Описание автоморфизмов вещественных поверхностей высокой коразмерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи

УЖ 517.5

Белошапка Валерий Константинович

ОПИСАНИЕ АВТОМОРФИЗМОВ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВЫСОКОЙ КОРАЗМЕРНОСТИ

(01.01.01.- математический анализ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1991

Диссертация выполнена в НИИ содержания и методов овучения

Официальные оппоненты:

- д.ф.-м.н В.А.Зорин д.ф.-м.н В.В.Напалков

- д.$,.-м.н А.Г.Сергеев

Ведущая организация - Ташкентский государственный университет

Защита состоится 1991 года в часов

на заседании специализированного совета Д.002.38.03 при Матеиа— тическоп институте им. В.А.Стеклога АН по адресу: Москва, ул.Вавилова, 12.

С диссертацией можно поднакопиться в виБлиотеко Математического института.

1 % -

Автореферат разослан " ' " __1991 года.

Учень:Л секретарь сгшимали-ироЕзннагсз сезг^тд доктор фИГ.—МДТ. ь'йук

- I -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди областей математики стремительно развивающихся в настоящее время следует отметить теорию СИ-фуккций, предметом которой является изучение фукционалышх и геометрических свойств вещественных подмногообразий комплексных пространств. Среди этих исследований свое законное место занимают вопросы голоморфной классификации и эквивалентности. В этом контексте вполне понятен интерес к таким объектам, как группа голоморфных преобразований вещественного подмногообразия и нормальным формам его уравнения. Основные усилия исседователей были направлены на случай поверхности коразмерности один, т.е. гиперповерхности [ I - 14, 17, 21, 30, 31-34, 39-44 ], тогда как поверхности высокой ( больше единицы ) коразмерности изучались в частных и специальных случаях [ 18, 23, 25, 35, 36, 38, 42, 43 ].

Цель работы. Изучение групп голоморфных преобразований вещественных поверхностей высокой коразмерности.

Методика исследований. Для исследования применялась техника работы со степенными рядами, а также методы линейной алгебры.

Научная новизна. В диссертации установлен новый квадратичный критерий конечномерности группы автоморфизмов вещественной поверхности. Дано простое координатное описание алгебры инфи-нитезимальных автоморфизмов квадрики. Изучен специфический для высокой коразмерности феномен "жесткости" квадрики общего положения. Дана классификация положительно определенных квадрик коразмерности два.

Практическая ценность. Результаты диссертации позволяют вычислять группу голоморфных преобразований невырожденной вещест-

- 2 -

веной поверхности, а также конструировать системы ее голоморфных инвариантов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в матматическом институте АН, Московском университете на Всесоюзных школах по комплексному анализу ( Уфа 1980, Донецк 1984, Ташкент 1989). Работы автора по группам автоморфизмов вещественных поверхностей были отмечены премией Отделения Математики Академии наук 1989 года (совместно с A.B.Лободой).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ 45 - 53 ].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора основных результатов и четырех глав. Каждая глава разбита на параграфы, которых в сумме насчитывается 12.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Данное исследование направлено на изучение голоморфных автоморфизмов вещественных подмногообразий комплексного пространства. Исследования голоморфных преобразований тех или иных геометрических объектов имеют давнюю историю. Известная теорема Римана о конформном отображении ( Римап, 1851, [28]) дает описание группы автоморфизмов односвязных областей в (Ц. Любая такая область, чья граница содержит более одной точки конформно эквивалентна кругу и ее группа автоморфизмов изо-

с,7> ы

морфна группе Мебиуса. При переходе к пространствам бо-

лее высокой размерности ( N > I ) ситуация становится более разнообразной. Группа автоморфизмов шара зависит от ( Ы + 2 N ) вещественных параметров, тогда как группа полидиска от 3 N вещественных параметров ( Пуанкаре, 1907 [41]; Рейнхардт,1921).

В частности это означает, что эти области неэквивалентны. Более того, почти любая пара случайно выбранных областей при N > I оказываются неэквивалентными, а их группы автоморфизмов тривиальными ( Берне, Шнайдер, Уэллс, 1978, [32] ).

Имеется ряд возможностей для сведения задач связанных с изучением отображений областей к задачам об отображениях некоторых вещественных многообразий. Это возможность перехода к отображениям границ этих областей. При этом можно аппелировать к тем сильным результатам относительно продолжения биголоморфных отображений, которые били получены в последнее время ( Фефферман, 1974 [39],[40] - продолжение из области на границу; Пинчук,1975 [21]- продолжение вдоль границы; Витушкин,1985 [4] - продолжение за границу). Это также возможность перехода к отображениям границ Шилова. Для нас эта точка зрения представляет особый интерес т.к. граница Шилова для таких областей, как например аналитические полиэдры (поверхности, заданные конечным числом аналитических неравенств) представляет собой объединение поверхностей высокой ( к > I ) коразмерности. Кроме того, изучение вещественных подмногообразий комплексного пространства представляет самостоятельный интерес в контексте изучения О-струк-тур специального вида, а именно СЕ-структур ([15],[26]).

При изучении вещественных подмногообразий и их отображений имеется два подхода. В рамках первого, геометрического подхода с поверхностью связывается каноническая процедура построения расслоения над ней и .набор инвариантно определених дифференциальных форм на этом расслоении. И в случае, когда такой набор оказывается достаточно полным, в терминах этих форм можно сформулировать критерий эквивалентности пары многообразий. А именно, многообразия эквивалентны если эквивалентны наборы инвариантов,

т.е. имеется отображение соответствующих расслоений, переводящих один набор форм в другой. Для подмногообразий, коразмерность которых равна единице такая процедура была реализована в работах Э.Картана ( 1934, [34] ), Танаки ( 1967 [42], [43]), Черна (1974, [34]). При этом конструкция, предложенная в работе Танаки дает решение проблемы эквивалентности еще в двух случаях .г

. ( к = п и к = п - I, где к это коразмерность, а п - размерность комплексной части касательного пространства ). В недавно опубликованной работе Мизнера (1989, [36]) построена такая полная система инвариантов для многообразий коразмерности два.

В рамках второго подхода с поверхностью связываются специальные координаты, в которых ее уравнение принимает некоторый особый вид ( нормальная форма уравнения ). Причем приведение к таким координатам оказывается единственным, если наперед фиксировать значеып первых и вторых производных приводящего отображения. 1') ;■■■ уола нормальные формы строились и применялись к исследованию гиперповерхностей ( к = I ) в работах Мозера [34],[371, Кьйстера [44], Витушкина [4].

Аппарат нормальных форм оказался удобным инструментом изучения комплексной геометрии вещественных поверхностей. Дадим краткий обзор результатов по этой тематике, полученнных с его использованием:

- Используя технику работы со степенными рядами близкую той, что используется при построении нормальных форм, Пуанкаре доказал локаятную неэквивалентность гиперповерхности общего вида и сферы в С [41]. В той же работе Пуанкаре продемонстрировал эффект специфического многомерного продолжения отображений. А именно, если имеется голоморфное отображение определенное в

- 5 -

окрестности точки на сфере, переводящее малую орестность сферы в другую сферу, то этого достаточно для его продолжения до отображения шара на пир. Этот эффект позже был переоткрыт Алексан-дером [30] и имел далеко идущие обобщения (см.ниже).

и

- Мозер построив нормальную форму гиперповерхности в ф , дал ей интерпретацию в геометрических терминах ( семейства инвариантных кривых, их параметризация и пр.), подчеркивая аналогию с понятиями римановой геометрии [34].

Упомянутый выше результат Бернса, Шнайдера и Уэлсса [32] состоит в том, что в множестве функций, определяющих малые строго псевдо-выпуклые деформации сферы, подмножество функций, определяющие области без автоморфизмов является множеством второй категории Бэра. И, "почти любая" ( в том же смысле ) малая деформация приводит к области неэквивалентной исходной.

- Пинчук показал, что эффект продолжения локально определенного отображения (см. выше) имеет место в гораздо более общей ситуации, а именно когда шары (как в образе, так и в прообразе) заменены на произвольные строго псевдовыпуклые несферические области с аналитическими границами [21]„ Требование несферичности (поверхность - сферическая, если она локально эквивалентна сфере ) оказывается, несмотря на упомянутую теорему Пуанкаре-Александера, существенным [31], [48].

- Витушкин, используя свою модификацию мозеровской нормальной формы, показал, что если строго псевдовыпуклая аналитическая поверхность несферична, то росток всякого голоморфного отображения этой поверхности в такую же поврхность голоморфно продолжается ( с оценкой нормы ) в "большую" окрестность центра

- 6 -

ростка, и при этом гарантируемый размер окрестности и константа, оценивающая норму, опредеяются двумя характеристиками поверхностей - запасом аналитичности и величиной их несферичности [1-7]. Таким образом локально определенное отображение продолжается не только вдоль гиперповерхности, но и по нормали к ней.

- Нормальная форма оказалась удобным инструментом для изучения структуры группы автоморфизмов. В частности было доказано, что локальная группа автоморфизмов несферической поверхности компактна и определяется своим действием на комплексной касательной в центре ростка , где ее действие сводится к действию псевдоунитарной группы ( Еелошапка [46], Лобода [17]).

Ддлее, оказалось,что в окрестности центра ростка можно выбрать нормальные координаты так, что вся локальная группа оказывается подгруппой группы линейных преобразований комплексного пространства,-в котором расположена гиперповерхность (Кружилин, Лобода [12-14]).

- Данный подход к исследованию гиперповерхностей успешно применялся в целом ряде работ, среди которых [8], [9], [10], [II].

Относительно поверхностей высокой коразмерности следует отметить результат Лободы, который построил нормальую форму в ситуации к = 2, п = 2 [18].

Следует отдельно упомянуть ряд работ по таким специальным, но играющим в данной области большое значение поверхностям, как квадрики, естественно примыкающий к работам по однородным многообразиям ( [23], [28] ). В работе Мураками (1972 [33] ) дается

- 7 -

анализ структуры алгебры инфинитезимальных автоморфизмов квадрики в терминах специально выбранной системы векторных полей. В работах Туманова и Хенкина (1983 [25]; 1988 [27]) доказывается, что эта алгебра содержит поля лишь с полиномиальными коэффициетами, а также, что локальное отображение квадрики продолжается до рационального автоморфизма области Зигеля, чьим остовом является данная квадрика. Аналогичное утверждение для отображения гиперквадрики в гиперквадрику другой размерности принадлежит Форстнеричу [35].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В данной диссертации вещественные поверхности изучаются в общей ( I, I ) ситуации. Причем поверхность при к > I, в отличие от случая гиперповерхности ( к = I ), мы называем поверхностью высокой коразмерности.

Основными объектами изучения являются:

1) Вещественная поверхность М, расположенная в комплексном линейном пространстве, заданная в окрестности некоторой своей точки £ векторным уравнением

V = <г,г> + Р(г,г,и)

( г, и )<= С хС, <г,г> - форма Леви М в точке ^ ( эрмитова форма на СЛ со значениями в 1111е ). В таком виде можно записать уравнение почти любой поверхности ( для этого достаточно комплексной линейной независимости градиентов функций, задающих эту поверхность , см. § I диссертации).

2) Алгебра Ли й(М) группы в(М), состояния из векторных полей на М , с коэффициентами голоморфными в окрестности точки ^ .

3) Саш локальная группа б(М) голоморфных автоморфизмов поверх-

ности М - , пророжденная векторными полями на М , с коэффициентами голоморфными в окрестности точки £ , и состоящая из голоморфных (каждое в своей окрестности точки ) отображений оставляющих точку £ на месте, переводящих росток поверхности М в себя.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава.

Свойства гиперповерхности существено зависят от такого свойства ее формы Леви как невырожденность. В частности, группа автоморфизмов гиперповерхности с невырожденной формой Леви - конечномерна, тогда как группа вырожденной гиперповерхности -бесконечномерна. Форма Леви гиперповерхности - это обычная эрмитова форма со значениями в /Ц , которая определяеГся эрмитовой матрицей и невырожденность - это невырожденность этой матрицы. При переходе к.высокой коразмерности ситуация меняется следующим образом. Форма Леви - это эрмитова форма со значениями в которая определяется набором из к эрмитовых матриц. Автором предложено следующее определение невырожденности такой векторной эрмитовой формы

Определение 1.1 Будем говорить, что к -мерная эрмитова форма

! 1 к \ <г ,1> = ( <г,г> , ... , <г ,г> )

является невырожденной, если выполнены следующие два условия

к

■..2,2> , ..., <1 ,г> - линейно независимы; из <г,е> = 0 для всех г следует, что е = 0. Это определение, как критерий конечномерности группы автоморфизмов в(М) поверхности М, полностью аналогично условию невырожденности обычной скалярной формы Леви. А именно, если форма невырожлена, то группа 6(М) конечномерна (следствие 2.4),

если же форка вырождена, то группа касательной квадрики 6(0) -бесконечномерна. В последнее время предложенное определение получило дальнейшее распространение (см.напр.[27]).

В предположении невырожденности формы Леви для поверхности _ произвольной коразмерности к I строится приведение к нормальной форме, аналогичное тому, что построено в [34] для к = I. Теорема 3.1. Существует замена координат, заданная формальными рядами, приводящая уравнение М к виду

V = <2,г> + Ж г, г,и), N £ 92 ,

/ 1 >\ ± к.-. , л где -( г .,...,г ) = ( 2 , у ) - координаты в окрест-

ности точки 72. - некоторое специально построенное под-

пространство в пространстве степенных рядов от 1,2 и и; причем если ряды

f , , , г , ,

""?> 2. -~г> иг 1

не имеют свободных членов, то такая замена - единственна.

Трудным местом явилось доказательство единственности такого приведения. Доказаная при это,л лемма о конечномерности пространства решений основного уравнения является базовой для всех последующих построений.

Вторая глава.

Удобным инструментом исследования гиперповерхностей является явная формула для преобразований, задающих автоморфизмы касательной гиперквадрики [34], хорошо известная в случае сферы [29]. При к > I такой формулы в нашем распоряжении нет. Однако автором была получена явная формула дающая инфинитези-мальние автоморфизмы произвольной невырожденной квадрики, т.е. элементы алгеры е(0) (теорема 4.1). Она тлеет

следующий простой вид (первая строка - коэффиценты при --- -

координатах, вторая - при -f— -координатах)

, , С z + a w + A(z,z) + B(z,w)\ 1

e(Q) = \ | . . I

s w + 2i <z,aw> + r(w,v) / (

где все выражения линейны, причем параметры С, s, а, А, В, г удовлетворяют следующим соотношениям

2Re<Cz,z>=s<z,z> < A (z,z),z > = 2i < z,a <z,z> > Re < В (z,u),z > = r(<z,z>,u) Im <B (z,<z,z>),z > = 0

/

Эта формула используется на протяжении всего дальнейшего изложения. В качестве первого ее применения в той же второй главе доказывается (предложение 5.1, следствие 5.2), что локальная группа прямого произведения двух невырожденных квадрик -это произведение локальных групп сомножителей Отметим, что требование невырожденности здесь существенно (пример 5.3).

Третья глава. Как уже было отмечено случайно выбранная ( в смысле принадлежности множеству второй категории по Бэру ) гиперповерхность оказывается "жесткой" в том смысле, что ее группа автоморфизмов тривиальна. При к > I это тоже верно. Однако есть существенное отличие: при к = I касательная квадрика обладает

богатой группой, тогда как квадрика высокой коразмерности, как

Д. ¡1. 2.

правило, (к=2, п-2, п-1, п - это исключения ) уже

сама является жесткой, т.е. группа состоит лишь из скалярных

растяжений (результаты 6, в частности предложения 6.4 и 6.7).

Два следующих параграфа этой главы направлены на более детальное изучение ситуации общего положения при п = 3 ( § 7 ) и к - 2 ( § 8 ).

Как известно (см. [34]) для любой гиперповерхности М и ее касательной гиперквадрики Q справедливо неравенство

dim G (М)6 dim G (Q), т.е. гиперповерхностью с самой богатой группой является гиперквадрика. Оказывается, что такая же формулировка справедлива и для поверхности высокой коразмерности (теорема 9.3). Такчм образом поверхности с самыми богатыми группами следует искать среди квадрик.

Четвертая глава.

В четвертой главе с помощью полученной во второй главе формулы дающей описание алгебры g(Q) проводится изучение некоторых специальных классов поверхностей направленное на отыскание поверхностей с более богатыми, чем в ситуации общего положения группами автоморфизмов. В частности, в §11 подробно рассматриваются квадики коразмерности два в С , которые распадаются на три класса эквивалентности [18]. Для каждого из классов в вычисляется алгебра инфинитезимальных автоморфизмов и характеристический многочлен. Причем каждый класс, в соответст-ви с типом характеристического многочлена, может быть квалифицирован как эллиптический, гиперболический и параболический. Причем два первых класса демонстрируют ситуацию общего положения и размерность группы равна 10. В пространство (2,2)-квад-рик их разделяет алгебраическая гиперповерхность степени 4, определяющая параболические квадрики, группа автоморфизмов которых имеет размерность II. Далее в $12 дается простая клас-

- 12 -

сификация положительно определенных (см. §12) квадрик коразмерности два ( при произвольном п ), позволяющая определить класс квадрик с максимальной (в смысле размерности) группой. Ими оказываются квадрики эквивалентные прямому произведению двух гиперквадрик.

ЛИТЕРАТУРА:

[1] Витушкин А.Г., Голоморфное продолжение отображений компактных гиперповерхностей,// Изв. АН СССР, сер.мат. 1982, т.46, N I, С.28-35.

[2] Витушкин А.Г., Глобальная нормализация вещественно-аналитической поверхности вдоль цепи,//Докл.АН, 1983, Т.2В9, N I, С.15-18.

[3] Витушкин А.Г., Голоморфные отображения и геометрия поверхностей,// В сб. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техн. ВИШТИ)" М., I9S5, т.7, С.167-226.

[4] Витушкин А.Г., Вещественно-аналитические гиперповерхности комплексных многообразий,// Успехи мат. наук, 1985, т.40, N 2, С. 3 - 31.

[5] Витушкин А.Г., Ежов В.В., Кружилин Н.Г., Продолжение локальных отображений псевдовыпуклых поверхностей.// Докл.АН СССР, 1983, т.270, N 2, с.271-274.

[6] Витушкин А.Г., Ежов В.В., Кружилин Н.Г., Продолжение голоморфных отображений вдоль вещественно аналитических гиперповерхностей// Труды fMAH, 1984, т.167, с.60 - 95.

[7] Витушкин А.Г., Ивашкович С.М., 0 продолжении голоморфных отображений вещественно аналитической гиперповерхности в комплексно проективное пространство. Докл.АН СССР, 1982, т.267,N4, С. 778-780.

[в] Ежов B.B., Асимтотика повеления строго псевдовипуклой поверхности вдоль ее цепи.// Изв.АН СССР, сер.мат., 1983, т.47, N 4, С. 560-586.

[9] Ивашкович С.М., Продолжение локально голоморфных отображений областей в комплексное проективное пространство.// Изв.АН СССР, сер. шт., 1983, т.47, N I, с. 197-206 .

[10] Ивашкович С.М., Продолжение мероморфных отображений в компактную комплексную поверхность,// Труды Всесоюзной школы "Актуальные проблемы комплексного анализа", Ташкент, 1989.

[11]-Исаев A.B. Мищенко М.А., Классификация сферических трубчатых гиперповерхностей, имеющих в сигнатуре формы Леви один минус,// Изв.АН СССР, т.52, N 6, с.1123-1153.

[12] Кружилин Н.Г., Оценка изменения нормального параметра цепи на строго псевдовыпуклой поверхности,// Изв.АН СССР, сер.мат., 1983, т.47, N 5, С. I093-III3.

[13] Кружилин Н.Г., Локальные автоморфизмы гладких строго псевдовыпуклых гиперповерхностей,// Изв.АН СССР, сер.мат.,1985,т.49, N 3, С. 566-591.

[14] Кружилин Н.Г., Лобода A.B., Линеаризация локальных автоморфизмов псевдовыпуклых поверхностей.// Докл.АН СССР , 1983, т.271, N 2, 280-282.

[15] Кобаяси Ш., Группы преобразований в дифференциальной геометрии // М.:"Наука", 1986, 224 с.

[16] Куликов B.C., Курчанов П.Ф., Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов структур Ходжа,// В сб. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ)" М., 1986, т.3.7, С. 146.

[17] Лобода A.B., О локальных автоморфизмах вещественно-анали-тйчееких гиперповерхностей.// Изв.АН СССР, сер.мат., 1981, т.45,

- J4 -

ИЗ, С. 620-645.

[18] Лобода A.B., Порождающие вещественно аналитические мно-

íí

гообразия коразмерности 2 в<Е и их биголоморфные отображения // Изв.АН СССР, 1988, N 5, С. S70 - 990.

[19] Мальцев А.И., Основы линейнок алгебры, // М.: Наука, 1975, 400 с.

[20] Паламодов В.П., Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.:Наука,1967.

[21] Пинчук С.И., О голоморфных оторажениях вещественно-аналитических гиперповерхностей, // Мат.сборник, 1978, т.105, N 4, С.574-593.

[22] Понтрягин Л.С., Непрерывные групп, // М.: Наука , 1973, 519 с.

[23] Пятецкий-Шапиро И.И., Геометрия классических областей и теория автоморфных функций,// М.: Физматгиз, 1961, 191 с.

[24] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.-Л., 1948, С. 49-87.

[25] Туманов А.Е., Хенкин Г.М., Локальная характеризация голоморфных автоморфизмов областей Зигеля,// Функц. анализ и его прил., 1983, т.17, N 4,С. 49-61.

[26] Туманов А.Е., Геометрия CR-многообраэий. // В сб. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ)" М., 1986, т.9, С.225-2/,S.

[27] Туманов А.Е., Конечномерность группы CR-автоморфизмов стандартного CR-многообраэия и собственные голоморфные отображения областей Зигеля //Известия АН СССР, сер. мат.,1888, т.52, N3, С.651-659.

[28] Фукс Б.А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, // М.: Физматгиз, 1963, 427 с.

[29] Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ, часть II, // М.:

Наука,1976, 400 с.

[30] Alexander Н..Holomorphic mappings from the ball and po-lydisc. Math. Ann., 1974,209 N 3, 249-256.

[31] Burns D., Shnider S. , Spherical hypersurfaces in complex space.// Invent. Math., 1976, 33, N 3 , p.283-289.

[32] Burns D., Shnider S., Wells R.O., Deformation of strictly pseudo-convex domains. // Invent, math., 1978, v.46, N 3, P. 199-217.

[33]_Cartan E., Sur la geometrie pseudo-conforme des hypersur-faces de deux variables complexes,// I. Ann. Math. Рига Appl., 1932, v.II, N 4, 19-90, //II. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1932, v.2, N I, 333-354.

[34] Chern S.S., Moser J.K., Real hypersurfaces in complex

manifolds,// Acta Math., 1974, v.133, N 3-4, P.219-271. V

[35] Forstneric F., Mappings of quadric Cauchy-Riemann manifold, // 1989, preprint.

[36] Mizner R., CR-structm-es of codimension 2, // J. Diff. Geom. 1989, v.30, N I, P.167-191.

[37] Moser J.K., Webster S.M., Normal form for real surfaces 2.

in <D near complex tangents and hyperbolic surface transformations, // Acta math., 1983, v.150, P.255-296.

[38] Murakami S., On automorphism of Siegel Domains,// Lecture Motes in Math. 1972, N 286.

[39] Fefferman C., Bergman Kernel and bigolomorphic mappings

of pseudo-convex domains, Invent. Math., 1974, v.26, N I, P.1-65. •

[40] Fefferman G., Monge-Ampere equation, the Bergman Kernel and geometry of pseudo-convex domains, Ann. Math., 1976, v.103, N2, P.395-416.

[41] Poincare H., Les fonction analytiques de deux variables et la representation conforme, // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1907, 185-220.

[42] Tanaka.N, I. On the pseudo-conformal geometry of hyper-surfaces of the space of n complex variables. J.Math.Soc. Japan,14(1962),397-429; II.Graded Lie algebras and geometric structures, Proc.US-Japan Seminar in Differential Geometry, 1965,147-150.

[43] Tanaka.N, On generalized graded Lie algebras and geometric structures, // J. Math. Soc. Japan, 1967, v.19, N2, P.215 - 254.

[44] Webster S.M., On the transformation groups of a real hyper-surfaces. // Trans.Amer.Math. Soc., 1977, v.231, N I, P. 179-190.

Работы автора по теме диссертации

[45] Белошапка В.К., 0 размерности группы автоморфизмов аналитической гиперповерхности,// Изв.АН, сер.кат.,1979,т.43, N 2, 0.243-266.

[46] Белошапка В.К., А.Г.Витушкин, Оценки радиуса сходимости степенных рядов, задающих отображения аналитических гиперповерхностей,// Изв.АН, сер.мат., 1981, т.45, N 5, С.962-984.

[47] Белошапка В.К., Пример непродолжаемого голоморфного преобразования аналитической гиперповерхности,// Мат.заметки, 1982, т.32, N I, 0. I2I-I23.

[48] Белошапка В.К., Преобразования вещественно аналитической поверхности,// Труды всесоюзной школы молодых ученых "Комплексные методы в математической физике", Донецк,1984

[49] Белошапка В.К., Конечномерность группы автоморфизмов ве-

- 17 -

шественно аналитической поверхности, // Иэв.АН СССР, сер.мат., 1988, т.52, N 2, С.437-442.

[50] Белошапка В.К., Лобода A.B., Автоморфизмы вещественно аналитических гиперповерхностей, // Труды всесоюзного симпозиума по теории аппроксимации в комплексной области, Уфа 1980, С.17-18. :

[51] Белошапка В.К., Теорема единственности для автоморфизмов невырожденной поверхности в комплексном пространстве, // Мат. заметки, 1990, т.4?, N 3, С.17-22.

[52] Белошапка В.К., О голоморфных преобразованиях квадрики,// Мат.сборник, 1991, N 2,

[53] Белошапка В.К., О построении нормальной формы уравнения поверхности высокой коразмерности, // Мат. заметки, 1990, т.48, N 2, С.3-9.