Действия групп на комплексных многообразиях и гипотеза о расширенной трубе будущего тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

'1С G H i I

- и 91 i1

• >К1

ÛZ

г

V (I

Российская Академия Наук

Ордена Ленина и ордена Октябрьской революции Математический институт имени В. А. Стеклова

На правах рукописи УДК 517.98

ЧЖОУ Щань-Юй

Действия групп на комплексных многообразиях и гипотеза о расширенной трубе будущего

(01.01.03 - математическая физика)

Диссертация

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

ДЕЙСТВИЯ ГРУПП НА КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ГИПОТЕЗА О РАСШИРЕННОЙ ТРУБЕ БУДУЩЕГО

Щань-Юй Чжоу

Введение 3

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 6

Глава I. Теория пространств Штейна 6

1.1. Голоморфно отделимые комплексные пространства 6

1.2. Голоморфно полные комплексные пространства 7

1.3. Голоморфно выпуклые комплексные пространства 8

1.4. Пространства Штейна: определение и примеры 8

1.5. Пространства Штейна: теоретико-функциональные аспекты 10

1.6. Пространства Штейна: геометрические и топологические аспекты 15

1.7. Области голоморфности в Сп 16

1.8. Некоторые классические задачи из теории пространств Штейна 18

Глава II. Многообразия Штейна с голоморфными группами

преобразований 19

2.1. Действия групп на многообразиях 19

2.2. Общие сведения о группах и алгебрах Ли 21

2.3. Однородные и симметрические пространства 22

2.4. Теорема о срезе 25

Часть II. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИДЕИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 28

Глава III. Гипотеза о расширенной трубе будущего 28

3.1. Расширенная труба будущего 28

3.2. Гипотеза о расширенной трубе будущего и ее матричная формулировка 29

3.3. Ядро Бергмана и насыщенные области 31

3.4. Области Дайсона и теорема Баргмана-Холла-Уайтмана 32

3.5. Инвариантные области голоморфности и лемма Картана 33

3.6. Голоморная выпуклость 1-точечной расширенной трубы будущего 36

ТуреБег Ьу Дм^-ТеХ

3.7. Идея доказательства гипотезы о расширенной трубе будущего 37

3.8. Связь с моментным отображением 38

Глава IV. Дествия компактных групп на комплексных многообразиях 39

4.1. Инвариантные области на однородных комплексных пространствах вида Kc/Lc 39

4.2. Орбитальная связность, орбитальная выпуклость и оболочки голоморфности 41

4.3. Орбитальная выпуклость областей голоморфности, инвариантных относительно линейных действий торов 43

Часть III. ПОДРОБНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ 44

Глава V. Доказательство гипотезы о расширенной трубе будущего 44

5.1. Некоторые подготовительные результаты 44

5.2. Некоторые свойства расширенной матричной полуплоскости 47

5.3. Доказательство основной теоремы 49

5.4. Следствия из гипотезы о расширенной трубе будущего 57

Глава VI. Доказательство теоремы об инвариантных областях

в Kc/Lc 59

6.1. Предварительные сведения 59

6.2. Доказательство теоремы 1 62

6.3. Доказательство теоремы 2 66

Глава VII. Доказательства результатов об однолистных оболочках голоморфности 71

7.1. Предварительные сведения 72

7.2. Доказательство основного результата 74

7.3. Некоторые следствия 77

7.4. Области, инвариантные относительно действия окружности 82

Глава VIII. Доказательства результатов об областях голоморфности, инвариантных относительно действий торов 84

8.1. Предварительные сведения 84

8.2. Доказательство основных результатов 85

8.3. Некоторые следствия 89

Список Литературы 91

Введение

Многие известные проблемы пришли в математику из физики и их решение оказало стимулирующее воздействие как на математику, так и на физику. Гипотеза о расширенной трубе будущего может служить примером такой задачи. Эта гипотеза возникла естественным образом в аксиоматической квантовой теории поля почти 40 лет назад при изучении функций Уайтмана. Она изучалась многими известными физиками и математиками, включая Н.Н.Боголюбова и В.С.Владимирова в России и А.С.Уайтмана, Р.Йоста и Р.Ф.Стритера на западе. Несмотря на ее физическое происхождение, эта гипотеза относится, на самом деле, к теории функций нескольких комплексных переменных. Формулировка ее состоит в следующем: расширенная ТУ-точечная труба будущего есть область голоморфности.

Понятие "области голоморфности" является, как известно, одним из фундаментальных понятий многомерного комплексного анализа. Наше исследование показывает ее важность, не только с физической, но и с общематематической точки зрения. Мы рассматриваем ее эту гипотезу в контексте общей теории действий групп на многообразиях Штейна. В случае расширенной трубы будущего интересующая нас группа является связной компонентой единицы в группе Лоренца (это так называемая собственная группа Лоренца) и конечно, некомпактна. Действуя на комплексном пространстве Минковского С4, она оставляет инвариантной трубу будущего. Комплексификация собственной группы Лоренца (называемая комплексной собственной группой Лоренца) совпадает со связной компонентой единицы в комплексной ортогональной группе 0(4, С). Мы рассматриваем ее диагональное действие на ТУ-точечном комплексном пространстве Минковского, которое совпадает с С4ЛГ. Это пример многообразия Штейна с голоморфным действием комплексной группы Ли, которым мы занимаемся в этой работе. Для того, чтобы построить расширенную трубу будущего, нужно взять ЛГ-точечную трубу будущего, которая совпадает с прямым произведением N копий трубы будущего (заметим, что Л^-точечная труба будущего инвариантна относительно диагонального действия собственной группы Лоренца на С4ЛГ), и подействовать на нее всевозможными преобразованиями из комплексной собственной группы Лоренца. Полученная область и есть расширенная труба будущего, голоморфная выпуклость которой утверждается гипотезой.

Возвращаясь к общей теории многообразий Штейна, напомним, что такое многообразие является естественным обобщением областей голоморфности в Сп и составляет одно из наиболее фундаментальных понятий в современной теории функций нескольких комплексных переменных. Наряду с проективными алгебраическими многообразиями, они представляют собой наиболее характерные, "крайние" примеры комплексных многообразий. Наличие группы преобразований, действующей на заданном многообразии Штейна голоморфными преобразованиями, привносит в теорию штейновых многообразий дополнительную специфику. Оно является сильным ограничением на структуру рассматриваемых многообразий и позволяет полностью описать их для конкретных классов групп и действий. Имеется большое количество результатов в этом направлении, хотя они относятся в основном к компактным группам.

Имея в виду гипотезу о расширенной трубе будущего, я начал изучать подробно изучать эту тематику. Данная диссертация является результатом этой деятельности с акцентом на теорию функций нескольких комплексных переменных. Один из главных ее результатов — доказательство гипотезы о расширенной трубе будущего. Наша основная цель состоит в том, чтобы продемонстрировать, что эта гипотеза естественным образом вкладывается в теорию действий групп на многообразиях Штейна и может быть доказана применением общих методов, которые могут быть с успехом использованы и в других задачах. В добавление к главной теореме, мы доказываем несколько результатов о компактных действиях групп на многообразиях Штейна. Они указывают, в частности, на существование существенных различий между компактными и некомпактным действиями групп на комплексных многообразиях.

Диссертация состоит из восьми глав, объединенных в три части. В главах I и II мы приводим некоторые хорошо известные понятия и результаты из теории многообразий Штейна, формулируем несколько новых теорем и ряд нерешенных проблем в этой теории. Отдельно изучается случай многообразий Штейна с голоморфными группами преобразований (этому случаю посвящена целиком Гл.II). Главы I и II, объединенные в часть I, могут рассматриваться вместе как краткое изложение теории пространств Штейна. Эта часть является подготовительной по отношению к остальным главам диссертации, результатов.

Вторая часть, состоящая из глав III, IV, содержит формулировки основных результатов и идеи их доказательств. Глава III посвящена гипотезе о расширенной трубе будущего. Мы указываем основные этапы ее доказательства и выделяем главные технические трудности, возникающие при доказательстве. В главе IV приводятся результаты, относящиеся к действиям компактных групп на комплексных многообразиях. В первом ее параграфе (п.4.1) формулируется теорема об автоморфизмах инвариантных областей на однородных комплексных пространствах вида Kc/Lc, которая обобщает один из недавних результатов Джеатти-Фелса. Во втором параграфе (п.4.2) рассматривается связь между орбитальной связностью и орбитальной выпуклостью, с одной стороны, с голоморфной выпуклостью и оболочками голоморфности, с другой. Главный результат этого параграфа — теорема об однолистных оболочках голоморфности, которая обобщает одновременно несколько классических результатов и одну недавнюю теорему Тарабузи-Трапани. В третьем параграфе (п.4.3) собраны результаты об орбитальной выпуклости областей голоморфности в Сп, которые инвариантны относительно линейных представлений торов S1 х ••• х S1.

В третьей части диссертации, состоящей из четырех глав, собраны доказательства основных результатов. Глава V содержит детальное доказательство гипотезы о расширенной трубе будущего. Подробные доказательства основных результатов из главы IV собраны в главах VI-VIII.

Мне хотелось бы поблагодарить профессора B.C. Владимирова и профессора А.Г. Сергеева, которые настойчиво рекомендовали мне заняться гипотезой о расширенной трубе будущего и постоянно поддерживали во мне интерес к ней. До моего первого визита в Математический институт имени В.А.Стеклова в 1990 г. я знал очень мало об этой гипотезе. Во время моего длительного пребывания в Москве, профессор Владимиров предоставил мне несколько ин-

тересных работ на эту тему, а профессор Сергеев познакомил меня с теорией многообразий Штейна с голоморфными группами преобразований, это помогло мне проникнуть в суть проблемы. Без их пояснений и поддержки я бы никогда не обратился к этой гипотезе и не завершил ее доказательства. Я благодарен также Математическому институту имени Стеклова за гостеприимство во время моего пребывания в Москве.

ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Глава I. Теория пространств Штейна

Комплексные многообразия являются основным объектом изучения в комплексной геометрии и теории функций нескольких комплексных переменных. Однако, как в комплексной геометрии, так и в теории функций нескольких комплексных переменных, приходится сталкиваться с также с "негладкими объектами", то есть с пространствами, имеющими особенности. Например, аналитическое подмножество комплексного многообразия может уже не быть гладким и, тем самым, не является, вообще говоря, комплексным многообразием. Факторпространство комплексного многообразия по действию конечной подгруппы автоморфизмов дает другой пример подобного типа. Все это приводит к необходимости введения более широкого понятия комплексного пространства.

Комплексное пространство и схема (основного предмета изучения в алгебраической геометрии) вводятся похожим образом на основе понятия окольцованного пространства с выбором подходящей локальной модели. В этих терминах комплексное пространство есть окольцованное С-пространство, которое локально изоморфно комплексной модели, представляющей собой аналитическое подмножество области в С" с соответствующим структурным пучком. Подробности читатель может найти в [94].

1.1. Голоморфно отделимые комплексные пространства.

Пространство голоморфных функций на комплексном пространстве X обозначается всюду через О(Х).

Определение 1. Комплексное пространство X называется голоморфно отделимым, если для любых двух различных точек Х\,Х2 из X найдется голоморфная функция / на X, такая, что /(хх) ф /(а^).

Таким образом, голоморфно отделимое комплексное пространство обязано быть некомпактным. Любое локально замкнутое аналитическое подмножество такого пространства также голоморфно отделимо.

С понятием голоморфно отделимого комплексного пространства тесно связано понятие комплексного пространства, гиперболического по Каратеодори. Так называется комплексное пространство, на котором псевдометрика Каратеодори Сх(хх, х'2) определяет настоящее расстояние. Напомним, что псевдометрика Каратеодори задается формулой Сх(х1, Х2) = вир^^! р(/(х1),/(хг)), где р есть метрика Пуанкаре на единичном круге. По-другому, комплексное пространство является гиперболическим по Каратеодори тогда и только тогда, когда для любых двух различных точек х\,хъ из X существует ограниченная

голоморфная функция / на X такая, что /(жх) ф /(#2)- Таким образом, комплексное пространство Каратеодори можно рассматривать как "ограниченный" аналог голоморфно отделимого комплексного пространства. В частности, ограниченное открытое подмножество (иначе, относительно компактное открытое множество) голоморфно отделимого комплексного пространства является гиперболическим по Каратеодори.

Любое компактное аналитическое подмножество голоморфно отделимого комплексного пространства обязательно конечно (см. доказательство в [94]).

Следующее утверждение приводится в [94] без доказательства в качестве упражнения. Для полноты дадим его доказательством.

Предложение 1. Пусть X - голоморфно отделимое комплексное пространство. Для заданного конечного множества ..., х^} попарно различных точек из X и произвольного набора комплексных чисел {с1,...,с&} найдется голоморфная функция f на X такая, что /(а^) = С{, 1 < % < к. Если X - комплексное пространство, гиперболическое по Каратеодори, то можно найти ограниченную голоморфную функцию / на X, обладающую указанным свойством.

Для полноты приведем здесь короткое доказательство этого факта.

Доказательство. Для любых г Ф ] найдется голоморфная функция такая, что ^(ж*) = = 0. Положим далее / := ^¿=1 Ц?уг Щ-

Тогда ¡(хг) = а-

Следствие 1. Пусть X - голоморфно отделимое комплексное пространство (соотв. гиперболическое комплексное пространство Каратеодори) и Г С АиЬ(Х) - конечная подгруппа в группе его автоморфизмов. Тогда фак-торпространство Х/Т также голоморфно отделимо (соотв. гиперболическое комплексное пространство Каратеодори).

1.2. Голоморфно полные комплексные пространства.

Определение 2. Комплексное пространство называется голоморфно полным, если для любой точки х € X найдется конечный набор голоморфных функций /ъ • • •, /п(®) на X таких, что х есть изолированная точка их множества нулей.

Голоморфно полное комплексное пространство обязательно некомпактно.

Голоморфно отделимое комплексное пространство голоморфно полно (см. доказательство в [94]), в этом случае число п{х) в определении 2 можно взять равным размерности йт^Х.

Любое компактное аналитическое подмножество голоморфно полного комплексного пространства состоит из конечного числа точек. Грауерт доказал, что для любого п-мерного голоморфно полного комплексного пространства число п(х) в его определении можно взять равным сНтжХ = п. Более того, такое пространство X допускает голоморфное отображение / : X —> Сп, все слои которого дискретны.

1.3. Голоморфно выпуклые комплексные пространства.

Определение 3. Комплексное пространство X называется голоморфно выпуклым, если для любого компактного подмножества К С X его голоморфно выпуклая оболочка

К := {х в X : \f(x)\ < sup |/(j,)| для любой / G 0(Х)}

уек

компактна.

Эквивалентное определение: X голоморфно выпукло, если для любого бесконечного дискретного множества точек {х±,Х2, ■ ■ ■ } из X найдется голоморфная функция / € О(Х) такая, что последовательность {f{xi, /(.Х2)...)} неограни-чена (т.е. \f(xi)\ —> 00 при i —> 00). (См. доказательство эквивалентности в [95], [94]).

Компактное комплексное пространство является очевидным примером голоморфно выпуклого пространства.

Локальным вариантом голоморфной выпуклости является понятие слабой голоморфной выпуклости.

Определение 4. Комплексное пространство X называется слабо голоморфно выпуклым, если для любого компактного подмножества К С. X существует открытая окрестность W такая, что К П W компактно.

Очевидно, любое голоморфно выпуклое комплексное пространство является слабо голоморфно выпуклым. Верно и обратное, то есть слабо голоморфно выпуклое комплексное пространство голоморфно выпукло, однако это утверждение нетривиально (см. [95]).

Следующий факт часто используется в диссертации. Пусть / : X —> Y - голоморфное отображение комплексных пространств. Предположим, что X голоморфно выпукло и V С Y - голоморфно выпуклое открытое подмножество в Y. Тогда его прообраз является голоморфно выпуклым открытым

подмножеством в X.

1.4. Пространства Штейна: определение и примеры.

В своей книге [95] Грауерт и Реммерт дают следующие эквивалентные условия, каждое из которых может служить определением пространства Штейна.

Теорема 1 [95]. Для комплексного пространства X следующие утверждения эквивалентны:

A) X слабо голомор