Оболочки голоморфности модельных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Коссовский, Илья Григорьевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 517 55
Коссовский Илья Григорьевич
ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ МОДЕЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Специальность 01 01 01 - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2007
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова
Научный руководитель
доктор физико-математических наук профессор
Белошапка Валерий Константинович
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук профессор
Лобода Александр Васильевич,
Ведущая организация
доктор физико-математических наук с н с Щепин Евгений Витальевич
Нижегородский государственный университет им Н И Лобачевского
Защита состоится " 19 " октября 2007 г в 16 час 15 мин на заседании диссертационного совета Д 50100185 в Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан " 19 " сентября 2007 г
Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, доктор физико - математических наук, профессор
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Одним из основных объектов рассмотрения современного многомерного комплексного анализа являются вещественные подмногообразия комплексного пространства Самая маломерная ситуация, когда они возникают - это ситуация кривой в С1 Наличие такого объекта иллюстрирует более богатую, по сравнению с вещественной прямой, геометрию комплексной плоскости Это обстоятельство во многом явилось основой для построения одной из красивейших и важнейших математических теорий - теории функций одного комплексного переменного, которая вся, в определенном смысле, является следствием одного факта - теоремы Коши об интеграле по контуру Теория функций многих комплексных переменных, в свою очередь, коренным образом отличается от теории функций одного комплексного переменного, как по методам исследования, так и по самой постановке задач, и причиной этого является именно более богатая геометрия пространств С" при п > 1 по сравнению с геометрией С1, в частности - наличие большого количества подмногообразий, как вещественных, так и комплексных, крайне разнообразных по своим топологическим свойствам и по своей комплексной дифференциальной геометрии Такое разнообразие объектов, населяющих комплексное пространство, обуславливает совершенно новые интересные свойства аналитических функций на таком пространстве К примеру, наличие аналитических дисков приводит к эффекту обязательного аналитического продолжения1, наличие гиперповерхностей с различными СД-структурами2 приводит к эффекту голоморфной неэквивалентности двух почти любых топологически тривиальных областей 3, наличие аналитических подмножеств положительной размерности делает невозможным существование изолированных нулей голоморфных функций 1
Вещественные подмногообразия комплексного пространства возникают в многомерном комплексном анализе самым естественным
1ШабатБ В Введение в комплексный анализ, Изд "Наука" 1976 Т 2
2ChernS , Mozer J Real hypersurfaces m complex manifolds, Acta Math 1974 133 №34 P 219-271
3Burns D , Shmder S , Wells R Deformations of strictly-pseudoconvex domains, Invent Math 1978 V 46 № 3 P 199-217
образом, прежде всего - как топологические границы областей в CN Такие многообразия - вещественные гиперповерхности в CN - впервые изучались еще Пуанкаре4 для случая N — 2 Ему принадлежит ряд результатов о классификации гиперповерхностей и о строении группы их голоморфных симметрии Кроме того, гиперповерхности играют исключительно важную роль при изучении голоморфных функций и отображений в самой ограниченной ими области Имеется ряд формул, аналогичных интегральной формуле Коши в одном переменном, выражающих значения аналитической функции в области через ее граничные значения 5 Имеется также ряд результатов (К Фефферман 6, С Пинчук7, А Витушкин8) о продолжении биголоморфных отображний между областями на границы областей и в окрестности их замыканий, что сводит проблему голоморфной эквивалентности таких областей к проблеме голоморфной эквивалентности их границ Эти результаты, вкупе со стремлением изучить вещественные гиперповерхности с дифференциально-геометрической точки зрения (НТанака9, С Черн и Д Мозер10), послужили источником большого числа работ по геометрии гиперповерхностей и проблемам их классификации
Вещественные подмногообразия более высокой коразмерности возникают в многомерном комплексном анализе, прежде всего, как остовы (Шиловские границы) областей и как орбиты действия вещественных групп Ли в CN Например, остов полидиска в CN - это N-мерный тор, а остов области Зигеля 2-го рода11 в Сп+к - это вещественная квадрика коразмерности к Также квадрики возникают как орбиты
4PoincareH Les fonctions analytiques de deux variables et la representation conforme, Rend Cire Mat Palermo 1907 23 P185-220
5Шабат Б В Введение в комплексный анализ, Изд "Наука" 1976 Т2
6FeffermanC Bergman Kernel and biholomorphic mappings of pseudo-convex domains, Invent Math 1974 V 26 №1 P 1-65
7ПинчукСИ Об аналитических продолжениях голоморфных отображений, Мат Сб 1975 Т 98№ЗС 416-435
8Витушкин А Г Вещественно-аналитические гиперповерхности комплексных многообразий, Успехи мат наук 1985 Т 40 №2 С 3-31
9TanakaN On generilized graded Lie algebras and geometric structures, Math Soc Japan 1967 19 №2 P 215-264
10ChernS ,Mozer J Real hypersurfaces m complex manifolds, Acta Math 1974 133 №34 P 219-271
пПятецкий-ШапироИ И Геометрия классических областей и теория автоморфных функций // M Физматгиз, 1961
действия в Сп+к вещественных групп Ли, являющихся многомерными аналогами группы Гейзенберга Именно подмногообразиям высокой коразмерности посвящена настоящая диссертация
Впервые тематика, послужившая основой для данного исследования, была затронута в вышеупомянутой работе Пуанкаре Основной объект рассмотрения в этой работе - росток трехмерного многообразия в С2 Изучался вопрос о биголоморфной эквивалентности двух таких ростков, о возможном строении локальной группы голоморфных автоморфизмов ростка и о поиске ростка с самой богатой группой автоморфизмов в классе невырожденных ростков Таким ростком оказался росток трехмерной сферы, причем группа голоморфных автоморфизмов этого ростка совпала с группой автоморфизмов сферы Сфера выступила, таким образом, в качестве своего рода модельного многообразия в классе многообразий рассмотренного вида Работа Пуанкаре послужила одним из основных идейных источников в локальной теории вещественных подмногообразий комплексного пространства, в частности, задача о нахождении "хорошей" модельной поверхности получила свое дальнейшее естественное обобщение Чтобы описать соответствующую конструкцию, введем несколько важных определений
Если в пространстве См дан росток М гладкого порождающего СВ.-многообразия с центром в точке р, то типом ростка будем называть пару чисел (п, к), где п - размерность комплексной касательной плоскости к М в точке р, а к - вещественная коразмерность М При этом п + к = N - размерности объемлющего пространства Будем называть порождающее С К- многообразие М многообразием конечного типа, если линейное пространство, порожденное комплексной касательной плоскостью в точке р € М, а также значениями в точке р всевозможных (кратных) скобок Ли векторных полей на многообразии, значения которых в каждой точке принадлежат комплексной касательной плоскости, совпадает со всем касательным пространством к М в точке р для всех точек р е М (многообразия конечного типа - это ровно те, для которых конечна длина их алгебры Леви-Танаки12) В частности, если число скобочных итераций в предыдущем определении - алгебраически минимально возможное для многообразия данного типа, то такое многобразие называется
12Чирка Е М Введение в геометрию СД-многообразий, Успехи мат наук 1991 Т 46 №1 С 81-164
вполне невырожденным13 Полная невырожденность многообразия - условие общего положения В приведенных терминах класс модельных многообразий, введенный В Белошапкой14, можно описать как некоторый специальный класс вещественных алгебраических вполне невырожденных СЯ-многообразий, ростки которых в определенном смысле аппроксимируют всякий другой вполне невырожденный росток и которые обладают набором свойств "хорошей модельной поверхности", в том же смысле, в котором трехмерная сфера, согласно Пуанкаре, явилась "хорошей модельной поверхностью" для класса вполне невырожденных гиперповерхностей в С2
Структура уравнений, задающих модельные многообразия (или, более коротко, модели) данного типа (п, к), определяется типом таких многообразий, более точно - соотношениями между числами п и к Так, при 1 < к < п2 в качестве модельных многообразий выступают квадрики15 - алгебраические поверхности, заданные в пространстве Сп+к уравнениями
1т IV = {г, г),
где г € Сп,го 6 С*, а (г, г) - набор из к эрмитовых форм Полная невырожденность квадрики означает линейную независимость этих форм и отсутствие у них общего ядра Длина алгебры Леви-Танаки для квадрик равна 2 Важно отметить, что (1,1)-квадрика - первый по размерности пример модельного многообразия - биголоморфно эквивалентна трехмерной сфере При п2 < к < п2(п + 2) модельными многообразиями служат кубики16 - алгебраические многообразия с алгеброй Леви-Танаки длины 3, заданные в пространстве Сп+п +"\ 1 < т < п2(п + 1) уравнениями
Г 1тго2 = {г, г)
\ 1т гу3 = 211е Ф(г, г, г)
13ВелошапкаВ К Универсальная модель вещественного подмногообразия, Матем заметки 2004 Т 75 №4 С 507-522
14ВелошапкаВ К Универсальная модель вещественного подмногообразия,
Матем заметки 2004 Т 75 №4 С 507-522
16БелошапкаВ К Вещественные подмногообразия комплексного пространства их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи матем наук 2002 Т 57 № 1 С 3-44
16БелошапкаВ К Кубическая модель вещественного многообразия, Матем заметки 2001 Т 70 №4 С 503-519
где Ф - набор из т однородных кубических многочленов бистепени (2,1), линейно независимых над М и симметричных по первым двум аргументам (размерность пространства таких многочленов равна п2(п + 1)), а (г, г) - набор из п2 линейно независимых эрмитовых форм (набор таких форм, в силу того, что последние образуют базис п2- мерного пространства эрмитовых форм, можно считать фиксированным с точностью до вещественно-линейной замены по ю2) Случаю п2(п + 2) < к < п2(п + 2) + п2(п + 1)(7п + 11)/12 соответствуют модельные многообразия порядка четыре17 (вообще, порядком модельного многообразия называется старший из весов многочленов, входящих в уравнения модели, веса всегда назначаются по следующему правилу- [г] = 1, [ш,] = у, порядок модельного многообразия всегда совпадает с длиной его алгебры Леви-Танаки) Уравнения таких моделей записываются следующим образом
1т ш2 = {х^) 1т ю3 = 2Яе (г, г, г)
1т шА — 2Яе г, г, г) + (г, г, г, г))
где (г, ~г) - набор из п2 линейно независимых эрмитовых форм,{г, г, г) - набор из п2(п + 1) линейно независимых однородных кубических многочленов бистепени (2,1), симметричных по первым двум аргументам, -Р22(.г, г, г, г) и г, г, г) - наборы из к — п2(п + 2)
однородных многочленов бистепеней (2,2) и (3,1) соответственно (^2 симметричен по первым двум и последним двум аргументам, Т7^ по первым трем аргументам), суммы которых образуют вектор-функцию с линейно независимыми компонентами Более длинным алгебрам Леви-Танаки соответствуют модели более высоких порядков18
Модельные многообразия обладают набором свойств "хорошей" модельной поверхности Перечислим их18
1 Универсальность Ростку всякого вполне невырожденного многообразия типа (п,к) можно поставить в соответствие некоторое модельное многообразие (называемое касательной моделью ростка), уравнения которого в известном смысле аппроксимируют уравнения ростка
17БелошапкаВ К Полиномиальные модели вещественных многообразий, Изв РАН СерМатем 2001 Т 65 №4 С 3-20
18Белошапка В К Универсальная модель вещественного подмногообразия, Матем заметки 2004 Т 75 №4. С 507-522
2 Конечномерность Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов модельного многообразия - это конечномерная алгебра Ли, группа голоморфных автоморфизмов модельного многообразия - это конечномерная группа Ли
3 Однородность Всякое модельное многообразие является голоморфно однородным, однородность обеспечивается полиномиально-треугольными преобразованиями
4 Лолиномиалъностъ алгебры Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов модельного многообразия - это некоторая алгебра полиномиальных векторных полей, степени коэффициентов которых не превосходят константы, зависящей лишь от порядка многообразия.
5 Рациональность группы Локальная группа голоморфных автоморфизмов ростка модельного многообразия совпадает с конечномерной группой Ли голоморфных автоморфизмов модели, причем последняя представляет собой подгруппу группы бирациональных преобразований Сг+А:, для которых степени числителя и знаменателя ограничены некоторой константой (зависящей лишь от порядка модели)
6 Симметричность Размерность локальной группы голоморфных автоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка не превосходит размерности группы голоморфных автоморфизмов его касательного модельного многообразия, более того, стабилизатор центра ростка вкладывается как подгруппа Ли в стабилизатор начала координат в группе голоморфных автоморфизмов модельного многообразия, алгебра инфинитезимальных автоморфизмов модельного многообразия параметризует семейство биголоморфных отображений одного вполне невырожденного ростка в другой
7 Биголоморфная инвариантность Если два ростка биголоморфно эквивалентны, то эквивалентны и их касательные модельные многообразия, если два модельных многообразия биголоморфно эквивалентны, то они эквивалентны и линейно
8 Групповая структура Модельное многообразие обладает естественной структурой группы Ли
С модельными многообразиями связано множество различных задач задача о классификации моделей заданного типа, задача о вычислении алгебры автоморфизмов модели или о возможных оценках на размерность этой алгебры, задача о построении системы
биголоморфных инвариантов вполне невырожденного ростка, связанных с его модельным многообразием; задача о распостранении свойства симметричности модельных многообразий на более широкий, по сравнению с классом вполне невырожденных, класс ростков, задача о структуре и свойствах пространства модулей модельных многообразий данного типа и множество других задач19 В частности, представляет интерес решение следующих двух малоисследованных задач задачи о структуре оболочек голоморфности моделей высших порядков (те моделей порядка, большего двух) и задачи о жесткости таких моделей Первая задача была поставлена В Белошапкой в его обзорной работе по модельным многообразиям19 Поводом для этой задачи послужили следующие соображения Как показал ИНаруки20, оболочка голоморфности невырожденной квадрики представляет собой следующую область
{(z,w) е Cn+k lmw - {z,z) е ^},гдеУ = mt(conv{(z,2)}),
причем конус V всегда непустой При этом, если квадрика положительно определена (т е существует положительно определенная линейная комбинация компонент формы (z,z)), то оболочка голоморфности квадрики будет представлять собой в подходящей системе координат область Зигеля второго рода, отнесенную к конусу V и эрмитовой вектор-форме (z,z) Такая область всегда будет областью ограниченного вида (те областью, биголоморфно эквивалентной ограниченной) Голоморфная однородность этой области определяется аффинной однородностью конуса V Если же квадрика, напротив, является знаконеопределенной (те не существует положительно определенной линейной комбинации компонент формы (z,z)), то оболочка голоморфности квадрики в подходящей системе координат будет цилиндрической по части переменных областью Такая область в силу того, что содержит комплексные прямые, не будет областью ограниченного вида Про однородность этой цилиндрической области ничего определенного сказать нельзя
19БелошапкаВ К Вещественные подмногообразия комплексного пространства их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи матем наук 2002 Т 57 № 1 С 3-44
20NarukiI Holomorphic extention problem for standart real submamdolds of second kind, Publ Res Inst Math Sei 1970 V 6 № 1 P 113-187
В связи с этим интересен следующий вопрос что будут собой представлять оболочки голоморфности модельных многообразий более высокого порядка? Какие оболочки голоморфности окажутся цилиндрическими (соответственно, слоящимися на комплексные прямые), а какие нет? Дадут ли нецилиндрические оболочки голоморфности интересные примеры ограниченных (ограниченного вида) и (или) однородных областей?
Задача о жесткости моделей высших порядков состоит в следующем. Алгебра д инфинитезимальных автоморфизмов всякого модельного многообразия с помощью введения специальной градуировки приобретает вид
9 = 9- + So + 9+
При этом алгебре при экспоненциальном отображении соответствует группа полиномиально-треугольных автоморфизмов многообразия, обеспечивающих его однородность, алгебре д0 соответствует группа линейных автоморфизмов многообразия, сохраняющих начало координат, а алгебре д+ соответствует группа нелинейных автоморфизмов многообразия, сохраняющих начало координат Если алгебра д+ и соответствующая ей группа тривиальны, то модель называется жесткой Среди квадрик имеется множество примеров как жестких, так и нежестких моделей21 Что касается моделей высших порядков, то, несмотря на множество усилий в этом направлении, до сих пор не обнаружено модельных многообразий с нетривиальной группой нелинейных автоморфизмов, сохраняющих начало координат, т е все изученные модели оказывались жесткими (см, например, работы В Белошапки22, А Рябоненко23, Е Шананиной24) В связи с этим возникла гипотеза о жесткости всех моделей высших порядков
21БелошапкаВ К Вещественные подмногообразия комплексного пространства их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи матем наук 2002 Т 57 №1 С 3-44
22Beloshapka V СR-varieties of the type (1,2) as varieties of "super-high" eodimension, Russian Journal of Mathematical Physics 1997 V 5№3 P 399-404
23РябоненкоА О жесткости кубики типа (n,n2 + 1) // Дипл раб мех-мат фак МГУ им М В Ломономова 2001
24ШананинаЕН Полиномиальные модели вещественно - аналитических многообразий и алгебры их автоморфизмов, дисс на соискание ученной степени канд физ -мат наук мех -мат фак МГУ им М В Ломоносова 2006
Цель работы
Целью работы является исследование структуры оболочек голоморфности модельных многообразий высших порядков, а также вопроса об их голоморфной жесткости
Методы исследования
В диссертации используется аппарат теории функций одной и нескольких комплексных переменных, групп и алгебр Ли, функционального анализа, дифференциальной геометрии
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми. Получены следующие основные результаты
1 Исследовано строение оболочек голоморфности произвольных кубик, двух классов модельных многообразий порядка четыре, а также одного специального модельного многообразия порядка четыре, при исследовании оболочки голоморфности этого многообразия получено семейство восьмимерных голоморфно однородных вполне невырожденных несферических многообразий в С5
2 Доказана голоморфная жесткость произвольных кубик, а также одного класса модельных многообразий порядка четыре
Теоретическая и практическая ценность
Работа имеет теоретический характер Ее результаты могут быть использованы специалистами по многомерному комплексному анализу и дифференциальной геометрии, работающими в МГУ им М В Ломоносова, МИРАН им В А Стеклова, ВГАСУ, ИНГУ им Н И Лобачевского
Апробация работы
Результаты работы неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре им академика А Г Витушкина по
многомерному комплексному анализу в МГУ (Москва, 2004 - 2007 г), на конференции памяти академика А.ГВитушкина в МИРАН (Москва, 2005 г.), на конференции памяти академика А Ф Леонтьева (Уфа, 2007 г)
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы, и списка литературы Общий объем текста - 108 страниц Список литературы содержит 37 наименований
Содержание работы
Во введении продемонстрирована актуальность темы настоящего исследования, проведен обзор работ, близких к теме диссертации, введены основные понятия и кратко изложены основные результаты диссертации
Первая глава посвящена модельным многообразиям с цилиндрическими оболочками голоморфности и присущему им феномену жесткости Важно отметить, что жесткость во всех рассмотренных случаях явилась следствием результата о строении оболочек голоморфности многообразий рассматриваемых классов
Все оболочки голоморфности в этой и последующей главах строятся с помощью технологии аналитических дисков25 Специфическим для главы 1 является использование при доказательстве цилиндричности оболочек голоморфности теоремы Туманова26 о продолжимости в клин СД-функций, заданных на порождающем многообразии конечного типа В разделе 1 1 строится оболочка голоморфности произвольной невырожденной кубики Доказывается, что оболочка голоморфности
25ШабатБ В Введение в комплексный анализ, Изд "Наука" 1976 Т 2
26Туманов А Е Продолжение СД-функций в клин с многообразия конечного типа, Матем сб 1990 Т 181 №7 С 951-964
выглядит одинаково для всех кубик данного типа (п, к) и описывается следующим образом Выберем в пространстве Сп+к, к — п2 + т базис таким образом, чтобы набор эрмитовых форм (г, г) принял вид
(г,г)м = ПегрЦ,р > д, = 1хагрЩ,р < д, р,д <Е 17п
(возможность такого выбора объясняется тем, что приведенные формы образуют базис пространства эрмитовых форм) Введем также матрицу Зт1¥2, составленную по координатам пространства <Сп+к следующим образом
ЗтИ^ = 1тгу^'р), = 1т+ г1тги(2д'р),р > д,
ЗтИ^ = 1т - г1тт^'р\р < д,
а также столбец 2" с компонентами ,гп Обозначив через Z* строку (гГ, , первую часть уравнений кубики можно записать в следующем матричном виде
Зт\У2 = 2 г*
Отметим, что построенное отображение 1т —> ЗтИ^ есть линейный изоморфизм пространства К"2 (или пространства вещественных п х п матриц) и пространства эрмитовых п х п матриц В частности, так называемой верхней матричной полуплоскости ЗтИ^ >> 0 при этом изоморфизме будет соответствовать острый конус V в пространстве М"
В таких обозначениях оболочка голоморфности произвольной кубики М будет выглядеть так
М = {(*, ги2,ги3) € Сп+"2+т ЛтИ'г » 6 Ст}
(подразумевается матричное неравенство) и представляет из себя, таким образом, цилиндрическую по г«з область, основанием которой служит область Зигеля 2-го рода в пространстве переменных г, Отметим, что для "малой" кубики - кубики типа (1,2) - этот результат был получен ранее группой авторов27 посредством явного предъявления семейства аналитических дисков, подклеенных к кубике Доказательство теоремы в общем случае требует более сложных рассуждений
Раздел 12 посвящен доказательству жесткости произвольной невырожденной кубики Доказательство основывается на результате
27БелошапкаВ К , Ежов В В ,ШмальдГ Голоморфная классификация четырехмерных поверхностей в С3, Изв РАН Сер мат 2007 (в печати)
предыдущего раздела и на важном результате Р Гаммеля о строении алгебры инфинитезимальных автоморфизмов кубики28, который утверждает, что критерием тривиальности положительно градуированной компоненты алгебры является тривиальность ее компоненты веса 1 Отметим, что аналогичный результат был доказан Н Палинчак для квадрик29 Как следствие, получается улучшенная, по сравнению с ранее известной30, оценка на размерность локальной группы голоморфных автоморфизмов произвольного вполне невырожденного ростка типа (п,к),п2 < к < п2(п + 2) Феномен жесткости произвольной модели порядка, следующего за двойкой, послужил серьезным подтверждением гипотезы о жесткости моделей высших порядков
Раздел 1 3 посвящен построению оболочки голоморфности модели четвертого порядка с отражением Модельное многообразие порядка четыре называется моделью с отражением, если все многочлены старшего веса в уравнении модели имеют фиксированную бистепень (3,1) по г, ~х Это название обусловлено наличием у таких многообразий специального линейного автоморфизма типа отражения
г —> гг, гоа —► —>■ ги4 —> — го4,
где и - матрица, которая находится из уравнения
= 1т и = О
Уравнения страшего веса для такой модели имеют вид
= (1)
Основное содержание этого раздела составляет следующая теорема оболочка голоморфности произвольного многообразия четвертого порядка с отражением представляет собой область, вид которой определяется лишь типом (п, к) многообразия и которая выглядит так
М = {(г,иъ,гу3>и/4) е >> 22*> € С*-"2}
28ГаммельРВ ,КоссовскийИ Г Оболочка голоморфности модельной поверхности степени три и феномен "жесткости", Труды Мат инст им В А Стеклова 2006 Т 253 С 30-45
29ПалинчакН Ф О с-жестких квадриках, Деп в ВИНИТИ РАН 10 04 95, №973-В95
30Белошапка В К Кубическая модель вещественного многообразия, Матем заметки 2001 Т 70 №4 С 503-519
и представляет из себя, таким образом, цилиндрическую по адз, ю4 область, основанием которой служит область Зигеля 2-го рода в пространстве переменных г, гиг (все обозначения - такие же, как в разделе 1 1) То, что добавление к уравнениям последней кубики произвольных уравнений вида (1), которые имеют четную (четвертую) степень, не меняет структуру оболочки голоморфности многообразия -факт весьма примечательный
В разделе 14 результат о строении оболочки голоморфности модели четвертого порядка с отражением применяется, как это произошло и в случае кубики, к доказательству жесткости модели Как следствие, опять же, получается улучшенная, по сравнению с имевшейся ранее31, оценка для размерности локальной группы голоморфных автоморфизмов вполне невырожденного ростка с касательной моделью с отражением Таким образом, модели четвертого порядка с отражением -еще один важный класс многообразий, для которых феномен жесткости имеет место
Рассмотренные в главе 1 модельные многообразия дали пример модельных многообразий, оболочка голоморфности которых является голоморфно однородной областью, но не является областью ограниченного вида
Вторая глава посвящена оболочкам голоморфности модельных многообразий типа (1,4) Эти модельные многообразия подробно изучены Е Шананиной32 Всякое такое многообразие - это модельное многообразие порядка 4 в С5, которое линейной заменой координат приводится к следующему виду
1т.Ю2 = |.г|2
1т -Шз =
1тгоз = 1т г2 г
1ти>4 = \г]А + аКег3г,
г, ги3, и>з 6 С, а > 0 , либо к виду
31БелошапкаВ К Полиномиальные модели вещественных многообразий, Изв РАН Сер Матем 2001 Т 65 №4 С 3-20
32Шананина Е Н Полиномиальные модели вещественно - аналитических многообразий и алгебры их автоморфизмов, дисс на соискание ученной степени канд физ -мат наук мех -мат фак МГУ им М В Ломоносова 2006
1тг«2 = \г\2 1т 'ш3 = 11е г2 г 1т ь/3 = 1т г2 г 1т ги4 = Ые
г, и>'3 6 С (модель с отражением)
В разделе 2 1 изучается оболочка голоморфности модели типа (1,4), для которой а — 0 Такая модель называется 51 - симметричной благодаря присущему ей специальному действию окружности 5°
2 —» ег,рг, ъи2 —> ю2, юз —> г^з соэ <р — и)'3 эт у?, —» г«з Вт у + я^з сое ги4 —> и>4, 6 М
Благодаря наличию этой подгруппы в группе голоморфных автоморфизмов модели размерность группы 5'1 - симметричного многообразия равняется 8, в то время как для всех остальных -7
В данном разделе показывается, что рассматриваемое многообразие <Зо является первым известным модельным многообразием высшего порядка, для которого оболочка голоморфности представляет собой область Оа ограниченного вида, остов (Шиловская граница) которой совпадает с исходным многообразием, так же, как это происходит в случае положительно определенной квадрики При этом область В0 выглядит следующим образом
А) = {2(г>3 - у2Яег)2 + 2(у'3 - ь21тг)2 < {и2 - Н2)(<>4 - ь2 > |г|2}
Здесь и2 = 1ти>2, г>з = 1т ги3, ь'3 — 1тгУз,г>4 = Гтгсд Доказывается, более того, что область Дз может быть реализована как комплексная гиперповерхность области Зигеля второго рода в С6 Перечисленные свойства позволяют считать многообразие <Эо ближайшим аналогом положительно определенных квадрик среди многообразий высокой коразмерности
В разделе 2 2 изучаются далынейшие свойства области Д> Доказывается, что вопрос о голоморфной однородности В0 решается отрицательно и что, более того, группа голоморфных автоморфизмов П0 совпадает с группой автоморфизмов <2о Последняя имеет размерность 8, ввиду чего не может обеспечить однородности О0 и порождает слоение
Dq на орбиты коразмерностей > 2 Эти орбиты будут представлять собой, по определению, голоморфно однородные поверхности в С5 Ранее голоморфно однородные многообразия изучались и классифицировались в ситуациях гиперповерхностей в С2 и С3 в работах Э Картана33, АЛободы34, ДФелса и В Kayna35 Примечательно, что все эти многообразия возникали как линии уровня элементарных; функций В данном разделе доказывается, что в нашем случае возникшие многообразия будут иметь размерности 8 (орбиты общего положения) и 7(особые орбиты) Все орбиты, кроме одной семимерной, будут представлять собой вполне невырожденные многообразия, заданные полиномиальными уравнениями Их касательными моделями будут квадрики типа (3,2) для восьмимерных и (2,3) для семимерных Доказывается, более того, что восьмимерные орбиты общего положения будут несферичны (те локально биголоморфно неэквивалентны своей модельной поверхности)
Объединяя результаты главы 1, раздела 2 1 и результат И Наруки36 об оболочках квадрик, можно сформулировать предположение о том, что вид оболочки голоморфности модельного многообразия определяется тем, какой вид имеют многочлены старшего веса в уравнениях модели Если эти многочлены являются в известном смысле положительно определенными или если последние в некотором смысле "превалируют" над знаконеопределенными, то оболочка будет областью ограниченного вида, как это происходит в случае положительно определенных квадрик и 51-симметричной поверхности Q0, а если "превалируют" знаконеопределенные, то оболочка будет цилиндрической областью, как это имеет место для знаконеопределенных квадрик, произвольных кубик и моделей порядка 4 с отражением
В разделе 2 3 рассматриваются модельные многообразия, для которых высказанное предположение в известном смысле подтверждается Изучаются оболочки голоморфности моделей
33CartanE Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes, Ann Math Pura Appl (4) 1932 VHP 17-90
34ЛободаА В Однородные вещественные гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии, Труды МИАН 2001 Т 235 С 114-142
35Fels G , Каир W СД-Mamfolds of dimension 5 Lie algebra approach, ArXiv math DS/0508011V 1 1 Aug 2005
36NarukiI Holomorphic extention problem for standart real submamdolds of second kind, Publ Res Inst Math Sei 1970 V 6 №1 P 113-187
типа (1,4) общего вида, те моделей, не являющихся ни моделью с отражением, ни ¿^-симметричной моделью (для первой оболочка построена в разделе 13, для последней в разделе 2 1) Такие многообразия a priori нельзя отнести ни к положительно определенным, ни к знаконеопределенным, поскольку в уравнении старшего веса присутствует как положительно определенное (в естественном смысле) слагаемое \z\4, так и знаконеопределенное (в естественном смысле) Re z3z, и вид оболочки голоморфности в действительности определяется тем, какое слагаемое "превалирует", те нужно выяснить - насколько большим должен стать параметр а для того, чтобы оболочка перестала быть областью ограниченного вида (что, как мы знаем, происходит при а = 0) и стала цилиндрической областью
В данном разделе дается существенная часть ответа на этот вопрос Для каждой (1,4)-модели общего вида строится голоморфное расширение Da - область, заданная неравенствами
(2 + а)(г* - v2Rez)2 + (2- а){у'г - v2lmz)2 < {щ ~~ N2)(y4 ~~ v2 ~~ oiv^Re+ av'3lm z), v2 > \z\2
(обозначения взяты из раздела 2 1)
Доказывается, что при а > 2 область Da расширяется голоморфно до цилиндрической по ги3, w'3> W4 области того же вида, что и область из раздела 1 3 Последняя и представляет собой оболочку голоморфности рассматриваемых моделей Доказывается также однолистность оболочек голоморфности (1,4)-моделей при а € (0,2], для а = 2 доказывается, что оболочка не будет областью ограниченного вида Вопрос о структуре оболочек голоморфности многообразий Qa при 0 < а < 2 открыт
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В К Белошапке за постановку задач, ценные указания и постоянное внимание к данной работе
Список работ автора по теме диссертации
[1] Гаммель Р В , Коссовский И Г Оболочка голоморфности модельной поверхности степени три и феномен "жесткости", Труды Мат инст им В А Стеклова 2006 Т 253 С 30-45
Р В Гаммелем доказано, что критерием голоморфной жесткости кубической модельной поверхности является тривиальность компоненты веса 1 в алгебре инфинитезималъных автоморфизмов поверхности, И Г Коссовским построена оболочка голоморфности произвольной кубической модельной поверхности и доказана ее голоморфная жесткость
[2] Коссовский ИГ Об оболочках голоморфности модельных многообразий // Изв РАН Сер Мат 2007 Т71 №3 С 113-140
[3] Коссовский И Г Оболочка голоморфности модельной поверхности типа (1,4)// Деп в ВИНИТИ РАН 13 04 07 №421-В 2007
[4] Коссовский И Г Оболочки голоморфности модельных многообразий // Тезисы докладов Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти акад А Ф Леонтьева, Уфа, 01 06 2007 - 05 06 2007 Т 2 С 23-24
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать /09 О?
Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л 4, 0
Тираж !00 экз Заказ 3$
Введение.
Глава
Модельные многообразия с цилиндрическими оболочками голоморфности и феномен жесткости.
1.1 Построение оболочки голоморфности кубики.
1.2 Феномен жесткости для кубик.
1.3 Оболочки голоморфности модельных многообразий порядка 4 с отражением.
1.4 Феномен жесткости моделей порядка 4 с отражением.
Глава
Оболочки голоморфности модельных многообразий типа (1,4).
2.1 Оболочка голоморфности S1 - симметричиой модели типа (1,4) —
2.2 Группа автоморфизмов области Ц> и однородные многообразия
2.3 Оболочки голоморфности моделей типа (1,4) общего вида.
Одним из основных объектов рассмотрения современного многомерного комплексного аиализа являются вещественные подмногообразия комплексного пространства. Самая маломерная ситуация, когда оии возникают - это ситуация кривой в С1. Наличие такого объекта иллюстрирует более богатую, по сравнению с вещественной прямой, геометрию комплексной плоскости. Это обстоятельство во многом явилось основой для построения одной из красивейших и важнейших математических теорий - теории функций одного комплексного переменного, которая вся, в определенном смысле, является следствием одного факта - теоремы Коши об интеграле по контуру. Теория функций многих комплексных переменных, в свою очередь, коренным образом отличается от теории функций одного комплексного переменного, как по методам исследования, так и по самой постановке задач, и причиной этого является именно более богатая геометрия пространств С" при п > 1 по сравнению с геометрией С1, в частности - наличие большого количества подмногообразий, как вещественных, так и комплексных, крайне разнообразных по своим топологическим свойствам и по своей комплексной дифференциальной геометрии. Такое разнообразие объектов, населяющих комплексное пространство, обуславливает совершенно новые интересные свойства аналитических функций на таком пространстве. К примеру, наличие аналитических дисков приводит к эффекту обязательного аналитического продолжения [23]; наличие гиперповерхностей с различными СЯ-структурами приводит к эффекту голоморфной неэквивалентности двух почти любых топологически тривиальных областей [31], [29]; наличие аналитических подмножеств положительной размерности делает невозможным существование изолированных нулей голоморфных функций [23].
Вещественные подмногообразия комплексного пространства возникают в многомерном комплексном анализе самым естественным образом, прежде всего - как топологические границы областей в С^. Такие многообразия - вещественные гиперповерхности в CN - впервые изучались еще Пуанкаре [36] для случая N = 2. Ему принадлежит ряд результатов о классификации гиперповерхностей и о строении группы их голоморфных симметрии. Кроме того, гиперповерхности играют исключительно важную роль при изучении голоморфных функций и отображений в самой ограниченной ими области. Имеется ряд формул, аналогичных интегральной формуле Коши в одном переменном, выражающих значения аналитической функции в области через ее граничные значения [23]. Имеется также ряд результатов (см., например, работы Феффермана[32], Пипчука[17], Витушкина[7]) о продолжении биголоморфных отображпий между областями на границы областей и в окрестности их замыкаиий, что сводит проблему голоморфной эквивалентности таких областей к проблеме голоморфной эквивалентности их границ. Эти результаты, вкупе со стремлением изучить вещественные гиперповерхности с дифференциально-геометрической точки зрения (см., например, работы Таиаки [37], Черна и Мозера[31]), послужили источником большого числа работ по геометрии гиперповерхностей и проблемам их классификации.
Вещественные подмногообразия более высокой коразмерности возникают в многомерном комплексном анализе, прежде всего, как остовы (Шиловские границы) областей и как орбиты действия вещественных групп Ли в CN. Например, остов полидиска в - это N-мерный тор, а остов области Зигеля 2-го рода [18] в Сп+к - это вещественная квадрика коразмерности к. Также квадрики возникают как орбиты действия в Сп+к вещественных групп Ли, являющихся многомерными аналогами группы Гейзенберга (см.ниже). Именно подмногообразиям высокой коразмерности посвящена настоящая диссертация.
Впервые тематика, послужившая основой для данного исследования, была затронута в вышеупомянутой работе Пуанкаре. Основной объект рассмотрения в этой работе - росток трехмерного многообразия в С2. Изучался вопрос о биголоморфиой эквивалентности двух таких ростков, о возможном строении локальной группы голоморфных автоморфизмов ростка и о поиске ростка с самой богатой группой автоморфизмов в классе невырожденных ростков. Таким ростком оказался росток трехмерной сферы, причем группа голоморфных автоморфизмов этого ростка совпала с группой автоморфизмов сферы. Сфера выступила, таким образом, в качестве своего рода модельного многообразия в классе многообразий рассмотренного вида. Работа Пуанкаре послужила одним из основных идейных источников в локальной теории вещественных подмногообразий комплексного пространства, в частности, задача о нахождении "хорошей" модельной поверхности получила свое дальнейшее естественное обобщение. Чтобы описать соответствующую конструкцию, остановимся на ряде основополагающих понятий теории вещественных подмногообразий комплексного пространства.
Если гладкое вещественное многообразие М поместить в комплексное пространство
С*, то между гладкой структурой многообразия и комплексной структурой объемлющего пространства возникает определенное взаимодействие. Такое взаимодействие в каждой точке р характеризуется, прежде всего, понятием комплексной касательной плоскости к М в точке р. Комплексная касательная плоскость - это максимальное комплексное подпространство ТрМ С CN, вложенное в вещественное касательное пространство ТРМ. Ее размерность называется СR-размерностъю М, или комплексной размерностью. Если CR-размериость многообразия постоянна в каждой точке, то оно называется СR-многообразием. Типом СО-многообразия называется пара чисел (п, к), где к - вещественная коразмерность М, а п - Соразмерность М. Тип - это первый биголоморфный инвариант, который возникает в задаче о локальной биголоморфной эквивалентности двух СО-многообразий. СО-многообразие называется порождающим, если комплексная линейная оболочка его касательного пространства ТРМ в каждой точке совпадает со всем объемлющим пространством. Это условие означает, что п + к = N - размерности объемлющего пространства. Последнее можно охарактеризовать еще так: градиенты функций, условие обращение в нуль которых задает паше многообразие, должны быть линейно независимы над С. Условие того, что многообразие является порождающим, есть условие общего положения. Используя теорему о неявной функции, росток порождающего многообразия типа (п, к) можно после подходящей биголоморфной замены координат записать в следующей форме:
Imw = F(z,z,Rew), (1) где 2 е Сn,w 6 Ck,F - гладкое отображение окрестности начала координат в пространство Шк, F(0) = 0, dF(0) = 0. Такая форма записи определяющих уравнений ростка называется стандартной.
Если М - гиперповерхность, то нетрудно предъявить для ростка М биголоморфный инвариант па уровне 2-струи. Это - ранг так называемой формы Леей гиперповерхности [23], которую можно охарактеризовать как эрмитову форму с матрицей Fzz, если уравнение М записано в стандартной форме (1). Форму Леви можно также выразить в терминах коммутатора векторных полей со значениями в комплексной касательной плоскости [22]. Обобщение такого инварианта па многообразия произвольной коразмерности приводит к понятию алгебры Леви-Танаки многообразия, которая определяется так. Обозначим через L1 линейное пространство векторных полей, значения которых в каждой точке принадлежат комплексной касательной плоскости к многообразию. Индуктивно определим линейные пространства V как V = [Ll,lJ~l] -f > 2. Тогда алгебра Леви-Танаки - это бесконечномерная градуированная алгебра Ли ш = фа', где а' = L?/lJ~l, с бинарной операцией [X, Y] - скобкой Ли, или коммутатором векторных полей. Если для некоторого d G N пространство Ldp значений полей из Ld в точке р совпадает с ТРМ, то М называется многообразием конечного типа в точке р (см. [20]), а минимальное такое d называется длиной алгебры Леви-Танаки в данной точке р. С алгеброй Леви-Танаки связано множество биголоморфных инвариантов ростка, в частности, длина алгебры Леви-Танаки. Для гиперповерхности с невырожденной формой Леви эта длина равна 2. Более сложный инвариант - это тип многообразия по Блуму-Грэхэму [28]. В терминах типа по Блуму-Грэхэму можно охаректеризовать важный в дальнейшем для нас класс многообразий, а именно - класс вполне невырожденных многообразий[6]. Полная невырожденность - это условие на алгебру Леви-Танаки многообразия, заключающееся в том, что переход к каждой следующей градуированной компоненте а' алгебры дает максимально возможный рост размерности линейного пространства aj,. В частности, вполне невырожденные многообразия будут многообразиями конечного типа. Важно, что полная невырожденность - условие общего положения.
Другой важный объект в локальной теории вещественных подмногообразий комплексного пространства - это локальная группа голоморфных симметрии ростка. Чтобы определить ее, вводится понятие алгебры инфинитезимальных автоморфизмов ростка вещественного из себя алгебру Ли д ростков голоморфных векторных полей, касательных к данному многообразию М, т.е. полей вида где fj(z) - ростки голоморфных в окрестности точки р функций, с дополнительным условием касания многообразия М в каждой его точке. В качестве бинарной операции по-прежнему выступает скобка векторных полей. Образ алгебры д при экспоненциальном отображении будет представлять из себя подмножество G в группе Diffp(M) диффеоморфизмов ростка многообразия М, заданных в окрестности точки р, а в силу голоморфности - компонент векторных полей из д все диффеоморфизмы из G будут голоморфными преобразованиями. Если алгебра д конечномерна, то множество G, естественным образом наделенное структурой локальной группы Ли (см. [10], [15]), и называется локальной группой голоморфных автоморфизмов ростка. При этом все одпопараметрические группы преобразований, принадлежащие G, будут одномерными подгруппами Ли этой группы. Касательная алгебра группы G будет изоморфна д, соответственно, размерность группы G будет равна размерности алгебры д (исходя из этого свойства, про росток М с бесконечномерной алгеброй инфинитезимальных автоморфизмов говорят иногда, что М обладает бесконечномерной группой голоморфных автоморфизмов, подразумевая при этом бесконечпомерность алгебры д). Группа G обладает естественным действием на многообразии М. Стабилизатор центра ростка относительно этого действия называется группой стабильности ростка, или стабилизатором. Стабилизатор будет представлять из себя подгруппу Ли локальной группы Ли G. Его касательная алгебра будет изоморфна подалгебре алгебры д, состоящей подмногообразия М С С^ с центром в точке р. Последняя представляет из полей, обращающихся в нуль в центре ростка. Если рассматриваемое действие транзитивно, то многообразие М называется голоморфно однородным.
Перейдем теперь непосредственно к описанию понятия модельного многообразия. Это понятие было введено В.Белошапкой (см. [1]). Коротко говоря, модельные многообразия - это вполне невырожденные вещественные алгебраические многообразия, ростки которых в определенном смысле аппроксимируют всякий другой вполне невырожденный росток и которые обладают набором свойств "хорошей модельной поверхности", в том же смысле, в котором трехмерная сфера, согласно Пуанкаре, явилась "хорошей модельной поверхностью" для класса вполне невырожденных гиперповерхностей в С2.
Теперь перейдем к точным определениям. Пусть в Сп+к дан росток вещественно-аналитического порождающего вполне невырожденного CR-многообразия М типа (п,к), уравнения которого представлены в стандартной форме (1). Зафиксируем число d - длину алгебры Леви-Тапаки многообразия. Рассмотрим сперва случай d = 2. В этом случае модельная поверхность строится следующим образом. Разложим функцию F(z, z, Re w) в ряд Тейлора и каждой из переменных припишем вес: [z] = 1, [w] = 2. После этого (1) можно переписать в виде:
Im w = 2Re B(z, z) + (z, z) + 0(3), где (z,z) - набор из к эрмитовых форм, B(z,z) - набор из к квадратичных форм, а 0(3) - слагаемые веса, большего 2. Делая теперь полиномиальную замену координат, убирающую плюригармопические слагаемые, окончательно записываем уравнения ростка в виде: lmw = {z,z) + 0{3) (2)
Квадратичную поверхность lm w = (z,z) будем называть касательной квадрикой ростка вида (2). Типом квадрики называется тип соответствующего ростка. При этом условием полной невырожденности ростка является условие невырожденности касательной квадрики ростка, которое заключается в следующем: координатные формы (z, z)^ должны быть линейно независимы и не должны иметь общего ядра. Отметим, что условие линейной независимости может выполняться лишь в диапазоне коразмерностей 1 < к < п2 (ввиду того, что размерность вещественного лииейного пространства эрмитовых форм от п переменных равна п2), поэтому невырожденные квадрики могут существовать лишь в обозначенном диапазоне. Длина алгебры Леви-Танаки для невырожденной квадрики, также как и для ростка вида (2), равна 2. Перечислим основные свойства квадрик как "хороших" модельных многообразий (см. [1]):
1. Универсальность: Росток всякого вполне невырожденного многообразия типа (п, к) при к <п2 эквивалентен ростку вида (2).
2. Конечномерность: Группа голоморфных автоморфизмов квадрики общего положения - это конечномерная группа Ли; критерием конечномерности группы голоморфных автоморфизмов квадрики является ее невырожденность.
3. Однородность: Всякая квадрика является голоморфно однородной поверхностью, однородность обеспечивается афинными преобразованиями.
4. Полиномиальность алгебры: Алгебра ипфинитезимальных автоморфизмов квадрики - это некоторая алгебра полиномиальных векторных полей, степени коэффициентов которых не превосходят 2.
5. Рациональность группы: Локальная группа голоморфных автоморфизмов ростка невырожденной квадрики совпадает с конечномерной группой Ли голоморфных автоморфизмов квадрики, причем последняя представляет собой подгруппу группы бирациоиальных преобразований Сп+к, для которых степени числителя и знаменателя ограничены некоторой константой.
6. Симметричность: Размерность локальной группы голоморфных автоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка с условием к < п2 не превосходит размерности группы голоморфных автоморфизмов его касательной квадрики, более того, стабилизатор центра ростка вкладывается как подгруппа Ли в стабилизатор начала координат в группе квадрики [5]; алгебра иифииитезимальпых автоморфизмов квадрики параметризует семейство биголоморфных отображений одного невырожденного ростка в другой.
7. Биголоморфная инвариантность: Если два ростка биголоморфпо эквивалентны, то эквивалентны и их касательные квадрики; если две квадрики биголоморфпо эквивалентны, то они эквивалентны и линейно.
8. Групповая структура: Квадрика обладает естественной структурой группы Ли.
Отметим, что трехмерная сфера, выступавшая у Пуанкаре как модельная поверхность, обладает голоморфной реализацией типа квадрики: lm w = \z\2, где одна из точек сферы отправлена на бесконечность [23]. Ввиду этого, спектр свойств "хорошей" модельной поверхности позволяет рассматривать квадрику как некоторый аналог сферы в классе многообразий высокой коразмерности.
Остановимся подробнее на алгебраических свойствах квадрики. Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов квадрики - это градуированная алгебра Ли
9 = 9-2+9-1 +9o+9i +92- (3)
Градуировка вводится посредством назначения веса каждой переменной и каждому дифференцированию, а именно: [z] = 1, [w] = 2, = -1, = -2. Градуированные компоненты алгебры имеют следующий вид: где Л и р - матрицы размера пхпикхк соответственно, удовлетворяющие условию касания: 2Re(Az,z) = p(z,z)\ |2Re + A{z,z))^ i-2i(z,aw)~-g2= {2Re (B(z,w)^ + r(w,w)^y где A,B,r - билинейные вектор-формы, a - линейное отображение, заданные на пространствах соответствующих размерностей и удовлетворяющие условиям касания:
A(z,z),z) = 2i(z,a(z,z}}, Re(B(z,u),z) = r((z,z),u), Im (B(z, (z,z)),z} = 0, ueRk.
Алгебре g- = g~i + g~2 соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа G- группы G голоморфных автоморфизмов квадрики. Эта подгруппа обеспечивает голоморфную однородность квадрики посредством преобразований: z-* z+p, + 2i(z,p) + i(p,p) +q,pE Cn, q £ (4)
Эта группа представляет собой многомерный аналог группы Гейзеиберга. Размерность этой группы равна размерности квадрики и саму эту группу можно, как легко видеть, с квадрикой отождествить.
Алгебре до соответствует подгруппа Go группы G, состоящая из линейных преобразований квадрики, оставляющих начало координат на месте. Структура этой группы существенно зависит от квадрики (ввиду того, что условия касания, как уравнения на А, р, могут иметь самые разнообразные пространства решений в зависимости от квадрики), но она всегда содержит подгруппу скалярных растяжений:
Алгебре д+ соответствует подгруппа G+ нелинейных автоморфизмов квадрики, сохраняющих начало координат. Структура этой подгруппы также существенно зависит от квадрики (по тем же причинам, что и структура подгруппы Go). Квадрики, для которых эта подгруппа тривиальна, называются жесткими. Например, квадрика общего положения при 2 < к < п2 — 2 будет жесткой, в то время как любая квадрика коразмерности 1 ,п2,п2 — 1 жесткой являться не будет.
Когда условие к < п2 нарушается, квадрика, как отмечалось выше, в обязательном порядке становится вырожденной и, соответственно, уже не может служить модельным многообразием в классе вполне невырожденных. Нетрудно также видеть, что при к > п2 вполне невырожденный росток не может иметь алгебру Леви-Тапаки длины 2. Для преодоления этого препятствия в [3] была построена модель, соответствующая многообразиям с алгеброй Леви-Танаки длины d = 3 - кубика. Для ее описания представим к в виде к — п2 + т,т > 0. Как показано в работе [3], если в Сп+п +т дай росток вещественно-аналитического порождающего вполне невырожденного СО-многообразия М, для которого d = 3, то его уравнения можно в подходящей системе координат представить в виде: где (z, z) - набор из п2 линейно независимых эрмитовых форм, Ф - набор из га однородных кубических многочленов бистепени (2,1), симметричных z —► \z, w —► |А|2w, А € С \ {0}.
5)
Imu>2 = {z,z) + 0(3) Im wz = 2Re Ф(z, z, z) + 0(4)
6) по первым двум аргументам, iu2 G Сп ,103 G Cm, а 0(3), 0(4) - слагаемые веса > 2 и > 3 соответственно (веса приписаны переменным следующим образом: [z] = 1, [1U2] = 2, [1U3] = 3). Поверхность
Im W2 = {z, z) Imw3 = 2Re<l>(z, z,z) называется касательной кубикой ростка вида (6). Набор (z,z) образует базис пространства эрмитовых форм, ввиду этого все такие наборы отличаются умножением на вещественную матрицу. Поэтому с точностью до вещественно-линейной замены переменных по W2 можно считать набор (z,z) фиксированным.
Условие полной невырожденности ростка вида (6) сводится к условию невырожденности кубики, которое означает линейную независимость всех координатных форм Re<3>J'(z, z,z). Заметим, что размерность линейного пространства таких многочленов равна п2(п + 1). Поэтому кубика выступает в качестве модельной поверхности в классе вполне невырожденных ростков в диапазоне коразмерностей п2 < к < п2(п + 2). Длина алгебры Леви-Танаки для кубики равна 3. Также как и квадрика, кубика обладает набором свойств "хорошего" модельного многообразия [3]. Перечислим их.
1. Универсальность: Росток всякого вполне невырожденного многообразия типа (п, к) при п2 < к < п2(п + 2) эквивалентен ростку вида (6).
2. Конечномерность: Группа голоморфных автоморфизмов кубики общего положения - это конечномерная группа Ли; критерием конечномерности группы голоморфных автоморфизмов кубики является ее невырожденность.
3. Однородность: Всякая кубика является голоморфно однородной поверхностью, однородность обеспечивается квадратично-треугольными преобразованиями.
4. Полиномиалъностъ алгебры: Алгебра инфииитезимальных автоморфизмов кубики - это некоторая алгебра полиномиальных векторных полей, степени коэффициентов которых не превосходят 5.
5. Рациональность группы: Локальная группа голоморфных автоморфизмов ростка невырожденной кубики совпадает с конечномерной группой Ли голоморфных автоморфизмов кубики, причем последняя представляет собой подгруппу группы бирациоиальпых преобразований Сп+к, для которых степени числителя и знаменателя ограничены некоторой константой.
6. Симметричность: Размерность локальной группы голоморфных автоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка с условием п2 < к < п2(п + 2) не превосходит размерности группы голоморфных автоморфизмов его касательной кубики, более того, стабилизатор центра ростка вкладывается как подгруппа Ли в стабилизатор начала координат в группе кубики [5]; алгебра инфииитезимальных автоморфизмов кубики параметризует семейство биголоморфных отображений одного невырожденного ростка в другой.
7. Биголоморфная инвариантность: Если два ростка биголоморфпо эквивалентны, то эквивалентны и их касательные кубики; если две кубики биголоморфпо эквивалентны, то они эквивалентны и линейно.
8. Групповая структура: Кубика обладает естественной структурой группы Ли.
Набор свойств 1-8 также позволяет рассматривать кубику как аналог сферы в классе вполне невырожденных многообразий высокой коразмерности.
Алгебра инфииитезимальных автоморфизмов кубики - это градуированная алгебра Ли
9 = 9- з + 9-2 + д-1 + до + 9\ + 02 + 9з + £4 + #6 (7)
Здесь веса назначены следующим образом: [z] = 1, [iu2] = 2, [г^з] = 3, [J^] = ~f^] = —[а^] = —Градуированные компоненты алгебры имеют вид: г
М = |2Re ^ + + + 2г'Ф(2' } G где г : С"2 —> Ск - линейное отображение, удовлетворяющее условию касания t(z,z) = 4ЯеФ(р, Заметим, что последнее уравнение всегда имеет решение (ввиду того, что эрмитовы формы (z,z) образуют базис пространства эрмитовых форм). Далее, г D / а о э\1 ро = < 2Re Az— + --1- zni>3 \ dz dw2 dwsj J ' где A, p, v - матрицы соответствующих размерностей, Im р = 0, Im г/ = 0, удовлетворяющие увловиям касания
2Re (Аг, J) = г), 1/{Ф(г, z, z)) = 2Ф(Аг, z, z) + Ф(г, z, Az). (8)
Среди компонент положительной градуировки приведем вид компоненты 91' д д 2Re I (Aw2 + C(z, z))— + (aw3 + 2i(z, Aw2))—+ (9) b{w2, w2) + 2гФ(г, г, Aw2J > где b,C - симметричные билинейные формы, a a, A - линейные отображения, заданные все на пространствах соответствующей размерности и удовлетворяющие условиям касания (см. раздел 1.2).
Алгебре д- = д-з + д-2 + <?i соответствует подгруппа G- группы G голоморфных автоморфизмов кубики, которая обеспечивает голоморфную однородность кубики посредством преобразований:
2 —> Z +р w2^w2 + q + i{p,p)-\-2i(z,p), (10)
Щ Щ + г + 2iRe Ф(р, р, р) + 4гФ(г, р, р)+ 2гФ(г, -г,р) + 2гФ[р,р, z) + sw2, где q € Mn , г G Mm, а матрица s находится из соотношения Re$(z,p, z) = s(z,z) (такое уравнение, опять же, всегда разрешимо). Размерность этой группы равна размерности кубики и саму ее можно с кубикой отождествить.
Алгебре <7о соответствует группа Go линейных автоморфизмов кубики, сохраняющих начало координат. Также как и для квадрик, размерность этой группы меняется в зависимости от кубики (в силу, опять же, того, что условия касания, как уравнения на соответствующие матрицы, могут иметь различную структуру решений), но всегда содержит подгруппу вещественных скалярных растяжений: г Xz, w2 X2w2, wz А3и>з, XeR+ (11)
Алгебре g+ = g\ + g2 + gz + 94 + 9б соответствует группа G+ нелинейных автоморфизмов кубики, сохраняющих начало координат. Тривиальность этой подгруппы для всякой невырожденной кубики (жесткость кубики) является одним из основных результатов настоящей диссертации.
Когда условие n2 < к < п2(п + 2) нарушается, то кубика типа (п, к) уже ие может, как отмечалось выше, быть невырожденной, а вполне невырожденный росток такого типа, нетрудно видеть, не может иметь алгебру Леви-Тапаки длины 3, что приводит к возникновению новых модельный многообразий с более длинной алгеброй Леви-Танаки. Так, вещественно-аналитический росток порождающего вполне невырожденного ОЯ-многообразия с алгеброй Леви-Тапаки длины d = 4 можно в подходящей системе координат представить в следующем виде [4]: lmw2 = (z,z) + 0{3) < Im w3 = 2Re (z, z, z) + 0(4) (12)
Im w4 = 2Re (F22(2,z, z) + F3i(z, z, z, z)) + 0(5) где W2 G C"2, W3 e Cn2(n+1\iV4 € Cm (здесь k представлено в виде k = n2(n + 2) + m,m > 0), (z,z) - набор из n2 линейно независимых эрмитовых форм,z,z) - набор из п2(п + 1) линейно независимых над R однородных кубических многочленов бистепени (2,1), симметричных по первым двум аргументам, F22{z,z,z,z) и Fs\(z, z,z,z) - наборы из m однородных многочленов бистепеней (2,2) и (3,1) соответственно (F22 симметричен по первым двум и последним двум аргументам, F31 - по первым трем аргументам), 0(3), 0(4), 0(5) - слагаемые веса, большего 2,3,4 соответственно. Здесь веса назначены так: [z] = 1, [1V2] = 2, [и>з] = 3, [гщ] = 4.
Поверхность
Im W2 = (z, z) Im wz = 2Re {z, z, z)
Im w4 = 2Re (F22(z, z, z, z) + F31(z, z, z, z)) называется касательной модельной поверхностью порядка 4 или, короче, касательной моделью порядка 4 ростка вида (12) (вообще, порядком модели называется наибольший вес многочленов в ее уравнениях; он совпадает с длиной алгебры Леви-Тапаки модели). Условие полной невырожденности ростка совпадает с условием невырожденности модели - линейной независимости координатных форм Re (F^iz, z,z,z) + F^(z,z,z,z)). Размерность линейного пространства таких многочленов равна п2(п + l)(7n + 11)/12, поэтому невырожденные модельные поверхности порядка 4 существуют в спектре коразмерностей п2(п + 2) < к < п2(п + 2) + п2(п + 1)(7п + 11)/12. Отметим также, что наборы (z,z) и Re(z,z,z) образуют базисы пространств форм соотствующих бистепеней, поэтому такие наборы можно считать фиксированными с точностью до веществеипо-лииейной замены по W2,u)3.
Свойства модели порядка 4 как "хорошей" модели полностью аналогичны соответствующим свойствам 1-8 для квадрики и кубики. Опишем алгебраические свойства этой модели (будем в дальнейшем обозначать ее М). Алгебра ипфипитезимальпых автоморфизмов М [4] -это градуированная алгебра Ли вида
Здесь веса назначены следующим образом: [z] = l,[w2] = 2, [го3] = з, М = 4, (Й = -1, [gjy = -2, УУ = -3, Щ = -4. Градуированные где г, а - линейные отображения, удовлетворяющие условиям касания: t(z,z) = 4Re {p,z,z), a(z,z,z) = 3F3i(p,z,z,z) + 2F22{z,z,z,p),lm(j = 0.
Эти уравнения на г, и всегда разрешимы (в силу того, что наборы (z,z) и Re (z, z,z) образуют базисы пространств форм соответствующих
9 = 9- 4 + 9-3 + 9-2 + 9-г +90 + 91
13) компоненты алгебры имеют вид: бистепеней). Далее,
9о = где Л, р,и,5 - матрицы соответствующих размерностей, удовлетворяющие условиям касания, где a,A,t - линейные отображения, а Ь, С - билинейные вектор-функции, заданные все на пространствах соответствующих размерностей и удовлетворяющие условиям касания (условия касания для полей из д\ см. в разделе 1.4).
Подалгебре = (/4+(/3+g2+g-i соответствует подгруппа G группы С голоморфных автоморфизмов модели, эта подгруппа обеспечивает голоморфную однородность М. Соответствующие автоморфизмы имеют вид, аналогичный автоморфизмам квадрики и кубики (4), (10): где р € С", (аг,аз,а4) 6 Rk,pj-i - подходящие линейные отображения, Pj-i-полиномы степени j — 1, j = 2,3,4 (причем pj-i,Pj-i полиномиально зависят от р). Размерность этой группы равна размерности многообразия М и саму эту группу можно, легко видеть, с М отождествить.
Подалгебре до соответствует подгруппа Со С С. Этой подгруппе соответствуют линейные автоморфизмы модели М, сохраняющие начало координат. Структура этой подгруппы существенно зависит от М, но в ней всегда содержится подгруппа скалярных растяжений: z z + р, Wj Wj + pj-\(w\, .,Wj-1) + Pj-i(z) + Oj, (15) г —> Az, w2 —► A2W2, U>3 —* A3w3, W4 A4^4, A G
16)
Подалгебре д\ соответствует группа G+ = Gi нелинейных автоморфизмов модели, сохраняющих начало координат. Вопрос о ее тривиальности - жесткости модели - будет обсуждаться ниже.
Вполне невырожденным росткам с алгеброй Леви-Таиаки произвольной длины d > 4 соответствуют полиномиальные модели более высоких порядков. Процедура построения этих моделей вполне аналогична процедуре построения моделей порядков 2,3 и 4, уравнения модели будут выглядеть похожим образом, с той лишь разницей, что правая часть в общем случае будет зависеть от и = Rew. Соответствующая конструкция подробно описана в [6]. Отметим замечательное свойство этой конструкции: она позволяет, в силу свойства симметричности 6 в наборе свойств 1-8 модельных многообразий, оцепить размерность локальной группы голоморфных автоморфизмов произвольного вполне невырожденного ростка через размерность группы автоморфизмов модельного многообразия, т.е. сводит такую оценку к исследованию системы линейных уравнений - условий касания.
С модельными многообразиями связано множество различных задач: задача о классификации моделей заданного типа; задача о вычислении алгебры автоморфизмов модели или о возможных оценках на размерность этой алгебры; задача о построении системы биголоморфпых инвариантов вполне невырожденного ростка, связанных с его модельной поверхностью; задача о распострапепии свойства симметричности модельных многообразий на более широкий, по сравнению с классом вполне невырожденных, класс ростков; задача о структуре и свойствах пространства модулей модельных многообразий данного типа и множество других задач [1]. Данная диссертация посвящена решению следующих двух малоисследованных задач: задаче о структуре оболочек голоморфности моделей высших порядков (т.е. моделей порядка >2) и задаче о жесткости таких моделей.
Первая задача была поставлена В.Белошапкой в [1]. Поводом для нее послужили следующие соображения. Как было показано в [35], оболочка голоморфности невырожденной квадрики представляет собой следующую область: z,w) € Сп+к : lm w - {z,z) € V], гдеУ = int(conv{{2,2)}), причем конус V всегда непустой. При этом, если квадрика положительно определена (т.е. существует положительно определенная линейная комбинация компонент формы (z,z)), то нетрудно осуществить вещественно-линейную замену координат по w, после которой все координатные формы (z, z}i будут положительно определены. Соответственно, конус V будет содержаться в первом координатном октанте и будет острым (т.е. не будет содержать целой прямой). В этом случае оболочка голоморфности квадрики будет представлять собой в подходящей системе координат область Зигеля второго рода, отнесенную к конусу V и эрмитовой вектор-форме (z,z). Такая область всегда будет областью ограниченного вида (т.е. областью, биголоморфпо эквивалентной ограниченной), причем отображение па ограниченную область будет дробно-линейным. Голоморфная однородность этой области при этом определяется аффинной однородностью конуса F(cm. [34]). Если же квадрика, напротив, является знаконеопределенной (т.е. пе существует положительно определенной линейной комбинации компонент формы (z,z)), то конус V острым быть не может, т.к. всякий острый конус можно линейным преобразованием поместить в первый координатный октант [18], что означало бы положительную определенность квадрики. Поэтому такой конус обязан содержать целую прямую, а значит, в силу его выпуклости, и двумерную полуплоскость. Поэтому после подходящей вещественно-линейной замены координат по w оболочка голоморфности квадрики становится цилиндрической по части переменных областью.
Такая область в силу того, что содержит комплексные прямые, не будет областью ограниченного вида (что легко следует из теоремы Лиувилля). Про однородность такой области ничего определенного сказать нельзя.
В связи с этим иитересеп следующий вопрос: что будут собой представлять оболочки голоморфности модельных поверхностей более высокого порядка? Какие оболочки голоморфности окажутся цилиндрическими (соответственно, слоящимися на комплексные прямые), а какие нет? Дадут ли нецилиндрические оболочки голоморфности интересные примеры ограниченных (ограниченного вида) и (или) однородных областей? Решению этой задачи для различных классов модельных многообразий посвящена бо'лыпая часть результатов настоящей диссертации. При этом основной метод, использующийся при построения оболочек голоморфности - это метод подклейки аналитических дисков. Аналитический диск - это образ ограниченной области G С С1 при голоморфном отображении G CN, непрерывном вплоть до границы. Ценность этого понятия для построения оболочек голоморфности иллюстрирует так называемый принцип непрерывности[23], который гласит, что если задана последовательность аналитических дисков Dn, сходящихся равномерно (в смысле задающих их отображений) к некоторому диску D, причем все Dn, а также граница предельного диска D принадлежат некоторой области U С CN, то все голоморфные в области U функции продолжаются в некоторую окрестность всего предельного диска D.
Задача о жесткости моделей высших порядков, т.е. об отсутствии в группе их голоморфных автоморфизмов подгруппы нелинейных автоморфизмов, сохраняющих начало координат, является другой важной задачей, обсуждаемой в настоящей диссертации. Поводом для ее постановки послужил тот факт, что до сих пор среди всех иследованных моделей высших порядков несмотря на множество усилий в этом направлении не обнаружено многообразий с нетривиальной группой нелинейных автоморфизмов, сохраняющих начало координат (см., например, работы [26], [19], [24]). В связи с этим возникла гипотеза о жесткости всех моделей высших порядков. В данной работе приводятся важные и достаточно общие классы модельных многообразий, для которых жесткость действительно имеет место. При этом интересно, что жесткость во всех случаях явилась следствием результата о строении оболочек голоморфности многообразий рассматриваемых классов. Строение оболочки голоморфности одного из рассмотренных в диссертации многообразий привело также к построению семейства многообразий в С5 с весьма интересными свойствами. Все это говорит о том, что задача об исследовании оболочки голоморфности многообразия имеет не только самостоятельный интерес, но и приводит к весьма интересным смежным результатам.
Основные результаты диссертации
Основной текст диссертации состоит из двух глав, разбитых на разделы.
Первая глава посвящена модельным многообразиям с цилиндрическими оболочками голоморфности и присущему им феномену жесткости. В разделе 1.1 строится оболочка голоморфности произвольной невырожденной кубики. Доказывается, что оболочка голоморфности выглядит одинаково для всех кубик данного типа (п, к) и описывается следующим образом. Выберем в пространстве Сп+к, к = п2 + m базис таким образом, чтобы набор эрмитовых форм {z, z) принял вид: z,z)M = RezpTq,p > q; (z,z)ip'^ = lmzpz^,p <q\p,qeT/n возможность такого выбора обьясияется тем, что приведенные формы образуют базис пространства эрмитовых форм). Введем также матрицу
3xnW2, составленную по координатам пространства Сп+к следующим образом:
3mW^p) = Im 4Р'Р); 3mW^q) = Im wfq) + ilmw^p\p > q-am= Im w^q) - i\mw^p\V < q, а также столбец Z с компонентами z\,.,zn. Обозначив через Z* строку (z\, .,Zjt), первую часть уравнений кубики можно записать в следующем матричиом виде:
3mW2 = ZZ*.
Отметим, что построенное отображение Imu;2 3mW2 есть линейный изоморфизм пространства R" (или пространства вещественных п х п матриц) и пространства эрмитовых п х п матриц. В частности, так называемой верхней матричной полуплоскости 3mW2 » 0 при этом 2 изоморфизме будет соответствовать острый конус V в пространстве К" .
В таких обозначениях оболочка голоморфности произвольной кубики М будет выглядеть так:
М = {(z,w2,wz) £ Сп+пЧт : 3mW2 » ZZ*, wz € Cm} подразумевается матричное неравенство) и представляет из себя, таким образом, цилиндрическую по wz область, основанием которой служит область Зигеля 2-го рода [18] в пространстве переменных z,w2. Отметим, что для "малой" кубики - кубики типа (1,2) - этот результат был получен в [2]. Доказательство теоремы в общем случае требует более сложных рассуждений.
1. БелошапкаВ.К. Вещественные подмногообразия комплексного пространства: их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации // Успехи матем. наук. 2002. Т. 57. № 1.С. 3-44.
2. БелошапкаВ.К., Ежов В.В., ШмальцГ. Голоморфная классификация четырехмерных поверхностей в С3 // 2006. http://www.strogino.ru/~vkb/.
3. БелошапкаВ.К. Кубическая модель вещественного многообразия // Матем. заметки. 2001. Т. 70. №4. С. 503-519.
4. БелошапкаВ.К. Полиномиальные модели вещественных многообразий // Изв. РАН. Сер.Матем. 2001. Т. 65 №4 С. 3-20.
5. БелошапкаВ.К. Теорема вложения // 2006. http:// www.strogino.ru / ~vkb /
6. БелошапкаВ.К. Универсальная модель вещественного подмногообразия // Матем. заметки. 2004. Т. 75. № 4. С. 507-522.
7. Витушкин А.Г. Вещественно-аналитические гиперповерхности комплексных многообразий // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40. №2. С.З-31.
8. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных // Изд. "Наука". Москва. 1964.
9. ГаммельР.В.,КоссовскийИ.Г. Оболочка голоморфности модельной поверхности степени три и феномен "жесткости"// Труды Мат. ипст. им. В.А. Стеклова. 2006. Т. 253. С. 30-45.
10. ГорбацевичВ.В., Онищик A.JI. Группы Ли преобразований //Итоги науки и техники. ВИНИТИ. 1988. Т. 20. стр. 103.
11. КоссовскийИ.Г. Об оболочках голоморфности модельных многообразий // Изв. РАН. Сер. Мат. 2007. Т.71. №3.0.113-140.
12. КоссовскийИ.Г. Оболочка голоморфности модельной поверхности типа (1,4)// Деп. в ВИНИТИ РАН 13.04.07. ДО421-В2007.
13. КоссовскийИ.Г. Оболочки голоморфности модельных многообразий // Тезисы докладов Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти акад. А.Ф.Леонтьева, Уфа, 01.06.2007 05.06.2007. Т.2. С.23-24.
14. ЛободаА.В. Однородные вещественные гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии // Труды МИАН. 2001. Т. 235. С. 114-142.
15. ОлверП. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям // Изд. "Мир", Москва, 1989.
16. ПалинчакН.Ф. О с-жестких квадриках // Деп. в ВИНИТИ РАН 10.04.95, №973-В95.
17. ПиичукС.И. Об аналитических продолжениях голоморфных отображений // Мат. Сб. 1975. Т. 98 № 3 С. 416-435.
18. Пятецкий-ШапироИ.И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций // М.:Физматгиз, 1961.
19. РябоиенкоА. О жесткости кубики типа (п, п2 + 1) // Дипломная работа. Механико-математический факультет МГУ им.М.В.Ломономова. 2001.
20. Туманов А.Е. Продолжение СЯ-функций в клин с многообразия конечного типа // Матем. сб. 1990. Т. 181. № 7. С. 951-964.
21. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных // Изд. "Мир". 1968.
22. Чирка Е.М. Введение в геометрию СД-многообразий // Успехи мат. наук. 1991. Т.46М. С. 81-164.
23. ШабатБ.В. Введение в комплексный анализ // Изд. "Наука". 1976. Т. 2.
24. ШананинаЕ.Н. Полиномиальные модели вещественно аналитических многообразий и алгебры их автоморфизмов // Диссертация на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук. Механико-математический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова. 2006.
25. Шевченко С.Н. Описание алгебры ипфинитезимальных автоморфизмов квадрик коразмерности 2 и их классификация // Матем.заметки. 1994. Т. 55 №5.0.142-153.
26. BeloshapkaV. CR-varieties of the type (1,2) as varieties of "super-high" codimension // Russian Journal of Mathematical Physics. 1997. V. 5 № 3. P. 399-404.
27. Beloshapka V. Moduli space of modal real submanifolds // Russian Journal of Mathematical Physics V. 13. №3.2006. P. 242-252.
28. Bloom Т., Graham I. On type conditions for generic real submanifolds of C" // Invent. Math. 1997. V. 40. P. 217-243.
29. BurnsD.,ShniderS., WellsR. Deformations of strictly-pseudoconvex domains // Invent. Math. 1978. V. 46 № 3. P. 199-217.
30. CartanE. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes // Ann. Math. Рига Appl. (4). 1932. V. 11. P. 17-90.
31. ChernS.,Mozer J. Real hypersurfaces in complex manifolds // Acta Math. 1974.133. №3-4. P. 219-271.
32. FeffermanC. Bergman Kernel and biholomorphic mappings of pseudo-convex domains // Invent. Math. 1974. V. 26 № 1. P. 1-65.
33. FelsG.,Kaup W. C7?-Manifolds of dimension 5: Lie algebra approach // ArXiv: math.DS/0508011 V. 1.1 Aug 2005.
34. KaupW.,MatsushimaY.,OchiaiT. On the automorphisms and equivalences of generilized Siegel domains / / Amer. J. Math. 1970.92. № 2. P. 475-497.
35. Naruki I. Holomorphic extention problem for standart real submanidolds of second kind // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1970. V.6.№ 1. P. 113-187.
36. PoincareH. Les fonctions analytiques de deux variables et la representation conforme // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1907.23. P.185-220.
37. TanakaN. On generilized graded Lie algebras and geometric structures // Math. Soc. Japan. 1967.19 №2. P. 215-264.
