О бирациональных преобразованиях дифференциальных систем с полиномиальной правой частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГЛАВА

I. ИНВАРИАНШ ВИЛИНЕШЙК' ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ,НЫХ СИСТЕМ

§I. Билинейные преобразования и их свойства

§2, Вид инвариантов бирациональных преобразований дифференциальньк систем

§3. Получение некоторых инвариантов билинейных преобразований

§4. Применение полученных инвариантов для выделения дифференциальных систем, эквивалентных относительно билинейных преобразований

ГЛАВА

II. РЕДУКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОМОЩИ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНЙ'

§5. Редукция двумерных дифференциальных систем с^ полиномиальной правой частью при помощи билинейного преобразования

§6, Триангуляция двумерных дифференциальных систем при помощи билинейного преобразования ,

§7. Дробно-линеиные преобразования и их свойства

§8. Триангуляция дифференциальных систем при помощи дробно-линейного преобразования

§9. Влияние бирациональных преобразований на асимптотические свойства дифференциальных систем

I, К р а т к и й о б з о р п о т е о р и и и н в а р и а н т о в д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х с и с т е м . Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению инвариантов двумерных автономных дифференциальных систем при однородных бирациональных преобразованиях и редукции этих систем при помощи билинейных и дробно-линеиных преобразований фазовых переменных.Алгебраическая теория инвариантов зародилась в Англии в середине прошлого столетия. Многие фундаментальные проблемы теории были решены в 90-х годах в работах Д. Гильберта tl]. Классическая теория инвариантов изложена в книгах Г. Вейля LS], Дж. Грэйса и А. Юнга [З], Г. Б. ГУревича [4], И. Шура [б] и других авторов. Обзор работ по этой теории: иi обширная библиография даны В. Ф. Мейером [б] и Р. Вейтценбёком [7j. В последнее время в связи с применением теории инвариантов в самых разнообразных областях к ней вновь стали проявлять интерес. Об этом свидетельствуют, например, книги Ж. Дьедонне, Дж, Керрола, Д. Мамфорда [.8], Э, Спенсера [9], Т. Э. Спрингера tiol и Д. Хаджиева [ и ] .В дифференциальные уравнения теория инвариантов проникает еще в работах французских математиков Э. Лагерра [12, 13],^ Ж. Альфана ll4], Р. Лиувилля [15-18], П, Аппеля [l9-2l], ГГ. Пенлеве [22-243, Э. Гурса [253, Э. Вессио [26] и др. Рассматривались, например, инварианты дифференциальных уравнений определенного вида относительно произвольного преобразования независимого переменного и линейного или дробно-линеиного преобразования искомой функции с переменными коэффициентами. Обзор работ по теорийинвариантов дифференциальных уравнений дан Э. Вессио 1273.В последние десятилетия инварианты дифференциальных систем при степенных и аналитических преобразованиях неизвестных изу> 4 чаются А. Д. Брюно f28, 29], Л. А. Беклемишевой [ЗО], Г, Р. Белицким Isi], Л. М. Мархашовым [32]. Вопросам группового и геометрического анализа дифференциальных уравнений, восходящим к работам Ли и Э. Картана, посвятили свои исследования Л. В. Овг сянников £ззЗ, Н. X. Ибрагимов Е34], В. А. Дородницын [Зб], Н. В ^ Степанов [36, 3?], В. И, Близникас, 3. Ю. Лупейкис [зз], А. М. Виноградов [39] и др.В г. Кишиневе с 1963 г. группа математиков под руководством К. Сибирского занялась изучением совместных полиномиальных инвариантов автономных систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями при различных группах линейных преобразований фазового пространства. Результаты исследований опу— бликованы в работах Сибирского и его учеников Д. Булараса, Н. И. V Булпе, Э. Ф. Гасинской-Кирницкой, Данг Динь Бика, А. Н. Косачевой, В. А. Лункевича, А. В. Маринчук, И. И. Плешкана, М. Н. Попа и В. Д. Таку. В монографии К. Сибирского Х40"] излагаются г основы исследований в указанном направлении. Ниже приведены некоторые определения и результаты из этой монографии.Линейное преобразование СЬ будем записывать в виде ^ = (уХ, (0.2) где 'Ч--('Ч I'M J---1J /" вектор новых искомых функций, а СЬ( Tt Х'Л) -матрица.Сделав преобразование (0.2) в системе (O.l), придем к новой системе Обозначим через Ц совокупность всех коэффициелтов системы (0.3). Ясно, что О п р е д е л е н и е 0.1: Полином от коэффициентов системы (O.l) xlOU) называется полиномиальным инвариантом системы (0.1) при группе Gl , если существует такая функция XLQM) , завися^ щая только от элементов группы, что имеет место тождество IlJ&)=At(J,)I(*) (0-4) -* при всех <ув1э1 и любых 01/6 п . Функция Л(С1/) называется мультипликатором. Если A(C|/)^i , то инвариант I(OU) называется абсолютньм, в противном случае- относительны!^.О п р е д е л е н и е 0.2: Полином К(СЬ,00) от коэффициентов системы СO.l) и искомых переменных X , ^ ,...,Х называется комитантом системы (0.1) npns группе tl , если существует такая функция Я.((1/) , что при любых <b&Gt) OU^n и Х € Л .2. К р а т к и й о ч е р к о т р е у г о л ь н ы х и т р и а н г у л и р у е м ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х с и с т е м а х . ; Треугольные дифференциальные системы являются одной из моделей систем со специальным характером взаимодействия компонент решения, которые поддаются наиболее полному изучению. У этих систем взаимодействие между компонентами их решений носит односторонный характер- компоненты решения с последующими номерами не влияют на компоненты, с предыдущими но^ - 7 мерами.Простейшими треугольными системами являются треугольные линейные дифференциальные системы. Систематическое изучение этих систем начато А. М. Ляпуновым. Одним из первых и классических результатов А. М. Ляпунова по треугольным линейным системам является критерий правильности: Действительная треугольная линейная однородная дифференциальная система с ограниченными коэффициентами является правильной тогда и только тогда, когда ее диагональные коэффициенты имеют конечные средние значения.Интерес к треугольным линейным дифференциальным системам в теории линейных систем объясняется не только их простотой и, поэтому, доступностью наиболее полному исследованию, но и в определенном смысле их универсальностью. Как показал 0. Перрон [46] в 1930 году, всякая линейная система может быть приведена, без нарушения асимптотических свойств решений, к треугольному виду и притом с действительными коэффициентами на диагонали. Точнее, для всякой линейной дифференциальной системы 1х^ 1% -Агах существует унитарное /и по меньшей мере абсолютно непрерывное по Т / преобразование СО—'л/СС^'у, переводящее ее в систему ^rP(t}a^,(P-U-m-U'^U; с треугольной матрицей г , диагональ которой действительна; если матрица А ограничена в обычном или интегральном смысле, то г ограничена в том же смысле, а преобразование является ляпуновским. - 8 После того как проблема триангулируемости линейных систем завершена в своем исследовании /по крайней мере теоретически/, естественно обратиться к триангулируемости нелинейных систем.По проблеме триангулируемости нелинейных дифференциальньк систем в настоящее время имеется лишь небольшое количество публикаций, к примеру, В. Самовол [47], Г. Тот [48-5IJ. В работе Isij Г. Тот определяет соответствие мелоду вполне регулярными динамическими системами и частично упорядоченными графами и посредством условия на графы дает полную топологическую характеризацию двумерных триангуляризуемых эффективных динамических систем, которая являлась первоначальной задачей В, Самовола в [473.Ниже приведены некоторые результаты из кандидатской диссертации Ю. Б. Сыроида, которые опубликованы в работах [52-54]. Им устанавливается геометрический критерий квазитреугольности /т.е. блочной треугольности/ дифференциальной системы, позволяющий выявить многие свойства указанных систем. Учитывая специфику треугольных систем, уточняются некоторые теоремы общей теории дифференциальных уравнений, в частности, теорема.существования и единственности Пикара - Линделёфа и теорема о бесконечной продоллшмости решений, в таком смысле, что значительно ослабляются обычные предположения об аналитической природе внедиагональных элементов правой части. Исследованы обш;ие свойства траекторий автономных треугольных дифференциальных систем.Ю. Б. Сыроидом найдены необходимые и достаточные геометрические условия аффинной квазитриангулируемости, в частности, триангулируемости дифференциальных систем и потоков. Для дифференциальных систем с голоморфной правой частью получены аналитические условия локальной аффинной триангулируемости. Исследуется вопрос о принадлежности триангулирующего преобразования классу преобразований Ляпунова. Оказывается, что если дифференциальная - 9 система аффинно триангулируема, то она и ортогонально триангулируема, Тем самым обеспечена инвариантность основных свойств относительно триангулирующего преобразования. Получены необходи^ше и достаточные условия аффинной триангулируемости дифференциальных систем с полиномиальной правой частью. Отмечается, что если дифференциальная система с полиномиальной правой частью триангулируема, то триангулируемы и все укорочения /по степени правой части/ исходной системы, причем посредством одного и того же преобразования. Наконец, вводится понятие линейного расслоения пространства и доказано необходимое и достаточное условие триангулируемости дифференциальных систем: дифференциальная система триангулируема тогда и только тогда, когда существует такой диффеоморфизм ^ : Е " * Е расширенного фазового пространства в себя, при котором семейство fY/Y - семейство графиков решений системы/ линейно расслаивает пространство Е .3. О б ъ е к т и с с л е д о в а н и я . А к т у а л ь н о с т ь т е м ы . Н е к о т о р ы е с в е д е н и я о б и р а ц и о н а л ь н ы х п р е о б р а з о в а н и я х .Комплексное изучение дифференциальных уравнений имеет одной из своих составных частей выделение структуры и асимптотики семейств решений. В последние годы в ряде научных центров, в частности- в Кишиневе и в Минске получены результаты асимптотического исследования на основе методов инвариантов, причем основное значение придавалось инвариантам линейных преобразований. Для теории уравнений представляют интерес разработки в направлении расширения групп допустимых преобразований. Естественно, наряду с линейными преобразованиями привлечь билинейные или более общие- бирациональные преобразования. В настоящей диссертационной работе получены некоторые инварианты двумерных дифференциальных систем относительно однородных бирациональных преобразований, - 10 какими являются билинейные преобразования. Их можно использовать для установления билинейной эквивалентности /или неэквивалентности/ двух систем с полиномиальньши правыми частями.Одной из основных целей преобразования дифференциальных систем является сведение этих систем к более простым системам, к которым, в частности, можно отнести и треугольные дифференциальные системы. Триангулируемость дифференциальных систем посредством линейных преобразований исследована в ряде работ, среди которых в упомянутых выше [52-54). В данной работе найдены коэффи*циентные условия триангулируемости дифференциальных систем с полиномиальными правыми частдали определенного вида при помощи некоторых бирациональных преобразований, а именно- билинейных преобразований двумерного действительного пространства и дробно-линейных преобразовакмй двумерного комплексного пространства. Результаты исследования представляют интерес для структурной и асимптотической теории дифференциальных уравнений. С помощью этих результатов расширяется класс; дифференциальных уравнений с выявленными качественными портретами.Понятие бирационального .изоморфизма алгебраических кривых появляется в диссертации Б. Римана, опубликованной в I85I г. /см. [553/. В работе М. Нётера и А. Брилля [56] ставится задача развить геометрию на алгебраической кривой, лежащей в проективной плоскости, как совокупность результатов, инвариантных: относительно взаимно однозначных /т.е. бирациональных/ преобразований. В 1868 г. А. Кяебш опубликовал маленькую заметку [58], в которой рассматривает алгебраические поверхности с точки зрения /употребляя современный термин/ бирационального изоморфизма. Он рассматривает всюду конечные двойные интегралы на поверхности и отмечает, что максимальное число линейно независимых среди них инвариантно относительно бирационального изоморфизма. В работе - 11 М. Нётера [57j доказывается, что дифференциальные формы максимальной степени на многообразии произвольной размерности образуют конечномерное пространство, размерность которого инвариантна относительно однозначных /т.е. бирациональных/ преобразований.В той же работе Нётер исследует понятие исключительной кривой, стягивающейся в точку при бирациональном изоморфизме.В работе Э. Бертини [59] дается классификация инволютивных преобразований плоскости. Речь идет /в современной терминологии/ о классификации с точностью до сопряя^енности в группе бирациональных автоморфизмов плоскости всех элементов 2-го порядка этой группы. Классификация алгебраических поверхностей была получена Ф. Энрикуэсом в серии работ, завершившейся уже в 10-х годах нашего столетия /см. 1б0]/.Ниже приведены некоторые определения из книги И. Р. Шафаревича [6l3. Обозначим через А ТЬ-мерное аффинное пространство над полем К/ .О п р е д е л е н и е 0.3 /см. £б1, с, 29]/: Замкнутым подмножеством в А называется подмножество Х с Д , состоящее из всех совместных нулей конечного числа многочленов с коэффициентами из % . Иногда мы будем коротко говорить о замкнутом множестве /в топологии Зарисского/.Пусть X и [ замкнутые множества.О п р е д е л е н и е 0.4 /см. |]61, с. 45]/: Рациональное отображение ^'.Х"^! называется бирациональным изоморфизмом, если оно обладает обратньм. Зто означает, что существует такое рациональное отображением^; плотно в в X и являются толщественными отобршкениями.Заметим, что рациональное отображение TiX'^Y бирационально тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно в общей точке, т.е. вне подмножества коразмерности, 2 или больше в Y . Об этом будет сказано подробнее в § 9. Это не так в действительном случае- отображение ' ^ ^ Х не бирационально.4. О б ъ е м , с т р у к , т у р а , и с о д е р ж а н и е р а б о т ы . Диссертация объемом в 155 с. состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы, включающего 70 наи- 13 менований. У параграфов единая нумерация с I по 9, Разделы, определения, теоремы, предложения, леммы и формулы имеют раздельную нумерацию внутри каждого параграфа, причем сначала указывается номер параграфа. Только у рисунков есть раздельная нумерация внутри каждой главы и сначала указывается номер главы.Искомые функции, если не оговорено особо, зависят от действительного переменного V , а их производные, как правило, будем обозначать точкой сверху, а не штрихом: Координаты векторов фазовых переменных будем снабжать верхними индексами только если оговорено, что пользуемся тензорными обозначениями. Во всех остальных случаях будем пользоваться только нижними индексами.Первая глава, которая состоит из четырех параграфов, посвящена нахождению комитантов двумерных автономных систем дифференциальных уравнений относительно билинейных преобразований. В § I определены билинейные преобразования в двумерном действительном пространстве, исследуются их свойства и влияние на поведение решений дифференциальных систем. Приведены несколько обобщений понятия билинейного преобразования на случай Т1 -мерного действительного или комплексного пространства. В § 2 определено понятие геометрической эквивалентности дифференциальных систем с рациональными правыми частями: две такие системы геометрически эквивалентны, если их правые части пропорциональны. Далее дается определение эквивалентности при группе бирациональных преобразований в обобщенном смысле. Дано определение понятия комитантов вышеуказанных систем при группе бирациональных преобразований, являющееся модификацией приведенного выше определения 0.2. Указан возможный вид некоторых таких комитантов. В § 3 получены некото- 14 рые комитанты двумерных дифференциальных систем относительно билинейных преобразований. Отмечается, что на самом деле они являются комитантами относительно произвольных однородных бирациональных преобразований. Наконец, в § 4 найденные комитанты применяются для решения вопроса о билинейной эквивалентности двух конкретных систем.Во второй главе, которая состоит из пяти параграфов, рассматривается вопрос о редукции дифференциальных систем с полиномиальной правой частью при помощи некоторых бирациональных преобразований. В § 5 выводятся условия на коэффициенты двумерных систем с квадратичными нелинейностями, при выполнении которых они билинейно эквивалентны в обобщенном смысле линейньм системам.Исследуются фазовые портреты выделенных систем. В § 6 получены условия, при выполнении которых двумерные системы билинейно эквивалентны в обобщенном смысле треугольным системам либо с выделенной линейной диагональю, либо с квадратичными нелинейностяьш.В § 7 рассматриваются четырехмерные действительные системы с полиномиальными правыми частями, удовлетворяющими условишд Коши- Римана. Ставится задача о приведении соответствующих двумерных комплексных систем к треугольным, системам, с не более, чем квадратичными нелинейностями вне главной диагонали при помощи определенных в том же параграфе дробно-линейных преобразований.Исследованы свойства этих преобразований и их влияние на поведение решений дифференциальных систем. В § 8 получены условия на коэффициенты двумерных комплексных систем с правыми частяьш степени не выше третьей, при выполнении которых они дробно-линейно эквивалентны в обобщенном смысле треугольным системам, с не болео чем квадратичными нелинейностями вне главной диагонали. Наконец, в § 9 исследуется влияние бирациональных преобразований более общего вида на асимптотические свойства дифференциальных - 15 систем» «Указан пример бирационального преобразования, обладающего исключительными многообразиями.Апробация. Материалы диссертации докладывались на научных конференциях молодых ученых БГУ /Минск, 1982, 1983, 1984 гг./ и на конференции болгарских аспирантов в СССР /Москва, 1983 г./.Работа обсуждалась на Минском и Кишиневском городских семинарах по обыкновенным дифференциальным уравнениям.Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах \6п'-70'}.На защиту выносятся следующие результаты: 1. Дается описание группы бирациональных преобразований, порождаемой билинейными преобразованиями.2. Получены комитанты степени однородности не выше третьей относительно коэффициентов двумерной дифференциальной системы при однородных бирациональных преобразованиях.3. Выделен класс двумерных систем с квадратичными нелинейностями, которые билинейно эквивалентны в обобщенном смысле линейным системам.4. Найдены коэффициентные условия билинейной эквивалентности в обобщенном смысле двумерным треугольньм системам с выделенной линейной диагональю или с квадратичными нелинейностями.5. Исследован вопрос о триангулируемости посредством дробнолинейных преобразований двумерных комплексных дифференциальных систем с нелинейностями степени не выше третьей. - 16

1. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 2. Algebra. 1.-variantentheorie. Geometrie. Zweite Auflage. Berlin - Heidelberg - N. Y.: Springer, 1970, 453 S.

2. Вейль Г. Классические группы,, их инварианты и представления. М.: ПИИЛ, 1947, 408 сг.

3. Grace J. Hi, Young A. The Algebra of Invariants. Cambridge, 1903, 384 p.; N. Y.: Chelsea, 1965, 384 p.

4. Гуревич Г. Б. Основы теории: алгебраических инвариантов^. М.- Л.: ГИТТЛ, 1948, 408 с.

5. Schur I. Vorlesungen liber Invariantentheorie. Die Grund-lehren der math. Wiss. in Einzeldarstellungen., Berlin Heidelberg - N. Y.: Springer, 1960, Bd. 143, 134 S.

6. Meyer W. Fr. Invariantentheorie.- Enzyklopadie der math. Wissenschaften, 1899, Bd. 1, H. 3-4, S. 320-403.

7. Weitzenbock R. Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie.- Differentialinvarianten.-Encyklopadie der math. Wissenschaften, 1922, Bd. 3, Teil 3, H. 6, S. 1-71.

8. Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.Мир, 1974, 280 с.

9. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974, 156 с.

10. Спрингер Т. Э. Теория: инвариантов. М.: Мир,. 1981, 191с.-Новое в: зарубежней науке. Математика; 24.

11. Хаджиев Д. Теория инвариантов бинарных форм. Ташкент.: Изд.-во ФАН УзССР, 1978, 95 с.

12. Laguerre Е. Sur les equations differentielles lineaires du troisieme ordre.-C. r. Acad. Sci., 1879, t. 88, p. 116-119.

13. Laguerre E. Sur quel que s invariants des equations differentielles lineaires.-C. r. Acad. Sci., 1879, t. 88, p. 224-227.- 148

14. Liouville R. Sur une classe d'equations differentielles du premier ordre et sur les formations invariantes qui s'y rap-portent.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 460-463.

15. Liouville R. Sur une classe d'equations differentielles, parmi, lesquelles, en particulier, toutes cell.es des lignes geo-desiques se tanvent comprises.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 1062-1064.

16. Appell P. Sur les invariants des equations differentielles.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 55-58.

17. Appell P. Sur les invariants de quelques equations differentielles.-J. de math, pures et appli., 1889, t. 5, 4 ser., p. 361-423.

18. Painleve P. Sur les equations differentielles lineaires du troisieme ordre.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 104, p. 1829-1832.

19. Painleve P. Sur les equations differentielles lineaires.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 58-61.- 149

20. Painleve P. Sur une transformation des equations diffe-rentielles du premier ordre.-C. r. Acad. Sci., 1890, t. 110, p. 840-843.

21. Goursat E. Sur les invariants des equations differenti-elles.-C. r. Acad. Sci., 1888, t. 107, p. 898-900.

22. Vessiot E. Sur quelques equations differentielles ordi-naires du second ordre.-Ann. fac. sci. Toulouse, 1895, t. 9, p. F1-F26.

23. Vessiot E. Gewohnliche Differentialgleichungen; Elemen-tare Integrationsmethoden.-Encyclopadie der math. Wissenschaf-ten, 1900, Bd. 2, Teil 1, H. 2-3, S. 240-243.

24. Брюно А. Д. О локальных инвариантах дифференциальных уравнений.-Мат. заметки, 1973, т; 14, № 4, с. 499-507.

25. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974, 254 с.

26. Беклемишева Л. А. Инварианты полиномиальных систем дифференциальных уравнений относительно обобщенных степенных преобразований. -ДАН СССР, 1978, т,; 243, № 6, с, 1365-1368.

27. Белицкий Г. Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев: Наукова думка, 1979, 174 с.

28. Мархашов Л. М. Метод инвариантов в задачах об эквивалентности' обыкновенных дифференциальных уравнений.-В кн.:, Кибернетика и вычислительная техника. Ресгг. межвед. сборник. Киев: Наукова думка, 1978, вып. 39, с. 45-53.

29. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальны?: уравнений. М.: Наука, 1978, 400 с.

30. Степанов Н. В. Дифференциально-геометрическая теория:Стъ) f— ,/ , iTVlLуравнения =г(Х/чД ,.) .-В кн.: Проблемы геометрии. М., 1977, тг. 8, с:. 47-66.

31. Степанов Н. В. Геометрия дифференциальных уравнений.-В кн.:: Проблемы геометрии: /Итоги: науки и техники/. М., 1981,, т. 12,; с. 127-164.

32. Близникас В. И., Лупейкис 3. Ю. Геометрия дифференциальных уравнений.-В кн.:. Алгебра. Топология. Геометрия /Итоги: науки и техники/. М., 1974,: ti. II, с:. 209-259.

33. Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений.-В кн.: Проблемы геометрии /Итоги науки и техники/. М,,. 1980, т. II, с. 89-134.

34. Сибирский К. С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. Кишинев г Штиинца, 1982,. 168 с-.

35. Гасинская Э. Ф., Сибирский К. С. Аффинные, инварианты системы" с квадратичными нелинейностями.-Диф. уравнения,., 1973,, т; 9, Р 8, с. I371-1382.

36. Буларас: Д., Попа М. Н. Комитанты системы" сз квадратичными: нелинейностями.-Диф. уравнения, 1978,. т:. 14,; Р 5, с. 835-842.

37. Буларас Д., Сибирский К. С. Центроаффинные" инварианты" квадратичной дифференциальной системы.-Изв-. АН. МССР,. 1979, Р I,,,8.17.

38. Perron 0. Uber eine Matrixtransformation. Math. Z.s., 1930, Bd. 32, S. 465-473.

39. Самовол В. С. О приведении динамических систем к треугольному виду.-Диф. уравнения, 1969, т. 5, № 6, с. 1076-1082.

40. Toth G. On the Global Triangularizability of Planar Differentiable Dynamical Systems.-Studia Sci. Math. Hungar.,1976, Vol. 11, p 1-2, p. 211-228.

41. Toth G. On the Triangularizability of Planar Orthogonal Differential Equations.-Period. Math. Hungar., 1977, Vol. 8,3.4, p. 243-251.

42. Toth G. On the Triangularizability of Planar Differential Systems without Critical Points.-Studia Sci. Math. Hungar.,1977, Vol. 12,; F 3-4, p. 425-428.

43. Сыроид Ю. Б. Геометрический критерий линейной приводимости дифференциальной системы к треугольному виду.-Вестн. Бег-лорус. ун.-та, Сер. I, 1973, Р 2, с. 16-17.

44. Сыроид Ю. Б. Композиция дифференциальных систем.-Вестн. Белорус, ун.-та, Сер. I, 1974, Р 2, с. 19-22.

45. Сыроид Ю. Б. Треугольные и триангулируемые дифференциальные системы.-Диф. уравнения, 1974, т;. 10, Р 2, с. 266-269.

46. Риман Б. Сочинения. Гостехиздат, 1948.

47. Noether М., Brill A. Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie.-Math. Ann., 1873, Bd. 7.

48. Noether M. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens al-gebraischer Gebilde von beliebig vielen Dimensionen.-Math. Ann., 1870, Bd. 2; 1875, Bd. 8.

49. Clebsch A. Sur les surfaces algebriques.- 0. r. Acad. Sci., 1868, t. 67, p. 1238-1239.

50. Bertini E. Ricerche sulle transformazioni univoche invo-lutorie nel piano.-Annali di Matematica, ser. II, 1877, v. 8.

51. Enriques F. Superficie Algebriche. Bologna, 19^9.

52. Шафаревич И. P. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972, 568 с.

53. Mumford D. Algebraic Geometry. 1. Complex Projective Varieties. Berlin Heidelberg - N. Y.: Springer, 1976 /русский перевод: Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. I. Комплексные-проективные многообразия. М.Мир, 1979, 256 е./

54. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. Л.:. Гостехиздат, 1947, 448 с,

55. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-5-е изд.-М.: Наука, 1976, 576 с.

56. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков: Научно-техническое изд.-во Украины, 1939, 719 с.

57. Ковачев В. X. Билинейные преобразования некоторых дифференциальных уравнений с рациональной правой частью.-Вестн. Белорус. ун.-та, Сер. I, физ., мат. и.мех., 1983, № 2, с. 45-47.

58. Ковачев В. X. О приведении некоторых дифференциальных уравнений с рациональной правой частью к "треугольному" виду прш- 153 помощи билинейного преобразования.-Вестн. Белорус, ун.-та, Сер. I, физ., мат. и мех., 1984, Р 2, с. 61-62.

59. Ковачев В. X. О некоторых билинейных инвариантах двумерных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональной правой частью.-Диф. уравнения, 1985, № 2,

60. Ковачев В. X. О триангуляции дифференциальных систем при помощи дробно-линейного преобразования. Ред. журн. "Изв. вузов. Матем." Казань, 198, 48 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ