Полиноминальные базисы комитантов дифференциальных систем и их приложения в качественной теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЦЕНТРОАФФИННЫЕ КОМИТАНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

§ I. Теорема Грама $ 2. Дифференциальные уравнения для центроаффинных инвариантов системы (1.1)

§ 3. Свойства дифференциальных операторов и 0 4-

§ 4. О виде изобарного полинома 3 , для которого 2 - о

§ 5. Полуинварианты системы (1.1) и их линейная независимость

§ б. Вычисление размерностей линейных пространств комитантов с помощью ЭВМ

ГЛАВА П. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БАЗИСА ЦЕНТРОАФФИННЫХ КОМИТАНТОВ

§ 7. Определение трансвектанта и его свойства

§ 8. Метод трансвектантов построения минимального базиса

§ 9. Использование размерности линейного прос -транства комитантов. Полиномиальный базис комитантов однородной кубической системы

§ Ю. Полиномиальный базис комитантов однородной квадратичной системы

§ II. Минимальный полиномиальный базис комитантов квадратичной системы

ГЛАВА Ш. ЦЕНТРОАФФИННО ИНВАРИАНТНАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КВАДРАТИЧНОМ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ ЦЕНТРА

§ 12. Обзор литераторы и вспомогательные предложения

§ 13. Случай 1^

§ 14. Случай IнФО> =

§ 15. Случай 1&Щ 13 = $ 16. Случай

§ 17. Сводка результатов

ГЛАВА 1У. МИНИМАЛЬНАЯ ПОЛНАЯ СИСТЕМА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ

3 18. Постановка задачи

§ 19. Унарные, бинарные и тернарные инварианты

§ 20. Кватернарные инварианты

§ 21. Минимальная полная система ортогональных инвариантов квадратичной системы. Ортогональная эквивалентность таких систем

Задача изучения топологической структуры разбиения на траектории фазового пространства автономной полиномиальной системы является одной из основных задач качественной теории двумерных дифференциальных систем. Конечной целью качественного исследования любой дифференциальной системы вида (I) является разбиение пространства коэффициентов многочленов и С) на части с одинаковыми топологическими структурами в каждой точке. Отметим, что эта цель не достигнута даже в таком простом случае, когда

Р(х,у) и (¿(хф

- многоч лены второй степени, несмотря на то, что к указаной системе приводит большое количество прикладных задач (см., например, обзор В. Коппеля [б5] ).

При качественном исследовании, система (I), как прави -ло, подвергается линейному (центроаффинному) преобразованию, с целью приведения ее к более простому виду. Если рассматривается полуалгебраически разрешимая задача [2] то соответствующие условия имеют вид равенств и неравенств между полиномами от коэффициентов преобразованной системы. При выражении этих условий через коэффициенты исходной системы (I) встречаются значительные трудности. Поэтому возникает задача нахождения аффинно-инвариантных коэффициентных условий.

Согласно теореме Грама, если система коэффициентных условий имеет центроаффинно-инвариантный смысл для системы (I), то эти условия можно выразить через центроаффинные инварианты и комитанты системы (I). Этим и обуславливается значение комитантов и инвариантов системы (I), а также необходимость их исследования.

Алгебраическая теория инвариантов появилась в середине XIX века в Англии и заняла одно из центральных мест в математике второй половины XIX в. Фундаментальными в этом направлении стали работы Д. Гильберта [72] опубликованные в 90-х годах. Основы классической теории инвариантов изложены в книгах Г. Вейля [13] Г.Б. Гуревича [26] Дж. Грэйса и А. Юнга [70] И. Шура [80] и других авторов. В работах В.Ф. Мейера [77] и Р. Вейтценбека [81] приводится обширная библиография и дан обзор работ по этой теории.

В последнее время к теории инвариантов вновь возник интерес, в связи с применением ее к некоторым вопросам алгеб -раической геометрии, функционального анализа, дифференциальных уравнений, механики сплошной среды, кристаллографии и др. ( см., например, работы!. Дьёдонне, Дж. Керрола, Д. Мамфор-да [33] Э. Спенсера [58] Т.Э. Спрингера [59] , Д. Хаджиева [62] , А.И. Кухтенко [39] , Л.И. Седова [52] , Ф.В. Должанс-кого, В.И. Кляцкина, A.M. Обухова, М.А. Чусова [32] и др.).

Впервые применение теории инвариантов в дифференциаль -ных уравнениях нашло отражение, в работах французских математиков. Отметим здесь работы э. JIareppa [75] , Ж. Альфана [71] , Р. Лиувилля [76] , П. Аппеля [63] , П. Пенлеве [79] и др.

Инварианты дифференциальных систем при степенных и аналитических преобразованиях неизвестных изучаются в работах

A. Д. Брюно [8, 9] , Л.А. Беклемишевой [5] , Г.Р. Белицкого [б] , Л.М. Мархашова [46] . Отметим еще работы Л.В. Овсянникова [47] , Н.Х. Ибрагимова [34-] , Н.В. Степанова [60, 61] ,

B.И. Близникас, З.Ю. Лупейкис [7] , в которых рассматриваются вопросы группового и геометрического анализа дифференци -алъных уравнений.

В начале 60-х годов в Кишиневе под руководством К.С. Сибирского начаты исследования полиномиальных инвариантов автономных систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями при различных группах линейных преобразова -ний фазового пространства. В частности, для двумерных полиномиальных систем методом символики Аронгольда изучаются центроаффинные инварианты и комитанты (см. работы [ю - II, 25, 27, 28] ) и находятся полиномиальные зависимости (сизи -гии) между ними [31, 48] , причем выражения самих инвариан -тов и комитантов получены с помощью ЭВМ [24, 35] . Найденные при этом инварианты и.комитанты используются для проведения центроаффинной классификации соответствующих систем [30, 49, 50] , а в случае системы с квадратичными нелинейностями^ используя центроаффинные инварианты^решается вопрос о наличии у нее одной или двух особых точек типа "центр", вопросы изохронности и цикличности [36, 55] Заметим, что вопросы применения комитантов при классификации однородной квадратичной системы рассмотрены также в работах Т. Дэйта [бб, 67].

Актуальность темы. Символическим методом Аронгольда невозможно построить минимальный полиномиальный базис центро аффинных комитантов системы (I) (конечность которого обеспечена известной теоремой Д. Гильберта [72] ), так как неизвестно до какой степени необходимо проводить исследование. Существующие оценки для максимальной степени базисных инвариантов (см., например, В.Л. Попов [51]) носят чисто теоретический характер и непригодны для практического применения.

Таким образом, до настоящего времени отсутствовали эф -фективные методы построения конечных полиномиальных базисов центроаффинных инвариантов системы (I). Построение такого метода является одной из задач, решаемых в диссертации.

Глобальному качественному исследованию квадратичной системы при наличии центра посвящены работы многих авторов [38, 40, 41, 43, 44, , но остался открытым вопрос о коэффици -ентных условиях различения топологических классов. Решение этого вопроса также является составной частью данной работы.

Цель работы. I) Разработать метод построения минималь -ных полиномиальных базисов центроаффинных комитантов двумерных автономных дифференциальных систем с полиномиальными правыми частями; 2) используя элементы построенных минимальных полиномиальных базисов разработать применения инвариан -тов и комитантов к глобальному качественному исследованию дифференциальных систем; 3) решить представляющую самостоя -тельный интерес задачу построения минимальных полных систем ортогональных инвариантов двумерной полиномиальной системы, полностью решая тем самым вопрос об ортогональной эквивалентности двух таких дифференциальных систем.

Научная новизна. В диссертации развито новое научное направление в теории инвариантов и комитантов дифференциальных систем, связанное с построением их полиномиальных базисов и применением для глобальной качественной характеристики систем. В ней решены следующие конкретные задачи, определяющие науч -ную новизну работы:

- построены дифференциальные операторы и 0 аннулирующие центроаффинные инварианты дифференциальных систем;

- используя операторы и 0 разработан алгоритм вычисления с помощью ЭВМ числа линейно независимых комитантов данного типа дифференциальной системы;

- с помощью трансвектантов разработан метод построения минимальных базисов центроаффинных комитантов двумерных полиномиальных систем;

- используя разработанный метод получены такие базисы для однородной кубической системы и для системы с квадратичными нелинейностями;

- в случае наличия у квадратичной системы центра в начале координат получено аффинно-инвариантное разбиение пространства ее коэффициентов на топологически различные классы; при этом, используя элементы построенного минимального полиномиального базиса комитантов, найдены полуалгебраические аффинно-инвариантные необходимые и достаточные условия принадлежности указанной системы .к каждому из 32 топологически различных классов;

- разработан простой алгоритм построения минимальных полных систем ортогональных инвариантов двумерных полиноми -альных дифференциальных систем. Тем самый решена задача об ортогональной эквивалентности двух таких систем.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации и разработанные в ней методы могут быть использованы в теоретических исследованиях при изучении центроаффинных комитантов и ортогональных инвариантов двумерных дифференциальных систем, с целью последующего их привлечения к гло -бальному качественному исследованию соответствующих систем.

Результаты топологической классификации квадратичной системы при наличии центра имеют табличный характер, что позволит специалистам прикладных отраслей использовать их в своих исследованиях.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всес. конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1979), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского госуниверситета, руководимом проф. В. М.Милли о нщик о вьш (1979, 1983), на семинаре кафедры высшей математики Белорусского госуниверситета, руководимом проф. Ю.С.Богдановым (1983), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского госуниверситета, руководимом проф. В.А.Длиссом (1983), на семинаре по диффе -ренциальным уравнениям в Институте математики АН УССР, руководимом академиком АН УССР Ю.А.Митропольским (1983) и систематически на Кишиневском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений, руководимом академиком АН МССР К.С.Сибирским и проф. Б.А.Щербаковым.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [12 - 25}

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 21 параграфов. Параграфы имеют сплошную нумерацию. Утверждения, определения и т. п. занумерованы двумя числами, второй из которых указывает номер параграфа. В конце работы приведен список литературы из 81 наименования.

1. Андреев А.Ф. Исследование поведения интегральных кривых одной системы двух дифференциальных уравнений в ок -рестности особой точки. - Вестник ЛГУ, 1955, №8, с. 43-65.

2. Арнольд В.И. Алгебраическая неразрешимость проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, 1970, т. 25, вып. 2(152), с. 265-266.

3. Баутин H.H. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояний равновесия типа фокус или центр. ДАН СССР, 1939, т. 24, №7, с. 668-671.

4. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976, 496 с.

5. Беклемишева Л.А. Инварианты полиномиальных систем дифференциальных уравнений относительно обобщенных степенных преобразований. ДАН СССР, 1978, т. 243, № 6, с. I365-1368.

6. Белицкий Г.Г. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев: Наукова думка, 1979, - 174 с.

7. Близникас В.И., Лупейкис З.Ю. Геометрия дифференциаль -ных уравнений. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия (Итоги науки и техники), М., 1974, т.II, с. 209-259.

8. Брюно А.Д. О локальных инвариантах дифференциальных уравнений. Матем. заметки, 1973, т. 14, № 4, с. 499-507.

9. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979, - 254 с.

10. Буларас Дрисс. Аффинные инварианты дифференциальных- 227 систем. В кн.: Алгебраические инварианты динамических систем. /Матем. исслед., 1980, вып. 55, с. 30-36.

11. Буларас Дрисс, Попа М.Н. Комитанты системы с квад -ратичными нелинейностями. Дифф. уравнения, 1978, т. 14,5, С. 835-842.

12. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М.: ГИИЛ, 1947, - 408 с.

13. Вулпе Н.И. Число линейно независимых комитантов системы дифференциальных уравнений. Дифф. уравнения, 1979,т. 15, № 6, с* 963-973.

14. Вулпе Н.И. Построение полиномиального базиса коми -тантов дифференциальной системы. Дифф. уравнения, 1979,т. 15, № 8, с. 1399-1410.

15. Вулпе Н.И. Полуинварианты автономной системы дифференциальных уравнений. В кн.: У Всесоюз. конф. по качест -венной теории дифф. уравнений. Тезисы докладов. Кишинев: Штиинца, 1979, с. 42.

16. Вулпе Н.И. Полиномиальный базис центроаффинных ко -митантов дифференциальной системы. ДАН СССР, 1980, т. 250, № 5, с. 1033-1037.

17. Вулпе Н.И. Полиномиальный базис центроаффинных ко -митантов однородной кубической дифференциальной системы. -Дифф. уравнения, 1981, т. 17, № 9, с. 1682-1684.

18. Вулпе Н.И. Минимальный базис комитантов дифференциальной системы с квадратичными нелинейностями.-Дифф. уравнения, 1981, т. 17, № II, с. 1955-1963.

19. Вулпе Н.И. Полиномиальный базис центроаффинных комитантов дифференциальной системы с квадратичными нелинейностями. (Хроника. О семинаре по качественной теории дифф. урав- 228 нений в Московском университете). Дифф. уравнения, 1980, т. 16, № с. 756.

20. Вулпе Н.И. Аффинно инвариантные условия топологического различения квадратичных систем при наличии центра. Дифф. уравнения, 1983, т. 19, № 3, с. 371-379.

21. Вулпе Н.И. Минимальная полная система ортогональных инвариантов двумерной дифференциальной системы. Дифф. уравнения, 1983, т. 19, № с. 564-569.

22. Вулпе Н.И. Построение минимальной полной системы ортогональных инвариантов двумерной системы дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1983, т. 269, с. 1299-1302.

23. Вулпе Н.И., Чеботарь К.С. Алгоритм нахождения числа линейно независимых комитантов системы дифференциальных уравнений. В кн.: Дифференциальные уравнения и теория операторов. Кишинев: Штиинца, 1982, с. 35-41.

24. Гасинская э.Ф. Вычисление инвариантов дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. Матем. исслед., 1973, т. 8, вып. 2(28), с. 12-22.

25. Гасинская Э.Ф., Сибирский К.С. Аффинные инварианты системы с квадратичными нелинейностями. Дифф. уравнения, 1973, т. 9, Ш 8, с. 1371-1382.

26. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948, - 408 с.

27. Данг Динь Бик. Аффинные инварианты автономной дифференциальной системы второго порядка с кубическими нелинейностями. -Матем. исслед., 1974, т. 9, вып. 3(33), с. 64-81.

28. Данг Динь Бик. Комитанты кубической системы. Ма -твм. исслед., 1975, т. 10, вып. 5(37), с. 44-55.

29. Данг Динь Бик. Аффинные комитанты дифференциальных- 229 систем с однородными кубическими нелинейностями: Дисс. канд. физ.-мат. наук /Кишинев, гос. ун-т. Кишинев, 1975. - 140 с. - Машинопись.

30. Данг Динь Бик, Сибирский К.С. Аффинная классификация кубической дифференциальной системы. В кн.: Исслед. по алгебре, матем. анализу и их приложениям. Кишинев: Штиинца, 1977, с. 43-52.

31. Данилюк В.И., Сибирский К.С. Сизигии между центро-аффинными инвариантами квадратичной дифференциальной системы. Дифф. уравнения, 1981, т. 17, №2, с. 210-219.

32. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов A.M.,Чу сов М.А. Нелинейные системы гидродинамического типа. -М.: Наука, 1974, 160 с.

33. Ибрагимов H.X. Групповые свойства некоторых диффе -ренциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1967, - 59 с.

34. Кирницкая э.Ф. Применение ЭВМ к нахождению комитантов дифференциальных систем. В кн.: Алгебраические инварианты динамических систем./ Матем. исслед., 1980, вып. 55,с. 64-70.

35. Кирницкая э.Ф., Попа М.Н., Сибирский К.С. Новые применения аффинных инвариантов квадратичной дифференциальной системы. Матем. исслед., 1975, т. 10, вып. 2(36), с. 137 -149.

36. Кирницкая Э.Ф., Сибирский К.С. Условия двух центров квадратичной дифференциальной системы. дифф. уравнения, 1978, Т. 14, №9, с. 1589-1593.

37. Куклес И.С., хасанова М. О поведении характеристик одного дифференциального уравнения в круге Пуанкаре. Доклады АН Таджикской ССР, 1964, т. 7, № 12, с. З-б.

38. Кухтенко А.И. Теория алгебраических инвариантов в задачах автоматического управления. В кн.: Кибернетика и вычислительная техника. Республ. межвед. сборник. Киев: Нау-кова думка, 1978, вып. 39, с. 3-16.

39. Латипов X.Р. О распределении особых точек уравнения Фроммера на всей плоскости. Известия вузов, Математика, 1965,,N2 1(44), с. 96-104.

40. Латипов Х.Р., Широв И.И. О поведении характеристик в целом дифференциального уравненияпо дифференциальным уравнениям. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963, с. II7-131.

41. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. Москва: ИЛ, 1961, - 387 с.

42. Лукашевич H.A. Качественная картина в целом для системы дифференциальных уравненийимеющей точку равновесия типа центр. Доклады АН БССР, i960, т. 4, Ш 12, с. 497-500.

43. Лукашевич H.A. Интегральные кривые одного дифферент/ос ~ у-* + '- В кн.: Исследованияциального уравнения. Дифф. уравнения, 1965, т. I, tel, с. 82-95.

44. Лункевич В.А., Сибирский К.С. Интегралы общей квадратичной дифференциальной системы в случаях центра. Дифф. уравнения, 1982, т. 18, te 5, с. 786-792.

45. Мархашов Л.М. Метод инвариантов в задачах об эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Кибернетика и вычислительная техника. Республ. межвед. сборник. Киев: Наукова думка, 1978, вып. 39, с. 45-53.

46. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, - 400 с.

47. Попа М.Н. Сизигии между аффинными инвариантами системы с квадратичными правыми частями. Дифф. уравнения, 1977, т. 13, № 12, с. 2272-2275.

48. Попа М.Н. Аффинная классификация дифференциальной системы с квадратичными нелинейностями. ВИНИТИ, 1978,te 1038-78 Деп., с. 1-40.

49. Попа М.Н., Сибирский К.С. Аффинная классификация системы с квадратичными нелинейностями и неоднозначным каноническим видом. Дифф. уравнения, 1978, т. 14, N2 6,с. 1028-Ю 33.

50. Попов В.Л. Конструктивная теория инвариантов. Известия АН СССР, Серия математ., 1981, т. 45, te 5, с.

51. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970, т. I, - 492 с.

52. Сибирский К.С. Об условиях наличия центра и фокуса.-Ученые записки Кишин. ун-та, 1954, te II, с. II5-II7.

53. Сибирский К.С. Принцип симметрии и проблема центра. -Уч. зап. Кишин. ун-та, 1955, te 17, с. 27-37.

54. Сибирский К.С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев: Штиинца, 1976, - 268 с.

55. Сибирский К.С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений.-Кишинев: Штиинца, 1982, 168 с.

56. Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961,- 264 с.

57. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974,- 156 с.

58. Спрингер Т.А. Теория инвариантов. М.: Мир, 1981,- 191 с. Новое в зарубежной науке. Математика; 24.

59. Степанов Н.В. Дифференциально-геометрическая теория уравнения В сб. Проблемы геометрии, M., 1977, т. 8, с. 47-66.

60. Степанов Н.В. Геометрия дифференциальных уравнений.- В кн.: Проблемы геометрии ( Итоги науки и техники). М., 1981, т. 12, с. 127-164.

61. Date T. Classification and analysis of two-dimensional real homogeneous quadratic differential equation sys -terns.- Journ. of diff. equations, 1979, v. 32, 3,p. 311-334.

62. Dulac H. Détérmination et intégration d'une certaine classe d'équations différentielles ayant pour point singu -lier un centre. Bull. Sei. Math., 1908, v. 32, p. 230-252.

63. Frommer M. Über das Auftreten von Wirbeln und Strudeln in der Umgebung, rationaler Unbestimmtheitsstellen. -Math. Ann., 1934, Bd. 109, H. 3, S. 395-424.

64. Grace J.H., Young A. The algebra of invariants. -Cambridge, 1903, 334 p.; N.T.s Chelsea, 1965, 384 p.

65. Halphen G.-H. Sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables. Mém. prés, par divers savants à l'Acad. des Sei. Paris, 1884, t. 28,2 sér., IT* 1. Перепечатано в Oeuvres de G.-H. Halphen, Pa -ris, 1921, t. 3, P. 1-260.

66. Liouville R. Sur certaines équations différentielles du premier ordre. C. r. Acad. Sei., 1886, 1.103,p.476-479.

67. Meyer W.Fr. Invariantentheorie. Enzyklopädie der math. Wissenschaften, 1899, Bd. 1, H. 3-4, S. 320-403.

68. Schur I. Vorlesungen über Invariantentheorie. Die Grundlehren der math. V/iss. in Einzelderstellungen, BerlinHeidelberg N.T.s Springer, 1968, Bd. 143, - 134 S.

69. Weitzenböck R. Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie. Differentialinvarianten. Encyklopädie der math. Wissenschaften, 1922, Bd. 3, Tail 3, H. 6,S. 1-71.