Исследование вырожденных голоморфных групп в квазибанаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Аль-Делфи Джавад Кадим Кхалаф

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫРОЖДЕННЫХ ГОЛОМОРФНЫХ ГРУПП В КВАЗИБАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ь АПР 2015

005566860

ВОРОНЕЖ - 2015

005566860

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Келлер Алевтина Викторовна. Официальные оппоненты:

Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН Республики Таджикистан, Вологодский государственный университет, кафедра информационных систем и технологий, профессор

Корнев Сергей Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент, Воронежский государственный педагогический университет, кафедра высшей математики, доцент. Ведущая организация:

Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск).

Защита состоится 2 июня 2015 года в 16.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета, а также на сайте http://www.science.vsu. гиДНззепп£о&:сапс1=2749.

Автореферат разослан «<? £» марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Ю.Е. Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка задачи.

Отображение V £ С(К;£(Н)) назовем группой операторов, если

и8иь = и3+\

при всех й, £ 6 М. Обычно группу операторов отождествляют с ее графиком {и1 : t € К.}. Группу {и1 : í £ М} назовем голоморфной, если она аналитична во всей комплексной плоскости С. Голоморфная группа {171 : Ь £ М} называется вырожденной, если ее единица 17° является проектором в Я.

Будем исследовать разрешающие группы линейного оператора дифференциального уравнения вида

Ьй = Ми,

где вектор-функцию и £ С°°(К;Н) будем называть решением этого уравнения, если при подстановке она обращает его в тождество.

Пусть Н — некоторый вещественный линеал; назовем упорядоченную пару (И; 4х|| • ||) квазииормированным пространством, если

(¡) Ум £ Н иМ ^ 0) причем п\Н\ = 0 о- и =0, где Об Н; (И) V« 6 Я Уос 6 К ц||сш|| = |а|ц||и||;

(ш) V«, у € 11 + < С(ц||ы|| + ц|Н|), где константа С > 1 и не зависит ни от и, ни от V.

Функция ц|| • || : Д —М+ называется квазинормой в случае С > 1, а в случае С = 1 еще и нормой. Таким образом, понятия квазинормированного пространства является обобщением понятия нормированного пространства. В дальнейшем квазинормированное пространство (Н; ц|| • ||) будем отождествлять с линеалом И.

В работе И. Берга и И. Лефстрема доказан следующий результат:1

Лемма 1 (лемма 3.10.1) Пусть Н - квазинормированное пространство и пусть число а определяется уравнениелг (2С)а = 2. Тогда на И существует метрика ¿:ЯхУ-»К такая, что при всех и € 11

<Д0,и) <н|МГ < Щ0,и).

1Берг, II. Интерполяционные пространства. Введение / II. Берг, И. Лефстрем. — М.: Мир, 1980.

В силу этой леммы вводится понятие фундаментальной последовательности {ufc} С И в квазибанаховых пространствах: lim — и/|| = 0. Полное

к,1->оо

квазинормированное пространство называется квазибанаховым. Предел {u/t} £ Н сходящейся в квазибанаховом пространстве И последовательности {г^} С Н будем обозначать символом lim Uk = и.

к—>оо

Наиболее распространенным примером квазибанаховых пространств служат пространства последовательностей £q, q € М+. Эти пространства банаховы при q £ [1, +оо) и квазибанаховы при q € (0,1). Во втором случае С = 21/".

Известно, что в общем случае в квазибанаховых пространствах не могут быть построены отображения, отличные от нулевого и тождественного2, например, в пространстве Lp[a,b], 0 < р < 1. Вместе с тем, это справедливо не для всех квазибанаховых пространств. Так, в пространствах последовательностей iq, 0 < q < 1 и построенных на их основе квазиСоболевых пространствах О < q < 1, ш£Ё существуют линейные отображения, отличные от тривиальных. Подчеркнем, что в данном диссертационном исследовании рассматриваются только такие квазибанаховы пространства, которые в дальнейшем будем называть квазибаиаховыми пространствами последовательностей

Целью работы является развитие теории вырожденных голоморфных групп в квазибанаховых пространствах последовательностей с исследованием ее приложений к операторно-дифференциальным уравнениям первого порядка. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Обобщить результаты спектральной теории операторов в квазибанаховы пространства последовательностей.

2. Исследовать относительно ограниченные операторы в квазибанаховых пространствах последовательностей с получением результатов об их свойствах.

3. Обобщить результаты теории вырожденных голоморфных групп в квазибанаховы пространства последовательностей.

4. Исследовать разрешимость задачи Коши, задачи Шоуолтера-Сидорова, начально-конечной задачи для уравнений соболевского типа с использованием теории вырожденных голоморфных групп в квазибанаховых пространствах последовательностей.

Актуальность темы. В классической теории разрешающих семейств операторов в банаховых пространствах можно выделить три основных случая, ко-

2Rolewicz, S. Metric Linear Spaces / S. Rolcwicz. — Warsaw: PWN, 1985.

гда семейство является: 1) полугруппой сильно непрерывных операторов; 2) полугруппой голоморфных операторов; 3) группой голоморфных операторов. Развитие теории разрешающих полугрупп неразрывно связано с исследованием решений операторно-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Исследованием таких семейств с использованием операторной теории занимались и занимаются во многих российских научных центрах, например, таких как Воронежская, Новосибирская, Екатеринбургская, Иркутская школы.

Исследования вырожденных голоморфных групп операторов неразрывно связаны с развитием теории уравнений, неразрешенных относительно производной. Впервые такие уравнения начал изучать А. Пуанкаре, однако систематическое их изучение началось в середине прошлого века после основополагающих работ С.Л. Соболева. Именно поэтому в современных математических исследованиях в отношении уравнений неразрешенных относительно производной прочно закрепился термин "уравнения соболевского типа".

При этом исследователями было замечено, что характерной чертой группы уравнения с вырожденным оператором является то, что единицей группы является не тождественный оператор, как в классической теории групп операторов, а проектор на некоторое подпространство. Именно такие группы назовем вырожденными.

Ныне, вырожденные голоморфные группы операторов и уравнения соболевского типа активно изучаемые области функционального анализа и неклассических уравнений математической физики соответственно. В проблематике вырожденных голоморфных групп операторов активно работают P.E. Шоуолтер (R.E. Showalter), А. Фавини3 (A. Favini), А. Яги (A. Yagi), И.В. Мельникова, С.Г. Пятков, Г.А. Свиридюк4, Т.Г. Сукачева, В.Е. Федоров. Термин "голоморфные разрешающие группы" ввел P.E. Шоуолтер в 1975 г. Голоморфные вырожденные группы операторов как разрешающие группы линейных уравнений соболевского типа были изучены Г.А. Свиридюком.

Понятие квазибанаховых пространств, по всей видимости, неразрывно связано с понятием банаховых пространств. Однако самостоятельный интерес к

3Favini, A. Degenerate differential equation in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. — New York etc.: Marcel Dekker Inc. — 1999.

4Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht, Boston: VSP, 2003.

квазибанаховым пространствам, как к объекту исследования, появился сравнительно недавно, примером этого могут служить работы Н. Кэлтона5 (N. Kaiton), кроме того, такие пространства возникают при исследовании абелевых групп И. Берга, И. Лефстремаи прикладных задач, например, работы С.Я. Новикова6 и Дж.Д. Хардке7 (J.D. Hardtke).

Отметим, что квазинормируемые пространства являются как самостоятельным объектом теоретических исследований например в работах A.B. Александрова8, В.Л. Крепкогорского9, так и используются в решении прикладных задач, например работа С.М. Вовка и В.Ф. Борулько10.

Научная новизна заключается в полученных результатах:

1. Построена спектральная теория операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей.

2. Построена теория относительно ограниченных операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей. Построены относительные резольвенты, рассмотрены их свойства, построены относительно присоединенные векторы. Доказана теорема о расщеплении действия операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей в относительно ограниченном случае.

3. Доказана теорема о существовании голоморфных разрешающих вырожденных групп операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей, а также исследованы свойства порождающих операторов для этих групп.

4. Получены результаты теории голоморфных вырожденных групп операторов применены к исследованию разрешимости начальных и начально-конечной

5 Kai ton, N. Quasi-Banach Spaces / N. Kaiton / / Handbook of the Geometry of Banach Spaces, Vol. 2, Edit, by W.B. Johnson and J. Lindenstrauss. - Amsterdam etc.: Elsevier, 2003. — P. 10991130.

6 Новиков, С.Я. Об особенностях оператора вложения симметричных функциональных пр-ространств на [0,1] / С.Я. Новиков // Математические заметки. — 1997. — Т. 62, вып. 4. — С. 549-563.

7Hardtke, J.D. A Remark on Condensation of Singularities / J.D. Hardtke // Journal of mathematical physics, analysis, Geometry. — 2013. — V. 9, A"s 4. — P. 448-454.

s Александров, А.Б. Квазиномированные пространства в комплексном анализе: дис. ... док. физ-мат. наук / А.Б. Александров. - Ленинград, 1983.

9Крспкогорскпй, B.JI. Квазиномированные пространства функций, рационально аппроксимируемых в норме ВМО / В.Л. Крепкогорский // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1990. — № 3 — С. 38-44.

10Вовк, С.М. Постановка задач определения линейных параметров сигналов в квазиномиро-вашгых пространствах / С.М. Вовк, В.Ф. Борулько // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. — 2010. — Т. 53, Л» 7. — С. 31-42.

задач для одного класса вырожденных операторных уравнений.

5. В работе построен квазиоператор Лапласа и рассмотрены квазисоболевы пространства для рассмотрения аналога известного неклассического уравнения математической физики — уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной — в квазибанаховых пространствах последовательностей.

Методы исследования. В данной работе для построения теории вырожденных голоморфных групп операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей используются классические методы функционального анализа, теории линейных ограниченных операторов, спектральной теории. Для построения операторов разрешающих групп, по аналогии с классическими результатами, используется преобразование Лапласа оператор-значных функций в квазибанаховых пространствах последовательностей, для чего необходимо обоснование существования в квазибанаховых пространствах последовательностей аналитичности отображения и интегрирования для таких отображений. В основе этого обоснования лежит метризуемость квазибанаховых пространств.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость исследования заключается в развитии теории вырожденных голоморфных групп операторов, получении ряда обобщающих результатов в квазибанаховых пространствах последовательностей. Это исследование становится отправной точкой для развития теории вырожденных голоморфных полугрупп операторов. Кроме того, получение теоретической базы позволяет не только начать исследования неклассических уравнений в квазибанаховых пространств и различных задач для такого рода уравнений, но и рассматривать возможность более эффективного решения ряда технических задач. Именно возможность приложения полученных теоретических результатов к различным областям научных исследований позволяет говорить о практической значимости исследования. В диссертации приведены лишь отдельные примеры такого рода приложений.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на конференциях: Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (Новосибирск, 2013), Зимней воронежской математической школе (Воронеж, 2014), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2014), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Челябинск, 2014), Ежегодных конференциях аспирантов

и докторантов ЮУрГУ (Челябинск, 2013, 2014, 2015). Результаты неоднократно докладывались на областном семинаре по уравнениям соболевского типа профессора Г.А. Свиридюка.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 9]. Работы [1 - 4] опубликованы в журналах из перечня ведущих российских рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [3,4,6,8] в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 98 страниц. Список литературы содержит 112 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении приводится постановка задачи, ставится цель исследования, описываются методы исследования и обосновывается актуальность, теоретическая и практическая значимость проведенного исследования.

Первая глава состоит из четырех параграфов. Они содержат определения, теоремы и вспомогательные утверждения, опираясь на которые получены основные результаты исследования.

В п. 1.1 приводятся понятие и примеры квазибанаховых пространств последовательностей, квазиСоболевых пространств, теорема о вложении.

В п. 1.2 содержатся основные понятия об операторах в квазибанаховых пространствах последовательностей. Пусть И = (Н; ц|| • ||) и = (5; • ||) — квазибанаховы пространства последовательностей. Линейный оператор L : it —3" отображающий пространство 11 в пространство У называется непрерывным, если lim Luk = LI lim щ) для любой сходящейся в Н последовательности

fc—>оо \к—>оо /

{tit} С it и ограниченным, если при любом и € Н

t\\Lu\\ < К а\\и\\,

где К £ R+ не зависит от и.

Теорема 1. (1.2.1)11 Пусть И и У - квазибанаховы пространства последовательностей. Линейный оператор L : it —> 3 такой, что dom L=íí, непрерывен точно тогда, когда он ограничен.

11В скобках указана нумерация в диссертации.

Теорема 2. (1.2.2) Пусть И и 3 — квазибанаховы пространства последовательностей, тогда биективный оператор L € £(Н; 5) — топлинейный изоморфизм.

В п. 1.3 рассматривается пространства линейных ограниченных операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей. Множество всех линейных L : И —> $ ограниченных операторов, отображающий пространство И в пространство таких что dorn L=И является линеалом, который обозначим символом £(11;^). На этом линеале определим неотрицательную функцию

ЦОД)||£|| = SUP sll-HI-uM = l

Теорема 3. (1.3.1) Пусть ilui? — квазибанаховы пространства последовательностей. Любой линейный непрерывный оператор L : dorn L $ с плотной областью определения (dorn L = U) можно продолжить, и при том единственным образом, до линейного непрерывного оператора L : И —> определенного на всем

Теорема 4. (1.3.2) Пусть U и J - квазибанаховы пространства последовательностей, тогда £(il; 5) — квазибанахово пространство с квазинормой ЦОД) II ' II-

В п. 1.4 рассматриваются функции линейных ограниченных операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей.

Теорема 5. (1.4.1) Пусть $ — квазибанахово пространство последовательностей, оператор М £ £(30 и £(з)||М|| < 1 /С. Тогда Т = Ц - М непрерывно обратим и

где С — константа из определения квазинормы.

Здесь вводятся понятия резольвентного множества, спектра линейного непрерывного оператора и резольвента этого оператора, представимая в виде ряда.

Приводится понятие аналитической функции в ограниченной области D С С. Пусть вектор-функция f(z) определена на D и принимает значения в квазибанаховом пространстве последовательностей Если вектор-функция предста-вима сходящимся рядом Лорана в некоторой проколотой окрестности некоторой точки, то вычетом функции в этой точке назовем коэффициент с_i лорановско-го разложения. Классификацию изолированных особых точек будем понимать

также, как в теории функций комплексного переменного. Интеграл от вектор-функции /(г) по замкнутому гладкому контуру Г С С будем понимать как сумму вычетов в изолированных особых точках, лежащих внутри контура Г, умноженную на коэффициент 2т. Тогда ясно, что для аналитических вектор-функций справедлива классическая теорема Коши о равенстве нулю интеграла по замкнутому контуру.

Вторая глава состоит из пяти параграфов. В ней рассматриваются вырожденные голоморфные группы операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей.

В п. 2.1 построены относительные резольвенты в квазибанаховых пространствах последовательностей и исследованы их свойства. Будем называть множества

р1(М) = {ц е С : {цЬ - М)"1 6 И)}, а1{М) = С \ р1{М)

¿-резольвентным множеством и Ь-спектром оператора М соответственно.

Оператор-функции вида (цЬ - М)"1, = {цЬ - М)~1Ь и Ь^(М) =

Ь(рЬ — М)-1 переменной ¡1 € С называются соответственно Ь-резольвентой, правой и левой Ь-резольвентой оператора М.

Лемма 2. (2.1.1) Множество рь(М) всегда открыто, и, следовательно, аь(М) всегда замкнуто.

Теорема 6. (2.1.1) Пусть операторы Ь, М 6 тогда Ь-резольвенты,

правая и левая Ь-резольвента оператора М голоморфны в рь(М).

В п. 2.2 введено понятие (Ь, ^-ограниченных операторов и доказана теорема о расщеплении действий операторов Ь, М. Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора Ь (коротко, (Ь, а)-ограниченным), если

3 абК+У/1€С (И > а) => (ц е рЬ(М)) . Пусть оператор М (Ь, ег)-ограничен, зададим проекторы

р = ¿ / а = ¿1 /

7 7

где контур 7 = {ц е С : \р,\ = г > а}. Положим И0 (И1) = кегР (¡тР), 5° (г?1) = кег<5 (1т<5), и через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на 11\ к = 0,1. Пространства 11 и 5 расщепляются в прямые суммы Я = 11° © Н1 и

Теорема 7. (2.2.1) Пусть оператор М (L, а)-о граничен, тогда

(i) операторы Ljt, Мk £ £(ilfc; $к), к = О,1;

(ii) существуют операторы Lf1 £ ^(J1;!!1) и Mq1 6 £(5r0;il°). Существуют операторы: Я = M0_1L0 е и S = L^Mx £ ДД1).

00 ОО

{fiL - МУ1 = - - Q) + J2^~ksk~lLT1Q ty 6 PL(M)

к=0 к=1

Оператор М называется (Ь,р)-ограпичеппъш при р £ No = {0} U N, если он (L, сг)-ограничен и р = 0, если Я = О; р € N, если Яр / О, а Яр+1 = О.

В п. 2.3 содержатся сведения об относительно присоединенных векторах и их свойствах. Пусть ker L ф 0, <£>о £ ker 1<\{0} собственный вектор оператора L. Упорядоченное множество {tpk : к £ {0} U N} назовем цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора <ро, если

L<pk+1 = Mipk, к £ {0} U N; <рк ф ker L\{0}, к £ N.

Цепочка операторов может быть бесконечной, однако она обязательно конечна, если существует вектор ¡pq € {¡pk : к 6 {0} U N} такой, что M<pq ф. im L. Мощность конечной цепочки называется ее длиной.

Линейная оболочка всех собственных и М-присоединенных векторов оператора L называется М-корневым линеалом оператора L. Если линеал замкнут, то он называется М-корневым пространством оператора L.

Лемма 3. (2.3.1) Пусть оператор М (Ь,р)-ограничеп, р £ {0} UN. Тогда М-корневой линеал оператора L содержится eil0.

Теорема 8. (2.3.2) Пусть оператор L фредгольмов. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(г) оператор М (L,p)-о граничен, р € {0} U N;

(гг) длина любой цепочки М-присоединенных векторов оператора L не превышает р, и существует по крайней мере одна цепочка длины р.

В п. 2.4 сформулировано и доказано существование разрешающей вырожденной голоморфной группы операторов для однородного уравнения соболевского типа.

Пусть 11 и 3 — квазибанаховы пространства, операторы L, М £ £(11; У).

Ьй = Ми (1)

Решени&м уравнения (1) называется вектор-функция и 6 СЭ0(Е;11), если она удовлетворяет этому уравнению. Назовем его решением задачи Коши, если оно дополнительно удовлетворяет условию

ы(0) = и0. (2)

Группа V € С°°(К; £(Н)) называется группой разрешающих операторов уравнения (1), если при любом щ 6 Н вектор-функция и(Ь) = 1/1ио является решением уравнения (1).

Теорема 9. (2.4.1) Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, рб{0} и N. Тогда существует голоморфная группа разрешающих операторов для уравнения (1), которая к тому же имеет вид

= ¿т У 4€К, (3)

7

где контур 7 = {д £ € : |/х| = г > а}.

Множество ф называется фазовым пространством уравнения (1), если (¡) при любом «о 6 ф существует единственное решение задачи (1),(2); (11) любое решение и = и(£) уравнения (1) лежит в ф как траектория (т.е. и(£) € ф при всех £ € К).

Теорема 10. (2.4.2) Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, ре {0} и N. Тогда фазовым пространством уравнения (1) является подпространство И1.

Следствие 1. (2.4.3) Группа {и1 : Ь е будет единственной разрешающей группой уравнения (1), если

(I) вектор функция и(Ь) = и(щ является решением (1) при любом и0 е Я; (И) образ группы (3) совпадает с фазовым пространством уравнения (1).

В п. 2.5 этой главы содержатся результаты о свойствах операторов, порождающих вырожденную голоморфную группу.

Третья глава состоит из пяти параграфов и содержит приложения полученных теоретических результатов.

В п. 3.1 рассмотрена задача Коши для неоднородного уравнения соболевского типа с относительно ограниченным оператором в квазибанаховых пространствах последовательностей. Пусть 11 и £ — квазибанаховы пространства последовательностей, операторы Ь,М 6 £(Н;#), отрезок [а, Ь] С М содержит точку нуль, вектор-функция / Е С°°([а, 6]; Рассмотрим линейное неоднород-

ное уравнение соболевского типа

Ьй = Ми + /. (4)

Теорема 11. (3.1.1) Пусть оператор М {Ь,р)-ограничен, р€ {0}иМ, точка О 6 [а, 6]. Тогда при любых / € Сх([а, 6]; $) и любых

= НкМо\1 - д)/м(0)

к=0

существует единственное решение и € Сэо([а, Ь];1Х) задачи (2), (4) вида

г

«с; — ......

к=0

Р Г

1{1) = - нкМо\1 - + С/Ч + /

7__П

В п. 3.2 строится решение задачи Шоуолтера-Сидорова

[Д^(М)Г1(Ы(0) - щ) = 0, а е РЬ{М). (5)

для неоднородного уравнения соболевского типа (4).

Теорема 12. (3.2.1) Пусть оператор М (Ь, р)-ограничен, р £ {0}иК, точка 0 £ [а,Ь]. Тогда при любых f £ Ср+1([а,6];и любых щ 6 И существует единственное решение и = «(£), £ £ [а, Ь], задачи (4), (5) вида

Г

и(*) = - нкМй\1 - + иги0 + /

I__п

В случае (£, ^-ограниченности, р £ {0}иН, оператора М начальное условие (5) эквивалентно условию Р(и(0) — щ) = 0.

В п. 3.3 рассматривается начально-конечная задача для неоднородного уравнения соболевского типа (4). Пусть ¿-спектр аь(М) оператора М распадается на две непересекающиеся компоненты, т.е. выполнено условие

а1{М) = а1а{М)и^{М) и <%(М) П о£(М) = 0. (6)

Тогда существуют непересекающиеся контуры 7а и 7ь, ограничивающие области, содержащие части спектра а¡¿(М) и а^(М) и в квазибанаховых пространствах последовательностей можно построить спектральные проекторы

Ра(Ь) = ¿Т У И <За(Ь) = ^Т У ¿£(М)ф.

7а(Ь) 7а(Ь)

При выполнении условия (6) для уравнения (4) рассматривается начально-конечная задача

Ра(и(а) - иа) = 0, Рь(и{Ъ) - щ) = 0. (7)

Теорема 13. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} иМ, в

выполнено условие . Тогда для любых векторов иа, щ е Н и любой вектор-функции / : [а, 6] —>■ удовлетворяющей условиям

еС"+1([а,Ь}-д°) и Я! еС([а,Ь}-&), существует единственное решение и 6 С1 ([а, 6]; И) задачи вида

(£) = - £ НкМд1(1 - <?)/®(г) + и1~аиа - 11ь'ьщ+ к=0

Ja Л

+ ,

н

п. 3.4

{А*} С К+ 1т1 = +оо

к—>оо

оо ^

к=1 J

теМреМ+ теКре

1 /Р

р е [1,+оо) р е (0,1) С = 21'р т = 0 £° = ер

Теорема 14. При всехр € К+, т € К, I < т, имеют место плотные

и непрерывные влоэ/сения I™ ^ £1. п. 3.5

{А*} С М+

Нт = +оо Л

->• % Ли = Лкик.

Пусть Аё1иабМ \ {0} — некоторые константы. Рассмотрим неоднородного уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной

(Л - А)щ = аАи + /.

Теорема 15. (3.5.1) Для любых АеК«аеК\ {0} оператор М (Ь, 0)-ограничеи.

¿-спектр а£(М) оператора М содержит точки

= Л = Лг}|.

Получен результат о разрешимости начальных и начально-конечной задач для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной.

Результаты выносимые на защиту:

1. Результаты спектральной теории операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей.

2. Результаты теории относительно ограниченных операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей.

3. Теоремы о существовании голоморфных вырожденных групп операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей.

4. Теоремы о разрешимости задач Коши, Шоуолтера-Сидорова и начально-конечной задачи для неоднородного уравнений соболевского типа в квазибанаховых пространствах последовательностей.

5. Построение квазиоператора Лапласа и квазисоболевых пространств.

6. Построение аналога уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной в квазисоболевых пространствах.

Публикации автора по теме диссертации

1. Аль-Делфи, Дж.К. Квазисоболевы пространства/ Дж.К. Аль-Делфи // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2013. - Т. 5, № 1. -С. 107-109.

2. Аль-Делфи, Дж.К. Квазиоператор Лапласа в квазисоболевых пространствах / Дж.К. Аль-Делфи // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. — 2013. - № 2 (13). - С. 13-16.

3. Свиридюк, Г.А. Теорема о расщеплении в квазибанаховых пространствах / Г.А. Свиридюк, Дж.К. Аль-Делфи // Математические заметки СВФУ.

- 2013. - Т. 20, № 2. - С. 180-185.

4. Келлер, A.B. Голоморфные вырожденные группы операторов в квазибанаховых пространствах / A.B. Келлер, Дж.К. Аль-Делфи // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2015. - Т. 7, № 1. - С. 20-27.

5. Al-Delß, J.K. Quasi-Banach Space for the Sequence Space lp, where 0<p< 1 / J.K. Al-Delfi // Journal of College of Education, Al-Mustansiriyah University (Iraq-Baghdad). Mathematics. - 2007. - № 3. - P. 285-295.

6. Свиридюк, Г.А. Квазиоператор Лапласа в квазисоболевых пространствах / Г.А. Свиридюк, Дж.К. Аль-Делфи // Дифференциальные уравнения. Функ-цональные пространства. Теория приближений. Международ, конф.; Мин-во образования и науки РФ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибиск, 2013. — С. 247.

7. Аль-Делфи, Дж.К. Модель Баренблатта-Желтова-Кочной с условием Коши в квазибанаховых пространствах / Дж.К. Аль-Делфи // Материалы международ. конф. Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2014.

- Воронеж, 2014. - С. 14-17.

8. Аль-Делфи, Дж.К. Уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной с условием Шоуолтера-Сидорова в квазибанаховых пространствах / Дж.К. Аль-Делфи, Г.А. Свиридюк // Международн. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, Россия, 4-9 июля 2014 г.: тез. докл. — М: МИАН, 2014. - С. 153-154.

9. Аль-Делфи, Дж.К. Задача Шоуолтера-Сидорова в квазибанаховых пространствах / Дж.К. Аль-Делфи // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всеросс. научн. конф. — Челябинск, 2014. — С. 180-181.

Работы [1 - 4] опубликованы в журналах из перечня ведущих российских рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобр-науки РФ.

Подписано в печать 25.03.15. Формат 60*84 '/1б. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 120 экз. Заказ 186.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3