Базисы и геометрия ненормируемых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НШ СССР ; СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

институт математики

lía правах рукописи КОНДАКОВ Владтлф Потрсвгг-х ■: ' _ удк 513.88

' РАЖИ Н ГЕОМЕТРИЯ ШОШИгУЕЖ

ПКЮТРМШВ

01,01*01 - иатвматэтеоклй анализ

.Автореферат диссертации на commmto yuonoñ етшэш доктора í«30K0-mTemTitt «шк Hayit

/л

НОВОСИБИРСК - 1990

' Работа выполнена на кафедре методов теории функций комплексного перемек-, кого Ростовского государственного г7 s университета

; Официальные , V; ■

( ошгченты: доктор физико-математических наук,

. Г.Ш.Руйшштойн

доктор физико-математических наук, Е.М.Свмёнов

: доктор физико-математических наук, О.Г.Сыолянов

Ведущая организация; йгтитут математики АН УССР

Запета состоится '»', _ 1990 г.

" . ; в ____ часов на заседании Специализированного совета

Д 002.23,02 по зщняе дис-е^ациЯ на соискание ученой otfGPniH доктора физ^о-математических наук при Институте -датематшшСО АН СССР по адресу:

630090, г,НОВОСИБИРСК, 00, Университетский проспект, 4.'

; С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР, Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан _____"1990т. _

J

Ученый г зкрвтарь Специализированного совета,

доктор физико-математических ¡аук В.С.Белоносов

ОБ.ДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

/•стуа.'.ьность темы. Диссертация содержит результаты,г -лученные автором при исследовании базисоз н локально выпуклых пространствах и связанных с ними структура х свойств пространств, которые мог/? быть описаны в геометрических терминах / полунорм, поперечников, обобщенных размерностей и т.п. /. Основное внимание уделено проблемам единственное-' ти / квазиэквивалентност - / безусловных базисов пространств числовых последовательностей, изоморфной классификации пространств по их обобщённым размерностям / типа линейнсл г1™ наха, диаметральной - Колкогорова-Полчннгчого и др./ существования базисов в различных классах весовых пространств функций.

Не затрагивая здесь богатой истории геометрии банаховых пространств, упомянем пионеров изучения пространств более общей природа: М.Фрешз, давшего определение линейного метрического пространства в 1926 году, А,Н.Колмогорова и Д-з. £ )Н Неймана, выдвинувшего в 30-е йэды идею локально выпуклого пространства.

Стимулирукцкми импульсами развития общей теории ненор-мируемых локально выпуклых пространств впоследствии послу-гили исследования пространств аналитических функций и введение в анализ пространств основ;и обобщенных функций. Наиболее популярць&щ из заведомо иенормируемых бесконечномерных локально, выпуклых пространств являются ядерные про-с.ранства, выделенные А.Гротендиком и независимо в с„учае счётно-нормированных пространств И.М.Гельфандом и А.Г.Кос-точе^о. Теория общих локально выпуклых пространств ..лее*' приложения к спектральному анализу линейных операторов, к теории меры в линейных топологических птэосранствах, к теории уравнений с частными производными и V.д. Появляющиеся при изучении дифференциальных операторов весовые пространства функций, преобразований Фурье, распределений, цель« функций и др. во многих случаях представляют собой также ненор-мируемые пространства. ' .

При исследовании строения ненору~'руемых пространств

важную роль сыграли аппроксимативная размерность, введённая А.Н.и'олмогоровш и А.Пелчинским, и диаметральная размерность, введенная Ч.Вессагок, А.Пелчинским и С.Ролевичем. Сравнение эти:; размерностей для многих конкретных пар пространств Фре-1пч позволило установить их неизоморфность. Вычисление размерностей пространств, а также изучение геометрических свойств пространств ,1 операторов в них значительно облегчается при наличии безусловных базисов. В 1У58 году М.М.Драгилев доказал, ч.то в пространстве А функгчл, аналитических в единичном круге комплексной плоскости, всякий базис абсолютен и перестановкой, нормировкой и обратимым оператором сводится к / я квазиэкзивалентен / степенному базису. Другими словами, Д имеет единственный с точностью до квазиэквивалентности базис. В дальнейшем ряд вопросов о единственности безусловных базисов и изоморфизме локально выпуклых пространств решался в работах Б.С.Митягина, М.М, Драгилева, Ч.Бессаги и В.П.Захарюты, первоначально единственность базисов ,-таазызалась для ядерных пространств степенных рядов и,обобщая свойства этих пространств, М.М.Драгилев в 1965 году выделил класс ядерных пространств Фреше с правильным базисом. Правильность базиса (&ц) но Драгилеву означает вс мощность расположения элементов так, что при некотором выборе фуеда-ментальной системы норм пространства

\Biih > 1[Ёси1Ь г гг..

Для пространств Кёте числовых последовательностей с правильными базисами ортов легко подсчитываются относительные Л • поперечники по Колмогорову окрес. ностей нуля и размерности, в ощ .деления ко эрых они входят. Однако доказать единственность базиса ядерном простра стве Ф^еше с 1равилыз.7л базисом удалось сначала только при дополнитель~ ных ограничениях ла пространства. Позже М.М.Драгилев построй« пример пары ядерных пространств Фр-ше, имеющих пра-п зные ~зэисы и одинаковые диаметральные ^аз>,.-рности. Естественно возь.ш в^лроо о воз"ожнооти построения размерно ти, определяемой в п,арминах колмс воровских поп -

речников окрестностей нуля, которая бы разл..чаля те неиоО-морфшге пари ядерных пространств Орете с правильными базисами. Вопросы о единственности базисов и существования полной расмерност" в классе ядерных пространств $реше с правильная базисом привлекли интерес математиков из разных стран, и положительное решение их было дано независимо в 1974 - 1975 годах автором и Л.Кроном, В.Робинсоном.

В конце 60 - х и начале 70 - у годов круг вопросов, связанных с описываемой тематикой значительно расширился. В.П.Захарюта доказал существование базисов в валннх классах пространств аналитических функций. Б.С.Митягии доказал один» ствснность безусловных базисов в счетно-гильбертовых пространствах степенных ря_ ов и попутно выяснил, что все дополняемые подпространства пространств стспенньк рядов конечного типа изоморфны координатным подпространствам, порождаете частям;! базиса единичных ортов. Д.Фогт и М.Вагнер охарактеризовали все подпространства и фактор-пространства пространства быстро убывающих последовг^ельностей, играхя;его важную роль в анализе.

Основные задачи, решаемы в рефери змой работе, связаны с обобщением отдельных результатов перечисленных авт^ов»

В настоящее время этот крут вопросов ра рабатывается Многими математиками из разных стран: К.Дубинским, Д.5?о; гс:'Е М.Вагнером, Д.Кроног, Л.Хольстрзком, Х.Ахсненом, Т.Терэиог-лу и др. Актуальность данного направления обусловлена как внутренними потребностями теории, так и наличием разнообраз™ них связей с другими областями.

11ель работы - дальнейшее развитие теори: базисп э вэ-совшс пространствах числовых последовательностей и функций, решение вопросов о единственности безусловных базисов э г;-сколышх ватных классах пространств Кете числовых последовательностей, изоморфная классик шацяя пространств Кётэ,. имеющих правильный в смысле- Драгалсла битю единичных ортов р доказательство существования безусловных базисов в весовж пространствах функций и дополняемых подпространствах некоторых пространств числовых последовательностей, ( шеание подпространств и фактор-пространств пространств из отдельных классов пространств Кётз.

Общая методика исследования. В работе шлроко используются результаты и метода функционального и комбинаторного анализа, еорш функций и комплексного анализа.

Предложен простой метод изучения равномерно минимальных систем элемент из в общ1пс пространствах Кзте, совершенно от-лг,лил от применявшихся рапса аналогичных методов для ядер-гавс лростр. лств и пространств степенных рядов.

Усовершенствован мсод изучения ква^лзквивалентности бе™ эу^ловнлх базисов в пространствах Кате с базисом единичных о^тов, имеющим упорядоченность всех отношений полунорм элементов, с учетом приемов более ранних работ Е С.Митагина, Б.П.Захаргатн, а.'тора, Л.Крана и В.Робинсона.

Развит метод построения базисов в весовых пространствах функций, применявшийся в работах Б.С.Миыгина, Б.П.Захарюты я тр. Новым элементом является использование ьзтода вещественной интерполяции операторов, разработанного Ж.Петре, вместо применявшегося 1 .не э для анало.ичной цели метода комплексной интерполяции.

Научная новизна и теоретическая значимость. Результаты диссертации являются новыми. Выделим ос- эввде из них:

- предложен новн} метод изучения базисов в простпанствах Кёге числовых последовательностей и получеш оценки сверху и снизу предно^л элементов произвольной базисной последовательное;.!, порождающей дополняемое подпространотвг пространства Кзте, через олемянты определяющей матрицы преднорм базиса ортов;

- решён вопр с о существовании размерности типа диаыет-ралъгэй, способной разльиать любые 1,ары неизоморфных пространств Кёте-Фреша, имекщкх правильные в смысле Драгилвва базисы единичных ортов;

- докг^ана квазиэквивалентность базисов ' ядерных пространствах Фреше, иыеыцих правиль.шй базис;

- доказана кразнэквивален.ность безусловных базис-в в 1гостранствах Кёте, которые имеют правиль. М р - абсолютный базис при р = 1,2, м ;

- лол"чен ,.овай критерий существования безусповного безнал в счетго-гильбертовом пространстве;

- доказаны теоремы о су-ество ттп безусловных бчзисов

в весовых пространствах функций и рзспредел-шш!--

- исслодобрнц условия, при котор:ас пространство Фрешо отображается на подпространство или фа?стор-пространство пространства Кссе «пгсловж послодовзтельнсстой;

- выделены класеи bccobl-x пространств числовых последовательное?^ в которж все дополнпемка по!Щр;-страпстпа ккеяг Осзусловн;.^ баоисгг? з частности, получоио обобщение результата дчя *vpyt«n«c*T прост-ршт27л СТСГ.гГОЗХГ пчдол ЕДу&шского и

Зо':гт;пГ? что п~яп?дз!шне в pc-icprpy-'no;: работу доказз--7сл1.стг;а reaper? о дошетленпостк бсауелошрл: брлксоз в про-стр'когяп" число)"« погя,;до7>а?сльнос?еЗ, ш-озул;-;

бпэиси о пзлаторса упорядоченность» стпопона:! ио;.унори, ."о-лсо пгостн к уюторсальп.ч по ораснонгпз с п.честшлпг раной пзтодзкгез», рззрабат1шаг!г:в5:ск для лдерпцх проотракс.в Драг»--лов?« и для пространств степошгьзс ргщоз Лнтлгишя'.

При ксслодозшкш пробяеш сузссфкозяш безусловна: 6l\-зйсоу з ззеозг." просгоаистгах £ун:пл;д применён метод вещее?» пенной интерполяции, рзпраЗотшшкя Я. Петра, вместо непользе-нлглэгосл в рлпо работ аналогичного метс*д комплексной ия~ терп&ляцки. Метод EenjscYBsimort "чтеегтоляшьч является более перспектив«?;! для указтпас целей. Попутно гчяснчлс<а!>, что гзокстр:г!ссгс:э сволстсл пространств КЗте числоркх позяечор.?-. телыгостеА, гстаюшх правильные базкен,тесно связана с иктвр~ поляшашгещ сгоЛствтт каношчесжс отобра-сняй гачязс банал.оп'к Гфостранстп о атпх пространствах Кято»

Перечнетешиз кгл результат« йогу? быть использовала как при ксслодаБ31ШИ конкр&леге функционалы» к npocTpancTSf тал л в общо-Л теории яок&чьно пшутшсс пространств»

Нрошготеннке авторе;-! методы наши применение в монография:: ЛЛ.Драгилева, С^Ролввича, роботах {?.Д,Умелатова,. Л.Хёльстрр!.*а? ПеД-,акова и лр?

Алробашя работы. Основнцо р-з ульт ven дксссртации докладывались. автором на Всосоюзньк школа:-: по теории. сператр™ ров в фушшиональшк пространствах Л331,19.8.5 гг.»/-, щ Се-реро-Кавказских региональных конференциях /198.3,i0.39. гг./, на Третьем татернадарнально^ стгаозиутло' по тщ&юнЫф''' анализу и его, приложениям и Херцег-Но.ви,СФРЮ. / I9G8 г./, на

Международной конференции по геометрии банаховых пространств в Ва^неДШБ /1939 г./, а также на научных семинарах в МГУ / 1986, т98? гг./, в Кие! ком государственном университете / т989 р./, Институте математики СО АН СССР /1909 г./, в Софийском университете / 1988 г,/. Регулярно, по мере получение

„'зультатн обсуздались на научном сегинаре кафедры теории функций и функционального анализа Ростовского госуниверситета.

Публ"кации. Основные результаты диссертации опубликова-.ш в работах [I] - [18] , список коирых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав основного текста и списка литературы, включающего Г64 наименования. Объём диссертагги - 242 стр. машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕШНШ РАБОТЫ

Будем назыве ь последовательность элементов пространства Фреше (Е , } равностепенно непрерывной,

еслг существует последовательность непрерывных функционалов такая, что

2) УгеИ С(г)>0

■4йР1?«(е)11(и1^С(1)|е|4{х, , ев Е,

Пространством Кёте называют пространство числовых поел дователъностей

(р^Л'^ННУ '■ (Й1У^гм|Р)=!иг<,геН] , 1*р*

определяемое матрицей : Зте 1лц(л)] , 0- СЦ (п)< (хи1{п) , 'I, У'1 ст/^ , с ооо• эетствуидей системой полунорм (, ■ 1г ) , ® дазсще.. топологию.

Го а рят, что последовательность ) лре транства Фре ше одч '10Нч последоваа„льности (еи) 'рост-

ранства Фре;ае (Е 8 '-сл:: выполнено /слоьие: судос-

вувт отображения * : ¡У"-*-7д/ , Ъ : //V , С : N Я + ,

5 : N —^¡М (Ч1)^) ^У) такие, что

Базис (еп) проотрапства Шроло (Е ^¿Мг"]?;)) называют р - абсолютным ({<-р^ оз) , с-сяи оно изоморфно пространств ву Кате и изоморфизм даёт соответствие

в —>(в0(£^^ , вС Е, где (в,',) - последовательность ко~ ефйщпентшх функционалов базиса (6П) ,

ГЛАВ Д Г. Общие свойства о'азисов пространст" Кете п гоометричоские характеристики пространств фреие.

В § I доказывается следущая теорема, т которой вытекают в качество частных случаев известная теорема Драгилева о базиса}: в ядерных пространствах п её частичные аналоги для безусловных базисов прустранств степенных рядов, принадлежащие В.П.Захарятэ и Б.С.Митягину,

Теорема 1.Г.1. Пусть дано непрерывно« линейное отображение Т пространства Като Р3 ПР°" стрелство Зрзио (¡-.{Ц-Цг}^,) с слзисом (Рт) , для которого "существует последовательность прообразов ( }тс1 с оценка.':!! полунорм

при некотором выборе С[г)>0 < , г&Ы * Тогда по-

педопательность подчинена последовательности -даничных ортов из Е ,

В частности, любая равностепенно непрерывная пеледчва-тельность элементов в произвольном пространстве Кёте подчинена базису единичных ортов. Таким образом, любые базисные последовательности, порождающие дололнне-гые подпространства в пространствах Кёте, подчинены базисам единичных ортов. Из теоремы £.1.1 легко: выводится также хитассический результат о неизоморфизмо пространств аналитических фуш.дий в ограниченной области и целых функций нескольких переменных.

В § I доказывается также теорема 1.1,2 о связи между матрицами полунорм элементов р - абсолютных базисов в про-

ii'ipah^i-sax Коте,

Ч § 2 изучаются обобщённые размерности на классе пространств Ksis с правильный базисом единичных ортов.

Определение 1,2, Будем говорить, что d - раа-ыерность локально выпуклого пространства / ЛШ / (Ег, 1'Ujs jjifcБ}) не превосходит d - размерности ЛШ f £, i W ^ ,« С А }) ь выполнено условие

Vfj, -Лй. Va, да, Ьлп ^ч

/ Cln (V, l{) - Г'- - цоперечвдк iio Колмогорову окрестности V стноситеягно U / и обозначать это dim^E^ Е, .'Pa«? ьенство cUtn^E, = dim4 E, означает (¿in* d diшд E, '>'■ ciimj ({¿mj. Ег одновременно.

Теорема 1.2.1. Пусть в пространствах фреше Е , F имеются правильное р - абсолютные баписы. Тогда следующие условия эквивалентны:

I6 * ciim^ £ - diniti F

2" , Е изоморфно F

, Любые р - абсолютные базисы (6,,) в Е » (^м) в F квазиакаивалентш, Иа теоремы 1.2Л, в частности, следует, что если лицей« шз размерности по Банаху совпадают для двух пространств уе о правильная-? базьоами единичных ортов, то эти лростран»' ства изоморфны.

В § 2 выделен ещё класс (Р) пространств Кёте блочного W Цшг(п)], {¡^ЫXnе {£(п),

сю X

(^(I^ili.a.Nfjp^ixi^-tfo , teN }

дли любых представителей Е , р которого из наличия usq» hi орфизма Е в Р вытекает ивазиоквивалентность базиса ор" тов ]Е части базиса ортов в F.

F/дем говорить, что литйно-ксыплементарная размерности ЛЭД F ча превосходит линейно-комплементарной размерности ЛЫ Е и г.лсадь dim^Fi ictn^E , е^ли F изоморфно дополняемому подпространству прост,, анства Е ,

- и -

Следуя Драгклеву, отнесём пространство Кёте Е-1р[&г( к классу (С1[) , ? = 1,2, если соответственно

I) ЪЦЦЧгзъ

п аг(о!0'1)аь(п) в) VI зь иш

> ... I п 1 ,„ \

ацп

. + со

Теорема 1,2,2 Пусть пространство Кате гида С: -

1а1П)) определяется правильной матрицей и принадлежит классу (с1 } • Если линейно-Комплементарная размерность пространства Кете ^^ ] 518 превосходит линойио-комплеаентарной размерности £ , то базис единичных ортов пространства Р кзазнзквнвалентея части базиса ортов в £ ,

В § 3 "водится понятие упорядочиваемого базиса ./ доказывается теореш о единственности безусловных базисов 5 отдельных классах простргнста Кот»«

Определение 1.3.1. Посл&досат'эльность элементов (еи)«-1 пространства §реяэ Е будем называть упорядочивая-ной, если имеется система полунорм » задающая ис-

ходную топология £ такал, чтт Д.1" ШШй три Ийтураяыае: йщ'эксов М г! III либо

либо 1Ёи!л< V/ ч г 7\1

1ен|г |6т1г

Следующая теорема содвршт я себо решение йопрббой о единственности базиса в ядерном гтрсстранстйй с правильна»* базисом и единственности безусловного базШй в пространст-

ве Юте [0.1(11)] с правжышн базисом единичных орт

оп

при, р 1,2 или 00 ,

Т а о р о м а 1.3.1. В пространствах Шрешо, тлеющих правильный р - абсолютный базио, все р - абсолютные базг?-си квазиэквиваленпш.

В этом -е параграфе? имеется и доказательства одной гипотезы Б.С.Митягина.

Теорема 1,3.3. Р пространствах Фреше, имеющих упоря-

1'А -

дочищаемый р - ибсолютши базис и принадлежащих класса!,?

, (йг) , все р- абсолютные базисы квазиаквивалешчш. При ^ м квиэнзквичалентны все безусловные базисы.

В заю. очительнои § 4 речь идёт об ортогонализации базис-последовательностей в ядерных пространствах. Ортогонали~ йняч» систем элементов при построении базисов ЛШ использовали многие автора, В параграфа выделены классы ядерных пространств 4решз,- являющиеся обобщениями классов (а,) , (с1г) пространств с прашльшаи базисами, в которых описываются процессы ортогонализации базисных последовательностей относительно скалярных произведена! с определёнными оценками, даю-1гла снова базисные последовательности. В ввделенных классах пространств все оазисныз последовательности, порождающие- дополняемые подпространства, квазиеквивалентны подпоследовательностям произвольного базиса всего пространства.

Г' Л А В А 2, Базисы в весовых пространствах я их дополняемых подпространствах.

Здесь излагается ряд результатов о существовании базиса? в счетцо-дсрцировадаю: весовых пространствах функций, ¡{цея применяемого М'тода давно известна и применялась в работах Б.С.Митягина, В.П.Захарюш и др. Суть его состоит в построении для данного счетно-норшрованного пространства Е двух гильбертовых пространств так, что общий ортогональный базис в них оказывается и базисом в £ .

В & I даётся общий критерий существования безусловного базиса в счетно-гилъбьртовом пространстве. Т в о р е и а 2.1, Для существования безусловного базиса , в полном ЛШ Е достаточно, а если Е - свпарабельное счетно-гильбертово пространство, то и необходимо, чтобы существовали непрерывная гильбертова норма ||-||0 и гильбертова норма || • \\са на плотном в Е подпространст ере ограниченным в Е множеством {ег- Е : .¡ецм-5 J такие, что всякий раз, когда семейство / ' "шечномерных / гчераторов, /гействугщих в пополнениях пространств (Г, II-Ц-) , 1~0,оо1 . равностепенно непре ывно в каздом таком пополнении, оно буг

дет рав! степенно непрерывно - как семейство операторов на £

¿ловив ч было известно как ,остаточное ус .озие

еруеЪУ'Ш'ятп безусловного базиса в шварцевскои счегнэ-галь-б бу}' оми про с транс т з е,

3 § 2 затрагивается вопрос о дискретности локально ш-пуЛ^-Ш г,кг -ок / ЛВР /. Доказывается дискретност. произвольной "Рефлексивной шварцевскои локально выпуклой решзтки /тео-Кйй? 2,2,1/. Отсюда выводится и дискретность монтелевской -©йнкзуемой локально выпуклой решётки /теорема 2,2,3/. Эти результаты являются обобщениями известной теоремы й.Ксцуры и С.Копи о дискретности ядерных решёток, Б качестве .ледст-вия из этих результатов вытекает существование базиса в отдельных классах фушш,иональга.сс пространств и пространств линейных операторов,

В § 3 рассматриваются отдельные классы пространств из-мершшх функции и распр. делений, которые об^шо возникают при изучении уравнений в частных производных и связанных с ними операторов. Для этих пространств доказывается существ-* вание безусловных базисов с помощью подхода, иамеченного з § I этой главы. Весовое пространство определяется семейством А=\аг(х) , хе,'й"'/ или £"' /, г<£/Ы , измеримых относительно меры Лебега функций ( хеЕ"1 , как проективный предел I г(А)= 1ипрг 1г(0.ь) банаховых пространств относительно канонических вложений.

Будем говорить, ччо семейство А-{(1-л)}^, состоит из простых функций, если каждая функция И.г в любом еаре конечного радиуса принимает конечное число значгшй. Теорема 2,3,1, Пусть топология пространства \-г(А) может быть определена семейством положительных простых функций С1г(Х.)2 I , ХеНт. Тогда это пространство имеет безусловный базис и изоморфно некоторому пространству Кете

Аналогичное утверждение полнено также и для весовых пространств преобразований Фурье,

Более детальная информация о ■ ространствах ¡-.¿(А) " получается при дополнительных ограничениях на весов] > функции.

Т е о р е и р 2,3,3, Пусть топология пространства уздра-тично интегрируемых функций Ьг(А) может быть определена

семейством seco ах функций (О)^ со следущи,.« свой-

ствгши:

I. Функции i тпрврптт на //г"' и ради, льны, то

*сть аг{-:)= 6,(fx,), X е J12(6г: к + /£,. ); Дня любой пары натуральных индексов Х<6 отношение

a-ií*) _ &Jixi)

Ci <, (X) bi(¡xi) монотонно убывает относительно ,'Х/. Тогда прострг-'ство L¿(A) имеет безусловный упорядочиваемый 6a3i.j и изоморфно пространству Кете l^[Bi(ln)'} ttpH подходящем выборе последовательности положительных чисел {¿'и) »

Следующую теорему можно рассматривать как обобщив известного факта о существовании базисов в дополняем?»,: «подпространствах прострет-тв степенны рядов конечного типа, Теорема 2.3.4. Пусть топология пространства квадратично суммируемых функций ¡-¿(A) мокет быть определена семейством радиальных непрерывных весовых функций = (<I¿('))£!| со следущими свойствами:

1. 0<аг(х)«аг+|(.^1 , xeR™, аг(о)-f, te/jV; Uní аг(х;= i, xelíZm, a,(xj) o (¡zjfao), ге/Ы;

2. эг(о) Vi>i(0) 3 с(г)>0

3. V 1(1)>1(0) &¡N из равенств &ч,}Ып), neiÑ » следует, что \/г 3 5(г) , 8 {г)>0

ai(x»)*.£>(x)ailt;tya) , ne/N.

Тогда пространство L¿ (А) ir кгвдое его дополняемое подпра» ; отраиство имеют безусловные базисы и изоморфны пространствам ; 1£ёто.

В конце параграфа пригоден ряд огршшчений ка пространство LitA) и проектор Р в нзи, при которых ос'раз проектора имеет базис.

ГЛАВА 3. Описание подпространств и фактор-пространств в пространствах Кёти.

Работы Ч.Бессаги н А.Пелчинокого, Т.Комуры и Ю.Комуры о

- 7.5 -

влсжешнх ядерных пространств в произведения подо-дяцего чис« лг-копий пространства бистро убивающих последовательностей со-» здзд-ц орегпосплки для изучения внутреннего строения ядернш: про^.^рапс —I Фреие. Опираясь на их результаты, ДЛогт и У.Ваг-нзр. охарактеризовали все подпространства и фактор-пространст-пространства быстро убывающих числовых последовательностей, Л&ц!1ыэ, характеризации подгтростракстз к фактор-пространств про» страиитв Кёте получаются только для узких классов, однако лр-злртавляют интерес и отдельные необходимые / достаточные / условие изоморфизма пространства Фреше на подпространство /фа^ор-цространство/ пространства Кете. В § I приводятся на-обходные условия изоморфных вложений пространств Шрешо в про-? ст|)Ш|ств,а Кете при дополнительных ограничениях на эти прост-рш|С||1Д. Теорема 3.1.1 даёт такое условие в терминах матрицы, определяющей прост, анство Кёте, й норм элементов специальны» образом выбранных в пространстве Фреа. последовательностей, В хрщв параграфа коротко рассматриваются топологические кн™ .,." варианты подпространств пространств Кёте, близких к пространства;.! степенных рядов.

В § 2 приведено необходимое условие изоморфизма пространства Кате фактор-пространству дру, эго пространства Кёте в терт минах определяющих матриц /теорема 3.2.1/. Коротко затронута л топологические шша^чанты, близкие к применявшимся для изу- ' ' чения фактор-пространств простраь-гва убнвакхцгтх числовых по-, , следовательностей М.Вагнером.

§ 3 содержит утверждения, определяющие достаточные уело-. еия изоморфных отображений пространств Фреше на подпространства и фактор-пространства пространств Кёте. Даётся ряд обобщений известной теоремы Т.Комуры и Ю.Ком^ры в различных направлениях /предложения З.ЗЛ,3.3.2,3.3.6,3,3.7 и теорема 3.3Л/. Сформулированы достаточные условия изоморфизма пространства Кёте фактор-пространству другого пространства Кёте при дополнительных ограничениях на матрицы преднорм элемент931 базиса. Отдельные факты /предложения 3,3.6,3.3.7 и теорема '")«* •> З.ЗЛ / получены совместно с С.Д.Умалатовым. |

В § 4 излагаются результаты характеризации подпространств некоторых пространств Кёте, полученные в ооа: ?орстве с С.Д.Умалатовым и опубликованные в работе [17] . Здесь используются результаты предшествуоцих параграфов и получаете» 1'

характеризация замкнутых подпространств пространств определяющие матрицы которых имеют специальный б.: лцра; тл /теорема 3 1 /. В предложении 3,4 того же параграфа ^сщргщ«4-с" вытекающее из теоремы 3,4 утверздение о подорост^цм&да..р;; с базисом г пространствах Кате, близких к степенным,,

Г Л А В А 4, Базисы в отдельных массах функциоугщйк:: пространств. Приложения,

В этой главе собраны результаты о базисах в ьесоаых пространствах, которые получены с использованием методов предыдущих глав.

В § £ выделен класс пространств Кёте [С| (^г6п)] , который начнется обобщением класса пространств степенных рядое,, Аналогичные пространства уже рассматривались в главе I и главе 3, но здесь дополнительные ограничения на функцию С> определяющую вместе с числами и <ЯП матрицу

отличаются от льл:шг. При сделанных предположениях о функции С] в теореме 4.1 Л для пространств Кото 1р [о ГАхёп)] доказана ьаазаэкшвалентность произвольной безусловной базисной последовательности, порождающей дополняемое подпространство, части базиса единичных ортов. Основным розулъ'гятои втого параграфа является замечание к одному результату ' ' :В.П,Захарюты о :свазиэквивалентности базисов в тензорных произведениях пространств степенных рядов /теорема 4.1,2 /.

В § 2 изучался базисы в весовых пространствах целы:: функций

Ц [(р^ - ^ £ - целая функция на С' такая, что

1£ 11(& + оо , ъеМ},

где Л - мера Лебега.

Пространства преобразований Фурье функций из ряда важных функциональных пространств отождествляются с подходящими весовыми пространствами целых функций, которые широко используются при изучении дифференциальных операторов. В ряде случаев удаётся переносить результаты о существовании базисов из главы 2 на эти весовые пространства. Однако, пространства целых функций обладают рядом особенностей, которые не позволяют непосредствен^-1 формулировать аналоги теорем из

§ 3 главы 2. В частности, в Н[Ф) нет характеристических функций шаров в С'", а множество таких функций играло определенную роль при построении безусловных базисов в весовых пространств^., рассматривавшихся ранее в главе 2. теоремах 4.2.2 и 4.2.3 указаны серии ограничений на последовательности ф-((ръ)£, весовых функций, при которых в пространстве Н(<Р) доказывается существование безусловного базиса. Отмечен также случай, когда в Н(Ф) любое дополняемое подпространство имеет безусловный базис. Выделен частпый случай весовых функций

При са(.щх минимальных ограничениях на функцию р(-) , гарантирующих невырождеге ость пространства целых функций Н(Ф) , доказано существование в ятих простр; ¡ствах безусловных оазисов /теорема 4.2.3/. Последний *акт является обобщен;.ж недавних результатов Хаслхнгера, который доказывал существование базиса в аналогичных пространствах при значительных ограничениях на функцию р(-) .

В § 3 приводятся построения базисов в некоторых пространствах бесконечно дифференцируемых функций на областях а ¡И2 /теоремы 4.3.1, 4.3.2 /.

Пусть -О-ф - область, нотор-л является внутренностью объединения прямоугольников

Оо ,

иК1: к > Ц^^К)},

К--1

где (К)-* О при«."*«' .

Обозначим С™ (Т1ц>) - пространство бесконечно дифференцируемых функций, равномерно непрерывных со всеми производными на XI ^ , удовлетворяющих дополнительному усло-ви :: V ое = (о;, , <Хг)

и-*о ^ 4 *

ч принимаю- -к вместе со всеми производными на с -ммртркчных горизонтальных участках границы ф(К) ) (К+У'^эс* ¡<~\ рав!ше значения. Топологиг в пространстве (Г? ц,) задается

системой норм

а е о р е м & 4..3.3, Пространство изоморфно прост™

ранет ву s = {¡[П*]'

Добавим, ".го согласно результату З.П.Захарюти ц А.П*Гси-чарова среди пространств бесконечно »щфферотрфуеуах фуьсций на областях с острп.^ми без предположении о поведении функции вблизи rpau:r;y¿ имеется континуум попарно неизоморфних.

В § 4 изучаются базисы в дополняеаьзе подпространствах пространств Кете, определяемых матрицами разрешенного вида, ь конце асстидзсятш: годов . втором было об'нарух: -нэ, что в пространствах лак^иардак сток ausc родов [бХр{Хгм('0}] ирк условии (wn "("^^J-C всякий овтоаорфизп с точность» до дчагональнзго оператора представляется в виде суw¿t <го,,\-* десгвскного и ко'иактксго. Эгот факт справедлив и для uzcx пространств Коте {^/С<.г(»Ц| из класса Т{, » кыделонаого , ?,{„М.Драгнг-вы!-: условием

a. vi а,л

Будеи говорить, что пространство 5>решс прапздлегепт су Bíoc У}, г если оно изоморфно лространству Кз*-* u;iai

1рШп1 , где к('0< оо , ne/Л', р = !,£,«>,

а матрица [Сц(иЛ] такова, что 1,10.г(п)]С . Для пространств из описанного класса справедливо следующее утворгд<,~

ibíb .

Теорема 4.4.1, Пусть 5<3 J3foc í \,. Тогда произвольны:;: линейный оператор Т: Е £ раскладывается в сумму 'f- J t!ч f где оператор j отображает ко-д'.-Гг блок Хп % v,z онрц--

деления класса Bíoc'Я, в (?обя, а К - когшактшй оператор в F . С поиоцью тпремн 4.4,1 доказывается í о о р М! ь 4.4,2, В любом пространстве из классаBIqíIÍ. каздое дополняемое подпространство имеет базис.

Это усиление аналогичного результата Е.Д, бинского г. Д.Sorra для "ручных" пространств степенных рядов бесконечного типа с

Конкретными примерами пространств из класса $1ос У1, являются породцаеше редкими последовательностями степеней (ап,к)) и :сспонент (ехр?1к2-) подпространства ь пространствах аналитических функций» Из теоремы 4,4.2 вытекает, что во зсех пространствах из класса 8¿ос Т?^ все базисы квазлэк-пгвалентны и каскдой непрерывный проектор подобен диагональ-лсму. Отметим, что для пространств Кёте вида £ Ыос 17! ЛРИ условии логарифмической выпуклости функции ( последнее утверждение было доказано Т.Терзиоглу.

Заключительный § 5 содержит замечании к результатам В.П.Захарюты о квазиэквивалентиости базисов в декартовых произведениях пространств Кёте.

Публикации по теме диссертации:

1. Квазиэквивалентность правильна, базисов в пространствах Кёте // Ыатем.анализ и его п~«лож. - 1974. - Т.5. - С.210т 213.

2. Об одном обобщении пространств степенных рядов //Ак-туал.вопросы матем.анализа. - 1978. - С.92-99.

3. Об упорядочиваемых абсолютных базисах в - пространствах // ДАН СССР. - 1979. - Т.247,в.3. - С.543-546.

4. О свойствах базисов некоторых пространств Кёте и их подпространств // Функц.анализ и ы'о прилож. - 1980. - Т.14, в.1.- С.58-о9.

5. О вложениях пространств Кёте и жвивален^чости базисов // Известия СКНЦ ВШ,сер."Естеств.науки". - 1980. - Т.З. • С*

6. Вопроси геометрии неноршруешх пространств // Изд. РГУ. - 1903.

7. Подпространства с базисом в густых пространствах последовательное :ей // Известия СКНЦ ВШ,сер."Естеств.науки".-19а° - Т.З. - С.24-26.

8. Об изоморфных отображениях пространств Фре.лв на год-пространства и с[ ктор-пространства пространств Кете // Известия СКНЦ ВШ,сер."Естеств.на.уки". - 1984. - ТД

9. О безусловных базисах в некоторых простраяст. дх Кёте // Сиб.матем.журн. - 1984. - Т.25,в.З. - СЛ09-119.

10. Дискретные локально выпуклые решётки и бс условные базисы // Н'тем.анализ и его прилоя. - 1985. - С.65-72.

11. Об ортогонализации базисов в различных пространствах аналитических функций // Мездунар.конфор. но комплексному анализу: Варна /НРБ/,1937г.; Тезисы докладов.- С.109.

12. О базиса?: в пространствах б зконечно дифференцируемых Ф. тасдаГг и а родственных иг. // Третий интернац.симпозиум "Комплексный анализ и его прилож.": Херцег-Нови /СФРЮ/! Тезисы докладов. - £933. - С,55.

13. Замечание о базисах в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // В сб."Ьшейные операторы в функциональных пространствах": Тезисы докладов Северо-Кавказской региональной ко;;ф.: Грозный, 1989. - С.82-33.

14. О базисах в весовых функциональных пространствах и их дополняемых подпространствах // Всесоюзная кокфер. по геометрии и анализу: Новосибирск, ноябрь 193Эг.: Тезисы

' докладов.-Новосибирск,1909. - С.44.

15. Баран В.И., Кондаков В.П. Квазиэквивалентность абсолютных базисов в пространствах классов (4)) и // ДАН СССР. - 1977. - Т.235,в.4. - С.729-732.

16. Зихархг?. В.П. »Кондаков В.П. О слабой эквивалентности базисов пространств Кёте /7 Известия С}ЩЦ Ш,С£у.пЕстеств.

•■науки". - 1933. - ..4. - С.12-15.

17. Кондаков В.П., Умалатов С.Д. Характеризация подпространств некоторых пространств последовательностей // Матем.заметки...- 1986. - Т.39,в.1. - С 60-69.

18. Кондаков В.П.,Уыалатов С.1. Характеризация подпространств некоторых пространств последовательностей // .Известия СКНЦ 32,сер."Естеств.науки",- 1985. - Т.1. - С.18-20.