Симметричные пространства Максвелла и первые интегралы системы уравнений Лоренца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

і

На правах рукописи

раках п' І

005016095

Ерина Елена Сергеевна

Симметричные пространства Максвелла и первые интегралы системы уравнений Лоренца

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о г < » ^

005016095

Ерина Елена Сергеевна

На правах рукописи

Симметричные пространства Максвелла и первые интегралы системы уравнений Лоренца

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир - 2012

Работа выполнена на кафедре высшей математики и статистики Иванове государственной текстильной академии.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Паринов Михаил Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Воронежский государственный

педагогический университет Защита диссертации состоится 15 мая 2012 г. в 16.00 на заседании диссер ционного совета ДМ.212.024.02 при Владимирском государственном университ имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адр< 600024, г. Владимир, пр. Строителей, 11, корп.7 ВлГУ, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского сударственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Гри рьевича Столетовых.

Автореферат разослан " 14 " апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ.212.024.02 при ВлГУ кандидат

профессор Шикин Евгений Викторович, заведующий кафедрой математических методов в управлении факультета государственного управления МГУ

кандидат физико-математических наук, доцент Ивановского государственного университета.

Кусковский Леонид Наумович

физико-математических наук, доцент

Наумова С

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из важных задач исследования систем дифференциальных уравнений является задача получения первых интегралов, т. е. таких функций зависимых и независимых переменных (и их производных строго меньшего порядка, чем порядок системы), которые постоянны вдоль интегральных линий. Зачастую именно первые интегралы несут больше информации об изучаемой системе, чем решения, так как имеют глубокий физический смысл. В физике первые интегралы называют законами сохранения, а в случае уравнений движения — еще интегралами движения. С математической точки зрения знание первых интегралов ведет к частичному интегрированию системы уравнений, с физической же — к сокращению числа неизвестных параметров, т. е. к более полному представлению о ее движении.

Связь теории дифференциальных уравнений с другими математическими науками послужила источником развития множества новых направлений и методов в современной математике, таких, как групповой анализ дифференциальных уравнений1,2,3,4, алгебраические и геометрические методы исследования дифференциальных уравнений и многих других. Исключительно плодотворной оказалась идея о наличии связи между симметриями функционалов в вариационных задачах и существованием первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа. Сюда относится весьма общая теорема Э. Нётер (1918) и ее обобщение на случай так называемых дивергентных симметрий5, предложенное Е. Бессель-Хагеном (1921).

. 1 Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 399

с.

2 Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике - М.: Наука, 1983. - 280

с.

3Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. - М.: Мир, 1989. - 639

с.

4 Фуїдич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла. - Киев: Наукова думка, 1983. - 200 с.

5 Лагранжиан вида £(<?, 4) заменяется на калибровочно измененный лагранжиан

¿'(її Я> і) — Цд, о, І) + и выписывается нётеров интеграл для функционала

аЬ

! Ь'{д, д, г) <Й.

Движение пробной заряженной частицы в электромагнитном поле Ftj описывается системой уравнений Лоренца6

тех* = -^FkjäP (1)

{9гк = diag(—1, —1, —1,1) — метрический тензор 4-мерного пространства-времени Минковского в галилеевых координатах т — масса частицы, е — ее заряд, с — скорость света в вакууме). Расчеты многих физических эффектов основаны на использовании этих уравнений7. Уравнения (1) могут быть получены как уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала

= J (-mcds-^Aidx^ - (2)

действия для частицы с 4-потенциалом At (Fy = diAj - djAt).

Из (2) видно, что действие S содержит потенциал Ait в то время как уравнение Лоренца содержит только поле Fy. Поэтому для применения теоремы Нётер требуется, чтобы инвариантным относительно некоторой группы было не только электромагнитное поле, но и потенциал. Инвариантность действия (2) относительно группы преобразований Gg Г) GAS в соответствии с теоремой Нётер приводит к определенному набору сохраняющихся величин — первых интегралов системы (1) следующего вида9

Я = -С (megyiJ' + . (3)

Замена функционала (2) семейством калибровочно измененных функционалов

5/N = J (-meds - -А{Р dx*) , = At + 0;/, (4)

вследствие калибровочной инвариантности уравпений Лоренца может приводить к новым сохраняющимся величинам10. Все группы Gs П САц, содержатся в группе

6Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. - М.: Наука, 1967. - 460 с.

7 Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. - М.: Наука, 1974. - 391 с.

8 Gg — 10-мерная группа преобразований пространства Минковского, сохраняющих метрический тензор (группа Пуанкаре); Ga — группа преобразований, сохраняющих потенциал

s i1 — вектор, определяющий 1-мерную подгруппу этой группы.

10 Это основная идея теоремы Бессель-Хагена — использование дивергентных симметрий для получения первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа.

= йдНвр, где вр — группа преобразований пространства Минковского, сохраняющих тензор Ру. В связи с этим возникает вопрос: для каких групп симметрий существует потенциал, симметричный относительно всей группы Об''- Ответ отрицательный, например, для всех 6-мериых групп симметрий; для групп размерностей 3-5 есть примеры как положительного, так и отрицательного ответа. Важно отметить, что для однопараметрической группы в случае общего положения ответ на указанный вопрос положительный, и это один из результатов диссертации. Можно сформулировать следующую теорему, если пространство Максвелла11 симметрично относительно г-мериой группы то система уравнений Лоренца допускает г первых интегралов.

В диссертации изучается основной случай, когда для данной группы симмет-рий электромагнитного поля Ру не существует общего потенциала, инвариантного относительно этой же группы. Тогда для описания всех первых интегралов уравнений (1) необходимо привлекать потенциалы с меньшей группой симметрий. В этой связи естественно определяется фактор Бессель-Хагена группы Св (с. 13) как фактор-пространство пространства С дифференциальных 2-форм, допускающих группу по образу с!(Р) пространства Р дифференциальных 1-форм, допускающих ту же группу бя (<1 - оператор внешнего дифференцирования). Равенство фактора Бессель-Хагена нулю означает, что всех полей инвариантных относительно группы Од, существует потенциал Ai с этой же группой симметрий, и все интегралы системы уравнений Лоренца являются нётеровыми.

Цель работы. Целью работы является развитие теории симметричных пространств Максвелла и применение этой теории к получению первых интегралов системы уравнений Лоренца.

Основные задачи:

• апробация модифицированного алгоритма получения первых интегралов уравнений Лоренца;

• нахождение условий нётеровости для классов пространств Максвелла, до пускающих нетривиальные группы симметрий;

11 см. определение пространства Максвелла на с. 7.

• нахождение факторов Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре.

Основные методы исследования. В работе используется математические методы электродинамики, вариационное исчисление, теория Нётер, тензорный анализ, метод разделения переменных для решения систем дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации:

• предложена и апробирована на примерах модификация алгоритма получения первых интегралов системы уравнений Лоренца с использованием групповых классификаций пространств Максвелла и потенциалов.

• получены условия нётеровости для некоторых классов симметричных пространств Максвелла.

• найдены факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений, в теоретической и математической физике, а также в дифференциальной геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались

• на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.);

• на IV международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (Воронеж, 2011 г.);

• на семинаре кафедры математического анализа в Ивановском государственном университете (2011 г.);

• на семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (руководители: профессор В. В. Жиков, профессор Е. В. Радкевич, профессор А. С. Шамаев, профессор Т. А. Шапошникова) (2012 г.);

• на семинаре по дифференциальным уравнениям во Владимирском государственном университете им. Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (2012 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [1], [2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы а подразделы, а также заключения и списка литературы, содержащего 60 наименований. Полный объём диссертации составляет 86 страниц машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Первая глава является, по-существу, вводной. В ней приведены исходные понятия и факты, сформулированы определения основных структур на многообразиях. В частности, введен о понятие пространства Максвелла, описана группа Пуанкаре и ее подгруппы. Описана суть классификации пространств Максвелла и потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре.

Пространство Максвелла есть тройка (M,g,F), где М — гладкое 4-мерное многообразие, д — dx'dxj — псевдоевклидова метрика лоренцевой сигнатуры

(----!-), F = ¿Fij dxl Л dxj — замкнутая дифференциальная 2-форма на М.

Условие замкнутости формы F совпадает с первым уравнением Максвелла

diFjk + djFki + dtFij = 0 (г, j, k = 1, ..., 4), (5)

поэтому каждому тензору электромагнитного поля Fij соответствует свое пространство Максвелла. Для того, чтобы данное пространство Максвелла могло служить математической моделью электромагнитного поля, необходимо, чтобы тензор Fij удовлетворял второму уравнению Максвелла

= —J* (i,fc = 1.....4). .(6)

Если тензор F^ удовлетворяет уравнению (6) с нулевой правой частью, то (М, д, F) называется пространством Максвелла с нулевым током (ПМНТ). Каждой электромагнитной волне соотвествует свое ПМНТ.

Пара (М,д) интерпретируется как пространство-время Минковского или область в нем, пара (М, F) — как обобщенная симплектическая структура.

Потенциал есть тройка (М, д, А), где Mag означают то же, что и выше, А — Aidx1 — дифференциальная 1-форма на М, Ai — ковекторное поле (в частности, 4-потенциал электромагнитного поля).

Группа Пуанкаре <33 есть множество диффеоморфизмов многообразия М, сохраняющих д. Каждой группе — подгруппе группы Пуанкаре из списка И. В. Бел1 ко12 (алгебре = ..., &}), соответствует класс Ск,г пространств Максвелла., допускающих эту группу 13,

Ск,1 = {(М, д, Р) : =0, ^ = 0, а = 1, ..., *}, (7)

класс IV*, пространств Максвелла с пулевым током, допускающих эту группу, Фы = {(М,д, Р)<=Ску. У^ = 0}, (8)

и класс Рк-[ потенциалов, допускающих эту группу 14:

рк,1 = {(М, д, А) : = 0, а = 1, ..., к). (9)

Во второй главе предложена модификация алгоритма Паринова получения первых интегралов уравнений Лоренца с использованием классификации потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре. В качестве примеров найдены первые интегралы для пространств Максвелла с нулевым током классов и

Пусть (М, д, А) — потенциал, — группа Пуанкаре, СА — группа диффеоморфизмов, сохраняющих А. Если группа симметрий потенциала йР = П бл нетривиальна, то в соответствии с теоремой Нётер система уравнений (1) имеет столько независимых первых интегралов, какова размерность группы СР. Если Сд, СА и СР = Сд П СА — соответствующие группам Од, СЛ и Ор алгебры Ли векторных полей на М, то для базисного вектора ^ е интеграл системы (1) имеет вид (3).

Пусть пространство Максвелла (М, д, и потенциал (М, д, Л) связаны отношением подчиненности, т. е. Г = в,А = - 5,-Л), и группа симметрий

12 Белько И. В. Подгруппы группы Лоренца - Пуанкаре // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1971. - № 1. - С. 5-13.

Паринов М. А. Классы пространств Максвелла, допускающих подгруппы группы Пуанкаре // Фунд. и прикл. матем. - 2004. - Т. 10. - № 1. - С. 183-237.

Паринов М. А. Классификация потенциальных структур на пространстве Минковского по подгруппам группы Пуанкаре // Фунд. и прикл. матем. - 2006. - Т. 12. - № 7. - С. 177-225.

Классы описаны в статье: Паринов М. А. Пространства Максвелла с нулевым током, допускающие подгруппы группы Пуанкаре размерностей М> // Математика я ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2009. - Вып. 1 (6). - С. 83-102.

= йд П Ср16 пространства (М, р, У71) нетривиальна. Тогда калибровочно измененный потенциал (М, д, А'),

А' = А + с11 (Л[ = А+д,/), (10)

также подчинен (М, д, F) (т. е. ^ = ¿Л'), в то время как уравнения Лоренца калибровочно инвариаптны (не меняются, если в (2) Ai заменить на А[). Если группа <?р> = (79П(?а< не совпадает с <?р = б^ПСд, то в результате применения теоремы Нётер к калибровочно измененному функциопалу (2) ^ Амогут появиться новые сохраняющиеся величины, вычисляемые по формуле (3). Так как для каждой группы О А' справедливо включение бд- С вр, то все группы йр> симметрии калибровочно измененных потенциалов являются подгруппами группы сим-метрий пространства Максвелла. Для пространств Максвелла с нетривиальной группой СУя М. А. Париновым разработан алгоритм получения первых интегралов системы уравнений Лоренца17, который был апробирован на многих примерах. В диссертации рассмотрена следующая модификация этого алгоритма.

Пусть — класс пространств Максвелла, соответствующий группе (Зу (алгебре С-к,1 = 1, • - •, &}) и /у — общее решение системы (7): = 0, ¿{„^ = О, а = 1, ..., к.

1) Берем общий потенциал соответствующий группе (З*,;18, т. е. общее решение системы (9): = 0, а = 1, ..., к}, и находим его образ = д^А] ~ д^Л^ при отображении внешнего дифференцирования А >—^ F = йА. Если множества

и совпадают, то для каждого базисного вектора алгебры выписываем первый интеграл по формуле (3).

2) Если ф {•Ру}, то находим какой-нибудь общий потенциал Л; для — любое решение системы д{А] - дjAi = .Р^-.

3) Для каждого базисного вектора алгебры £,¡¡,1 проверяем условие симметрии потенциала А^. Ь^А^ = 0; для которых оно выполняется, выписываем первый интеграл по формуле (3).

16 вр — группа симплектоморфизмов, т. е. диффеоморфизмов многообразия М, сохраняющих F; — соответствующая алгебра Ли векторных полей на М.

17 Иванова Л. С., Паринов М. А. Первые интегралы системы уравнений Лоренца для некоторых классов электромагнитных полей // Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова. - 2002. - Т. 236. -С. 197-203.

18 Он задает класс потенциалов

4) Для базисных векторов для которых ф 0, ищем симметричный потенциал т. е. такой, что

hA* = еМ?+= о. (п)

Для этого достаточно найти функцию /<">, задающую калибровочное преобразование от фиксированного ковекторного поля Д:

W^A + bfW. (12)

Для симметричных потенциалов выписываем первый интеграл по формуле (3).

5) Если калибровочную функцию для вектора найти не удается, то ищем Ai в классах потенциалов Pk¡M (к, < fe), таких, что вектор лежит в алгебре CklM. Перебор классов Pkuh лучше делать в порядке убывания размерности алгебры CklA, поскольку с убыванием размерности классы Pk¡Jl становятся шире, и решение системы diAj - djA, = Ftj усложняется. Для найденного симметричного потенциала выписываем первый интеграл по формуле (3).

Эта модификация метода Паринова апробирована на примерах классов WiA и ^5,5- Ниже выписаны полученные наборы интегралов. 1. Класс ПМНТ W4i4, соответствующий группе G4,419,

£4,4 = L{e 13 + Ле2, еь е3, е2 + е4}, задается тензором F{j вида

х2 — ж4 ' " Í12 = —Рц = 61 cos -—---62 sin

A '

= FM = 6, sin + b2 cos ЇІ^, (13)

A A

Fi3 = b3, F24 = b4 (hi = const).

Уравнения Лоренца для поля (13) имеют 4 интеграла, соответствующие базисным векторам алгебры £ІЛ:

191

Базисв алгебре Сд выбран в стандартном виде: е, = (1,0,0,0), е2 = (0,1,010).с3 = (0,0,1,0), е4 = (0,0,0,1), е12 = (-х2,ж1,о,0), е13 = (х\0,-^,0), е23 = (0, —я3,х2,0), е14 = (i'.O.O.s1),' Є24 = (0,Х4,0,12), е34 = (0,0,х4,г3).

(14)

Я<44> = шф'і1 + Ах2 - х1*3)-

е ( . х2 + ¿4 х2 + х4 _j 63 Л

- -А I b¡r sin —-— + b?rcos —-— + b4x4 - ^r2 j ,

/44 4) = mcá1 + Í (fe®3 + 61Л Sin + 62 A COS ,

„(4.4) .3 e Л ! , , I2-!4 I2 — x4\

Я3 = тех - ~ Í 63x - i>x A cos —---h 62 A sin —-— I ,

Я<4'4) = mc(x2 - x4) - Í64(x2 - x4).

2. Класс ПМНТ We,5, соответствующий группе G6i5,

£5,5 = L{e 12 — e14, е2з + e3i + Ae2, eb e3, e2 — e4}

задается тензором F¡j вида

Fu = Fu — Кsin(x2 + x4), Flz = F2i = 0, F23 = — F34 = L. (15)

Первые интегралы для базисных векторов fj = е12-е14, f3 = ei, f4 = е3, = е2-е4 имеют вид:

Я<5'5) = тс ((х2 + х4)х* - х1 (х2 + х4)) -

Kef 2 , 44 sin(x2+x4)\

--cos(x + X4)--\-—L ,

с V х2 + х4 у

tff'5) = тех1 - -Кcos(x2 + х4), (16)

Я45,5' = тех3 — ~L(x2 + х4), Я<5'5) = тс(х2 + х4).

3. Класс ПМНТ И^.бі соответствующий алгебре

¿6,6 = ¿{еі2 — ЄХ4, е23 + Є34, Є24, Єї, Є3, Є2 — Є4},

задается тензором Fu вида

Fu = А« =-гг-4, F13 = F24= 0,

K2

= -F34 = , (АГЬ Ki = const).

Первые интегралы для базисных векторов £4 = еь = ез и

£б = Ё2 — е4 имеют вид:

с

Я<б'6) = тех3 + ^ 1п(г2 +14), (18)

с

tff6) = mc(¿2 + ¿4). 4. Класс ПМНТ We,5, соответствующий алгебре

£б,5 = L{e 12 — е14, е23 + ез4, е13 + Ле2, еь е3, е2 - е4}, задается тензором Fi}- вида :

^12 = 1,ы = Сх sm----h С2 cos---,

Л А

TP ri /ч х2+х* x2 + xi

F23 = -Í34 = —Ci cos----(- С2 sm---, i1»;

Л Л

F13 = Fu = 0 (Cu C2 = const). Первые интегралы для базисных векторов

£3 = е13 + Ле2, £4 = еЬ £5 = е3, íe = e2-e4

имеют вид:

Н^5) = тс(х3х1-х1х3 + Хх2)+

, е Л з f/~i 52 + í4 . í2+i4 + - I AxJ I C2 cos —---Ci sin —-—

:2 + ¿4 „ x2+x4

(20)

с

C¡. sin —+ C2 eos

rr(6.5) • 1 , 6 (í X2 +X* . i2 +

#4 ' = mcxi + - I CiAcos----C2Asm-- .,

С \ A A y

rr(6,5) . 3 , б ( , . X2 + X4 X2 + X4 \

Щ = mea: + - CiAsin---+C2Acos--- ,

с \ A A /

Я'6'5' =mc(i2 + ¿4).

В связи с этим методом получения первых интегралов уравнений Лоренца естественно определяются нётеровы пространства Максвелла. Пространство Максвелла (Л*, s, F)

называется нётеровъш, если оно допускает нетривиальную группу Gs, и существует такой потенциал (М, д, А), что F = dA, и группа Gp =

Сд ПС?д совпадает, с Для нётеровых пространств Максвелла все первые интегралы уравнений Лоренца, отвечающие группе вэ, получаются непосредственным применением теоремы Э. Нётер.

Когда алгоритм Паринова используется для получения интегралов системы уравнений Лоренца сразу для всех пространств Максвелла некоторого класса СРЛ, то выясняется, что общий потенциал, инвариантный относитетьно группы (7Р,„ может не существовать; в связи с этим определяется понятие фактора Бессель-Хагена Вр,5 для группы бр,, как фактор-пространства пространства Срл дифференциальных 2-форм, задающих пространства Максвелла класса СРЛ, по обра^ зу <1{РМ) пространства Рр<я дифференциальных 1-форм, задающих потенциалы класса Ррл (й- оператор внешнего дифференцирования). Отличие от нуля фактора Бессель-Хагена означает, что не все интегралы являются нётеровыми20, и чем выше размерность простанства Врл, тем для бблыпего числа базисных векторов алгебры СРЛ приходится находить симметричные потенциалы, чтобы получить первые интегралы системы уравнений Лоренца.

Основной результат третьей главы диссертации: получены условия нётеровости для некоторых классов пространств Максвелла и найдены факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре. Доказано следующее утверждение, которое означает, что в случае общего положения пространство Максвелла с одномерной группой симметрий является нётеровьш.

Теорема 1. Пусть 1) пространство Максвелла (М, д, Р) допускает одномерную группу симметрий 2) Р - невырожденная форма и 3) группа когомо-логий размерности 1 многообразия М тривиальна. Тогда (М, д, Р) — нётерово пространство Максвелла.

В таблице 1 приведены некоторые классы пространств Максвелла, допускающих 3-мерные подгруппы группы Пуанкаре. Все они содержат как нётеровы пространства Максвелла, так и пространства, не являющиеся нётеровыми. Отмечено, при каких условиях пространства будут нётеровыми21.

20 Интеграл называется нётеровым, если он получается непосредственным применением теоремы Нётер (без поиска калибровочного преобразования), и интегралом Нётер-Бессель-Хагена в противном случае

21К ним необходимо добавить условия, при которых (ИтОг = 3. Они сформулированы при описании классов Ск,1.

Класс Cki Тензор Fy, задающий класс Условие нётеровости

Сзда ¿Ъ=С3, F13 = Cb = vV), ^23 = С2, F24=^'(X4). C\ = C2 = C3 = 0

Сз,1 ь ¿w = Ci, F13 = (p{x3), F14 = C2, F23 = ^(x3), F24 = C3, F34 = x(x3) Ci = C2 = C3 = 0

Сз,1с Fy = ^(w4) (ij = 12, 23, 24), F13 = Cb ¿u = C2 - FI2, F34 = C3 + F23, (г;4 = x2 — x4, Cfc = const) C\ = C2 = C3 = 0

Сз,2а ¿12 = в!(х4) sin ^ - a2(x4) cos F23 = —ai(x4) cos ^ - a2(x4) sin F13 = const, F2i = F2i{xi), F14 = -Aai(x4) cos ^ - Aai,(x4) sin F34 = Aai (x4) sin £ - Aa!,(x4) cos £ ¿13 = 0

Сз,2!> Fu = FM = F23 = F34 = 0, F13 = const, F24 = $(x2,x4) F13 = 0

Сз,з F12 = /ха'^х2) sin £ - Pai(x2) cos f, F23 = —AiaJ (x2) cos ^ - fia'^x"2) sin j, F13 = const, F24 = FM(x2), Fu = a.i(x2) cos £ + ^(x2) sin si, F34 = -Oi (x2) sin ^ + a2(x2) cos ¿13 = 0

Сз,5 F12 = a!(r) ch ip + ^ sh уз, F13 = 63, F14 = -ai(r) sh ip - ^ ch уз, ¿23 = a2(r) ch у + b sh tp, F24 = F24(r) F34 = a2(r) sh ip + ^ ch ip (bk = const) (x1 = x1, x2 = rchy?, x3 = x3, x4 = rsh</>) h =b2 = b3 = 0

F12 = -Ac'j^ch f - A4(x1)sh F14 = Ac^x1) sh ^ + Ac^x1) ch ¿"13 = F13(x1), F24 = const, ¿23 = С! (x1) sh ^ + C2(;Г!) Ch ¿k = ciix1) Ch ^ + C2(x') Sh ¿24=0

Сз.вь РіЗ = ^14 = = Fз4 = 0, Яз = F1з(2;1,x3), F24 = сомі ^24 = 0

Г13 = Сі-Х2 + С2, Р24 = С5 • х2 + С6, ■Ргз = Iі • (і2)2 + С2 • х2 + С3, = ■ (х2)2 - С6 ■х2 + С7, = • (¿2)2 - С2 ■ X2 + С4, •Рн = ■ (52)2 - с6 ■ г2 + св а\ = а2 = а3 = 0

Сз,9с ^з = Сі • і2 + С2, F24 = С5 ■ х2 4- Се, ^23 = і1 • (х2)2 + С2 • х2 + С3, Рп = • (ї2)2 - С6 • х2 + С7, •^34 = -а • (х2)2 - С2 • X2 + С4, ^14 = • (І2)2 - С6 • х2 + С8 Л = В = 0

3,1» ^із = Сі• г2 + с2, F24 = c5■í2 + cв, ¿23 = ^ ■ (і2)2 + С2 • X2 + С3, -Рів = —^ -(г2)2-св-52 + с7, = -(Х2)2-С6-Х2 + С8 Не являются нётеровыми

Сз,20 ^12 = f1з = f2з = 0, = х^о, з;4), F24 = x2Ф(p, х4), F34 = х3Ф(р, ж4)

Сз,21 ^12 = F14 = F24 = 0, ^з = xі Ф(и, X3), ^23 = х2 Ф(и, X3), Fз4 = X4 Ф(и, X3) и 0/0

Доказано следущее утверждение.

Теорема 2. Факторы Бесселъ-Хагена для групп22 Єзм, Сздь, ЄЗЛс, 0?>і2а, <?з,2ь. С?з,з, (?з,5, Єз^ва и С3,6Ь равны соответственно: В3і1а = К3, £г3= К3, В31с = К3,

53,2. = в3,2ь = к1, вз,з = к1, вз,5 = к3, взм = к1, бзі66 = и1.

Кроме того, в данной главе найдены факторы Бессель-Хагена для пространств Максвелла классов С4>2, С4і3а, С4.зь, С4,8а, С4Д0, С4Д1, С4і12а, С4Ма-

22 Соответствующие алгебры Ли векторных полей: £3>1(, = £{еь е2, е3}, £3,и = ¿{еі,е2,е4}, ¿3,1с = £{е1,ез,е2+е4},£з,2а = £{еіз+Ае2,е1,ез},.Сзі2Ь = £{еіз,еье3},£3,3 = £{еі3+де4,еі,ез}, ¿3,5 = ¿{Є24,Є1,Є3}, £3,ва = ¿{е24 + Аєз,Є2,Є4}, £3,ЄЬ = Ь{е24, Є2, Є4}.

Работы автора по теме диссертации.

[1] Ери на Е. е., Ларинов М. А. Факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. - 2012. - № 1. - С. 95-102.

[2] Ери на Е. а, Паринов М. А. Нётеровы пространства Максвелла и факторы Бессель-Хагена // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. - 2012. - Т. 278. - № 3. - С. 98-104.

[3] Ери на Е. е., Паринов М. А. Факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре // Тезисы докладов IV международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. - 2011. - С. 107-109.

[4] Ери на Е. С. Об одном алгоритме получения первых интегралов системы уравнений Лоренца // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2011. - Вып 1 (8). - С. 49-56.

[5] Ери на Е. С., Лебедева В. В., Ларинов М. А. О нётеровых пространствах Максвелла, допускающих одномерные и трехмерные группы симметрии // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2011. - Выл 1 (8). - С. 57-66.

Подписано в печать 04.04.2012. Формат 1/16. Бумага писчая. Плоская печать. Усл. печ. л. 2,55. Уч. - изд. л. 0,8. Тираж 100 экз.

Заказ № 3697

Копировально - множительное бюро Ивановской государственной текстильной академии 153000 г.Иваново, пр. Ф.Энгельса, 21

61 12-1/785

Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановская государственная текстильная академия Кафедра высшей математики и статистики

На правах рукописи

Ерина Елена Сергеевна

Симметричные пространства Максвелла, и первые интегралы системы уравнений Лоренца

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Паринов Михаил Алексеевич

Иваново 2012

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Предварительные сведения 5

1. Основные структуры на многообразиях 5

2. Симметрии геометрических объектов 17

3. Пространства Эйнштейна-Максвелла 24

4. Групповые классификации пространств Максвелла и потенциалов 34

Глава 2. Первые интегралы уравнений Лоренца 41

1. Классические и обобщенные уравнения Лоренца 41

2. Теоремы Э. Нётер и Е. Бессель-Хагена 42

3. Алгоритм М. А. Паринова получения первых интегралов обобщенных уравнений Лоренца и его модификация 44

4. Первые интегралы в случае класса ПМНТ И^д 47

5. Первые интегралы в случае класса ПМНТ И^б 51

6. Первые интегралы в случае класса ПМНТ И^.б 55

7. Первые интегралы в случае класса ПМНТ М^в^ 59

Глава 3. Нётеровы пространства Максвелла и факторы Бессель-Хагена 61

1. Исходные определения и некоторые обозначения 61

2. Пространства Максвелла с одномерными группами симметрий 65

3. Пространства Максвелла с трехмерными группами симметрий 67

4. Факторы Бессель-Хагена для некоторых 3-мерных и 4-мерных подгрупп группы Пуанкаре 76

Заключение 81

Литература 83

Введение

Одной из важных задач исследования систем дифференциальных уравнений является задача получения первых интегралов, т. е. таких функций зависимых и независимых переменных (и их производных строго меньшего порядка, чем порядок системы), которые постоянны вдоль интегральных линий. Зачастую именно первые интегралы несут больше информации об изучаемой системе, чем решения, так как имеют глубокий физический смысл. В физике первые интегралы называют законами сохранения, а в случае уравнений движения — еще интегралами движения. С математической точки зрения знание первых интегралов ведет к частичному интегрированию системы уравнений, с физической же — к сокращению числа неизвестных параметров, т. е. к более полному представлению о ее движении.

Связь теории дифференциальных уравнений с другими математическими науками послужила источником развития множества новых направлений и методов в современной математике, таких, как групповой анализ дифференциальных уравнений [29], [15], [30], [54], алгебраические и геометрические методы исследования дифференциальных уравнений и многих других. Исключительно плодотворной оказалась идея о наличии связи между симметриями функционалов в вариационных задачах и существованием первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа, реализованная в теоремах Нётер и Бессель-Хагена [8, 60, 57].

Уравнения Лоренца (см. [25])

^ = ^ + р, у?ик = — о« ик ик = — т

описывающие движение пробной заряженной частицы в электромагнитном поле -Р^1 , играют важную роль при исследовании структуры этого поля. Расчеты многих физических эффектов основаны на использовании уравнений Лоренца [52], поэтому они до сих пор не потеряли своей актуальности. Уравнения (1) могут быть получены как уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала

3[х] = ! - (2)

действия для частицы с массой т и зарядом е в электромагнитном поле с 4-потенциалом АРц = дгА^ — д^А^.

1 Возможно, при наличии гравитации, описываемой метрическим тензором (д%:>) = (д^)

г)к = 29г1(^91к + дкдц - д1дк]) — связность Леви-Чивиты.

3

Известно, что частица, помещенная в электромагнитное поле, не характеризуется, вообще говоря, никакими сохраняющимися механическими величинами [55, 56]. Другими словами, уравнения (1) в общем случае не имеют первых интегралов. Поэтому поля для которых уравнения Лоренца имеют первые интегралы, представляют особый интерес. В 1981 г. М. А. Паринов предложил метод получения первых интегралов уравнений Лоренца, основанный на понимании электромагнитного поля как симплектической структуры на 4-мерном многообразии пространства-времени [32, 18, 40] и применения теоремы Э. Нётер [60]. Этот метод позволяет в случае нетривиальной группы симметрий эффективно получить все интегралы уравнений Лоренца, существование которых следует из теоремы Е. Бессель-Хагена [57]. Полученные результаты описаны в работах [1, 2, 5, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 31, 36, 39, 59, 40, 51]. В дальнейшем этот метод был обобщен [38, 40] на более широкий класс систем дифференциальных уравнений — обобщенных уравнений Лоренца (см. с. 41).

В связи с задачей получения первых интегралов системы уравнений Лоренца М. А. Паринов ввел понятие пространства Максвелла [37, 40], представляющее собой тройку (М, где М — гладкое 4-мерное многообразие, д = д^ Ахг(1х3 —

псевдоевклидова метрика лореицевой сигнатуры (----ь) на М, = Л

- замкнутая внешняя дифференциальная 2-форма на М. Классификация пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре описана в работах [3, 6, 23, 26, 27, 28, 45] и в окончательной форме в работах [40, 41, 44]. Изучение симметрий пространств Максвелла, а также их применение к уравнениям Лоренца привело к понятиям нётерова пространства Максвелла [21] и фактора Бессель-Хагена для подгруппы группы Пуанкаре [22].

В данной диссертационной работе, состоящей из трех глав, продолжено изучение свойств симметричных пространств Максвелла и их применение к получению первых интегралов системы уравнений Лоренца.

Первая глава является реферетивной. В ней приведены исходные понятия и факты, сформулированы определения основных структур на многообразиях, введены понятия пространств Максвелла и Эйнштейна-Максвелла, отмечены их некоторые свойства. Описана суть классификации пространств Максвелла и потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре.

Во второй главе предложена модификация алгоритма Паринова получения первых интегралов уравнений Лоренца с использованием классификации потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре [43] и классификации пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре [40, 41, 44]. В качестве примеров найдены первые интегралы для пространств Максвелла с нулевым током [48] следующих классов: И^д, Жб.б и И^в; эти интегралы описаны в работе автора [9].

В третьей главе получены условия нётеровости для некоторых классов пространств Максвелла и найдены факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре. Эти результаты описаны в работах автора [10, 11, 12, 13].

Глава 1

Предварительные сведения

Данная глава является реферетивной. В ней изложены фундаментальные понятия и факты, необходимые для понимания результатов, полученных автором. Большая часть текста заимствована из монографии [40].

1. Основные структуры на многообразиях

1.1. Гладкие многообразия.

1.1.1. Топология в М. Пусть на множестве

Кп = К х ••• х К = {х = [х\х2,... ,хп), х*еШ, г = 1,..., п} (1.1.1)

введена топология произведения, причем на числовой прямой М задана обычная (интервальная) топология. В качестве базы топологии в Еп можно взять набор всевозможных параллелепипедов

П = {х е Мп : х1 е (а\ Ь*), а\ Ь¿ е М} (1.1.2)

и пустое множество. Эта топология эквивалентна топологии евклидова пространства Еп с метрикой

п

1.1.2. Топологическое многообразие. Топологическое пространство М называется п-мерным топологическим многообразием, если оно локально гомеоморфно пространству Мп с введенной выше топологией. Число п называется размерностью многообразия М: п = &\тМ.

Локальная гомеоморфность М и К" означает, что пространство М можно представить в виде объединения открытых множеств 11а, каждое из которых гомеоморфно Мп:

М = <ра:иа^тп. (1.1.4)

а

Отображения (ра называются координатными гомеоморфизмами. Они задают локальные координаты в М: каждой точке х е 11а ставится в соответствие набор чисел хга (г = 1, ..., п) — ее координат. Множества IIа вместе с отображениями (ра называются 'картами, совокупность карт — атласом многообразия М. Заметим,

что в формуле (1.1.4) вместо Rn можно использовать любую область, гомеоморф-ную Мп.

1.1.3. Функции перехода. Если пересечение карт Ua и Up не пусто, то каждой точке х G Ua р| Up соответствуют два набора чисел (координат этой точки)

(О = Уа(я), (Хгр) = (рр(х), (1.1.5)

причем отображения

Фр ° : Ю ^ (4)' Va 0 4>f ■ (4) ^ (4). (1-1-6)

непрерывны. Функции (1.1.6) называют функциями перехода.

1.1.4. Гладкие многобразяя. Говорят, что на топологическом многообразии M задана структура гладкого многообразия, если зафиксирован такой атлас карт, что все функции перехода к раз непрерывно дифференцируемы (к = 1,2,3, ..., оо). В этом случае M называют также гладким многообразием класса Ck.

1.2. Векторные поля.

1.2.1. Гладкие кривые и касательные векторы. Пусть M — гладкое многообразие. Отображение / : (a, b) —> M (t i—» х) интервала (а, Ь) С M в M называется гладкой кривой, если его представление в любой локальной системе координат {хг}

х1 = х\Ь), t 6 (а, 6), г = 1, ..., п, (1.1.7)

является дифференцируемой вектор-функцией скалярного аргумента. Производная функции (1.1.7) есть представление касательного вектора ( этой кривой в точке х = x(t):

é(t) = (1.1.8)

Набор чисел (1.1.8) называют координатами или компонентами касательного вектора.

1.2.2. Касательное пространство. Множество всех касательных векторов ко всевозможным гладким кривым, проходящим через заданную точку х € М, образует линейное пространство размерности n = dimM. Оно называется касательным пространством я обозначается ТХМ. Касательное пространство — естественное обобщение понятий касательной к кривой и касательной плоскости к гладкой поверхности.

1.2.3. Касательное расслоение. Объединение всех касательных пространств к многообразию M во всех точках называется касательным расслоением многообразия М:

TM=\jTxM. (1.1.9)

хем

Известно, что в ТМ можно ввести структуру гладкого многообразия, причем dim ТМ = 2п.

1.2.4. Векторное поле. Векторным полем на гладком многообразии М называют сечение касательного расслоения, т. е. функцию,

v : М ->ТМ (ih f еТхМ), (1.1.10)

ставящую в соответствие каждой точке х из М вектор £ = из касательного пространства.

В любой системе координат {хг} векторное поле определяется набором компонент = С(х)- При переходе к другой системе координат {хг>} компоненты

векторного поля преобразуются по контравариантному закону1

f = <LL11>

Каждому векторному полю £г = С{х) можно однозначно сопоставить дифференциальный оператор

X = C(x)~=Cdi, (1.1.12)

действующий на функции / (ж1, ..., хп) по правилу

Xf = z%f. (1.1.13)

Формула (1.1.13) выражает производную функции / по направлению вектора и является инвариантной относительно замены координат, т. е. производная по направлению во всех системах координат выражается одной и той же формулой (1.1.13).

1.3. Основные понятия тензорной алгебры.

1.3.1. Матрицы перехода. Пусть V — линейное пространство над полем R, {е^} и {е^} — два базиса в нем. Разлагая векторы одного базиса по другому

ei = Ai{ei/, ev = A\,ei (г = 1, ..., щ ъ' = 1', ..., п'), (1.1.14)

получим взаимно обратные матрицы (Л-') и (А\,) линейных преобразований:

A],A^ = S), А^А), = 5% (1.1.15)

где

(1, если г = ?', ,,

(1.1.16)

0, если г ф j.

1 Здесь и в дальнейшем систематически применяется правило Эйнштейна — суммирование по повторяющимся верхнему и нижнему индексам, при этом знак суммирования опускается.

1.3.2. Определение тензора. Тензором типа (р раз контрвариантным и д раз ковариантным) на п-мерном пространстве V называется отображение Т, ставящее в соответствие каждому базису {е.,;} набор из пр+д чисел Т^'"^ — компонент тензора, преобразующихся при замене базиса по следующему закону

= а-1-17)

Число р + q называют валентностью или рангом тензора.

1.3.3. Примеры тензоров. 1) Скаляр — тензор типа (д) — имеет единственную компоненту, одну и ту же для всех базисов.

2) Вектор (контравариантный вектор) — тензор типа (¿) — задается п компонентами с законом преобразования

= (1.1.18)

Таким свойством обладают координаты вектора £ € V, получаемые разложением по базису: £ = =

3) Ковектор (ковариантный вектор) — тензор типа (5) — задается п компонентами и с законом преобразования

к, = 1гА\,. (1.1.19)

Этим свойством обладают коэффициенты линейной формы / : V —> М, /(£) = /¿£г, задаваемые формулой ^ = /(е,). Множество линейных форм образует линейное пространство V*, сопряженное пространству V.

4) Билинейная форма Ь:УхУ-»1, Ь( £,77) = Ъц^г}3, где матрица (Ъц) определяется формулой Ьц = 6(ег,ед), есть тензор типа с законом преобразования

ЪуГ = (1.1.20)

5) Билинейная форма В : V* х V* —> К, В(1,т) = В1ЧгШгде матрица (В4) определяется формулой В%3 = В(ег,е7), есть тензор типа (о) с законом преобразования

вг'Г = вад> (1.1.21)

Здесь {ег} — базис в пространстве V*, сопряженный базису {е7;} в простанстве V: ''(.О) =

6) Линейный оператор Т : V —>• V (г/ = Т£), = Т^ есть тензор тина (*) с матрицей (Т]), определяемой из соотношения Те^ = Т]а, и законом преобразования

Т*, =ТЩА),. (1.1.22)

1.3.4. Основные алгебраические операции над тензорами. 1) Сложение тензоров одного типа и умножение тензора на число определяются покоординатно, как для матриц. По отношению к этим двум операциям, называемым линейными, тензоры типа образуют линейное пространство Т£{у) размерности пр+я.

2) Произведение тензора Т типа на тензор 5 типа ([) есть тензор и типа (£+£)> компоненты которого определяются формулой

_ ...1р ..Лр+г 2 23")

Зг-'-Зя+э 31 ■■■Зч Зч+1---Зч+«' \ ' ' /

Тензорное произведение дистрибутивно относительно сложения, но не коммутативно. Умножение тензора на число есть частный случай умножения тензоров, когда один из перемножаемых тензоров является скаляром. Формула (1.1.23) есть координатное представление произведения полилинейных отображений

[/(&,..., Л---, О =

= Т(С ь .. .....1РШя+1, • • •, 1р+\ • • •, 1р+г)- (1-1.24)

В безындексной форме тензорное произведение записывается с использованием знака Например, формулы (1.1.23) и (1.1.24) записываются так: II = Т 0 5*.

3) Свертка тензора Т типа по одному верхнему и одному нижнему индексам есть тензор 5 типа (дГ^), например,

=%

Свертывать можно по любой паре верхних и нижних индексов. По двум верхним или двум нижним индексам свертка невозможна (т. е. результат не будет тензором).

4) Подстановка индексов. Если в тензоре произвести произвольные перестановки верхних и нижних индексов по отдельности, то получится новый тензор

аЧ-.Лр _ грСГ1(п..Лр) ,л 1 одч

^31-3я - (31-3я)> (1.1.^;

где 01 и а2 — подстановки индексов. В частности, для тензоров типов (°) и (ц) перестановка индексов означает транспонирование матриц: = Т^, = ТЛ Перестановки верхних и нижних индексов недопустимы (результат не будет тензором).

1.3.5. Симметрирование тензора. Тензор называется симметричным по некоторому набору индексов, если он не меняется при любой их перестановке. Операция симметрирования тензора, например,

%..„) = (1.1.27)

приводит к симметричному тензору.

1.3.6. Альтернирование тензора. Тензор называется антисимметричным (ко-сосимметричным) по некоторому набору индексов, если он меняет знак при любой нечетной подстановке и не меняется при любой четной подстановке этих индексов. Операция альтернирования тензора, например,

Т1ч..лр\ = (1.1.28)

р\ — сг

приводит к антисимметричному тензору. Здесь signer = 1, если подстановка четна, и signa = —1, если а нечетна.

1.3.7. Поднятие и опускание индексов. Пусть в пространстве V зафиксирован симметричный тензор gij типа (°), такой, что (let (с/у) ф 0. Тогда однозначно определен тензор дгэ типа (о), заданный путем обращения матрицы (gij): gikQ^ =

В этом случае определены операции поднятия и опускания индексов у тензоров, например,

Тцн Цк = Tiljkg^\ Т>к » Т?к = T"kgni. (1.1.29)

На месте поднятого или опущенного индекса ставится точка или пробел.

Пример. Пусть gij = ■ ej — метрический тензор в евклидовом или псевдоевклидовом пространстве V (точка означает скалярное произведение векторов, {е^} — базис в пространстве V). Тогда операции поднятия и опускания индексов в таких пространствах используются для отождествления тензоров одной валентности, но разных типов, например, векторов и ковекторов:

У,Г - g:'lr (1.1.30)

билинейных форм и линейных операторов в пространстве V:

b[j = bKigki: Ъ, - Tk:igki. (1.1.31)

1.4. Тензорные поля.

1.4.1. Тензорные расслоения. Пусть M — гладкое многообразие размерности п, ТхM — касательное пространство в точке х Е М. Полагая V — Тх M, можно перенести все понятия тензорной алгебры на касательное пространство. В частности, можно определить пространства ТР(ТХМ) тензоров типа Назовем тензорным расслоением типа объединение всех пространств ТР{ТХМ)\

TqpM= U Т*(ТХМ). (1.1.32)

хЕМ

В частности, тензорное расслоение типа (¿) совпадает с касательным расслоением: Т^М = ТМ. Тензорное расслоение типа (5) называют кокасателъным расслоением многообразия М и обозначают Т*М: Т?М = Т*М.

1.4.2. Тензорные поля. Тензорным полем типа (?) на гладком многообразии М называют сечение тензорного расслоения т. е. функцию,

Т : М Т?М (х ^ е Тдр(ТхМ)), (1.1.33)

ставящую в соответствие каждой точке х из М тензор из ТР(ТХМ). В частности, векторное поле является тензорным полем типа (¿). Скалярное поле есть тензорное поле типа (¡]), ковекторное поле — тензорное поле типа и т. д.

Пус