Дифференциальные базисы со специальными свойствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Различение наборов симметричных пространств дифференциальными базисами

1.0. Основные определения и теоремы

1.1. Различение наборов пространств Лоренца с помощью дифференциальных базисов

1.2. Различение симметричных пространств и

Ь°° с помощью дифференциальных базисов

1.3. Простой пример дифференциального базиса, не дифференцирующего класс характеристических функций открытых множеств

ГЛАВА 2. Теоремы экстраполяции и их применение в теории дифференцирования интегралов

2.1. Точная теорема экстраполяции для операторов

2.2. О проблеме окаймления для дифференциальных базисов

Актуальность темы. В диссертации изучается ряд задач теории дифференцирования интегралов и некоторые тесно связанные с этой теорией вопросы гармонического анализа в симметричных пространствах.

Истоком теории дифференцирования интегралов является хорошо известная теорема А. Лебега 1910 г. о том, что для произвольной последовательности стягивающихся шаров B(t, г к) и почти всех точек из области определения локально интегрируемой функции x{t) справедливо равенство lim ——-гт- [ x(s)ds = x(t).

Тот факт, что рассматривается предел средних значений по евклидовым шарам, а не по стягивающимся к точке t множествам какого - нибудь другого вида, на первый взгляд может показаться несущественным. Однако в 1927 году было показано, что с точки зрения дифференцирования, прямоугольники из R2, со сторонами параллельными осям координат, ведут себя намного хуже, чем круги на плоскости. В результате возникла такая проблема: останется ли справедливой теорема А. Лебега, если в ней евклидовы шары заменить на множества иной природы? Несмотря на то, что прошло почти столетие после появления пионерской работы А.Лебега, в теории дифференцирования интегралов остается много нерешенных проблем. Это связано с тем, что в этой теории тесно переплетаются трудные вопросы геометрии множеств, на которые заменяют шары в теореме Лебега, геометрии функциональных пространств, из которых берутся функции, стоящие под знаком интеграла, вопросы теории максимальных операторов и Т.д.

В настоящее время для теории дифференцирования интегралов одной из основных задач является следующая.

Пусть X, У два различных в каком-нибудь смысле пространства. Можно ли эти два пространства различить с помощью дифференциальных базисов, т.е. существует ли дифференциальный базис, который дифференцирует все интегралы от функций из X, но найдется функция из У, интеграл от которой данный базис не дифференцирует.

Наряду с задачей различения пары пространств можно рассматривать задачу различения пространства X и набора пространств {Уу : 7 Е Г} с помощью одного дифференциального базиса.

Если обратиться к шкале пространств Лебега то Хейес показал [10, с. 165], что существует дифференциальный базис, который дифференцирует Ь°°, но не дифференцирует Ьр при 1 < р < со. Позднее А. Стоколос [37, 38] для заданного пространства Орлича 1/дг, построенного по выпуклой функции удовлетворяющей Д2 - условию, построил пример дифференциального базиса из параллелепипедов, который дифференцирует интеграл от произвольной функции из Ьм, но не дифференцируют никакое строго большее пространство Орли-ча.

В классе симметричных пространств шкала пространств Орлича является не единственной. Например, во многих вопросах гармонического анализа часто используется шкала пространств Лоренца. Имеются и другие шкалы симметричных пространств. Поэтому представляется актуальной и естественной задача о различении наборов (в частности, наборов пространств Лоренца) симметричных пространств.

Одним из важных инструментов исследования дифференциальных базисов являются оценки максимальных операторов, порождаемых этими дифференциальными базисами. Для оценок максимальных операторов довольно часто используются теоремы интерполяции и экстраполяции. Одна из первых теорем экстраполяции предложена Яно [48] в 1951 году. С помощью своей теоремы Яно удалось показать ограниченность оператора максимальной функции Харди-Литльвуда и оператора сопряженной функции из Ьг{ЬодЬ)1 в Ь1. Независимо близкие к теореме Яно результаты были получены И.Б. Симоненко [32] и В.И. Юдовичем [45]. С абстрактных позиций теорема экстраполяции Яно рассматривалась в большой работе [47].

Получение точной теоремы экстраполяции, в условиях которой допускаются широкие условия роста норм операторов при приближении к критической точке, и которая была бы хорошо приспособлена для решения модельных задач из теории дифференцирования интегралов, представляется естественной и нужной задачей.

Цель работы. Построение специальных дифференциальных базисов, позволяющих различать наборы симметричных пространств. Исследование свойств дифференциальных базисов с помощью максимальных операторов в специальных случаях.

Методика исследования. В работе используются методы теории симметричных пространств [21, 23]; с помощью различных средств гармонического анализа исследуются максимальные операторы, порожденные дифференциальными базисами; используются геометрические свойства пространств функций для оценки линейных и сублинейных операторов.

Научная новизна. Основные результаты можно резюмировать следующим образом.

1). Пусть есть пространство Лоренца &(фо). Пусть набор пространств состоит из всех тех пространств Лоренца, каждое из которых содержит А(фо), но не эквивалентно последнему. Строится дифференциальный базис, который дифференцирует А(</>о), а любое пространство из набора не дифференцирует.

2). Пусть задано пространство Лебега Ь°°. Строится дифференциальный базис, который дифференцирует но не дифференцирует никакое симметричное пространство, отличное от Ь°°.

3). Построен простой пример дифференциального базиса, который не дифференцирует класс характеристических функций открытых множеств.

4). Предложено короткое доказательство точной теоремы экстраполяции типа теоремы Яно, в условиях которой рост нормы линейного оператора при приближении к критической точке может быть произвольной возрастающей функцией.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории дифференцирования интегралов дифференциальными базисами, в геометрической теории симметричных пространств, в гармоническом анализе.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе (1999 г.), международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения " (Новороссийск, 1999 г.), семинарах и конференциях в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова и в Военном финансовом университете (Ярославль).

Публикации. Результаты работы опубликованы в работах [4-8, 25-27].

Структура диссертации. Диссертация содержит 101 страницу, состоит из введения, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка литературы из 48 наименований.

1. Бережной Е.И. О дифференцировании интегралов от функций из симметричных пространств дифференциальными базисами. // Analysis Mathematica. 1996. V. 22. P. 267 - 288.

2. Бережной Е.И. Дифференциальные базисы и проблема окаймления для симметричных пространств. // Сиб. Мат. журн. 1995. Т. 36. 6. С. 1234 1251.

3. Бережной Е.И. Теоремы о представлении пространств и лемма Шура. // Докл. РАН, 1995. Т. 344. 6. С. 727 730.

4. Бережной Е.И., Перфильев A.A. Точная теорема экстраполяции для операторов. // Функц. анализ и его прил. 2000. Т. 34. Вып. 3. С.

5. Бережной Е.И., Перфильев A.A. Различение симметричных пространств и Ь°° с помощью дифференциального базиса. //Матем. заметки. (В печати).

6. Бережной Е.И., Перфильев A.A. Теорема экстраполяции вблизи L1. // Воронежская зимняя мат. школа "Современные методы теории функций и смежные вопросы". Тезисы докл. Воронеж, 1999. с. 38.

7. Бережной Е.И., Перфильев A.A. Различение наборов пространств дифференциальными базисами. // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы школыконференции, поев. 130 летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань, 1999. с. 39-40.

8. Бережной Е.И., Перфильев А.А. Симметричные пространства и дифференциальные базисы. // Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения" Тезисы докл. Ростов на - Дону, 1999. с. 315-316.

9. Bloom S. Solving weighted norm inegualities using the Rubio de Francia algorithm. // Proc.Amer.Math.Soc. 1987. V. 101. N 2. P. 306 312.

10. Гусман M. Дифференцирование интегралов в Rn. M.: Мир, 1978.11. de Gusman M. Real Variable Methods in Fourier Analysis. V. 46. Amsterdam: North-Holland Math. Stud., 1981.

11. Garsia-Cuerva J.,Rubio de Francia J. Weighted norm inegualities and related topics , North Holland , Amsterdam, 1985.

12. Jones P. Factorization of Ap -weights.// Ann. of Math. 1980. V. 111. N 3. P. 511-530.

13. Jessen В., Marzinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentially of multiple integrals. //Fund. Math. 1935. V. 25. P. 217-234.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. Мир, М., 1965.

15. Zygmund A. A note on the differentialility of multiple integrals. // Collog. Math. 1967. V. 16. P. 199-204.

16. Zygmund A. On the differentialility of multiple integrals. // Fund. Math. 1934. V. 23. P. 143-149. Канторович JI. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, М., 1977.

17. Короткое В.Б. Интегральные операторы. Наука, Новосибирск, 1983.

18. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. Физматгиз, М.,1958.

19. Kerman R. A. An integral extrapolation theorem with applications. // Studia Math. 1983. V.76. P.183-195.

20. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. Наука, М., 1978.

21. Lebesgue A. Sur l'intégration des fonctions discontinues. // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1910. V. 27. P. 361-450.

22. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces, vol. 1, 2, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1977, 1979.

23. Melero B. A negative result in differentiation theory // Studia Math. 1982. V. 72. P. 173-182.

24. Перфильев А.А. Различение наборов пространств Марцинкевича дифференциальными базисами. // Международная конференция, посвященная 80-летию С.Б. Стечкина. Тезисы докл. Екатеринбург, 2000. с. 122-123.

25. Перфильев А.А. Различение наборов пространств Лоренца с помощью дифференциальных базисов. // Ярославль, 2000. 17'е.- Деп. в ВИНИТИ 695 - В00 от 20.03.00.

26. Перфильев А.А. Простой пример дифференциального базиса, не дифференцирующего класс характеристических функций открытых множеств. // Ярославль, 2000. 6 е.- Деп. в ВИНИТИ 696 - В00 от 20.03.00.

27. Rubio de Francia J.L. A new technigue in the theory of Ap weights // Topics in modern Harmonic Analysis. Roma. 1983. P. 571- 579.

28. Rubio de Francia J.L. Factorization theory and Ap-weights, Amer.J.of Math., 106(1984), N3, 533-547.

29. Saks S. On the strong derivatives of functions of integrals // Fund. Math. 1935. V. 25. P. 235-252.

30. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

31. Симоненко И. Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича. // Матем. сборник. 1964, т. 63, 4, с. 536-553.

32. Sjogren P., Sjolin P. Littlewood-Paley decompositions and Fourier multipliers with singularities on certains sets. // Ann. Ins. Fourier (Grenoble). 1981. V. 31. P. 157-175.

33. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. Мир, М., 1973.

34. Stromberg J. О. Maximal functions associated to rectangles with uniformly distributed directions. // Ann. of Math. 1978. V. 107. N 2. P. 399-402.

35. Stromberg J.O. Weak estimates on maximal functions with rectangles in certian directions. // Ark. Math. 1977. V. 15. P. 229-240.

36. Stokolos A.M. On the differentiation of integrals of functions from L O(L) // Studia Math. 1988. V.88. P.103-120.

37. Stokolos A.M. On the differentiation of integrals of functions from Orlicz classes. // Studia Math. 1989. V.94. P.35-50.

38. Стоялое A.M. О дифференцирований интегралов базисами, не обладающими свойством плотности. // Матем. сборник. 1996. Т. 187. 7. С.113-139.

39. Стоколос A.M. К одной проблеме А. Зигмунда. // Матем. заметки. 1998. Т. 64. Вып. 5. С.749-762.

40. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

41. Christ М. Weighted norm inegualities and Shur's lemma // Studia Math. 1984. V. 78. N 3. P. 309-319.

42. Hernandez E. Factorization and extrapolation of pairs of weights // Studia Math. 1989. V. XCV. P. 179-193.

43. Schur I. Bemerkungen zur Theorie der beschrankten Bilinearform mit unendlich vielen Veränderlichen // J. Reine Angew. Math. 1911. B. 140. S. 1-28.

44. Юдович В.И. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений. // Докл. АН СССР. 1961. Т. 138. 6. С. 805-808.

45. Jawerth G.B. Weighted inegualities for maximal operators: linearization, localization and factorization // Amer. J. of Math. 1986. V. 108. P. 361-414.

46. Jawerth В., Milman M. Extrapolation theory with applications. // Memoirs of Amer. Math. Soc. 1991. V. 89. N. 440. P. 1 82.

47. Yano S. An extrapolation theorem. //J. Mat. Soc. Japan. 1951. V. 3. P. 296 305.