Теория дифференцирования интегралов над евклидовыми пространствами базисами из интервалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Предисловие

Введение

§1. Базисы инвариантные относительно сдвига .ь

§2. Дифференцирование в точности классов L^CL") базисами не инвариантными относительно сдвига

§3. О дифференцировании интегралов равноизмеримых функций

§4. Неравенства для равноизмеримых перестановок

§5. Проблема А. Зигмунда об оптимальном выборе координатных

Одним из фундаментальных фактов теории функций действительного переменного является классическая теорема А.Лебега £1910"] о дифференцировании интегралов, утверждающая, что для любой функции |feLCld.N)loc интегральные средние сходятся к -Fcx} почти всюду, если dxcum 2 О , где 1 - N -мерный куб, содержащий точку х . Однако, если в качестве I взять N -мерные интервалы со сторонами параллельными осям координат, то /ж/ могут расходиться для некоторой суммируемой функции /С.Сакс [1934]/.

Вопрос о сходимости интегральных средних для заданного семейства открытых множеств, стягивающихся в точку эс , привлек внимание многих математиков, чьи исследования легли в основу теории дифференцирования интегралов. Фундамент этой теории был заложен в 30-х годах нашего столетия в работах Х.Бора, С.Сакса, А.Зигмунда, Б.йессена, Й.Марцинкевича, Г.Харди, Дж.Литтлвуда, Г.Буземана, В.Феллера и других математиков. Результаты теории дифференцирования интегралов имеют важное значение для других разделов теории функций , в особенности для гармонического анализа над евклидовыми пространствами. Этим объясняется неослабевающий интерес к теории дифференцирования интегралов, особенно возросши?! в последние десять лет. За это время появилось значительное число работ по этой тематике /А.Зигмунд, А.Кордоба, Р.Фефферман, Ч.Фефферман, И.Стейн, А.Нагель, С.Вейнгер, Ж.О.Стрёмберг/. Шесте с тем, в теории дифференцирования интегралов имеется ещё много важных и нерешенных проблем, что позволяет считать её далеко не завершенной областью теории функций. Даже в, случае, когда рассматриваются различные Ы

1эх семейства N -мерных интервалов, стягивающихся в точку ос , в настоящее время о поведении средних /к/ известно сравнительно мало. Например, если в качестве I бра,ть совокупность всевозможных N -мерных интервалов со сторонами параллельными осям координат, то средние /к/ сходятся к почти всюду для функций из класса L^+O^ir*) /Б.Кессен, Й .Марцинкевич, А.Зигмунд [.1935]/, причем класс L С tog1" ОN"4 в этом утверждении нельзя заменить на существенно более широкий /С.Сакс [.1935]/. В связи с этим, возникает следующий вопрос: можно ли улучшить класс L Cfcog+L")^"1 в теореме Йессена-Марцинкевича-Зиг-мунда, если рассматривать средние /к/ не по всем интервалам, а по некоторой, наперед заданной совокупности интервалов?

Основной целью настоящей работы является получение ответа на этот вопрос. Для простоты формулировок приведем двумерный результат. Оказывается, если заданная совокупность интервалов одинакова во всех точках, то справедлива альтернатива: либо можно заменить сразу на L , либо Lfco^L нельзя заменить на любой класс 1ц>(1") , ц>СН=оС6к-Ь) f-b-*oo . В то же время, для любой функции с указаны-ми выше свойствами, существует совокупность интервалов, в разных точках разная, которая позволяет заменить Lt^+L в теореме йессена -Марцинкевича-Зигмунда на 14>(L) , причем класс Li^CL) ,в этом случае не улучшаем.

Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, докладывались на семинарах МГУ "Избранные вопросы теории функций" /руководители профГ. Е.М.Никишин, профг. А.М.Олевский/, "Теория ортогональных и тригонометрических рядов" /руководители проф;:. К.И.Осколков, проф', Б.С.Кашин/ и, неоднократно, на семинаре по теории функций ОГУ /руководитель проф. . Э.А.Стороженко/. Основные результаты диссертации также докладывались на Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н.Лузина /Кемерово, 1983/, и на Второй Саратовской зимней школе по теории функций и приближений /Саратов, 1984/.

Автор выражает глубокую благодарностьсвоему научному руководителю В.Г.Кротову, за постановку задач, плодотворные обсуждения возникающих вопросов и проблем, и постоянное внимание к данной работе.

Автор,также, считает своим долгом выразить благодарность всем участникам семинара по теории функций ОГУ, за внимание к работам автора, ценные советы и замечания.

Введение

Напомним общепринятые и введем новые определения и понятия, с которыми нам предстоит иметь дело. С целью экономного введения определений , будем приводить их подряд и нумеровать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Пусть В00 -семейство открытых ограниченных множеств из IHN , содержащих точку х. , таких, что существует последовательность {в^сВС*-) , diWnВ^о t ic-»oo . Семейство называется дифференциальным базисом в точке х , а совокупность В = \R.-- Р. € вех.5, Xь IR-n } - дифференциальным базисом в IR-N .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Базис Б называется инвариантным относительно сдвига или TI-базисом, если вместе с каждым множеством, в базис входит любой сдвиг этого множества.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Базис Ь называется базисом типа Еуземана-Фел-лера /e>F -типа/, если из условия це& , fc.эх , следует, чтоР-ьвс^ .

Всюду ниже, для измеримого множества Ec|r.n , через IEI будем обозначать N -мерную лебегову меру /в каждом случае будет ясно, о какой размерности идет речь/.

Определим верхнюю и нижнюю производную интеграла от локально суммируемой функции относительно базиса е> следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. б, = ^ iB,crlS

Б, к

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Производной интеграла от 4 относительно базиса В в точке xt\R.N называется общее значение верхней и нижней производной

5В ($1,0= DbCSU).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. базис Ъ дифференцирует интеграл от -I , если для почти всех х справедливо равенство

Пусть ФСО - неубывающая неотрицательная на Со,©»-) функция, Ф(о)=фсо+)=о» ФункцияfeФСЦСК"^ , если для любого комnaKTaEc.RN конечен интеграл $ ф(|.?с«|) dx Е

В дальнейшем индекс "lot" будем опускать/.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Базис В дифференцирует класс $ti-)(lR.N) , если ш дифференцирует интеграл от каждой функции 11ФС LH . Базис Ъ не дифференцирует о С ФС1-Нвы)) , если для любой функции «ji-toio существует функция^ «jtoQeoOfl^) » такая, что ( Si,*-) = + оо п.в. Базис b дифференцирует в точности класс ФСО (IR.N) , если В дифференцирует Фс^О^) и не дифференцирует о (ФСО (»/")). В этом случае будем писать Ь В СФсL)(ir")) .

Всюду ниже, мы будем рассматривать исключительно базисы ftF -типа, состоящие из N -мерных интервалов. Для краткости слова " N -мерный" будем опускать. В случае, когда понятно о какой размерности идет речь, или, когда это не существенно, вместо В (ir.n) или <P(L)(IP*n) будем писать просто В илиФС^ .

Ведем теперь обозначения для основных дифференциальных базисов /по-существу, здесь будут приведены все базисы с известными дифференциальными свойствами/. о №

IVlbM(R)- TI-базис из всевозможных кубических интервалов со сторонами параллельными осям координат.

2°1В5(Л, TI-базис из всевозможных интервалов со сторонами параллельными осям координат, у которых s из М взаимоортогональных сторон имеют одинаковую длину.

В случае s=i , дифференцируемость интеграла базисом IB,,с 1RN) называют "сильной дифференцируемостью".

TI-базис из всевозможных интервалов с произвольной ориентацией сторон.

Пусть G = (.04,., б1*) - некоторая ориентация осей координат / © к= it.t n - тангенсы углов между соответствующими осями стандартной системы координат, и б -ориентированной/

4? iB^OR^ecTb базис lBs(mN) ориентированный в направлении в

Пусть некоторая совокупность ориентации осей координат.

5? l&J(Gj)(lP.N) - TI-базис из интервалов, стороны которых имеют одну из заданных ориентаций 9j .

Перейдем теперь к изложению основ теории дифференцирования интегралов, фундамент которой составляют следующие классические результаты. а/. IBk(IR.n) дифференцирует L С /А.Лебег [1910]/.

Эта фундаментальная теорема явилась важным шагом на пути создания теории. Отметим, что оригинальная формулировка теоремы дается в несколько иных терминах, поскольку понятие дифференциального базиса было введено позже. Так же отметим, что теорема останется справедливой, если квадраты заменить шарами или другими регулярными относительно шаров множествами /семейство 6 называется регулярным относительно шаров, если-Эс-сок^-t ,VR.e Б , 3Q ,\R.\^ciai/,

Поэтому, после доказательства этой теоремы естественным образом возник вопрос о распространении полученного результата на возможно более общие базисы, в частности, на I6.,CIR.N) .

В доказательстве теоремы Лебега существенную роль играла теорема о покрытии Витали [1908] . В 1927 году Х.Бор построил пример, впервые опубликованный у К.Каратеодори [1927], показывающий, что теорема типа Витали не верна для семейств прямоугольников со сторонами параллельными осям координат. В основу примера положена конИ струкция Н(М) = ^«м^*^0, » которую теперь принято называть лестницей Бора".

Б этом же году, А.Зигмунд, изучая принадлежащую О.Никодиму[1927] конструкцию одного множества, обнаружил, что б/. 1В'0Е.г) не дифференцирует L°4lfcz) /А.Зигмунд, см. об этом М.Гусман [1978], стр. 109-115/.

Точнее, ш/ не дифференцирует класс характеристических функций измеримых множеств.

Введем понятие точки плотности множества Е. относительно базиса Ь по аналогии с известным понятием точки плотности линейного множества. Пусть задано измеримое по Лебегу множествоЕ. ,EclR.N }|Е1>0 . Точка х е. является точкой плотности множества Е относительно базиса В , если >х3-^ » где - характеристическая функция множества Е . Если в качестве Ь рассматривать базис' из интервалов в R1 , с центром в точке х , получим классическое определение точки плотности.

Нетрудно показать, что дифференцируемость некоторым базисом В класса характеристических функций измеримых множеств эквивалентна дифференцируемости базисом В класса L00 . Поэтому базисы, дифференцирующие L°° , принято называть плотностньтми базисами.

Таким образом, было показано, чтов'ОЯ-1) не является плотностным базисом. Тогда возникает вопрос, является ли плотностным базис BA0RN)? Ответ на этот вопрос был получен С.Саксом[1933] ,/стр. 195-196/, который доказал т.н. "теорему о сильной плотности", утверждающую, что IE»ACIR.N) дифференцирует класс характеристических функций измеримых множеств. Следовательно,ИЦСИОЪ дифференцирует L°° ( RN. А.Зигмунд распространяет этот результат на все пространства С su.f>£eo ^ а С.Сакс показывает что p=i брать нельзя /см. Зигмунд [1934], С.Сакс [1934]/. Вопрос о том, какой класс в точности дифференцирует базис IB4(IR*N) был решен в 1935 году b/.IB^CIR^) дифференцируетL(€o^L)Ni/Б.йессен, Й.Марцинкевич, А.Зигмунд [1935]/. г/. IB^IfcN) не дифференцирует о (L ( /С.Сакс [19351

В смысле определения 7 это означает, что

В 1967 году, обобщая а/ и в/, А.Зигмунд доказывает, что fl/.IBsCmN) дифференцируетL(eo|L)N"s( , us* N /А.Зигмунд £967] / Очевидно, в случае S=N получается результат а/, а в случае s=i. получается в/. Тот факт, 4toIBs(ir.n) не дифференцирует о(IR.%, iN-i вытекает из работ Б.Мелеро [1982] и А.М.Стоколоса [1983], полученных независимо /нам неизвестны более ранние работы, где доказывалось это утверждение/.

В 1976 году появляется первый результат, касающийся базисов Ж.О.Стрёмберг [ 1977]установил, что если Oj-С6 6jN) таковы, чтоврб-^^б* с некоторым для Bcexj^i , ToJB/iejXfc.14) дифференцирует L^COR.N),£>o . С другой стороны, им же было показано, что в случае 9 ,©£(0р(1Р.2л) не дифференцирует oCL^L(IR.2-)) . Итак, видно, что в отличие от базиса IB'OP-14) , базис с лакунарным /т.е. достаточно "редким"/ убыванием направлений сторон составляющих интервалов, обладает относительно хорошими дифференциальными свойствами. В 1977 году А.Кордоба, Р.£ефферман[1977] , опираясь на оригинальные геометрические рассуждения, показывают, что базис Стрёмберга дифференцирует Lz С ItO .А в 1978 году, используя теоремы о мультипликаторах Фурье, И.Стейн, А.Нагель и С.Вейнгер р доводят степень суммируемости до L , , т.е. e/.lB^6j)CRN) дифференцирует LPC«^N) ,= (в/",•••, 0jN) , где 0*-9*+1 е* , ы>о ,jelN /И.Стейн, А.Нагель, С.Вейгер [1978]/.

Приведенные результаты являются основными в теории дифференцирования интегралов.

Достаточно полное изложение теории дифференцирования интегралов имеется в М.Гусман [1978], А.М.Брукнер [1971], К.Хейес,К.Паук [1970],

Перейдем к изложению результатов диссертации. При этом первая цифра в нумерации утверждений будет означать номер параграфа, где это утверждение рассамтривается. С целью наглядности и выделения идейной стороны рассуждений, всюду ниже, если не оговоренно особенно, мы будем рассматривать случай IR2" , который, зачастую, вполне типичен. Точнее, в §§ 1,2,3,5,6,7 мы будем проводить рассуждения и приводить формулировки в IR.2 , не оговаривая это особо, а в §8 мы приведем N -мерные аналоги. Вместо "двумерный интервал" мы будем писать "прямоугольник", подразумевая при этом /если не оговоренно противное/ прямоугольник со сторонами параллельными осям координат. Кроме того, базис 1Ьг(1Я?\)г для удобства,обозначим просто IB0 .

Как следует из а/,б/,в/ дифференциальные свойства Т1-базисов можно улучшать с помощью разрежений. Так, например,базис 1ВС , обладающий самыми хорошими дифференциальными свойствами, есть разрежение базиса IBА , обладающего худшими дифференциальными свойствами. В связи с этим, интересно было бы проследить, каким образом меняются дифференциальные свойства базисов в зависимости от разрежений. Понятно, что хуже они становиться не могут. Возникают следующие вопросы.

I/. Насколько узким может быть подбазис базиса |ВА , чтобы он всё ещё не дифференцировал oCL-to^+L") ?

2/. Насколько узким нужно выбрать подбазис базиса , чтобы он дифференцировал в точности класс L^tH , промежуточный между L и Liod+L ?

При этом, разрежение желательно проводить в рамках какого-нибудь естественного класса базисов /например, инвариантных относительно сдвига/. Пример подобного базиса для класса Ыfio^L в качестве гипотезы предложил А.Зигмунд /см. М.Гусман [1978], стр.138/. Пусть Bcib^, В - TI-базис, такой, что Вех) - семейство всех содержащих точку х прямоугольников, у которых d. - длина меньшей стороны и - длина большей стороны связаны соотношением ъ^бА £ i. А.Зигмунд поставил следующий вопрос: возможно В дифференцирует

LVlyT ?

Однако, Р.Морион /см. М.Гусман t19783, стр.190-192/ дал отрицательный ответ: этот базис не дифференцирует о С. L to^L"). То есть подобное разрежение, которое накладывает ограничение на отношение длин сторон прямоугольников в зависимости от абсолютных размеров, не улучшает дифференциальных свойств базиса. Отсюда, естественным образом возникает вопрос о дифференциальных свойствах Т1-базисов из прямоугольников, у которых отношение длин сторон составляет некоторую достаточно редкую последовательность, независящую от абсолютных размеров прямоугольников. Оказывается, базисы подобного типа так же не дифференцируют oCLio^L") . В связи с этим, сформулируем следующую задачу.

Существуют ли TI-базисы из прямоугольников, дифференцирующие в точности классы LvpCL") , где iftt)**» ,-t->00 , M'Ct)- о(в^-О

Нам удалось показать/А.М.Стоколос [1983,а]/, что таких базисов не существует, и для TI-базисов из прямоугольников справедлива

АЛЬТЕРНАТИВА. Пусть В - П-базис^сВ^. Тогда, либоВеЕКО , либоБ^иац+ц).

Укажем простой геометрический критерий того, какой из классов, L или L6<^+L в точности дифференцирует заданный TI-базис из прямоугольников. С этой целью введем понятие ассоциированного базиса. Пусть ЕЬ <= 1ВА . Вокруг каждого прямоугольника Я. из Ь опишем концентрический с ним прямоугольник R?" минимальной меры, такой, что длины сторон имеют вид , к*-Z .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть задан базис В . Совокупность Ь*Цр.* я* 6} назовём базисом, ассоциированным с Ь .

Когда будет понятно о каком базисе В идет речь, В* будем называть просто ассоциированным базисом/.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Два прямоугольника Я и R.' срв(анимь1, если существует сдвиг, помещающий один из них внутрь другого. В этом случае будем писать R<r/. В противном случае, назовём пир.' несравнимыми и будем писать R. Ч R.' .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Базис В обладает s*-свойством, если найдётся сколь угодно много, сколь угодно малых попарно несравнимых прямоугольников из В* :

V 2>0,VK6 IN, а С ' ^L^ P-j U'*j) , Лимги £ , 1=1,.,*.

Следующая теорема дает искомый критерий.

Теорема I.I Пусть В - TI-базис,1ВА . /I/ Если В обладает s -свойством, то В не дифференцирует о С LCo^L). /II/ Если5 не обладает S* -свойством, то В дифференцирует L.

Теорема I.I не применима к одному важному классу базисов - к базисам из двоично-рациональных прямоугольников. В связи с этим, нами введён более широкий класс базисов, который мы назовём Т-базисами, и получено обобщение теоремы I.I на этот класс.

При доказательстве теоремы I.I мы использовали конструкцию, которая является обобщением лестницы Бора. Отметим, что опираясь непосредственно на лестницу Бора /как это стандартно делается, см. С.Сакс [1935] , Д.Марстранд [1977]/, доказать теорему I.I нельзя. Мы применили более сложный метод накопления особенностей.

В итоге, установленно, что для достаточно широкого класса базисов из прямоугольников справедлива альтернатива: либо базисы из этого класса дифференцируют в точности LGog+L , либо L . Поэтому, возникает вопрос о том, существуют ли вообще базисы из прямоугольников, дифференцирующие в точности классы 1ц>(1-Л , промежуточные межу L и L£oq + L ? Оказывается, такие базисы существуют, и нами построены соответствующие примеры.

ТЕОРИЙ 2.1 Для любой возрастающей выпуклой вверх функции Ч>Ш , Ччо}=о> такой, что^/би* монотонно убывает при-Ь->+©о начиная с некоторого-to >1 , существует базис в ,е>с, такой, что в дифференцирует в точности класс LiftL^ .

Очевидно, подобное разрежение базиса не является Т-базисом. У построенного базиса геометрия базиса в точке, естественно, существенным образом зависит от точки. Таким образом, возникает следующий эффект: равномерное разрежение /т.е. одинаковое во всех точках/ базисов из прямоугольников улучшает дифференциальные свойства скачкообразно, а неравномерное разрежение позволяет улучшать дифференциальные свойства непрерывным образом.

Доказательство теоремы 2d основано на изучении покрывающих свойств базисов. Введём следующее свойство слабого перекрытия -типа, где VCi) - возрастающая выпуклая вниз функция, ч>со) - о .

Будем говорить, что базис В обладает V^ -свойством, если существуют константы ci>o такие, что из любой систеш можно выделить подсистему [R-А-^^такую, что

Я/ \ nqiT <*>- *o))d:c fi с* X. IR.JL.1 х : Т X р., h^o^

И/ I U^dL I 6 T. ^J-C1 p "t

Частный случай НЧ-tb т см., например, М.Гусман [1978] , стр.173-177/.

Соотношение /I/ означает, что элементы Яа,- не сильно пересекают * ся /имеют V -малое пересечение/, а соотношение /II/ показывает, что при выборе {Rj.] было выброшено не очень много множеств .

Следующая лемма, являющаяся одной из существенных частей доказательства теоремы 2.1, представляет и самостоятельный иинтерес.

ЛЕММА. 2.1 Пусть <P(t) и Vet-} - сопряженные по Юнгу выпуклые функции, -удовлетворяет А2 - условию. Пусть базис 5 обладает V^ -свойством. Тогда максимальный оператор

Me-Pc*Orr s-p Iftjplelu

R.tB(*> Я d имеет слабый тип Ф(1") . Точнее, существует константа с>о такая, что для любой ^еФсО и для любого о

II*: М61(Х)>>}1 «С J! !§ + х-. М^СХ)

Отметим, что первые результаты, относящиеся к покрывающим свойствам Vp - типа, были получены Р. де Посселем [1936] ,и затем значительно развиты К.Хейесом, .К.Пауком [1955].

Перейдем к рассмотрению индивидуальных дифференциальных свойств функций.

Пусть-Ic^)- измеримая, конечная почти всюду функция и 1{х: l-?c*ol>Ul - её функция распределения.Напомним, что две функции 4 и g. называются равноизмеримыми, если H|Ct")s ц^со , . функцию называют равноизмеримой перестановкой функции

Как уже отмечалось /п. г/./ С.Сакс [1935]показал, что в любом классе о( найдется функция, интеграл от которой не дифференцируется базисом почти всюду. Нами получен результат, который, по-существу, утверждает, что такая функция может иметь наперёд заданное распределение, лишь бы . Точнее, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМ 3.1 Для любой суммируемой функции 4 4 L (io^L (Го.щ2-) существует равноизмеримая с ней функция , такая, что

D (S9,a-)=4oo П.В. на Сод]1.

IBA v

Таким образом, для построения функции со свойством Сакса, достаточно взять любую функцию h3o(l£o|+L)n и соответствую-щим образом переставить её значения. Заметим, что если функцию переставить так, чтобы она стала монотонной по каждой переменной, то интеграл от неё будет дифференцироваться базисом 18± . ото легко проверить непосредственно.

Обращает на себя внимание тот факт, что у базиса IB7 , со свободой вращения составляющих прямоугольников, и у базиса В± , с фиксированной ориентацией сторон прямоугольников, принципиально различные свойства. Это приводит к постановке следующей проблемы, принадлежащей Л.Зигмунду /см. М.Гусман [1978] , стр.95/.

Можно ли для заданной суммируемой функции выбрать такую ориентацию осей 6 , чтобы базис В^е дифференцировал интеграл от I ?

Отметим, что в силу инвариантности классов Фсь") относительно вращений, из в/ следует, что базис IB^е будет дифференцировать интеграл от 4 при любой фиксированной ориентации е , если £ е L Co^L .

Как оказалось, проблема А.Зигмунда тлеет отрицательное решение, полученное Д.Марстрандом [1977] . Его схема основана на идее С.Сакса [1935], которая, в свою очередь, опирается на лестницу Бора. Однако, вопрос об окончательной степени суммируемости функции с таким свойством и проблема К| -мерного обобщения оставались открытыми, так как метод Марстранда не позволял это выяснить. Нами /А.М.Стоко-лос [1983]/ установлена следующая теорема, которую мы приведем сразу же в N -мерном варианте.

ТЕОРЕМА 5.1 Для любой монотонно убывающей к нулю функции j(t) (Л->оо), существует функция It ^IL") L(e0j+L')H S С IR>N) такая, что

Ъ п.в.

5,8 при любой фиксированной ориентации е i,.,n-i").

Отметим, что более слабый результат c^t U K^+L") был получен М.Хелоу [1978]. Кроме того, утверждение теоремы 5.1 независимо доказал Б.Мелеро [1982].

При доказательстве теоремы 5.1 мы использовали следующее неравенство, представляющее самостоятельный интерес

5 4 (£ * S/4 ( I

Здесь^и)- одномерные невозрастающие перестановки функций , фС-t) - неотрицательная, чётная выпуклая вниз функция. Неравенство меняет знак для функций выпуклых вверх.

Гипотеза о справедливости такого неравенства, а так же идея его применения в рассматриваемых вопросах принадлежит Б.И.Коляде.

Рассмотрим теперь некоторые приложения полученных результатов к теории суммирования кратных рядов Фурье.

Определим С^О - средние ряда Фурье SUj по прямоугольнику Со в точке сследующим образом h.m J^^tftx'+u.^-vol КыСК) кис«0 du.A\T, о где K^Ct)- ядра Фей ера.

Известно /см. А.Зигмунд [1959], глава ХУII/, что ряд Фурье SC^J функции суммируем по прямоугольникам методом к 4? почти всюду, причем класс (с<цmi2) не улучшаем. Если же рассматривать ограниченную суммируемость, то ряд фурье Stf3 ограниченно суммируем по прямоугольникам методом (.t,о к 4 почти всюду, для всех суммируемых функций.

Рассмотрим вопрос о поведении (с,о - средних, если рассматривать суммируемость не по всем прямоугольникам, а по некоторой заданной последовательности. Оказывается, и в этом случае справедлив альтернативный исход: для любой произвольной последовательности прямоугольников I =Со,/ Со,п.*] yVi^too ^-^оо ? либо st-fj суммируемСс.о - методом по прямоугольникам к I почти всюду для любой -pe-Kio^vi2), либо в любом классе oCLeog+L") существует функция | , такая, что <3V и f-хЛл - + оо п.в. наю.гггу1 . ги*ы Л у ^ I

Vt-* ОО к. , к.

Понятно, что существо дела заключено в сильной дифференцируе-мости интеграла от £ . Пусть Л = (i , { - пара последовательностей натуральных чисел,vn^oo . Положим Уп^ГСо^цТ 5 Будем говорить, что А обладает s* -свойством, если ч f t ы, v<vt ikj, а 1 , >.р , 1= £,.,«v it

ТЕОРЕМ 6.1 НустьА= Д f ( 4

I/ Если Л обладает S -свойством, то для любой монотонно убывающей к нулю при-Ь-^ео функции существует неотрицательная функция •Р 4. ^ СL) L fog* L ( Co,2ju1Jтакая, что

LCm = п*в* на Co.i-m2

W-l U I "

II/ Если А не обладает S*- свойством, то для любой функции L(rvn:!2^ 2 ^ И. СП.в. на [о,2Т1Д2

Далее, из теоремы 3.1,в качестве следствия, можно получить следующую теорему.

ТЕОРЕМА 6.2 Для любой суммируемой функции Н LCoJL (св.пгз2-^ существуют равноизмеримые с ^ функции ^ и t , такие, что /I/ 5С<|Л суммируем почти всюду к ^ методом Cc,i) на кгттз7, /II/ - средние ряда Фурье SnM почти всюду расходятся на Цт]*

Заметим, что аналогичные резкльтаты справедливы для общих методов , и для метода А* - суммирования./Детали см. §6 и работу Б.йессен, Й.Марцинкевич, А.Зигмунд £1935]/.

На этом мы закончил обзор основных результатов диссертации, М -мерные аналоги которых содержатся в §8.

Сделаем следующие замечания относительно структуры диссертации. Весь материал разбит на восемь параграфов. §1 посвящен доказательству альтернативы. В §2 строятся базисы, дифференцирующие в точности классы Llp(L) . В §3 доказывается теорема 3.1. В §4 рассматриваются неравенства для равноизмеримых перестановок, с помощью которых в §5 дается окончательное решение проблемы А.Зигмунда об оптимальном выборе координатных осей для индивидуальной функции. Приложение полученных результатов к теории кратных рядов Фурье рассматриваются в §6. §7, результатов которого мы во введении не касались, посвящен суммируемости максимальных операторов. В §8 приводятсяNt-мерные аналоги результатов предыдущих параграфов.

В диссертации используется двойная нумерация формул и теорем. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер по порядку внутри данного параграфа. Буквой ^ с различными индексами обозначаются абсолютные положительные константы, нумерация которых в каждом параграфе начинается с единицы.

При ссылках на литературу указываются инициалы и фамилия автора, а в квадратных скобках год издания на языке оригинала, дополненный, при необходимости, буквами.

§ I. Базисы инвариантные относительно сдвига

Среди классов дифференциальных базисов выделяют важный подкласс базисов, т.н. базисы инвариантные относительно сдвига /Т1 базисы/, как наиболее естественные и просто устроеннве. Нетрудно видеть, что любой TI-базис, состоящий из выпуклых множеств, содержит TI-подбазис, дифференцирующий L . Для этого достаточно в каждой точке оставить семейство вложенных множеств, диаметра стремящегося к нулю. Приведенные рассуждения показывают, что разрежением любого TI-базиса можно улучшить его свойства. При этом будем говорить, что базис В является разрежением базиса 6 если В с в . Классическими представителями таких базисов являются базис 1В1 из всевозможных прямоугольников со сторонами параллельными осям координат, который дифференцирует в точности Lioj+L, и его разрежение - базис Ва из всевозможных квадратов, который дифференцирует L . Естественным образом, возникает вопрос о том, существует ли такое разрежение базиса В^, чтобы полученный базис дифференцировал в точности некоторый класс 1ц>(П , промежуточный между L и Llog+L ?

По-видимому, впервые вопрос такого типа поставил А.Зигмунд /см. М.Гусман [1978] , стр. 138/. Пусть В - TI-базис из прямоугольников, у которых длина меньшей d и большей стороны 9> связаны соотношением 9>г < d ± <5& . А.Зигмунд поставил следующий вопрос: дифференцирует ли В класс L-Jtog+L ? Однако Р.Морион /см. М.Гусман [1978], стр. 190-192/ показал, что В не дифференцирует о (L-kg4-L0 . То есть, подобное разрежение не улучшает дифференциальных свойств базиса. В этом параграфе будет показано, что любое разрежение не позволяет в рвмках Т1-базисов непрерывным образом улучшать дифференциальные свойства базисов из прямоугольников, т.е. получать дифференцируемость в точности классов L ц> (L) , промежуточных между L и Llo^L

Справедлива следующая

АЛЬТЕРНАТИВА. Пусть В - TI-базис, &СВА . Тогда, либо be DCO, либо В* DC Le^+L).

Доказательство альтернативы основано на изучении некоторой геометрической характеристики базиса, которую мы будем называть

S - свойством. Будем говорить, что два прямоугольника и я! почти сравниш и писать RX< nj , если существует гомотетия Н с коэффициентом два, такая, чтоИ^«= R.' или H(.R.')cR . В противном случае будем говорить, что Я и R/ существенно несравнимы и писать R"^ р/ . Будем говорить, что базис В обладает S - свойством, если

Ч/€>о>Ч/кеМ, 3 {cb, Rj U4i), <±с<ш R-^e, к.

Инш,?и словами, найдется сколь угодно много, сколь угодно малых, попарно существенно несравнимых прямоугольников из базиса. Однако, с технической точки зрения, S - свойство выгодно заменить эквивалентным ему s* - свойством, которое мы определили во введении следующим образом:

V£>0, VkelM,3\Rc"iiVl1<1 В*, R< 4 Rj Ci>i), ^ k

Обозначим через ир^Я - проекцию R на ось со,*) , а через hp R v

- проекцию R. на ось . Тогда S* - свойство запишется в следующем виде

V£>0, VKfc IN, ^ { Rt>lv1c в*т I^^1'-0^11^1^' 6 > 1 >■•> R.,<. 1.

О О

Легко показать, что если прямоугольники , R-г. , R3 попарно почти сравнимы, то, по крайней мере, два прямоугольника из {R*i J t-«^ х 3

-у- * ' сранимы. Если же прямоугольники R. и R' таковы, 4TOR.^R.' , то ^

R « R- . Из приведенных рассуждений видно, что s - свойство эквивацентно S - свойству. Поэтому, в формулировках мы будем применять S - свойство, т.к. оно выражено в терминах самого базиса, а при доказательстве будем пользоваться технически более удобным S* - свойством.

Для доказательства основного результата нам понадобится ряд утверждений.

ТЕОРЕМА I.A /йессен-Марцинкевич-Зигмунд [1935], см., также, И.Стейн [1970] , стр. 35/

Пусть базис В порожден сдвигами попарно сравнимых прямоугольников. Тогда В дифференцирует L .

ТЕОРЕМА 1.Б /см. М.Гусман [1978], стр. 86 / Пусть TI-базис В дифференцирует ФСОСИ."). Тогда существуют константы с>о и такие, что где Ис I сх) = I иг1 $ Ilc4)|(iu -усеченны}" максимальный

RtftCxi R. оператор базиса В. у

JiEMMA I.I Пусть базис В не обладает S - свойством. Тогда В распадается на конечное объединение базисов, состоящих из попарно сравнимых прямоугольников , и на семейство прямоугольников диаметра больше некоторого £с>° .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку В не обладает S* - свойством, то 3 3ic0t(KI такие, что В* dm»* k> k0 ,эд (i<= UK, 1-j такие, что R--< Rj . Обозначим через Ъ~ { R.& 6* cU^R ^ . Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что В \В порожден сдви . оо гами прямоугольников из некоторой системы G = , такой, что

Kf> Pi I фо, оо и в G существует не более Ко попарно несрав-3 нимых прямоугольников. Пусть первые к0 прямоугольников из G-попарно несравнимы. Будем строить к0 семейств Cv Сv= ±,., kcO , образованных попарно сравнимыми прямоугольниками из G- , причем любой прямоугольник из G попадет в какой-нибудь . Для начала, отнесем Rv к (.>* = 4,2.,., . Далее, если ^„-м^^4- » то отнесем к &х . Если это не так, то сравниваем Rk с R*., и т.д. Тогда обязательно найдется прямоугольник Rv » ifc^tvco, сравнимый с R-k0+i» ибо, в противном случае, в & существовало бы|Со+1 попарно несравнимых прямоугольников. Предположим, мы отнесли прямоугольники R-i,., Р. п-1 к некоторым так, чтобы G-N были монотонными семействами, т.е. состоящими из попарно сравнимых прямоугольников. Далее, ecymfl-h^Rj для всех Rj из G1 , то отнесем R^ к G-1 . Если не так, то сравниваем R.h с прямоугольниками из и т.д. Покажем, что обязательно найдется семейство Gv такое, что Rj для всех Rj (г G-v . Пусть это не так. Тогда существует R.jtKe> 6 GKe, R*. HoiCKo)<.ri поэтому

Поскольку g"0, to найдется Rj^-n6 t K^-O < такой, что R-jcKo-iV Ho тогда

Следовательно, R h. . Рассуждая аналогично, получим систему попарно несравнимых прямоугольников ^ j(1) >Rj(i) > •■■> ^jc**»)' Б итоге, в G- нашлось к.+d попарно несравнимых прямоугольников, что невозможно. Итак, описан процесс построения монотонных семейств G-^ , на которые распадается & . Поскольку некоторые G-v могут состоять из прямоугольников диаметра больше некоторого £.'>о, то G- распадется на конечное число монотонных семейств прямоугольников, диаметра стремящегося к нулю /пусть это будутG-4,G- / и на семейство прямоугольников диаметра больше £.' /обозначим его G° /. К пусть В* - базисы, порожденные сдвиг шли прямоугольни

VK 0 о ков из & (к=±,.,пг),d - семейство, порожденное сдвигами прямоугольников из Gr° . Очевидно, ^ и лемма I.I доказана.

ЛЕММ 1.2 Пусть rt.у)v=o ~ возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда существует последовательность интервалов 4 veo,.,K ; jsl,., р-* со следующими свойствами /1.1/ U>j\='LnV ;j=A,-.,Pv.

1.2/ Vv,u,L,a J, A^t^C A^; 1-)--o,.,lt;|iro).)K-v; t--lr.,P^ ; ' i J p 1 ^ Pv.

1.3/ I и д"- 1 = ^1^1 , Ui j=i

1.5/ Pv = 2-4-n,,"Wo,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем проводить индукцию по индексу . Положим v=o , pe = i, = [о,!*1!] . Раз объем на Р1 непере секающихся

-О „ -Но , л-И.1Х-1 -1. ГЦ-И-О интервалов длины г-2. . Очевидно, Р4=- 1 ) =Z L

Предствавим каждый в виде объединения двух интервалов длины

Ч 1 и первый слева обозначим hi . Нетрудно видеть, что система • 1 Р удовлетворяет нужным соотношениям. База индукции построена.

Разобьем теперь каждый А* на непересекающиеся интервалы Ъ ij

-п2 — — длины 2-2. , где j-i,.-, Р2 ,а Рг подсчитывается следующим образом f^f (fLnLZ)~i=ii2i1'L~ Представим кажды?" 5".1 • в виде объединения двух интервалов длины q z и первый слева обозначим Afj- , U±,., » j-i,.-^ . Полученную систему {a запишем в виде

Пи*» где ^г7тгКг'По- J'erK0 р видеть, что полученная система {Д^)удовлетворяет /1.1/-/1.5/. Р

Предположим на л) -том шаге мы получили систему { А^ } ^ со у —. свойствами /1.1/-/1.5/. Разобьем Д^ на интервалы с^ i , j-i,.,Pv+4,

V+d длины a-2 где pv+1= г^С^ЧУ'ч"1!4'1"4. Представим каждый 5'J? j в виде объединения двух интервалов длины 1 и первый слева обозначим . Полученную систему {А^,-} » j=i,-;Pv+i запишем в виде { Очевидно, lAvtLl = 2."n'v+i, что и доказывает /1.1/. Свойства /1.2/-/1.4/ следуют непосредственно из построения. Подсчитаем . Очевидно, Pv+<= PVPV+1= 2. 2. v*r VZ" <Z v~ = g'Vf n° что и доказывает /1.5/. Лемма 1.2 доказана.

ЛЕММА 1.3 Пусть базис Б обладает S* - свойством. Тогда для любого £ >о и к* IN существуют множества 0= е cs,tc) иУ=^(£,0 такие, что

1.6/ Q с V , cUcun. V £. /1.7/ IVUtc^lGI

1.8/ V, з R.6

1 R.n6l > j

IR.I "

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу S* - свойства найдутся fc+i попарно несравнимые прямоугольники {R.vjv=0 диаметра меньше £ . Пусть

Применяя лемму 1.2, получим на оси систему интервалов ■( Д^} со следующими свойствами

I I — А с I - -2 , V = о,., К ; L = Pv. /1.9/

Vv.^t^j, AAj , VrO,. ; к-v-, i=i,.pv+(43 U j 6 pv /1Л0/ pv

I U ^ I = a" I , /1.11/

L=i P n(U f^l A- I, Vro,.,* 1 = 1,-., Pv. /I#I2/ L-4.

Pv=£ 1 , V-- o,.

1.13/

Полагая в лемме 1.2 , получим на оси (о,*-) систему интервалов {f^} со следующими свойствами .-с ; /1.14/

V • 5 • tv+/4

J' б ( Cbj ; V = /1.15/

I Uosll, n-O,.,*. /1.16/ VfM

I *ГП( и = ,,.0./1.17/ яле/

Обозначим Чк Рк

9= и и et*j

L=1 j=l

Bg = 5! x д^ ^v Pvc-v uuu bli

Ы-0 C-i j=i

At,j - n ( им и и" B^

Множества 9 и Ч можно записать в более компактном виде, используя функции Радемахера rL (.V)

Q= : r^. = 2., Vv.j (v--o,.,vc. j=o,.,vc')Jn; jT c,j Co &j«4fc is k.^ .

Однако, эта запись не проясняет существа дела и мы будем использовать введенные ранее определения б и V .

Нетрудно видеть, что {б } - система дизъюнктных прямоугольников, поэтому, учитывая /1.9/-/1Л8/, получим

I ier(ji -ял^г-» г-ч"--*. /1.19/

L=i j=l

Далее, заметим, что B^j - прямоугольники из В* , кроме того, легко видеть, что если В g П > то ^ Bc.j > ^ ^э J • Поэтому

А й«(!ГсП(и lb*» >^7 /1.20/

1 l=i J

Из /1.15/ и /1.17/ следует, что

It Я ь, ^ V+4. nCU U П( U = /1.21/

JU-V+i 1=4.

В итоге, из /1.20/, /1.21/ и /1.9/ получим i^il^lslMaTl^lBX;! и, стало быть, к- Я/4.

Ви П с и и и в Ь) I

U = V+1 1=1. 0 = 1 ^ г в-^.j \

Осюда легко получить, что к. Яу 1С P^.v

III I U U U = v=0 1=1 j=l ' V=° L=1 J = *

Для этого заметим, что nB*^^^ j = и используем следующее наблюдение.

Пусть - измеримые множества, такие, что

- 28

IE* П С U E^U i 1ЕП.

Тогда w

X lEvcl X I U EJ , Vhh. к

Действительно, обозначим Gu,;= E. U Ej # ^e сложно видеть, что q. nG-.-^Ф С к* J) . Поэтому, учитывая, что и UEK = U ^ ,

J K'i. ic=i получим

I U EJ = | U = I | IEKI - lE^D ( U Ej^l]

K=1 |C=d- yc=± J = lc+1 n

R=d n il IEJ.

Поэтому, в силу /1.9/, /1.13/, /1.14/ и /1.18/ iyi> ii x xisriu-i-ii^-HSciuT^

Vso UdL J=4. v=o k-i

Тогда из /1.19/ следует, что1У1} 161 и соотношения /1.6/,

1.7/ леммыТ.З доказаны. Докажем /1.8/. Из построения множеств Y и 8 видно, что

Як Рк ьу; п © = С Si П ( и S • )Ь С Aki"v Л ( и д'ПУ

М L=1 J L=1

Поэтому qK Рк

I by n 91 |*r n(.U uyn( UAt)l

I by I

Учитывая /1.12/ и/1.17/, получим

Як к.

I Til = U*/v n CLu йП1 j J

Откуда V

ДГ fc-v , 1

I n e i ± 1ВГ.И = а из этого соотношения следует /1.8/. Лемма 1.3 доказана.

Теперь мы в состоянии сформулировать и доказать основной результат этого параграфа.

TE0PEMAI.I Пусть В - TI-базис, Вс |&±. * ^

I/ Если В обладает S -свойством, то В не дифференцирует б CL£oj+LY • •

II/ Если В не обладает 5 -свойством, то В дифференцирует L.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО*' Часть /I/ есть простое следствие из леммы I.I и теорем I.A и I.B. Действительно, т.к. В распадается на конечное объединение базисов, состоящих из попарно сравнимых прямоугольников, то в силу теоремы I.A, В* дифференцирует L , а по теореме 1.Б максимальный оператор имеет слабый тип cjvd с некоторым е*>о:

Учитывая, ЧТО {ъ: } С ^ Х-: > ^ } , получим, что также имеет слабый тип (i,i) с некоторым £>0 . Отсюда, с помощью стандартных рассуждений /см. И.Стейн 11970] , стр.19/, получим, что В дифференцирует L . Часть /1/ доказана.

Доказательство /II/ опирается на лемму 1.3, только вместо обычного базиса В* будем рассматривать базис, получаемый из ассоциированного сжатием каждого прямоугольнике относительно центра в два раза. Очевидно, $* -свойство инвариантно относительно сжатий базиса, но при этом, как легко видеть, СS-P, х) и достаточно оценить I)Q* С снизу. D оо ,

Покажем, как из леммы 1.3 следует /II/. Пусть $(tHov-b Требуется показать, что существует функция -fe $(L) L to^l С такая, что D . С S-?,°:-) =+00 п.в. на Lo.ii2- . Используя лемму 1.3 определим последовательность множеств иУк , Аса** Y*. , 00 ,

Оо так, чтобы X к.2к1©ц.1<<» . Тогда существуют числа ^fcкп^.-та-k=i кие, что оо

К=1

СО

Пусть В^ео, таковы, что оо к=1 j

Обозначим N0=0 , N\ = и.- и определим последовательности мноi=i жеств следующим образом. Пусть NjH< к* N/j , тогда , = Yj-, и, учитывая /1.22/, получим оо <х> оо

Тогда, по лемме Кальдерона /см. М.Гусман [1978], стр.80/, существуют сдвиги т*. , такие, что

I ** \ = 1. /1.24/ vt

Определим функции -f сх") = cb"2.J 7 , где N, < к-ь N; , и

С J"1 функцию h-x.0 = Sup^LX), Нетрудно видеть, ЧТО 4 Q С \S) L боЛ ( Го, ц"1*) . fcfelN 0 ®

Действительно, обозначив ФС-tb <}С±)-Ь 5 и, учитывая /1.23/, получим

Оо to, 13 ^ км [о^з2- JM

С другоШстороны, в силу /1.24/ почти каждая точка ос лежит в бесконечной последовательности множеств n^Y* . Но, если xti*^ 4 w-то, по условию /1.8/ и по построению, найдется R.66* , fc-^x , такой что

- ^^ ^ a, Г Aj too , С *.-*«>).

IR1

Следовательно, п.в. на [о,а2- и часть /И/ доказана вместе с теоремой.

Под действие теоремы I.I не попадает один важный класс базисов -базисы из двоично-рациональных прямоугольников. Б связи с этим, нам понадобится обобщить понятие TI-базиса и ввести понятие Т-базиса.

Будем говорить, что базис В является Т-базисом, если существует {^Ик^ ~ система прямоугольников с длинами сторон вида Q.™ ,me"Z , такая, 4toVx ^т*,*. -сдвиг некоторого в точку х , такой, что Р. совпадает причем к пробегает весь натуральный ряд при фиксированном х .

ТЕОРЕМ 1.2 Пусть В - Т-базис,Вс©1# •

I/ Если В обладает S -свойством, то В не дифференцирует oCLC^+LI. • *

II/ Если В не обладает S -свойством, то В дифференцирует L. Доказательство теоремы 1.2 проводится по той же схеме, что и теоремы 1Д со следующими изменениями.

Лемма 1.2 заменяется более общей леммой 1.2' / . к

ЛЕММА 1.2 Пусть l^viy^o ~ последовательность натуральных чисел, такая, чточу+з & t it-*. • Тогда существуют системы интервалов { J v,j i и \ Ъ) со следующими свойствами

1.1 7 2.1 = ^, i

1.2'/ Vv.^.u, в j, A^cij , ,H=o,.,w-v; ^jfcfv. P

1.3'/ 1 U = , V= o,.,vc.

1.4 V Для фиксированных т> и ^ существует - периодическая функция C-t) такая, что

-<0= ^ /V- ^^ -te

U дв L

U*. L и для любого интервала Iv , 131= 2. hv Iv

1.5/

Доказательство леммы 1.2' следует общей схеме доказательства леммы 1.2, но несколько более усложненной. Положим wjzViN.Wrn; AVAtUAj; Д° = и опишем -тый шаг. На предыдущем шагу у нас появилась система интервалов {A vc"'} , и •{ . Казздый Д разбивается на отрезки (Г^-* длины 2. . Левую половину Ъ ^ обозначим Д^.'к • ® каждом д V-* ' выберем концентрический с ним интервал в два раза мень

СI 'С шей длины, полученные интервалы перепишем в виде {д^ } - ± и{ д ^ .

- 33 V V

Разобьем теперь на четыре интервала и систему цк.) t it?i запишем в виде { Л \ j ,>± . И так далее. Таким путем получается доказательство леммы 1.2 .

При доказательстве леммы 1.3 для Т-базисов, применяя по соответствующим координатам лемму 1.2' определим множества т "с б £,j = Ч kc-v

В j fc-v

В Г: = Sl'Uj

I,1

V Рк

0. U U к PKW

Y- LI U U

При этом меры множество и Y посчитываются как и раньше, однако

4 6* /е отличие от B^j из теоремы 1.1/, поэтому необходимо показать, чтоУхе В п ,3 не В , И^х , такой, что IRnBi JL .

1 1Я1 г16

Обозначим = о ^ х Д к , где п с Д j и через обозначим сдвиг прямоугольника в точку ^t В^ h эх .

Из построения следует, что для любой точки хе существует сдвиг Тх , такой, что т* В*. е В*сх) иТ*ДдсВ^ . Применяя /1.4V, получим nei . ±

Завершается доказательство так же, как и в теореме I.I. Приведем примеры применения полученных теорем. h

ПРИМЕР I. Пусть задана некоторая совокупность кривых KS {-t

Базис ВС Г) порожден сдвигами прямоугольников, у которых левая нижняя вершина лежит в точке ноль, а правая верхняя на одной из кривых семейства Г . Тогда, если Г - конечное семейство, то ВСГ) дифференцирует L , а если Г - счетное семейство, то ВСТ) не дифференцирует о С L .

ПРИМЕР 2. Пусть задана некоторая последовательность точек xKr сходящаяся к нулю. Базис BOU^O порожден сдвигами прямоугольников, у которых левая нижняя вершина лежит в точке ноль, а правая верхняя совпадает с одной из точек . Тогда, если для ho любого hot IN существуют такие , что it^ < . < и.к а bi„ >. > кп,. , то базис БС^к-П не дифференцирует o(.Ltoa+0 . В к 1 к h0 о противном случае,ВС!будет дифференцировать L . Поскольку хк могут стремиться к нулю сколь угодно быстро, т.е. последовательность точек{у.к) может быть сколь угодно редкой, то мы выделили, по-существу, самый узкий подбазис базиса 1В4 , дающий недифференцируемость б С L &оа+ Ю .