Двумерные полиномиальные динамические системы с алгебраическими инвариантными множествами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кондратьева Юлия Владимировна

ДВУМЕРНЫЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

01 01 02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2007

003060965

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н И Лобачевского

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор М В Долов

доктор физико-математических наук, профессор И С Емельянова,

кандидат физико-математических наук, доцент Р Г Рахманкулов

Мордовский государственный университет им Н П Огарева

Защита диссертации состоится « 2007 г в

4к час 1^0 мин на заседании диссертационного совета Д 212 166.06 при Нижегородском государственном университете им Н И Лобачевского в конференцзале ННГУ по адресу 603600, г Н Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп 2

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета

Автореферат разослан « 53 » /Ч/уЯ_2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 166 06

кандидат физико-математических наук, доцент

В И Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системам дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями посвящены многочисленные исследования Изучению таких систем большое внимание уделялось в трудах А Пуанкаре, А Дюлака, Г Дарбу и других математиков

Одной из основных проблем для двумерных вещественных полиномиальных динамических систем является вторая часть шестнадцатой проблемы Гильберта о максимальном числе и взаимном расположении предельных циклов Среди работ, связанных с изучением этой проблемы, следует отметить исследования А А Андронова, Е А Леонтович, H H Баутина, H Ф Отрокова, JI А Черкаса, Е M Ландиса и И Г Петровского, А Д Морозова, К С Сибирского, S Shi, L Chen и M Wang, H Zoladek, Ю С Ильяшенко, R Bamon, J Ecalle и других авторов

В настоящее время, несмотря на значительные усилия, проблема оценки числа предельных циклов полиномиальных дифференциальных систем далека от завершения даже для малых значений степеней нелиней-ностей

В середине двадцатого века H П Еругиным поставлена задача, о выделении множества двумерных систем с заданным программным движением Эта задача послужила толчком к весьма обширным исследованиям систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую специального вида или со специальным аналитическим свойством При этом значительное внимание уделялось изучению важного класса полиномиальных динамических систем, допускающих те или иные инвариантные алгебраические кривые Этому направлению посвящены работы H H Баутина, А С Галлиулина, В H Горбузова, M В Долова, Т А Дружковой, Р M Евдокименго, В В Косарева, И С Ку-клеса, Р А Любимовой, В П Николайчика, M H Попа, К С Сибирского, В Ф Филипцова, M Г Худай-Веренова, Л А Черкаса, А И Яблонского, J Llibre, J Chavarnga, С Chnstopfer и многих других математиков Знание частных решений, как правило, позволяет изучить топологи-

ческую структуру в целом В 1878 году Г Дарбу показал, что если у системы с полиномиальными правыми частями существует определенное число алгебраических инвариантных кривых, то система имеет первый интеграл специального вида

М В Долов установил, чго у интегрируемых по Дарбу систем предельные циклы - алгебраические, полиномы, определяющие циклы, - вещественные и входят в аналитическое выражение интеграла Дарбу, циклы структурно устойчивы, состояния равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения у таких систем могут быть только центрами С помощью этих результатов построен контрпример к гипотезе К С Сибирского, о всюду плотности множества систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями с первыми интегралами Дарбу в множестве полиномиальных динамических систем с простым состоянием покоя типа центр в смысле Пуанкаре Решена проблема Н П Еругина о существовании систем с полиномиальными нравы-ми частями, имеющих среди фазовых траекторий предельные циклы и состояния покоя центр, а также изучены некоторые вопросы теории бифуркаций

Н Н Баутин в 1980г сформулировал теорему, устанавливающую связь между первой и второй частями 16-й проблемы Д Гильберта, в частности, указал класс полиномиальных векторных полей степени п, имеющих предельными циклами овалы М-кривой степени п (алгебраической кривой порядка п с максимальным числом овалов)

М В Долов доказал существование полиномиальных векторных полей, предельными циклами которых являются только овалы двух М-кривых

В связи с этим представляет как теоретический, так и практический интерес задача о максимальном числе предельных циклов в виде эллипсов и окружностей для полиномиального векторного поля степени п

Для п—2 в работе Цинь Юань-Сюня даны необходимые и достаточные условия существования предельного цикла в виде эллиптической кривой второго порядка Такие поля, кроме этого предельного цикла, не имеют

других изолированных замкнутых траекторий, отличных от состояний покоя

Для п=3 Хуан Чи-Юй, Фан Чу-Вао и Цянь Синь-Чень с точностью до обратимого линейного преобразования указали необходимые и достаточные условия существования двух квадратичных алгебраических предельных циклов При этом установлено отсутствие других периодических решений Кроме того, показано, что окружность и эллипс не могут быть одновременно предельными циклами векторного поля степени п=3

М В Долов для систем

где Р и - полиномы, таи{<1едР,йедО) — п, при Р(х,у) = у указал оценку сверху для числа траекторий, которые могут быть замкнутыми кривыми второго порядка, и для систем с наибольшим числом предельных циклов в виде эллипсов изучил вопрос о существовании других периодических решений При этом случай Р(х, у) фу не рассматривался Таким образом, исследование полиномиальных динамических систем, среди траекторий которых содержатся инвариантные алгебраические кривые, является актуальным

Цель работы. Целью диссертации является исследование задачи существования и оценки числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости с инвариантными кривыми заданного класса При этом значительное внимание уделяется случаям, когда система дифференциальных уравнений допускает либо линейные частные интегралы, либо имеет предельными циклами кривые второго порядка

Методика исследования. В работе используются методы качественной и аналитической теорий обыкновенных дифференциальных уравнений, а также теории канонических первых интегралов

Научная новизна. Для двумерных автономных систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями получены следующие новые результаты

(1)

указан класс интегрируемых но Дарбу векторных полей степени п, имеющих предельными циклами овалы алгебраической кривой степени п-1,

найдены условия существования векторных полей четвертой степени с тремя предельными циклами в виде окружностей с попарно различными центрами, лежащими на одной прямой,

указаны достаточные условия, когда центры окружностей, являющихся предельными циклами, принадлежат одной прямой,

теорема о максимальном числе предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямой,

теорема об отсутствии других предельных циклов в виде окружностей, при наличии среди фазовых кривых системы максимального числа предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямой,

указаны достаточные условия центра в смысле Пуанкаре и условия отсутствия предельных циклов у систем с линейными частными интегралами

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит, в основном, теоретический характер Полученные результаты MOiyT быть использованы в научно-исследовательской работе по качественной теории дифференциальных уравнений, в учебных курсах и при изучении конкретных динамических систем

Апробация и публикации Научные результаты исследований апробированы на Международной научной конференции аспирантов и студентов "Ломоносов 2001"в Московском государственном университете, на Международной конференции "Еругинские чтения 7" (Гродно, 2001г), на Международной конференции "Еругинские чтения 8"(Брест, 2002г), на V Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск, 2002г), на VI Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2004г), на IX Белорусской Международной математической конференции (Гродно, 2004г), на VII Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск,

2006г), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006г), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им Н И Лобачевского, научн руков проф АД Морозов

Основные результаты опубликованы в работах [1]- [11], указанных в конце автореферата В опубликованных совместно с научным руководителем работах М В Долову принадлежат постановка задачи, идеи доказательств основных результатов и общее руководство

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 7 разделов, и списка литературы Объем диссертации составляет 117 страниц (набранные в макропакете B-T^X в формате машинописного текста) Библиография включает 105 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы и излагаются основные результаты диссертации

В первой главе рассматриваются вещественные системы дифференциальных уравнений (1), допускающие различные неприводимые инвариантные алгебраические кривые

В разделе 1.1 содержится обзор результатов, касающихся оценки числа и степени инвариантных алгебраических кривых, являющихся предельными циклами

Здесь, в частности, отмечается результат А И Яблонского1 о существовании квадратичных векторных полей с предельным циклом в виде овала кривой четвертого порядка

Выделен класс интегрируемых по Дарбу систем дифференциальных уравнений [6]

§ = (р!2Я {а(Р^+оЩ)+каМ - РМ))

I = -(*?+<Я>Ш - ж и!+чф+РЫЩ - рф)'

(2)

где Н = 0 - алгебраическая кривая, йедН — п — 1, а, /? е К, ¡3 ф 0, Рг я - вещественные линейные функции х, у такие, что прямые Р\ = О, = 0 пересекаются внутри овала кривой Н ~ 0 Система (2) имеет первый интеграл Дарбу Т(х,у) = Я(РХ + гЯгУ+'^Рх - ИЗО«"" = С, при этом овалы кривой Н = 0, в окрестности которых функция Г(х, у) многозначна, являются предельными циклами системы (2) и у системы (2) нет других предельных циклов, отличных от овалов кривой Н = О

Система (2), как и. отмеченный выше результат А И Яблонского, является контрпримером к гипотезе Винкеля "для данной алгебраической кривой / = 0 степени т > 4 не существует полиномиального векторного поля степени менее чем 2т-1, допускающего инвариантную кривую

'Яблонский А И О предельных циклах одного дифференциального уравнения //Дифферент Уравнения, 1966 Т2, №3 С 335-344

/ = 0 и имеющего предельными циклами только овалы кривой / = О"2 В разделе 1.2 вводятся основные понятия и указывается вид системы (1), имеющей частные неприводимые алгебраические интегралы

В разделе 1.3 рассматриваются системы (1), допускающие к ^ 3 различных инвариантных кривых

Ф; = (ж-а,)2 + ;г/2-г2 = 0, j = 1,2, ,к, (,)

и изучаются свойства многочленов М2(х,у), удовлетворяющих тождеству

+ у)М3(х,у) (3)

Лемма 1.3.1. Если система (1) допускает к > 2 различных инвариантных кривых вида = (х — а3)2+у2 — г2 = 0, j = 1, к, то однородные полиномы степени п — I, содержащиеся в многочленах М3(х, у),

которые удовлетворяют тождеству (3), таковы, что

Min~1] = М[п~1] s s = М^

Лемма 1.3.4. [6].Если среди траекторий системы (1) содержится к > п/2 непересекающихся кривых Ф3 = {х — а3)2 4- у2 — г2 = О, j = 1,2, ,k, то полином М3, соответствующий многочлену Ф3 и удовлетворяющий тождеству (3), делится на у, то есть М3 = уц3

Во второй главе изучаются системы (1) при п > 4 с инвариантными кривыми lj

В разделе 2.1 при п = 4 исследуется вопрос существования систем (1) с тремя предельными циклами в виде окружностей, имеющих различные центры, лежащие на одной прямой Здесь вводится в рассмотрение множество Al - множество систем (1) при п=4 с тремя непересекающимися инвариантными кривыми Ф-, = (х — а3)2 + у2 — г2 = 0, j = 1,2,3 где величины а±, а^, аз попарно различны

2Wmkel R A transfer principle т the real plane from nonsingular algebraic curves to polynomial vector fields //Geometriae Dedicata, 2000 Vol 79(1) PJ 01-108

Доказано, что если система (1) принадлежит то полиномы ц3 в лемме 13 4 имеют вид

ц3 = Ах2 + Вху + Су2 + А3х + В3у + з = 1,2,3,

где А, В, С, А3, В3, /¡}еЕ

Обозначим

(ог - + («з - + («1 ~ а2)^з = ^ (аг - аз)«1 + («з ~ «1)0:2 + (а 1 - <22)0:3 = (о2 - а3)аг/4 + («з - 0,1)0,214 + («1 - аг)взАз = ^ а3 = а23-г23=Ф3{0,й)

Основные результаты раздела 2 1 содержатся в следующих теоремах

Теорема 2.1.1 [3]. При у = 0 и у\ ф 0 система (1) из Л| допускает первый интеграл Дарбу

Т(х, у) = ф^-озф^-'Чф«!-^ = С

м ме имеет предельных циклов

Теорема 2.1.2. [4]. Пусть система (1) принадлежит А = —у/их причем уу\ /Он при этом В — й, У2 Ф уа3 для ] = 1,2,3 Тогда состояния покоя системы (1) лежат на оси у = 0 и у (1) нет изолированных замкнутых траекторий

Теорема 2.1.3. [3] Пусть система (1) принадлежит А\, А = —у/ух причем уух ф 0 и В ф 0 Тогда при У2 = уа3 и \2и(а3 — а3)/Вух\ > тах(г,), з = 1,2,3, точки пересечения окружности Ф3 = 0 с осью у = 0 суть состояния покоя для системы (1), две другие окружности Ф5 — 0, й ф ] будут структурно устойчивыми предельными циклами для (1)

Теорема 2.1.4. [3]. Пусть система (1) принадлежит А = —у/у\ и при этом уВу1 ф 0 и ]2(у2 — уа3)/ВУ1\ > тах(г1, г2, г3) Тогда 1)окружности Ф3 = 0, ] ~ 1,2,3 будут предельными циклами системы (1), 2) все состояния покоя системы (1) лежат на прямой

у = О, 3) в полуплоскостях у > 0, у < О у (1) нет замкнутых траекторий

Построен пример системы при п — 4, имеющей три инвариантных непересекающихся кривых Ф3 = 0, j — 1,2,3, которая удовлетворяет условиям теоремы 2 14

Теорема 2 14 и пример указывают на ошибочность утверждения о том, что "если система (1) при четном п имеет А(п) ^ (п + 2)/2 инвариантных непересекающихся окружностей (х — а^)2 + у2 — г2 = О, j = 1,2, ,А{п), где хотя бы три величины а3 попарно различны, то эти окружности не могут быть предельными циклами системы (I)"3

В разделе 2.2 изучается случай xasx.{degP,degQ) = п > 3, когда среди фазовых кривых системы (1) содержатся два семейства непересекающихся, концентрических окружностей с различными центрами

Теорема 2 2.3. [6] Если среди траекторий системы (1) содержатся непересекающиеся окружности

Ф} = (х- ах)2 + у2 - г2 = 0, j = ТД, <pv = {x- a2f + у2 — pi — 0, v= L/k,

где а\ ф а2, то при п = 2к кривые Ф3 = 0 и <р„ = 0 не могут, быть предельными циклами для (1)

Доказано, что если выполнены условия теоремы 2 2 3, то система (1) приводится к виду

р = (аФ- (3<р)у ^

^ = (ж - oj)/3<р - (х - а2)аФ ' где а,/3-полиномы степени не более та—2&,Ф = Ф1 Ф2 ^к,'Р — <Рк

Теорема 2 2 4. [6]. Пусть при п = 2к +1 1) <ц = 0,а^ = а ф 0 и величины Tj, pv такие, что окружности = 0 и tpv = 0 не пересекаются для j, v — 1, к, 2) прямые ездя + «oijf + Ро = 0 и а^х + у + ао = 0 не умеют общих точек с — 0 и ip„ = 0 соответственно при j, v = 1, k,

3Sadovskaia N , Ramirez R On 16-th Gilbert problem j j Тез докл межд конф по дифф ур-ям и дин системам, Суздаль, август 21-26, 2000, Владимир,2000 С 69-72

3) aaoi (qo — Ро) ф 0 Тогда а) состояния покоя системы (4), в которой а = awx + «oiУ + аа, Р — а10х + а01у + ¡30, Ф - Ф1Ф2 Фь у? = <pitp2 tpk, лежат на оси у ~ 0, при этом общие точки у = 0 с Ф^ = 0 и tpv = 0 отличны от состояний покоя, в) окружности Ф3 = О и tpv = 0 j,v = 1, к будут предельными циклами системы (4) и у (4) нет других предельных циклов в виде окружности

Теорема 2.2.5 [6]. Пусть выполнены условия теоремы 22 3 и при п = 2к + 2, п > 4 1) ах = 0, аг = а ф 0, величины гpv таковы, что окружности Ф3 = 0 и ipv = 0 не пересекаются для j, v — 1, к, 2) полиномы Ф = Ф1Ф2 Фк, V ~ <Pi<P2 9к, се = a2QX2 + ацху + а02у1 + агйх + a0iy + а0, Р = а2о®2 + ацху + amy2 + PiqX + Рагу + Ра и ш(х, у) = («п(«ю - Рю) + aaoiPoi ~ a0i))x2 + аадСАн - а>ог)у2 + +{awPoi -«01А0 + оц(ао — Ро))х + aoPoi — Poctoi такие, что Ф(ж, у) = 0 не имеет общих точек с кривыми Р{х,±у) — 0 и ш(х,у) = 0, а <р(х,у) = О не пересекается с а(х, ±у) — 0 и w(x,y) = 0 Тогда окружности Ф3 = 0 и <pv = 0 j,v — l,k будут предельными циклами системы (4)

Доказано существование систем (1), допускающих предельными циклами два семейства концентрических окружностей, причем число таких предельных циклов при нечетном п равно п — 1 и при этом в каждое семейство входит (п — 1) /2 окружностей, а при четном п число таких предельных циклов равно п — 2 и в каждом семействе содержится (п — 2)/2 окружностей

Основные утверждения, касающиеся максимального числа предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямой, содержаг следующие теоремы

Теорема 2.2.6. [6]. Максимальное число предельных циклов, допускаемых системой (1), в виде окружностей с центрами на одной прямой, равно п — 1, при этом в семейство концентрических кривых с одним центром входит не более (п — 1)/2 окружностей при нечетном п и не более njl при четном п

Заметим, что для реализации теорем 22 4, 225и226 необходимо,

чтобы Р{х,у) ф у В случае Р{х,у) = у при Q(x,y) ^ — х в работе М В Долова4 показано, что замкнутых кривых второго порядка среди решений системы (1) может быть не более п/2 при п четном и не более (п-1)/2 при нечетном п

Теорема 2.2.7. [6]. Если среди траекторий системы (1) имеется семейство L предельных циклов, содержащее п/2 концентрических окружностей, то центры окружностей, являющихся предельными циклами, лежат на одной прямой

Теорема 2.2.8. [6]. Если среди фазовых кривых системы (1) содержится (п — 1) предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямой, то у системы (1) нет других предельных циклов в виде окружностей

Следствие 2.2.1.Пусть фазовые кривые системы (1) содержат два семейства L и Ь\, L п Ь\ = 0 предельных циклов в виде концентрических окружностей (имеющих для L и Ь\ соответственно различные центры) при этом для нечетного п в каждое семейство входит, по (■п — 1)/2 окружностей, а при четном п в одном семействе п/2, а в другом (п — 2)/2 окружностей Тогда у (1) нет других предельных циклов в виде окружностей

В третьей главе рассматриваются системы (1) с линейными частными интегралами

В разделе 3.1 исследуется проблема центра и предельных циклов систем (1), допускающих линейные частные интегралы, среди которых хотя бы один содержит состояние покоя с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения и равной нулю первой фокусной величиной <?з

Обозначим Еа множество систем (1) с первым интегралом Дарбу Т{х,у) = С, где

_Пх>у)=^ (5)

4Долов MB О предельных циклах одного класса дифференциальных уравнений //Диф-фереиц Уравнения, 1969 Т5, №7 С 1330-1334

здесь . , Фк - попарно взаимно простые полиномы, неприводимые над полем комплексных чисел, величины ß3 ф 0 в общем случае комплексные А через Ма обозначим совокупность систем (1) с интегрирующим множителем вида (5) Систему (1) из Еа назовем интегрируемой по Дарбу

Заметим, что Еа с Ма и система (1) принадлежит Ма, если (1) допускает п(п+1)/2 попарно различных нераспадающихся алгебраических инвариантных кривых 5>6'7, либо выполнены условия 8

1) прип > 3 для системы (1) точка (жо,2/о)- состояние покоя с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения,

2)первая фокусная величина соответствующая (жо, í/o)j равна нулю,

3) система (1) имеет N — (п2+п —4)/2 частных линейных интегралов Фj=Cj + а3х + Ь3у = 0, Ф3(х0 у0) ф 0, j = ÏJ?

В отличие от работы А С Шубэ 8, в разделе 3 1 рассматриваются системы (1), удовлетворяющие условиям 1) и 2) при наличии линейных частных интегралов Ф3(х,у) = 0, среди которых есть такие, что Ф3(х0,у0) = 0

Основной результат раздела 3 1 содержится в теореме 311

Теорема 3.1.1. [11]. Если вещественная система (1) удовлетворяет условиям 1)-2) и при этом имеет N = (п2 + п — 2)/2 линейных частных интегралов Ф3(х,у) — 0, j = 1,N, среди которых хотя бы одно Ф3(хо, Уо) = 0, то а) система (1) принадлежит Ма, Ъ) (хо,Уо)-центр в смысле Пуанкаре, если (1) € Еа, либо (1) € Ма\Еа, причем интегрирующий множитель (5) аналитический в (хо,уо), с) система (1) из Еа не имеет предельных циклов

5Амелькин В В , Лукашевич H А , Садовский А П Нелинейные колебания в системах второго порядка //Минск, изд-во БГУ, 1982 207с

6Долов M В Канонические интегралы и предельные циклы Диссертация д ф -м н , Горький, 1983

7Darboux G Memoire sur les equations différentielles algebnques du premier ordre et du premier degre //Bull des Se math , 1878 Vol 2(2) P 60-96,123-144,151-200

ЧЩубэ A С Линейные частные интегралы и проблема центра //УЬъ АН Респ Молдова, Матем, 1993 Т2, №1 С 91-95

В разделе 3.2 рассматривается система вида

Л, 3

§ = Ж+ £ =

где а8„, - вещественные числа

Согласно результатам А С Шубэ 8, состояние нокоя(0,0) системы (6) будет центром в смысле Пуанкаре, если первая фокусная величина дз — О и (6) допускает 4 различных частных линейных интеграла Ф3(х,у) = О, свободные члены которых отличны от нуля Это ограничение существенно используется в доказательстве в работе 8, причем случай, когда

4

(0,0) € и(Фз(х->У) = 0} не рассматривается 1=1

Обозначим через А^ множество систем (6) с 4 различными инвариантными множествами

Фх г х + ьу = О, Ф2 = х - ьу = 0, Ф3 = \+ а3х + Ь]у = 0 3 < 2 < 4

Основной результат раздела 3 2 содержит

Теорема 3.2.1. [11]. Пусть система (6) принадлежит А^ и при этом первая фокусная величина ?з(0,0) = 0 Тогда система (6) интегрируема по Дарбу, (0,0)- центр в смысле Пуанкаре и у системы (6) нет предельных циклов

В 2004 г автор стал призером конкурса для аспирантов на стипендию им академика Г А Разуваева на 2004-2005 учебный год

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М В Долову за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе

Публикации по теме диссертации

[1] Долов М.В., Павлюк Ю.В. О предельных циклах эллиптического типа двумерных автономных систем //"Современные исследования в математике и механике", Труды 23 конф молодых ученых мех -мат ф-та МГУ, Москва 9-14 апреля, 2001 С 277-281

[2] Долов М.В., Павлюк Ю.В.О предельных циклах динамических систем с нелинейностями четвертого порядка //Тезисы докладов Международной математической конференции "Еругинские чтения VII", Гродно, 2001

[3] Долов М.В., Павлюк Ю.В. О предельных циклах эллиптического типа двумерных автономных систем //Дифференц Уравнения, 2002 Т38, № 10 С 1303-1309

[4] Долов М.В., Павлюк Ю.В. О предельных циклах динамических систем с нелинейностями четвертого порядка //Труды СВМО, 2002 Т 3-4, № 1 С 61-67

[5] Долов М.В., Павлюк Ю.В. К вопросу о числе предельных циклов полиномиальных двумерных динамических систем //Тезисы докладов Международной математической конференции "Еругинские чтения VIII", Брест, 2002

[6] Долов М.В., Павлюк Ю.В. Инвариантные алгебраические кривые полиномиальных динамических систем //Дифференц Уравнения, 2003 Т 39, № 8 С 238-243

[7] Долов М.В., Павлюк Ю.В. Инвариантные алгебраические кривые и интегрируемость по Дарбу полиномиальных векторных полей //Труды СВМО, 2003 Т5, № 1 С 68-70

[8] Долов М.В., Павлюк Ю.В. К вопросу об алгебраической интегрируемости полиномиальных векторных полей //Труды СВМО, 2004 Т6, №1 С 40-50

[9] Долов М.В., Павлюк Ю.В. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу //Тезисы докладов IX Белорусской Международной математической конференции, Гродно, 2004

[10] Долов М.В., Павлюк Ю.В. Интегрируемость по Дарбу систем с линейными частными интегралами //Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнеиям и динамическим системам, Владимир, 2006 С 92-93

[11] Долов М.В , Павлюк Ю.В. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу //Труды СВМО, 2006 Т 8, № 1 С 69-81

Печатается в авторской редакции Формат 60x84/16 бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Усл. печ л 1,00. Тираж 100 экз.

Отпечатано «Издательский салон» ИП Гладкова О В 603022, Нижний Новгород, Окский съезд, 2, оф 501, тел (8312)39-45-11 Л 603005, Нижний Новгород, Алексеевская, 26, оф 231, тел (8312) 18-27-05

Т<

л

Введение

I. Системы дифференциальных уравнений с инвариантными алгебраическими кривыми

1.1. Об алгебраических предельных циклах полиномиальных векторных полей

1.2. Об инварантных алгебраических кривых полиномиальных векторных полей

1.3. Свойства кофакторов при наличии у системы инвариантных кривых в виде окружностей

II. О предельных циклах в виде окружностей.

2.1. Динамические системы с нелинейностями четвертого порядка, допускающие предельными циклами окружности

2.2. О предельных циклах в виде окружностей, центры которых лежат па одной прямой

III. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу 83 3.1. Полиномиальные динамические системы с линейными частными интегралами

3.2. Интегрируемость по Дарбу кубической системы с линейными частными интегралами.

Системам дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями посвящены многочисленные исследования. Изучению таких систем большое внимание уделялось в трудах А. Пуанкаре [70], А. Дюла-ка [48], Г. Дарбу [96] и других математиков.

Одной из основных проблем для двумерных вещественных полиномиальных динамических систем является вторая часть шестнадцатой проблемы Гильберта о максимальном числе и взаимном расположении предельных циклов ([69], [75]). Среди работ, связанных с изучением этой проблемы, следует отметить исследования А.А. Андронова, Е.А. Леон-тович [2], Н.Н. Баутина ( [4], [6]), Н.Ф. Отрокова [65], Л.А. Черкаса [82], Е.М. Ландиса и И.Г. Петровского [66], А.Д. Морозова [63], К.С. Сибирского [73], S. Shi [101], L. Chen и М. Wang [91], Н. Zoladek [105], Ю.С. Ильяшенко ([52], [53], [54]), R. Вашоп [86], J. Ecalle [97] и других авторов.

В настоящее время, несмотря на значительные усилия, проблема оценки числа предельных циклов полиномиальных дифференциальных систем далека от завершения даже для малых значений степеней нелиней-ностей.

В середине двадцатого века возрастает интерес к задаче, поставленной Н.П. Еругиным ( [51], [50]), о выделении множества двумерных систем с заданным программным движением. Эта задача послужила толчком к весьма обширным исследованиям систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую специального вида или со сиециальиым аналитическим свойством. При этом значительное внимание уделялось изучению важного класса полиномиальных динамических систем, допускающих те или иные инвариантные алгебраические кривые (см., например, [5], [7], [8], [9], [10], [26], [27], [42], [43], [45], [46], [47], [49], [55], [57], [59], [60], [64], [67], [68], [76], [78], [81], [84], [85], [87], [88], [90], [93], [94], [95], [102]). Знание частных решений, как правило, позволяет изучить топологическую структуру в целом. Эти исследования восходят к трудам Г. Дарбу и А. Пуанкаре. В 1878 году Г.Дарбу [96] показал, что если у системы с полиномиальными правыми частями существует определенное число алгебраических инвариантных кривых, то система имеет первый интеграл Дарбу Г = Ф^ • • • Ф^ = С, где Ф^ -полиномы, неприводимые над полем комплексных чисел, попарно взаимно простые, величины (3j £ С, (3j ^ 0. Система, допускающая первый интеграл Дарбу, называется интегрируемой по Дарбу.

В работах М.В. Долова [14], [16], [17], [18], [22], [20], [24] установлено, что у интегрируемых по Дарбу систем предельные циклы - алгебраические; полиномы, определяющие циклы, - вещественные и входят в аналитическое выражение интеграла Дарбу; циклы структурно устойчивы; состояния равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения у таких систем могут быть только центрами [18]. С помощью этих результатов в [17] построен контрпример к гипотезе К.С. Сибирского [72], о всюду плотности множества систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями с первыми интегралами Дарбу в множестве полиномиальных динамических систем с простым состоянием покоя типа центр в смысле Пуанкаре. В работе [14] решена проблема Н.П. Еругина о существовании систем с полиномиальными правыми частями, имеющих среди фазовых траекторий предельные циклы и состояния покоя центр, а также изучены некоторые вопросы теории бифуркаций.

В работе Н.Н. Баутина [6] сформулирована теорема, устанавливающая связь между первой и второй частями 16-й проблемы Д.Гильберта, в частности, указан класс полиномиальных векторных полей степени п, имеющих предельными циклами овалы М-кривой степени п (алгебраической кривой порядка п с максимальным числом овалов).

В статье М.В. Долова [27] доказано существование полиномиальных векторных полей, предельными циклами которых являются только овалы двух М-кривых.

В связи с этим представляет как теоретический, так и практический интерес задача о максимальном числе предельных циклов в виде эллипсов и окружностей для полиномиального векторного поля степени п.

В работе [80] даны необходимые и достаточные условия существования при п—2 предельного цикла в виде эллиптической кривой второго порядка. Такие поля, кроме этого предельного цикла, не имеют других изолированных замкнутых траекторий, отличных от состояний покоя.

Для кубических дифференциальных систем, то есть систем, правые части которых - полиномы третьей степени, в [77] с точностью до обратимого линейного преобразования указаны необходимые и достаточные условия существования двух квадратичных алгебраических предельных циклов. При этом установлено, что помимо двух квадратичных алгебраических кривых, являющихся предельными циклами, у систем нет никаких других периодических решений. Кроме того, в [77] показывается, что окружность и эллипс не могут быть одновременно предельными циклами полиномиальной системы.

В статье М.В. Долова [13] для систем где Р и Q - полиномы, max(degP, degQ) = п, при Р(х, у) =у указывается оценка сверху для числа траекторий, которые могут быть замкнутыми кривыми второго порядка, и для систем с наибольшим числом предельных циклов в виде эллипсов рассматривается вопрос о существовании других периодических решений. При этом случай Р(х,у) ф у не рассматривался.

Таким образом, исследование полиномиальных динамических систем, среди траекторий которых содержатся инвариантные алгебраические кривые, является актуальным.

Цель работы. Целью диссертации является исследование задачи существования и оценки числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости с инвариантными кривыми заданного класса. При этом значительное внимание уделяется случаям, когда система дифференциальных уравнений допускает либо линейные частные интегралы, либо имеет предельными циклами кривые второго порядка, центры которых лежат иа одной прямой.

1)

Методика исследования. В работе используются методы качественной [1] и аналитической теорий обыкновенных дифференциальных уравнений, а также теории канонических первых интегралов [21].

Научная новизна. Для двумерных автономных систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями получены следующие новые результаты: указан класс интегрируемых по Дарбу векторных полей степени п, имеющих предельными циклами овалы алгебраической кривой степени п-1; найдены условия существования векторных полей четвертой степени с тремя предельными циклами в виде окружностей с попарно различными центрами, лежащими на одной прямой; указаны достаточные условия, когда центры окружностей, являющихся предельными циклами, принадлежат одной прямой; теорема о максимальном числе предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямой: теорема об отсутствии других предельных циклов в виде окружностей, при наличии среди фазовых кривых системы максимального числа предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямой; указаны достаточные условия центра в смысле Пуанкаре и условия отсутствия предельных циклов у систем с линейными частными интегралами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит, в основном, теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в научно-исследовательской работе по качественной теории дифференциальных уравнений, в учебных курсах и при изучении конкретных динамических систем.

Апробация и публикации. Научные результаты исследований апробированы: на Международной научной конференции аспирантов и студентов "Ломоносов 2001 "в Московском государственном университете; на Международной конференции "Еругинские чтения 7"(Гродно, 2001г.); на Международной конференции "Еругинские чтения 8"(Брест, 2002г.); на V Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск, 2002г.); на VI Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2004г.); на IX Белорусской Международной математической конференции (Гродно, 2004г.); на VII Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2006г.); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006г.); на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им.Н.И. Лобачевского, иаучн. руков. проф. А.Д. Морозов.

Основные результаты опубликованы в работах [31]- [41]. В опубликованных совместно с научным руководителем работах М.В. Долову принадлежат постановка задачи, идеи доказательств основных результатов и общее руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3

1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.Качественная теория динамических систем втрого порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 487 с.

3. Амелькин В.В., Лукашевич Н.А., Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Минск, изд-во БГУ, 1982. 207 с.

4. Баутин Н.Н. О числе предельных цпклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр //Мат.Сб., 1952. Т.ЗО, №72. С. 181-196.

5. Баутин Н.Н. О периодических решениях одной системы дифференциальных уравнений //ПММ, 1954. Т.18, М. С.128.

6. Баутин Н.Н.Оценка числа алгебраических предельных циклов системы х = Р{х,у), у = Q(x,y), с алгебраическими правыми частями //Дифференц. Уравнения, 1980. Т. 16, № 2. С.362.

7. Галиуллин А.С.,Мухаметзянов И.А.,Мухарлямов Р.Г., Фу-расов В.Д. Построение систем програмного движения. М.:Наука, 1971. 352 с.

8. Галиуллин А.С.Инвараптиость действия и обратные задачи динамики //Дифференц. Уравнения, 1984. Т.20, № 8. С. 1318-1325.

9. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. М.:Высшая школа, 1989. 263 с.

10. Горбузов В.Н., Тыщенко В.Ю. Частные интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений //Мат.Сб. 1992. Т.183, №3. С.76-94.

11. Долов М.В. О предельных циклах одного дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1966. Т.2, № 11. С.1469-1473.

12. Долов М.В. О дифференциальных уравнениях уу' — Q4(x,y), имеющих предельным циклом эллипс //Дифференц. Уравнения. 1967. Т.З, Л* 6. С.898-904.

13. Долов М.В. О предельных циклах одного класса дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1969. Т.5, JV« 7. С.1330-1334.

14. Долов М.В. О предельных циклах в случае центра //Дифференц. Уравнения, 1972. Т.8, № 9. С.1691-1692.

15. Долов М.В. О порядке алгебраической кривой, являющейся решением дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1974. Т.10, № 3. С.544-546.

16. Долов М.В. Предельные циклы и алгебраические интегралы в случае центра //Дифференц. Уравнения, 1975. Т.11, № 11. С.1935-1941.

17. Долов М.В. Предельные циклы и интегралы Дарбу в случае узла //Дифференц. Уравнения, 1977. Т. 13, № 3. С.406-415.

18. Долов М.В. Интегралы Дарбу в случае фокуса //Дифференц. Уравнения, 1978. Т.14, № 7. С.1173-1178.

19. Долов М.В. О дифференциальных уравнениях, имеющих интегралы Дарбу //Дифференц. Уравнения, 1978. Т.14, № 10. С.1765-1774.

20. Долов М.В., Лисин Б.В. Алгебраические интегралы в окрестности седла //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Сб.научных трудов, Горький, ГГУ, 1982. С.15-20.

21. Долов М.В. Канонические интегралы и предельные циклы. Диссертация д.ф.-м.н., Горький, 1983.

22. Долов М.В., Косарев В.В. О бифуркациях предельных циклов уравнений, допускающих интегралы Дарбу //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Горький, ГГУ, 1982. С.3-8.

23. Долов М.В., Косарев В.В. Интегралы Дарбу и аналитическая структура решений дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1983. Т. 19, № 4. С.697-700.

24. Долов М.В. Интегралы Дарбу и особые циклы //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Горький, ГГУ, 1985. С.5-8.

25. Долов М.В., Кузьмин Р.В. О предельных циклах одного класса систем //Дифференц. Уравнения, 1993. Т.29, № 9. С.1481-1485.

26. Долов М.В., Кузьмин Р.В. О предельных циклах систем с заданным частным иитегралом //Дифференц. Уравнения, 1994. Т.ЗО, Xs 7. С.1125-1132.

27. Долов М.В. Об алгебраических предельных циклах полиномиальных векторных полей на плоскости //Дифференц. Уравнения, 2001. Т.37, № 9. С.1155-1160.

28. Долов М.В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей //Дифференц. Уравнения, 2004. Т.40, № 6. С.838-839.

29. Долов М.В., Чистякова С.А. О предельных циклах полиномиальных систем дифференциальных уравнений с интегрирующим множителем Дарбу. // Вестник ННГУ, сер.Математика, 2004. В.1(2). С.53-60.

30. Долов М.В. О периодическом кольце и особой точке центр. // Вестник ННГУ, сер.Математика, 2006. В.1(4). С.15-17.

31. Долов М.В., Павлюк Ю.В. О предельных циклах эллиптического типа двумерных автономных систем //"Современные исследования в математике и механике", Труды 23 конф. молодых ученых мех.-мат. ф-та МГУ, Москва 9-14 апреля, 2001. С.277-281.

32. Долов М.В., Павлюк Ю.В.О предельных циклах динамических систем с нелинейностями четвертого порядка //Тезисы докладов Международной математической конференции "Еругинские чтения VII", Гродно, 2001.

33. Долов М.В., Павлюк Ю.В. О предельных циклах эллиптического типа двумерных автономных систем //Дифференц. Уравнения, 2002. Т.38, № 10. С. 1303-1309.

34. Долов М.В., Павлюк Ю.В. О предельных циклах динамических систем с нелинейностями четвертого порядка //Труды СВМО, 2002. Т.3-4, № 1. С.61-67.

35. Долов М.В., Павлюк Ю.В. К вопросу о числе предельных циклов полиномиальных двумерных динамических систем //Тезисы докладов Международной математической конференции "Еругинские чтения VIII", Брест, 2002.

36. Долов М.В., Павлюк Ю.В. Инвариантные алгебраические кривые полиномиальных динамических систем //Дифференц. Уравнения, 2003. Т.39, № 8. С.238-243.

37. Долов М.В., Павлюк Ю.В. Инвариантные алгебраические кривые и интегрируемость по Дарбу полиномиальных векторных полей //Труды СВМО, 2003. Т.5, ДО 1. С.68-70.

38. Долов М.В., Павлюк Ю.В. К вопросу об алгебраической интегрируемости полииомиальных векторных полей //Труды СВМО, 2004. Т.6, № 1. С.40-50.

39. Долов М.В., Павлюк Ю.В. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу //Тезисы докладов IX Белорусской Международной математической конференции, Гродно, 2004.

40. Долов М.В., Павлюк Ю.В. Интегрируемость по Дарбу систем с линейными частными интегралами //Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнеиям и динамическим системам, Владимир, 2006. С.92-93.

41. Долов М.В., Павлюк Ю.В. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу //Труды СВМО, 2006. Т.8, № 1. С.69-81.

42. Дружкова Т.А. Об алгебраических интегралах дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1968. Т.4, X® 8. С.1421-1427.

43. Дружкова Т.А. Об одном дифференциальном уравнении с алгебраическими интегралами //Дифференц. Уравнения, 1975. Т.11,2. С.262-267.

44. Дружкова Т.А. О порядке алгебраической интегральной кривой дифференциальног уравнения //Дифференц. Уравнения. 1975. Т.11, № 7. С.1338.

45. Дружкова Т.А. Дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Автореф.дисс.к.ф.-м.н. Горький, 1975. 9 с.

46. Дружкова Т.А. О квадратичном дифференциальном уравнении с алгебраическим интегралом //Дифференц. и Интегр. Уравнения. Горький, ГГУ, 1977. В.1. С.3-6.

47. Дружкова Т.А. О числе алгебраических частных интегралов дифференциального уравнения //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Горький, ГГУ, 1981. В.5. С.34-37.

48. Дюлак Г. О предельных циклах. М.: Наука, 1980. 156 с.

49. Евдокименко P.M. Об интегральных кривых одной динамической системы //Дифференц. Уравнения, 1971. Т.7, № 8. С. 1522-1524.

50. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. 744 с.

51. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую //ПММ. 1952. Т.16, вып. 6. С.659-670.

52. Ильяшенко Ю.С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости //Препринт АН СССР, Пущиио, 1982. Т. 38.

53. Ильяшенко Ю.С. Мемуар Дюлака "О предельных циклах"и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений //Успехи мат. наук, 1985. Т.40, №6. С.41-78.

54. Ильяшенко Ю.С. Теоремы конечности для предельных циклов //Успехи мат. наук, 1990. Т.45, № 2. С.143-200.

55. Косарев В.В. О циклах одной системы, имеющей алгебраический частный интеграл. В кн.качественная теория дифференциальных уравнений. ГГУ, 1975. В.2. С.79-83.

56. Косс М.Ш., Кадыров А.К. О верхней оценке числа интегральных прямых одного дифференциального уравнения //Сб.паучных трудов Ташкентского политехнического института, 1979, №258, С.59-64.

57. Куклес И.С., Розет И.Г. Об одном случае рождения предельного цикла на плоскости //Дифференц. Уравнения, 1971. Т.6, 5. С.771-778.

58. Лухманова Т.В. Динамические предельные множества кубических систем, порожденных интегралом типа Дарбу. Диссертация к.ф.-м.н. Нижний Новгород, 1999.

59. Любимова Р.А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми //Дифференц. и Интегр. У равнения, Горький, ГГУ 1977. С.19-22.

60. Любимова Р.А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми //Дифференц. и Интегр. Уравнения,Горький, ГГУ 1984. С.66-69.

61. Макеев Н.Г., Якунина О.А. К вопросу интегрируемости по Дарбу кубической автономной системы //Вестник ННГУ, сер.Математика, 2005, В.1(3). С.102-107.

62. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений системы дифференциальных уравнений и системы с алгебраическими траекториями //Дифференц. Уравнения, 1972. Т.8, J№ 12. С.2197-2204.

63. Морозов А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. Издательство ННГУ, Н.Новгород, 1995. 292 с.

64. Николайчик В.П. Построение и качественное исследование в целом одной динамической системы с двумя алгебраическими интегралами. В кн.-.Исследования по математ. и физике, Гродно. 1978. С.40-47.

65. Отроков Н.Ф. О числе предельных циклов в окресности особой точки //Мат.Сб. 1954. Т.34, № 1. С.127-144.

66. Петровский И.Г., Ландис Е.М. Число предельных циклов уравнения dy/dx — Р(х, у,)/Q{x, у), где Р и Q полиномы второй степени //Мат.Сб.1955. Т.37, № 79. С.209-250.

67. Попа М.Н., Сибирский К.С. Условия существования однородного линейного частного интеграла дифференциальной системы //Дифференц. Уравнения, 1987. Т.23, № 8. С.1324-1331.

68. Попа М.Н., Сибирский К.С. Линейные интегралы квадратичной дифференциальной системы //Изв.Акад.Наук Молдав.ССР. Математика, 1991. Т.1. С.77-80.

69. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.

70. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.:ГИТТЛ, 1947. 392 с.

71. Садовский А.П. Условия центра и предельные циклы кубических систем дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 2000. Т.36, № 1. С.113-119.

72. Сибирский К.С. Проблема алгебраического интеграла в случае центра //Дифференц. Уравнения, 1972. Т.8. № 12. С.2211-2214. С.1324-1331.

73. Сибирский К.С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев, Штиинца, 1976. 268 с.

74. Сибирский К.С. Условия существования линейного интеграла квадратичной системы в случае центра или фокуса //Кишинев, Мат. исслед., 1989. Т.106. С.114-118.

75. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Пер с нем.-5-е изд. М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1990. 256 с.

76. Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1973. Т.9, № 3. С.469-476.

77. Хуан Чи-Юй, Фан Чу-Бао, Цянь Синь-Чень Дифференциальa-ijxYные уравнения вида = b.xiyj. // Acta Mathem. Sinica, 1960. Vol. 10, № 2. P.223-238.

78. Худай-Веренов М.Г. Об алгебраических решениях и предельных циклах одного дифференциального уравнения. ИзвАН ТССР, сер. физ.-техн., хим. и геол. наук, 1963. № 1. С.108-110.

79. Худай-Веренов М.Г. О функциях, определяемых дифференциальными уравнениями. Ашхабад, Ылым, 1990.

80. Цинь Юань-Сюнь Об алгебраических предельных циклах второгоУпорядка для дифференциального уравнения ^ = • //Acta0<i+j<2 УMathem. Sinica, 1958. vol.8, № 1. P.23-35.

81. Черкас JI.А. Об алгебраических решениях уравнения у' = PjQ, где Р и Q многочлены второй степени . Докл. АН БССР. 1963. Т. 7, Л* И. С.732-735.

82. Черкас Л.А. Методы оценки числа предельных циклов автономных систем //Дифференц. Уравнения, 1977. Т.13 № 5. С.779-801.

83. Шубэ А.С. Линейные частные интегралы и проблема цен-тра.//Изв.АН Респ. Молдова, Матем, 1993. Т.2, №1. С.91-95.

84. Яблонский А.И.О предельных циклах одного дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1966. Т.2, № 3. С.335-344.

85. Яблонский А.И.Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1970. Т.6, № 10. С.1752-1760.

86. Bamon R. The solution of Dulac's problem for quadratic vector fields //Ann.Acad/Bris.Cienc, 1992. Vol.57. P.lll-142.

87. Cairo L., Feix M.R. Llibre J. Integrability and algebraic solutions for planar polynomial differential systems with emphasis on the quadratic systems //Resenhas de Universidade de Sao Paulo, 2000. Vol.4. P. 127161.

88. Chavarriga J., Llibre J., Sotomayor J. Algebraic solutions for polynomial vector fields with emphasis in the quadratic case //Exposit. Maht., 1997. Vol.15. P.161-173.

89. Chavarriga J., Gine J. Integrability of cubic systems with degenerate infinity //Differential Eqations Dynam. Systems, 1998. Vol.6. P.425-438.

90. Chavarriga J., Giacomini H., Llibre J. Uniqueness of algebraic limit cycles for quadratic systems //J. Maht. Anal. Appl., 2001. Vol.261. P.85-99.

91. Chen L, Wang M. On relative locations and the number of limit cycles for quadratic systems //Acta Math. Sinica, 1979. Vol.22. P.751-758.

92. Cherkas L.A., Romanovskii V.G., Zoladek H. The centre conditions for a certain cubic system //Differential Eqations Dynam. Systems, 1997. Vol.5. P.299-302.

93. Christopfer С. Invariant algebraic curves and conditions for a center //Proc. R. Soc. Edinburgh, 1994. V61.A124. P.1209-1229.

94. Christopfer C., Llibre J. Integrability via invariant algebraic curves for planar polynomial differential systems //Ann. Diff. Eqs., 2000. Vol.16. P.5-19.

95. Christopfer C., Llibre J., Pantazzi C., Zhang X. Darboux integrability and invariant algebraic curves for planar polynomial systems //J. of Physics A:Math. and General, 2002. Vol.35. P.751-758.

96. Darboux G. Memoire sur les equations differentielles algebriques du premier ordre et du premier degre //Bull.des.Sc.math., 1878. Vol.2(2). P.60-96,123-144,151-200.

97. Ecalle J. Introduction aux Functions Analysables et Preuve Constructive de la Conjecture de Dulac //Hermann Publ, Paris, 1992.

98. Harnack A. Uber die Vieltheilgkeit der ebenen algebraischen Kurven //Math.Ann., 1876. Vol.10. P.189-198.

99. Llibre J., Pantazi Ch. Counterexample to a conjecture on the algebraic cycles of polynomial vector fields //Geometriae Dedicata, 2005. Vol.110. P.213-219.

100. Sadovskaia N., Ramirez R. On 16-th Gilbert problem.// Тез. докл. межд. конф. по дифф. ур-ям и дин. системам, Суздаль, август 21-26. 2000, Владимир,2000. С.69-72.

101. Shi S A concrete example of a quadratic system of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems //Sci. Sinica, 1980. Vol.A23. P.153-158.

102. Schlomiuk D Elementary first integrals and nvariant algebraic curves of differential equations //Exposit. Maht., 1993. Vol.ll. P.433-454.

103. Sverdlov Inverse problems for dynamical systems //Journal of Diff.Eq., 1981. Vol.42. P.72-105.

104. Winkel R. A transfer principle in the real plane from nonsingular algebraic curves to polynomial vector fields //Geometriae Dedicata, 2000. Vol.79(l). P.101-108.

105. Zoladek H. Eleven small limit cycles in a cubic vector field //Nonlin-earity, 1995. Vol.8. P.843-860.