Операторы и уравнения в F-квазинормированных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

п г- п

г 1 и

О л

V ; I

На правах рукописи УДК 517.98

Фетисов Валерий Георгиевич

ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ В Е-КВАЗИНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01- математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1996

Работа выполнена в Северо-Осетинском государственном университете имени К. Л. Хетагурова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С. К. Водопьянов доктор физико-математических наук, профессор М. Л. Гольдман доктор физико-математических наук, профессор Е. М. Семенов

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Института математики РАН

Защита состоится

Ов

1996 г. в

¿Г

_часов на заседании

диссертационного совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан "/_£'

.1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета I/

доктор физ.-мат. наук р/У / В. А. Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.Одним из основных, направлений функционального анализа является исследование строения различных абстрактных пространств и поведения действующих в них операторов. Как оказалось, важнейшие классы операторов удобно рассматривать в специальных пространствах, так как именно в них операторы обладают "хорошими" свойствами (непрерывность, компактность, полная непрерывность, дифференцируемость и др.). Дело в том, что изучение многих математических задач существенно упрощается, если их удается свести к уравнениям и системам в функциональных пространствах с непрерывными и вполне непрерывными операторами. В частности, это относится к нелинейным краевым задачам математической физики, интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям. Введение пространства, в котором решается задача, часто связано с теми субъективными целями,, которые ставит перед собой исследователь. Объективными данными, по нашему мнению, являются те операторы, которые входят в задачу.

В подавляющем большинстве случаев изучение поставленной проблемы распадается на три независимые части: переход к тому или иному уравнению или системе уравнений, затем - исследование соответствующего аналитического выражения как оператора, действующего в паре функциональных пространств и, наконец, применение традиционных методов функционального анализа при решении получившегося уравнения или системы.

2. Если рассматривать подробнее вторую и, в особенности, третью из вышеупомянутых задач, то можно прийти к выводу, что возникает богатая проблематика, изобилующая вопросами, остающимися открытыми по настоящее время. Среди них:

1) изучение общих свойств и топологической структуры Р-квазинормированных функциональных пространств (в частности, локально ограниченных пространств): сходимости, эквивалентных квазинормировок, шкал пространств, геометрии конусов положительных элементов и т.д.;

2) вопрос об интерполяции свойств линейных операторов, действующих в Р-квазинормированных пространствах;

3) исследование поведения Н-и X - инвариантных нелинейных операторов в локально ограниченных идеальных пространствах, не переходя к тому или иному конкретному типу оператора (суперпозиции, оператор Урысона и др.);

4) проблема ограниченности многомерного сингулярного интегрального оператора с неизотропным ядром в функциональных, пространствах, отличных от лебеговских;

5) изучение свойств нелинейного интегрального оператора, обусловленного некаратеодориевым ядром (в частности, нормального интегранта) в паре локально ограниченных пространств;

6) вопрос о существовании собственных вектор - функций и точек бифуркации систем нелинейных операторных уравнений (типа многомерных нелинейных сингулярных интегральных уравнений) в Р-квазинормированных пространствах;

7) оптимизация оценки выбора параметра регуляризации в приближенном решении нелинейных интегральных уравнений 1 - го рода по заданной правой части уравнения и невязке;

8) вопрос о существовании положительных решений функционально - интегральных уравнений, рассматриваемых в локально ограниченных пространствах измеримых функций.

Цель настоящей работы - подробно исследовать широкий класс операторов и операторных уравнений в локально ограниченных функциональных пространствах измеримых скалярных и вектор -функций в плане вышеперечисленных задач.

3. В диссертационной работе используются разнообразные методы современного функционального анализа. Наиболее интенсивно применяются идеи и техника аналитических методов изучения структурных свойств и топологии Р-квазинормированных функциональных пространств, методов общей теории интерполяции и оценок при доказательстве ограниченности неизотропных сингулярных интегралов. Кроме того, в различных фрагментах работы используются качественные методы при решении некоторых типов уравнений и систем операторных уравнений (в частности, топологический метод теории вращения вполне непрерывных векторных полей, метод теории конусов), метод регуляризации при оценке оптимального выбора параметра регуляризации при решении нелинейных интегральных уравнений. Параллельно с этим применялись аналитические методы исследования поведения Н - и X -инвариантных нелинейных операторов, а также некоторых типов некаратеодориевых операторов в локально ограниченных пространствах скалярных измеримых функций.

4. Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что в ней впервые подробно исследуется строение локально ограниченных (в общем случае ненормируемых) пространств измеримых функций. Впервые с единых методологических позиций рассматриваются свойства общих нелинейных Н - и л - инвариантных операторов в Р-квазинормированных функциональных

пространствах (не переходя к конкретному аналитическому представлению оператора). Решен вопрос об интерполяции линейных операторов в модулярных пространствах аналитических функций и в векторных F-решетках Орлича. Получена оптимальная оценка параметра регуляризации при приближенном решении нелинейных интегральных уравнений первого рода, когда оператор задачи действует в паре локально ограниченных пространств. Решена проблема существования собственных вектор - функций и точек бифуркации для общей слабо связанной системы нелинейных операторных уравнений в вышеуказанных пространствах.

5. Ценность результатов, полученных в диссертационной работе, двоякая. Во - первых, они составляют основу для дальнейшего развития теории идеальных квазиноршгрованных пространств измеримых скалярных функций и вектор - функций, а также действующих в mix различных типов операторов. Во - вторых, результаты диссертации применяются к исследованию широких классов операторных уравнений и систем нелинейных уравнений в локально ограниченных функциональных пространствах. С помощью шкалы интерполяционных квазинормированных пространств, построенной в диссертационной работе, могут быть проинтерполированы различные свойства линейных операторов. В работе также приведено некоторое число важнейших приложений к нелинейным интегральным уравнениям и их системам.

6. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 25]. Результаты диссертационной работы по мере ее выполнения с 1968 по 1995 год докладывались на межвузовских региональных конференциях в гг. Новосибирске, Томске, Ростове, Махачкале, на международных научных конференциях в гг. Самаре, Владикавказе, на научных семинарах при Ростовском, Северо - Осетинском, Московском госуниверситете Дружбы народов, в летних школах,' проводимых Институтом математики АН Украины, Дагестанском и Грозненском госуниверситетами. Работа была доложена на заседании научного семинара отдела анализа в Институте математики СО РАН.

7. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы и занимает 250 страниц. Библиография включает 280 наименований. Введение содержит предварительные замечания, обзор литературы, методы исследования, обзор основных результатов диссертации. Глава 1, носящая вспомогательный характер, содержит определения и предварительные сведения об основных объектах, фигурирующих в диссертации. В ней строятся важнейшие модельные примеры F-квазинормированных пространств, рассматриваются различные типы сходнмостей, изучается геометрия конусов положительных элементов. Глава 2 посвящена проблеме

интерполяции различных свойств линейных операторов в локально ограниченных функциональных пространствах как для действительного, так и для комплексного случаев. Глава 3 является центральной как по расположению, так и по содержанию: в ней сосредоточен материал, касающийся теории нелинейных операторов в локально ограниченных функциональных пространствах. Оказалось, что традиционно изучаемые оператор суперпозиции (В.В. Немыцкого), нелинейные интегральные операторы Вольтерра и Урысона являются Н-операторами, изучение свойств которых и проводится в третьей главе. Суть главы 4 составляют прикладные аспекты теории, развитой в главах 1-3. В ней рассматривается вопрос о разрешимости слабо связанной системы нелинейных операторных уравнений, решается проблема оптимального выбора параметра регуляризации для нелинейных интегральных уравнений 1-го рода и Др.

Автор диссертационной работы стремился отвечать на все возникающие по мере ее выполнения естественные вопросы. После доказательства основных теорем в диссертации следует обсуждение в виде ряда примеров и утверждений, обосновывающих полноту и точность формулировки (например, неустранимость тех или иных дополнительных предположений как на природу пространства, так и на поведение оператора, входящего в задачу). Основные определения, включающие несколько условий, снабжаются обоснованием независимости этих условий друг от друга, схожие понятия уточняются модельными примерами.

ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИИ

1. К настоящему времени достаточно подробно изучены идеальные нормированные пространства, однако идея перманентности на случай локально ограниченных функциональных пространств, отличных от лебеговских, не получила сколь-нибудь полную реализацию. Данная работа восполняет упомянутый пробел. В ней последовательно изучаются идеальные Р-квазинормированные пространства, различные типы сходимостей, основные характеристики, приводится большое число модельных примеров. Кроме того, рассматриваются основные типы конусов положительных элементов в локально ограниченных пространствах: условия нормальности, правильности, вполне правильности конуса (в качестве модельного выбрано обобщенное пространство Орлича) в терминах фундаментальной теории пространства.

2. Из теории интерполяции операторов в полных нормированных пространствах хорошо известна роль интерполяционной теоремы М.Рисса. Важность задач теории хштерполяции определяется ее приложениями в теории уравнений в частных производных, в теории аппроксимации, геометрии банаховых пространств и др. Настоящая работа посвящена интерполяции свойств операторов, действующих в ненормируемых банаховых пространствах.

Сначала строится шкала интерполяционных локально ограниченных пространств Орлича (2.1.2.), рассматривается поведение "промежуточной" Р-квазинормы элемента шкалы (2.1.З.), несколько отличное от известного свойства логарифмической выпуклости нормы в шкале банаховых пространств. Наличие шкалы Р-квазинормированных пространств позволяет доказать аналог интерполяционной теоремы М. Рисса на случай нелокально выпуклых топологий (2.2.6.). В работе также проинтерполированы положительный и регулярный линейные операторы в векторных Р-решетках на примере Р-решеток Оршгча (2.З.З.,2.3.5).

3. Одна из классических проблем теории многомерных сингулярных интегралов заключается в нахождении условий их ограниченности в тех или иных функциональных пространствах. В работе доказан признак ограниченности линейного сингулярного интегрального оператора с неизотропньш ядром в РНП Орлича. Получешшй результат (2.4.8.) обобщает известные условия А. П. Кальдерона - А. Зигмунда - А. В. Бухвалова - О. В. Бесова, В. П. Ильина, П. И. Лизоркина - И. Мейера - Рубио де Франсиа на случай неизотропного сингулярного интеграла, рассматриваемого в векторнозначном пространстве Орлича.

По предложенной нами схеме можно доказать ограниченность неизотропных сингулярных интегралов с ядрами вида

1 Г <? "I к(Б,и) = —-—а -Рт • ^ ; с/(Ф(и))"

а также более общих неизотропных сингулярных интегралов

4. В последнее время более интенсивно стали изучаться различные типы операторов в функциональных пространствах. Оказалось, что традиционно рассматриваемые оператор суперпозиции (В. В. Немыцкого), нелинейные интегральные

операторы Гаммерштейна, Вольтерра, Урысона, интегростепенные ряды являются т. н. Н-операторами, подчиняющимися следующему условию:

Пусть функция /г SR -> принадлежит классу Ф(Ь), ^(Q) и Е2( f2) - произвольные F-квазинормированные пространства, оператор М-

Будем говорить, что Т есть Н-оператор, если для U е£, имеет

место

\\T(U)-T(U+V);E2\\<

< Л(|Г(С7) -т(и + 1 аУ); Е21 + л|г(С/) -Т(и + 1 0j V); Е21|) для каждого элемента V е Е1 и для всех измеримых подмножеств и Q2 таких, что пП2 = 0 и uQ2 = Q , - характеристическая

функщм подмножества Q.,/ = 1,2.

В работе рассматриваются достаточные признаки ограниченности, действия, непрерывности Н-операторов в локально ограниченных функциональных пространствах (3.1.10., 3.1.12., 3.1.14., 3.1.15., 3.1.18). Показано, что условия соответствующих признаков нельзя ослабить (см. модельные примеры 3.1.11 и 3.1.19).

5. В работе исследуется поведение нелинейных т. н. X-инвариантных операторов, подчиняющихся условию

T(U(S)) - T(U + PyVp) = Ру [7(i7) - T(U + F)](S)

почти всюду на измеримом множестве Q , где S eQ, U, V е£, PyU = %y(S}U, X^S)- характеристическая функция

подмножества Г с D..

Можно заметить, всякий Х-инвариантный оператор является Н-оператором. В третьей главе диссертации доказан ряд достаточных признаков, касающихся свойств Х-инвариантных операторов в локально ограниченных пространствах, (предложения 3.2.2 - 3.2.8, 3.2.10 - 3.2.12, пример 3.2.9.).

6. При исследовании нелинейных интегральных операторов в тех или иных функциональных пространствах большую роль играет, как известно, подчинение ядра оператора классическим условиям Каратеодори. Одной из задач нашей работы явилось отказаться от указанных условий при рассмотрении оператора Урысона в паре нелокально выпуклых функциональных пространств. В частности, нами изучен нормальный интегрант Урысона, действующий в паре F-квазинормированных пространств Орлича (3.3.6.).

7. Отметим, что использование приближенных методов при нахождении решений систем нелинейных интегральных уравнений, содержащих сингулярные ядра, малоэффективно, так как часто приводит к большим вычислительным трудностям. Применение идеи "сжимающий плюс вполне непрерывный" операторы, входящие в уравнение или систему уравнений, оказывается в ряде случаев более плодотворным. Впервые операторы такого типа были изучены, по-видимому, М. А. Красносельским, его последователями и учениками, и Ж. Дарбо. Была подробно исследована ситуация для лебеговых пространств и пространств Орлича. Гораздо менее изучен случай для ненормированных пространств.

В настоящей работе нами показано, что качественные методы исследования нелинейных уравнений и систем занимают достойное место, особенно, при изучении систем многомерных нелинейных сингулярных интегральных уравнений. В качестве модельной нами выбрана слабо связанная система нелинейных операторных уравнений вида

и,{х)=1,(ли,(х)+в,Щ); = \7п

где - вещественные параметры, 0(х} - искомая вектор -

функция, принадлежащая локально ограниченному пространству. Здесь

4:1',.(х)-+Ди,.(х),х еО,

Вг0(х) -> В,0(х) = Д^х),...[/„(*)]

В качестве одного из конкретных примеров приводится часто встречающеюся в задачах теории теплообмена излучением слабо связанная система нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений вида:

и,{х) = ).,[л,и,(х) + Ви(х)\1 = Гп

хеП(П - компакт в и(х) = {[/^.....(УДх)] - искомая вектор -

функция, Х1,Х2,...,Хп - вещественные параметры, - нелинейный интегральный оператор Урысона, в, - композиция следующих нелинейных операторов

Д ^ (х) = Д [ х, со! (¿7),.... со „(С/)]

и

®г№= \\с-з\-кК\х,у,и,{у).....ип(у)]ф, (/ = Ц

а

При помощи основного принципа сведения вышеупомянутой системы к резольвентному операторному уравнению 0 = ЧНкАки, где Ах -вполне непрерывный оператор, а - резольвента липшицева оператора Вх<0 = исследуется вопрос о

существовании собственных вектор - функций и точек бифуркации данной системы в произвольном Р-квазинормированном пространстве, на основе топологических методов теории вращения вполне непрерывных векторных полей, (см. подробнее доказательства теорем 4.2.9 и 4.2.11).

8. Ряд нелинейных обратных краевых задач математической физики приводит, как известно, к небходимости решать приближенно соответствующие интегральные уравнения, и, в частности, интегральные уравнения Урысона 1 - го рода, имеющие вид

Ш(х):= \к[х,У<и{у)Уу = ¥{х)

(X еП, ,О0 и - компакты конечномерных пространств, функции

и(х) и У(х) являются элементами различных функциональных пространств). Задание пары различных метрических пространств является необходимой компонентой математической

постановки задачи 77/= К в тесной связи с которой находится важное определение ее корректности. В основе большинства вычислительных приемов всегда лежало стремление свести невязку к минимуму. Картина существенно усложнена, если оператор X задачи известен приближенно или же задача некорректна. Проблема выбора параметра регуляризации X возникла почти одновременно вместе с проблемой построения регуляризатора задачи, найденного акад. А. Н. Тихоновым.

В диссертации рассматривается идея нахождения оптимальной оценки параметра регуляризации X при приближенном решении вышеупомянутого нелинейного интегрального уравнения Урысона в том конкретном случае, когда оператор Урысона Т действует из одного Р-квазинормированного пространства в другое. Для нелинейного интегрального оператора Урысона Т представляется естественным выбрать стабилизирующий функционал более общего вида, чем квадрат Р-квазинормы таким образом, чтобы оба слагаемых в регуляризаторе задачи имели бы сравнимые порядки роста. Исходя из этих соображений, мы выбрали вид регуляризатора следующим

А. > 0, ср(.), - некоторые <р - функции класса Ф(Ь), (подробнее см. 4.3.5 - 4.3.7).

В качестве модельного рассматривается нелинейное интегральное уравнение Гамер штейна 1-го рода в паре различных локально ограниченных пространств. Приводятся и другие типы операторов, входящих в задачу.

9. Небезинтересным представляется применить теоретические положения §4 главы 1 (свойства конусов в Р-квазинормированных пространствах) к исследованию вопроса о существовании положительного решения функционально - интегральных уравнений вида ф(х,£/(*)) = + чемУ и посвящен §4 главы 4.

а

Проблема разрешимости данного уравнения нами рассматривается для случая правильного Р-квазинормированного функционального пространства.

10. В заключение мы приведем общий список и краткое содержание основных результатов диссертации, выносимых на защиту.

* Впервые подробно изучаются топология и структурные свойства локально ограниченных (в общем случае ненормируемых) пространств измеримых по Лебегу функций (0.1, §1.1).

* Приведено более двадцати модельных примеров наиболее важных для приложений локально ограниченных пространств (0.1, §1.2).

* Исследованы различные типы сходимостей в квазинормированных пространствах (§1.3).

* Подробно изучены свойства конусов положительных элементов вышеупомянутых пространств (0.1, §1.4).

* Впервые проинтерполированы свойства линейных операторов для нелокально выпуклых топологий, отличных от лебеговских (§2.2.6, 2.3.3 и 2.3.5).

* Построены шкалы р-квазинормированных интерполяционных пространств Орлича для вещественного и комплекснозначного случаев (2.1.2, 2.1.3).

* Доказана ограниченность неизотропного сингулярного интегрального оператора в векторнозначных пространствах Орлича (2.4.8).

* Впервые с общих позиций (не переходя к конкретному аналитическому выражению) исследовано поведение нелинейных операторов в Р-квазинормированных пространствах (глава 3).

* Рассмотрены различные свойства Н-операторов в локально ограниченных пространствах (§3.1).

* Изучены /.-инвариантные операторы (§3.2).

* Исследовано поведение нелинейного интегрального оператора Урысона, обусловленного нормальным интегрантом, в Р-квазинормированных пространствах Орлича (§3.3).

* Показано преимущество качественной методики при исследовашш общей слабо связанной системы нелинейных операторных уравнений (глава 4).

* Доказаны теоремы существования собственных вектор - функций и точек бифуркации системы нелинейных операторных уравнений в Р-квазинормированных пространствах (0.1, 4.2.9 - 4.2.12).

* Для параметра регуляризации 1 в функционале А. Н. Тихонова получена оптимальная оценка при приближенном решении нелинейного интегрального уравнения Урысона 1-го рода в паре Р-квазинормированных пространств (0.2, §4.3).

* Получены функциональные представления для широкого класса нелинейных операторов, допускающих использование полученной оптимальной оценки параметра регуляризации (0.1, 4.3.10).

* Рассмотрен вопрос о положительной разрешимости нелинейного функционально-интегрального уравнения в Р-квазинормированных пространствах (§4.4).

Список работ автора по теме диссертации

1. К вопросу об ограниченности неизотропно сингулярных интегралов // Вопросы алгебры, геометрии и анализа. 1968. Т. 387. Ленинград: Изд - во ЛГПИ им. А. И. Герцена, С. 286 - 293 (РЖМат, 1968, 10Б599)

2. Шкалы метрических пространств Орлича и полилинейные операторы в них //Учен. зап. Кемеровск. госпединст. 1969. Вып. 19. Кемерово: Изд-во КГПИ, С. 116 - 129 (РЖМат, 1970, 10Б532)

3. О свойствах нелинейных операторов суперпозиции и Урысона в модулярных пространствах Орлича // Вопр. совр. анализа. 1969. Т.

Ленинград: Изд - во ЛГПИ им. А. И. Герцена, С. 25В - 278 (РЖМат, 1971, 9Б504).

6. О слабо связанной системе сингулярных интегральных уравнений в пространствах Орлича // Труды матем. кафедры Кемеровск. госпединстит. 1970. Вып. 23. Кемерово: Изд - во КГПИ, С. 3 - 17 (РЖМат, 1972, 1Б978).

7. Об интерполяции линейных операторов, действующих в обобщенные пространства Орлича // Вопр. совр. анал.1971. Т. 404. Ленинград: Изд - во ЛГПИ им. А. И. Герцена.С. 415 - 438 (РЖМат,

1971, 11Б789).

8. К вопросу об ограниченности неизотропно сингулярных интегралов // Труды межвуз. конф. по матем. и механ. 1971. Томск: Изд-во ТГУим. В. В. Куйбышева, С. 167 - 170.

9. О произведении пространств Орлича - Марцшпсевича почти периодических функций // Труды матем. каф. пединст. Сибири.

1972. Вып. 1. Красноярск: Изд - во КГПИ, С. 97 -107.

10. Некоторые вопросы теории модулярных пространств почти периодических функций // Научн. труды Новосибирск. госпединст.1974. Вып. 94. Новосибирск: Изд - во Новосиб. госпединст. С. 73 -78.

11.0 некоторых нетшейных операторах в модулярных пространствах Орлича // Труды матем. каф. Кемеровск. госпединст. 1970. Вып. 23. Кемерово: Изд - во КГПИ, С. 18 - 30.

12. К вопросу о разрешимости слабо связанной системы нелинейных интегральных уравнений // Научн. труды Новосибирск, госпединст. 1974. Вып. 94. Новосибирск: Изд - во НГПИ (РЖМат, 1974, 11Б855).

13. К теории конусов в обобщенных пространствах Орлича // Дифференц. и интегр. уравн. Мат. сборник. 1978. Орджоникидзе: Изд - во СОГУ им. К. Л. Хетагурова, С. 73 - 88.

14.06 операторе Урысона, содержащем нормальный интегрант, в пространствах Орлича // Аналит. функции и их прилож. Мат. сборник. 1984. Орджоникидзе: Изд - во СОГУ им. К. Л. Хетагурова, С. 81 -87. 15. К вопросу об оценке параметра регуляризации при приближенном решении уравнений Урысона 1 - го рода II Вопр. функ. анал. Мат. сборник. 1985. Петрозаводск: Изд - во ПГУ им. В. О. Куусинена, С. 106 - 113.

16.0 некоторых свойствах нелинейных операторов в модулярных пространствах Орлича, определяемых седловыми функциями II Исследован, по теор. функций и их прилож. Мат. сборник. 1986. Орджоникидзе: Изд - во СОГУ им. К. Л. Хетагурова, С. 79 - 94.

*

17.0 некаратеодориевых операторах // СОГУ им. К. Л. Хетагурова. Депонировано в ВИНИТИ 22. 05. 90 N 2779 - В 90. Москва: Изд -во ВИНИТИ.

18.06 операторах в идеальных квазинормированных пространствах со смешанной квазинормой // СОГУ им. К. Л. Хетагурова. Депонировано в ВИНИТИ 22. 05. 90 N 2784 - в 90. Москва: Изд -во ВИНИТИ.

19.Н - операторы в идеальных пространствах со смешанной квазинормой // Функц. и интегр. уравнения и их приложения. Труды 3 - ей Северо - Кавказ, регион, конф. 1991. Махачкала: Изд -воДГУ, С. 121 - 122.

20. Применение топологических методов при решении систем нелинейных интегральных уравнений // Труды междунар. научн. конф. "Диффер. и интегр. уравн." 1992. Самара: Изд - во СГУ. С. 193.

21.Н - операторы в идеальных пространствах функций со смешанной квазинормой И Исслед. по матем. анализу. Мат. сборник. Орджоникидзе: СОГУ им. К. Л. Хетагурова, С. 153 - 168. 1993.

22.0 существовании решений и точек бифуркации слабо связанной системы нелинейных операторных уравнений // Редакц. "Сибир. матем. журн.". Депонировано в ВИНИТИ 11. 06. 94. N 796 - В 94. Москва: Изд - во ВИНИТИ (РЖМат, 1994, 6Б789). (совм. с Р. Р. Рандриананжа).

23. Свойства конусов в неассоциативных модулярных пространствах Орлича // Вопр. функц. анализа. Матем. сборник. 1994. Грозный: Изд - во ГГУ.

24. Нелинейные операторы в локально ограниченных пространствах со смешанной квазинормой // Редакц. " Сиб. матем. журн." . Депонировано в ВИНИТИ 7. 12. 94. N 2860 - В 94. Москва: Изд -во ВИНИТИ (РЖМат, 1994, 12Б873).

25. Исследование некоторых типов операторов и уравнений в локально ограниченных пространствах // Проблемы матем. анализа. Конф. СОГУ по итогам НИР за 1994 г. 1995. Владикавказ: Изд -во СОГУ им. К. Л. Хетагурова, С. 47 -48.