, 1967, стр. 487.

4. БалтагВ.А. Интеграл типа Дарбу и новые случаи центра кубической дифференциальной системы. Дисс. к. ф.-м.н., Кишенёв, 1984.

5. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. 2-е изд., доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990, стр. 488.

6. Баутин H.H. О периодических решениях одной системы дифференциальных уравнений. //ПММ, 1954,18, № 1, стр. 128.

7. Баутин H.H. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр. //Мат. сб., 1952, 30, № 1, стр. 181 196.

8. Берлинский А.Н. Качественное исследование дифференциальных уравненийdy у + а0х2 + ахху + а2у2" х + Ъ^+Ьху + ЬУ ' //Д^Р—ьные уравнения, 1966,т. 2, №3, стр. 353 -361.

9. Борухов В.Т. Исследование качественного поведения траекторий одной системы дифференциальных уравнений. -//Дифференциальные уравнения, 1972, т. 8, № 9, стр. 1682 1683.

10. Бугаев П.В. Алгебраические частные интегралы дифференциальных уравнений. Матем. сб., 1984, т. 17, № 3, стр. 399 - 438.

11. Воробьёв А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа узел. -Докл. АН БССР, 1960, № 9, стр. 369 371.

12. Гудков Д.А., Полотовский Г.М. Стратификация пространства вещественных плоских алгебраических кривых 4-го порядка по алгебро топологическим типам., Н. Новгород, 1990.

13. Гудков Д.А. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий. -УМН, 1974,т. 29, в. 4. (170), стр. 3 79.

14. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике., т. 1, изд. 13, Гостехиздат.-: М, 1957.

15. Долов М.В. Интегралы Дарбу и предельные циклы. Тез. докл. Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений., Рязань, 1976, стр. 133.

16. Долов М.В. Интегралы Дарбу в случае фокуса. //Дифференциальные уравнения, 1978, т. 14, № 7, стр. 1173 - 1178.

17. Долов М.В. Канонические интегралы и предельные циклы. Дисс. докт. ф. - м.н., Горький, 1983.

18. Долов М.В. К вопросу о бифуркации предельных циклов. -//Качественная теория д.у. Учёные записки., вып. 188, Горький: ГГУ, 1973.

19. Долов М.В. О дифференциальных уравнениях, имеющих интегралы Дарбу. -//Дифференциальные уравнения, 1972, т. 8, № 12, стр. 2211 -2214.

20. Долов М.В. О дифференциальных уравнениях, порождённых интегралом типа Дарбу. // Дифференциальные и интегральные уравнения,- Горький,: ГГУ, 1990.

21. Долов М.В. О предельных циклах в случае центра. //Дифференциальные уравнения, 1972, т. 8, № 9, стр. 1691 - 1692.

22. Долов М.В. Предельные циклы и интегралы Дарбу в случае узла.-// Дифференциальные уравнения, 1977, т. 13, № 3, стр. 406 415.

23. Долов М.В., Косарев В.В. О бифуркациях предельных циклов уравнений, допускающих интегралы Дарбу. // Дифференциальные и интегральные уравнения, Горький, ГГУ, 1981, № 5, стр. 3-8.

24. Долов М.В., Косарев В.В. Интегралы Дарбу и рождение предельных циклов из кратного фокуса. -//Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. научных трудов, Горький,: ГГУ, 1982, стр. 168.

25. Долов М.В., Лисин Б.В. Алгебраические интегралы в окрестности седла. В кн. Актуальные проблемы геометрии и её приложений. - Чебоксары, 1976, в 2, стр. 115-122.

26. Долов М.В., Лисин Б.В., Косарев В.В. Интегралы Дарбу и бифуркации особых циклов. // Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. научных трудов, Горький, : ГГУ, 1982, стр. 15-20.

27. Долов М.В., Лухманова Т.В. О предельных циклах кубических систем дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу. -Проблемы математики и информатики, ч. 1, Гомель, 1994, стр. 88.

28. Долов М.В., Лухманова Т.В. О системах дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу. Вторые республиканские научные чтения по о.д.у., посвященные 75-и летию Ю.С. Богданова. Тез. докл. : Минск, изд. БГУ, 1995, стр. 98.

29. Долов М.В., Упырина Е.С. К вопросу об алгебраической интегрируемости. -//Дифференциальные и интегральные уравнения. : Межвуз. сб./ Горьк. Гос. ун-т, 1985, стр. 106 107.

30. Дружкова Т.А. Дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Автореф. дисс. к. ф.-м.н., - Горький, 1975, стр. 9.

31. Евдокименко P.M. Об интегральных кривых одной динамической системы. -//Дифференциальные уравнения. 1971, т. 7, № 8, стр. 1522 1524.

32. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн., Наука и техника, 1979, стр. 744.

33. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. Прикл. матем. и мех., 1952, т. 16, № 6, стр. 659 - 670.

34. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Гостехиз-дат., 1956.

35. Иламанов А.И. Качественное исследование одной системы с полиномами 3-ей степени. Уч. зап. Казанского гос. пед. ин-та, 1971, вып. 90, стр. 72 - 80.

36. Карданова Е.Ю. Глобальное качественное исследование одного класса систем дифференциальных уравнений на плоскости. Автореферат, дисс. к. ф.-м.н., Ленинград, 1989.

37. Косарев В.В. О циклах одной системы, имеющей алгебраический частный интеграл. В кн.: Качественная теория дифференциальных уравнений., ГГУ, 1975, в 2, стр. 79 -83.

38. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости. -М., : Физматгиз, 1963.

39. Куклес И.С., РозетИ.Г. Об одном случае рождения предельных циклов не плоскости. //Дифференциальные уравнения. 1970, т. 6, № 5, стр. 771 - 778.

40. Леонтович Е.А. О рождении предельных циклов от сепаратрисы. -Доклады АН СССР, 1951, т. 78, № 4, стр. 641 644.

41. Лукашевич Н.А. Качественная картина в целом для системы д.у.сЫу + Ъхъ + (с Р)х2у + (3а - .)хуг + fyъ т-х ш:3 - (36 + а)х2у - (с + р)ху2 - ¿уъ, Жимеющей точку равновесия типа "центр". Докл. АН БССР, 1961, т. 5, № 1, стр. 3-5.

42. Лухманова Т.В. Исследование в целом кубических систем дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу. // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов международного семинара. Самара, СамГУ, 1995, стр. 123.

43. Лухманова Т.В. Исследование в целом кубических систем с интегралом типа Дарбу. Вестник Нижегородского университета. Сборник трудов аспирантов. //под ред. А.В. Олейника., Н.Н., изд. ННГУ, 1995, стр. 82-85.

44. Лухманова T.B. Неизолированные состояния равновесия систем дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу. -Нижегородский ун-т. Н. Новгород, 1995, стр. 6, Библиогр. 4 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ. 30.11.95., № 3189-В95.

45. Лухманова Т.В. Об алгебраических предельных циклах кубической системы дифференциальных уравнений, порождённой интегралом типа Дарбу. Нижегородский ун-т. - Н. Новгород, 1995, стр. 10, Библиогр. 10 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ. 30.11.95., № 3188-В95.

46. Лухманова Т.В. О бифуркациях предельных циклов систем с интегралом типа Дарбу. Нелинейные колебания механических систем.: IV конф.: Тез. докл., Н. Новгород, 1996, стр. 184.

47. Любимова P.A. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми. // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, ГТУ, 1977, в 1, стр. 19 - 22.

48. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.- Л. : Гостехиздат, 1950.

49. Макеев Н.Г. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы сложного седла. Автореф. дисс. канд. ф.-м.н., Горький, 1984.

50. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. -М.: Мир, 1983, стр. 397.

51. Миловидов И.Д. О предельных циклах дифференциального уравненияУУ — 04 (х, у), имеющего решением расходящуюся параболу. Уч. зап. Казанск. пед. ин-та, 1971, в 90, стр. 28-33.

52. Николайчик В.П. Построение и качественное исследование в целом одной динамической системы с двумя алгебраическими интегралами. -В кн.: Исследования по математ. и физике. Гродно, 1978, стр. 40 -47.

53. Отроков Н.Ф. О числе предельных циклов в окрестности особой точки. Матем. сб., 1954, т. 34, № 1, стр.127 - 144.

54. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М.: Гостехиздат, 1957.

55. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.

56. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. / Ред. и примечания А.А. Андронова. М.; JL: Гостехиздат, 1947, стр. 392.

57. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1989.

58. Рычков Г.С. О предельных циклах уравнения U(x + Y)dU —{-X + ах2 + bxU + cU + du2)dx. 11 Дифференциальные уравнения,1972, т. 8, № 12, стр.2257 2259.

59. Сибирский К.С. Проблема алгебраического интеграла в случае центра. II Дифференциальные уравнения, 1972, т. 8, № 12, стр. 2211 2214.

60. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. -5-е изд., М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1990, стр. 256.

61. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М- Л.: Гостехиздат, 1950.

62. Толстов Г.П. Курс математического анализа, т. 1.-М.: Гостехиздат, 1957.

63. УокерР. Алгебраические кривые. -М.: И-Л., 1952.

64. Ушхо Д.С. О существовании предельных циклов и особых точек типа "центр" кубической дифференциальной системы. II Дифференциальные уравнения., 1995, т. 31, № 1, стр. 173.

65. Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений. II Дифференциальные уравнения., 1973, т. 9, № 3, стр. 469 476.

66. Хуан Ци-Юй, Фан Чу-бао, Цянь Сянь-чэн. О дифференциальных уравнеdy Y3 (х, у)ныях . ~~~ — -~, обладающих алгебраическими предельными цикdx Х3(х,у)лами в виде эллипсов. Acta math, sínica, 1960, t. 10, № 2, pp. 223 - 238.

67. Худай Веренов М.Г. Об алгебраических решениях и предельных циклах одного дифференциального уравнения. - Изв. АН ТССР, сер. физ. -техн., хим. и геол. наук., 1963, № 1, стр. 108 - 110.

68. Черкас JI.A. Об алгебраических решениях уравнения У ~ q => где Р иQ многочлены второй степени. - Докл. АН БССР, 1963, т. 7, № 11, стр. 732 - 735.

69. Черкас JI.A. О структуре функции последования в окрестности сепа-ратрисного цикла при возмущениях аналитической автономной системы на плоскости. II Дифференциальные уравнения., 1981, т. 17, № 3, стр. 469 478.

70. Щеглова H.JI. Качественное исследование двумерных автономных систем с нелинейностями третьего и четвёртого порядка. Автореферат дисс. канд. ф.-м.н., Минск, 1992.

71. Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений. II Дифференциальные уравнения, 1970, т. 6, № 10, стр. 1752 1760.

72. Darboux G. Mémoires sur les equations différentielle algebriques du premiere ordre et du premier degre. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques., Paris, 1878, t. 2.

73. Hewitt C.G. Algebraic invariant curves in cosmological dynamical systems and exact solutions., Gen. Relativity Gravitation 23 (1991), 1363 1365.

74. Huang Xun Cheng. Limit cycles in a Kolmogorov type model and its application in immunology. II Math, and Comput Modele , 1990, v. 14, pp. 614 -617.

75. SchlomiukD. Algebraic and geometric aspects theory of polynomial vector fields. Depart, of math., Université de Montreal, Canada, 1994.

76. ZoladekH. The solution of the problem of the center., preprint, University of Warsaw, 1992.